Capítulo 38A - Capítulo 38A - RelatividadRelatividad

Presentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State Southern Polytechnic State UniversityUniversity

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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State Southern Polytechnic State UniversityUniversity© 2007

Objetivos: Objetivos: Después de Después de completar este módulo completar este módulo

deberá:deberá:• Establecer y discutir los dos Establecer y discutir los dos

postulados de Einstein concernientes postulados de Einstein concernientes a la a la relatividad especialrelatividad especial..

• Demostrar su comprensión de la Demostrar su comprensión de la dilatación del tiempodilatación del tiempo y aplicarla a y aplicarla a problemas físicos.problemas físicos.

• Demostrar y aplicar las ecuaciones de Demostrar y aplicar las ecuaciones de longitudlongitud, , cantidad de movimientocantidad de movimiento, , masamasa y y energía relativistasenergía relativistas..

Relatividad especialRelatividad especial

La La Teoría Especial de la RelatividadTeoría Especial de la Relatividad de de Einstein, publicada en 1905, se basó en Einstein, publicada en 1905, se basó en dos postulados:dos postulados:

I. Las leyes de la física son las mismas I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia para todos los marcos de referencia que se mueven a velocidad constante que se mueven a velocidad constante uno con respecto a otro.uno con respecto a otro.

I. Las leyes de la física son las mismas I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia para todos los marcos de referencia que se mueven a velocidad constante que se mueven a velocidad constante uno con respecto a otro.uno con respecto a otro.

II. La rapidez de la luz II. La rapidez de la luz cc en el espacio libre en el espacio libre es constante para todos los es constante para todos los observadores, independiente de su observadores, independiente de su estado de movimiento. (estado de movimiento. (cc = 3 x 10 = 3 x 1088 m/sm/s))

II. La rapidez de la luz II. La rapidez de la luz cc en el espacio libre en el espacio libre es constante para todos los es constante para todos los observadores, independiente de su observadores, independiente de su estado de movimiento. (estado de movimiento. (cc = 3 x 10 = 3 x 1088 m/sm/s))

Reposo y movimientoReposo y movimiento¿Qué se quiere decir cuando se habla de que ¿Qué se quiere decir cuando se habla de que un objeto está en un objeto está en reposoreposo... o ... o en movimientoen movimiento? ? ¿Hay algo en reposo?¿Hay algo en reposo?

A veces se dice que A veces se dice que hombre, computadora, hombre, computadora, teléfono y escritorio teléfono y escritorio están están en reposoen reposo..

Lo que realmente se quiere decir es que todos Lo que realmente se quiere decir es que todos están en movimiento con la están en movimiento con la misma velocidadmisma velocidad. . Sólo se puede detectar el movimiento con Sólo se puede detectar el movimiento con respecto a algo más.respecto a algo más.

Se olvida que la Tierra Se olvida que la Tierra también está en también está en movimiento.movimiento.

No hay marco de referencia No hay marco de referencia preferidopreferido

¿Cuál es la velocidad ¿Cuál es la velocidad de este ciclista?de este ciclista?

No se puede decir sin No se puede decir sin un un marco de referenciamarco de referencia..

Suponga que la bicicleta se mueve a Suponga que la bicicleta se mueve a 25 m/s, O en 25 m/s, O en relación con la Tierrarelación con la Tierra y que la plataforma se mueve y que la plataforma se mueve a a 10 m/s, E en relación con la Tierra10 m/s, E en relación con la Tierra..

¿Cuál es la velocidad de la bicicleta ¿Cuál es la velocidad de la bicicleta en relación con en relación con la plataforma?la plataforma?

TierraTierra

25 m/s

10 m/s

esteeste

oesteoeste

Suponga que la plataforma es la referencia, Suponga que la plataforma es la referencia, entonces observe el movimiento relativo de entonces observe el movimiento relativo de Tierra y bicicleta.Tierra y bicicleta.

Referencia para el Referencia para el movimiento (Cont.)movimiento (Cont.)

TierraTierra

25 m/s

10 m/s

esteeste

oesteoeste

Tierra como referencia

0 0 m/sm/s

Para encontrar la velocidad de la bicicleta Para encontrar la velocidad de la bicicleta relativa a la plataformarelativa a la plataforma, debe imaginar que , debe imaginar que está sentado en la plataforma en reposo (está sentado en la plataforma en reposo (0 0 m/sm/s) con relación a ella.) con relación a ella.Vería a la Tierra moviéndose al oeste a Vería a la Tierra moviéndose al oeste a 10 m/s10 m/s y a la bicicleta al oeste moviéndose al oeste a y a la bicicleta al oeste moviéndose al oeste a 35 m/s35 m/s..

