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信号与线性系统分析 陕西理工学院
QQ: 511714259
参考书：吴大正编
《信号与线性系统分析》(第四版)
2014-9-1~2015-2-15
研究对象 • 研究对象：
各类仪器、仪表、设备、机电工具、机电产品和各
种自然现象中的关键物理量(即信号)的演化规律及对
物理量的运算处理特性。
• 抽象研究对象：
由仪器、仪表、工具、设备、机电产品、自然现象
等抽象出来的“信号处理系统”的特性及“信号”的
演化规律。例如RLC串联电路系统及其中的电容电压
1 1''( ) '( ) ( ) ( )
1(0 ) (0 ), y'(0 ) (0 )
s
c L
Ry t y t y t u t
L LC LC
y u ic
研究内容
本课程只研究线性系统与平稳确定型信号相关
的基本概念、基本分析方法、基本计算技巧。具体
研究：
1 线性时不变系统的表示(描述)方法
2 初始能量和输入信号激励的系统响应求解方法
3 系统频域特性(包括滤波特性)分析方法
4 部分系统的电路实现
5 信号的表示(描述)方法
6 信号的时域和频域特性分析方法
7 信号的运算技巧
8 信号与系统分析的相关编程技巧
考核方式 理论考试60%
实验30%
平时考勤及学习态度10%
要求提供32次课堂教学及各次实验课的学习内容及
自己掌握情况的统计表。
缺课６学时及其以上或无课堂笔记或无统计表的，
平时成绩为０。
实验缺１次扣8分。 缺课20%以上或缺实验40%以上
, 总成绩按不及格处理。
课前基础
• 课前基础具备较扎实的
• １高数
• ２普通物理
• ３电路分析
４复变函数与积分变换
５Ｍatlab或Ｍathematica程序设计理论基础。
学习方式
１ 课堂集中学习
２ 课后研读教学参考书
３ 整理听课笔记
４ 演练习题
５ 做实验写报告
６ 讨论交流学习心得
７ 利用理工软件(3M)编程体验式学习。
体验式学习信号的表示、运算、频谱分析，体验式学习
系统的时域和频域分析求解方法、学习用Simulink仿真求系
统数值解的方法、学习用Mathematica求低阶线性系统解析
函数解的方法。
第一章 信号与系统
本章学习内容：
1 信号与系统的概念；
2 信号分类与特殊信号;
3 信号运算及其特性
4 系统特性相关概念；
5 线性时不变系统分析方法；
第一节 信号与系统的概念
信号概念：系统中运动、变化的各种物理量（电流、电压、
光强、力、位移、速度、声音的响度、生物数量）称为信号。
信号实例：各类电子设备中的电流电压，机械设备中可动部件
的位移、速度、角速度；各种通讯网络系统中传送的语音、音
乐、图像、视频、字符数据流、指令。
系统概念：若干相互关联、相互作用的“事物”按一定规律组
成的具有特定功能 的整体称为系统。
系统实例：电路系统，计算机系统，通讯系统，过程控制系统，
人材培养系统，经济系统，生态系统，社会系统。
• 信号与信息的关系
信号是信息的一种载体，信号携带、传递、存储信息。
• 信号与系统的关系：信号存在于系统中，按一定规律运动、变化
（演化）；系统对输入系统之中的信号（激励）进行“加工、处
理”，变换成输出信号（响应）。
• 信号的维数：如果系统中的信号仅随一个独立变量（例如时间，
一维空间）演化，称信号是一维信号，例如声音信号、电路中各
支路的电压电流。如果系统中的信号随3个独立变量演化，则称
信号是三维信号，例如视频信号随两个空间位置和时间演化。随
时间变化的信号称动态信号，不随时间变化的信号称静态信号。
信号理论研究内容： 信号的表示、信号分析
（例如频谱分析）、信号传输、信号处理(例如
滤波)、信号综合（例如信号合成、信号运算）。
系统理论研究内容：
系统表示（微分差分方程，框图、流图）、
系统分析（系统函数、单位冲激响应、单位阶
跃响应、系统频谱特性、给定初值和输入信号
激励下响应）、系统综合（多系统串联、并联、
混联）。
本课程研究内容
信号的表示（数组或函数表示、图示、用基本信号
叠加表示）；信号运算（乘数“放大”，反转、平移，
沿自变量轴的放缩，积分累加，差分求导，两信号相加、
相乘）；信号分析（频谱分析，信号的傳里叶级数或积
分表示）。
系统的单位冲激(或脉冲)响应、单位阶跃响应；系
统在给定输入信号激励下的零状态响应；系统在初始能
量(状态)激励下的零输入响应、系统的完全响应；系统
的频域传输(递)函数、系统的复频率域传输(递)函数；
离散系统的频域或Z域传输函数；系统的零极点分布。
第二节 信号分类与特殊信号
• 信号分类：确定性信号与随机信号，平稳与非平稳信号，连续信号与
离散信号(序列)，因果与非因果信号，周期与非周期信号，能量与功
率信号，一维信号与高维信号，电信号、光信号、声信号、力信号，
时域与空域及时空域信号。
• 信号函数：已知演化规律的连续时间信号，总可以用一个或多个确定
的实自变量函数的组合来表示。已知演化规律的离散信号(序列)，有
可能用实的整自变量函数组合来表示，有限长离散信号总可以用数组
表示。
• 信号的图示：一维信号的图示称为信号波形。含时二维信号的图示称
为波面。高维信号只能对信号切片(即部分自变量变化的)图示。
连续信号：图示称为信号波形
( ) ( )
0, 0,( ) , ( ) 1,
, 0
( ) ( ) ( 1) ( ) ( )
1, 0
( ) 0.5, 0, ( ) ( ), (
0, 0
2
n n n
tt t dt
t
f
t s t sin
t t f t
td
t t t t tdt
t
t
在（－ ）上处处有定值的信号称为一维时域信号，例如 。
单位冲激信号
其中， 是一个正的极小实数。单位阶跃信号在计算机系统中不方便图示。
单位阶跃信号
) ( )t
z dz
分段连续信号可以借助单位阶跃信号简化表示。
离散信号：可以用折线、台阶、杆状图表示
• 仅在一些离散的时间点上有定义的信号称为离散信号，如果信
号有定义的时间点是等间隔的，称这样的离散信号为序列。
• 单位脉冲序列
0, 0( ) ( )( ) ( ) ( )
1, 0
0, 0( ) ( ) ( ) ( 1)
1, 0
kk f k k m f m k m
k
kk k k k
k
任何序列总可以用不同位置的单位脉冲序列叠加表示。
单位阶跃序列
连续信号采样产生离散信号，对离散信号插值叠加恢复连续信号
周期与非周期信号 • 连续周期信号
如果连续信号满足方程 f(t+mT)=f(t),m=0,±1,±2,...则
说该信号是周期信号，其中T是大于0的正实数。例如单频率
正弦信号经x(t)=Asin(bt)必定是周期T=2p/b的周期信号。
• 离散周期信号(序列)
如果离散信号满足方程 f(k+mN)=f(k),m=0,±1,±2,...且其
中N是大于0的正整数，则说该信号是周期序列。单频率正弦
序列不一定是周期序列。例如f(k)=Asin(bk),仅当b正比于p时，
f(k)才是周期N＝2p/b的序列。
实信号与复信号
1 2
( ) ( ), ;
0
( ) ( )a bi t c d i kf t e f k e
实际系统中的信号只能是实信号，为了简化系统分析、
求解过程，有时需要引入复信号。随时间增长或衰减的实振
荡信号可以用复信号简单地表示。例如
的实部和虚部都是变幅振荡实信号。指数实部非 的复信号一
定不是周期信号。随时间指数增长的振荡信号，其傅里叶频
谱不存在。
能量信号与功率信号
2 21| ( ) | , lim | ( ) |
2
0
0
.
a
aa
t t
E f t dt P f t dta
e e
信号的能量和平均功率分别定义为
如果信号的平均功率非 有限，则称信号是功率
有限信号。功率有限信号必定不是能量有限信号。
如果信号的能量非 有限，则称信号是能量有限
信号，能量有限信号必定不是功率有限信号。
随时间增长的信号即不是能量信号也不是功率
信号,例如 和
关于信号的关键词
•单频率正弦信号：由振幅、频率、初相位三个常数能确定信号。
•紧致信号与非紧致信号：信号非零值的分布时区有限宽的信号称
为紧致信号 (可能是能量信号)，例如门信号。信号值非零的时区无限宽的信号的信号称为非紧致信号，例如一定高度的阶跃信号。
•非正弦周期信号（多频率成分信号）：由频谱(即所有频率成分
的振幅、频率、初相位数据集合) 三元常数数组能确定信号。
•平稳信号与非平稳信号: 信号频谱不随时间变化的信号称为平稳
信号。信号频谱随时间变化的信号称为非平稳信号。典型非平稳信号一例是Chirp信号s(t)=A*exp(i(at+b)t+ic),它的的角频率为w= at+b
与时间有关。
信号频谱的连续性：周期信号的频谱是离散谱，非周期能量信号
的频谱是连续谱（即信号含有不可数无穷多个频率成分）。
第三节 信号运算及其特性
• 信号相加和相乘：
两信号在相同时点上的值相 加 和相 乘。
能量信号相加仍然是能量信号，功率信号相加仍然是功率信号。功率信号与能量信号相加结果是功率信号。两周期信号相加可能是周期信号，也可能不是周期信号。
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m
f t g t f t g d g t f d g t f t
f k g k f k m g m g k m f m g k f k
信号相加和相乘都将改变信号的频谱结构，使频率成份多
少发生变化，使信号波形变化。
两信号卷积
卷积及“卷积和”的定义
信号卷积计算方法
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
( ) ( ) ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 1) ( ); ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( )
n n n
n n n
f t t f t f k k j f j k j
f t t f t f k k j f k j
t t t k n k m k n m
f
充分利用与冲激信号相乘的挑选性及卷积求导的替换性
乘法
卷积
来简化计算。例如三角信号
2
( ) ( )
( ) ( ( ) ( )) (2 )( ( ) ( 2 ));
( ) ( ( ) 2 ( ) ( 2 ))
g( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ));
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 2 ( ) ( 2 )) ( ( ) ( ))
0.5 ( ) ( ( ) 3 (
t g t
f t t t t t t t
t t t t t
t t t t t t
f t g t t t t t t t t t
t t t t
与矩形信号 卷积
) 3 ( 2 ) ( 3 ))t t
连续信号卷积性质
• 结合律 a(t)*b(t)*c(t)=(a(t)*b(t))*c(t)=a(t)*(b(t)*c(t))=…
• 交换律 a(t)*b(t)*c(t)=b(t)*a(t)*c(t)=c(t)*b(t)*a(t)=…
• 分配律 a(t)*(b(t)+c(t))=a(t)*b(t)+a(t)*c(t)
• 卷积的导数和积分性质
( 1) (1)
(1) (1)
( ) ( 1) (1) ( )
( 1) ( 1) ( 1)
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
( ( )* ( )) ( )* ( ) ( )* ( )
( ( )* ( )) ( )* ( ) ( )* ( ) ... ( )* ( )
( ( )* ( )) ( )* ( ) ( )* ( )
( (
t
nn n n
n
df t f x dx f t t f t f t
dt
df t g t f t g t f t g t
dt
df t g t f t g t f t g t f t g t
dt
f t g t f t g t f t g t
f
定义 ，则有
( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ))* ( )) ( )* ( ) ( )* ( )... ( )* ( )n n n nt g t f t g t f t g t f t g t
连续信号卷积公式
1
( )* ( ) ( ) ( )
( )* ( ) ( )
! !( )* ( ) ( )
( 1)!
at btat bt
at at at
n m n m
e eAe t Be t AB t a b
a b
e t e t te t
n mt t t t t t
n m
离散信号卷积和公式
1 1
2 3
2 2 4 23 2
52 2 3
( )* ( ) ( ) ( )
( )* ( ) ( 1) ( ); ( )* ( ) ( 1) ( )
( )* ( ) ( ); ( )* ( ) ( )2 6
( 1)( )* ( ) ( ); ( )* ( ) ( );
4 12
( )* ( ) ( );30
k kk k
k k k
a ba k b k k a b
a b
a k a k k a k k k k k
k k k kk k k k k k k k k
k k k kk k k k k k k k k
k kk k k k k k
6 22( )* ( ) ( )
60
k kk k k k
对单个信号的运算
• １ 信号的放大和衰减：给信号所有时点上的值乘同一常数
f(.)==>c*f(.),结果信号幅度被放大(|c|>1)或压缩(|c|<1)。
信号放大不会改变信号时域波形，只改变信号频谱中的振幅。
• ２ 信号平移：将信号沿时间轴向左或向右移动一个时间常量，
f(t)==>f(t-)， f(k)==>f(k-m)，使信号时域波形整体向左或向右移
动，称为“延时”或平移。平移改变信号频谱中的初相位。
• ３ 信号反转：将信号的时间轴反转，即t ==> -t.反转改变信号频谱中的初相位，信号波形绕信号强度轴旋转180度。
• ４ 信号沿时间轴展宽或压缩：将信号时间变量t替换为at,即
f(t)==>f(at),|a|>1是沿时间轴压缩，|a|<1是沿时间轴展宽。这种运算改变信号频谱的频率，展宽降频，压缩频率升高。
对单个信号的运算（续）
第四节 系统特性相关概念 • 系统特性：动态性，连续性，线性，时变性，因果性，稳定性
• 静态系统：数学模型能用代数方程描述的系统。例如纯电阻电
路系统，这种系统沿有延时，各处的信号同步变化。
• 动态系统：数学模型只能用微分积分方程或差分方程(组)描述
的系统。例如质点组系统、ＲＬＣ电路系统、人口演化系统等
等。动态系统有延时功能。系统中各处的信号变化不同步。本
课程主要研究动态系统。
• 线性系统：其数学模型能用线性微分积分方程组或线性差分方
程组描述的系统。线性系统的重要特性之一是输出信号相对于
输入信号来说不会产生新的频率成份。
线性与非线性
• 线性系统总是满足叠加原理：低阶线性可求解析解。
叠加原理也即线性：
多激励源之组合的总响应等于各激励单独存在的响应之组合。
多初值之组合的响应等于各初值单独存在的响应之组合。
多输入之组合的响应等于各输入单独存在的响应之组合。
• 非线性系统：非线性系统不满足叠加原理。一般不存在解析解
，所以非线性系统只能求指定的有限宽时区上的数值解。
时变与时不变特性
• 时变与时不变性：决定系统拓扑结构的参数不随时间变化的系统称为
时不变系统。决定系统结构的参数或组合规律随时间变化的系统称为
时变系统。从方程判断时变性很容易，即常系数方程描述的系统是时
不变的。本课程只研究时不变系统。
• 响应与输入同步延时：动态时不变线性系统的零状态响应与输入信号
同步延时。即f(t)==>y(t),则f(t-Dt)==>y(t-Dt),事实上因描述系统
的微分方程是常系数，所以将方程中的t换成t-Dt,方程描述的系统还
是原系统。但对含时变系数的方程，即时变系统，上述替换后不在是
原系统。所以时变系统的响应与输入没有同步延时性。
线性时不变系统(LTI)的特性
0 0
( )( )( ) ( )
( ) (t) ( ) ( )
zszs
t t
zs zs
dy tdf tf t y t
dt dt
f t y f t dt y t dt
导数与积分性质：输入之导函数激励的响应是输入激励的
响应之导函数，即
导数性质可用线性和时不变性来证明。
同理，如果输入信号和零状态响应都是因果信号，则还有
积分性质，即
积分性质表明，输入信号的积分产生的信号，激励的响
如果有 则必有
如果有 则
应是输入
激励
必有
的响应信号的积分。
特别注意：求导、差分、积分、累加、乘常数是线性运算，
取绝对值，取实部、取虚部、取模、取共轭等等不是线性运算。
因果性、稳定性、连续性
因果性：如果系统零状态响应yzs(t)出现时刻不早于输入信号出现时刻，
或者系统在因果信号激励下的响应也是因果信号，则说系统是因果的，
否则说系统是非因果的。自变量是空间变量的信号，其因果性无意义。
时间反转系统、沿时间轴的压缩系统是非因果的系统。
稳定性：如果有界输入信号激励的零状态响应也是有界的，则说系统是
稳定的。单纯积分系统(h(t)=ε(t))和单纯求导系统(h(t)= ′(t))是不稳定
系统,因为f(t)=ε(t)时， ε(t)* ε(t)= tε(t)和 ε(t)*′(t)＝ (t)都是无界的。
连续性：系统的输入信号和系统响应都是连续信号，则说系统是连续的
系统，如果系统的输入输出都是离散信号，则说系统是离散的。
物理模型与数学模型
• 系统的物理模型和数学模型：
物理模型取决于构成系统的要素性质及组合规律
数学模型取决于系统的物理模型和系统演化规律
例如，以质点为要素的力学系统，物理模型是相互作用
的质点系统，相应数学模型由物理模型和牛顿定律给出。
又例如，以ＲＬＣ元件为要素的系统是电路系统，ＲＬ
Ｃ串联或并联电路就是它的物理模型，节点电流定律和回
路电压定律及电路拓扑结构共同给出电路系统的数学模型
。
第五节 线性时不变系统的描述、分析方法
• 系统的抽象定义：
多个彼此关联、相互作用的“事物”或要素按确定规律组合
成具有特定功能的整体称为系统。
• 按照组成系统的“事物”及其组合规律的不同，具体系统可以是电路系统、力学系统、光学系统、声学系统、计算系统、通信系统、物流系统、生态系统、人事系统、金融系统、学习系统、救灾系统、公安系统、保险系统、国防系统、探险系统、登月系统、宇航系统…
系统分类
• 本课程主要研究抽象的 结构确定的低阶线性时不变连
续和离散系统，多以ＲＬＣ电路或力学系统为实例。
• 按物理性质分：力学、热学、声学、光学、电磁系统…
• 按连续性分：连续系统、离散系统
• 按线性分：线性系统、非线性系统
• 按时变性分：时变系统、时不变系统
• 按处理的信号维数分：一维系统、高维系统
• 按因果性分：因果系统、非因果系统 …
• 安稳定性分：稳定系统、不稳定系统、随机系统…
系统的表示(描述)
• 物理模型表示：
给出系统中每一个要素的特征参数及系统的相互作用
拓扑关系及相互作用强度参数(即组合规律)。
• 数学模型表示：
微分积分方程组或差分方程组；
结构框图或信号流图；
系统函数H(s)、H(z)；
状态变量矩阵(ＡＢＣＤ);
零极点数组(z,p,k), 或离散二阶级联数组(sos,g), 或连续一阶并联数组(r,p,k)
系统的模型表示
• 系统的模型表示步骤：
给定组成系统的要素及特征参数、给定要素间的相
互作用的拓扑关系及作用强度参数、并图示要素拓扑关
系，最后给出清晰确定的物理模型。
依据系统物理模型和系统演化所遵循的物理规律建
立描述系统的微分方程或差分方程，确定初始条件和系
统输入信号，最终建立系统的数学模型。或者直接给出
系统函数H(s)或H(z)、零极点数组(z,p,k)、二阶级联数
组(sos,g)、一阶并联数组(r,p,k)来确定系统。
系统的框图表示
二阶线性时不变系统用两个方程描述，因而框图需要
(1) 两个加法器，方程左边是加法器的输出项 ，方程右端是加法
器的输入项。一个加法器输出x(t) , 另一个加法器输出 y (t)。
(2) 两个积分器(符号是1/s)，一个积分器的输入是 x′′ (t) 输出是
x′ (t)，另一个积分器的输入是x′ (t)输出是x(t)。
(3) 四个乘法器用置于流线上的常数(-a1,-a0, b1, b0)表示.
(4) 多条描述相互作用的流线(有向线段)。
(5) 一个信号源。
1 0 1 0
1 0 1 0
''( ) '( ) ( ) '( ) ( )
''( ) '( ) ( ) ( ), ( ) '( ) ( )
y t a y t a y t b f t b f t
x t a x t a x t f t y t b x t b x t
例如改写方程
为
系统框图表示举例
''( ) 5 '( ) 6 ( ) 4 '( ) 3 ( )y t y t y t f t f t
( ) 4 '( ) 3 ( ), ''( ) 5 '( ) 6 ( ) ( )zs zs zsy t x t x t x t x t x t f t
( ) (5 / 6) ( 1) (1/ 6) ( 2) ( )y k y k y k f k
系统分析方法与系统激励和响应 • 系统分析方法
1 SISO系统有时域分析方法、频域分析方法、s 域或 z 域分析方法
2 MIMO系统也有时域分析方法、频域分析方法、s 域或 z 域分析方法
SISO系统可用一个高阶微(或差)分方程描述。MIMO系统可用多个一阶微
(或差)分联立的方程组描述。
• 系统分析内容
（1）描述系统；（2）求给定初始能量和输入信号激励下的系统响应数值解
或解析函数解（3）分析系统的滤波特性等等。
• 系统激励与系统响应
使系统产生响应或输出的所有因素称为激励，主要有初值条件(初始 能量)和
输入信号两大类。系统输出或响应可以分解为零输入响应和零状 态响应两部
分，对于复杂系统，两部分必须分别求解。系统响应又可分解为稳态和暂态
两部分，系统启动后短时间内存在的部分称为暂态响应，长时间后依然存在
的部分称为稳态响应。实验室大多数电子仪器中可观测信号总是信号的稳态
部分。
系统响应的两种形式 •输入与响应：
描述系统的微分差分方程中的未知函数对应响应，方程 中的已知函
数对应输入信号。系统输入和响应都有解析函数和数值数组两种形式。
•解析函数响应：
为简化分析求解, 将全响应分解为 y (.)= yz i (.)+ yz s(.)，其中
初始能量激励的响应———零输入 (zero input ) 响应 yz i(.)
输入信号f ( .)激励的响应———零状态 (zero state ) 响应yz s(.)
•数值响应(二维数组) {{t1,y (t1)},… {tN, y (tN)}}
由Ｎ个时间采样值和Ｎ个信号采样组成的实数组, 它只能是有限时区
上的有限个采样(即观测)值。数值响应可以是离散系统的响应,也可以是连
续系统的响应采样数组。求数值响应不需要分解为y (.)= yz i (.)+ yz s(.)。
电路系统分析步骤举例
• RLC串联电路系统分析步骤
• １ 搭建电路并给出具体拓扑关系和元件参数
• ２ 由电路定律和元件约束关系写出电路的数学模型，可以是一阶微
分方程组(状态变量方法)，也可以是高阶微分方程(输入输出方法)。
• ３ 给出电路的信号源和初始条件
• ４ 解方程给出系统函数、系统的滤波特性、系统的零输入响应、零
状态响应。
• 如果滤波特性不符合用户要求可通过反复改变RLC的值(即修改物理模
型)并完成上述四步来逼近用户要求。
• 第二章 连续LTI系统时域分析方法
• 2.1 连续LTI系统的描述
• 2.2 初始条件时刻0－与输入信号生效时刻0+ • 2.3 系统的零输入响应yzi(t)
• 2.4 连续信号卷积
• 2.5 连续LTI系统的单位冲激响应h(t)
• 2.6 连续LTI系统的零状态响应yzs(t)
• 2.7 连续系统的单位阶响应g(t)
• 2.8 连续信号的相关运算
本章仅研究因果信号激励下的系统响应．非因果信号
激励的响应分析方法列于第四章．
2.1 连续LTI系统的描述
( ) ( ) ( )
0 0
1 2 1 2
1 2 1
( ) ( ), y (0 ) , 0.. 1
( ) ( ( ), ( ),... ( )) ; (0 ) ( (0 ), (0 ),... (0 ))
( ) ( ( ), ( ),... ( )) ; ( ) (
SISO
MIMO
n mk k l
k k l
k k
T T
n n
T
m
a y t b f
n LTI n
n LT
t l n
x t x t x t x t x x x x
I n
f t f t f t f t y t y
b
阶 连续 系统可用一个 阶微分方程描述
阶 连续 系统可用 个一阶微分方程联立描述
2( ), ( ),... ( ))
( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( );
{ }; { }; {c }; { }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
T
p
n n n m p n p m
t y t y t
dx t Ax t Bf t y t Cx t Df t
dt
A a B b C D d
x t y t f t
ABCD n
m p
、 、 分别是系统的状态 列 矢量、输出列 矢量、
输入信号 列 矢量， 是状态空间矩阵。系统有 个状态变
量、 个输入信号、 个输出信号。
n阶SISO系统也可用状态方程描述
( ) ( ) ( )
0 0
( 1)
1 2
0 1 1
( ) ( ), (0 ) , ( ),
( ) { ( ), ( ),... ( )} { ( ), '( ),... ( )};
(0 ) { , ,... }
'( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
A {{0,1,0,...0},{0,0,1,0...},...
n mk l k
k l k
k k
n
n
n
a x t f t x y t b x t m n
Let z t z t z t z t x t x t x t
z
z t A z t B f t y t C z t D f t
b
b b b
( )= 设
0 1 1
0 1
,{0,...0,1},{ , ,... }}
{0,0,...0,1} , { , ,... ,0...}, 0
n
T
m
n n
a a a
B C b b b D
行 列
( ) ( ) ( )
0 0
( ) ( ), y (0 ) , 0.. 1n m
k k l
k k l
k k
a y t b f t l nb
注意：求yzi(t)=x(t)时要强行取B={0,…0}T, C={1,0,….0}, D=0.
2.2 初始条件时刻0-与输入信号生效时刻0+
0
, 0
,
(
)
0
0
)
(
zs
zi
zi
f t t
y t t t
y t t
y t t
y t
y t t
约定系统输入信号 在 时刻加入系统，系统的零状态响应
必然包含单位阶跃信号 因子 但在 可能跃变可能连续。
约定系统响应 及其各阶导数在 时刻的值为系统的初始值。
系统初始条件实质上是决定系统零输入响应 的条件 在 时刻
必定连续。
如果系统无输入信号，或者有输入信号但输入信号时时有界，则
系统的状态不会跃变，系统响应 及其各阶导函数在
( ) ( )( ) ( )
0
0 0 , 0 1
0 0
l l
zs
y y l n
y t t t
前后沿时
刻连续：即
如果系统输入信号包含单位冲激信号及其导函数，则系统零状态
响应 在 时刻必定有跃变，但零输入响应在 时刻连续。
零状态响应yzs(t)与零输入响应yzi(t)
( ) ( ) ( )
0 0
( ) ( ) ( )
0
( ) ( )
( ) ( ), y (0 ) 0, 0... 1 ( )
( ) 0, (0 ) (0 ), 0... 1 ( )
n mk k l
k zs k zs zs
k k
nk l l
k zi zi
z
z
i zs
z
i
i
k
zs
y t y t y
a y t b f t l n y t
a y t y y l n y t
t
f t y t
y t
完全响应
输入信号 与０初值条件决定零状态响应
无输入信号，初值条件决定零输入响应
2.3 系统的零输入响应yzi(t)
( ) ( ) ( )
0
0
1
1 1
“ ”( )
( ) 0, (0 ) (0 ), 0... 1 ( )
0
( )
.
.
