中外数学竞赛 -...
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书书书
中外数学竞赛!!!!""个重要定理和竞赛题精解
"第!版#
编著!李炯生!黄国勋!戴牧民!丁有炳
修订!王新茂
中国科学技术大学出版社
内 容 简 介
本书是我国著名的老一辈数学家李炯生等在!"世纪#"年代初组织编写的一本中学
数学竞赛培训资料!该书辑录了大量的国外中学生数学竞赛试题!根据其涉及的数学分支!
分为算术"方程与不等式"平面几何"立体几何"分析"多项式"组合数学等类别!并把解题所需
要的数学知识归纳总结为$"个基本概念和%""个重要定理!随着中学生数学竞赛活动的广
泛开展!世界各地数学竞赛的水平和对中学生的竞赛能力要求也在不断提高!为此!本书再版
时!从最近几年的世界各地数学奥林匹克竞赛真题中!精选了一批具有各种难度的典型试题!
供读者借鉴参考!尽管题目的形式可能比较新颖!解题所需要的数学知识仍然离不开基本的
数学概念和数学方法!王新茂对书的内容进行了校对!并增补了一些试题及解答!
本书可作为中学生参加高水平数学竞赛的培训资料或参考书!也可供数学竞赛爱好者
使用参考!
!图书在版编目"!"##数据
!中外数学竞赛#%""个重要定理和竞赛题精解$李炯生等编著%王新茂校订!&!版!&合肥#中国科学技术大学出版社!!"%&!%
!"#$%#'(&'&)%!&")))(&&
!!!中' !"!#李'!$王'!%!中学数学课&竞赛题&题解!&!'*)&!*"$!
!中国版本图书馆(")数据核字(!"%))第!("#!%号
出版!中国科学技术大学出版社
安徽省合肥市金寨路#*号!!)""!*
*++,#$$,-.//!0/+1!.20!13
印刷!安徽省瑞隆印务有限公司
发行!中国科学技术大学出版社
经销!全国新华书店
开本!'('44+%"#!44!%$%*印张!!*!$字数!$("千
版次!%##!年)月第%版!!"%&年%月第!版
印次!!"%&年%月第!次印刷
定价!&#!#"元
书书书
再 版 前 言
本书是我国著名数学家李炯生等人于!""#年编写的一本数学竞赛辅导资料$书中辑录
了大量的国内外中学生数学竞赛试题!根据其涉及的数学分支!分为算术"方程与不等式"平
面几何"立体几何"分析"多项式"组合数学等类别!并把解题所需要的数学知识归纳总结为
%#个基本概念和!##个重要定理$
从!"&#年中国数学会普及工作委员会成立!到!""#年第'!届国际数学奥林匹克在北
京成功举办!我国的数学竞赛活动在普及的基础之上逐渐提高起来$当时出版了一大批由我
国著名数学家亲自撰写的科普读物!如上海教育出版社的#中学生文库丛书$!湖南教育出版
社的#走向数学丛书$!中国科学技术大学出版社的#数学奥林匹克辅导丛书$和#数学奥林匹
克竞赛丛书$等$在当时的经济条件和国际环境下!各种国外资料的收集和整理是一件非常
不容易的工作$可以说!老一辈数学家的著作是他们的汗水和心血的结晶!他们的学识和经
验值得我们传承下去$
如今!我国的经济快速发展!国际地位不断得到提升!参加国际数学竞赛所取得的成绩
也一直名列前茅$随着我国数学竞赛活动的深入和广泛开展!以%普及数学知识"激发数学兴
趣"促进数学教改"提高数学素质&为宗旨的数学竞赛活动被外界赋予了许多与数学竞赛活
动无关的职能$在数学竞赛乃至数学被妖魔化的今天!再版重印这本书就显得十分重要$李
炯生老师现已年近八旬!应李炯生老师和中国科学技术大学出版社的邀请!我对原书的稿样
进行了仔细的校对$
与中国相比!世界各地的中学生数学竞赛活动都受到广泛的重视!数学竞赛的水平也都
非常高!学生的能力并不比中国学生差$例如!在(#!(年第%'届国际数学奥林匹克中!韩国
队力压中国队取得团体第一名$有鉴于此!我从最近几年的世界各地数学奥林匹克竞赛真题
中!精选了一百余道具有各种难度的典型试题!配上自己的解答!补充进书的新版中!供读者
借鉴参考$尽管题目的形式可能比较新颖!难度也可能比较大!但解题所需要的数学知识仍
然离不开基本的数学概念"数学方法和数学思维方式$
本书主要面向从事数学竞赛活动辅导的中学教师和参加高水平数学竞赛的中学生!可
作为他们的培训资料或参考书!也可供广大数学竞赛爱好者使用参考$由于水平的限制!虽
然希望不辜负李炯生老师的期望!但书的新版中仍难免有错误!对题目的解答也很可能不是
最好的方法$衷心希望读者批评指正并提出建议$
王新茂
(#!'年!!月
'!' 中外数学竞赛(((!""个重要定理和竞赛题精解
前!!言
自从!&&"年罗马尼亚首次举行中学毕业生数学竞赛以来!已经整整一百年$这期间!许
多国家!如匈牙利)!&")*"苏联)!"'%*"波兰)!")"*"保加利亚)!"%#*"南斯拉夫)!"%#*"捷克
