状態空間モデルを用いた金融

時系列分析

佐藤整尚

（大学共同利用機関法人・情報・システム研究機構 統計数理研究所・データ科学研究系・准教授）

9月26日CARFセミナー

はじめに • 90年代：統計科学の分野で金融データに対する応用が盛んになった：ＡＲＣＨ、ＧＡＲＣＨをはじめとするボラティリティモデルの推定

• 2000年以降：さまざまな商品が開発される。高頻度データの解析、債券価格のモデリング、倒産確率のモデリング

• 現在：数理ファイナンスの進化が著しい。 （統計科学の出番は？）

状態（State）変数とは

• 必ずしも観測されるとは限らない物事の状態（本質）を表す変数。

• 時間とともに変動する。

• 観測値は状態変数の関数で表される。

状態空間モデルとは

• システムモデル（状態モデル）と観測モデルからなる。

• システムモデルにはマルコフ性が仮定される。

t-1時点の状態 t時点の状態 t+1時点の状態

t-1時点の観測値 t時点の観測値 t+1時点の観測値

システムモデル

観測モデル 観測モデル

状態空間モデル

• 線形・ガウスの場合（ｘが状態変数）

ttt

ttt

eHxyGvFxx

+=+= −1

例）

カルマン・フィルタ tttt

ttt

exy +=+= −

βεββ 1

（システムモデル） （観測モデル）

（システムモデル） （観測モデル）

一般化状態空間モデル

システムモデル

観測モデル

（Yが状態変数）

状態空間モデルの目的

• モデルの当てはめやパラメータの推定を行う。

• 観測値から状態変数を推定する。

• モデルに基づき予測を行う。

• モデルに基づき平滑化を行う。

状態空間モデルの歴史 • もともとは物理システムの記述に使われていた。

• 1960年代カルマンにより、制御

工学での利用が進んだ。（カルマンフィルタ）

• 1970年代赤池により、統計科学への応用が始まる。

理論モデルの記述

システムの制御

モデルの推定

＊ファイナンスでも使われるようになってきた。

金融時系列分析において 状態空間モデルが有効な例

• Trend Modelの推定 • Volatilityの推定（ Stochastic Volatility Model ）

• 金利の期間構造の推定 • マルチファクターモデルの推定 • CAPMにおける時変Betaの推定 • 投資信託のスタイル分析 • マイクロマーケットストラクチャーの推定

金融時系列において状態空間モデルが適用される時の2つの傾向

• 理論モデルの対象とする変数が観測できない場合 – 数理ファイナンスを起源とするモデル（連続時間モデル） – 状態（システム）モデルは一般に複雑である。非線形でカルマンフィルターでは解けないことも多い。

• 時変係数タイプの非定常モデル

– クオンツタイプのモデル – ベースは回帰モデルでこれを時変にしたもの – システムモデルは統計的なモデリングである。カルマンフィルタで解ける場合が多い。

状態推定のアルゴリズム

• カルマン・フィルタ • 拡張カルマン・フィルタ • 非線形フィルタ • モンテカルロ・フィルタ

モンテカルロフィルタの特徴

• 様々なモデルに適用可能である． – 制約つき推定 – 非線形構造 – 突然のジャンプなどを含むモデル

• 状態変数（潜在変数）の推定が得意 • 平滑化も可能である．

Monte Carlo Filter : ( Kitagawa [1996] )

Initial distribution

Prediction

～ likelihood

Re-sampling by Filter

Log-Likelihood

AIC (Akaike Information Criterion)

Trend-Volatility model (summary)

Yt = Tt + At + ε t exp St

Tt = DTt – 1 + Tt – 1 + e1t + e2t

DTt = DTt – 1 + e1t

At = a1At – 1 + a2At – 2 + e3t

St = St – 1 + c ∆DTt – 1 + e4t

e1t,e3t,e4t ~ N 0,σi2 , ε t ~ N 0,1

e2 ~ Uniform(d 1 , d 2) (Prob. α)N(0,σ2

2) (Prob. 1 – α)

（状態：トレンド、 ボラティリティ、周期変動）

時変係数マルチファクターモデル

+++=

+++=+++=

+=+=+=

−

−

−

ntnttntttnt

ttttttt

ttttttt

ttt

ttt

ttt

efcfbar

efcfbarefcfbar

vccvbbvaa

)2()1(

22)2(

2)1(

2

1)2(

11)1(

1

31

21

11

時変係数CAPM

（状態：ファクターにかかる係数）

Observational Data (interest rates)

Estimated Factors (State Variables)

•Monte Carlo Filter

•State Space Model

Multi-Factor Model

Estimated Term Structure

（状態：ファクター）

Term structure model of interest rates

State variables: Y (k-dimensional)

W : n dimensional Brownian motion

Short-term interest rate : ),( tYrr =

ファイナンス理論によるモデリング（一般的な枠組み）

Price of zero coupon bonds : P(t,T)

Q : Risk neutral measure

Under Q

T : maturity

),),((),( TttYBTtP =∴

* *

PはYのモデルの形に 依存して決定される

General case :

System Model:

Linear case :

SS ′=Σ

Observational Model

Price of a zero coupon bond

General case :

Additive case :