Vería a la Tierra moviéndose al oeste a Vería a la Tierra moviéndose al oeste a 10 m/s10 m/s y a la bicicleta al oeste moviéndose al oeste a y a la bicicleta al oeste moviéndose al oeste a 35 m/s35 m/s..

10 10 m/sm/s

35 m/s

0 m/sesteeste

oesteoeste

Plataforma como referencia

10 10 m/sm/s

35 m/s

0 m/sesteeste

oesteoeste

Plataforma como referencia

TierraTierra

25 m/s

10 m/s

esteeste

oesteoeste

Tierra como referencia

00

Marco de Marco de referencireferenciaa

Considere las Considere las velocidades de tres velocidades de tres diferentes marcos de diferentes marcos de referencia.referencia.

0 m/s

35 m/sesteeste

oesteoeste

Bicicleta como referencia

25 25 m/sm/s

Rapidez de la luz Rapidez de la luz constanteconstante

Plataforma v = 30 m/s a la derecha en relación con el suelo.

10 m/s

10 m/s

c c

Velocidades observadas dentro del

carro

La luz de dos linternas y las dos bolas La luz de dos linternas y las dos bolas viajan en viajan en direcciones opuestasdirecciones opuestas. Difieren . Difieren as velocidades observadas de la bola, as velocidades observadas de la bola, pero pero la rapidez de la luz es independiente la rapidez de la luz es independiente de la direcciónde la dirección..

40 m/s

20 m/s

cc

Velocidades observadas desde afuera del carro

Rapidez de la luz (Cont.)Rapidez de la luz (Cont.)La plataforma se mueve a 30 m/s a la derecha en

relación con el niño.

10 m/s

10 m/s

c c 30 30 m/sm/s

Cada observador vec = 3 x 108 m/s

El observador externo ve velocidades muy diferentes

para las bolas.

La rapidez de la luz no es afectada por el movimiento relativo y es exactamente

igual a:c = 2.99792458 x 108 m/s

OT

OOEE

Eventos simultáneosEventos simultáneosEl juicio de los eventos simultáneos también es El juicio de los eventos simultáneos también es cuestión de relatividad. Considere al observador cuestión de relatividad. Considere al observador OOTT sentado en el tren en movimiento mientras el sentado en el tren en movimiento mientras el observador observador OOEE está en el suelo. está en el suelo.

En t = 0, el En t = 0, el relámpago golpea relámpago golpea tren y suelo en tren y suelo en AA y y BB..El observador El observador OOEE ve ve los eventos los eventos relámpago relámpago AAEE y B y BEE

como como simultáneossimultáneos..El observador El observador OOTT dice que el evento dice que el evento BBTT ocurre ocurre antes queantes que el evento el evento AATT debido al movimiento debido al movimiento

del tren. ¡Cada observador tiene razón!del tren. ¡Cada observador tiene razón!

BBEE

BT

AAEE

AT

No simultáneos

SimultáneosSimultáneos

A B

Mediciones de tiempoMediciones de tiempo

Dado que la medición Dado que la medición de tiempo involucra de tiempo involucra juicios acerca de juicios acerca de eventos simultáneos, eventos simultáneos, se puede ver que el se puede ver que el tiempo también se tiempo también se puede afectar por el puede afectar por el movimiento relativo de movimiento relativo de los observadores. los observadores.

De hecho, la teoría de Einstein muestra que los observadores en movimiento relativo juzgarán los tiempos de modo diferente; más aún, cada uno tiene razón.

De hecho, la teoría de Einstein muestra que los observadores en movimiento relativo juzgarán los tiempos de modo diferente; más aún, cada uno tiene razón.

Tiempo relativoTiempo relativoConsidere el carro que se mueve con Considere el carro que se mueve con velocidad velocidad vv bajo un techo con espejos. Un bajo un techo con espejos. Un pulso de luz viaja al techo y regresa en el pulso de luz viaja al techo y regresa en el tiempo tiempo ttoo para el pasajero y en el tiempo para el pasajero y en el tiempo tt para el observador.para el observador.

Trayectoria de luz para el pasajero

d0

2dc

t

toTrayectoria de

luz para el observador

dxx

R

t

R2R

ct

; 2 2

c t v tR x

Tiempo relativo (Cont.)Tiempo relativo (Cont.)