( .
j
nk l l
k zi zi zi
k
nk
k
k
nt
zi j
j
q
p p pp q
yz
a y t y y
i t
n
l n y t
a
y t c e
c c t c tq
系统零输入响应 由系统初值和系统 简化结构 决定，方程
的解由代数方程 的根和初始条件唯一决定。特别当特征方
程有 个不相等的根时
如果 是 重根时，求和式中将有 1 ) p te
这样
的幂指数函数项。叠加系数引用初始条件解代数方程组可唯一确定．
2.4 连续信号卷积
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 1) ( ) ( ); ( )
( ) ( ) (
“
) ( ) (
”
;
:
)
n n n
n n n
f t h t f x g t x dx f t x g x dx
f t t f t t
f t t f t t f t
乘法： 挑选函数值
连续信号卷积定义：一个信号反转平移再与另一信号相乘积分
与冲激信号相乘的挑选性及
再乘
卷积： 交换求
卷积求导的
导、替
分担性
换宗量、
1 2 1 2( ) ( ) ( );
( ) ( )
( ) ( ( ) ( )) (2 )( ( ) ( 2 )) ( ) ( ( ) 2 ( ) ( 2 ))
g( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ));
( )
f t
t t t
f t t t t t t t t t t t t
t t t t t t
f g
g
t
t
充分利用上述性质来简化计
结果有限
冲激信号卷积： 替换宗量、仍然为冲激信
算。例如三角信号 与门信号 卷积
号
2
( ) ( ) ( ) ( ( ) 2 ( ) ( 2 )) ( ( ) ( ))
0.5 ( ) ( ( ) 3 ( ) 3 ( 2 ) ( 3 ))
t t t t t t t t t
t t t t t t
2.4.1 连续信号卷积性质
( 1) (1)
(1) (1)
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
( (
* * * * * *
* *
) ( )) ( ) ( ) ( )
* * * *
*
( )
* *
(
t
n
n
a t b t c t b t a t c t c t b t a t
a t b t c t a t b t c t a t b t c t
a t b t c t a t b t a
df t f x dx f t t f t f t
dt
df t h t f t h
t c
t f t h t
d
d
t
dt
t
交换律
结合律
分配律
定义积分和求导
则有导数和积分性质
( ) ( 1) (1) ( )
( 1) ( 1) ( 1)
( ) ( ) ( )
( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
( ( )* ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) ( )
n n n
n n n
n
f t h t f t h t f t h t f t h t
f t h t f t h t t f t h t f t h t
f t h t f t h t t t f t h t f t h t
个因子
2.4.2 连续信号卷积公式
1 10 0
1
10
0
( )* ( )
( )! ( )!( ) ( 1) ,
( ) ( )!( )
( ) (( 1) (( ) ) ( 1) ( )! )( )
( ) 1; ( )
n at m bt
n k a t n m j b tn k mk k
n k m jk j
k n knk bt m a tn
m km kk
t e t t e t
k m t e k m t et C b a
b a k +m - j b a
C tt p a b t e m k e
a b
p x p x x
１其中 1
1
1; ( ) ( );
! !( )* ( ) ( )
( 1)!
!
!( )!
s
s s
n at m at n m a t
k
n
p x x s p x
n mt e t t e t t e t
n m
n
k n k
其中Ｃ
连续信号卷积公式
1
( )
10
0 1
( )* ( ) ( ) ( )
( )* ( ) ( )
! !( )* ( ) ( )
( 1)!
( )* ( )
!( ) (( 1) (( ) ) ! )
!( )!( )
( ) 1; ( ) 1; ( )
at btat bt
at at at
n m n m
n at bt
n k btnk b a t
kkk
k
e ee t e t t a b
a b
e t e t te t
n mt t t t t t
n m
t e t e t
n t et p a b t k e
k n k a b
p x p x x p x
1( ).k
kx k p x
卷积公式特例
2 2 2 2
2 2 2 2
( )* ( ) ( ),
; ; ;
cos( ) ( )*cos( ) ( )
cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) ( )
2
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
b t a ta t b t
b t d t
b t
e ee t e t t
b a
Let p d b q a c r a c
a t e t c t e t
p a t q a t p a t r a t e t
p q p r
p c t q c t p c t r c t
p q p r
引用：
可导出
( );
2
cos( ) ( )*cos( ) ( )
cos( ) sin( )( )
2
d t
b t b t
b t
e t
a t e t a t e t
a t a t a te t
a
2.5 连续LTI系统的单位冲激响应h(t) 2.5.1 简单连续LTI系统的单位冲激响应h(t)
( ) ( )
0
( ) ( )
2
0
( )
0
1
1
0 1
( ) ( ), (0 ) 0, 0... 1
( ) 0, (0 ) 0, 0... 2, (0 ) 1
( ) ( ) (1
(2
( ) ( )
)
)
nk l
k
k
nk l n
k
k
t t
LTI
a a
a a
a h t t h l n
a h t h l n h
h t t e e b
bb
简单 连续系统在冲激信号激励下的零状态响应称为单位
冲激响应，其满足的方程
可以转化为下面的方程
设
设
／
22 ( ) ( )th t te t
2.5.2 复杂连续LTI系统的单位冲激响应hc(t)
( ) ( )
0
( ) ( ) ( 1)
0
( ) ( ) ( )
0 0
( ) ( ) (0 ) 0, 0... 1
( )
( ) 0, (0 ) 0, 0... 2, (0 ) 1
( ) ( ), y (0 ) 0, 0... 1
( )
( ) (
nk l
k zs
k
nk l n
k
k
n mk k l
k zs k zs
c
k k
c
a x t f t ,x l n
a h t h l n h
a y t b f t
h t
h
l n
h t h
t
简单系统
的单位冲激响应 满足方程
复杂系统
的单位冲激响应记为 由叠加原理给出，则
( ) ( )
0 0
) ( ) ( )
( , , )
( , );[ , , ] ( )
m mk k
k k
k k
t b t b h t
Matlab impulse b a t
sys tf b a y t x impulse sys
调用 函数 可画单位冲击响应波形曲线。或调用
计算单位冲击响应的采样。
组合系统的时域系统函数h(t)
• 系统单位冲激响应又称为时域系统（或传输）函数
• 串联系统的时域传输函数 h(t)=h1(t)*h2(t)…
• 并联系统的时域传输函数 h(t)=h1(t)+h2(t)…
• 混联系统的时域传输函数 h(t)=(h1(t)+h2(t))*h3(t)…
2.6 连续LTI系统的零状态响应
( ) ( )
0
( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ), y (0 ) 0, 0
, * ,
:
*
... 1
( ) ( ), (0 ) 0, 0... 1
( ) ( ) ( )
nk l
k zs zs
k
nk l
k
k
a y t f
f t yzs t h t f t LTI
LTI
yzs
t l n
a h t t h l n
t f t h t
设输入信号为 代入简单连续
系统方程
得到
重要结论 简单连续 系统的零状态响应等于其输入信号
与单位冲激信号的卷积，即
复杂连续系统
( )
0
( ) ( )* ( ) ( )* ( )
( , , )
mk
czs c k
k
y t f t h t h t b f t
matlab lsim sys f t
调用 函数 可求零状态响应
的零
的
状态响应
数值解。
2.7 连续LTI系统的单位阶响应g (t )
( 1) ( 1)
( 1)
2 2 2
( )
( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( )* ( )
( ) ( ) ( )* ( ) ( )
''( ) 4 '( ) 4 ( ) 4 '( ) 2 ( )
( ) ( ); ( ) 4 ( ) 10 ( );
( )
t
c c c c
t t t
c
t t g t h t h t t
g t h t h t t h x dx
y t y t y t f t f t
h t te
LTI g t
h
t h t e t t t
g t
t
e
单位阶跃信号是单位冲激信号的积分，对于 系统
可由 积分给出，即
例如
2 2
2
2 2 2
( )* ( ) 4 ( )* ( ) 10 ( )* ( )
1((10 1) 1) ( )
2
( ) 4 ( )* ( ) 10 ( )* ( ) (7 (50 7) ) ( )
( , , ) ( , )
t t
t
t t t
c
h t t e t t te t t
t e t
g t e t t te t t t e t
matlab step b a t step sys t
调用 函数 或 可画系统单位阶
跃响应波形曲线。
2.8 连续信号的相关运算 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( )
( ) ( ) ( 2) ( )*( ( ) ( 2));
( ) ( 2) ( ) ( )*( ( 2) ( ));
( ) ( ) ( 2) ( )*( ( ) ( 2)) 2 ( )* ( 2);
( ) (
f h h fR t f x g x t dx f t g t R t
f t t t t t t
f t t t t t t
h t t t t t
f t h t
t t t t t t
h t t
例如
定义 与 的
三角信号
相关运算为
2) ( ) ( )*( ( ) ( 2)) 2 ( )* ( 2)
( )* ( ) 0.5 ( ( ) 2( 2) ( 2) ( 4) ( 4))
( ) 0.5( 2)(2 ( ) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) )
( ) ( ) 0.5( 2)( 2 ( ) ( 2) ( 2) ( 2) (
fh
hf fh
t t t t t t t t t
f t h t t t t t t t t
R t t t t t t t t
R t R t t t t t t t
二者的卷积：
二者的相关：
2) )t
第二章习题分类
1 依据电路或方程求零输入响应、零状态响应和全响应。
(2.1~2.6)
2 依据电路或方程求冲击响应、阶跃响应。(2.7~2.15)
3 计算两给定信号的卷积，或给定系统h(t)和f(t)依据卷积计算系统
零状态响应。(2.16~2.21)
4 借助卷积理论，计算系统h(t)或输入信号。(2.22~2.25)
5 由系统框图和给定的输入信号，计算系统响应。(2.26~2.28)
6 计算复合系统的冲击响应。(2.29~2.30)
7 计算给定信号的自相关或互相关函数。(2.31~2.34)
必选习题:2.5,2.6,2.12,2.13,2.18,2.26~2.29,2.30
第三章 离散LTI系统时域分析方法
• 3.1 离散LTI系统的描述
• 3.2 初始条件时刻-l与输入信号生效时刻０
• 3.3 离散系统的零输入响应yzi(k)
• 3.4 离散信号卷积
• 3.5 离散LTI系统的单位脉冲响应h(k)
• 3.6 离散LTI系统的零状态响应yzs(k)
• 3.7 离散系统的单位阶响应g(k)
• 3.8 反卷积和计算方法
单输入单输出(SISO)离散系统的数学模型 • 真实的离散系统很少。实际系统主要是连续系统，由于求解
需要常常将连续系统数学模型离散化为差分方程而化连续系统为等价的离散系统。例如n阶连续LTI系统
( ) (l) ( )
0 0
1
( ) ( )
0 0
( ) ( ), y (0 ) , 0.. 1
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 1) ( ), ( ) ( 1) ( )
( 1)
n ml l
l l l
l l
l ll l l l j j l l j j
l l
j j
n l
l
a y t b f t l n
y k - y k -1t => kT y t y k , f t f k , y' t T y k
T
y t T y k T C y k j f t T C f k j
a T
b
做替换: ,
等价离散系统 0 0 0 0
1( )
-
0
( ) ( 1) ( )
( 1) (0 ), ( 1) ( 1) (0 ) ( 1) ( 1 ), 2... 1
n l m lj j n l j j
l l l
l j l j
ll l l l j j
l
j
C y k j bT C f k j
y - = y y l T y C y j l n
－０时刻对应-1时间点，于是离散系统初值与连续系统初值关系为
多输入多输出离散系统数学模型
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ( ), ( ),... ( )) ; (0 ) ( (0 ), (0 ),... (0 ))
( ) ( ( ), ( ),... ( )) ; ( ) ( ( ), ( ),... ( ))
( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( );
{ }; { }; {c };
T T
n n
T T
m p
n n n m p n
x t x t x t x t x x x x
f t f t f t f t y t y t y t y t
dx t Ax t Bf t y t Cx t Df t
dt
A a B b C D
对多输入多输出连续系统(MIMO)
{ }
, ( ) ( ), (0 ) ( 1), 1...
( ) ( ), 1... , ( ) ( ), '( ) ( ( 1) ( )) / T
( 1) ( I) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
(0) (0 )
p m
l l l l
l l l l
d
t = kT x t x k x x l n
f t f k l m y t y k x t x k x k
x k + TA x k TBf k y k Cx k Df k
x x
做替换
离散系统方程为
3.1 离散LTI系统的描述
0 0
1 2 1 2
1 2 1
( ) ( ), y( ) , 1..
( ) ( ( ), ( ),... ( )) ; ( 1) ( ( 1), ( 1),... ( 1))
( ) ( ( ), ( ),... ( )) ; ( ) ( (
n m
n l m l l
l l
T T
n n
T
m
A y k l B f k l l l n
x k x k x k x k x x x x
f k f
n LTI n
n LT
k f
I
k f y k k
n
k y
阶SISO离散 系统可用一个 阶差分方程描述
阶多输入多输出离散 系统可用 个一阶差分方程组描述
2), ( ),... ( ))
( 1) ( ) ( ); ( ) ( ) ( );
{ }; { }; {c }; { }
( ) ( ) ( )
T
p
n n n m p n p m
y k y k
x k Ax k Bf k y k Cx k Df k
A a B b C
x k y k f k
n
p
D d
m
分别是系统的状态列矢量、输出列矢量、输入信号
列矢量，ＡＢＣＤ是状态空间矩阵。系统有 个状态变量、 个输
入信号、 个输出信号。单输出系统也可用状态空间方程描述。
n阶SISO离散系统也可用状态方程描述
0 0
1 2
1 2
1 2 0
( ) ( ), ( ), , 1
( ) { ( ), ( ),... ( )} { ( 1), ( 2),... ( )};
(0) { , ,... }
( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
A {{ , ,... },{1,0,0,...0}
n m
n l m l n
l l
n
n
n n
Let a x k l f k y k b x k l m n a
Let z k z k z k z k x k x k x k n
z
z k Az k Bf k y k Cz k Df k
a a a
( )= 设
1 1 2 2 0 1 0
,{0,1,0...},...,{0,...0,1,0},}
{1,0,0,...0} , { , ,... , ,..., },T
m m n m m n m n m n m mB C b b a b b a b b a a a D b
0 0
( ) ( ), ( ) , 1...n m
n l m l l
l l
a y k l b f k - l y l l n
3.2 初始条件时刻{-l}与输入信号生效时刻0
• 约定系统输入信号f(k)是在k=0时刻加入系统的，因而系统的零状
态响应、单位脉冲响应、单位阶跃响应、yzs(k)必然包含单位阶跃
信号ε(k)因子。
• 约定系统响应y (k)及其各个延时在k=-1,-2,...-n时刻的值为系统的
初始值。系统初始条件实质上是决定系统零输入响应的条件。
• 系统零输入响应yzi在k=0处连续。当系统输入信号时时有界，则
系统的零状态响应yzs虽然含有单位阶跃序列，但在k=0处连续。
• 如果系统输入信号中包含单位脉冲信号，则系统零状态响应在
k=0时刻可能有跃变，但零输入响应在k=0时刻连续。
零状态响应yzs(k)与零输入响应yzi(k)
0 0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ), y( ) 0, 1... ( )
( )
( ) 0, ( ) 1. )
0
, .. (
n m
n l m l zs
l l
n
n l l z
zi zs
z
i
s
l
a y k - l b f k l
y k y k y k
f k y k
yzi
l l n y k
a y k l l n y
k
y l k
完全响应
输入信号 与 初值条件决定零状态响应
无输入信号，初值条件决定零输入响应
３.３ 离散系统的零输入响应yzi(k)
2
0
1
0
1
1
( )
( ) 0, ( ) , 1... ( )
0
...
( ) ( )
zi
p
q
n
n l l zi
l
nk
k
k
nk
zi j j
j
p p pq
a y k - l y l l n y k
y k
n
k q
c c k c k
a
y k c
系统零输入响应 是系统初值和系统结构决定，其方程
的解由代数方程 的根和初始条件唯一决定。特别
当特征方程有 个不相等的根时可得
有重根时，组合项中，指数函数前要乘时间 的幂次。若 是
重根，则叠加式将出现( +
.
k
p)( ) .叠加系数引用
初始条件解代数方程组可唯一确定。
３.４ 离散信号“卷积和”性质
( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ( ) ( )) (
* * * * * *
* * * * *
) ( ) ( ) (
*
* * *
l l
a k b k c k b k a k c k c k b k a k
a k b k c k a k b k c k a k b k c k
a k b k
f k h k f
c k a k b k a k c
l g k l f k l g l
离散信号卷积和定义
交换律
结合律
分配律
( 1)
)
( ) ( ) ( 1), ( ) ( )* ( ) ( )k
l
f k f k f k f k f k k f l
k
D
序列差分和累加和的定义
与单位脉冲序列的卷积和
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )* ?
*
( ) ( ) ( )
( )* ( ) ( ) ( 1) ( ) ,
( )* ( ) ( ) ( 1)
(
n kn k m k k l l n l m l j
n
l j
n kn k m k k l l n l m l
n
l j
n
k a k k b k a k C k j b / a b a
k a k
f k k m f m k m
f k k m f
k a k k
k m k l k
a C k j
k k
m k l m
乘法：
卷积和：
有规律离散信号卷积 式
，
公
0 0
)* ( ) ( ) ( 1) , 0
!
!( )!
n km l l n l m l
n
l j
l
n
k k k C k j b
n
l n l
其中Ｃ
求和技巧 0 1 2
0 0 0
1
1
0
1 2 1
0 0 0 0
2
0 0
1; ( 1) / 2; ( 1)(2 1) / 6;
..., 1, 2,...
1
1 1; ( 1)
1 1 1
2)( 1)
k k k
j j j
n nkn n
l l
j
k k kk k k kj j j j
j j j j
kj j
j j
j k j k k j k k k
k a k a kj k n n a a
n
a d a a aa ja j a a
a da a a
j a j j a
取 列 个 的代数方程解出
(0 0
2 2 3 2 1
2
2 2 2 2 1 3
1
0 0
2 1
0 0
3 ( 1)
13
1 1 1
{( ( 1) (2 2 1) ) ( 1) } / ( 1)
1 1 1 1ln(1 ) | |<1
1 1 1
1|
2 1 2 1
k k kj j
j j
k k k
k
k k
k k
k k
x ak k
j a a
d a a d a a a
da a da a a
k a k k k a a a a a
a d ada da a a
k a da k a a a
a x
k x k
，
2
1 1 1 1| ln
1 2 1x a
adx
x x a a
３.４.１ 有规律离散信号卷积公式
1 1
2
3
( )* ( ) ( ) ( )
( )* ( ) ( 1) ( )
( 1)( )* ( ) ( 1) ( ); ( )* ( ) ( )
6
( 1)(1 ) ( 1)(1 )( )* ( ) ( )
(1 )
c /
1 cos( ) ccos( ) ( )* ( )
k kk k
k k k
k kk k k
a ba k b k k a b
a b
a k a k k a k
k kk k k k k k k k k
k c c c cka k kb k c a k
c
b a
akak k k
卷积公式特例：
上式中
os( ) cos( )( )
2(1 cos( ))
ak a ak
a
３.４.２有限长序列卷积和计算方法
0
( )
( )* ( ) ( ) ( ) (0) ( ) (1) ( 1) ... ( ) ( )
0 0
( , , )*( , , , )
, 0
0 0
0 0
( , )*( , , )
( ,
,1, 1
0
n
l
f k h k f l h k l f h k f h k f n h k n
u v w q
a b c u v w q a b c u v w q
u v w q
a b
f k h k n m k n m
u v w
１按定义计算 和 长度分别为 和
２矩阵计算方法
３矢量计算方法(第二序列补０、反序、右循环，一序列与二序列首对齐)
, , ) ( ,0, , ) ( , ,0, ) ( , , ,0) (0, , , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
(*
Matlab conv ,
Mathematica ListConvolve , , 1, 1 ,0
( ( ( )))f k h k IFFT FFT f k FF
w v u u w v v u w w v u w v u
a b a b a b
T h k
f h
h
a
f
b
４快速傅里叶变换计算方法
５ 调用 计算的函数
的函
卷积和。
6 调 数用 计算卷积和。
３.５离散LTI系统单位脉冲响应h(k)
３.５.１简单离散LTI系统单位脉冲响应h(k)
0
0
1 1 2
1 2 0( ) ( 1) ( 2).
( ) ( ), ( ) 0, 1...
( ) 0
(0) 1, (1) (2) (1) 0,.
.. (
..
) 1
.
n
n l
l
n
n
n l
l
n
n
n
n
n
h k a h k
a h k l k h l l n
a h k l
a h k a h
LT
h h
I
k n
a h +a h
a
a
k
简单 离散系统在单位脉冲信号 ( )激励下的零状态响应称
为单位脉冲响应，
＝０,
即
解方程组 ０
其方程
可以转化为
，
2
0 1
2
1 2 1
2
0
1
1
1
( 1) ( 2) ( 3) ...
{ (0), (1),... ( 1)}
(1) ( ) ( )
( ) ( 1 (
) )
n n
k k
k
h n a h n a h n a
h h h n
h k k
h k
a a
a ka k
bb
b
设
＝0
将给出定解条件 ．对于二阶系统有
，
(2) 设 ，
３.５.２ 复杂连续LTI系统的单位脉冲响应hc(k)
0
1 1 1
0
0 0
( ) ( ) ( ) 0, 1...
( )
( ) 0, (0) 1, (1) , (2) (1) (0),....
( ) ( ), y( ) 0, 1...
( )
( )
n
n l
l
n
k n n n
l
n m
n l m l
l
c
l
c
a x k - l f k ,x l l n
a h k l h h a h a h a h
a
h k
h
y k l b f k l l l n
k
h k
简单系统 的单位冲
激响应 满足方程
复杂系统
的单位冲激响应记为 由叠 出， 加原理给
0 0
( ) ( ) ( )m m
m l m l
l l
h k b k l b h k l
＝
3.6 离散LTI系统零状态响应
0
0
0
0
( ) ( ) ( ), ( ) ( );
( ) ( ) (
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) (
) ( ( ) ) (
), ( ) 0, 1..
( ) ( 1) (1/ 4) ( 2) ( ) 2
*
(
)
n
n
m
zs c m l
l
m
czs c m l
l
l
l
n
n l
l
y k f k h k h k b h k l
y k f k h k b f
y k f k h
a y k l f k
a h k l k h l l n
y k y k y k
k l h
f k f
k
k
设 代入方程
导出
于是得到
例如
0
1),
( ) (1/ 4) ( ), ( ) ( 1)(1/ 2) ( ), ( ) (1 3 )(1/ 2) ( )
( ) (1 3 )(1/ 2) ( )*(1/ 4) ( )
(1/ 4) ( ) (1 3 )2 ((8 6 ) 2 7 4 )) ( )
k k k
c
c k k
zs
kk l k k
l
k
f k k h k k k h k k k
y k k k k
k l k k
组合系统的时域系统函数h(k)
• 系统单位冲激响应又称为时域系统（或传输）函数
• 串联系统的时域传输函数
h(k)=h1(k)*h2(k)…
• 并联系统的时域传输函数
h(k)=h1(k)+h2(k)…
• 混联系统的时域传输函数
• h(k)=(h1(k)+h2(k))*h3(k)…
３.7 离散LTI系统的单位阶响应g(k)
( 1) ( 1)
( 1)
( )
( )
( ) ( ); ( ) ( ) ( )* ( )
( ) ( ) ( )* ( ) ( )
( ) ( 1) 0.25 ( 2) 4 ( ) 2 ( 1)
( ) ( 1)0.5 ( ); ( ) 4*0.5 ( );
( ) (
k
c c c c
l
k k
c
k k g k h k h k k
g k h k h k k h l
y k y k
L
y k f k f k
h k k k
TI g k
h k
h k k
g k h k
单位阶跃信号是单位脉冲信号的积分，对于 系统
可由 累加和给出，即
例如
)* ( ) ( 1)0.5 ( )* ( ) (4 ( 3)0.5 ) ( )
( ) 4*0.5 ( )* ( ) (8 4*0.5 ) ( )
k k
k k
c
k k k k k k
g k k k k
3.8 反卷积算法
1
= 0 = 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) / (0)
(0) (0) (0) (0) (0) / (0);
(1) (0) (1) (1) (0) (1) ( (1) (1) (0)) / (0)
(2) (0) (2 (
*
)
k k
m m
y k f k h
y k k f k m h m h k y k f k m h m f
k f k y k h
y f h h y f
y f h f h h y f h f
y f
k
h f
在 中已知输入 输出 ，计算 ，由卷积定义和
可得
1
= 0
1) (1) (2) (0) (2) ( (2) (2) (0) (1) (1)) / (0)
...
( ) ( ( ) ( ) ( )) / (0)
( ) IZT[ ( )]
( , ).
k
j
h f h h y f h f h f
h k y k h j f k j f
Y zH z h k = H z
F z
Matlab deconv y f h y f h deconv y f
( )适合编程迭代计算。利用z变换也可导出通式 ( )= ， 。
( )
也可调用 函数 计算。例如 = * 中 和 已知,计算 =
离散系统时域分析练习题类型
1 求序列的差分和累加和(3.1)
2 离散系统的零输入时域响应yzi(k)(3.2~3.5).
3 求离散系统零输入和零状态响应及全响应, h(k), g(k) (3.6~ 3.10)
4 计算序列线性卷积及利用卷积计算yzs(k)（3.11～3.20）
5 计算复合系统的h(k)（3.21～3.22）。
6 建立差分方程写出初值条件求问题的解(3.23~3.24)
7 用采样思想 t = kT 将连续系统离散化，微分方程转化为近似的
差分方程(3.25).
8 已知单位脉冲响应和零状态响应，求输入序列(3.26).
9 已知零状态响应和输入序列，求h(k).
必选习题：3.9~3.11,3.13,3.14
第四章 傅里叶变换与系统频域分析
4.1 傅里叶级数与周期信号频谱
4.2 非周期信号的频谱(密度)函数
4.3 信号的能量谱paseval方程和功率谱
4.4 周期信号激励的系统响应
4.5 非周期信号激励下的LTI连续系统频域分析
4.6 时域采样定理
4.7 序列的傅里叶分析—DTFT/DFS
4.8 离散傅里变换性质—DFT
人类科学研究和认知惯性思维方式
总是企图用自己熟悉的已有知识和
概念系统来表示新知识和新概念体系．
将复杂的整数数字分解为多个简单整数之积
，每个简单整数再分解为多个１相加．例如
103037=11×17×19×29; 29=1+1+…1;
这是因为整数中的素数相对简单，所有整数都可
以分解为有限多个素数之积．更简单的整数是１
，所有素数都是多个１相加而得．
将矢量分解为沿三个坐标轴的单位矢量的线性组合
，例如
这是因为沿坐标轴的三个单位矢量简单又好理解．
将任意解析函数分解为无穷多个幂函数的线性组合
，例如
这是因为最简单最熟悉的函数是整数幂函数，其函数曲
线在研究者脑海中非常清晰，而且所有解析函数都可以
分解为无穷多个整数幂函数的线性组合，并在有限有圆
域或圆环域上收敛．
1
0 0
( 1)1 ... ,| | ; ln(1 ) ,| | 1
! 1
k kx k
k k
xe x x x x x
k k
5 7 12 {5,7, 12}A i j k
将周期函数分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数或虚指数函数的叠加．例如周期三角波可分解为一系列正弦波的叠加
0
10
0
= = 1
2 2
( ) ( / 1)( ( ) ( ) ) (1 / )( ( ) ( )) / 2
( ) ( ) 0.5 cos ( )
4 2, (2 1)
(
( ) ( )
( )
2 1)
=
k k
k k
k k
cos t sin t
t t t t t t t T
t t kT A t
A kk T
w
pw
p
w w
D
D D
因为，最简单的周期信号是正弦信号 一切有界周
期信号或非周期能量信号 可积函数 都可以利用一系列不同频率、
不同振幅、不
，
其
同
和 ，
中
初相位的正弦信号函数的叠加．每个正弦信号函数
曲线在研究者脑海中都非常清晰．
利用这种分解一个复杂对象为多个特征值不
同的简单对象的线性组合的思维方式，人类就可
以利用自己脑海中已有知识系统，快速理解学习
表示新知识．通过这种分解表示，对象可能变得
简单和容易被研究者理解．
需要注意的是，这一系列特征值不同的简单
对象组成的基矢量或基函数集合，其中任意两个
元素彼此要正交(任意两个单位矢量点积为０，或
任意两个函数在指定区间上的积分为０)，而且集
合要完备，即所有满足正交性的矢量或函数都已
经被收入了基函数集合之中．
4.1 傅里叶级数与周期信号频谱 4.1.1 周期信号
自然界有大量有限时空上的重复现象，以致于学者们提出
了无限时空上重复的理想周期信号概念：给定信号一个基本周
期表示，通过简单周期平移就构建出整个时空中的信号。即
s(t+nT)=s(t), n=0,±1, ±2, …。周期信号全部有用信息均由每
一个周期上的信号所携带，只需要给出周期Ｔ和一个周期上的
信号表示，就能描述周期信号。特别，基本周期区间选择不唯
一，但选择有一定对称性描述更简洁．
若只关注信号x(t)在有限时区[0,T]上的演化
规律，可以假定时区外信号是[0,T]上信号的周期
平移，即认为信号x(t)是周期为Ｔ的周期信号.
