物理学（1学期）：流体力学、電磁気、波動、量子力学

藤崎弘士（物理学教室）

これまでやったこと

• 力学 –ニュートン方程式

• 一定の力のときの運動

• 速度に比例する摩擦のあるときの運動

• 単振動（テイラー展開、オイラーの公式）

• 減衰振動（一般的な微分方程式の解き方）

• 強制振動（共振、共鳴現象）

–エネルギー保存則 • 運動エネルギー＋位置エネルギー＝一定

• 一般には線積分として位置エネルギーは定義される

これからやること

• 流体力学 • 電磁気学（おもに電気） • 波動（短めに） • 量子力学入門

• 力学でやり残していること

– 角運動量、トルク ニュートン方程式から出る – 2体問題（惑星の運動） – 質点系の運動（基準振動） – 剛体の回転運動（コマの運動）

流体力学

：密度場

マクロな大きさ

ミクロな大きさ

密度場

• 水

– ほとんど変化しない

– 密度場：一定と思ってよい

– ただし、イルカは水中の音波を使う

• 空気

– ちょっと変化する

– 疎密波が生じる

– 音波、超音波

• 波動現象

• 波動方程式で記述される

コウモリ

イルカ

速度場

• 流体をかき混ぜると、速度場が生じる

– 場所によって速度が違う

• 速度場の例

– 水道の水

– 海の黒潮

– 竜巻、台風

– 血流

：速度場

コヒーレントラグラジアン多様体

圧力場

• 圧力は熱力学、もしくは統計力学の概念 – 2学期にやる

– 小さな分子が不規則にぶつかることで圧力は生じる

• 基本的に等方的 – 小さい体積を考えるかぎり、圧力の方向に偏りはない

– 何メートルも場所を変えたら変化する！ • 圧力場

– たとえば大気圧は高いところでは小さくなる

• 空気の重さを面積で割ったもの

• ただし、密度も上空で変わる

大気圧

：圧力場

• 空気の重さを面積で割ったもの

• ただし、密度も上空で変わる

• だいたい 8000 m で半分の密度になる

• それから計算すると、、、

大気圧

：圧力場

• 空気の重さを面積で割ったもの

• ただし、密度も上空で変わる

• だいたい 8000 m で半分の密度になる

• それから計算すると、大気圧は 1m2あたり10 トンの力 – 105 Pa = 105 N/m2

• 空気の密度は 1.3 Kg/m3 として計算

大気圧

：圧力場

血圧

• 10 cm 腕を上下させると

• 105 Pa=760 mmHg だから、だいたい 7.6 mmHg

• どのように血圧を測るか？ – 乱流を聞く！

粘性

• 粘性の定義

• 粘性の値(Pa･s)

– 空気: 1.8 x 10-5

– 水: 8.9 x 10-4

– マヨネーズ: 8

– ピッチ：2.3 x 108

せん断応力 (shear stress)

ピッチドロップ実験

• 非常にねばっこい物質 – ほとんど固体

• 1927年に実験開始 – 1938（1滴目） – 1947 – 1954 – 1962 – 1970 – 1979 – 1988 – 2000 – 2014（9滴目）

