capitolo 1 strumenti della matematica...

Strumenti della matematica

Inglese Francese E nella tua lingua?

Tabella a doppia entrata cross tabulation

table à double entrée

Kontingenztafel tabla de doble entrada

.......................................................

Relazione50

á 2

100

200

400

25

relation relation Relation relación

Insieme

lunedì

martedì mercoledì

giovedì venerdì

sabato

domenica

set ensemble Menge conjunto

.......................................................

Insieme vuoto

¯

empty set ensemble vide leere Menge conjunto vacío .......................................................

Sottoinsieme

r am

Ao

B

subset sous- ensemble

Teilmenge subconjunto

.......................................................

Intersezione

43 12

16

89

6

20A

B

intersection intersection Schnittmenge intersección

.......................................................

Unione

a

o pt

v

i

l

A

B

union union Vereinigungsmenge unión

.......................................................

Equazione4 + x = 6 x = 2

equation équation Gleichung ecuación

.......................................................

Incognita 4 + x = 6 x = 2

unknown inconnue Unbekannte incógnita

Cifra0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

digit chiffre Zahlzeichen cifra

Italiano Tedesco Spagnolo

¥ 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

2 2 4 6 8 10

3 3 6 9 12 15

4 4 8 12 16 20

5 5 10 15 20 25

6 6 12 18 24 30

1Capitolo aritmetiCa

1

2

Capitolo 1 • Strumenti della matematicaaritmetica

Rappresentare informazioni con le tabelleLa tabella a doppia entrata è un riquadro con righe e colonne.

Il dato in una cella dipende dalla regola e dai dati in entrata nella rispettiva riga e colonna.

1

Completa con la somma. 1

Nella tabella dell’esercizio 2 compare una freccia in alto a sinistra. > Che cosa sta a indicare?> Perché non è stata messa nelle tabelle

dell’esercizio 1?

+

3

21

14

8

32

7

10

200 15 12 28 +

100

200

320

345

441

6

106

20

...................

30

...................

42

...................

...................

...................

420

Scrivi la regola.3 Completa con la differenza. 2

?

2

4

6

8

10

1

? = .......................

2

4

6

8

10

5

10

20

30

40

50

10

20

40

60

80

100

–

134

786

849

657

999

34

100

50 600 400 120

moltiplicazione colonna

• 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

2 2 4 6 8 10

riga 3 3 6 9 12 15

4 4 8 12 16 20

5 5 10 15 20 25 cella

6 6 12 18 24 30

3

Capitolo 1 • Strumenti della matematica

Rappresentare relazioni con i grafiI graf descrivono relazioni per mezzo di archi orientati, che partono da punti detti nodi del grafo. È necessario defnire ogni volta il signifcato della relazione stabilita dagli archi orientati.

I graf ad albero descrivono relazioni.

Da un nodo escono più rami, e così di seguito, fno a raggiungere nodi da cui non esce alcun ramo.

2

50

á 2

100

200

400

25

arco orientatorelazione

nodo

nodo

ramo

Completa.1

1

900

10

3

· 3

· 10

4

Capitolo 1 • Strumenti della matematicaaritmetica Completa e scrivi.2

Completa i grafi.3

Completa. Costruisci dei grafi ad albero. 4

8 12

3 442

22 2 3 2 2

84

120 100

96

30

+ 4

–160

1868

960

1568

5

–4

1500

1500

9

–500

3000

8

– 2

+4

?? = ÉÉÉÉÉÉ

10

Puoi stabilire già prima di completare l’esercizio quale operazione si trova al posto di ?

5


Rappresentare informazioni con gli insiemiOsserva la fgura a lato. I giorni della settimana sono 7: lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica.

Un insieme è un raggruppamento di elementi che possono essere elencati senza dubbi e discussioni.

¥ Appartenenza a un insiemeNell’insieme A = {città del Piemonte}

Asti appartiene al Piemonte

Asti ∈ A

Messina non appartiene al Piemonte

Messina ∉ A

Dato un insieme, è possibile indicare se un elemento ap-partiene o non appartiene all’insieme (il simbolo di ap-partenenza è ∈, quello di non appartenenza è ∉).

Le fgure che rappresentano gli insiemi e le operazioni su di essi vengono chiamate diagrammi di Eulero-Venn.

3

lunedì

martedì mercoledì

giovedì venerdì

sabato

domenica

insieme dei giorni

della settimana

Piemonte

Asti ∈ Piemonte Asti

Messina ∉ Piemonte

Messina

Osserva e completa.1 Osserva e completa. 2

a ∈ A f B m A

b B g A n C

c A h C o B

d C i A p A

e B l C q C

V

W

0

6

1028

4

1

5

7

9

3

C

A

B

a

e

i

n

m

g

b

c

d

fp

l

q

oh

0 ∈ W 2 V 1 V

0 V 3 W 2 W

4 V 4 W 8 V

5 V 5 W 9 W

Un insieme può contenere infiniti elementi. Per esempio, l’insieme dei numeri naturali che sono multipli di 5 contiene: 5, 10, 15, 20, 25, ...

