抽象的モデリングのすすめ：  体内時計の多振動子モデル

を例として

郡 宏 （お茶の水女子大学）    

（影山チーム）  

1

日々：予言能力のある，かつ，シンプ

ルなモデル作成 究極（夢）：新しい概念の提唱

あたらしい概念を生み出すことを目標に単純化・抽象化したモデルを作り，アイディアを深める．

目標or問題意識or理論屋としての立場など

方針or方法

時差ボケを説明する  体内時計中枢の数理モデル

3

DOI: 10.1126/science.1238599, 85 (2013);342 Science

et al.Yoshiaki YamaguchiResistant to Jet LagMice Genetically Deficient in Vasopressin V1a and V1b Receptors Are

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共同研究者：山口賀章,  溝曽路祥孝,  鈴木暢,  岡村均 （京大薬）

時差ぼけ

4

12

マウスの時差実験

再同調（時差に適応）するのに1週間程度必要．  一日1時間程度しか，時計がずれない

光12時間（白），闇12時間（灰）の部屋で飼育．    Day  0  で  8時間スケジュールを  早める（米国西海岸に飛んだ感じ）

Yamaguchi  et  al.  Science  (2013)

時差ぼけはSCNの応答の遅さが原因

5 時計遺伝子の発現(Per  1)を測定  Nagano  et  al  (2003)

時差からの回復時間は  位相反応曲線からみると長すぎ

6

pLATEX2!: text : 2011/6/10(9:4)

1.2 リズムの基本性質 13

▼

0 12 24時間

44

30

16

日

-2

-1

0

1

0 6 12 18 24位相の変化量(時間)

光照射を受けたときの体内時刻

(a) (b)

図 1.7 マウスの (a)活動リズムと (b)位相応答曲線．(a)暗室にいるネズミに，30日目の 11:45分頃 (白抜きの矢印)に 30分の強い光を与えた結果，次の日以降の活動時間帯が 2時間ほど遅れている．(b)位相応答曲線．本間さと氏の提供による．

動物の概日リズムの位相応答曲線の測定について説明する．体内時刻 (位相)

は，ある日の活動の開始時刻と次の日の活動の開始時刻を 24 時間で等分割して定義する．慣習として，ネズミのような夜行性の動物に対しては，行動の開始時刻を体内時刻の 12時と定義する．図 1.7(a)はマウスの行動リズムで図 1.1

の実験の続きである．30日目の矢印で記した時間に，30分間，強い光をネズミに照射している．すると，31目以降の活動時間帯が遅れており，最終的には!2時間程度の位相変化が生じている．位相の変化量は，光を照射されたときのマウスの体内時刻に依存する．図 1.7(a)の場合では，30日目に刺激を与えているが，その時刻は行動開始から約 2時間ほど後なので，体内時刻の 14時に刺激を与えていることに相当する．図 1.7(b)の横軸は光刺激を与えたときのマウスの体内時刻で，縦軸は体内時刻の変化量である．これが概日リズムの位相応答曲線である．マウスの位相応答曲線は，夜に活動時間を合わせるのに適している．たとえ

ばマウスが活動を開始する時刻，つまり，体内時刻の 12時付近で，まだ日が出ているとしよう．するとマウスは光を浴び，このときの位相シフトは負であるので，マウスの体内時計は遅れ，次の日以降の活動時刻はその分だけ遅くなる．活動の終了時刻である体内時刻の 0時付近に光を浴びれば体内時計が進

さきほどの場合は12時間も光を照射しているのに  なぜ１日に1時間だけしかずれない？？？

ずっと暗闇の部屋で飼っているマウスに15分の光照射すると，最大で2時間程度体内時計がずれる (実験：本間さと)  

12

時差ぼけしないマウスを作れた

7

普通のマウス ある遺伝子（V1a/V1b）を  ノックアウトしたマウス

12

一週間程度  再同調に必要

1日で再同調  がほぼ完了

Yamaguchi  et  al.  Science  (2013)

E.E. Abrahamson, R.Y. Moore / Brain Research 916 (2001) 172 –191 179

Fig. 5. Schematic representations of the cell and fiber distributions of 12 neurochemicals at four rostrocaudal levels through the SCN. The number of cellsand the density of fibers illustrated are not meant to represent absolute values (see Table 1), and each drawing is not adapted from an individual case.Instead, cell and fiber distributions are meant to represent the average of several cases. Note that the four rostrocaudal levels in each column (1–4)correspond to the levels illustrated in Fig. 1 (C–F).