ストークスの摩擦（粘性）

正確な値は

流体力学の法則

• ニュートン方程式を使って導き出される – ナビエ・ストークス方程式

• しかし、いろんな近似が入っていて、そんなに厳密なわけではない

• しかし、驚異的に流体現象を記述する – 層流に関してはかなり分かってきている

– 乱流に関しては数値計算をするしかない • いろんな統計法則はある • 非常に経験的

層流

乱流

ベルヌーイの定理

流線に沿ったエネルギー保存則から導かれる：粘性が無視できる場合

トリチェリの定理

マグヌス効果

ハーゲン・ポワズイユの公式 粘性が非常に大きい場合

流束：単位時間あたり流れる体積

乱流

• 乱流はレイノルズ数で（ざっくりとは）判定できる

• レイノルズ数が1000以上だと乱流

– 大動脈など

• 細胞内だと乱流になることはまずない

– 低レイノルズ数の世界

電磁気学

• 電磁気学 – 電気(E,D)の話

– 磁気(H,B)の話 • 二つは統合される

– マクスウェル方程式

• なぜ電磁気？ – ありふれている

• 体の中にも電気（信号） – 心電図

• タンパク質、DNAなども電荷をもっている

• 電化製品、医療機器など、もれなく電気（磁気）を使う

• 電波であふれている – 携帯、ラジオ、テレビ

クーロンの法則

• 電気の元である、電荷(charge)の間に働く力

• 逆2乗の法則 – 万有引力と同じ

• 粒子間に沿って働く – 中心力

• 同じ符号の電荷のときは斥力、異なる符号の電荷のときは引力になる

• 力はベクトルなので、いくつか電荷があれば、力もそれらの合成になる

F = kq1q2

r2

q1

q2r

電場（電気場）

• q に注目して、そこに働く力だけを考える – つまり、q 以外の電荷によって及ぼされる力

• その力を qE と書いたときのEのことを電場と呼ぶ

• 電場もベクトルであり、場所によって変化する

• 電荷から電場が出ているとイメージすることができる電気力線

F = kqq2

r2= qE

q

q2qE

電場はベクトル場である

q1

q

1q

電気力線の性質

• 電荷が正なら外向きに矢印を引く

– 負のときは内向き

• 電気力線は決して交わらない

• 電荷の密度に比例するように本数を決める

– 電気力線が密なところは電場が強い

– ガウスの法則

q2q

電気力線の例

異符号の電荷がある場合 同符号の電荷がある場合

ガウスの法則

• 電場と電荷の間の関係

• もっとも簡単には – 「総量Qの電荷から出る電気力線の数は 4 π k Q本」と表現

– これの意味は何か？

• 数学的には – 「電場をある閉曲面に沿って面積分すると、その値が 4 π k Q になる」

– これの意味は何か？

ガウスの法則の例：１つの電荷

• 面積分

– あるベクトル量と表面の微小面積ベクトルとの内積を取って、面内で積分

– いまの場合それは

– 半径 r の面で積分すると

– これが 4 π k Q と等しいので

E(r)dS E(r)4pr2

E(r)4pr2 = 4pkQ

dS

2( )4E r r

2( )4 4E r r kQ

ガウスの法則の例：１つの電荷

• 面積分

– あるベクトル量と表面の微小面積ベクトルとの内積を取って、面内で積分

– いまの場合それは

– 半径 r の面で積分すると

– これが 4 π k Q と等しいので

E(r)dS E(r)4pr2

E(r)4pr2 = 4pkQ

dS

2( )4E r r

2( )4 4E r r kQ E(r) = kQ

r2

ガウスの法則の例： 平面に広がった電荷

• 図のような円柱を考える

• 電場は面に垂直方向

• 対称性から面 (x,y) に沿っては変わらない

• ガウスの法則から

( ) ( ) 4E z A E z A k A

( ) 2E z E k

Z 方向

( ) ( )E z E z

E(z)

面の電荷密度 を σ とする 電荷

( )E z

ガウスの法則の例: コンデンサ

• 正電荷の平面と負電荷の平面でサンドイッチにしたもの

• 内部の電場は１平面に電荷があるときの２倍

• 外の電荷は０になる – 2つの平面からの電場が打ち消しあうため

4E k 一定の電場

電位（静電ポテンシャル）

• 力学における位置エネルギーと同様に定義できる – 静電ポテンシャルとも呼ばれる

– 電場の線積分で定義

• コンデンサで考えると一定の電場だから、、、

• よって、V(x) = E x

• これは重力の位置エネルギー(m g x)と形式上同じ

( ) ( )V E d r r rE

Ex

静電容量（キャパシタンス）

• コンデンサにたまる電荷を q を電圧 V で割って定義

• コンデンサの場合

– q = σ A

• 電圧は

– V = E d = 4 π k σ d

• よって

– C = q/V = A/(4 π k d)

4

AC

kd

電荷によらず、 形状のみによる

電流

• 電圧（電位）をかけると電流が流れる – 電池につなぐ

• 細かく見ると、電子やイオン（電荷）の流れ – 金属の中だと電子

– 細胞内だとイオンやプロトンなど

• ある一定の速度で動いていると思ってよい – なぜ？

dQI qnSv

dt

v

:n

:S

電子密度 [1/m3]

断面積 [m2]

