77

第四章 控制系統穩定性分析

4-1 穩定性定義

a. 時域定義：

若且唯若一線性系統稱為穩定，則對任一有限輸入均產生一有限輸出。此

穩定性的定義係基於系統研究之起因-效應或輸入-輸出之觀點。為闡示此定義，

下兩圖表示外加脈衝函數且產生響應之系統，上圖兩者(輸入與輸出)均為有限，

故此系統稱為穩定。而下圖有相同的有限脈衝函數外加至系統，但響應為無限，

故此系統為不穩定。

b. s 域定義：

通常系統整體轉移函數如下：

qn,a...sasas

b...sbs)s(M

n

2n

1

1n

0

n

q

1q

1

q

上式可以部份分式展開法分解成下列的形式：

n

n

2

2

1

1

s

k...

s

k,

s

k)s(M

78

其中 ，i

為特性方程式( 0a...sasn

1n

0

n )的根，由反拉氏轉換得

t

n

t

2

t

1

1n21 ek...ekek)t(m

顯然，M(s)的穩定性與 m(t)的限度有關，且 m(t)與i

的正負號有關。通常i

為複

變數，若其實部均小於零，則響應將立刻消滅。故顯示一有限輸出的系統，是屬

於穩定的系統。例如：

t6

n

t)5j2(

3

t)5j2(

2

t

11ekekekek)t(m

t2

d

t)8j2(

c

t)8j2(

b

t

a2ekekekek)t(m

m1(t)係一穩定響應，故 M1(s)為穩定系統。然而 m2(t)有一i

具有正實部，則當 t

達到無窮時，響應成為無限，因此 M2(s)為不穩定系統。因此，於線性系統中，

穩定性的研究變成特性方程式的根的正負號研究。以圖形而言，確定是否所有的

特性根均位於 s 平面的左半面。

4-2 系統穩定性的判斷方法：

判斷系統的穩定性的方法一般是：在無外力作用下，系統內部由初始狀態隨

時間自然的變化的情況來定義，或者說系統由平衡點作微小的偏移後(可利用外

部脈衝)，系統是否會再回到平衡點來判斷。

平衡點的的定義：在無外力干擾下，系統的狀態不隨時間改變，該點稱為系統的

平衡點。

79

我們說一個系統是穩定的，代表此系統能趨於一個不變的狀態，或者說它對外界

的干擾具抵抗性，即外界的干擾不影響其最終的結果，如下圖所示。

4-3 微分方程式的穩定性

我們知道在解微分方程式的過程中，微分方程式的特性方程式的根決定了

系統響應的模態。因此，也決定了系統的穩定性，如下表所示。

80

下圖則為複數平面上不同根位置的動態特性，其說明了系統穩定性外，也表現出

系統的性能。

零輸入下不同特徵根位置之初始狀態變化情形

81

同樣地，系統經拉氏轉換後，系統的模態則變由轉移函

數中特徵方程式的根來決定，因此我們可以得到以下結論：

若系統特徵方程式的根，其實部都為負的，或說當根都

在複數平面的左半面時，則稱此系統為穩定系統。若系統特

徵方程式存在至少一個具正實部的根，則系統為不穩定系

統。若系統特徵方程式的根除了穩定根之外，存在至少一個

根其實部為零，則稱此系統為臨界穩定系統。

例：判斷具下列特徵方程式之系統的穩定性?

(a) s3 + 2s

2 + s + 2 = 0

(b) s5 + s

4 + 3s

3 + 7s

2 + 4s = 0

(c) 2s3 + 5s

2 + 8s + 3 = 0

(d) 2s4 + 9s

3 + 16s

2 + 14s + 4 = 0

解：

(a) 由觀察法直接分解可得

s3 + 2s

2 + s + 2 = s

2 (s+2)+ s + 2 = (s

2 +1)( s + 2)

= (s+2)(s+j)(s-j)

故特徵方程式的根為 1 個負根與 2 個虛軸上的根，因此系

統為臨界穩定。

(b) P(s) = s5 + s

4 + 3s

3 + 7s

2 + 4s = s(s

4 + s

3 + 3s

2 + 7s + 4)