the extremely small, densely packed cells located centrally of CALR1 neurons are located ventrally, very few extendwithin the core. It is not possible to distinguish individual into the optic chiasm. Most CALR1 neurons are small tofibers in GABA-stained material. There is, however, a haze medium sized, round and lightly immunoreactive relativeof immunoreactivity throughout the SCN, anterior hypo- to the large, darkly stained cells of the ventromedialthalamus and periventricular nucleus. This immuno- hypothalamic nucleus and the septofimbrial nucleus (Tablereactivity is absent from other, nearby nuclei, such as the 1). At all levels, the optic tract is heavily immunoreactiveparaventricular hypothalamic nucleus. Although cell for CALR.counts were not performed, most if not all, SCN neuronsappear to produce GABA (Figs. 4C and 5). 3.2.8. Calbindin

CALB1 neurons are found throughout the core and3.2.7. Calretinin shell subdivisions of the SCN at all rostrocaudal levelsCALR1 neurons are concentrated in the ventral core of (Fig. 5). The intensity of immunoreactivity between cells

the middle third of the SCN and appear to be coextensive differs extensively; those located in the central core of thewith the VIP1 neuron population (Figs. 4D and 5). There nucleus are more darkly stained than those in the surround-is also a small contingent of cells that arcs laterally around ing portions of the nucleus. Although it is not possible tothe central portion of the nucleus. CALR1 neurons at the distinguish fibers, the neuropil of the SCN is darklyfar dorsal and dorsolateral edges of the SCN are usually stained. This is most easily seen at the caudal pole of thebeyond the borders of the nucleus. Although the majority nucleus at the interface with the retrochiasmatic area (the

SCNの構造

8

多種類の細胞，神経伝達物質，階層的ネットワーク  

AVP VIP GRP

●：各神経伝達物質を発現する細胞  〜：その細胞からでているファイバー

(Abrahamson  &  Moore  2001  )

AVP： SCN内の細胞間結合の１つ．これをブロック．  VIP： 光情報を直接得ている細胞からSCN全体へ投射  ほかにもGAVAなどを介した相互作用がある

SCNの時計タンパク発現

9

野生株マウス

ノックアウトマウス

8時間前進の時差を与えた．  野生株：振動が一週間程度ほぼ消失  ノックアウト：3日程度で回復

² 時差ぼけの原因はSCNの振動消失にある  ² ノックアウトマウスでは，時差後も振動がすぐに回復

Yamaguchi  et  al.  Science  (2013)

理論研究の目的

•  視交叉上核に存在する細胞間結合の1つをブロックしたマウスを作成した  

•  8時間前進の時差を与えたときに，再同調にかかる時間が3日程度のマウスを作ることができた．  （通常のマウスは7日から10日必要）  

•  時差ぼけ時はSCNの振動がほぼ停止  

10

実験研究の概略

理論研究の目的

ＳＣＮの数理モデルを作り  「細胞間結合の一部の欠如」  →  「時差ボケの短縮」  

というシナリオのメカニズムを明らかにする    

なるべく単純なモデルがいい

11

1つの振動子を一変数で表す  「位相振動子モデル」を紹介

位相振動子モデル

φ p(t)

Z(φ) :

φ

0 dφdt

=ω +κZ(φ)p(t)

位相感受関数

12

Winfree  ‘67  Kuramoto  ‘84

相互作用が弱いとき妥当なモデル

limit-cycle oscillator:

dWdt

= F(W )

phase: φ(W) s.t.

dφdt

=ω (=const.)

external force (only to x-direction): dWdt

= F(W ) +κp(t)0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

∂φ∂x

=∂φ∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ on the limit-cycle

+ O(κ ) ≡ Z(φ) + O(κ )

corresponding phase dynamics: dφdt

=∂φ∂W

⋅dWdt

=∂φ∂W

⋅ F(W ) +κp(t)

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=ω +∂φ∂x

κ p(t)

Winfree model:

dφdt

=ω +κZ(φ) p(t) + O(κ 2 )

Z(φ) : infinitsimal Phase Response Curve (iPRC), or, phase sensitivity function

W =xy

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

W

dφdt

=∂φ∂W

⋅dWdt

=∂φ∂W

⋅ F(W ) ∴

∂φ∂W

⋅ F(W ) =ω

詳しくは郡宏・森田善久  「生物リズムと力学系」  (2011,  共立出版)

13

蛍二匹の位相ダイナミクス

光  

光  

Firefly I:

dφ1

dt=ω1 +κZ(φ1) p(φ2 )