也可以假定时区外信号处处为0, 即 认为信号x(t)
是在[0,T]之外处处为0的非周期信号．两种观点
的共同之处是，x(t)在[0,T]上的演化规律唯一确
定。周期信号是信号的理想模型，更多地是一种
信号处理方法．
4.1.2 周期信号的傅里叶级数表示
设周期信号是:
(1) 一个周期上的演化规律可用数学函数f (t)表示的已知
演化规律的确定信号，或者演化规律未知但信号是可
采样的(即可观测的)；
(2)信号在每个周期上连续或仅有限多个有限间断点.
则信号可用傅里叶级数表示，在间断点处，级数收敛
于信号的平均值．注意：基本周期区间的取法不唯
一．
0
1
0
1
/2
/2 0
/2
/2 0
( ) ( ) cos( )2
( cos( ) sin( )), 2 /2
2 2( )cos( ) ( )cos( )
2 2( )sin( ) ( )sin( )
1
2
i k t
k k k
k k
k k
k
T T
kT
T T
kT
k kk
af t f t nT A k t c e
aa k t b k t T
a f t k t dt f t k t dtT T
b f t k t dt f t k t dtT T
a ibc F
T
ww
w w w p
w w
w w
其中
/2
/2
2 2
0 0
( ) | , ( ) ( )
( ), / 2 , 2 | |
Ti t
kT
k k k k k k
i F i f t e dt
Arg c a c A a b c
w
4.1.3 周期信号的频谱
01
1
0 1 1 1 1 1
( ) ( ) cos
0.01
max({ }),
/ 2,{ , , },....{ , , },
,
2
2 /
(n
k k
n n
k
k
af t f t nT A k
A eps A k n
ep
a A n T
s
A
w
w w w p
理论上每个周期信号由可数无穷多个正弦信号叠加而成，
因高频分量振幅快速趋近０，若设阈值 满足条件
的所有频率成份可以忽略不计，从技术层面说，周期信号总是
由有限多个正弦信号叠加而成．因而周期信号的频谱为
1
1
1
/2 /2
1 1/2 /2
/22 2
/2
2) ,
2 2( )cos( ) , ( )sin( )
1( ) , 2 | |, ( )
( ) ( )) / 2.
ni k t
k k
k n
T T
k kT T
Ti k t
k k k k k k kT
t c eT
a f t k t dt b f t k t dtT T
c f t e dt A a b c Arg cT
f f
w
w
p w
w w
在信号的间断点 处，傅里叶级数仅收敛于(!!
1
0 0 1
/21
1/2
/ 2 , 2 | |, , ( ), 1....
( ) |
( )
/ 2, / 2]
0
, ( ) ( ) , 2 /
1
,
( )
[
k k k k k
Ti t
k kT
a c A c k Arg c k n
c T F i F i f t e k
T T
T
T
dw
w w
w w
w w w w p
为了计算
可以采用:
适合演化规律已知的周期信号
注意积分区间的起点可任意，可以选 便于
积分计算
利用
信号的奇偶性简化计算，也可以选 ．对于分段连续周期信
号，积分区间要 0. 0.5
/ 500
( )
( )
( ) ( ) ( )
, 0 : : ,
0 : ; , 2* * *
(2)
( . )* /
a
Ts T n n ts Ts T
f t k m cs t k exp p i k t T
分段 是信号在一个周期上的平均值，可
以利用几何方法快速计算.
适合演化规律已知或未知的周期信号
给定采样间隔 例如 采样时间
对信号 和 采样，然
后完成数值积分来计算系数．所需
采
程
样计算积分
序如下:
4.1.4 周期信号频谱计算方法
% 利用数值积分的梯形公式和信号采样计算周期信号频谱的MATLAB程序
% 陕西理工学院龙姝明 2014-9-27 于汉中
% 调用方式： [A,f,ph] = FS(fp,T,m,th)
% 例如 [A,f,ph] = FS(fp,0.1,50,0.001);
% fp是信号函数指针，
% 例如 fp=@(t,T)(heaviside(t)-heaviside(t-T/2))
% T是周期, 是扫描的从m个频率分量选出相对振幅大于等于阈值eps的频率分量
% 返回振幅Ａ,频率f, 初相位ph三个数组．
function [A,f,ph]=FS(fp,T,m,th)
clc; close all; tic; n=500;w1=2*pi/T; % 时区区间[0,T] 分为n个小区间
q=@(t,k)exp(-i*w1*k.*t); %负的复指数函数
Ts=T/n;ts=0:Ts:T; F=fp(ts,T)'; k=(0:m)';
[tg,kg]=meshgrid(ts,k); cse=q(tg,kg); %复指数函数采样产生的二维矩阵
%横向随时间tg变化，纵向随频率编号kg变化
cse12=0.5*(cse(:,1).*F(1)+cse(:,end)*F(end)); %被积函数首尾项值平均
c=(Ts/T)*(cse*F-cse12); %用梯形公式计算系数对应积分
A1=2*abs(c); A1(1)=A1(1)/2; Am=max(A1);
f1=k/T; ph1=angle(c); L=A1>th*Am;
A=A1(L)， f=f1(L)， ph=ph1(L)
len=length(A); disp('保留频率分量数:'); disp(len);
x=0; for j=1:len; x=x+A(j)*cos(2*pi*f(j)*ts+ph(j)); end;
toc
subplot(221); plot(ts,F,'g-'); xlabel('t'); ylabel('f(t)'); grid on;
subplot(222); stem(f,A,'r.'); xlabel('f'); ylabel('A');
subplot(223); plot(ts,x,'b-'); xlabel('t'); ylabel('重构信号: f(t)' ); grid on;
subplot(224); stem(f,ph,'b.'); xlabel('f'); ylabel('ph');
save afph A f ph;
end
(3) 周期信号频谱的FFT计算方法
(已知和未知演化规律的信号或仅有信号采样均适用)
如果仅有信号采样数据 f ( k )和采样周期Ts，需要编程寻找信
号周期Ｔ．计算思路如下：
(a) 给出时间采样: ts=(0:Ts:(T-Ts))'和信号采样ys=f(ts);
(b) 采样长度：n=length(ys);k=(1:n)' ; nh=floor(n/2);k0=(1:nh)' ;
(c) 采样数据的快速傅里叶变换：Y=fft(ys(k))*(2/n); Y(1)=Y(1)/2;
(d) 计算信号振幅频率初相位: A1=abs(Y(k0)); ph1=angle(Y(k0)); f1=(nh-1)'/T;
(e) 选出大于阈值的振幅及频率和初相位: ep=0.001; Am=max(A1);
L=A1>ep*Am; A=A1(L); f=f1(L); ph=ph1(L);
(f) 最后图示并保存．
完整程序如下
% 周期信号频谱的ＦＦＴ计算程序，调用方法[A,f,ph]=spfft(fp,T,Ts)
% 如果fp是待分析信号的函数指针, 则fp是时间t和周期T两个变量的函数
% 如果fp是采样数据数组，则Ｔ可任意给值。陕西理工学院龙姝明 2014-9-27
function [A,f,ph]=spfft(fp,T,Ts)
close all; clc; tic;
ep=0.001;
if isa(fp,'function_handle');
n=T/Ts; disp(['n=',num2str(n)]);
nh=floor(n/2); ts=((0:n-1)*Ts)'; fp2=fp(ts,T)';
else
if isrow(fp); fp=fp'; end;
nfp=length(fp); ts=((0:nfp-1)*Ts)'; plot(ts,fp);grid on;
tm1=input('观察曲线图，给出第一个极大值的位置');
k1=floor(tm1/Ts);
tm2=input('观察曲线图，给出第二个极大值的位置');
k2=floor(tm2/Ts); j1=max(1,k1-6);
[Am1,i1]=max(fp(j1:k1+6));n1=j1+i1-1;
[Am2,i2]=max(fp(k2-6:k2+6));n2=k2-6+i2-1;
n=n2-n1;disp(['n=',num2str(n)]);
nh=floor(n/2); ts=((0:n-1)*Ts)'; T=n*Ts;fp2=fp(1:n);
end
if n<1;disp('error!');disp(['n=',num2str(n)]);return;end;
Y=fft(fp2)*(2/n); Y(1)=Y(1)/2; Y2=Y(1:nh);
A1=abs(Y2); f1=(0:nh-1)/T; ph1=angle(Y2);
am=max(A1); L=A1>ep*am;
A=A1(L); f=f1(L); ph=ph1(L)
len=length(A); disp('保留频率分量数:'); disp(len);
x=0; for j=1:len; x=x+A(j)*cos(2*pi*f(j)*ts+ph(j)); end
toc
subplot(221); plot(ts,fp2,'g-'); xlabel('t'); ylabel('f(t)'); grid on;
subplot(222); stem(f,A,'r.'); xlabel('f'); ylabel('A'); grid on;
subplot(223); plot(ts,x,'b-'); xlabel('t'); ylabel('重构信号:f(t)'); grid on;
subplot(224); stem(f,ph,'b.'); xlabel('f'); ylabel('ph'); grid on;
save afph A f ph;
end
4.2 非周期信号的频谱(密度)函数 4.2.1 傅里叶积分变换
能量信号或紧致信号总是非周期信号,因果 信号也是非周期信号，频谱密度函数被定义为
0
0
( )
( ) ( )
( ) ( )
1( ) [ ]
2
| |cos( arg( ))
|cos( Arg( )
[ ]
( )( )
( ) |
;
( ) )m
j t
j tf t f t
f t IFT d
d t
e
F j
F j F j
F jF j
F jF j
FT e dt
d t
p
p
p
10 /1
0
( ) ( / 2) ( / 2), ( ) sinc( / 2)
( ) | sinc( / 2) | cos( (sinc( / 2)))
g t t t G
g t t Arg d
p
p
上式表明能量信号或时域紧致信号理论上可视为频率分布于[0,∞]上的不可数无穷
多个正弦信号的叠加，技术上可视为频率分布于[0,m] 上的不可数无穷多个正弦
信号的叠加.例如门信号, m取为10p其频谱函数曲线及合成时域波形见上图．
%利用频谱函数截断近似重构门信号的Matlab程序
clear; clc; close all; tic; tao=0.5; tao2=tao/2; t0=1; w0=10*pi/tao;
dt=0.002; dw=0.002; ts=-t0:dt:t0;
gs=heaviside(ts+tao2)-heaviside(ts-tao2);
subplot(311); plot(ts,gs); axis([-t0 t0 -0.2 1.2]); grid on;
ws1=-w0:dw:w0; gw=tao*sinc(ws1*tao2/pi);
subplot(312);plot(ws1,gw);xlabel('w');ylabel('G(w)');grid on;
axis([-w0 w0 -0.1 0.1+tao]);
ws2=0:dw:w0;lenw=length(ws2); [wg,tg]=meshgrid(ws2,ts);
sc=(tao/pi)*sinc(wg*tao2/pi); %Matlab的sinc(x)=sin(pi*x)/(pi*x)
Gs=dw.*abs(sc).*cos(wg.*tg+angle(sc)); p=ones(lenw,1); gt1=Gs*p;
% gt1=sum(Gs,2);
gt2=(Gs(:,1)+Gs(:,end))/2; gt=gt1-gt2;
subplot(313); plot(ts,gt); xlabel('t'); ylabel('ghc(t)'); grid on;
axis([-t0 t0 -0.1 1.2]);
toc % longshumung 2014-9-28
4.2.2 常见有界信号及奇异信号的频谱函数表（一）
1
2 ( )
2 ( )
( ( ) ( )
1( ) 1 2 ( )
2
1 2
( )
1
( )
cos( )
( ) ( ) ( )
sgn( )
1 s
s
)
( ), 2 (
gn( )( )
2
gn( ), ( ),2
)
2
(
i
i
i t
t i t
i t
t
e
F i f
i
t
t
e
t
f t f t F
e dt e d
e d t F i it
t
tt
i
b
p
p b
p b b
p
p
b
p
p
p
符号函数
( )
1( )
1)
1( )
2 ( )
i
it
tit
p
p
p
2
( )
sinc( )2
( ( ))
1( )
( )
( ), ( ( ))
1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
cos ( ) ( )
)
1/
,(
i t
i t
t
t t
t
i
i
t t t
g t t t
e f t
e t
t f t e f t
e t t
e
i
F i
i
di F i F i
d
i ie t
t t e t
p
p
b
2 2
2 1/ 2
( ( ) ) ( ( ) )i ib b
4.2.3 傅里叶积分变换的性质
要快速计算能量紧致信号的频谱密度函数，或者由信号频谱函
数快速重构时域信号，都要求熟练计算FT和IFT，为此必须熟
习FT和IFT的性质．
2 (( )
( )
( ) ( )
( )
2
( ) (
( ) ( )
( ) (
)
( ) ,
1
))
),
3
(ii t
a f t b h t
f t f
f t F it f t
a F i b F i
F i F i
F i Fe
f
t ie iw w
p
对称：
线性：
时频平移：
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
4
( ) ( )( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(0)
( )
) ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )
1 ( ) (
2f t h t f t h t
f t h t f x h t x
F i H iF i H i
F i H i F iy H i iy dy H i F i
F
F i
dx h t f t
f t f x dx
F iy dy F i
f t x dx
p
时频卷积：
其中
=
信号与直流的卷积
=
2 (0) )iy d fy p
0
'( ) '( ) ( ) ( ) '( )
5
( )
1( ) ( ) ( )= 2 '( ) ( ), '( )
2
6
1 1( ) (
, '( )
( ) ( )
( ) ( ) = ( )
2
1(
2
(
) )
( )(0)) ( )
t
i F i i
t f t F i
f t f t t f t t t
t
t
f x d x f t x d x f
d di i
d dF ii i F
t t
i
ti i t
F iF
i
p p
p pp
p
p
时频求导：
时频积分：
要用到 ，
0(
7
(
( ) ( ) = ( )
( )
2
( )(0) (t)
1( )
| |
1( )
)*
1( )
| |
1 1( )
| |
)
( ,|
),|
()
i F i
F ia a
a
f tf
i t
tf b
b b
tt
F i y d
ta
y F i y d y
i ta
f
t
a F it
i
p
pp p
(
，
)( )=
时频标度:
4.2.4 常见有界信号及奇异信号的频谱函数表二 ( )
( )
2
2
( ) 1
1
2 ( ) ( )
2 ( )
'( ) 1/ , '( ) '( )
2 / ,
1 ( )
( )
| | ( ) ( )
sgn( ) ( 2 ( )
sgn( )
[ ( )]
!( ) ( 1) ,
,
,
2 /
,
)
1/
( )
n n n
n n
n
n n n n
n
n
n
t f t
t
t t
t t t t t
t F it
t
t
i F i
i
i
f
i
FT t f t t
ni it
i
p
p
p
p
p
p
和 FT[ ( )
和
]性质
2
( )
( )
sinc( / 2)
( ) (
( )
(sin ) /
( )
( )
( 1) ( 1)),
( ) ( )
( ) ,
n
n
n
n
g
i F i
g t
t t
f t
it
p p
1
( )
( ) ( )
( )
( ) (
( )* ( ) ( )
2(
)*( ( / 2) 2 ( ) ( / 2)
(0) (0)
) ( ),
)
2 ( ), 2 /
sinc( ( 4)
/
/
i nt
T
k n
i nt
T
n
n
n
n
n
iF i i F iy dy
nT
F n T
iff t
t
t t kT T e
f t F e
t t t t
if
t t
w
w
w
p w w w
p w w p
p
p
D
2/ 2)
4.3 信号的能量谱paseval方程和功率谱
2 2
2
2
2
( )
;1
| ( )
4.3.1
| ( 2 ) |
( ) ( )
( ) ( ) ( ), [ ( )] | ( ) | ( )
| | ( ) |2
,
paseval
f f
s t dt SE e f df e f S i f
| s t | e f
R t = f t * f t FT R t F
i
e
f
d
i f
t
pp
能量信号 是时域中的紧致信号，能量信号的paseva
＝
称 为信号瞬时功率，单位频率区间上的能量 称为能谱密
l
能量信号的 方程
度.由
方
于
程为
可见信号
2
2 40
2 2 2 2
2 4/2
4
4
2( ) ( )*( (t ) 2 (t) (t )), FT[ ( )] sinc ( )
2 2 2 4
8 sin| ( ) | ( / 2) |sinc ( ) |
3 4 2 2
sin
t t t t
xE t dt t dt f df dx
x
xd
x
p
p
D
D D
D
自相关函数傅里叶变
换就是信号的能谱密度函数．下面给出利用paseval方程计算复杂积分两例。
例1
22 2
1 2 1 2 2 10
2
2 2 1 2 2 1 2 2 2 1
2
3
! 1 1 (2 )!( ) ( ), [ ( )] ,
( ) 2 (2 )
1 ( !) (2 )!
2 ( ) ( ) ( !) 2
nn t n t
nn n n n
n n n n
x
n d ns t = t e t FT s t E t e dt
i d
n d dx n
x n
p
p
p
＝
例2
2/2
2
/2
2/2
2
/2
( )
( ) ( ) ( ), ( ) [ ( )],
| ( 2 ) |1lim | ( ) | lim
| ( 2 ) |1| ( ) |
T T T T
T
T
T
f t
f t f t g t F i FT f t
F i fP f t dt d f
T
F i fP f t dt
p
p
Ｔ
ＴＴ
Ｔ
Ｔ
4.3.2 功率信号的平均功率
功率信号 的能量(模方全时域积分)是无穷大．若定义时域截断信
号或周期信号 则可定义平均功率
非周期信号平均功率 ＝Ｔ
周期信号平均功率 ＝Ｔ
2 2
2 2
| ( ) | | ( 2 ) |
| ( 2 ) | | ( 2 ) |( ) , lim ( ) ( )
( ) (( ) lim
T T T
T T
T
T Tf
T
d fT
E f t d t F i f d f
dPP p f
d f
F i f F i fP p f d f p f p f
T T
f x f x tR t
p
p p
截断信号或一个周期的能量
是有限的，信号平均功率 和功率密度函数 ( )= 定义为
( )= 非周期， ( )= 周期
与 信号相关函数不同，必须用截断信号定义 信功率 号相关函数能量
2
) ( ) ( )( ) ( ) ( )
[ ( )] ( )
( ) ( ) | ( 2 ) | , ( )
T Tf
f
y f y y
f x f x td x R t d x
FT R t p f y t f t h t
p f p f H i f P p f dfp
Ｔ Ｔ
非周期， 周期Ｔ Ｔ
于是有 ．依据 ( )= ( 系统输出)* ( 功率密)可给出
度
2 2 2
2
2
2
2
2
( ) | ( ) |
( ) ( )* ( ) | ( | | ( ) | | ( ) | ,
1,( )
(
( ) | ( ) |2
( )
1 1| ( ) | | | , (
1 1
,
( )
)
y
f
y f
y
y t f t h t Y i H i F i
E e d H i
e
H i fi RC
e H i
RC
e
e
p
由 导出
即 ,很容易由系统频谱函数
和输入信号能量密度 导出输出信号能量密度 ．
R C串联电路系统的平均功率计算一
对于能量信号系
例：
＝
统
0
0
0
0
2 2/2
0 0 0 0 0/2
0
2 2
0 0
22
02
0
) cos( )( );
2 /
( ) cos( ) cos( ) ( ) cos( )2
( ) [ ( )] 0.5 ( ( ) ( )), 0.5
0.5( ) ( ) | ( ) | ( ( ) (
1 ( )
m
Tm m
fT
f f m f m
my f
t U t
T
U UR t x x t d x t
T
p FT R t U P U
Up p H i
RC
w
w
w
p w
w w w w ww
p w w
p w
w
周期信号
截断区间选一个周期 ，于是有
0
2
02
0
2
2
0
))
0.5( ) [ ( )] cos( ); ( ) [ ( )]
1 ( )
0.51( )
2 1 ( )
my y y y
my y
UR t IFT p t p FT R t
RC
UP p d
RC
w
ww
p w
4.4 周期信号激励的系统响应
4.4.1 周期信号的频谱密度函数S(i )
实际信号仅定义在有限宽时区上，为简化分析总可以对实际信
号周期化为理想的周期信号，周期信号可展为傅里叶级数，可以取
傅里叶积分变换．
/2
/2
1( ) ( ) , ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )( ( 0.5 ) ( 0.5 )), ( ) ( )
2: ( ) (
(( ) ) ( ),
2 ( )
)
(
)
(
)
Ti k t i t
k kT
k
k
T
k
T T T
Tk
k
T
s t s t T S e S s t e dtT
T
s t s t g t s t t T t T s t
t
s t
kT t
t
S i S i kT
k
S k
w
w
w w w
p
pw
pw
w
时域：
设 则有
频域
/2
/2
( ), ( ) ( ) ( ) )
( )
(T
i t i tTT
k
k TT
S i kS i s t g t e
k
S dt s t e dtT
w
w
其中
0
1
/22 2
/2
2
/
*1 1( ) | , ( ) |
( ) ( ) 2 | | cos( ( ))
( )
1 1 1( ) | ( ) | , ( ) | ( ) |
2
1| ( ) |
i k t
k k k
k k
T
k T k k
T
T k
T T
TT
S S i
s t s t T S e S S k t Arg S
p
S S iT
P
p S i P p d s t dtT T
paseval
P s tT
Tw w
w w
p
计算傅里叶级数展开系数的新方法
周期信号功率密度 及平均功率
方程2
/22 2
02
1
| ( ) |1| | 2 | |
2
TT
k
k
S idt S S d
Tp
利用上述方程可求级数和,还可计算复杂积分．
周期梯形波频谱
2
2
22
4
02
( ) (1/ ) ( ) ( ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 )), / 4
2(cos( ) cos(2 ))( ) (2 / )( '( ) )(cos(2 ) cos( )) ;
1 (cos( ) cos(2 ))( ) | ( ) |
( )
2(cos( / 2) cos( )) 3,
( ) 4
T
T
T
k
trap t t t t t t t T
S i i
p S iT
k ks s
k
p
p p
p
4 2 2 1 42 2 2
1 2, , , 0
( (2 1)) (2 1)
f={0,1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15} ={0,0, ,0,0, ,0,0, ,0,0, ,0}(rad)
A={0.75,0.405,0.202,0.045,0.016,0.022,0.008,0.005,0.008,0.003,
( )
0.002,0.004 .