= s(s+1)2(s

2 -s+4) = s(s+1)

2[s-(1+ 15 j)/2][s-(1- 15 j)/2]

故特徵方程式的根為 2 個負根、2 個正根與 1 個位於原點，

因此系統為不穩定。

(c) P(s) = 2s3 + 5s

2 + 8s + 3 = (2s+1)( s

2 +2s+3)

= (2s+1)(s+1+ 2 j)(s+1- 2 j)

故特徵方程式的根均為負實部的根，因此系統為穩定。

(d) P(s)=2s4 + 9s

3 + 16s

2 + 14s + 4 = (2s+1)(s+2)(s+1- 3 j)

(s+1+ 3 j)

故特徵方程式的根均為負實部的根，因此系統為穩定。

82

4-4 穩定性判斷法

判斷系統的穩定性，大致有下面的方法：

(1) 直接法：直接解出特性方程式的根，但對於高階系統

不見得好解，至於時變及非線性系統更有困難。

(2) 間接法：線性非時變系統可利用羅斯準則(Routh

criterion)判斷，不解出系統的根，但可判斷出系統的

絕對穩定性及相對穩定性，其他尚有系統以狀態空間

描述時 Lyapunov 法及非線性系統的 Popov 法則。

(3) 設計法：這裡包括根軌跡法、奈圭斯特準則及波德

圖法。這些方法除了用於系統的分析與控制器的設計

外，亦常拿來作為閉迴路系統穩定性或穩定裕度的判

斷工具

本節針對羅斯準則討論，考慮系統轉移函數之分母或系

統特徵方程式如下：

ansn +an-1 s

n-1 +…+a1s + a0 = 0

我們知道方程式的係數是所有根規則的組合，因此系統

特徵根均為負的必要條件為所有的係數均同號且不缺

項。滿足上述必要條件後，即可以羅斯法加以判斷。

將系統特徵方程式排成羅斯表(Routh table)

83

若計算後羅斯表第一行的值都為正值，則系統特徵根均為負

根，若有負值則符號改變次數即為正根數目。

例 1：判斷下列特徵方程式的穩定性

s4 + 5s

3 + 10s

2 + 10s + 4 =0

s4 1 10 4

s3 5 10

s2 (50-10)/5=8 4

s (80-20)/8= 15/2

s0 4

因羅斯表第一行的值都為正值，故系統特徵根均為負

根，即系統是穩定的。

例 2：判斷下列特徵方程式的穩定性

s4 + 2s

3 + s

2 + 4s + 4 =0

解：

s4 1 1 4

s3 2 4

s2 (2-4)/2=-1 8/2=4

s (-4-8)/(-1)= 12

s0 4

因羅斯表第一行有兩次正負變化，故系統有 2 特徵根為正

根，即系統是不穩定的。

84

例3 求滿足下圖中系統的特徵方程式及穩定的 K 值範圍?

＋

－

解：

G

系統的整體轉移函數為 GC(s) =

1+GH

其中 H=1，G=K/[(s+1)( s2+2s-1)]，代入上式可得

閉迴路系統特徵方程式為

s3 +3 s

2 +s +(K-1) =0

排出羅斯表

s3 1 1

s2 3 K-1

s (4-K)/3

s0 K-1

滿足系統穩定的條件為 4-K﹥0 且 K-1﹥0，

因此有 1﹤K﹤4。

羅斯表之應用除可判斷系統穩定性之外，尚由於其簡單

易解，可大量節省計算時間。當系統有不穩定時，其可利用

於系統組件參數異常之判斷。當應用於上述例題之控制器設

計時，其亦可大幅降低補償器修改與調整之測詴時間。

1

(s+1)(s2+2s-1)