Sustitución de:Sustitución de:

0

2

c td

22 2

0

2 2 2

c tc v

t t

0

2 21

tt

v c

0

2 21

tt

v c

Trayectoria de luz para el pasajero

d0

2dc

t

to

dR

t

2

c

t2v t

2 22

2 2

c vd

t t

Ecuación de dilatación del Ecuación de dilatación del tiempotiempo

Ecuación de dilatación del

tiempo de Einstein:

0

2 21

tt

v c

tt = = tiempo relativotiempo relativo (tiempo medido en un (tiempo medido en un marco que se mueve en relación con el marco que se mueve en relación con el evento real).evento real).

ttoo== tiempo propiotiempo propio (tiempo medido en el mismo (tiempo medido en el mismo marco que el evento mismo).marco que el evento mismo).

v v = = velocidad relativa de dos marcos.velocidad relativa de dos marcos.

c c = = rapidez de la luz en el espacio vacío (rapidez de la luz en el espacio vacío (cc = 3 x = 3 x 101088 m/s m/s).).

Tiempo propioTiempo propioLa clave para aplicar la ecuación de dilatación La clave para aplicar la ecuación de dilatación del tiempo es distinguir claramente entre del tiempo es distinguir claramente entre tiempo propio tiempo propio ttoo y y tiempo relativo tiempo relativo tt. . Observe el ejemplo:Observe el ejemplo:

Tiempo propio

d

to

Marco del

evento

Tiempo relativo

t

Marco relativo

t > to

Ejemplo 1:Ejemplo 1: La nave La nave AA pasa a la nave pasa a la nave BB con con una rapidez relativa de 0.8c (ocho por una rapidez relativa de 0.8c (ocho por ciento la rapidez de la luz). Una mujer a ciento la rapidez de la luz). Una mujer a bordo de la nave bordo de la nave BB tarda tarda 4 s4 s en caminar la en caminar la longitud de su nave. ¿Qué tiempo registra longitud de su nave. ¿Qué tiempo registra el hombre en la nave el hombre en la nave AA??

v = 0.8c

A

B

Tiempo propio to = 4 s

0

2 21

tt

v c

0

2 21

tt

v c

Encontrar tiempo relativo t

2 2

4.00 s 4.00 s

1- 0.641- (0.8 ) /t

c c t = 6.67

s

Paradoja de los gemelosParadoja de los gemelosUn par de Un par de gemelos está gemelos está en la Tierra. en la Tierra. Uno sale y Uno sale y viaja durante viaja durante 10 años a 0.9c.10 años a 0.9c.

Cuando el viajero Cuando el viajero regresa, ¡es 23 regresa, ¡es 23 años más viejo años más viejo debido a la debido a la dilatación del dilatación del tiempo!tiempo!

¡El viaje duplica la edad del

viajero!

0

2 21

tt

v c

0

2 21

tt

v c

Paradoja:Paradoja: Puesto que el Puesto que el movimiento es relativo, ¿no movimiento es relativo, ¿no es cierto también que el es cierto también que el hombre que permaneció en hombre que permaneció en la Tierra debe ser 23 años la Tierra debe ser 23 años más viejo?más viejo?

Explicación de la paradoja de los Explicación de la paradoja de los gemelosgemelos

El movimiento del El movimiento del gemelo viajero no gemelo viajero no era uniforme. Se era uniforme. Se necesitaban necesitaban aceleración y aceleración y fuerzas para ir a y fuerzas para ir a y regresar del regresar del espacio.espacio.El viajero El viajero envejece más envejece más y no el que se y no el que se quedó en quedó en casa.casa.

¡El gemelo viajero envejece

más!

Esto NO es ciencia ficción. Esto NO es ciencia ficción. Relojes atómicos colocados a Relojes atómicos colocados a bordo de aviones que dan la bordo de aviones que dan la vuelta a la Tierra y regresan vuelta a la Tierra y regresan han verificado la dilatación han verificado la dilatación del tiempo.del tiempo.

Contracción de la longitudContracción de la longitud

0.9cLo

L

Como el movimiento Como el movimiento relativo afecta al relativo afecta al tiempo, la longitud tiempo, la longitud también será diferente:también será diferente:

2 20 1L L v c

2 20 1L L v c

LLoo es longitud es longitud propiapropiaL L es longitud es longitud relativarelativa

Los objetos en movimiento se acortan Los objetos en movimiento se acortan debido a la relatividad.debido a la relatividad.

Los objetos en movimiento se acortan Los objetos en movimiento se acortan debido a la relatividad.debido a la relatividad.