オームの法則

• ストークスの摩擦と同じで速度に比例した摩擦力が働く – これが電気抵抗のもと

– ただし、その起源はストークス摩擦とは異なる

• ある程度時間が経つと、一定の速度になる（終端速度）

• それを使って電流を書き直す

• オームの法則

dvm mv qE

dt

qEv

m

1

qEI qnS E

m

VV

R

V RI

電気回路：直列接続

• 電圧降下

– 電流が抵抗を流れると、電圧（電位）が下がると考えることができる

• 電圧降下と起電力は釣り合う

1 1 2 2, V R I V R I

1 2 1 2( )V V V R R I

電気回路：直列接続

• 電圧降下

– 電流が抵抗を流れると、電圧（電位）が下がると考えることができる

• 電圧降下と起電力は釣り合う

1 1 2 2, V R I V R I

1 2 1 2( )V V V R R I 1 2R R R

抵抗を直列につなぐと、 実効的な抵抗は

電気回路：並列接続

• キルヒホッフの法則

– 電流は一定

– 電荷は一定

• 分岐している回路の場合、ある２点間の電圧降下はどちらの分布で考えても同じ

1 2I I I

1 2V V V

電気回路：並列接続

• キルヒホッフの法則

– 電流は一定

– 電荷は一定

• 分岐している回路の場合、ある２点間の電圧降下はどちらの分布で考えても同じ

1 2I I I

1 2V V V

1 2

1 2

1 2

1 1

V VI I I

R R

VR R

電気回路：並列接続

• キルヒホッフの法則

– 電流は一定

– 電荷は一定

• 分岐している回路の場合、ある２点間の電圧降下はどちらの分岐で考えても同じ

1 2I I I

1 2V V V

1 1 1

1 2R R R

抵抗を並列につなぐと、 実効的な抵抗は

血流への応用（生理学）

血流を Q が電流 I に対応 抵抗 R が粘性 η に対応 コンデンサは大動脈の弾性に対応する（らしい）

心臓

神経パルスへの応用（神経生理学）

イオンチャネル

( ) log ( )RT

V x xZF

(in) 4 mM

(out) 155 mM

- 98 mV

ネルンストの電位の式（２学期にやる）

神経パルスへの応用（神経生理学）

パッチクランプ法

磁場（磁気場）

• 電流もしくは磁石（スピン）によって生じる場

• 電場と比べると、基本的に弱い力

• 生体内ではあまり（ほとんど）働いていない

• 医療機器としては – 核磁気共鳴イメージング（MRI） • プロトンのスピンを測る

– 脳磁図(MEG) • 脳内の電流を測る

フレミングの法則：ローレンツ力

• 実験事実として、電流に磁場をかけると、それらの向きに垂直に力をうける – フレミングの法則

– 磁場の実験でやる

• 電流が電子からできていることを考えると、これは電子がそういう力を受けるということ – ローレンツ力

– 比電荷の実験でやる

F I B

q F v B

電子に分けると

ベクトルの外積

ビオ･サバールの法則

• 任意の線に沿って電流が流れたときに、その周りに生じる磁場を記述する法則

• かなりややこしいので特別な場合だけ覚えておけばよい – 直流電流（r だけ離れたところの磁場）

– 円電流（半径 a の中心の磁場）

– ソレノイド内部の磁場

33

( ) ( )

4 | |V

H d

j r r r

rr r

2

IH

r

2

IH

a

H nI

MRI (magnetic resonance imaging)

• 前の授業でやったように共鳴の原理を用いる

• この場合、振動しているのは人体内の水素のスピン（小さい磁石）

• それが磁場を書けると回転する＝振動数をもつ

• その振動数にマッチする交流磁場を外からかける（外場） – 共鳴するとエネルギーを吸収し、その後放出する

d

dt

SH S

スピンの運動方程式

波動に関するあれこれ 光とは何か？

電磁波

波動のもつ性質

屈折・回折現象 光ファイバー

Ｘ線回折実験

干渉現象 ヤングの実験 実験あり

量子効果 光電効果 実験あり

Ｘ線

ドブロイ波（電子も波である）

光とは何か？ 光＝電磁波の一種

可視光

赤外光

紫外光

Ｘ線

ガンマ線

波動方程式に従う 速度＝光速度

1秒間に地球を7回り半進む

これより速い速度はない！ 相対性理論が正しければ。

最近は間違った実験があったが。。

可視光の波長

1 mm の1万分の1くらい （分子の大きさ＝1mmの百万分の1くらい）

nm=10-9 m

光の波長は非常に小さいので、普通は 波動性は見えない波動性とは？

波動のもつ性質 干渉(interference)

波は重なり合う 波動方程式の線形性から

屈折(refraction) 屈折率の違うところにだ

と波の速度は違う 波は屈折率の違うところ

で曲がる

回折(diffraction) 波は広がっていく 障害物があっても越えて

いく

しかし、光はだいたいまっすぐ進むと思っていい 幾何光学（光を線として

扱う）

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Interference_of_two_waves.svg//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Pencil_in_a_bowl_of_water.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Wavelength=slitwidthspectrum.gif