6


Rappresentare insiemi, sottoinsiemi e insiemi complementari

Osserva, un insieme è rappresentato in tre modi:

A = {a; e; i; o; u}

• in forma tabulare: gli elementi sono elencati tra due parentesi graffe e separati dal punto e virgola;

• in forma grafica: i suoi elementi sono rappresentati entro una linea chiusa;• per caratteristica: viene indicata la proprietà comune che caratterizza gli elementi

dell’insieme.

• Insieme universaleT = {x | x è un poligono con tre lati}

Quando dai una rappresentazione per caratteristica di un insieme, fai riferimento a un «gruppo» più ampio di elementi, da cui estrai solo quelli che possiedono quella particolare caratteristica.

Tale insieme più grande prende il nome di insieme universale.

• L’insieme vuotoX = {x | x è un animale con gli occhiali} X = ∅

Un insieme che non contiene elementi si chiama insieme vuoto. L’insieme vuoto si indica con il simbolo ∅.

• Insiemi ugualiSe:A = {a; e; i; o; u}B = {e; i; a; u; o}

allora: A uguale B cioè A = B

Due insiemi uguali contengono gli stessi elementi, indipendentemente dall’ordine con cui sono elencati.

• I sottoinsiemiSe:A = {r; a; m; o}B = {m; a}

si scrive: B ⊂ A

e si dice:B è sottoinsieme di AB è contenuto in A

4

a

A

e

io

u A = {x | x • vocale dellÕalfabeto italiano}

U

poligoni

T

poligoni

con 3 lati

aa

A

e

ei

i

o

o

u

u

B

r am

Ao

B

7


Un insieme B è sottoinsieme di un insieme A quando tutti gli elementi di B appartengono ad A. L’inclusione è rappresentata dal simbolo ⊂.

¥ Insieme complementareOsserva:

Il complementare dell’insieme A rispetto a V è l’insieme A di tutti gli elementi di V che non appartengono ad A.

Per esempio, se N è l’insieme dei numeri naturali e A è l’insieme dei numeri dispari, allora il complementare di A rispetto a N è l’insieme A dei numeri pari.

A = {x | x ∈ N, x è dispari} A = {x |x ∈ N, x è pari}

VA

A«

A = {x | x ∈ V; x ∉ A}

Rappresenta per caratteristica gli insiemi.1

sido

la

sol fa

mi

re

A

A = { a | a ....................................................................................... } B = { b | b ....................................................................................... }

estateB

inverno

primavera

autunno

Scrivi in forma tabulare gli insiemi C e D.

2

C = { ...................................................................................................... }

D = { ...................................................................................................... }

5;

0;

C D

1011

8

57 0

12

3

15

9

6

Dato l’insieme B, disegna due sottoinsiemi di

B. Chiamali C e D.

B

3

8

Capitolo 1 • Strumenti della matematicaaritmetica Completa. 4

A = {2; 6; 8; 16} A ⊂ B? . . . . . . . . . . . . . . .

A = B? . . . . . . . . . . . . . . .

B = {3; 6; 9; 12; 16} B ⊂ A? . . . . . . . . . . . . . . . .

C = {5; 6; 7; 9; 10} C ⊂ D? . . . . . . . . . . . . . .

C = D? . . . . . . . . . . . . . .

D = {10; 9; 6; 7; 5} D ⊂ C? . . . . . . . . . . . . . .

E = {x | x è una nazione europea} E ⊂ F? . . . . . . . . . . . . . . . .

E = F? . . . . . . . . . . . . . . .

F = {Spagna; Paesi Bassi; Italia} F ⊂ E? . . . . . . . . . . . . . . . .

no

Osserva e completa. 5

A

A

2

picche

4

6

9

5

13

7

V

V

8

fori

V = .............................................................................

A = .............................................................................

A = .............................................................................

A = {x |x ∈ V; x ∉ A}

V = {x | x è un seme delle carte da gioco}

A = .............................................................................

A = .............................................................................

Costruisci un esercizio con insiemi e sottoin-siemi ispirandoti al mondo della geografia.

V

A´A

Osserva gli insiemi: quale affermazione è corretta?

6

a) A ⊂ B ⊂ Cb) B ⊂ C ⊂ Ac) C ⊂ B ⊂ A

A

B

C

9


Operazioni con gli insiemi

• IntersezioneA = {3; 6; 9; 12} B = {4; 8; 12; 16; 20}

Osserva: 12 ∈ A 12 ∈ B

A intersecato B = {12} A ∩ B = {12}

L’intersezione tra due insiemi A e B è l’insieme formato dagli elementi che i due insiemi hanno in comune.