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Un metro se mueve a 0.9c Un metro se mueve a 0.9c en relación con un observador. ¿Cuál es en relación con un observador. ¿Cuál es la longitud relativa que ve el la longitud relativa que ve el observador?observador?

0.9c

1 mLo

L = ¿?

2 20 1L L v c

2 20 1L L v c

2 2(1 m) 1 (0.9 ) /L c c

(1 m) 1 0.81 0.436 mL

Longitud registrada por el Longitud registrada por el observador:observador:

L = 43.6 cmL = 43.6 cm

Si el observador en el suelo sostiene un Si el observador en el suelo sostiene un metro, desde la nave se vería la misma metro, desde la nave se vería la misma contracción.contracción.

Acortamiento de los Acortamiento de los objetosobjetos

Note que es la Note que es la longitudlongitud en la dirección en la dirección del movimiento relativo la que se del movimiento relativo la que se contrae y no las dimensiones contrae y no las dimensiones perpendiculares al movimiento.perpendiculares al movimiento.

0.9c

Wo

W<Wo

1 m =1 m

Si el metro tiene 2 cm Si el metro tiene 2 cm de ancho, cada uno de ancho, cada uno dirá que el otro sólo dirá que el otro sólo tiene 0.87 cm de tiene 0.87 cm de ancho, pero ancho, pero concordarán en la concordarán en la longitud.longitud.

Suponga que Suponga que cada cada uno uno sostiene un sostiene un metro.metro.

Cantidad de movimiento Cantidad de movimiento relativistarelativista

Las leyes básicas de conservación para cantidad de Las leyes básicas de conservación para cantidad de movimiento y energía no se pueden violar por la movimiento y energía no se pueden violar por la relatividad.relatividad.La ecuación de Newton para cantidad de La ecuación de Newton para cantidad de movimiento movimiento ((mvmv) se deben cambiar del modo ) se deben cambiar del modo siguiente para explicar la relatividad:siguiente para explicar la relatividad:

0

2 21

m vp

v c

Cantidad de movimiento relativista:

mmoo es la es la masa propiamasa propia, con frecuencia , con frecuencia llamada llamada masa en reposomasa en reposo. Note que, para . Note que, para grandes valores de grandes valores de vv, esta ecuación se , esta ecuación se reduce a la ecuación de Newton.reduce a la ecuación de Newton.

Masa relativistaMasa relativistaSi se debe conservar la cantidad de movimiento, la Si se debe conservar la cantidad de movimiento, la masa relativista masa relativista mm debe ser consistente con la debe ser consistente con la siguiente ecuación:siguiente ecuación:

0

2 21

mm

v c

Masa

relativista:

Note que, conforme un objeto acelera por Note que, conforme un objeto acelera por una fuerza resultante, su masa aumenta, una fuerza resultante, su masa aumenta, lo que requiere todavía más fuerza. Esto lo que requiere todavía más fuerza. Esto significa que:significa que:

¡La rapidez de la luz es una rapidez ¡La rapidez de la luz es una rapidez final!final!

¡La rapidez de la luz es una rapidez ¡La rapidez de la luz es una rapidez final!final!

Ejemplo 3: Ejemplo 3: La masa en reposo de un La masa en reposo de un electrón es electrón es 9.1 x 109.1 x 10-31-31 kg kg. ¿Cuál es la . ¿Cuál es la masa relativista si su rapidez es masa relativista si su rapidez es 0.80.8cc ? ?

- 0.80.8cc

mmoo = 9.1 x 10= 9.1 x 10-31-31 kg kg0

2 21

mm

v c

-31 -31

2 2

9.1 x 10 kg 9.1 x 10 kg

0.361 (0.6 )m

c c

m = 15.2 x 10-31 kg

¡La masa ¡La masa aumentó 67% !aumentó 67% !

Masa y energíaMasa y energíaAntes de la teoría de la relatividad, los Antes de la teoría de la relatividad, los científicos consideraban masa y energía como científicos consideraban masa y energía como cantidades separadas, cada una de las cuales cantidades separadas, cada una de las cuales se debe conservar.se debe conservar.

Ahora masa y energía Ahora masa y energía se deben considerar se deben considerar como la misma como la misma cantidad. ¡La cantidad. ¡La masamasa de de una pelota de béisbol se una pelota de béisbol se puede expresar en puede expresar en joulesjoules o su o su energíaenergía en en kilogramoskilogramos! El ! El movimiento movimiento se agregase agrega a a la masa-energía.la masa-energía.

