§2 线性空间的定义与简单性质　　　

§2 §2 线性空间的定义线性空间的定义与简单性质　　　与简单性质　　　

§3 §3 维数维数 ·· 基与坐标基与坐标

§4 §4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换

§1 §1 集合集合 ·· 映射映射 §5 §5 线性子空间线性子空间

§7 §7 子空间的直和子空间的直和

§8 §8 线性空间的同构线性空间的同构

§6 §6 子空间的交与和子空间的交与和

小结与习题小结与习题

第六章线性空间第六章线性空间

§§6.26.2 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质

一、一、线性空间的定义线性空间的定义

二、线性空间的简单性质二、线性空间的简单性质

§6.2 §6.2 线性空间的定义线性空间的定义与简单性质与简单性质


1 2 1 2 1 1 2 2( , , , ) ( , , , ) ( , , , )n n n na a a b b b a b a b a b

1 2 1 2( , , , ,, ) ( , , )n nk a a a ka kka ka P

而且这两种运算满足一些重要的规律 , 如

引例引例 11

空间 Pn ，定义了两个向量的加法和数量乘法：

在第三章 §2 中，我们讨论了数域 P 上的 n 维向量

0 ( ) ( )

( ) 0

1 ( ) ( )k l kl

( )k l k l ( )k k k

, , , ,nP k l P


同样满足上述这些重要的规律，即

( ), ( ), ( ) [ ],

,

f x g x h x P x

k l P

( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x

数域 P 上的一元多顶式环 P[x] 中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( ))f x g x h x f x g x h x

( ) ( ) ( ) ( )k l f x kl f x1 ( ) ( )f x f x

( ) ( ( )) 0f x f x ( ) 0 ( )f x f x

( ) ( ) ( ) ( )k l f x kf x lf x ( ( ) ( )) ( ) ( )k f x g x kf x kg x

引例引例 22


一、线性空间的定义一、线性空间的定义设 V 是一个非空集合， P 是一个数域，在集合 V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对　　　　　， , V

在 V 中都存在唯一的一个元素　与它们对应，称　为

　　的和，记为　　　；在 P 与 V 的元素之间还与

定义了一种运算，叫做数量乘法：即 , ,V k P

在 V 中都存在唯一的一个元素 δ 与它们对应，称 δ 为　　的数量乘积，记为如果加法和数量乘k 与 .k

法还满足下述规则，则称 V 为数域 P 上的线性空间：


加法满足下列四条规则：

①

1 ⑤ ⑥ ( ) ( )k l kl 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ ( )k l k l

（具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素）

数量乘法满足下列两条规则 :

② ( ) ( )

⑧ ( )k k k

, , V

④ 对都有 V 中的一个元素 β ，使得　 ,V ; （ β 称为的负元素） 0

③ 在 V 中有一个元素 0 ，对 , 0V 有


3 ．线性空间的判定：

注：注：　　 1 ．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也

2 ．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．

称为线性运算．

就不能构成线性空间．

运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合

若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者


例 1 　引例 1, 2 中的 Pn, P[x] 均为数域 P 上的线性空间．

例 2 　数域 P 上的次数小于 n 的多项式的全体，再添

的加法和数量乘法，构成数域 P 上的一个线性空间，

法构成数域 P 上的一个线性空间，常用 P[x]n 表示．

上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘

11 1 0 1 1 0[ ] { ( ) , , , }n

n n nP x f x a x a x a a a a P

例 3 　数域 P 上　　矩阵的全体作成的集合 , 按矩阵m n

用表示．m nP


例 5 　全体正实数 R ＋，

logbaa b kk a a

a b ab kk a a判断 R ＋是否构成实数域 R 上的线性空间 .

1) 加法与数量乘法定义为： , ,a b R k R

2) 加法与数量乘法定义为： , ,a b R k R

例 4 　任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个

数域 P 上的线性空间．


1 ） R ＋不构成实数域 R 上的线性空间 .

⊕ 不封闭，如 1

22

12 log 1

2 R ＋．

2) R ＋构成实数域 R 上的线性空间．

首先， R ＋≠ ，且加法和数量乘法对 R ＋是封闭的 .

, , ka R k R k a a R , 且 ak 唯一确定．

解：解：

, ,a b R a b ab R , 且 ab 唯一确定；事实上 ,

其次，加法和数量乘法满足下列算律

② ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c ab c ab c a bc a bc a b c ① a b ab ba b a


③ R ＋， 1 1 1 ,a a a a R ＋，即 1 是零元；

④ a R ＋， 1

aR ＋，且

1 11a a

a a

即　a 的负元素是　；1

a

⑤ 11 a a a ; a R ＋；

⑥ ( ) ( ) ( )l l k l k klk l a k a a a a kl a ;

( ) ( ) ( )k l k l k lk l a a a a a a k a l a ⑦

⑧ ( ) ( ) ( )k k k k kk a b k ab ab a b a b

∴ R ＋构成实数域 R 上的线性空间．

;( ) ( )k a k b


即 n 　阶方阵 A 的实系数多项式的全体，则 V 关于矩阵

例 6 　令　

( ) ( ) [ ], n nV f A f x R x A R

的加法和数量乘法构成实数域 R 上的线性空间．证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知

( ) ( ) ( ), ( ) ( )f A g A h A kf A d A 其中， , ( ), ( ) [ ]k R h x d A R x

又 V 中含有 A 的零多项式，即零矩阵 0 ，为 V 的零元素 .

以 f(x) 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为－ f(x) , 则 f(A) 有负元素－ f(A). 由于矩阵的加法与数

乘满足其他各条，故 V 为实数域 R 上的线性空间 .


1 、零元素是唯一的 .

2 、，的负元素是唯一的，记为 - ． V 证明：假设有两个负元素 β 、 γ ，则有　

◇ 利用负元素，我们定义减法：

01 ＝ 01 ＋ 02 ＝ 02 ．

证明：假设线性空间 V 有两个零元素 01 、 02 ，则有

0 ( ) ( ) ( ) 0

0, 0

( )

二、线性空间的简单性质二、线性空间的简单性质


∴ 两边加上即得 0 ＝ 0 ；

∵ ( 0) 0k k k k ∴ 两边加上 k ；即得 k 0 ＝ 0 ;

( 1 ) 1 ( 1 ) (1 1) 0 0 ∵

∴ 两边加上－即得 ( 1) ;

∵ ( ) ( )k k k k

即得 ∴ 两边加上 k ( ) .k k k

0 0, 0 0, ( 1) ,

( )

k

k k k

3 、

∵ 0 (0 1) , 证明：


4 、如果 k ＝ 0 ，那么 k ＝ 0 或＝ 0.

1 1 1( ) ( ) 0 0.k k k k k

证明：假若　　　则0,k

练习：练习：

1 、 P273 ：习题 3 　 1 ） 2 ）4 ）　2 、证明：数域 P 上的线性空间 V 若含有一个非零

向量，则 V 一定含有无穷多个向量 .


证：设 , 0V 且

1 2 1 2 1 2, , , ,有k k P k k k k V

1 2 1 2( ) 0k k k k 又－

1 2 .k k

而数域 P 中有无限多个不同的数，所以 V 中有无限多个不同的向量 .

注注只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间 .

§2 线性空间的定义 与简单性质

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§2 线性空间的定义与简单性质　　　