視角と視力

( /180)d D

ランドルト環 視力： 1/ (60 )V

：視角

1/ 60 視力=1.0

5 m 1.5 mm

脱線 腕を伸ばして親指を見ると、その視角はだいたい２度

( /180)d D

180 2cm 1802.3

50cm 3.14

d

D

脱線 腕を伸ばして親指を見ると、その視角はだいたい２度

遠くから人が近づいて：指一本の大きさになったら？

( /180)d D

180 2cm 1802.3

50cm 3.14

d

D

180 1.6m 1802.3

m 3.14

d

D x40mx

波動のもつ性質：屈折

1 1 2

2 2 1

sin

sin

v n

v n

スネルの法則 （電磁気学から導かれる）

1.00

1.33

1.47 ~ 1.92

2.42

n

屈折率： 空気（真空）

水

ガラス

ダイヤモンド

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Pencil_in_a_bowl_of_water.svg

波動のもつ性質：屈折

医学的応用：光ファイバー（胃カメラなど）

全反射：光がファイバーからもれない！

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/90/Flexibles_Endoskop.jpg

波動のもつ性質：屈折

医学的応用：目の仕組み

波動のもつ性質：回折 指向性の強い波（平面

波）を点状の障害物に当てる

球面波という、球面上に広がる波になる

池に石を落すと円状の波ができるのと同じ

数学的には、振動波動の授業のノート参照

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Wavelength=slitwidthspectrum.gif

波動のもつ性質：回折

藤崎など、日医大医会誌 2012年8月

X線回折実験

X線

結晶

イメージ

タンパク質（酵素）の構造（どういう 原子の並びになっているか）が分かる！

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Cliche_de_laue_principe.svghttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:X-ray_diffraction_pattern_3clpro.jpg

波動のもつ性質：干渉 数学的には単純！

重ね合わせの原理

ヤングの実験

光の波長が分かる スリットに関する情報が

分かる Ｘ線回折実験だと結晶の

原子間の相対距離が分かる

1 2

( , )

( , ) ( , )

u t

u t u t

r

r r

1( , )u tr

2 ( , )u tr

たとえば。。

20.5 λ

21.0 λ

20.0 λ

22.0 λ

スリットからの距離の差が 波長の整数倍なら明るい （建設的な干渉）

スリットからの距離の差が 波長の半整数倍なら暗い （破壊的な干渉）

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Interference_of_two_waves.svg//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Interference_of_two_waves.svg

波動のもつ性質：干渉

トーマス・ヤング

sind m

距離 S2 H が波長の整数倍 なら明るい（建設的な干渉）

ｍ：整数

回折格子

d

sind m ｍ：整数 l

x

ヤングの実験と同じ条件が 成り立つ

コントラストがヤングの実験 のときよりはっきりしている

光は波動、しかし、、、 光の量を少なくしていくと。。。

つぶつぶになる 粒子 光子（フォトン）と呼ぶ

光子は量子遷移によって生み出される

光子

電子

光の放射

光子

電子

光は波動、しかし、、、 光の量を少なくしていくと。。。

つぶつぶになる 粒子 光子（フォトン）と呼ぶ

光子は量子遷移を引き起こす

光の吸収

光子

電子

光子の性質：プランクの式 1900年にプランクはこう考えた。。

,

/

E hf

p h

エネルギー

運動量

振動数

波長

プランク定数 ノーベル物理学賞(1918)

光子

電子

光の放射の場合

光子

電子

3 232 ,

E Ef

h

3E

2E

1E 2 121 ,

E Ef

h

光電効果：アインシュタインの式 金属に光を当てると

P.Lenard らの実験

光子の振動数がある値以下だと 電子は飛び出さない

光子の振動数がある値以上だと 電子は飛び出す

光の強さには関係ない W

hf

光電効果：アインシュタインの式

21

2mv hf W

W

hf

hf

21

2mv

W

ノーベル物理学賞(1922)

電子も実は波動：ドブロイの式

,

/

E hf

p h

/ ,

/

f E h

h p

左辺：粒子的描像 左辺：波動的描像

ノーベル物理学賞(1929)

ドブロイの式の使い方

101.2 10 [m]2

h h

p meV

21

2eV mv 2p mv meV

100 [V]V

Å

で電子を加速したら

Ｘ線発生の原理

Ｘ線発生の原理

,eV hf

c

f

10

[kV]

hc

eV V

1 kV ~ 1000 kV 0.01 ~ 10 Å

（商用の電源の10倍から1万倍の電圧）

Å