K

85

4-5 羅斯準則之特殊情況

當進行羅斯準則測詴時，依所測詴的方程式常會發生以

下困難：

1.表中任何一列的第一個元素為零而其他元素卻不等於零。

2.表中有一列全部為零。

第一種情況，如果某一列第一位置出現零，則在下一列

的元素將全部變成無窮大，於是羅斯表就中斷了。這種情況

可以任意小的正數ε代替羅斯表中的零元素，然後繼續進行

測詴，用以下例題來加以說明。

例 4：判斷下列特徵方程式的穩定性

s4 + s

3 + 2s

2 + 2s + 3 =0

s4 1 2 3

s3 1 2

s2 0 3

s ∞

因 s2列的第一元素為零，造成 s 列的元素為∞，用一個小正

數ε取代 s2列內的零元素，可得

s2 ε 3

s (2ε-3)/ε 0

s0 3

因為假設ε為很小正數，所以(2ε-3)/ε趨近於-3/ε，是一負

數，故第一行有兩次符號改變，所以有兩根在右半 s 平面內。

86

第二種情況：有一列元素全為零時，依以下步驟建羅

斯表：

1. 利用零列的前一列係數構成輔助方程式 A(s)=0。

2. 對輔助方程式取 s 的微分,即求 dA(s)/ds=0。

3. 用 dA(s)/ds=0 的係數取代零列。

4. 用一般方法繼續完成羅斯表。

5. 判斷第一行係數的符號改變。

輔助方程式的根也是原方程式的根，且其為一個偶次多項

式，即多項式內只出現 s 的偶次項。

例 5：判斷下列特徵方程式的穩定性

s5 + 4s

4 + 8s

3+ 8s

2 + 7s + 4 =0

s5 1 8 7

s4 4 8 4

s3 6 6 0

s2 4 4

s 0 0

由於 s 列的所有元素為零，故用 s2列的係數構成輔助方程式

A(s) = 4s2 + 4 = 0

將 A(s)對 s 微分得 dA(s)/ds = 8s

用 8 和 0 取代原 s 列係數

s 8 0

s0 4

由於第一行無符號改變，故無右半 s 平面內的根，解輔助方

程式可得兩個根為±j，其同時為原式的根，所以系統為臨界

穩定。

87

4-6 控制系統的相對穩定性

用羅斯準則確認穩定性的方式，只對穩定性的問題提供

部份的答案，藉由檢查特性方程式的根是否落在 s 平面右半

面，羅斯準則可確認系統的絕對穩定度，如果系統滿足羅斯

準則而且是絕對穩定，就有必要決定相對穩定性，也就是說

必須研究特性方程式各個根的相對阻尼。

系統的相對穩定性定義為各個根或共軛根對的相對實

部來衡量的性質，如 P.87 圖 3-5 中，愈靠左邊的根，其離虛

軸愈遠，則其相對穩定性愈好。系統的相對穩定性也可用複

數根對的相對阻尼系數ζ來定義，如此一來則是以響應速度

和超越量取代安定時間，來描述相對穩定度，此將於下一章

詳細探討之。

因為系統的相對穩定性，是以特性方程式根的位置來表

示，所以可在 s 平面上，將羅斯準則加以引申使用，以確定

相對穩定性，也就是移動 s 平面上的座標軸，以便使用羅斯

準則，靠這種方法不用解出特性方程式的根，即可決定主要

根的實部。移動 s 平面軸以確定系統的相對穩定性，是非常

有用的方法，特別是對擁有多個閉回路複數共軛根對的高階

系統更是如此。

由於數位電腦的高速發展，利用套裝軟體 MATLAB 計

算特性方程式的根，是一極為簡易且精確的方法，當特性方

程式為單一參數的函數時，對參數的改變，可產生一圖形來

展現極點的移動軌跡，稱為根軌跡圖，根軌跡對設計和分析

回授控制系統來說，是強而有力的工具，將於下節討論，吾

人將討論如何用手繪方式求得一根軌跡圖的實用技巧，也將

討論如何用電腦來產生根軌跡圖，並在設計程序中說明根軌

跡的效果。

88

4-7 根軌跡技巧

在設計控制系統時，必須先研究當系統的一個或多個參

數在某一已知範圍內變化時，對該系統的工作性能的影響。

因為特性方程式在線性系統的動態性能裡扮演著重要的角

色，所以在線性控制系統的理論裡，研究當系統的某一參數