;
,0
n n ns s sn n
Hz
p p
p p p p
取前15项计算给出
2/2
2 2
4/2
2
4
001}
2 1 1 1 (cos( ) cos(2 ))| ( ) | | ( ) |
3 2 2
(cos( ) cos(2 )) 4
3
T
T
y yP s t dt S i d d y
T y
y yd y
y
p p
p
A={0.75,0.405,0.202,0.045,0.016,0.022,0.008,0.005,0.008,0.003,0.002,0.004,0.001}
４.４.２周期信号激励的系统零状态响应解法
0
1
( ) ( ) cos( ( )), 2 | |
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ) ( ) ( )
1
2
(
i k t
k k k k k
k k
i t i t i x i t
i k t i k t i k x i
k k k
k k k
s t s t T S e S A k t Arg S A S
y t e h t e h x e dx H i e
y t s e h t s e h x e dx H ik S e
w
w w w w
w w w
w
w
w
周期信号的正弦级数
周期信号激励的系统零状态响应
0
1
0
1
/2
(0) ( ( ) ( ) )
2, 2 |(0) cos( ),
( ( )) ( )
( ) [ ( )] ( ) , ( ) (
| ) ||
,
(
)
k k k k
k t
i k t i k t
k k
k
k
k k k
Ti t i t
kT
k
/ 2
H S H ik S e H ik S e
H S k tT
Arg H ik Arg S
H i FT h t h t e dt S i s t e dt
H i
S
A A Sk
w
w ww w
pw w
w
w
－
其中相位 = 对应系统延时，相位 是信号初相位
＝ = =1
( )S i kT
w
周期信号激励下的LTI连续系统响应求解一例
2 2
1 1''( ) '( ) ( ) ( ), 1; 0.1; 0.4;
( ) 100cos(2 ) 50cos(10 ) 10cos(50 ) 2cos(100 )
25 25: ;| , ( ) 2 (5 )
( 5) 25
252 : 100, 1 | (2 ) | , 0, 2 (5 2 ) 0.761
29
Ruc t uc t uc t f t R L C
L LC LC
f t t t t t
H i H i Arg ii
A H H i Arg i
解 ( )= ( )|=
110 : 50, 2 | (10 ) | , 0, 2 (5 10 ) 2.214
5
150 : 10, 3 | (50 ) | , 0, 2 (5 50 ) 2.942
101
1100 : 2, 4 | (100 ) | , 0, 2 (5 100 ) 3.042
401
2500 10( ) cos(2 0.761) 10cos(10 2.214)
29 1
A H H i Arg i
A H H i Arg i
A H H i Arg i
y t t t
cos(50 2.942)01
2cos(100 3.042)
401
t
t
4.5 非周期信号激励下的LTI连续系统频域分析方法
( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( ), ( ) [ ( )] ( )
. *
( )2
( ) ( ) ( ( ) ( ))/ ( ) ( )/
i t
z s z s z s
z s z s
i
Y i F i H i y t IFT Y i
y t y t f t h t FT
F i H i
F i H i
p e
e d
q p q
p
傅里 分析在全 域上 行，因此，用 作系 分析工具 只能用
分析系 的零 依据 取 得到
如果 ＝ ， 是 的有理分式函
，分母 次比分子至少高一次， 零
叶 时 进 来 统 时
来 统 状态响应
数 幂 则 状态
( )
( ) ( )
( )
1 1 ( )( ) [ ( )] ( ) ( )
2 2 ( )
( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( , )
( ) ( )
( )sgn( ) ( , )
2 ( )
i t i t
z s z s
i t u p i t d o wn
k k
k k
i t r eal
k
k
u p d o
k k
py t IFT Y i F i H i e d e d
q
p pi t res e i t res e
q q
i pt res e
q
p p
＝
其中 ,
响应为
/( ) ( )wn r eal
k p q , 分 是 在以 的复平面的上半平面、
下半平面、实轴上的极点型奇点．
别 为实轴
( ) ( )
( )
2 ( )
(( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) [ ( )
)
( )( ) (
0
)
] .5
T T
T
ik t
k k
k k
kk
k k
kk
k k
k
k
zs
zs zs
F e F k
FF k
k
F
f t F i
f t f t t F ii
iY i F i H i
i
y t IFT
HF H ik
Y i
kk
F
w w
p ww
p
w p ww
周期信号
因果周期信号
频域响应
1
0
1
1 ( )( )
2
( ) ( )( ) ( ), ( ) 1 ( ) ( ) ( )
(0) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ), )
( ) (
1 2
(
( ) Re(
),
k
k
k
k k
i t i t
i t
k
i k
zs k
k
t up
k l
k l
k l
H iH i e e d
i
H i H it t W e
H t H ik e t res W
t r
s
k
gn t
Fk
F F
k
e
F F
W
k
y
s
t
t
w
w
wp w
w w
w
令注 ，意
1 1
) 0.5sgn(
) ( ( ), )
( )
down real
k l
k l k l
up down real
l l l kW
t
W
res W
其中 分别是 在以 为实轴的复平面的上半平面、
下半平面、实轴上的极点型奇点。注意符号函数与单位阶跃
， ，
函数关系。
4.5.1 因果周期信号激励下的LTI连续系统零状态响应yzs(t)求解公式
．
因果周期信号激励下的RLC串联电路零状态响应求解一例
2
0.1 , 0.4 , 1 , ( ) 100cos(10 ) ( )
''( ) 10 '( ) 25 ( ) 25 ( ), ( ) 25 / ( 5 )
1( ) 100 ( ( 10) ( 10)) ( ( ) 1/ ( ))
2
50 ( ( 10) ( 10)) 50 (1/ ( 10) 1/ ( 10))
( ) ( ) ( )
6 (
L H c F R f t t t
uc t uc t uc t f t H i i
F i i
i
Uc i H i F i
p pp
p
p
2
5
5
( 10) ( 10)) 8 ( ( 10) ( 10))
(8 6 ) / ( 10) (8 6 ) / ( 10) 100 / ( 5 ) 12 / ( 5 )
( ) 8sin(10 ) 6cos(10 )
(8sin(10 ) 6cos(10 ))sgn( ) 4(25 3) ( )
(16sin(10 ) 12cos(10 ) 4(25 3) ) ( )
t
t
i i
i i i i i
uc t t t
t t t t e t
t t t e t
p
1 sgn( ) 2 ( ).t t 其中用到
4.5.2 因果信号激励下的LTI连续系统响应
( ), ( ) ( ) ( ),
1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )
2 2
1( ) ( ( ) ( ) ) ( )
2 2
1( ) [
( ) ( ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), )
s
( )] ( )2
gn2
zs
i t
zs zs
zs l l
l l
up down
t f t x t t
iF i X i X i Y i H i F i
iW X i X i H i e
y t IFT Y i W
y t i t res W i t res W
d
i
p
p
p
因果信号必然含 即
频域响应
( ) ( ( ), )l
real
l
t res W
因果信号激励下的LTI连续系统响应傅里叶分析一例
1
1 1 1
1 2 2
1 2 2 2
''( ) 4 '( ) 4 ( ) ( ), ( ) (2 / ) ( )
( ) ( ) ( ( ) 2 ( / 2) ( )), ( ) ( ) ( )
2 1 1( ) ( '( ) ), ( ) ,
( 2 )
(2 / ) 2 /( ) '( ),
( 2 ) ( 2 )
(2 /( ) '( ) '(0) ( )
y t y t y t f t f t t t
f t f t t t t y t f t h t
F i i H ii
iY i
i i
iR R
p
p
p
2
1 2 2
1 2 2
2 2
1
)'( ) ( 1) ( )
( 2 ) 2
(2 / )( ) ( ) ( 1) ( )
( 2 ) 2
1 1 1( ) ( )
2 ( 2 ) 4
1 1 ( )( ) (sgn( ) 1) (( 1) 1)
2 4 2
( ) ( )*( ( ) 2 (
i t
i ti t
i t
t t
et
i
eW Y i e t
i
e ty t W d d
i
t t te t t t e t
y t y t t t
p
p
p p
1 1 1
/ 2) ( ))
( ) 2 ( / 2) ( )
t
y t y t y t
2 2
2 2
( ) ( / 2)( ) (( 1) 1) ((2 2) 2 2)
2 2
( )(( 1) 1)
2
t t
t
t ty t t e t t e t
tt e t
4.5.3 非因果非周期信号激励下的系统响应求解两例
6
2
= ( 3) ( 3)=
sin(2 ) sin(5 ) sin( )( ) ( ) ( ) cos(3 )
2
2 sin( )( ) sin( ); ( )
2
H i g
t t tu t f t s t t
t t
tg t g
t
p
例１ 已知 ( ） ( )
输入信号为
求系统响应．
解：
10 2
10 2 6 6 2
6 2
6 6
( ) ( ( ) ( )), ( ) ( ) ( )2
( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )2 2 2
sin(3 ) sin( )( ) , ( )
2 2 2 2
sin(3 ) sin( ) sin( ) cos(2 )( )
2 2
''( ) 3000 '( ) 2 10 ( ) 2 10 ( ), (
U i g g Y i U i H i
Y i g g g g g
t tg g
t t
t t t ty t
t t t
y t y t y t f t f t
p
p p p
p p
１
( )=
例２
1
62
1
1 1 1 1
6
1
) (2 / ) ( )
( ) ( ) ( ( / 2) 2 ( ) ( / 2))
2 10( ) , ( ) (2 / )( '( ) 1/ ),
( 1000 )( 2000 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(4 / ) 10( )
( 1000 )( 2000
a b
a
T t t
f t f t t T t t T
H i F i T ii i
Y i H i F i Y i Y i
TY i
i i
p
求系统响应(本题用单边拉普拉斯变换无法求解！)．
解：
6
12
(4 / ) 10 '( ), ( )
) ( 1000 )( 2000 )b
T iY i
i i
p
1 1 1
1000 2000
1
6
1
( ) ( )( ( ( ) ,1000 ) ( ( ) , 2000 ))
4 2000 30.5 sgn( ) ( ( ) ,0)) ( ) sgn( )
1000 2000
1 (2 / )2 10 2000 3( ) '( ) (
2 ( 1000 )( 2000 ) 2
i t i t
a a a
t ti t
a
i t
b
y t i t res Y i e i res Y i e i
e e ti t res Y i e t t
T T
T ie ty t d
i i
p
p
1000 2000
1 1 1
1
1 1 1
)000
( )( ) ( ) ( ) (4 2000 3)
1000
( ) ( ) ( ( / 2) 2 ( ) ( / 2))
( / 2) 2 ( ) ( / 2)
t t
a b
T
ty t y t y t e e t
T
y t y t t T t t t
y t T y t y t T
本题也可以平移f(t)使信号变为因果信号，求出响应后再反向平移．
4.5.4 无失真传输系统 对所有频率成份均有相同的时延和衰减，即 y (t)=Kf(t-td)=f(t)*h(t)==>h(t)=K(t-td)，H(i)=Ke-i td
4.5.5 理想低通滤波器的阶跃响应
2 2
sin( ) sin( ( ))( ) ( ) ( ) ( ) ,
“
( )
sin( ( )) 1 sin1
( )
sin( ((
”
) ( )
“ ”
/ ,
( )
d
c c
i t c c
c
d
d
d
c
c
c d
t t tH i e g g h t
t t t
t t xdt dx
t t x
x tg t h t t
w w
w w
p p
w
p
p
p
w
w
w
带宽为 的理想低通滤波器，它的阶跃响应从０上升到１用时
这说明理想低通滤波器带宽越宽，阶跃响应上升时间越短。
( )
0
)) 1 1 sin
( ) 2
c dt t td
d
xdx dx
x t x
w
p p
4.5.6 系统因果性的时域条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
zs
t
zs
y t f t h t f h t d
t t
y t f t h t f h t d f h t d
h t t
h t t h t
真实的物理系统是因果的，因果性要求 时刻的输出仅取决于 时刻
及其之前的输入，即
=
这只有当 含单位阶跃函数 时才有上式．因此系统是因果的，
要求 含有因子 ，即t<0时， ．
4.6 采样定理 4.6.1 时域理想采样定理
0
( )
ˆ( )
(
,
)
1i
.
,
l m2
s t s kTs
s t
kTs a k
s t
Ts a
对于演化规律确定但未知的连续有限带宽信号，只有通过大量的
采样数据分析，才有可能捕获其演化规律！问题是如何采样，采多少
数据才能得到信号的演化规律呢？这正是采样定理要解决的问题．
设未知演化规律信号 的采样数据为 利用采样数据构造一
个采样信号 ，它与 的关系是：有相同的采样数据每一个采样数
据都是一个无穷小区间 上的平均值：
ˆ( ) ( ) ( ) , ... 2, 1,0,1, 2
ˆ
,
( ) ( ) ( ) (
...
) ( )s
kTs kTs
T s s
k
kTs kTs
s t s t t s kT t kT
s t dt s kTs s t dt k
按照以上采样值等值原则，由采样数据构造的采样信号为
( ) ( ) ( )ˆ( ) ( ) [ ( )]2
( ) ( )
, 2ˆ( ) )
1
( ,
22
s ss i nTs
s s
k n
s
m s
s m s
s
S i S i ikS i s nT e
s t IFT s t
DTFT s nT
FT
s t S i
s t B f f
f f or Tf
T
S i
ww
p
w
w
若能找出信号 的频谱，则由 就能获得信号 的时域演化规律．为
此取采样信号的 得到
可见，以 为周期对信号 的频谱 做周期延拓就是采样信号的频
谱 如果 的频带宽度 即
/
/
( ) ( ) ,2
1 1( ) ( ) (
( )
) ( )sinc(
( )
( / ))2 2
( ) ( )
( )
s
s
s
s
s
i nT ss
n s
Ti t i
s
t
sT
s
s
m
n
S i s nT eT
s t S i
H i T g s t
s t
e dt S i e dt s nT t T n
T g
p
w
w
p
wp
pp p
则用 对采样信 滤波，就得到未知演化规律信号 的频
谱函数和时域演化
＝
号
规律
采样定理
对于演化规律未知，最高频率为fm的带限连续信号s(t),
如果选择采样频率fs>2fm，对信号采样无穷多个数据s(kTs)，
则信号s(t)的频谱可由采样信号的FT变换的主值区间再乘Ts给
出，s(t)的演化规律可由无穷多个采样数据s(kTs)乘内插函数
sinc(pt/Ts-k))关于k 叠加给出．
采样定理从理论上探讨了从信号采样数据s(kTs)给出信号
频谱函数S(i)和信号时域演化规律s(t)必须满足的条件．但是
要求对信号等时间间隔采样无穷多个数据，这在技术上是不
可行的．真实采样过程仅能采集有限多个数据，即实际是对
时域截断信号s(t)的有限次采样，这时如何利用有限多个采样
数据构建原信号的频谱和时域演化规律呢？
/2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2
( ) ( ) 2 2 ( ( ) ( )),
[ ] sinc( ) , lim sinc( ) ( )2 2 2
( ) ( ) si c
ˆ
n (2
s s
i
s t g t
s t s t g t g t = t t mT mT
FT g t
s t s t s t
e =
s t
s t
S i S i
p
p
是 限 信 ， 是 的 域截 信 ， ( )
，
是由截
信 建的采 信 ， 有( - / )
( - / ) ( - / )
设 带 连续 号 时 断 号
断 号 创
)
样 号 则
( - /2
/2
1
0
1
0
) ( ) ( )2
ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
( ) ( ( ) ( )) ( )
(
s
s
s
s
i
m
T s s s s
k k
mi kTs
s s
k ks
s ss s s
s
e S i
s t s t t s kT t kT s kT t kT
S i S i S i ik s kT eT
H i T T GT
S i
w
w
w w
p
w w p w
２取 ， =
２ ２1
/2
0
) ( ) sinc( ) ( ) ( )2 2
s
s
mi kTi
s s
k
S i e T G s kT e
w
p
4.6.2 时域中可实现的采样定理
1
0
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
sin( ( ))1( ) ( ) ( ) ,0
2
2 ,
( )
(
,[0
)
]
s
s
mi k T
s s
k s s
mi t s
s
k s
s m
S i S i T g s kT eT T
t T
f f
s t t m
ks t S i e d s kT t
t T
S
k
w
p p
p
p p
上面两式说明，选择满足采样定理的采样频率 对带
限连续信号 在有限时区 上采样 个数据，则利用这有
限个采样数据可获得信号的近
／
似频谱函数
／
0
1
0
1
( ) ( ) sinc( ) ( ),
( ) ( ) ( (
0
) ) s
s
m
mi k T
s s
s s
k
k
s t s t s kT t T
i S i T G e
k t
s kT w
p p
而且采样时区 越宽,
／
误差越小．
127
4.6.3带限周期连续信号时域采样定理
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ( ) ( )), / , 2 , 1/
( )
( ) ( ) ( ) sinc( )2 2
T s h
T s s s s
i
T
T
T
T
T
s t s t t t T T T m m f f f T
s t T m s s
s t s t s t
s
T s
p t s t
mT T
T Ts t S i S i e
p
+ + +
设 是带限周期连续信号， 是 在时域中截出的一个周期的信号，
是由截断信号 创建的采样信
/
对 等间隔 采样 个信号值 (0 ), ( ),...
号，
(( - ) )
取 的傅里叶变换有
则有
/2
1
= 0
1
= = 0
/2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )
1( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) sinc( ) ( ) ( )2 2
s
s
s
m
T T s s
k
mi kT
T s s
k ks
T
ii T
T s s
sp t s t t s kT t kT k m
SP i S i ik s kT eT
s t s t sp t
T TS i S i e T G s kT ew
w
p
采样信号 是下一周期的点
采样频谱
于是得到截断信号 及原周期信号 和采样信号 三者的频谱关系1
= 0
s
mkT
k
1
1 1 1 1 1
1
/2
/2
1
1
1/ , 2 , 2 , ( / )
( ) ( ( ) sinc
/ 2 .
1/
( ) ) |2 2
( ) s
/
inc ( )2 2
( ( ) )
n
s s n s
i T
T
n
n
i
s s
v T
n
l
l
f T f f m n n m
T TS i S i e
T T vS i i v e dv
S i
f n f m f
f T m T m
n l w
w p w p w w w
p
p
w
因带限周期信号的频谱是离散的， 在频率
空间上对截断信号的频谱以周期 采样 个数据，
1
=
1 1
1 1
0 1 1
/2 1
1
=
12 /
1
= 0
1
sinc ( ) ( )
( ) ( )*,2 2
( ( ) ) ( ), 0,1... 1.
(0), 2 | ( ) |, ( ( ))
( ) (0) cos (
) ( )
)
(
i l
n
mi nk
n
m
n n
m
s s
n
k
l e S i n
m mS i n S i n n
S i n m S i n n m
A S A S i n Arg S i n
s t S A n
S in T s kT e
t
p
p
p w
w w
w w
w w
w
w
， - <
特别 所以可取 最终得到
，
周期信号采样定理
12 /
1
0
0 1 1
/2 1
1
1
( )
( ) ( ) , 1, 2,... / 2 1
(
,
0), 2 | ( ) |, ( ( ))
( ) (0) cos
/ ,
/ 2
2
( )
mi nk m
s s
k
n n
m
n n
n
h
s h
S in T s kT e n m
A S A S in Arg S in
s t S A n
s t f L T
f m T f
m L
t
pw
w w
w
设信号 周期为Ｔ估计最高频率为 取
,对信号在一个周期上采样
个数据，可据下面各式
精确计算周期信号各频率成份的振幅频率
1 2 / .Tw p
初相位，得
到周期信号频谱和时域演化规律．其中
4.6.4 频域理想采样定理
( ) ( )
ˆˆ( ) (
(
),
ˆ( ) ( ) ( ) ( )
1ˆ( ) ( ) ( )
)
) )( (
s
s
s s
k
T s
k
s
k
s
s
s
s t S i
S i S i k
s t s t t
S ik
S ik
S i k s t
s t kTT
w w
w
w w
w
m m
如果一个信号是时域中的紧致信号，即是非零值时区
[-t ,t ]上的有限宽能量信号.则可通过频域的无穷多个
给出信号的频谱函数的时域演化规律 ．设
时域采样信号
采
谱
样值
的频 则有
1( ) ( ( / 2) ( / 2))
( ) sinc(( / ) ), /
( ) ,
( )
(
/
)
[ ]
s
s
i k t
i k t
s s
ks
m m
s m
s
m
k
s s s
s
m
e
s t t T
s t
S ik
S i
t T eT
S i k t
t t
T t
k
t
w
w
w p w
w
w
w
p
p
这里要求信号 在时域中的非零值区间 满足关系
２ ，或者要求频域采样频率满足
4.7 离散信号(序列)傅里叶分析(DTFT)
0
( )
ˆ[ ( )]
ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
1ˆlim ( ) ( ) ( ),
2
s s
s s
s s s s
k k
kT kT
kT kT
DTF s t
s t s kT t kT s k t kT s k s kT
s t dt s t d
T s k FT
t s k T
w
因为由采样数据构造的采样信号与原连续信号有相同的物理观测值，
于是可直接定义采样信号的傅里变换为采样数据 即序列 的离散傅里
叶变换，即
| | 1
1
,| | 2
( )
ˆ( ) ( )] [ ( )] ( ) ( ) | ( ) |
1 1( ) IDTFT[ ( )] ( ) ( )
2 2
( ) ( ) ) (, (
i i
s
s
i i k k
z e z ek k
i i i k k
z
i i i
f
f
S e s k FT s t s k e s k z S z
s k S e
s k
S e s k S
S e
e S
e d S z z dzi
e
w w
w w
w w
pw w w
p
w p p
wp p
义 叶变换为
频谱 数
因此定 可求和序列 的离散傅里
其中 是序列
D T FT
的 函
[
∮
( )2 ) ( )
( )
DTFT[ ( )] ( ) DTFT[ ( )]
DTFT[ ( ) ( )] DTFT[ ( )] DTFT[ ( )]
i k i m
k
s k m s k m e
S z
s
e s k
s k k s k h
k z
h k
p w
w w
变换
周期． 是序列
的 ．对于无限长序列
4.7.1 关于序列的paseval方程
1
2 *
| | 1
20
( )
1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2( ) (0.5) ( ); ( ) ,
2 (2 )
/ 2( )
( 1/ 2
,
)
i i
zk
ik i ik
k ik
s k
S z S zE s k S e S e d d z
i z
k es
s k
k k k S e ee
zS z
z
pw w
p
ww w
w
wp p
序列 是模方可求和序列 序列 能量
上式 明离散序列能量分布于全 上，离散序列的能量分布
于全 率空 上．用上式可求 和．例如
设 则 总 为
说 时区
频 间 级数
1
2 2
22
2 2 20 0
2
20
2 2| | 1
20
2
2, ( )
( 2)
1 2 2( )
2 2 (2 1) (2 )
1 20
2 ( 1/ 2) ( 2 2 7) 7 2kk
ii
k i ik k
z
zS z
z
k es k de
i e e
zdz
z
k
i z
wp
w
w wpp
p
4.7.2 用DTFT变换求离散系统零状态响应
= 0 = 0
= 0 = 0
= 0 = 0
( )
( ) ( )
DTFT , ( ) , ( )
( ) , ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( )
1( ) ( )
2
n m
n l m l
l l
n ni i i l l
l l
l l
m mi i l l
l l
l l
i n m i n mi i
i
i
n a y k l b f k l
z e A e a e A z a z
B e b e B z b z
e B e z B zY e F e Y z F z
A e A z
y k Y e
w w w
w w
w ww w
w
w
p
对 阶离散系统方程
取 并令 =
得
＝ ， ＝ 取IDTFT
1
| | 1
1 1
| | 1
1
1( )
2
1 ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) , ),
2 ( ) ( )
( )
i k k
z
n m k n m k i n
l
lz
i n k
l
e d Y z z dzi
B z B zF z z dz k res F z z z
i A z A z
z Y z z
pw
pw
p
p
是 位于z平面单位圆内的奇点
2
3
2
2, 0
5 1( 1) ( 2) (1/ 2) ( )
6 6
( )( 1/ 2)( 1/ 3) ( 1/ 4)
( )( 1/ 2)( 1/ 3)( 1/ 4)
( ) ( , )( 1/ 2)( 1/ 3)( 1/ 4)
1 1 1(6( ) 8( ) 3( ) ) ( )
2 3 4
k
i ii
i i i
kin
l
l
k k k
n m
y k y k y k k
e eY e
e e e
zY z
z z z
zy k res z
z z z
k
w ww
w w w
例如
( )-
4.7.3 周期序列的周期离散频谱(DFS) 周期为Ｎ的周期序列是不可求和的，既然有周期性，它必定可用Ｎ个不同频率的正弦序列叠加来表示，即
1
1 1 1 1
1 1
1
1
0
1( ) ( )
0
2( ) [ ( )] ( ) , , 0,1,... 1
1( ) [ ( )] ( ) ,
[ ( )] ( ), [ ( )] ( )
( )
Ni k n
k
Ni k n i kn i k N n i k n N
n
i mn i k l
N N N N
S n DFS s k s k e n NN
s k IDFS S n S n e e e eN
DFS DFS s k m e S n IDFS S n l e s k
DFS w k f k h k f m
w
w w w w
w w
pw
的平移：
卷积： ( )= ( ) (1
0
1
0
1
0
1 12 2
0 0
( )
[ ( )] ( )] ( ) ( )
1 1[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( )
N
N
m
N
N N N N
m
N
N N
m
N N
k m
h k m
DFS f k h k f m DFS h k m F n H n
DFS f k h k H m F n m F n H nN N
Paseval s k S nN
)
( ) ( ) [
( )
方程：
4.8 有限长序列的频谱采样(DFT)
1 1
1
1
0
1
0
1 1
0 0
( ) [ ( )] ( )
( ) ( ) ( ) , 0,1,... 1
1( ) ( ) , ( ) ( ) ( )
sin( / 2 )( )
Ni i k
k
Ni n i k n
k
N Ni k n i
n
n n
n
S e DTFT s k s k e
S n S e s k e n N
s k S n e S e S nN
s k DTF
N
T
n
w w
w w
w w
w p
w
w p w
１
对
是连续周期频谱．
如果对其在频域以间隔 =2 /N采样，
长度为Ｎ的有限长序列 ，由 给出频谱函数
则有
1( 1)( )/2
sin( / 2 / )
i N ne
N n N
w w
w p
1
1
1
1
0
1
0
( ) ( )
( )
( ) DFT[ ( )] ( ) , 2 / , 0,1,... 1
1( ) IDFT[ ( )] ( ) , 0
Ni k n
k
Ni
i
nk
k
S n s k s k
S e S
e N n N
s k S n S n e
n
S n
D
N
FT
k
w
w
w
w p
上面的公式说明，对于有限长序列，其连续周期频谱
与频谱采样 具有等价性，但从存贮运算来说，
频谱采样 比连续频谱函数更容易处理．为此定义直
接计算有限长序列频谱采样的运算，即离散傅里叶变换
为
,1,... 1N
由上面的定义可见，计算有限长序列的频谱之采样的DFT与周
期序列的DFS定义形式上完全相同，不同的是处理对象，DFS
的对象是周期序列，DFT的对象是有限长序列．
有限长序列的频谱S(eiw)的计算过程表明，对序列在
[0,N-1]之外做了零化处理．如果对有限长序列在[0,N-1]之外
做周期延拓，那么，序列频谱S(eiw)的采样S(n)就是周期序列
的离散频谱．特别，S(eiw)与S(n)两者等价．说明对于有限长
序列，在其定义区间之外既可以零化，也可以周期化，但周
期化处理更简单(事实上信号在我们的关注区之外是什么值都
行，零和周期化是两种最简单的假设) ．以后我们总是将有
限长序列视为周期序列．特别计算过程中，处处使用周期条
件s(-k)=s(N-k)和S(-n)=S(N-n) 将序列或频谱的定义域移回到
[0,N-1]中．
可定义有限长序列的循环移动和循环(又称圆周) 卷积运
算．
DFT的性质
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ( )] ( ) [ ( )]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ), ( ) / ( )
(
,
,
,
,
) ( )
( ) ( )
i mn
i k m
x k x N k x N k x k
f k h k
F n DFT f k H n DFT h k
DFT DFT
af k bh k aF n bH n
f k F F kn f n
f k m e F n
e f k F n
N
m
w
w w
关键是利用周期性
．
设 与 两序列长度均为Ｎ，
，
则由 定义可知 有下面的性质．
线性：
对称性：
循环平移
1 2 / Np
1 12
1
0
1
0
2
0
0
1( )
( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
0, 1
)
( ) )
(
N
N
m
N
N
m
N N
m n
Paseval
Paseval
f k h k f m h k m F n H n
f k h k F n H n F m H n
s k S nN
mN N
N
循环卷积
方程
方程说明，周期序列一个周期的能量在时域中
分布于整个时区 上，在频域上分布于每一频率
成份上．
N长循环卷积计算方法 两有限长序列的循环卷积结果与循环长度密切相关．
１按定义计算：利用循环条件y (-m)=y (N-m) , y (N+m)=y (m),将序列定义域
移回[0,N-1]中，依据定义 计算．
2 矢量乘法：先对序列x和y截断或尾部补０使其长度为N，将序列y倒序后
右循环移动m(=1,2…N)个数据位置后再与序列x做点积给出循环卷积的第
m个值,例如
3 矩阵乘法 先对序列x和y截断或尾部补０使其长度为N，将序列y分别右
循环移动m(=0,1,2…N-1)个数据位置后放入矩阵的第m+1行，构造的矩阵
记为Y，则两序列的循环N长卷积等于行矩阵x与方阵Y的矩阵乘积．
即x y=x.Y
4 上机计算：调用Mathematica函数ListConvolve[x,y,{1,-n}], n是卷积长度.
5 用FFT计算 先将两序列截断或尾部补０使长度为N，取两序列的FFT,
相乘后取IFFT得循环卷积．即X=fft(x); Y=fft(y); z=ifft(X.*Y)．
1
0
( ) ( ) ( ) (( ) )N
N
m
f k h k f m h k m
( ) ( ) ( ), (0) { (0), (1),... ( 1)}.{ (0), ( 1),... (1)}y k f k h k y f f f N h h N h
有限长序列循环移动及循环卷积计算示例 循环移动序列的DFT与原序列DFT的关系示例
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1
2 2 2
4 /5
2 3 4
2 2 /5
( ) {1, 2,3,2,1 , ( 3) {3,2,1,1,2 2 / 5
( ) ( )
(3 4cos(2 / 5) 2cos(4 / 5))
DFT[ ( 3)] 3
(3
i n i n in i n i n
i n
i n i n i n i n
i n i n
x k x k
X n x k e e e e e
n n e
x k e e e e
e e
w w w w w
p
w w w w
p p
w p
p p
} = },
( )=DFT[ ]= +2 3 2
+2 2
+2
1
4 /5 4 /5 2 /5
32
)
(3 4cos(2 / 5) 2cos(4 / 5))
( ) ( ) {1,2,3,2,1} {1,2,3,4,5}
1 2 3 4 5
5 1 2 3 4
{1,2,3,2,1}. {31,30,24,23,27}4 5 1 2 3
3 4 5 1 2
2 3 4 5 1
i n i n i n
i ni n
e e e
e n n e X n
x k y k
p p p
wp p p
2
( )
⑤
循 卷 矩 乘法 算示例
⑤
环 积 阵 计
第四章小结
1 周期信号的傅里叶级数展开及其FT，周期信号功率pasval等式。
2 周期信号激励下的线性系统响应y (t).