Examples of H(・ ) :

(LIBOR) (Swap rate)

)](| tY

),);(( TttYB=

要点：

モンテカルロフィルターを用いた金利の期間構造の推定

特徴： 幅広いモデルに適用可能である． 特にゼロクーポン債の価格が明示的 に解けなくてもよい．

自由なモデリングが可能 （CIRなどのモデルにこだわる必要が無い）

スタイル分析法

• 静的枠組み – 回帰モデル

• 動的枠組み – ウィンドウを移動しながら回帰を行う方法 – 罰金つき最小２乗法 – ・・・ – 状態空間表現によるアプローチ（新しい手法）

ttttttt

ttttttt

eLGLVMGMVSGSVr

++++++=

654

321

ββββββ

投資信託のスタイル分析

SV:Small-Value SG:Small-Growth MV:Mid-Value MG:Mid-Growth LV:Large-Value LG:Large-Growth

（状態：スタイルインデックスにかかる係数）

従来の方法

• Window-Regressionによって求めた係数を平滑化する方法

（MPI-スタイラス，http://www.mpi-japan.com/）

• 制約つき最小２乗法＋HP Filter （竹原１９９９）

ここで提案する方法： Smoothness Prior ＋ Monte Carlo Filter

∑

∑

∑

∑

∑

≠

≠

≠

≠

−

−=

−=

−=

−=

≤

≥

−

+=++++++=

66

22

11

''

2

2

1,

654321

)61:(Pr1

)61:(Pr1

)61:(Pr1

)3(

1)2(

1

)1(

0)1:(Pr),0(

):(Pr),0(~

jjtt

jjtt

jjtt

ijjtti

it

it

i

iit

ittiit

tttttttttttttt

cNN

eLGLVMGMVSGSVr

ββ

ββ

ββ

ββ

β

βασ

ασε

εββββββββ

モデル：

制約：

状態推定はモンテカルロフィルター を使う．

実証結果のまとめ

• ウエイト所与のもとでのシミュレーションデータに対してはよく推定されている．

• 特にMCFでは急激な変化も捉えられた． • 現実のリターン系列に対しては必ずしも満足できる結果ではない． – 現実のファンドは常にスタイルインデックスのみのポートフォリオとしてみれるか？

ボラティリティの推定

• ヒストリカルボラティリティ

• SVやGARCHなどのモデルを使った推定

• 高頻度データを使った実現ボラティリティの推定 日次データ －＞ １分データ、１秒データ、 Tick データ ＊より精緻にVolatilityの推定が可能

High Frequency Data of Nikkei-225 Futures

• Traded at Osaka Securites Exchange

• Very active – Daily average volume 136,802 units (2008)

• Intra-day volatility movements

• Large tick size – 10 yen (Spot index : 0.01 yen)

Apr-16-2007

*Futures data are presented by Osaka Securities Exchange.

High Frequency Data

60 sec.

Spot index (black) and Futures (red) Apr-16-2007

Historical Integrated Volatility for Nikei225 Futures

Ｘ：LOGをとった株価

X: log transformed stock price

(1s)

(5s)

(10s)

(30s)

∑=

−−=Σn

ininix xx

1

2/)1(/ )(ˆ

Integrated Volatility

Interval

従来のフレームワーク

iii

iii

vxyexx

+=+= −1

Discrete model:

（状態：本源的な資産価格、 ただし、状態そのものを推定 するのではない）

高頻度データに対する より一般的な枠組み

),,(

)10()(

1

0

2/10

iiii tttt

t

sxt

vyxgy

tdBsxx

−=

≤≤Σ+= ∫

観測値yからｘのボラティリティを推定する。

SIML (Separating Information Maximum Likelihood) Estimator

(Proposed by Kunitomo and Sato (2008))

Pn: rotation matrix

For small k,

( )[ ] 0sin4 1212

22

, ≅= +−

nk

kn na π

vx

nlnlnm zzzzzz

Σ↓

+−+−

Σ↓

ˆ

21

ˆ

21 ,,,,,,,,

SIMLの特徴

• 実務的な方法である。 – 計算が簡単であり、他の方法のようにデータごとに定めるパラメータなどがない。

– やや効率性は落ちるが、非常にロバストである。

• 漸近的な性質が比較的簡単である。

• 共分散も推定できるので、たとえば、重回帰モデルの推定なども可能である。

高頻度データに対する 新しい観測モデル

iiii tttt

t

sxt

vyxgy

tdBsxx

+−=∆

≤≤Σ+=

−

∫)(

)10()(

1

0

2/10

観測値yからｘのボラティリティを推定する。

まとめ

• 高頻度データの観測モデルを非線形に拡張した。

• さまざまな非線形変換が考えられる。

• 従来の加法ノイズモデルにおける実現分散の推定法も、ほぼ、有効である。

• 多変量のケースでの実現相関の推定も可能（SIML)

ファイナンス分野での統計科学

• 統計モデル（時系列モデル）のファイナンスデータへの適用

• ファイナンスモデルへの統計手法の適用

• 状態空間モデルは両方をつなぐ接点となりうる。 – 新しいフィルタリングの応用 – 今まで推定の難しかったファイナンスモデルの推定