capitolo 22 valutazione delle opzioni corso di finanza avanzata - prof. m. mustilli

Capitolo 22

Valutazione delle opzioni

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli

Argomenti trattati

2

Metodo binomiale

Modello di Black e Scholes

Modello di Black e Scholes e modello binomiale

Il mercato delle opzioni in Italia

Problemi di valutazione nelle opzioni

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli

Opzioni

3Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli

Un’opzione call sul titolo BMAS ha un prezzo di esercizio di € 80 e scade tra un anno. Il titolo BMAS quota correntemente a € 80.

Caso 1

L’azione scende a € 60

Payoff dell’opzione = € 0

Caso 1


Payoff dell’opzione = € 0

Caso 2

L’azione sale a € 106.67

Payoff dell’opzione = € 26,67

Caso 2

L’azione sale a € 106.67

Payoff dell’opzione = € 26,67

Opzioni


Assumete di acquistare 4/7 dell’azione BMAS e di prendere a prestito 32,65 dalla vostra banca (al tasso del 5% annuo).

Caso 1


Valore del portafoglio = = 4/7 60 – 32,65 (1.,05) = 0

Caso 1


Valore del portafoglio = = 4/7 60 – 32,65 (1.,05) = 0

Caso 2

L’azione sale a € 106,67

Valore del portafoglio = = 4/7 106,67 – 32,65(1,05) =

26,67

Caso 2

L’azione sale a € 106,67

Valore del portafoglio = = 4/7 106,67 – 32,65(1,05) =

26,67

Delta dell’opzione


Il valore della call è:

Call = 4/7 80 – 32,65 = 13,06

Delta dell'opzione

Differenza tra i possibili prezzi dell'opzione

Differenza tra i possibili prezzi dell'azione

26.67 0 26.67 4

106.67 60 46.67 7


Neutralità al rischio

In un mondo di neutralità al rischio il ritorno atteso sull’azione sarebbe uguale al tasso risk-free, ossia 5%. Possiamo determinare le probabilità di aumento e diminuzione del prezzo dell’azione.

Rendimento atteso p 33.34% 1 p ( 25%)

Rendimento atteso 0.05

p 51.42%

up up

up

Valore delle opzioni


L’opzione su BMAS può allora essere valutata come:

f

p 26.67 1 p 0Valore call

1 r

(0.5142 26.67) (0.4858 0)

1.0513.06

up up


Pricing binomiale

)()(

== aumento di àProbabilitduda

p-

-

p-1=ediminuzion di àProbabilit

annodell' % come espresso tempodi intervallo

th

eu

ed

ea

h

h

rh

Metodo binomiale


EsempioPrezzo = 36 s = 0,40 t = 90/365 D t = 30/365 Prezzo di esercizio = 40 r = 10%

a = 1,0083u = 1,1215d = 0,8917Pu = 0,5075Pd = 0,4925

Metodo binomiale


40,37

32,10

36

37,401215,136 1

0

=×

=×

UP

UP

Metodo binomiale


40,37

32,10

36

37,401215,13610

=×

=× UPUP

10.32,89170,3610

=×

=× DPDP

Metodo binomiale


50,78 = prezzo

40,37

32,10

25,52

45,28

36

28,62

40,37

32,10

36

1 tt PUP

Metodo binomiale


50,78 = prezzo

10,78 = valore intrinseco

40,37

0,37

32,10

0

25,52

0

45,28

36

28,62

36

40,37

32,10


Metodo binomiale 50,78 = prezzo

10,78 = valore intrinseco

40,37

0,37

32,10

0

25,52

0

45,28

5,60

36

28,62

36

40,37

32,10

trdduu ePUPO

Il maggiore tra


Metodo binomiale50,78 = prezzo10,78 = valore intrinseco

40,370,37

32,100

25,520

45,285,60

360,19

28,620

361,51

40,37

2,91

32,10

0,10

trdduu ePUPO


Valutazione binomialePossibili variazioni di prezzo per l’azione Unicredit nell’ipotesi che l’azione possa muoversi una sola volta verso l’alto o verso il basso ogni 4 mesi (a), due volte ogni 2 mesi (b) o 17 volte ogni settimana (c).



Dati componenti il prezzo dell’opzione

1. Prezzo corrente dell’attività sottostante2. Prezzo di esercizio3. Scarto quadratico medio del tasso di rendimento all’azione

(capitalizzato nel continuo) 4. Durata dell’opzione5. Tasso di interesse annuo



OC = [N(d1)x P] – [N(d2) x (EX) e-rt]

2

)](/log[1

tv

tv

EXVAPd

tvdd 12

dove



OC = Prezzo della call

P = Prezzo dell’azione

N(d1) = Funzione di probabilità cumulata normale di (d1)

EX = Prezzo di esercizio

N(d2) = Funzione di probabilità cumulata normale di (d2)

r = tasso di interesse (tasso a 90 giorni effettivi e titoli negoziabili o tasso privo di rischio)

t = durata dell’opzione (come % annua)

v = Scarto quadratico medio del tasso di rendimento all’azione (capitalizzato nel continuo)



EsempioConsiderati i seguenti valori, qual è il prezzo della call option?P = 36 r = 10% v = 0,40S = 40 t = 90 giorni / 365

3070,01 dtv

trd

vEXP )()ln( 2

1

2

3794,06206,01)( 1 dN

3065,06935,01)(

5056,0

2

2

12

dN

d

tvdd

[ ] [ ][ ] [ ]

70,1$=

)40(×3065,036×3794,0=

)(×)(×)(=)2466,0)(10,0(

21

C

C

rtC

O

eO

eEXdNPdNO

Binomiale vs. Black Scholes


EsempioQual è il prezzo di un’opzione call con le seguenti caratteristiche? P = 36 r = 10% v = 0,40S = 40 t = 90 gg / 365

Binomiale = € 1,51

Black Scholes = € 1,70

Il numero limitato di nodi presi in considerazione dal nostro esempio produce questa differenza. All’aumentare dei nodi, il prezzo ottenuto con il metodo binomiale converge verso il prezzo ottenuto con la formula di Black Scholes.

Binomiale vs. Black Scholes


Il modello binomiale converge al prezzo prodotto dalla formula di B&S quando il numero di stadi tende ad infinito.

Il mercato delle opzioni in Italia


Esistono opzioni su: Azioni, quotate in €, prevista la consegna fisica del

sottostante Indici, quotate in punti indice, prevista la liquidazione

in contanti

Trattate su: IDEM (dal 1995) prevalentemente per operatori

specializzati MTA e SeDeX (dal 1998), covered warrant,

prevalentemente per i piccoli investitori

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