3 FT与IFT的定义、性质、快速计算。
4 非周期信号的频谱与pasval等式。
5 非周期信号激励的系统响应（系统傅里叶分析）。
6 理想取样定理和可实现的采样定理。
7 非周期序列的DTFT变换。
8 周期序列的DFS变换。
9 有限长序列的DFT变换。
0 1
1
1 1 1
1
1
1
00
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) cos( )
2 / , | ( ) |, ( ( ))
( ) cos( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) cos(
zs zs k k
k
k k
zs k k
k
j j j
zs zs l
l
k k
y t f t h t Y j F j H j f t A A k t
T H H jk Arg H jk
y t A A k t
y k f k h k Y e F e H e f k A A l
H H
kw w w
p
w
令
则
1 1
0
1
0 1
1
)
2 / , | ( ) |, ( ( ))
( ) cos( )
l
jl jl
l k
zs ll l
l
l
N H H e Arg H e
y k HA A l kH
w w
w p
w
令
则
第四章 连续LTI系统频域分析练习题类型
1 基函数集合的正交性（4.1～4.5）
2 信号周期性（4.6）
3 非正弦周期信号的傅里叶级数展开系数计算（4.7～4.13）
4 傅里叶积分变换与逆变换及其性质(4.14~4.29)
5 用FT求解连续LTI系统的响应(h(t),g(t),yzi(t),yzs(t))和频谱函数H(i)(4.30~4.33)
6 利用FT求出频率域系统函数H(i)，
（1）对于输入的多频率周期正弦信号，计算出频率域系统函数在每一频率处的幅度和
主幅角，据“放大延时”特性求系统0状态响应(4.34～4.35，4..38(1), 4.41, 4.43,4.47)；
（2）对于带限输入信号f(t)=(1/t)sin(at)cos(bt) ,据 sin(at)/tp g2a(),
sin(at)cos(bt)/t(p g2a(b)+g2a(b))和Y(i)=H(i)F(i)求逆FT变换来求出系统
响应y (t)（4.36～4.37，4.38（2），4.42，4.44，4.45，4.46）
(3) 对于一般的输入信号和简单或复合系统，求H(i)和y (t) (4.51,4.52)
6 采样定理相关问题(4.48~4.50)
7 计算周期序列的DFS——傅里叶系数（4.53），计算序列的DTFT(4.54),计算有限
长序列的DFT及圆周卷积(4.55~4.60)
必选习题：4.7,4.11~4.14,4.19,4.38~4.40,4.45~4.47,4.53~4.60
第五章 连续LTI系统的复频率(s)域分析
对于因果系统用拉普拉斯变换分析最为方便．
5.1 单边拉普拉斯变换及其性质
5.2 复频率域分析
5.3 双边拉普拉斯变换
| | | |
( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) , ) ( ( ) , )k k
zs zi zs
s t s t
zs k zi k
s s
Y s Y s Y s Y s H s F s
y t t res Y s e s res Y s e s
5.1 .1 单边拉普拉斯变换及其性质
本节讨论的所有信号函数均是含单位阶跃函数因
子且处处有界的信号函数，则定义因果信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)及其逆变换为(设 |f(t)|<Me t )
0
| |
( ) [ ( )] ( ) , ( ) Re( )
1( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ( ) , )
2
1[1] [ ( )] , Re( ) 0
[ ( )] ,
1[ ] , Re( ) 0
k
s t
is t s t
ki
s
s
t
F s LT f t f t e dt F s s
f t ILT F s F s e ds t res F s e si
LT LT t ss
LT t e s
LT e ss
p
的解析域为
例如
0
( )
1
2 2 2 2
2 2 2 2
Re( )
"1" , Re( ) 0 , Re( ) 0
, | | , Re(
( )
( )
( )
{sin( ),cos(
( ),
1/ !/
1/ ( )
/
) 0
{ }, Re( ) 0
{ }
)}
{sinh( )
( ), / ( )
/ ( ),cos , / , Re(( )} ( )h
n
n t
n
n
F s
s n s
s s
s s s
s
f t
t t
t e
t t
t t s
s
s s
s s
s
ss
常见信号的拉普拉斯变换，设
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
) 0
{ }, Re( ) 0
{ },Re( ) 0
, c
,( ) ( )
,( ) ( )
(
{sin( ),cos( )}
{sinh( ),cosh( )}
co os( s , ( cos sin )
( /
)
2) ( ) )
)
1(
t
t
t
s
s s
s
s s
s
s
a A
e t t
e t t
Ae b Aa s b
s
t te
t
g t
b
b
b
b
b b
b
b
b
b b
b
b
0 0
(
,Re( )
,1
1) Re( ) 0
kT s
kT
s
s
k
s
e
s
et T sk
5.1.2 拉普拉斯变换性质
1
0
0
1 ( / )
( ), ( ), ( )
( ) ( )
( / ), 0 Re
: ( ), ( ),Re( )
( / )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
(
(
)
(
( )
)
s
b
t
a s
F s G s H s
aF s bG s
a F s
f t g t h t
af t b
a a s / a
e F s e
g t
f a t
f t t F s s
a e F s a
f t g t f x
f t
f at b a
t
t
g
b
设
线性：
标度变换： ， ( )>
时移 复频移
例如
卷积：
1 2 1 2 1 2 1 2
11 ( )( )
(
0
( 1)( 1)
) , ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( ) ,Re( ) , Re( )
2
( ) (0 )
( ) ( )
( ) ( )
(
( )
)
( )
( ) ( ): )( (
0)
c i
c i
nn n k k n
k
n n
f t g t
f t
x dx F s G s
f t f t F q F s q dq s c si
ds F s s f F s
ds
F s ff t
s
f t
t f t
f t t
f
p
微分： ，
积分 ，
因果信号 ( ),1
)
0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) , arct
... ( ) ( )( 1)!
sian arctan
2
n
nnn
n
s
tn F st t
t f x dx f t t t f tn
f t t
s
sF s s F d
t t s
p
( )
频域积分：
( )
例如
利用拉普拉斯变换性质计算像函数举例
10
1[ ]
2 2 1 221
2 2 2 2 10
2 2
1 ! 1( ( ) ( )) ( 1) (1 ( ) )
!
( 1) !cos( ) ( ) ( 1) | |
( )
( )cos( ) ( )
((
n s nn n s l
n nl
n
k k k n knat n n n
s s a s s an nk
at
d e nt t t e s
ds s s l
n C b sd se t bt t
ds s b s b
s a bte bt t
利用时域乘时间变量幂函数对应像域求导数性质计算
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
01
/4
2( ), sin( ) ( )
) ) (( ) )
! 1 1( ( ) ( )) ( , 0) ( ) |
( ) ( ) ( ( / 2) 2 ( ) ( / 2)) (
at
q s n q sn
qn n
s
s a bte bt t
s a b s a b
n e d et t t res q
q q s dq q s
e et t t t t t
D
利用时域相乘对应像域卷积性质计算，卷积由留数方法计算
利用时域卷积对应像域乘积性质计算/4
2)s
s
5.1.3 逆拉普拉斯变换
| |
2 2
5 12 2
1( ) ( ) ( ) ( ( ) , ), ( )
2
400 400( ) ( , { 5, 1,0})
( 5) ( 1) ( 5) ( 1)
400 400 400( ( ) | |
( 1) ( 5) ( 5) (
k
is t s t
ki
s
s t
s t s t
s s
f t F s e ds t res F s e s F si
t res e ss s s s s s
de e
ds s s s s s s
p
(1) 利用留数方法计算原函数
其中 解析域为R e(s)
例如
0
5 1 02 2 2
5
2 2
| ) ( )1)
( 1) 2 1 400 400( | | | ) ( )
( ( 1)) ( 5) ( 5) ( 1)
((20 9) 25 16) ( )
(2)
400 20 9 25
( 5) ( 1) ( 5) 5 1
s t
s
s t s t s t
s s s
t t
e t
s s t se e e t
s s s s s s
t e e t
s s s s s s
查表法计算原函数
将像函数化为最简有理分式之和，再查Laplace变换表得到原函数。
例如 516((20 9) 25 16) ( )t tt e e t
s
相比之下，查表法更简单。
(3) 利用拉普拉斯变换性质计算原函数
55
5
2 2 2
0 0
2
2
1 1 1( ) ( 5) ( ) ( )
5 1/ 2 1sin(4 ) ( )
(( 5) 16) ( 5) 16 8
( ) ( ), ( ) ( )
1( ) ( )
1
(1 ) 1( 1)
(1 )
ss s
t
at
T s k s
T sk k
s sk
s
ee t t f t e F s
s s s
s dte t t
s ds s
de f t F s a tf t F s
ds
e t kT t ee
e ee
s e s
0 0
( 1) 2
2( 1)0
( 1) ( ( ) ( 1))
(1 )( 1) ( ( ) ( 1))
( 1)(1 )
k s k
k k
st k
sk
t k t k
ee t k t k
s e
卷积性质
5.2 LTI连续系统s域分析方法步骤 5.2.1 因果信号激励下的LTI系统响应
( ) ( )
0 0
11 ( )
0 1 0 0
11 ( )
1
0 0 1 0
( ) ( )
( ) (0 ) ( )
( ) , ( ) , ( ) (0 )
( ) ( )( )
( ) ( )
n mk k
k k
k k
n n k mk k l l k
k k k
k k l k
n m n kk k k l l
n k m k n k
k k k l
zs m
n
zi
a y t b f t
Y s a s a s y F s b s
A s a s B s b s C s a s y
Y s B sH s
F s A s
Y
对方程 取拉普拉斯变换
-
记
系统函数：
1
| |
| |
( )( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ( ) , )
( ) [ ( )] ( ( ) , ), ( ) ( ) ( )
l
l
nzs zi zs
n
st
zs zs zs l
s
s t
zi zi zi l zs zi
s
C ss Y s H s F s Y s Y s Y s
A s
y t t ILT Y s t res Y s e s
y t ILT Y s res Y s e s y t y t y t
对于二阶系统
2
2 1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 01
2 2
2 1 0 1 0
1 1
2
2 1 0
( ) , ( ) , ( ) ( ) (0 ) '(0 )
( ), ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) (0 ) '(0 )( )
( )
( ) ( )
zs
zi
zs
n m
A s s a s a B s b s b C s s a y y
b s b b s bB sH s Y s H s F s F s
A s s a s a s a s a
C s s a y yY s
A s s a s a
y t t I
取方程的拉普拉斯变换( =2, =1)，记
得到
( )=
1 0
2| | 1 0
1
2| | 1 0
[ ( )] ( ) ( ( ) , )
( ) (0 ) '(0 )( ) [ ( )] ( , ),
( ) ( ) ( )
l
l
s t
zs l
s
s t
zi zi l
s
zs zi
b s bLT Y s t res F s e s
s a s a
s a y yy t ILT Y s res e s
s a s a
y t y t y t
1 0 1 0' '( ) '( ) ( ) '( )y t a y t a y t b f t b f t ( )
二阶系统求解一例
2 2
2 2 2
2
12 2 2 2
2
''( ) 4 '( ) 4 ( ) '( ) ( ), (0 ) 5, '(0 ) 5,
( ) cos( ) ( )
[ ( )], cos( ) ( )( )
( 1) 1 1( ) [ ( )] ( ) | , ( ) ,
1 (( 1) 1) ( 2)
1( )
( 2)
t
s s
zs
y t y t y t f t f t y y
f t te t t
sLet Y s LT y t t t t
s
d s s sF s LT f t H s
ds s s s
sY s
s
解： ( )= 注意
2
12
2
2 22
1 22 2
2
2
( 1) 1 1( |
(( 1) 1) 2 1 1
( ) ( ( 1)cos ) ( )2
5( 3) 1 1( ) 5( 4) 5 5 15, ( ) 5( ) |
( 2)
( ) [ ( )] 5 (1 )
( ) ( ( 1)
1 1)
1
cos ) ( )
(
2
)
5
s s
tt
zs
zi s s
t
zi zi
tt
s
s
ey t e t t t
sC s s s Y s
s s s
y t ILT Y s e t
ey t e t t t e
s s
s s s
2 (1 )t t
155
5.2.2 时域动态电路映射为s域“电阻”电路 在时域中，电容和电感元件的电流电压关系
是微分关系，以至于动态电路方程是微分方程组．取Laplace变换映射关系到s域，得到三种典型电路元件的像电流像电压关系
上式表明，时域电容Ｃ映射到s域成为“电导Cs并联反向电流源Ｃuc(0-)”,时域电感映射到s域成为“电阻Ｌs串联反向电压源ＬiL(0-)” ．
( ) ( )( ) , ( )C L
C L
du t di ti t C u t L
dt dt
( ) ( ), ( ) ( ) (0 ), ( ) ( ) (0 )
(0 )( ) ( ) (0 )1( ) , ( ) ( ) , ( )
R R C C c L L L
cR L LR C C L
U s R I s I s Cs U s Cu U s LsI s Li
uU s U s iI s U s I s I s
R Cs s Ls s
利用将动态元件映射到s域的方法，可将时域动态电路映射为像域的
“电阻电路”，在像域中解代数方程组得到电容电压和电感电流的像函数
，再取逆Laplace变换，就能求得所关注的信号的时域解函数．这种直接
映射时域电路到像域的方法大简化了电路问题中列写方程和求解微分方程
的分析过程．
例如,下面四个电路图中的c8F, cc2=c3, R1=R2 =R3=1000 它
们分别是低通，高通，带通，带阻滤波器电路，映射到s域，可以方便地
给出它们的系统函数H(s)
电路问题求解例一 Ｒ１Ｃ5F，输入u1(t)=ε(t)- ε(t-1);输出
为u２(t)=t(ε(t)- ε(t-2));求解
HsU2(s)/U1(s)
(2) 冲激响应和阶跃响应
(3) f(t)=u1(t)=ε(t)- ε(t-1)激励的yzs1(t)
(4) f(t)=u２(t)=t(ε(t)-ε(t-1))激励的yzs2(t)
解：据题意，不考虑初值条件．电容映射到s域可视为值为0.5s的电导，选如图
所标的节点a和b，列s域节点像电压方程：
-0.5sU1(s)+(1+0.5s)Ua(s)=0, -U1(s)+(1+0.5s)Ub(s)=0,U2(s)=Ua(s)-Ub(s)
(1) H(s)=(Ua(s)-Ub(s))/U1(s)=(0.5s-1)/(0.5s+1)=1-4/(s+2)
(2) h(t)=(t)-4e-2t ε(t), g(t)=h(t)*ε(t)=(2*e-2t-1)ε(t)
(3) yzs1(t)=u1(t)*h(t)=((t)-(t-1))*g(t)=g(t)-g(t-1)
(4) yzs2(t)= t(ε(t)-ε(t-1))*((t)-4e-2tε(t))=(1-t-e-2t )ε(t)+(t-1-e-2(t-1))ε(t-1)
k以u1(t)为输入，u２(t)为输出，求冲激响应h(t).
解: 列s域节点电压方程
1+s+s/(s+1))Ua(s)-U1(s)-sU2(s)=0 (1)
U2(s)=k(1/(s+1))Ua(s) (2)
带(2)入(1)得到
求如图所示电路的冲激响应h(t)和阶跃响应
g(t).
解：列s 域初级回路和次级回路方程
I1(s)(2s+1)+sI2(s)=Us(s) (1)
U(s)=-I2(s), sI1(s)+(1+2s)I2(s)=0 (2)
带I1(s)=-(2+1/s) I2(s)入(1)得,
电路问题求解例二
/21 22 2 2
1
( ) ( ) 2 4 3 3( ) , ( ) , ( ) sin( ) ( )
(3 ) 1 ( ) ( 0.5) 3 / 4 3 2
tkU s U sU s H s h t e t t
s k s U s s
U(s)=-I2(s)=(s/(3s2+4s+1))Us(s), H(s)=U(s)/Us(s)=(s/3)/((s+1/3)(s+1))
H(s)=0.5/(s+1)-(1/6)/(s+1/3), h(t)=(0.5e-t-(1/6)e-t/3)ε(t)，g(t)=h(t)*ε(t)=0.5(e-t/3-e-t)ε(t)
电路问题求解例三
5.2.3 系统s域框图 基本运算单元 时域框图符号 s域框图符号
对于因果信号f(t),积分器中的f(-1)(0-)=0,于是有f(-1)(t) ↔ F(s)/s.
利用框图列方程求解系统一例
如上图所示，y(0-)=1,y′(0-)=2,求系统冲激响应,阶跃响应, 零输入响应yzi(t).
解：据系统框图，列s域方程：
s2X(s)=F(s)-3sX(s)-2X(s), Yzs(s)=sX(s)+3X(s)
X(s)=F(s)/(s2+3s+2),Yzs(s)=F(s)(s+3)/((s+1)(s+2))
H(s)=2/(s+1)-1/(s+2), h(t)=(2e-t-e-2t)ε(t)
g(t)=h(t)*ε(t)=(1.5+0.5e-2t-2e-t)ε(t)．
零输入响应满足的方程为y′′(t)+3y′(t)+2y (t)=0,取LT有
Yzi(s)=((s+3)y(0-)+y′(0-))/(s2+3s+2)=(s+5)/(s2+3s+2)=4/(s+1)-3/(s+2)
yzi(t)=(4e-t-3e-2t)ε(t)
5.2.4 s域系统函数与频域系统函数的关系
1
( ).
,
( 1
0, ( ) |( ) ( 1)! ( )
bit n at
n
n-1
s in
A A Aa e t e t
s a bi n s a bi
H i
i / n -
１连续LTI系统s域系统函数H(s)所有奇点均在s平面左半平面时，
可由H(s)做s i 的替换直接给出频域系统函数 理由是
２连续LTI系统s域系统函数H(s)所有奇点均在s平面的虚轴上，且
为n阶极点．可由H(s)先做替换s i 再加频域冲激信号的n-1阶
导数乘1 1
( 1)
1( 1)
( ) ( )( ) ( 1)! ( 1)! ( )
| ( )( ) (
)!,
3
1)!
0, ( ), [ ( )]
(
( )
)
n i pt nn
n n
nn
s in
at bt i at bt i
A At e Ai At p
s i p n n i i p
A i Ap
s i p n
Aa Ae e t FT A
H s
e e ts a bi
s
p
p
就给出频域系统函数，因为
的奇点在 平面的右半平面时，频域系统函数不存在．例如
不存在．
由H(s)给出H(i)的方法
1 1
1( 1)
1
( ) ( ) |
( )( ) ( )
( ) ( ) | ( )( 1)!
k k
k
k
s i
n mk k
n mk kk k k
mmm
s i k k
k k
H i H s
A BH s
s a b i s q i
iH i H s B q
mp
１ H(s)全部奇均在s平面的左半平面时
２ 设H(s)有m个奇点在s平面虚轴上，有n个
奇点在s平面的左半平面上，则有
３ H(s)至少有一个奇点在s平面的右半平面，则频
域系统函数H(i )不存在．
由s域系统函数计算频域系统函数举例 3
2
1 2 3
3
2
3
2 2
16( 1) 18 7 9 7 9( ) 16
( 4)( 2) 2 2 2
2, 2 , 2 , ( )
16(( ) 1)( ) (7 9 ) ( 2) (7 9 ) ( 2)
(( ) 4)( 2)
1 1( ) ( ) '( ) ( )
s i iH s
s s s s i s i
s s i s i H i
iH i i i
i i
sH s s h t t t t
s s
p p
例１
解：有三个一阶极点 右半平面没有奇点， 存在
例２
解：有限远
2
/100 ( /100) (( 1)/100)
/1000
0
0
1( ) '( )
(1 ) ( )( ) ( 1) , Re( ) 0
(1 )
: 100(2 1) ( )
( ) ( 1)
s k s k sk
sk
n
k
k
s
H i i i
- e e - eH s s
s e s
s n i H i
s i
H i
p
p
奇点 是二阶的，因此有
例３
解 所有奇点 均是一阶的并在虚轴上． 存在．而从无穷
多项之和的表示来看，好像没有奇点，于是直接做替换 得到( /100) (( 1)/100) /100
/100
( ) (1 )( ) |
(1 )
k i k i i
s ii
e - e - eH s
i i e
5.3 双边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换只能用于求解因果信号激励的系统响应，如果输入系统的是非因果信号，则必须考虑双边拉普拉斯变换．其定义如下
1 2
1[ ( )] ( ) ( ) , ( ) [ ( )] ( )
2
lim | ( ) | 0,Re( ) , lim | ( ) | 0,Re( ) .
2( ) ( 1)( ( ) ( ))
2
is t s t
b b bi
t t
t t
LTb f t F s f t e dt f t ILTb F s F s e dsi
f t e s f t e s
t Tf t t t
T
p
要求 因而对
于全时域非０值的信号双边拉普拉斯变换有可能不存在．
双边拉普拉斯变换举例：
例１
0 /22
2/2 0
1 2
2(1 )( ( ) ( )), ( )
2
( )
2 2 8( ) ( ) ( 1) (1 ) (sinh( ))
4
Re(s) .
b
Tst s t st
bT
t Tt t F s
T
f t
t t sTF s f t e dt e dt e dt
T T Ts
- < <
求 ．
解： 是能量信号，双边拉普拉斯变换存在．引用定义得到
= =
其收敛域为
双边拉普拉斯变换举例
0( ) ( )
0
( ) ( )( ) ( ) 0 0
0 0
( ) ( ) ( ),
( ) ( )
| |
Re( ) 0,Re( ) 0,
Re( ) >
bt at
st s b t s a t
b
b s x s a xs b x s a t
f t e t e t
F s f t e dt e dt e dt
e ee dx e dt
s b s a
b s s a
b
例２ 求双边拉普拉斯变换存在的条件．
解：
显然，仅当 积分才收敛．于是双边
拉普拉斯变换存在的条件是
10 2
Re( ),
1 1[ ( ) ( )] ,Re( ) Re( ) Re( ).
1 1[ ( ) ( )] , 2 Re(
FTb[- (- )] 1/ , Re
) 102 10
. FTb[ ( )] 1/ Re( ) 0.
[ ( ) ( )] [1] [ ( ) ( )
( ) 0
] 2
bt at
t t
t s s
a
FTb e t e t a s bs a s b
FTb e t e t ss s
t s s
FTb t t FTb FTb t t
这时有
例如
又例如 ，
但是 不存在, / ?s
特别，有限区间上非零有界的能量信号，FTb必定存在．
双边拉普拉斯变换的性质
( )
( 1)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ), ( ) ( )
1: ( ) ( ) ( ) ( / )
| |
( ) ( ), ( ) ( 1) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
: ( )
b b
a s at
b b
b b
nn n n n
b bn
b b
f t h t F s H s
f t - a e F s e f t F s a
f t F s f at F s aa
df t s F s t f t F s
ds
f t h t F s H s
f t f
b b
线性：
平移：
标度
导数:
因为信号在时区无穷边界上为０，这里没有初值．
卷积:
积分
1
2
( )( ) ( )
Re( )
Re( ) )
( ) ( ( )).
bF st t
s
s
s
t t
双边拉普拉斯变换像函数可以拆分成两部分，即解析
域在右半平面( )的因果部分和解析域在左半平面
( 的反因果部分。求因果部分原信号函数时要乘
，求反因果部分原信号函数时要乘 -
求双边拉普拉斯变换像函数对应的信号函数
1 1 1
2
2
2 3( ) ,
( 1)( 2)
(1) : Re( ) 1 (2) : Re( ) 2 (3) : 2 Re( ) 1,
2 3 1 1: (1) ( ) ,
( 1)( 2) 1 2
( ) ( ) ( ).
(2)
( ) ( ) ( ).
(3)
b
b
t t
t t
sF s
s s
D s D s D s
sF s
s s s s
f t e e t
f t e e t
解析域分别为
解 因解析域在右半平面
原信号是因果的，因而有
因解析域在左半平面，原信号是反因果的，因而有
因
2
2 Re( ) 1
( ) ( ) ( ).t t
s
f t e t e t
解析域为 ，即1/(s+1)是反因果信号的像
函数，1/(s+2)是因果信号的像函数，因而有
反因果与因果信号拉普拉斯原函数与像函数表
1
1
1
1
2 2
2 2
( ( )) !/ , Re( ) 0,
( ) !/ , Re( ) 0
( ( )) !/ ( ) , Re( ) ,
( ) !/ ( ) , Re( )
cos( )( ( )) / ( ), Re( ) 0,
cos( ) ( ) / ( ), Re( ) 0
cos( )( ( )) (
n n
n n
n t n
n t n
t
t t n s s
t t n s s
t e t n s s
t e t n s s
t t s s s
t t s s s
e t t
b b
b b
b
2 2
2 2
) / (( ) ), Re( ) 0,
cos( ) ( ) ( ) / (( ) ), Re( ) 0
( ( ))
( )
t
s s s
e t t s s s
t
t
b
b b
结论：解析域取在极点左面，时域信号乘
解析域取在极点右面，时域信号乘
用双边拉普拉斯变换求非因果信号激励的系统响应一例． 请求解
5 55 5
( 5) 6( 5) ( 5) 6(
120 20 24 4( ) ( )( )(0 )
( 1)( 6) 1 6
Re( ) 1
( ) ( ), ( )
( ) ( 5)(20 24 4 ) ( 5)(20 24 4
s ss s
b
s
b
t t t t
e eY s e e
s s s s s s
s
e F s f t Y s
y t t e e t e e
解：对方程取双边拉普拉斯变换有
不是极点
系统的输入信号是因果信号向"左"平移了5秒，考虑
和 取 的逆变换有 5)
6( 5) ( 5) 6( 5) ( 5)
10
5 55 5
)
20 ( ) 4 ( 5)( 6 ) 4 ( 5)( 6 )
120( ) 20 4 24( ) ( )( )
( 1)( 6) 6 1
1/ ( ) ( ), 2 / ( ) sgn( ), ( )
t t t t
i ii i
at i i
g t t e e t e e
FT
e eY i e e
i i i i i i
i a e t e i t e F i f
也可用FT求解，对方程取 有
注意
10
6( 5) ( 5) 6( 5) ( 5)
10
( )
sgn( 5) sgn( 5) 2 ( ), ( )
( ) 20 ( ) 4 ( 5)( 6 ) 4 ( 5)( 6 )t t t t
t
t t g t Y i
y t g t t e e t e e
取 逆变换有
10''( ) 7 '( ) 6 ( ) 120 ( ) 120 ( 5) 120 ( 5).y t y t y t g t t t
连续LTI系统s域分析练习题类型 1 利用拉普拉斯变换定义及性质计算信号的单边拉普拉斯变换像
函数或原信号函数(5.1~5.10)
2 利用LT求解连续LTI系统的H(s),h(t),g(t),yzi(t),yzs(t)(5.11~5.21)
3 求复合系统的H(s)和h(t),g(t)(5.22~5.25).
4 利用系统在多个不同的输入信号激励下的全响应，求系统的
H(s)，h(t),yzi(t)及在新的输入信号激励下的全响应(5.26~5.28).