Firefly II:

dφ2

dt=ω2 +κZ(φ2 ) p(φ1)

p(φ)

φ

光の放出  

0 2π 4π

14

dφ1

dt=ω1 +κZ(φ1) p(φ2 )

dφ2

dt=ω2 +κZ(φ2 ) p(φ1)

dφ1

dt=ω1 +κ f (φ1 −φ2 )

f (φ1 −φ2 ) =

12π

Z(φ1 +θ)0

2π

∫ p(φ2 +θ)dθ

位相差を固定したまま結合項を平均化

dφ2

dt=ω2 +κ f (φ2 −φ1)

弱結合を仮定：    すると，一周期の間に振動子の位相差は  ほとんど変わらない

κ ω1,ω2

(Y.  Kuramoto  1984) 15

Z(φ1 +θ) = ameim(φ1+θ )

m∑ , p(φ2 +θ) = bme

in(φ2 +θ )

n∑

L(t)=0  or  1

0

1

2

KAVP Kc  

Kb

Kb

3

SCN

Kd

Kd

Ka

提案する体内時計モデル

光 末梢

dφ1dt

=ω + KbZb(φ1)g0(φ0 )+ KAVP + Kc( )Zc(φ1)g2(φ2 )

dφ0dt

=ω + KaZa(φ0 )L(t)

dφ2dt

=ω + KbZb(φ2 )g0(φ0 )+ KAVP + Kc( )Zc(φ2 )g1(φ1)dφ3dt

=ω + KdZd (φ3)G(φ1,φ2 )

モデルのセッティング

17

²  結合強度の目安  Ø  細胞０： 明暗サイクルに数時間で同調  Ø  細胞１，２： 細胞０に２日でほぼ同調  Ø  細胞３：細胞１，２に３日でほぼ同調  

²  細胞１と細胞２の相互作用（強度：KAVP  +  KC）  ²  数時間程度の位相差を保つ相互作用  

（SCN内の位相の広がりを表現している）  ²  変異株(KO)ではKAVP=0とする．  ²  KcはGABAなど他の相互作用の強度．  

（GABAによる相互作用は位相を広げることが報告されている:  Freeman  et  al.  Neuron  2013  ）  

AVPはある程度の位相差を保たせるような相互作用（実験検証）

18

Yamaguchi  et  al.  Science  (2013)

ＳＣＮからの平均出力：  Kavp=0.7（黒）の時振動振幅の低下が見られるが

Kavp=0（赤）ではロバストだった

19

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Out

put (

arbi

trary

uni

t)

Days after time shift

WT KO

縦軸：細胞１と２の平均出力 sinφ1 + sinφ2

2

平均出力がピークとなる時間も  実験を再現

20

-12

-8

-4

0

4

8

12

0 2 4 6 8 10 12

Tim

e (H

ours

)

Days after time shift

WTKO

シンボル：  SCN平均出力がピークとなる時刻  バーの長さ：振動の振幅

理論 実験

Yamaguchi  et  al.  Science  (2013)

モデルで起きていること

21

時差前 時差直後

正常なマウス どっち周り？

ノックアウトマウス

まとめ

22

Ø 中枢時計を３分割  Ø 光情報は振動子０へ  Ø 出力は振動子１＆２  Ø 入力から出力へ一方向性  Ø 出力振動子間では，ある

程度の位相差が保たれている (AVPやGABAの作用)  

Ø  KOではこの相互作用が弱まる  

Ø 正常なマウスでは時差直後に  振動子１と２がほぼ逆位相になり，  不安定な同期状態（特異点）に陥いる．  

Ø この間，環境の影響はキャンセルし続け，時差ぼけが長く続く  

Ø  KOでは２つの振動子の相互作用が弱いため位相差が小さい．その結果，すみやかに再同調．

モデルの仮定

モデルの性質

抽象的モデリングのメリット

•  分子機構に左右されない  – ある日モデルが無意味に・・・，という悲劇が少ない  

•  パラメータが少ない  – 作りやすい．解析しやすい．  

•  「仮定」を表現しやすい  – 理論研究のスタート地点．  – 実験家とともに考える道具になる  

23

-  あたらしい現象，視点はきっとまだまだたくさんあると思います．実験家と一緒にデータを眺め，考えることで，宝物がみつかるかも．

実験生物学へのアピール

理論的な意義（理論屋にも向けたアピール）

-  実験家と理論家が一緒に考えるためのツールとしての数理モデル

-  すてきなムービーをたくさんみたいです （領域内で共有できると，理論研究が促進されるかも？）