L’intersezione è rappresentata dal simbolo ∩.

• Insiemi disgiuntiA = {s; o; n} B = {l; a; t; e}

allora:A e B sono disgiunti A ∩ B = ∅

Due insiemi sono disgiunti quando non hanno al-cun elemento in comune. L’insieme intersezione è l’insieme vuoto = ∅.

• UnioneA = {t; a; v; o; l} B = {p; i; a; t; o}

allora:

A unito B = {t; a; v; o; l; p; i} A ∪ B = {t; a; v; o; l; p; i}

L’unione di due insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A

oppure a B, presi una sola volta. L’unione è rappresentata dal simbolo ∪.

5

ao

e

∅

tn

s

lA

B

a

o pt

v

i

l

A

B

43 12

16

intersezione

89

6

20A

B

Scrivi negli insiemi e completa.1

A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24}

B = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}

C = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48}

D = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48}

0

6

12

18

24

3

9

15

21

2

48

10

14

16

20

22 BA DC

12

A ∩ B = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .} C ∩ D = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

10


A

ak d

jg h

f

g ila

E

ik

bf

g

C

g j d

kc

F

lg

d

B

b ad

h

D

l

a X X X

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

A ∩ B = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

A ∪ B = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

A ∩ C = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

A ∩ D = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

A ∩ E = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

A ∩ F = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

B ∪ C = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

A ∪ F = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

A ∪ D = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

A ∪ E = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

D ∪ F = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

B ∩ C = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

E ∪ F = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

E ∪ D = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

Completa.

∈

a;

Individua quali elementi appartengono all’insieme G degli sportiviche praticano sia ciclismo sia equitazione.

Completa. 2

R S

3

6

30

31

17

14

34

4 16

840

2839

25

13

29

7

38

15

24

36

12

21

189

R = { .......................................................................................................................................................................................................}

S = { ...........................................................................................................................................................................................................}

R ∩ S = { ...........................................................................................................................................................................................}

∈ ∉

18 ∈ R

40 R

28 R ∩ S

39 R

24 R ∩ S

15 R

15 S

0 R ∩ S

33 R

a)

b)

3; 6

Osserva.3

11


Usare lettere al posto dei numeriLe lettere possono sostituire i numeri.

Sono utili per indicare quantità che possono assumere valori diversi: le variabili.

Area (rettangolo) = b ∙ h

b = baseh = altezza

b e h sono variabili.

¥ Le equazioniUn’equazione è una forma di uguaglianza. Se compare una sola lettera, essa indica l’incognita.

L’equazione è vera solo per determinati valori numerici attribuiti all’incognita.

Per esempio: 4 + x = 6 è vera solo per x = 2

6

base

altezza

8

6

8

7

h

b

2

2

n = ..................................................

d)

5 kg20 kg

n kg

n = ..................................................

b)

8 kg14 kg

n kg

n = ..................................................

e)

6 kg

n kg

13 kg

n = ..................................................

c)

n kg9 kg

2 kg

n = ..................................................

6 kg

n kg

3 kg

a)

3 kg

7 + x = 10 x = ...........................................................

11 – x = 6 x = ...........................................................

2x + 4 = 12 x = ...........................................................

22 – 14 = x x = ...........................................................

3 · x = 21 x = ...........................................................

3x + 1 = 31 x = ...........................................................

24 : x = 6 x = ...........................................................

2x : 2 = 10 x = ...........................................................

3

In genere nelle equazioni l’incognita viene indicata con la lettera x (o y).

100

20 20

1007575

50

……… ………

……… ……… ………

? ?

? ? ? ? = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

? = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a)

b)


Completa. 2

Calcola.3

1 32 4 650

+ x4 + x = 6

incognitax = 2

12


Il sistema di numerazione decimaleIl nostro sistema di numerazione si serve di dieci simboli:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chiamati cifre.

I numeri sono rappresentati da insiemi ordinati di cifre:

1 4 3 2 , 0 7

Il sistema di numerazione moderno segue l’ordine in base 10 (o decimale).Il valore di ciascuna cifra è diverso a seconda della posizione che essa occupa nel numero.

7

migliaia

centinaia

decine

unitˆ

decim

i

centesim

i

cifre

numero


Completa. 2

................................................11 302 ................................................ ................................................ ................................................

unitˆ

1804 8430 10 001 40 400

unitˆ

Completa. 3

16 127 → 7 28 135 → .......................................................................................... 55 555 → 500016 127 → 20 97314 → ........................................................................................... 55 555 → 50016 127 → 100 1680 → ........................................................................................... 91 111 → 1

16 127 → 6000 91 024 → .......................................................................................... 91 111 → 1016 127 → 10 000

2 1 3 4

Prova tu a disegnare il numero 4530.

Completa. 4

capitolo 1 strumenti della matematica...

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