5 利用LT求解电路问题的H(s),h(t), yzi(t),yzs(t)(5.29～5.40）。
6 利用系统的H(s)的计算频域系统函数H(i)或计算系统响应
（5.41～5.48）。
7 求信号的双边LT像函数或计算双边LT像函数对应的原信号函数
(5.49~5.50)
必选习题：5.7,5.9,5.10,5.21~5.23,5.26,5.33~5.35,5.38,5.47
第六章 离散系统z域分析
６.１z变换性质与逆z变换
６.２离散系统z域分析方法
６.３利用z 域系统函数给出频域系统函数
６.１ z变换的性质与逆z变换 ６.１.１ z变换的来源
讨论采样定理时，我们知道，联系连续信号x(t)与采样数据x(kTs)的桥梁
是采样信号xs(t)．对采样信号xs(t)取拉普拉斯变换：
(ln )/
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )] ( ) ( ) ( )( )
,
[ ( )] ( ) ( ) ( ) |
s
s s
s
s
s T s s
k
kT s T s k
s s s s
k k
sT
k
s s s s z T
k
x t x t t x kT t kT
LT x t X s x kT e x kT e
z e
ZT x kT X z x kT z X s
记 则有
可见，序列的z变换来源于序列对应采样信号的拉普拉斯变换，z变换X(z)是拉普拉斯变换Xs(s)的的简化记号．
考虑到双边拉普拉斯变换的解析域是s平面的中间带状态域，即<Re(s)<b, 所以序列z变换的解析域或收敛域必定是z平面上的圆环域．因<Re(s)<b对应r<|z|<R. 直接定义序列的z变换和逆z变换为
1 1
| | | |
[ ( )] ( ) ( ) , | | , ( )
1[ ( )] ( ) ( ) ( ( ) , ),
2l
k k
k k
k k
l
z a z a
ZT x k X z x k z r z R x k z
IZT X z x k X z z dz res X z z z r a Rip
要求 ｜ ｜
∮
Z变换存在的条件，对因果序列或反因果序列容易满足，但对于双边序列要求比较苛刻，有限长序列和双边快速衰减序列的z变换必定存在，但对于单纯的指数型双边序列和常数双边序列z变换不存在．所以大多数情况我们用到的是单边z变换，其定义是
1
0 | |
[ ( )] ( ) ( ) ,| | , ( ) ( ( ) , )l
k k
l
k z R
ZT x k X z x k z z R r x k res X z z z
６.１.2 z 变换的性质 1
1
1
0
( ) ( ) ( ) ( ), : ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( )
: ( ) ( / ), ( 1) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
mm l m
l
mm m l
l
k k
m
af k bh k aF z bH z f k F z
f k m z F z
z f k m z F z f l z
f k m z F z f l z
a f k F z a f k F z
f k h k f m h k m F z H
线性: 对称
平移: 双边z变换
单边 变换
标度
卷积:
1
( )
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), 0
( ) ( ) ( ) ( ): ,
: ( ) ( ) ( ) ( )1
m m
m
mz z
k
l
z
d dz kf k z F z k f k z F z m
dz dz
f k F f k Fz z d d
k m k
zf l k f k F z
z
域微分:
域积分
部分和
( ) ( )f k F z
2 3 2
2 3 4
1
2
2 3
2
,| | 1, , | | 11 1
,
1 1 1, ,| | | |, ,| |
1 | |
4, ,
( 1) ( 1)
( ) ( 1)
( ) ( )
(
( 1)
,(
(
) ( 1) ( )
( ) ( ) (
(
)
) ))
k k k
k k
m m
z
z zz z
z z
z z
zz a z
z a z a az a
ka k
z z z z z z
z z z
k k
k m k m
a k a
k
k a k
k
a
k k k
kz
k
a
k
za
常见序列 变换
2 2 3 2 2 3
3
3
3
2
2 2 2 2
( )
( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
( c
4,
( ) ( )
(ln ), ( / )(l
os cos( )) ( cos cos( ))cos( ) ( )
( )
)1
)
n
(
,
(
k
k
k k k k
i i
a z az az a z a z
z a z a
z zz z a
z z a
z az
z
k a k
k ka
k k
a k a k a k a k
z z
a
z zk k
z e z e z
z a
b b b
2 2 cos 1)z
６.１.3 逆z 变换方法
2
3 2 2 33 2 3
4
(1)
( ) / ( )
( ), / ( ) ( ), / ( ) ( ),
4( ) / ( ) ( ), ( )
( )
(2) ( ) ( ) ( )
| | | | ( )
m k k
k k
k
k
F z z z a
Az A k m z z a a k az z a ka k
az a z a zaz z a z a k a k k a k
z a
F z F z f k z
z a F z
查表法
先简化 成分式 或分式导函数之和，再查表求原序列。
．
将 展为洛朗级数再与 比较，可确定原序列。
例如 , 1 1 1
0 1 0
1
1 1
| | | |
2 2
1/ ( ) ( 1)
( ) ( 1).
1(3) ( ) ( ) ( ( ) , ),
2
1 1| | , ( ) , ( ) ( , ) 2 (1/ 2) ( ).
2 ( 1/ 2) ( 1/ 2) 2
l
k k n n n n
k n n
n
k k
l
z a z a
kk
z a z a z a z a n z
f k a n
f k F z z dz res F z z z r a Ri
z zz F z f k res k k
z z
p
比较发现
利用 求留数。
例如
∮
６.２离散系统z域分析方法
= 0 = 0
1
= 0 = 0 = 1 = 0
( ) ( ), ( ) , 1...
( ) ( )
( ) ( ) , ( ) ( )
n m
n l m l l
l l
ln m nl l j
n l m l n l
l l l j
f k
a y k l b f k l y l l n
y k f k
A z a z B z b z C z a y l j z
b
6.2.1 理论分析方法
设描述n阶LTI离散系统的差分方程( ( )是因果信号)为
对方程取z变换，记ZT[ ]=Y(z),ZT[ ]=F(z),
,
或
= 0
= 0 = 1 = 1
( ) ( ), ( ) , 0... 1
( ) ( ) 1, ( ) ( )
( ) ( ) / ( ), ( ) ( ) / ( ), ( ) ( ) ( )
( ) [ ( )], ( ) ( )
n
l l
l
ln nl j
l l
l l j
zi zs
zi zi zs
f k
a y k l f k y l l n
z A z a z B z C z a y l j z
Y z C z A z H z B z A z Y z H z F z
y k IZT Y z y k k IZ
b
者描述n阶LTI离散系统的方程( ( )是因果信号)为
+
取 变换得到 ,
解得
[ ( )], ( ) ( ) ( )zs zi zsT Y z y k y k y k
6.2.2 高阶差分方程解析解——程序解法 手工只能解二阶及其以下的差分方程，高阶差分方程描述的离散系统，要求
解析解，必须解一元n次代数方程和n元一次代数方程组，手工很难完成，因而
编程求解成为唯一选择。如果用迭代方法求其数值解，手工计算也很慢，编程求
解的效率当然最高。下面给出z分析方法求差分方程解析解的程序，也给出调用
Mathematica内部函数Rsolve求解析解的程序。
Clear[A, B, Cz, "y*", "Yz*", f,k,q,j]
a={1, 13/12, 3/8, 1/24} (* 1,Subscript[a, n-1],...Subscript[a, 0] *); a2 = a[[2 ;; -1]];
b={4, 2, 8} (* Subscript[b, m],...Subscript[b, 0] *);
y0={10, -10, 20} (* y(-1),...y(-n) *);
n = Length[a] - 1; m = Length[b] - 1; n0 = Length[y0];
If[n != n0, Print["初值条件数与方程阶数不一致,请检查！"]; Exit[]];
eq = a.Table[y[k - j], {j, 0, n}] == b.Table[f[k - j], {j, 0, m}]; Print["方程：\n", eq];
f[k_] = (1/5)^k UnitStep[k]; F = ZTransform[f[k], k, z];
A = a.Table[z^(n - j), {j, 0, n}]; B = b.Table[z^(n - j), {j, 0, m}];
Cz = -a2.Table[Sum[y0[[q - j]] z^(n - j), {j, 0, q - 1}], {q, 1, n}] //Simplify;
Yzi[z_] = z Apart[Cz/(z A)] // Expand;
Yzs[z_] = z Apart[F B/(z A)] // Expand;
yzs[k_] = UnitStep[k] Simplify[InverseZTransform[Yzs[z], z, k]];
yzi[k_] = Simplify[InverseZTransform[Yzi[z], z, k]] // Expand;
Print["y(k)=", yzi[k] + yzs[k]];
Print["初值{y(-1)„y(-", n, ")=",Table[yzi[k] + yzs[k], {k,-3,-1}]];
data1 = Table[{k, yzs[k] + yzi[k]}, {k, 0, 20}];
sol=Simplify[ RSolve[{eq, Table[y[-j]==y0[[j]],{j, 1, n}]}, y[k], k],
Assumptions -> k \[Element] Integers];
y[k_] = Simplify[y[k] /. sol[[1]]] // Expand; Print["y(k)=", y[k]];
Print["初值{y(-1)„y(-", n, ")=", Table[y[k], {k, -3, -1}]];
data2 = Table[{k, y[k]}, {k, 0, 20}]; er = data2[[;; , 2]] -
data1[[;; , 2]];
Print["两种解法间的误差：", Max[Abs[er]]];
ListPlot[data1, Filling -> {1 -> {Axis, Red}}, AxesLabel -> {"k",
"y(k)"}, PlotRange -> All]
6.2.3 离散系统的数值解的迭代解法程序
Clear["y*",f, q,k ];
a={1,13/12,3/8,1/24} (* 1,Subscript[a, n-1],...Subscript[a, 0] *); a2=a[[2;;-1]];
b={4,2,8} (* Subscript[b, m],...Subscript[b, 0] *);
y0={10,-10,20} (* y(-1),...y(-n) *);
f[k_]=(1/5)^k UnitStep[k];
L=20;
n=Length[a]-1; m=Length[b]-1; n0=Length[y0];
If[n!=n0,Print["初值条件数与方程阶数不一致,请检查！"]; Exit[] ];
Print["方程：\n",a.Table[y[k-j],{j,0,n}]==b.Table[f[k-j],{j,0,m}]];
Print["初始值: {y(-1)...y(-",n,")=",Table[y[-j]=y0[[j]],{j,1,n}]];
For[j=0,j<=L, j++,y[j]=b.Table[f[j-q],{q,0,m}]-a2.Table[y[j-q],{q,1,n}] ];
data=Table[{k,y[k]},{k,0,L}]//N
ListPlot[data,Filling->{1->{Axis,Red}},AxesLabel->{"k","y(k)"},PlotRange->All]
６.３利用z 域系统函数给出频域系统函数
| ( ) |( ) | ( ) | . lim
| ( 1) |
| ( 1) | | |lim 1 ( ) ( ) , | |
| ( ) | | |
ssT i
k
kk
k
k
z z e z DTFT z e
f kf k z f k z R
f k
f k z rr F z f k z r z
f k R z
w
差分方程描述的离散系统可能存在频域系统函数，也可能不存在。这可由拉普拉
斯变换与 变换的关系 和 变换与 变换的关系 来做出判断。
序列 的 变换存在的条件是 记 和
，由 和 <1,则有 .
( ) | ( ) | . | | / R | |
( ) DTFT[ ( )] ( ) ( ) | , 1 .
( ) ( )
( )
i
k
i k i i
k
i i k
z ek
R
f k DTFT f k e e r e
F e f k f k e F z r R
f k DTFT F z z
z H z
w
w w w
w w
序列 的 变换存在的条件是 由 和 < ,
则有
序列 变换存在的条件是: 存在且收敛域包含 平面单位圆。因为DTFT
是|z|=1的z变换．结论：只要离散系统 域系统函数 的解析域包含z平面
( )
( )
( ) ) ( ) | ,| | , 1.i
i
i
z e
H z z e
H z z z
H z z H e H z z r rw
w
w
单位圆，则
系统频域系统函数存在，且可由 将 替换为 而得到。
再考虑到因果系统的 在 平面某一半径的圆外解析,则当因果离散系统的 域系统
函数 的奇点全部位于 平面的单位圆周内时，则有 (
离散系统频域系统函数计算举例
1
1 2
2
1 ( ) ( 1) 0.24 ( 2) 0.5 ( ) 0.5 ( 1), ( ).
0.5(1 ) 0.5 ( 1)( )
1 0.24 ( 0.4)( 0.6)
0.5(1 )( )
1 0.24
i
ii
i i
y k y k y k f k f k H e
z z zH z
z z z z
eH e
e e
w
ww
w w
例 请计算
解： 的奇点均在单位圆内
系统存在频谱函数
1
1 2
2
2 ( ) ( 1) 0.25 ( 2) 0.276( ( ) 0.1 ( 1)), ( ).
0.276(1 0.1 )( )
(1 0.5 )
0.276(1 0.1 )( )
(1 0.5 )
i
ii
i
y k y k y k f k f k H e
zH z
z
eH e
e
w
ww
w
例 请计算
解： 的奇点均在单位圆内,系统存在频谱函数
1
1 21 1
( ) 1.5 ( 1) 0.5 ( 2) ( ) ( 1)), ( ).
1( ) 1 , 0.5
(1 )(1 0.5 )
iy k y k y k f k f k H e
zH z z z
z z
w
w
例 3 请计算
解： 的奇点 在在单位圆周上 在单位圆内
系统频谱函数不存在，因为 =0处幅度为无穷。
1
1
,
( ) ( 1) ( ) (0)
z
y k z Y z y y k zY z y z
离散系统 z域框图： 信号用 z域函数标识，延时器 D替换为
初值不为0时 ( -1)替换为 ， ( +1)替换为 - .
( )
* [ )]
), ( )
( ) ( ) ( ) ( ) )
(2) ( ) cos( ) 0.5 0.5
) ( )) | ) |i
i i k
i k m i i k
zs
m
i k i i k i
i i i i Arg H e
zs
H e f k Ae
y k h k f k h m Ae H e Ae
f k A k Ae Ae
DTFT H e H e H e e
y
w
w
w w w
(
频域系统函数存在的离散系统在周期序列激励下的响应
(1) 设系统频谱函数为 ( 输入信号为 ，则有
(
引用 定义可知 ( ( (( ) ( )
( )
( ) 0.5 ) 0.5 )
Re[ ) ] cos( )
[ )], [ )]
(3) ( ) cos( ) , ( ) cos( )
[ )], [ )]l l
i i k i i k
i i k
i i
l l l zs l l l l l
l l
i i
l l
k H e Ae H e Ae
H e Ae AH k
H Abs H e Arg H e
f k A k y k A H k
H Abs H e Arg H e
( (
(
其中 ( (
其中 ( (
周期序列激励下的离散系统响应求解举例
1
2
(3/2)
0 0 0
0 0
1 1 1
2
( ) ( cos(3 / 2) 4cos( / 2))
( ) 1 2cos( ) 3cos(2 ), 100 , 600 , ( )
2 ( / ) / 3, 1 2cos( / 3) 3cos(2 / 3),
0, ( ) 6, 6, 0,
/ 3, ( ) 2 3
i i
s zs
s
i
i
H e e
f t t t f Hz f Hz y k
t f f k k f k k k
H e H
H e e
w w
w
w
w w
w w
w p p p p
w
w p
例１ 已知离散系统的 ２ ，
求 ．
解： ( )=
3
( /2)
2 2
3 3 3
1 2
2 2 1 2
2
, 2 3, / 2,
2 / 3, ( ) 0, 0, 0,
( ) 2 cos( / 3 / 2) 6 4 3 cos( / 3 / 2).
( ) {0.5,1,1,1,0.5}, ( ) 2 2cos( / 3), ( ).
(0.5 1 0.5 ),
( ) (1 2cos( )
i
i
zs
zs
i i
H
H e H
y k H H k k
h k f k k y k
H z z z z z z
H e e
p
w
w w
p
w p
p p p p
p
w
例２ 求
解: ( )=
1
2
1 1 1
(2 /3)
2 2 2
1 2
cos(2 ))
0, ( ) 4, 4, 0,
/ 3, ( ) 1.5 , 1.5, 2 / 3,
( ) 2 2 cos( / 3 / 2) 8 3cos( ( 2) / 3).
i
i i
zs
H e H
H e e H
y k H H k k
w
w p
w
w
w p p
p p p
离散系统z域分析练习题类型 １ 利用z变换定义及性质求序列的单边及双边z变换，给出收敛域．注意将三角
函数序列及双曲函数序列化为指数序列．利用单位阶跃序列和单位脉冲序列
将有限长序列写为函数形式，再求z变换．(6.1~6.3,6.5,6.6,6.13)
２ 利用z变换定义和性质，用留数法，查表法，洛朗级数展开法，据z域像函数
F(z)求原序列f(k),特别注意收敛域的限制．环域收敛F(z)对应双边时域序列，
圆外域收敛F(z)对应因果时域序列，圆内域收敛F(z)对应反因果时域序列．
(6.4,6.7~6.11)
3 在时域中中计算序列卷积．注意利用f(k-m)=f(k)*(k-m)和
f(k) (k-m)=f(m) (k-m), (k-m)* (k-n)= (k-m-n).(6.12,6.14)
4 用z变换求离散系统的yzi(k)和yzs(k),求系统函数H(z)和h(k)及
g(k).(6.15~6.25,6.42)
5 给出yzs(k)和f(k)或系统框图,求Ｈ(z),h(k),g(k)和系统差分方程．(6.26~6.35)
6 由系统差分方程，框图求频域系统函数及周期序列激励下的响应．
(6.36~6.41,6.46~6.49)
7 给出系统在两个不同输入信号激励下的全响应，求
yzi(k),yzs(k),h(k),H(z).(6.50)
8 必选习题：6.19~6.21,6.23~6.25,6.32,6.36,6.40,6.46
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
系统函数的零点与极点，系统函数与时域响应及频域响应的关系
7.2 系统的因果性与稳定性
7.3 信号流图与梅森公式
7.4 系统结构（直接实现，级联与并联实现）
7.1 系统函数与系统特性 • 系统函数零点与极点
( ) ( )
0 0
1
1 0 1
10 0 1 0 1
0
( ) ( )
.... ( )...( )( )( ) , ( ) , ( )
( ) ... ( )...( )
( )
LTI LT
LTI
n mj j
j j
j j
m mn mj j m m m
j j mn nj j n n
n
n j m j
j j
a y t b f t
b s b s b s sB sA s a s B s b s H s b
A s s a s a s p s p
a y k j b
连续 系统 取 变换给出 s域系统函数H(s)
离散 系统 0
0 0
1 1
1 0 1 0 1
1 1
1 0 1 0 1
( )
( ) , ( )
... ... ( )...( )( )( )
( ) 1 ... ... ( )...( )
ZTm
n mn n j m m j
n j m j
j j
m m mn m n mm m m m m
mn n n
n n n
f k j
A z z a z B z z b z
b b z b z b z b z b z zB zH z z b z
A z a z a z z a z a z p z p
取 变换给出 z域系统函数 H(z)
, ,= =
k k
i i
k k k k
s z
p
i p e p i ew w
可见，连续系统和离散系统的系统函数都是自变量 或 的实系数有理分式函数。
分母的零点 是系统函数的极点，分子的零点 是系统函数的零点。输入信号频
率接近极点( 或 )时输出幅度最大，接近零点( 或 )时
输出幅度最小。零点和极点是实数或复数，复数时必然共轭成对．
连续系统函数的极点与单位冲激响应特性
1
1
1
2 2
( )
( ) ( ) :
( ) ( )
( ) ( ), 1, ( )
( ) ( ),
( ) ( ) (( ) ) ,
r
r a t
r
r a t
r
h t A s s
A s s a a
a h t t e t
a h t t t r t
a h t t e t
A s s a b
-| |
连续系统单位冲激响应 ( )的演化规律依赖 零点在 平面的位置。
(1) 有实零点因子 时，依据实数 的取值范围
０, 中有幂指数衰减项 ,
= 0, 中有幂函数增长项 单位阶跃项 ．
０, 中有幂指数增长项
２ 有复数零点因子 据实1
1
1 | |
:
( ) cos( ) ( ).
( ) cos( ) ( )
( ) cos( ) ( ).
r a t
r
r a t
a
a h t t e bt t
a h t t bt t
a h t t e bt t
数 的取值范围
０, 中有幂指数振荡增长项
= 0, 中有幂函数振荡增长项 ．
０, 中有幂指数振荡衰减项
离散系统函数的极点与单位脉冲响应特性
1
| |
( ) cos( )
( ) ( ) ( *)
( ) ( ).
(2)
| | 1, | ,| | 1
(1) 1
| |
( )
i
r k
r r
i
A z z p z p
p p p p
qp p a bi qe z
h k k q k k p k r
p p a bi e z
h k
b
1, 在 平面单位圆内
中有幂指数振荡衰减序列项
对于离散系统，设 有零因子 ，单位脉冲响应演化规律
依赖 在z平面的位置,据 | 1 的不同分三种
， =0时有
1, 在 平面单位圆上
中有幂
情况。
( )
函数振荡 1 1
1 1
cos( ) ( ), 0 ( ).
(3)
( ) co
| | 1
s( ) ( ), 0 ( )
r r
r k r k
ip p a bi qe q > z
k k k k k
h k k q k k k q k
b
b
1, ( )在 平面单位
增长序列项 时有
中有幂指数振荡增长序列项 时有
圆外
.
系统函数与频域响应的关系
对于连续LTI系统，仅当H(s)全部奇点均位于s平面的左半平面时存在频域系统函数且H(i )可由H(s)将s替换为i 给出。
1 1
1 1
, ,
,
( )...( ) | | ...( ) ( ) | , | ( ) |
( )...( ) ...
k ki i
k k k k k k k k
k k k
k
m m m ms i
n n
i B e i p A e B A p
i i
i p
b i i b B BH i H s H i
i p i p A A
令 和 是零点 和极点 到频率
点 的距离 它们都随输入信号频率 变化， 和 是差矢量
和 与实轴正方向逆时针转过的角度，它们都随输入信号频率
变化。于是有
( )
1 1
,
( ) Arg( ) ... ( ... ), ( ) | ( ) |
,
,
i
m m nb H i H i e
p i
i
b b
如果有极点非常接近虚轴，即 则当输入信号频率 ，系
统输出信号幅度出现峰值。如果有零点非常接近虚轴，即 则当
输入信号频率 ，系统输出信号幅度达到极小值。
系统函数与频域响应的关系
对于离散LTI系统，仅当H(z)全部奇点均位于z平面单位圆内
时，存在频域系统函数，且H(eiw)可由H(z)将z替换为eiw给出。
1 1
1 1
, ,
= ,
( )...( ) | | ...( ) ( ) | , | ( ) | ,
( )...( ) ...
(
k k
i
i i
k k k k k k k k
i
k k k
k
i ii im m m m
i iz en n
z B e z p A e B A p
z e z
z p
b e e b B BH e H z H e
e p e p A Aw
w
w ww w
w w
w
w
w
令 和 是零点 和极点 到频率
点 的距离 它们都随输入信号频率 变化， 和 是差矢量
和 的主幅角，它们都随输入信号频率 变化。于是有
( )
1 1) Arg( ) ... ( ... ), ( ) | ( ) |
,
ln
, ln
i i i
m m n
i
i
b H e H e e
z p e
i p z
e i
w w w
w
w
w
w
如果有极点非常接近 平面单位圆周，即 则当输入信号频率
时，系统输出信号幅度出现峰值。如果有零点非常接近 平面
单位圆周，即 则当输入信号频率 ，系统输出信号幅度
达到极小值。
连续全通系统
如果连续系统的 s域系统函数H(s)有 n共轭成对且
位于 s域左半平面的极点 pk=-ak+bki, pk*=-ak-bki
(ak>0),同时有 n对与极点成对并且与虚轴对称(位于 s
平面右半平面)的零点k=ak+bki, k*=ak-bki , 这样的系
统称为连续全通系统，对应系统函数为
* *
1 1
* *
1 1
*( )
*
( )( )...( )( )( )
( )( )...( )( )
, ,| 1..
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2( ) 2arctan[
k
n n
n n
k k k k k k
ik k k k k k
k k k k k k
kk
s s s sH s
s p s p s p s p
p a b i a b i k n
i i a i b i a i b ie
i p i p a i b i a i b i
a
其中
特别有
2 2 2
2 2], | | , Re( )
| |k k k k k
k
p a b a pp
* *( )1 1
* *
2 21
1 1
2( ) 2
( )( )...( )( )
( )( )...( )( )
0 | | | |
arctan[ ], [ ] mod[ ( ) , 2 ]| |
nk
in n
k
n n
k k
k
i i i iH i e
i p i p i p i
a
p
p
p
p p p
p
于是得到全通波器域
待验证
系函域系函数为
( )=
注意， 和 处，全通滤波器的相位均为０，在
处近似等于 ．n>1时，上面
1 1 2 2
( )
2, 2 3 , 2 3 , 1 10 , 1 10
( 2 3 )( 2 3 )( 1 10 )( 1 10 )( ) , ( ) ,
( 2 3 )( 2 3 )( 1 10 )( 1 10 )
( ) 2ar(6 ^ 2 430)
^ 4 122 ^ 2 131ctan( )
3
i
n p i i p i i
s i s i s i s iH s H i e
s i s i s i s i
的相位公式需要用迭代法重新构造。
例如
最小相移系统 极点和零点都共轭成对且都位于s 域左半平面(或z域单位圆内)的系统称为最小相移系统．因为这种情况下，
和± ∞ (或 w = 0,± p)时，最小相位系统的相位都为0。
离散全通系统
如果离散系统的 z域系统函数H(z)有 n共轭成对且位于 z域
单位圆内的极点 pk=ak+bki, pk*=ak-bki (|pk|<1),同时有 n对与极
点成对并且与 z平面单位圆对称(位于 z平面单位圆外)的零点k=
1/pk*, k
*=1/pk,这样的系统称为离散全通系统，对应系统函数为
1
* *
1 1
*
2 2 2
*
1( )( )...( )( )( )
( )( )...( )( )
, | | 1,
1/
Re( )
/
, ..