Energía relativista totalEnergía relativista totalLa fórmula general para la energía La fórmula general para la energía relativista total involucra la masa en relativista total involucra la masa en reposo reposo mmoo y la cantidad de movimiento y la cantidad de movimiento relativista relativista p = mvp = mv..

Energía total, E

2 2 20( )E m c p c

Para una partícula con Para una partícula con cantidad de movimiento cantidad de movimiento cero cero p = 0p = 0::

Para una onda EM, mPara una onda EM, m00 = 0, y = 0, y E E se simplifica se simplifica a:a:

E = moc2

E = pc

Masa y energía (Cont.)Masa y energía (Cont.)El factor de conversión entre masa m y energía E es:

Eo = moc2

El subíndice cero se refiere a valores El subíndice cero se refiere a valores propiospropios o en o en reposoreposo..

Un bloque de 1 kg sobre una masa Un bloque de 1 kg sobre una masa tiene una energía tiene una energía EEoo y masa y masa mmoo

relativos a la mesa:relativos a la mesa:

1 kg

EEoo = (1 kg)(3 x 10 = (1 kg)(3 x 1088 m/s)m/s)22

Eo = 9 x 1016 J

Si el bloque de 1 kg está en movimiento Si el bloque de 1 kg está en movimiento relativo, su energía cinética se agrega a la relativo, su energía cinética se agrega a la energía totalenergía total..

Energía totalEnergía totalDe acuerdo con la teoría de Einstein, la De acuerdo con la teoría de Einstein, la energía total energía total E E de una partícula está de una partícula está dada por:dada por:

Energía total: E = mc2

La energía total incluye energía en reposo La energía total incluye energía en reposo y energía de movimiento. Si está sólo y energía de movimiento. Si está sólo interesado en la energía de movimiento, interesado en la energía de movimiento, debe restar debe restar mmoocc22..

Energía cinética: K = (m – mo)c2

((mmoocc22 + K) + K)

Energía cinética: Energía cinética: K K = = mcmc2 2 – m– moocc22

Ejemplo 4:Ejemplo 4: ¿Cuál es la energía cinética de ¿Cuál es la energía cinética de un protón (mun protón (moo = 1.67 x 10 = 1.67 x 10-27-27 kg) que viaja kg) que viaja a 0.8c?a 0.8c?

+ 0.70.7cc

mmoo = 1.67 x 10= 1.67 x 10-27-27 kg kg0

2 21

mm

v c

-27 -27

2 2

1.67 x 10 kg 1.67 x 10 kg

0.511 (0.7 )m

c c

; m = 2.34 x 10; m = 2.34 x 10-27 -27

kgkg

K = (m – mK = (m – moo)c)c22 = = (2.34 x 10(2.34 x 10-27 -27 kg – 1.67 x 10kg – 1.67 x 10-17 -17

kg)kg)cc22

Energía cinética relativista K = 6.02 x 10-11 J

Energía cinética relativista K = 6.02 x 10-11 J

ResumenResumenLa La Teoría Especial de la RelatividadTeoría Especial de la Relatividad de de Einstein, publicada en 1905, se basó en Einstein, publicada en 1905, se basó en dos postulados:dos postulados:

I. Las leyes de la física son las mismas I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia para todos los marcos de referencia que se mueven con velocidad que se mueven con velocidad constante uno con respecto al otro.constante uno con respecto al otro.

I. Las leyes de la física son las mismas I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia para todos los marcos de referencia que se mueven con velocidad que se mueven con velocidad constante uno con respecto al otro.constante uno con respecto al otro.

II. La rapidez de la luz II. La rapidez de la luz cc en el espacio libre en el espacio libre es constante para todos los es constante para todos los observadores, independiente de sus observadores, independiente de sus estados de movimiento. (estados de movimiento. (cc = 3 x 10 = 3 x 1088 m/sm/s))

II. La rapidez de la luz II. La rapidez de la luz cc en el espacio libre en el espacio libre es constante para todos los es constante para todos los observadores, independiente de sus observadores, independiente de sus estados de movimiento. (estados de movimiento. (cc = 3 x 10 = 3 x 1088 m/sm/s))

Resumen (Cont.)Resumen (Cont.)

0

2 21

mm

v c

Masa

relativista:

0

2 21

tt

v c

Tiempo

relativista:

2 20 1L L v c Longitud

relativista:

Resumen (Cont.)Resumen (Cont.)

Energía total: E = mc2

Energía cinética: K = (m – mo)c2

0

2 21

m vp

v c

Cantidad de movimiento relativista:

CONCLUSIÓN: Capítulo CONCLUSIÓN: Capítulo 38A38A

RelatividadRelatividad