變化，特性方程式根的軌跡或簡稱為根軌跡，是個重要的問

題。事實上，在上一章的例題中已經顯示出根軌跡在研究線

性控制系統時的重要性。

通常單一可變參數根軌跡的問題可用下列形式的方程

式來定義

F(s) = sn + a1s

n-1 +…..+ an-1s

+ an

+K(sm

+ b1sm-1

+….+bm-1s+ bm)=0

其中 K 是參數，可在-∞和∞之間變化，係數 a1，…，an，b1 ，…，

bm-1，bm假設為固定的。

雖然上式中當 K 在-∞和∞之間變化時，稱為根軌跡，

但仍須做下列之定義：

1. 根軌跡：在 K 為正值時的部份，即 0≦K＜∞。

2. 互補根軌跡：在 K 為負值時的部份，即-∞≦K＜0。

3. 根廓線(root contours)：當一個以上的參數變化時的軌跡。

根軌跡與互補根軌跡的結合稱為完全根軌跡。

4-7-1 根軌跡的基本條件

若將上式等號兩邊同除以不包含 K 的項可得

011

1

1

1

1

1

nn

nn

mm

mm

asa...sas

)bsb...sbs(K

89

由前式獲得上式的步驟在許多其他的分析和設計的情

況裡是很有用的，由於缺乏一個較適當的名字，我們將特性

方程式等號兩邊同除以一個不含K之項的過程稱為黃金法則

(Golden Rule)。

因為我們的興趣主要是在控制系統，所以考慮前式為線

性控制系統的特性方程式，而線性控制系統的閉迴路轉移函

數為

)s(H)s(G

)s(G

)s(R

)s(C

1

設 1+G(s)H(s)為零，就可獲得特性方程式，或者特性方程式

的根必須滿足

1+G(s)H(s) = 0

比較第二式與上式可看出下列的關係是成立的：

nn

nn

mm

mm

asa...sas

)bsb...sbs(K)s(H)s(G

1

1

1

1

1

1

其中 G(s)H(s)為控制系統的迴路轉移函數，現在可以定義一

完全根軌跡為：在 s 平面上當 K 在-∞和∞之間變化時，令

G(s)H(s) = K G1(s)H1(s)

其中 G1(s)H1(s)不再包括可變參數 K，則式可寫成

K)s(H)s(G

111

為了滿足這個方程式，必須同時滿足下列的條件：

90

其中 K=0, ±1，…..(所有的整數)。實際上，完全根軌跡是由

在 s 平面上滿足上式中之相角方程式的所有點組成的，然後

以上式中增益方程式求出沿著軌跡的 K 值。

根軌跡的構成根本上是畫圖的問題，雖然有些作圖的規

則是以解析的方式得到。藉著根軌跡性質的幫助，使得根軌

跡圖的實際作圖工作，在大多數的情況下並不是複雜得難以

克服，正常情況下靠著分析者的一些經驗，根軌跡可藉著作

圖規則而畫出。若事先不知道 G(s)H(s)的極點和零點，則必

須要使用數位計算機的程式或解析的方法來畫根軌跡圖，在

應用任何工程器械或數值方法之前，都必須對基本原理有徹

底的了解，方能成功的應用。

4-7-2 完全根軌跡的作圖規則

下列的作圖規則是由 G(s)H(s)的極點和零點間的關係發

展而來，這些規則只用來幫助根軌跡和互補根軌跡的作圖，

而不能提供確實的圖形。G(s)H(s)的極點和零點可表示如下

式：

K

1

)ps)...(ps)(ps(

)zs)...(zs)(zs(

a...sas

b...sbs)s(H)s(G

n21

m21

n

1n

1

n

m

1m

1

m

11

91

92

93

4-7-3 使用 MATLAB 繪製根軌跡圖

以 MATLAB 獲得根軌跡圖的步驟如下：

1.獲得如式(6-4)及式(6-5)之形式的特性方程式，其中 K 是變

化的參數。

2.使用 rlocus 函數來產生根軌跡圖。

3.執行 rlocfind 函數會在根軌跡圖上出現一交叉線的符號，可

以移動此交叉線，到軌跡上有興趣的位置，並敲下輸入鍵，

參數 K 的值及所選擇點的值會顯示在指令視窗內。