1
1
n
n n
k k k k
n
k k k k
z z z zH z
z p z p z p z p
p a b i p a b a p
p p p
k n
p
1/ 1/
其中
( )
*
2 2 2
2 2 2
*
2
2
( 1/ )( )( ) ( )
( )( )
( 2 cos cos(2 ) (2 sin sin(2 )))
( ) 2 cos cos(2 ) (2 sin sin(2 ))
2sin (1( ) , ( ) 2 2arctan[
| |
1/
( )
k
k
k k
k
i i
k ii
k ki i
k k
i
k k k
k k k k
k k
k
e p eH e H e
e p e p
e
p
a b a i a
a b a b a i a
Hp
w w
ww
w w
w
w
w w w w
w w w w
ww w w
特别有
2
2 2
21
1
cos )]
1 | | cos cos )
( ) mod( ( ) , 2 )
| ( ) | 1/ (| | ... | |
2sin (cos )( ) 2 2 arctan[ ]
1 | | 2cos (cos
)
)
( ) mod( ( ) )
2 (
, 2
k
k
n
k
k k
i
k
n
k
k k
a
p a
an
p
H e p p
a
w
w
w w
w
w w w w
w w
w w p p
w p p p
p
于是离散全通系统的幅频函数为
待验证！
相频函数为
二阶离散全通系统一例 /3 /3
( )
2
0.5 0.25 3 / 4, 2 1 3
( )( *) 1( ) ,| ( ) | 2
( )( *) | |
2sin (cos 0.25)( ) 2 2arctan[ ]
1 0.25 2cos (cos 0.25)
( ) mod( ( ) , 2 )
i i
i ii i i
i i
p e i e i
e eH e e H e
e p e p p
p p
w ww w w
w w
w w w w
w w
w w p p p
7.2 系统的因果性与稳定性
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
(
,
)
zs zs
m
t
zs zs
t k
f
y t f t h t f h t d y k f k h k f m h k m
h t h k t k
y t f h t d y k f
系统在 或 时刻的输出仅由这一时刻及其之前的所有时刻的输入决定
的系统称为因果系统．考虑到系统输出与输入信号 的关系
仅当 或 含有单位阶跃函数 ( )(或 ( ))时才有
0
0
( ) ( )
0 ( ) 0 0 ( ) 0
( ) ( ) , ( )
| | | | . ( ) ( )
( )
| | | |
k
m
m h k m
t h t k h k
z H s Rs s H z
z a H s Re s
s H z
z a z
即,仅当
时， ，或 时，
成立，系统才是因果的。
取拉普拉氏变换或 变换又有, 的解析域为 的解析
域为 换句话说，连续系统s域系统函数 的收敛域为 的
域右半平面时，连续系统是因果的.离散系统z域系统函数 的收敛域
为 的 平面圆外域时，离散系统是因果的。
( ) | ( )
| ( ) | | ( ) || ( ) | | ( ) |
| ( ) | | ( ) || ( ) | |
( ) |
( ) |
| ( )
( )
|
( )
zs f y
zs f y
m
f z
h
m
s y
y t f h t d M h t d M
y k f m h k m M h k m M
h
f M y y M
f
M
h
有界的输入信号| 激励的响应 必定是有界的，即| 。
这样的系统称为稳定系统．考虑到系统输出与输入信号 的
即
，
关系
等价于要求
在全
( ) ( ) 0, ( )
| | 1. ( ) 0
| | 1
( )
h h
z H s Rs s H z
z s H s Rs s s
z z
H s
时域上处处有界。这要求 ( )是时域上的非增长信号,即 ( )是
模值不变或随时间演化而衰减的信号。
取拉普拉氏变换和 变换又有, 的解析域为 的解析
域为 换句话说，连续系统 域系统函数 ( )的收敛域为 的
域右半平面时，连续系统是稳定系统.离散系统z域系统函数H(z)的收敛
域为 的 域单位圆外时，离散系统是稳定的。
结论： 的全 (
) ( )
s
H z z
部奇点都位于 域左平面 允许虚轴上有共轭成对的一阶
极点 时，连续系统是稳定因果系统。 的全部奇点都位于 域单位圆内
时，离散系统是稳定因果系统。
7.3 信号流图与梅森公式 LTI系统用微分差分方程、框图、系统函数、零极点数组、流图来描述。将框图中的积分器、延时器简化为乘法器(即在流线上标s-1、z-1),将信号和加法器简化为节点，则框图就简化为流图。
流图相关概念
• 节点：信号流图中的点。每个节点代表一个信号变量，有多条入支路的节点既代表信号变量，又代表加法器。
• 支路：流图中联接两个节点的有向线段称为支路。写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数(也称权值)。任何一个节点所表示的信号等于流入该节点的支路信号之和，而与流出该节点的支路信号无关。支路流入信号=支路始节点信号乘支路增益。
• 源点与汇点：仅有输出支路的节点称为源点。仅有流入支路的节点成为汇点。
• 通路：从一个节点出发沿支路传输方向，连续经过支路和节点到达另一个节点之间的路径成为通路。
• 开路：一条通路与它经过的任一节点只相遇一次，该通路称为开通路，简称开路。
• 环(回路)：如果通路的起点和终点是同一节点，并且与经过的其余节点只相遇一次，称该通路为环或称为回路。
• 自环：仅包含一条支路和一个节点的环称为自环。
在流图中仅有节点、支路(即带方向的流线)两类几何对象，还有置于支路旁边的增益，增益可以是常数、积分器s-1、延时器z-1
，增益也可以是自变量为s或z的函数，增益为1时可以省略不写。
仅有一条入支路的节点只代表信号，节点信号等于流入支路的信号值乘以支路增益。有n(>1)条入支路的节点既代表加法器，又代表信号，这种节点的信号等于所有流入支路各自前一节点的信号乘以入支路增益再求和。
流图简化规则 （1） 两条增益分别为a和b
的支路串联可以简化为增益为a.b的一条支路。
（2） 两条增益分别为a和b
的支路并联可以简化为增益为a+b的一条支路。
（3） 增益分别为a、b、c的三条支路有三个节点，其中增益为b的支路是包含中间节点x2的自环，这一通路可简化成增益为a.c/(1-b)的一条支路。
(4) 含加法器节点的环与含加法器节点的自环可以互相转化。
2 22 1
1 3 1 3 21 2 1 2 1 2
1 0 1 0 1 0
( ), ( ), ( )
1 1 1
F s s sx x s x F s x s x F s
a s a s a s a s a s a s
利用环简化为自环方法简化流图一例
（1）将含有加法器和非加法器节点的环简化为仅仅含加法器节点的自环。
（2）将包含汇点的多条前向通路简化为一条支路。
（3）将包含自环的流图简化一条支路，增益为a.c/(1-b)。
简化流图的梅森公式(Mason’s Rule)
1 , , ,
,
, ,
, 1 ...n
ii j j m j m q
i j j m j m q
j j j
j
j m
j m
j m q
j m q
H P L L L L L L
L L L
L L
L L L
n
D D
D
D
—信号流图的特征行列式。其中
—表示对信号流图中所有环传输函数 求和。 等于第j个环中个支
路传输函数的乘积。
—表示对信号流图中所有两个不接触环(即，两个环没有共有支路
和节点)的环传输函数乘积求和。
—表示对流图中所有三个不接触环的环传输函数乘积求和。
—表
i
i
i
F Y
P F Y i
i
i i
i
D
D
示源点 ( )到汇点 ( )间的不同开路数。
—表示从源点 ( )到汇点 ( )间的第 条开路的传输函数，其值等于第
条开路上所有支路的传输函数乘积。
—称为第 条开路特征行列式的余因子，它是与第 条开路不接触的子流
图的特征行列式。换言之， 所有节点和
支路
除去是原信号流图 第 条开路的
后的 的特征剩余流图 行列式。
多自环流图简化启示(利于理解mason rule)：
注意，每个环中仅仅有一个“加法器”节点。 6
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
11 2 3 4 5 6
6
1
6
1 2 3 4 5 6
1
1 1 1 1 1 1 1
........
(1 (1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )
1-
= )=
m m
m m
m m
m
m
m
m m n m n q m n
m m n m n q m n q p
Y a b a b a b a b a b a b a b pH
F r r r r r r r
p a b
r r r r r r r
r r r r r r r r
D
D
开路增益
系统信号流图特征行列式
...q pr r
利用梅森公式简化流图例一(省去自变量)
系统流图有四个环，只有一条源点到汇点的开路。除去开路后
的子流图无环。
1 1 2 3 4 2 2 2 3 3 3 4 4 4
1 1 2 3 4 1
1 2 3 4 2 3 4
1 2 3 4 2 2 3 3 4 4 2 2 3 3 4 4
1 1
1 2 3 4
1 2 3 4 2 2 3 3 4 4 2 2 3 3 4 4
, , ,
, 1
1 ( ) ( )
1 ( ) ( )
/
1 ( ) ( )
L G H H H L G H L G H L G H
P H H H H
L L L L L L L
G H H H G H G H G H G H G H G H
H P
H H H H
G H H H G H G H G H G H G H G H
D
D
D D
利用梅森公式简化流图例二
2
1 1 1 2 2 2
3 3 3 4 1 2 3 4
1 1 2 3 5 1
2 4 5 2 2 2 2
1 2 3 4 1 3
1 1 2 2 3 3 1 2 3 4 1 1 3 3
1 1
1
2
, ,
,
, 1
, 1 1
1 ( )
1
(
L
L G H L G H
L G H L G G G H
P H H H H
P H H L G H
L L L L L L
G H G H G H G G G H G H G H
H P
D
D
D
D
系统流图有四个环。从源点到汇点有两条开路。除去开路
后的子流图无环，除去开路 后的子流图有一个环,增益为 。
2 2
1 2 3 5 4 5 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 4 1 3 1 3
) /
(1 )
1
P
H H H H H H G H
G H G H G H G G G H G G H H
D D
7.4 系统实现 由系统函数画出流图，再转换为框图，最后依据框图用基本运算单元来构建系统硬件的过程称为系统实现。
依据系统函数画流图，有三种方法。一是直接实现，二是级联实现，三是并联实现。系统实现关注的是系统零状态响应唯一。
7.4.1 直接实现
将系统函数转换成 a.c/(1-b)形式，即先用三个结点、三条支路(
其中有一条支路是包含中间节点的自环)来实现系统，并据系统阶数将“右肩”支路用n个积分器或延时器来组合实现，再将自环转换为包含积分器或延时器支路的环。连续系统直接实现举例如下。
2
2 1 0
2
1 0
1 2
2 1 0
1 2
1 0
1 2
2 1 0
1 2
1 0
( )
.
1 ( ) 1
1,
b s b s bH s
s a s a
b b s b s a c
a s a s b
a c b b s b s
b a s a s
2 2
2 0 2 0
2 1 2
1 0 1 0
2
2 0
1 2
1 0
2 1 2
2 0 1 0
( )1
.
1 ( ) 1
1, ,
b z b b b zH z
z a z a a z a z
b b z a c
a z a z b
a c b b z b a z a z
离散系统的直接实现举例
7.4.2 系统级联实现 将系统函数简化为多个简单分式之积，每个因子都是一次分式或二次分式，那么系统可以用多个简单子系统串(级)联来实现。连续系统级联实现举例如下。
3 2 2
1 22
1 1 2
1 21 2 1 2
2 4 2 4( )
3 5 3 ( 1)( 2 3)
2 2( ) ( )
1 2 3
2 2 2 2( ) , ( )
1 1 ( ) 2 3 1 2 3
s sH s
s s s s s s
sH s H s
s s s
s s s sH s H s
s s s s s s
3 2 2
3 2 2 2
2
1 2 1 21 2
( ) 0.5 ( 1) 0.25 ( 2) 0.125 ( 3) 2 ( ) 2 ( 2)
2 2 2 ( 1) 2 1( )
0.5 0.25 0.125 ( 1/ 2)( 1/ 4) 1/ 2 1/ 4
2 1( ) ( ) ( ), ( ) , ( )
1 0.5 1 ( 0.25 )
y k y k y k y k f k f k
z z z z z zH z
z z z z z z z
zH z H z H z H z H z
z z
离散系统级联实现举例
7.4.3 系统并联实现 将系统函数简化为多个简单分式之和，每项都是一次分式或二次分式，那么系统可以用多个简单子系统并联来实现，即多个子系统的输出都作为子系统之外的另一个加法器的输入，加法器的输出才是整个系统的输出。注意多个加法器有可能合并为一个。连续系统并联实现举例如下。
3 2 2 2
1 1 2
1 2 1 21 1 2
2 4 2 4 1 1( )
3 5 3 ( 1)( 2 3) 1 2 3
( ) ( ) ( ), ( ) , ( )1 ( ) 1 2 3
s s sH s
s s s s s s s s s
s s sH s H s H s H s H s
s s s
入节点仅仅是信号，
出节点是加法器的单位增益支路不能合并收缩为一个节点。
入节点是加法器，出
节点仅仅是信号的单位增益支路可收缩为一个节点。
3 2 2
3 2 2 2
2
2 2
1 2 1
( ) 0.5 ( 1) 0.25 ( 2) 0.125 ( 3) 2 ( ) 2 ( 2)
2 2 2 ( 1) 2 1( )
0.5 0.25 0.125 ( 1/ 2)( 1/ 4) 1/ 2 1/ 4
2( 1) 3 5 2.5/
( 1/ 2)( 1/ 4) 0.5 0.25
3( ) ( ) ( ), ( )
1 0
y k y k y k y k f k f k
z z z z z zH z
z z z z z z z
z zH z
z z z z
H z H z H z H z
1
21 2
5 2.5, ( )
.5 1 ( 0.25 )
zH z
z z
离散系统并联实现举例 注意再这个例子中，两个子系统间的加法器与第二子系统的加法合并为一个加法器了。
系统函数练习题分类
• 1 求系统函数。(7.1~7.5)
• 2 由系统函数或系统函数零点极点计算频谱函数。(7.6~7.15)
• 3 计算幅频模方函数。(7.16~7.17)
• 4 判断系统是否稳定.(7.18~7.25)
• 5 求解系统.（7.26）
• 6 由流图求系统函数(或系统增益)。(7.27~7.30)
• 7 据框图画流图求系统函数。(7.31)
• 8 据系统函数实现系统。(73.32~7.35)
• 9 据流图计算系统函数，判定稳定性。(7.36~7.37)
• 10 利用罗斯(Routh)和朱里判据判定系统稳定性。(7.38~7.39)
• 必选习题：7.8,7.10~7.12,7.14,7.15,7.27~7.37
第八章 多输出多输入系统的状态变量分析方法
• 8.1 状态变量与状态方程
• 状态与状态变量的概念 ， 状态方程与输出方程
• 8.2 连续系统状态方程的建立
• 由电路图直接建立状态方程 ， 由输入输出方程建立状态方程
• 8.3 离散系统状态方程的建立与模拟
• 由输入输出方程建立状态方程， 由状态方程进行系统模拟
• 8.4 连续系统状态方程的求解
• 用拉普拉斯变换求解状态方程 ，系统函数矩阵H(s)与系统稳定性的判据，
用时域法求解状态方程
• 8.5 离散系统状态方程的求解
• 用时域方法求解离散系统的状态方程， 用z变换求解离散系统的状态方程
• 系统函数矩阵H(z)与系统稳定性的判据
• 8.6 系统的可控性和可观性
• 状态矢量的线性变换，系统的可控性和可观性
8.1 状态变量与状态方程
8.1.1 状态与状态变量的概念
如果一个 n 阶系统 t时刻的输出能由[t0，t]时区上的输入信号
和最少数目的一组数据{x1(t0),…xn(t0)}(即t0时刻的系统状态)唯一
地确定，则称描述系统状态变化的变量{x1(t),…xn(t)} 为系统的状
态变量(矢量)。状态变量(矢量)张成的n维空间称为状态空间，随
时间变化，状态矢量在n维空间描出的轨迹称为状态轨迹。
对于动态电路，独立动态元件的电流或电压可以选为状态变
量。或者它们的线性组合可以选为状态变量。对于多质点力学系
统，每个质点的位移和速度可以选为状态变量。
一个动态系统在某一时刻 t0的状态是表示该系统所必需的最
少的一组数值，已知这组数值和 t≥t0 时系统的激励，就能完全确
定t≥t0 时系统的全部演化规律。
建立电路状态方程一例 1 1 2 2 3
' '
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
'
1 2 2 2 2
1 2 2 2 2
( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
( )
L L c
c s c s
c s
c s
x t i t x t i t x t u t
L x t R x t u t u t L x t R x t u t u t
cu t x t x t u t R x t u t
i t x t x t u t R x t u t
x t
选
为状态变量列方程
，
输出方程为
引入状态矢量 、输
1 2 3 1 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
( ) ( )
( ) { ( ), ( ), ( )} , ( ) { ( ), ( )} , ( ) { ( ), ( )}
/ 0 1/ 1/ 0
0 / 1/ , 0 1/ ( ),
1/ 1/ 0 0 0
1 1 0( ),
0 0
s
T T T
s s s c
y t u t
x t x t x t x t u t u t u t y t i t u t
R L L L
A R L L B L
c c
C DR
出矢量 、输入矢量
和状态空间矩阵
(系数方阵) 状态控制矩阵
输出矩阵2
0 0( )
0
'( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )s s
R
x t Ax t Bu t y t Cx t Du t
传输矩阵
状态方程和输出方程为
8.1.2 状态方程和输出方程
1 2 1 2
1 2 1 2
11 12
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),
( ) [ ( ) ( ) ... ( )] , (0) [ (0 ) (0 ) ... (0 )]
( ) [ ( ) ( ) ... ( )] , ( ) [ ( ) ( ) ... ( )]
..
T T
n n
T T
p q
x t Ax t Bf t y t C x t D f t
x t x t x t x t x x x x
f t f t f t f t y t y t y t y
p q n
t
a
L I
a
T
A
有 个输入、 个输出的 阶 连续系统，状态方程和输出方程的
一般 其中
系数方阵
形式为
11 12 11
21 22 221 22 2
1 21 2
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2
....
......,
......
... ...
... ...,
...
pn
pn
n n npn n nn
n p
n p
q q qn
b b ba
a a aa a aB
a a aa a a
c c c d d d
c c c d d dC D
c a a
控制矩阵
输出矩阵 传输矩阵
1 2 ...q q qpd d d
离散系统状态方程和输出方程
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) [ ( ) ( ) ... ( )] , (0) [ (0) (0) ... (0)]
( ) [ ( ) ( ) ... ( )] , ( ) [ ( ) ( ) ... ( )]
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )1
T T
n n
T T
p q
n p q
x k x k x k x k x x x x
f k f k f k f k y k y k y k y k
x Ax k Bf k y k Cx k Df k
A B C D
k
设 阶离散系统有 个输入、 个输出
系数方阵 、控制矩阵 、输出矩阵 、传输矩阵 同连续
LTI
系统一样。
连续和离散 多输入多输出系统的状态方程和输出方程可用下图
表示
8.2 连续系统状态方程的建立
8.2.1 由电路图直接建立状态方程
列写LTI电路状态方程的方法步骤:
(1) 选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量。
(2) 对接有所选电容的独立结点列写KCL电流方程，对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程。
(3) 若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去，然后整理给出标准的状态方程形式。
(4) 用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。
如图所示电路，已经选择三个动态元件的电流或电压为状态变量。
3 1 2 5 4 1 2
5 5 4 4 2 2 3 5 5 1 1 3 4 4
5 1 2 4 1 24 5
5 4 5 4 5 4 5 4
1 1 1
4 52
5 4
I ~ III
, ,
( ) ( ),
/ / 1/
, /
= +s
s s
a b
Cx x x i i x x
u R i R i L x x R i L x x R i
u R x x u R x xi i
R R R R R R R R
R L R L LR R
let A R LR R
解：依据电路图
(1)列写节点 、 的电流方程
，
(2)列写回路 的电压方程
(3)联立解出
(4) R=5 1 1
2 2 4 2 2
3
1 4 55 4
5 4
/ ( )
/ 1/ , / ( ) ,
1/ 1/ 0 0
1/ ( )/ / 0, ,
/0
(5)
,s s
R R L x
R L L B R R L x x
C C x
i R RR R R Ry c d
u R RR R
x Ax Bu y cx du
整理得状态变量方程和输出方程
8.2.2 由输入输出方程建立状态方程
• (1) 画出系统流图
• (2) 取每一个积分器或延时器的输出为状态变量(编号由输入到输出方向依次减小)。
• (3) 对于n阶连续系统，依次写出
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
( 1)
1 2
1( )
1
0
1, 1
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
( ) { ( ), ( ),... ( )} { ( ), '( ), ''( ),... ( )}
( ) ( ) ( ) ( )
, , 1...
n m n mk k k k
k k k k
k k k k
n
n
nn
n k k
k
kj k j nj j
a y t b f t a x t f t y t b x t
let z t z t z t z t x t x t x t x t
z t x t a z t f t
let A A a k n
0 1
1
1, 1...
{0,0,...0,1} , { , ,... ,0...0}, 0,
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
T
m
n m
j n
B C b b b D
z t Az t Bf t y t Cz t Df t
则有
2 1 0 2 1 0
1 2 31 12 1 0
11 2 3
2 1 0
1 2 2 3 3 0 1 1 2 2 3
1
2
3 0
'''( ) ''( ) '( ) ( ) ''( ) '( ) ( )
( ) ,1 ( )
,
0 1 0
, 0 0 1
k k k
y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t
b s b s b sH s s x x s x
a s a s a s
let x x x x x a x a x a x f
x
x x A
x a a
例如
注意到
由流图给出
系数方阵
1 2
0 1 2
0
, 0
1
, [0]
,
B
a
C b b b
D
x Ax Bf y Cx Df
控制矩阵 ，
输出矩阵
，状态变量方程为
1 2
1 2
1 1 1 2
1 2
1
1 2
1 2
( ) 2 / ( 3), ( ) ( 4) / ( 1),
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(2) ( ) (3 ( )) ( ) (3 ( )) ( ) / (1 ( ) ( ))
3 ( ) 3 14 11(3) ( )
1 ( ) ( ) 1 ( 6 11 )
H s s H s s s
P s F s H s H s P s
Y s H s P s H s F s H s H s
H s s sH s
H s H s s s
又例如 依据下图
构成系统，求系统状态方程和输出方程。
解：据图有 (1)
据流图写
1 2 2 1 2
1 2 2 1 2
1
2
, 11 6
11 14 3 22 4 3
0 1 0, , ,
11 6 1
22 4 , [3]
,
x x x x x f
y x x x x x f
xx A B
x
C D
x Ax Bf y Cx Df
出
8.3 离散系统状态方程的建立与模拟
0 0 0 0
1 2
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ),
( ) { ( ), ( ),... ( )} { ( ), ( 1),... ( 1)}
( 1) { ( 1), (
.
n m n m
n l m l n l m l
l l l l
n
a y k l b f k l a x k l f k y k b x k l
let z k z k z k z k x k n x k n x k n n
z k x k n x k
n m < n
依据描述系统的差分方程或流图建立状态
对于 阶离散系统( )，依次写
方程
出
2 3
1
1 0
1, 1
0
1
1
2),... ( )} { ( ), ( )... ( ), ( )},
( 1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
, , 1... 1, 1...
{0,0,...0,1} , {0,...0
( 1) ( ), 1... 1
,
n
n m
n l l l n m l
l l
kj k j nj j
T
n m
l l
n x k n n z k z k z k x k
z k x k a z k f k y k b z k
let A A a k n j n
z k
B C b
z k l n
即
1, ,... }, 0,
( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
mb b D
z k Az k Bf k y k Cz k Df k
则有
1 2
1 21 2 3
2 3 3 1 2 3
2 3 3
( ) 2 ( 1) 3 ( 2) 4 ( 3) ( ) 3 ( 1) 5 ( 2)
1 3 5( ) , ( 1) ( ),
1 ( 2 3 4 )
( 1) ( ), ( 1) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )
( ) 5 ( ) 3 ( ) ( 1) 4
y k y k y k y k f k f k f k
z zH z x k x k
z z z
x k x k x k x k x k x k f k
y k x k x k x k
例如
请写出状态变量方程和输出方程。
解： 依据流图有
1 2 3
1
2
3
( ) 2 ( ) ( ) ( )
( ) 0 1 0 0
( ) ( ) , 0 0 1 , 0
( ) 4 3 2 1
4 2 1 , [1],
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x k x k x k f k
x k
Let x k x k A B
x k
C D
x k Ax k Bf k
y k Cx k Df k
系数方阵 控制矩阵
输出矩阵
1 1 1
1 1 2 1 3 2 4 2
1 2 2
2 1 2
2 2
4
1
1
2
2
( ) ( 2), ( ) ( 1), ( ) ( 2), ( ) ( 1)
3 ( ) 2 ( ) 2 ( 1) (
3 ( 2) 2 ( 1) 2 ( ) ( ) 5 ( ) 7 ( )
2 ( 2) 3 ( 1) ( ) 3 (
1) 5 ( ) 7 (
)
)
let x k y k x k y k x k y k x k y k
x k x k x k x k f k f k
y k y k y k y k f k f k
y k y k y k f k
解： ，
描述系统的差分方程为
请写出系统状态
则
方程
有
3 4 2 2
1 2 2 3 4 2
3 4 4 1 2 3 4 1 2
2 ( ) 3 ( ) ( 1) 3 ( )
( 1) ( ), ( 1) 2 ( ) 3 ( ) 3 ( )
( 1) ( ), ( 1) 3 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 6 ( ) 5 ( ) 13 ( )
0 1 0 0 0 0
0 0 2 3 0 3, ,
0 0 0 1 0 0
3 2 4 6 5 13
x k x k x k f k
x k x k x k x k x k f k
x k x k x k x k x k x k x k f k f k
let A B x
整理为
1
2
3
4
1 1
2 2
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( ) 0 0 2 3 0 3( ) , ( ) , ,
( ) ( ) 3 2 4 6 5 13
( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
x k
x kk
x k
x k
y k f ky k f k C D
y k f k
x k Ax k Bf k y k Cx k Df k
1 1 3 2 1 3 2
1 1 2 3 1 3 2
2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 3
( ) 2 ( ) 2 ( ), ( ) 6 ( ) 5 ( ) ( )
( 1) 3 ( ) ( ), ( 1) 6 ( ) 7 ( ) ( )
( 1) 7 ( ) 2 ( ) 5 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 2 ( ) 2 ( )
p k x k x k p k x k x k f k
x k x k x k x k x k x k f k
x k x k x k x k f k f k y k x k y x
l
k x k k
请依据流图建立二输入二输出系统的状态方程和输出方程。
解：依据流图有
1
2
3
1
2
1
2
( ) 3 1 0 0 01 0 0 0 0
( ) ( ) , 7 2 5 , 1 1 , ,2 0 2 0 0
( ) 6 0 7 0 2
( )( )
( )
( )( )
( )
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x k
et x k x k A B C D
x k
f kf k
f k
y ky k
y k
x k Ax k Bf k
y k Cx k Df k
8.4 连续系统状态方程求解 1
1
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 ) ( )
( ) ( ) / det( ) ( )
( )
( ) ( ) (0 ) ( )
8.4.1
i j
ij
x t Ax t Bf t y t Cx t Df t LT sI A X s x BF s
w sI A s w adj w w adj w
adj w w
X s s x s
LT
B
对 取 有
令 = 的逆矩阵为 。此处 表示取代数
余子式矩阵，即 是 划掉j行i列后的子矩阵的行列
用 求解状态方程（关键是计
式再乘(-1) 。
则有
算逆矩阵w ）
11 12 1
21 22 2
( ), ( ) [ ( ) (0 )],
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ( ) ( )) ( )
( ) ( ) ( ( ) )
( ) [ ( ) (0 )] [ ( ) ( )]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
+
zi
zs zi zs
p
p
F s x t ILT s x
x t ILT s BF s y t C x t x t Df t
H s C s B D H s
y t ILT C s x ILT H s F s
H s H s H s
H s H s H sH s
转移函数矩阵
取逆变换有
，
或者令系统 对应多输入多输出系统
1 2
1 1
( ) det( ),
det( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) ( )
q q qp
zs j
i j
j
zs i i ij j ip p
C adj w B D ww sI A
w
H s H s H s
Y s i j F sH s
j F s
Y s H s F s H s F s H s F s
输出 的第 个分量的第 项中的因子(由 ( )激发的)
第 个输入
即(
1
2
( )1 2 0 3, , ( ) , (0 ) 1 1 ,
( )1 4 1 2
[1], ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) (
det( ) 0 ( )
) ( )
w H
x tA B x t x C
x t
D f t t x t Ax t Bf t y t Cx t D
s
f t
A s
的根就是 的极点，如果 的全部特征根均在 平面
的左半平面，则系统稳定。
利用H(s)可以给出系统微
例如 ，
。求系
统状态变量
分方程。
和输出。
2
2 2 2
1 2 4 21, ( ) ,
1 4 1 1( 2)( 3)
1( ) ( ) 1, ( ) 1,
2
( ) [ ( ) (0 )] 5 ( ( ))
1( ) [ 1] ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( )
2
t
zi
t t t
zs
s sw= sI - A s
s ss s
H s C s B D F ss
y t ILT C s x e t
y t ILT t e t y t t e e ts
解：
此处不能乘
，
8.4.2 连续系统状态方程的时域(指数矩阵)求解方法
0
( )
0
( )
0
( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( )
( ) ( ) ( ) (0 ) ( ) ( )
( ) (0 ) ( ) ( ) ( ) (0 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( ),=
At
tAt A
tAt A t At
zi
tA t
zs
x t Ax t Bf t x t e v t v t
v t e Bf t v t x t e Bf d
x t e x t e Bf d y t Ce x
y t t Ce Bf d Df t h t f t
对于 如果令 则 的方程为
。 解得 ，于是有
，
1
2 2
0
1
1 1
( ) ( ) ( )
1...
2! !
. ({ ,... })
, 1...
({ ,... }) { ,... }
= n
At
At k k
k
ttAt At
k k k k k
n n
h t Ce B t D t
A te I At A t
k
e e u diag e e u
Au u k n A u
diag u u u
。
关键是计算矩阵指数函数
矩阵指数矩阵 计算方法一：特征矢量法
设 是 的特征方程， 是列向特征矢量 的特征值，
是对角矩阵，
11 1
0 0
1 1
1 1({ ,... })
! != nttAt k k k k
k k
At
Au u
e A t u t u uLu L diag e ek k
L u u e uLu
，则有 ，
，其中 是对角
矩阵。由于 和本征矢量矩阵 及 容易计算，因而 = 容易计算。
这一方法的关键是计算A的特征值及特征矢量矩阵.
1
0
1
0
0
1
0
0
1 1
( )
det( I- ) =
diag({ ,... }) (
( )
)
=n
At At j
j
j
nl
l
l
nl l l l
D n l D D
n nl l
l D l
l
D
l
l
u u A
A e e t A
n A A A
= A u u u u
b
b
b b
矩阵 的指数矩阵 计算方法方法二：指数矩阵降幂方法
设 阶方阵 的特征值方程为 =0,则矩阵 的特征值对角矩
阵 也满足同一方程 =0。又因 =( )= (
于是又推出
) ,
= =0,
1
1
0
11 11
0 0
1
0 1 1
0
( )
0 0
( ) , . . ( )
0 0
( ), ( ),... ( )} ( )
=
=
{
n
m
nm j
mj
j
tj
n nt At t j
j j
j jtj
n
nj
n j p
j
m n A A
A A m n
e
e t e u e u t A
e
t t t t e
这表明 次幂矩阵 可以表示成 的低
幂次矩阵的线性组合，即 ，( ),以至于又有
由代数方程
1
0
1
0
, 1, 2,...(
!( ) , 1... 1
( )!
( )=
p
q
t
j kntq k
q j
j
nAt j
j
j
p
jq q t t e k q
j k
e t A
方程不足时，对每个
重特征根 补充 -1个方程 )解出。于是容易
计算 。这一方法不用计算特征矢量矩阵，只要计算特征值。
8.4.3 连续系统状态方程时域A矩阵对角化解法
1 1
1 1
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), (0 )
, 1...
, { ,... }, { ,... }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
k k k k k
D n D n
D
x t Ax t Bf t y t Cx t Df t x
Au u k n A u
Au u u u u
z t u x t z t z t u Bf t
z t q
状态矩阵方程
已知。设 是 的特征方程， 是列向特征矢量
的特征值，则有 =diag( )是对角
矩阵，利用 简化状态方程为 关
于 ( )的方程是独立的 个一
( )1 1
0
( )1 1
0
1 1
( )
0
( ) ( (0 )) ( ) ( ( )) , 1 ~
( ) ( ) ( ) (0 ) ( ) ( ) ,
,
( ) (0 ) ( ) ( ) .
( ) (
k k
D D
D
tt t
k k k
tt t
tAt
D
tAt A t
z t e u x t e u Bf d k n
x t u z t x t ue u x t ue u Bf d
A u u e ue u
x t e x t e Bf d
y t Cx
阶微分方程，其解为
或
注意到 和 又有
进而有
( )
0) ( ) (0 ) ( ) ( ) ( )
tAt A tt Df t Ce x t Ce Bf d Df t
这一方法的关键是计算A的特征值及特征矢量矩阵.
连续系统状态方程的求解方法举例
1
2
1
(0 )1 0 1 1, 0.5 1 , [1], , ( ),
(0 )1 3 0 2
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ).
1 0 311 ( ) ,
1 3 ( 1)( 3)
xA B C D f t
x
x t Ax t Bf t y t Cx t Df t H s h t x t y t
s sLT w sI A w
s s s
已知 ， 状态
方程 请求解解出
解法 变换解法 ：
3
3 3
0
1 1
1/ 1( ) ( ) (0 ) ( ) ( ) , ( ) ( )
(1/ 3) / (5 / 3) / ( 3) (1/ 3)(1 5 )
( ) 1 0.5 / ( 3), ( ) ( ) 0.5 ( ), ( ) [ ( ) (0 )] 1.5 ,
1 5( ) [ ( ) ( )] [
6
t
t t
zi
zs
s
sX s s x s BF s x t t
s s e
H s C B D s h t t e t y t ILT C s x e
y t ILT H s F s ILTs
3 3 3
3
1
1 ( )
3 3 0
1 1 9 1] (5 ) ( ), ( ) (5 ) ( )
3 6 6 6
3 0 0 2 1 20 1, , ,
0 1 1 1 1 020
0. . , ( ) (0 ) ( ) ( )
( ) / 2
D
D
t t t
t
t
D t
t
tAt At A t
t t t
e t y t e e ts
ee u u
e
ee u e u x t e x t e Bf
e e e
解法2(特征矢量方法)： =
33
3 3
1 3 5( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ).
2 6( 3 ) / 2 (2 3 ) / 6
t
t t tt
t t t t
d
e e ex t t y t Cx t Df t e t
e e e e
1 1 1 1
2 2 2 2
3
(0 )1 0 1 1, 0.5 1 , , ( ),
(0 )1 3 0 2
( ), ( ), ( ), ( ).
3( )
1 0 3 0 02, , ,
1 3 0 1 0D D
t
t t
D t
x x x xf y f f t
x x x x
H s h t x t y t
en A e e
e
已知
解出
解法 指数矩阵分解法 ：
= ，依据 0 1
3
3
0 1 0 1 0 1
3 3
1 0 0 1 3 3
( )
0
1 0
0 1
1 0 3 0 0, 3
0 1 0 1 0
1 0 03, ,
0 12 2 ( ) / 2
( ) (0 ) ( ) ( )
- -
D
t
t t
t
tt t t tAt
t t t
tAt A t
ee e
e
ee e e ee A
e e e
x t e x t e Bf d
推出 即 ， ，解得
3 3
3 3 3 3
6 61( )
6( 3 ) / 2 2 3
3 1 3 1( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) (5 ) ( ).
2 6 2 6
t t
t t t t
t t t t
e et
e e e e
y t Cx t Df t e e t t e e t
8.5 离散系统状态方程求解 8.5.1 线性离散系统状态方程时域迭代解法
2
3 2
1
( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
0, (1) (0) (0)
1, (2) (1) (1) (0) (0) (1)
2, (3) (2) (2) (0) (0) (1) (2)
...
, ( 1) (0)n
x k Ax k Bf k y k Cx k Df k x k
k x Ax Bf
k x Ax Bf A x ABf Bf
k x Ax Bf A x A Bf ABf Bf
k n x n A x
线性离散系统的状态方程为
，初始状态为 (0), =0接入激励.
0
11 1
0
1
1
( 1) ( ) ( ),
( ) (0) ( ) ( 1) ( ) (0) ( ) ( 1)* ( )
( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ( 1) ( ))* ( )
( ) ( 1) ( ), ( ) (0), ( ) (
nn j
j
kk k j k k
j
k k
k k
zi zs
n n A Bf j
x k A x k k A Bf j A x k A B k f k
y k Cx k Df k CA x k CA B k D k f k
h k CA B k D k y k CA x y k h
由此导出
1
)* ( ).
k k
k f k
A A A这一方法的关键是计算矩阵 的幂矩阵 和 。
状态转移矩阵Ak计算方法
1
1 1
1
0 0
1
0 0
1 1
0 0
, ({ ,... }), , ( ,... ),
,... det( ) 0, 0,
0, ,
( ) , ( ) ( )
D D n k k k n D
n nl l
n l l D
l l
n nl n l
l nl
l l
n nk l k l k
l D l D j
l l
Au u diag Au u u u u A u u
I A
A A A
A k A k n k
b b
b
设
均满足方程 由此推出 （ ） 进一步
推出 即， 更进一步有
1
0
1 1
0 0
1
0 1
0
1
( ) , 1 ~
1 ( )
!!( ) ( ) , 1 ~ 1
( )! ( )!
( ),... ( ) ( )
( ) (0) ( ) (
nl
l j
l
p l
k ss sn npl l s k
l j l p ps sl lp p
nk l
n l
l
k k
k j n
q q k
kd l dk k s q
d l s k s d
k k A k A
x k A x k A B
如果 是 重特征根，则要补充 个决定 的方程
只要解出{ }, 就容易计算，从而
1)* ( ), ( ) ( ) ( )k f k y k Cx k Df k
离散系统状态方程时域解法举例
2
1 2
1 0 0 0 11 1 0 2 0 2 ( )
0 1 0 , 1 1 , , , ( )0 2 3 1 2 (1/ 3) ( )
0 1 2 2 0
( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), (0) [1 2 3] .
det( ) ( 1) ( 2) 0, 1(2 ) 2=
k
T
kA B C D f k
k
x k Ax k Bf k y k Cx k Df k x
I A
若
请求解离散系统
解： 重根 ， ，决定{ 0 1 2
0 1 2 1 2 0 1 2
1
0 1 2
2
0 1 2
( ), ( ), ( )}
( ) ( ) ( ) 1, ( ) 2 ( ) , ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 ,
( ), ( ), ( )} {2 2 ,2 3 2 ,2 - 1}
1 0 0 0 1
( ) ( ) ( ) 0 1 0 , ( ) 1 1
0 2 -1 2 3*2 -1 2 -1
+ + = + = + + =
=
k
k k k
k k
k k k k
k k k
k k k k k k k k k
k k k k k k
A k I k A k A A B k
的方程为 解得
{
1
( )
2.5 1.5(1/ 3)
( ) (0) ( ) ( 1)* ( ) 2 3.5 1.5(1/ 3) ( )
5.6*2 - 2 0.9(1/ 3) 9.5
3 2( ) ( ) ( ) ( )
16.8*2 2.3(1/ 3) 2 23.5
k
k k k
k k
k k
k
x k A x k A B k f k k k
k
ky k Cx k Df k k
k
8.5.2 线性离散系统状态方程z域解法
1 1
(0), 0
( ) ( ) (0) ( ), ( ) ( ) ( ).
, ( ) ( ) ,
( ) ( )( (0) ( )), ( ) ( ) (0) ( ) ( ),
( ) ( ) , ( ) [ ( )] (0), ( )zi zs
x k
zI A X z = z x + BF z Y z CX z DF z
w zI A z w zI A
X z z zx BF z Y z C z z x H z F z
H z C z B D y k IZT Cz z x y k
系统初始状态为 激励在 时刻接入因果系统，对状态方程取z
变换有，
令 则有
1
1
[ ( ) ( )]
0 1 0 1 1 1( 1) ( ) ( ), ( ) ( ), (0) ,
6 5 1 2 1 2
( ) ( ).
1 5 11, , ( )
6 5 6( 2)( 3) 1
5 11( )
6( 2)( 3)
IZT H z F z
x k x k f k y k x k x
f k k
z z zw zI A w F z
z zz z z
zz w
zz z
例如
求状态方程的解和系统的输出。
解：
1
0.5 0.5, ( )
0.5 1.51 3
1 10.5(1 3 ) 0.5(1 3 ) ( ) 1 2*3( ) ( ), ( ) ( )
2 10.5(1 3*3 ) 0.5(1 3 ) ( ) 0.5(1 3 )
k k k
k k k
z zX z
z z
kx k k y k k
k
8.5.3 离散系统稳定性判据
1
( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
det( )
( ) ( ) det( )( ) ( )
det( ) det( )
( ) det( ) 0
=
x k Ax k Bf k y k Cx k Df k
adj zI Az zI A z
zI A
adj zI A C adj zI A B D zI AH z C z B D C B D
zI A zI A
H z zI A A
由离散系统状态方程
取z变换有 ，其 域系统函数
上式说明， 的极点由 给出，也即 矩阵的特征根就是
0 1/ 6,det( ) ( 5 / 6) 1/ 6 ( 1/ 2)( 1/ 3) 0,
1 5 / 6
A
z
A zI A z z z z
A
系统
的极点。于是由A,B,C,D四个矩阵描述的线性离散系统稳定的判据是，当
的全部特征根均位于 平面的单位圆内时，系统是稳定的。
例如 =
系统的特征根-1/2和-1/3均在z平面单位圆内，所以由 描述的系统是稳定的。
8.6 系统的可观性和可控性
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t Ax t Bf t y t Cx t Df t
x k Ax k Bf k y k Cx k Df k
对于连续系统 ， 或离散系统
， ，如果在有限时间内在所有输
入的控制下,系统的状态能从某一状态转移到另一指定状态,则说系统是可控
的。如果通过观测系统有限时间内的输出值能够确定系统指定时点的状态，
则说系统是可观的。
8.6.1 状态矢量的线
性变换
设描述系 1
1 1
1
1
1
, { ,... }
( ) ({ ,... }), . ( ),
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), , ,
( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ,
k k k n
D n D
D
A Au = u u u u
u diag A= u u u x x u
t A t B f t y t C t Df t B u B C Cu A
k A k B f k y k C k Df k B u B C
统的矩阵 非奇异，则由其特征方程
非奇异， 可导出 若令 即
则有
1
1 1 1 1
1 1 1
,
( ) ( ), ( ) ( ),
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
DCu A
x t u t x k u k u A
u H s C sI A B
D Cu sI u Au u B D H s H z C zI A B D
Cu zI u Au u B D
特别注意，描述系统的状态矢量并不唯一,所有状态矢量彼此可通过线性变
换矩阵联系，例如 其中 矩阵是 的特征矢量矩阵,
即 的每一列都是一个特征矢量。 因系统转移函数
和
( )H z 是线性变换的不变量。
2
1
1 2 0( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), , ,
1 4 1
[1 1], [1],
5 6 ( 2)( 3) 0,
3 0 1 2 1 2,
0 2 1 1 1 1=
P D
D
x t Ax t Bf t y t Cx t Df t A B
C D A
I - A
A u u
例如
请重新选择状态矢量 ，使得 对角化。
解： det( )=( +1)( +4)+2= 解得
， 12
, ,1
3 0 2[0 1], ( ) ( ) ( ), ( ) [0 1] ( ) ( ).
0 2 1
5 6 1 1 0, ,
2 2 0 0 2
u x B
C t t f t y t t f t
B C
A B A u
，
方程简化为
无全零行， 有全零列可见，该系统是完全可控，但不完全可观，因为
新状态矢量的第一分量不出现在输出中。
又例 ,C=[1 1],则有
1 1
3 2,
2 1
1 2 1, ,
2 3 2u B u B C Cu
[-1 1]，这个系统完全可控可观。
8.6.2 系统的可控性和可观性
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1,[ ( )] 1 0 0 1
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 0
( ) ( ) ( ).
x k x k f k x k f ky k
x k x k f k x k f k
x k y k x k
1 可控性和可观性的直接认识
对于离散二阶系统
显见， 不受输入控制，从输出 也无法观察 由此得出结论：
对于给定的多输入多输出
1
2 1
2 1
.
2
[ ]
rank[ ] .
n
c
c
n
c
A
B u B C Cu
A B
A B
M B AB A B A B
M
M B AB A B A B n
系统，通过选择状态矢量使得系数方阵 对角化，则当
没有全零的行时系统完全可控，当 没有全零的列时系统完全可观
系统可控性判别方法
系数方阵 对角化后，利用 来判断系统的可控性，更一般的判别方法是，利用
和 构造可控性判别矩阵
系统可控的充分必要条件是，可控性判别矩阵 满秩，即
rank
,cControllabilityMatrix M
可调用Mathemat
计算系统的可
ica函数StateSpaceModel[{a,b,c,d}
控性矩阵 最后调用MatrixRank函
数计算可控
]创建系统的状态空间模型
性矩阵的秩，从而判断系统
，再调用函数
的可控性。
2 1 1 2 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
0 3 0 0 3 1
.
1 2 0 1[ ] [ ] ,
0 0 1 3
1 2, 2,
c c
c c
a x t x t f t b x t x t f t
a M B AB b M B AB
a M b M
例如 ( ) ( ) 请判别两系
统的可控性
解：构造可控性判别矩阵 ( ) ( ) 可
见系统( )rank 所以不完全可控，系统( )rank 所以完全可控。
3
1
.
o
n
o o
A C
C A
C
CAM
CA
M M n
Observa
系统的可观性判别方法
系数方阵 对角化后，利用 来判断系统的可观性，更一般的判别方法是，利用
和 构造可观性判别矩阵
系统可观的充分必要条件是可观性判别矩阵 满秩(矩阵行列式非零)，即rank
可调用Mathematica函数StateSpaceModel[{a,b,c,d}]创建系统的状态空间模型
，再调用函数 ,obilityMatrix M计算系统的可观性矩阵 最后调用函数MatrixRank
计算可观性矩阵的秩，从而判断系统的可观性。
0 0
0
2 1 1( ) ( ),
0 3 0
( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ), .
1 1( ) , 1
2 2
1 0( ) ,
2 1
+
x k x k f k
a y k x k b y k x k f k
Ca M rankM
CA
Cb M r
CA
例如两个离散系统状态方程都是 ( +1)= 输出方程分别
为 和 请判断两系统的可观性
解：构造可观性判别阵， 系统 不慢秩，系统
不完全可观。 系统 0 2
-
ankM
H s H z
H s H z
慢秩，系统可观。
4 可控性可观性与系统转移函数 ( )和 ( )的关系
系统可分为四类子系统：
（1） 既可控又可观的子系统 （2） 不可控但可观的子系统
（3） 可控但不可观的子系统 （4） 既不可控又不可观的子系统。
卡尔曼 吉伯定理指出： 转移函数所表示的是系统中既可控又可观的那一部分子
系统。
结论：一个线性系统，若系统转移函数 ( )(或 ( ))不出现极点与零点相消
情况，则系统是既可控又可观的；如果出现极点与零点相消情况，则系统是不完
全可控或不完全可观的。用转移函数描述系统，只能反映系统中可控和可观那部
分的运动规律，而状态方程和输出方程描述系统比转移函数更全面、更详尽。
可控可观与转移函数的关系举例
1
1 2 1 2
( ) 0 3 0 ( ) 2 ( ), ( ) 2 1 1 ( ), ( ),
0 0 2 1
1 2 1 3 0 0 1 1 1 0 0
0 3 0 , 0 2 0 , 2 0 0 ,
0 0 2 0 0 1 0 1 0
D
LTI
x t x t f t y t x t H s
A A u u
系统状态方程和输出方程为(三阶系统)
请计算状态转移函数
判断系统的可控性和可观性。
解： =
1
1 1 2 2
3 3 2 3
1 2
.5 0
0 0 1
1 0.5 1
[ 1 1 0] , 0 1 2 ,
( ) 3 ( ) ( ), ( ) 2 ( ) ( ),
( ) ( ) 0, ( ) ( ) 2 ( ),
( ) 1/ ( 2), ( ) ( )
T
t
B u B C Cu
t t f t t t f t
t t y t t t
H s sI A B s h t e t
显见系统不完全可控不完全可观。由转移函数
( )=C
可见，由于出现零点与极点相消情况，三阶系
统退化为一阶系统，所以系统不完全可控、不
完全可观。
信号与系统分析Matlab函数
2
2
1
1
2 4[1 5 6]; [2 4]; 1 tf( , 0) ( )
5 6
tf 0.1 0.1
3
sys1 tf( , ),sys2=ss(a,b,c,d)
=
s
num den
den num
sa b s b a H s
s s
a b s b a T
zH z
创建系统模型的函数--
（） 由分母系数数组 和分子系数数组 创建系统传递函数模型
例如 ，， ， ，创建模拟系统
又例 =[1,1,0.24]; =[3,4,0]; 2= ( , , )创建采样时间 的离
散系统 ( )=2
1 1
2 2
41
0.24
(2)
[ 1, 2; 0, 2]; [1;2]; [2, 4]; [1]; 1 ( , , , 0)
( ) ( )1 2 1( ), ( ) [2
( ) ( )0 2 2
s
zT T
z z
a b c d
a b c d s ss a b c d
x t x tf t y t
x t x t
s。 表示采样时间未定， =0表示模拟系统。
由系数矩阵 、控制矩阵 、输出矩阵 、传输矩阵 创建状态空间模型
例如 ，创建模拟系
统 1
2
1 1 1
2 2 2
( )4] [1] ( ).
( )
= [0.5 1;0 0.4]; = [1;1]; = [2 5]; = 0;s 2 = ss( , , , ,0.1) Ts =
( 1) ( ) ( )0.5 1 10.1 ( ), ( ) [2 5] .
( 1) ( ) ( )0 0.4 1
x tf t
x t
a b c d a b c d
x k x k x kf k y k
x k x k x k
又例 创建
的离散系统
252
( , , )
( , , )
3
( 1) [ , ] ( 2)
4
2
pzmap(sys)
pole(ss
sys zpk z p k z p k
sys zpk z p k ts z p k
pzmap s p z pzmap s
由零点和极点创建系统zpk(z,p,k)
由零点 、极点 、增益 创建一个连续系统。
, 由零点 、极点 、增益 创建一个离散系
统,ts是采样周期。
计算连续或离散系统零点和极点或画零极点示意图
调用 画零极点示意图,或调用
计算零极点。
计算系统极点-- ) zero(ss),计算系统零点--
例如，pole(s1),zero(s2)
5
( , , ), ( , , ) ( , , , , )
( )
lsim(sys,u,t), lsimplot(sys,u,t,x0)
y lsim sys u t sys tf b a ts sys ss a b c d ts
u t
求解连续系统零状态响应yzs数值解
y=
计算系统 或 在输入信
号 激励下的零状态响应。例如，s1=tf([2,-3],[1,5,6]);t=0:0.1:10;
u=cos(t).*exp(-t);y=lsim(s1,f,
0
t);stem(t,y,'r.').或lsim(s1,f,t)直
接图示系统 状态响应。如果系统由状态方程给出，还可以求非零初值条
件下的完全响应。例如，ts=0.01;a=[-1,4;0,-2];b=[0;1];c=[2,6];d=1;
s2=ss(a,b,c,d,ts);x0=[10;-5];t=0:ts:10;u=cos(t).*exp(-t/3);
lsim(s2,u,t,x0).
对于离散系统，建模用的ts和信号采样用的ts应该一致。对于连续系统
ts应该尽可能小。仅当用状态空间模型描述系统时，才能加入非零初值。
lsimplot(sys,f,t)画响应波形曲线。如果sys是状态空间模型，则还可
以加入初始状态列矢量x0,例如,a=[-2,0;1,-1];b=[1;0];c=[6,-8];d=1;
ts=0.01;s=ss(a,b,c,d,ts);t=0:ts:10;u=sin(t).*exp(-t/2);x0=[5;4];
lsimplot(s,u,t,x0).
6
filter(b,a,f)( )
f(k) y(k)+...a(n+1)y(k-n)=b(1)f(k)+...b(m+1)f(k-m)
y(k).
求解离散系统零状态响应数值解
y= 一维数字滤波
信号 被滤波器a(1)
加工为 例如b=[1,1,1,1,1]/5;a=1;k=0:50;f=2*k.*(0.9.^k);
y=filter(b,a,f);特别输出y与输入f长度相同。但y的尾部被
7
, ,
1(64,0.1); 1; 0 : 64;
a = [1 -1.7 0.72];b = [10 0 0]; impz(b
, ,
, a)
;
impz b a k
b fir a k imp
h
z b a k
截去了！
对于a=1的fir滤波器，可用y=conv(x,b,'same')代替filter更科学。
离散系统单位脉冲响应
例如 画系统单位脉冲响
又例如， 计算离散系统单位
脉
应
波形。
冲响应。
255
,
1
9
, impulse(sys,t)
impulse(b,a t)
impulse(1,[ 1 5 6],0:0.01:5)
impulse
impulse num den t
8
，
（） 画出模拟系统单位冲击响应。
例
(2) impulse(sys,t)画出模拟系统单位冲击响应。
例如 sys=tf(1,[1 5 6]); (sys,0:0.01:5).
求连续系统单位冲击响应
求连续系统单位阶跃响应 ,
1
, step(sys,t)
step(b,a t)
step(1,[ 1 5 6],0:0.01:5)
step
step num den t ，
（） 画出模拟系统单位冲击响应。
例
(2) step(sys,t)画出模拟系统单位冲击响应。
例如sys=tf(1,[1 5 6]); (sys,0:0.01:5).
10 模型转换 tf2ss,tf2sos, tf2zp( tf2zpk), ss2tf, ss2sos, ss2zp,
zp2ss, zp2tf, zp2sos, sos2ss, sos2tf, sos2zp
传递函数模型转换为状态空间矩阵、零极点表示、二阶级联表示
[A,B,C,D]=tf2ss(b,a);[z,p,k]=tf2zp(b,a)； [sos,g]=tf2sos(b,a）
状态空间模型转换为传递函数数组、零极点表示、二阶级联表示
[b,a]=ss2tf(A,B,C,D);[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D);[sos,g]=ss2sos(A,B,C,D)
零极点表示转换为状态空间矩阵、传递函数数组、二阶级联表示
[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k);[b,a]=zp2tf(z,p,k);[sos,g]=zp2sos(z,p,k)
二阶级联表示转换为传递函数数组、状态空间矩阵、零极点表示
[b,a]=sos2tf(sos,g)；[A,B,C,D]=sos2ss(sos,g);[z,p,k]=sos2zp(sos,g)
由传递函数模型计算零极点[z,p,k]=tf2zp(b,a)；[z,p,k]=tf2zpk(b,a)
257
11 模拟系统传递函数与一阶串联表示(残数r、极点p、商式k) 互换
[r,p,k] = residue(b,a)； [b,a] = residue(r,p,k)
12 模拟系统频率响应计算和图示
freqs(b,a,w)；H= freqs(b,a,W); [H,W]=freqs(b,a)
13 离散系统频率响应freqz(b,a,w)
例如 b = fir1(80,0.5,kaiser(81,8)); hd = dfilt.dffir(b);freqz(hd);
或b = fir1(80,0.5,kaiser(81,8));freqz(b,1);
又例如 b=1;a=[1 1.7 0.72];[H,W]=freqz(b,a);freqz(b,a)
14 matlab 的模拟滤波器设计函数
bilinear besselap besself buttap butter cheb1ap
cheb2ap cheby1 cheby2 ellip ellipap freqs lp2bp
lp2bs lp2hp lp2lp
15 数字滤波器设计函数
designfilt digitalFilter butter buttord cheby1 chebyord
cheby2 cheby2ord ellip ellipord polyscale polystab
impinvar yulewalk cfirpm fir1 fir2 fircls fircls1 firls
firpm firpmord gaussdesign intfilt kaiserord maxflat
rcosdesign sgolay fdatool fvtool sptool
• 数字滤波器设计对象 dfilt • help dfilt/structures
• DFILT.<STRUCTURE> can be one of the following (type help dfilt.<STRUCTURE>
• to get help on a specific structure - e.g. help dfilt.df1):
• Note that one usually does not construct DFILT filters explicitly.
• Instead, one obtains these filters as a result from a design using
• FDESIGN.
• ------------------------- FIR ---------------------------------------
• dffir - Direct-form FIR
• dffirt - Direct-form FIR transposed
• dfsymfir - Direct-form symmetric FIR
• dfasymfir - Direct-form antisymmetric FIR
• fftfir - Overlap-add FIR
• latticemamax - Lattice moving-average (MA) for maximum phase
• latticemamin - Lattice moving-average (MA) for minimum phase
• farrowlinearfd - Farrow linear fractional delay (*)
• farrowfd - Farrow fractional delay (*)
• ------------------------------- IIR ----------------------------------------
• allpass - Minimum-multiplier allpass filter (*)
• wdfallpass - Wave digital allpass filter (*)
• df1 - Direct-form I
• df1sos - Direct-form I, second-order sections
• df1t - Direct-form I transposed
• df1tsos - Direct-form I transposed, second-order sections
• df2 - Direct-form II
• df2sos - Direct-form II, second-order sections
• df2t - Direct-form II transposed
• df2tsos - Direct-form II transposed, second-order sections
• latticeallpass - Lattice allpass
• latticear - Lattice autoregressive (AR)
• latticearma - Lattice autoregressive moving-average (ARMA)
• statespace - State-space
• ---------------------------------- Multi-stages -------------------------------------
• delay - Integer delay
• scalar - Scalar
• cascade - Cascade (filters arranged in series)
• parallel - Parallel (filters arranged in parallel)
• cascadeallpass - Cascade of minimum-multiplier allpass filters (*)
• cascadewdfallpass - Cascade of wave digital allpass filters (*)
• calattice - Coupled-allpass (CA) lattice (*)
• calatticepc - Coupled-allpass (CA) lattice with power complementary (PC) output (*)
• 2014-9-1~2015-2-13 longshuming