斯洛伐克)!"%!*"美国)!"%%*"中国)!"%**"民主德国)!"%**"加拿大)!"%&*"印度)!"%&*"瑞
典)!"*!*"越南)!"*(*"古巴)!"*(*"荷兰)!"*(*"意大利)!"*(*"卢森堡)!"*'*"西班牙
)!"*)*"英国)!"*%*"阿根廷)!"*%*"比利时)!"*%*"奥地利)!"+#*"联邦德国)!"+#*"澳大利
亚)!"+**等!都先后举行了数学竞赛$!"%"年!在罗马尼亚倡议下!首届国际数学奥林匹克
),-.*在布加勒斯特举行!以后每年由各国轮流举办!迄今已进行了'!届!其规模不断扩
大!由开始几个国家参加!发展到现在每年有四五十个国家参加$近年来!还出现许多地区性
数学竞赛!如奥地利 波兰数学竞赛)!"&(*!由希腊"罗马尼亚"保加利亚参加的巴尔干地区
数学竞赛)!"&)*!由丹麦"冰岛"挪威"芬兰"瑞典共同举办的斯堪德那维亚地区数学竞赛
)!"&**!以及由埃及"利比亚"突尼斯"阿尔及利亚"摩洛哥参加的马格里布地区数学竞赛
)!"&**$数学竞赛受到各国如此的重视!这是因为数学竞赛是普及数学教育"发现人才和培养人
才的一种特殊而有效的形式$在以往数学竞赛的优胜者中!已经涌现许多著名的世界一流数
学家$例如在特别重视数学竞赛的匈牙利!!&"+年的数学竞赛金牌得主/01213450678在
5198:08级数的可加性理论方面做出了许多杰出工作+!"#'年的金牌得主;3<80=>??8提出
了>??8测度!为测度论的发展做出了杰出贡献+!"#)年的金牌得主-?8@03A:0BC在泛函分
析中提出了A:0BC凸性定理+!"!(年的金牌得主D1E18FC0GH在逼近论方面的贡献引人注
目!他和著名数学家D018G0I13"?合著的#分析中的定理和问题$已成为经典性著作$在我国已故著名数学家华罗庚的倡导和支持下!北京"上海"天津"营口都在!"%*年举
办了数学竞赛$此后!武汉"南京"成都"西安等城市都相继举办过$已故著名数学家华罗庚"
陈建功"闵嗣鹤以及著名数学家江泽涵"苏步青"段学复"吴文俊都亲自出马!给中学生作过
数学竞赛辅导报告$他们的精彩报告后来都陆续整理出版!成为数学竞赛辅导工作的典范$
!"+&年!华罗庚亲自主持全国八省市数万名高中学生参加的数学竞赛$从!"&!年起!全国各
省"市"自治区高中数学竞赛每年在!#月举行$!"&%年开始举办每年一届的全国初中数学竞
赛$!"&*年在高年级小学生和初中一"二年级学生中又举办了华罗庚金杯赛$
!"&%年!我国首次选派两名选手参加,-.$首战失利!成绩欠佳$为改变这种局面!!"&*年起!我国每年都举办全国高中数学冬令营$经过集中强化训练!参加,-.的六名选手的成
绩大为改观!团体总分从第(+届)!"&**,-.的第四名!到第("届)!"&&*,-.的第二名!第
'#届)!"&"*,-.的第一名!直到!""#年第'!届,-.的第一名!他们为祖国赢得了荣誉$如何保持我国所取得的成绩!如何保持我国连续两次在,-.中获得的团体总分第一的
地位!这一重大课题已经摆在我们面前$我国在,-.中能取得优异成绩!原因是多方面的$除参赛选手的素质和刻苦钻研外!教练员在系统辅导和强化训练方面所做的工作也极其重
要$在数学竞赛辅导方面!我国已经做了许多很好的工作!积累了丰富经验$但是!在数学竞
赛辅导工作的系统化"科学化"规范化上仍有许多课题值得进一步探讨$例如!数学竞赛究竟
涉及哪些数学分支, 如何掌握每个分支在内容上的广度和深度, 等等!都是应当认真研究
的问题$积极参与,-.活动而且成绩一贯优异的苏联在这方面做了大量细致的工作$他们的经
验很值得借鉴$!"&+年!苏联科学出版社推出了谢尔盖耶娃主编的#外国数学竞赛$)#$$$
%&'(&&)*!+*',-&.$/& 0*1&0*1#2&%3#& 45#06#*7/!$*8J3*!
04%3)*!!"&+*一书$书中把数学竞赛涉及的数学分支归纳为代数"几何"数论"初等微积
分"初等概率论"组合数学和图论!并且把上述各分支经常在数学竞赛中应用的最为重要的
事实归纳为%#个定义和!##个定理!然后应用它们来解%#年代以来选自(#多个国家和地
区"国际数学奥林匹克的试题!以及国际数学奥林匹克的各届评审委员会中(#多个成员国
提供的备选题共约%##道题!显示了这!##个定理的威力$谢尔盖耶娃等人实际上是提出了
一种设想!或者说是给出了一个边界!使得数学竞赛辅导工作能够摆脱那种在数学内容的广
度上无限制扩展"在深度上无限制延伸的局面!这在数学竞赛辅导工作中还是首次$诚然!
!##个定理是否足够!这!##个定理是否选得都合宜!其中的定理是否都不可替代!等等!都
是可以讨论的$基于这个原因!我们将该书编译介绍到国内!以期引起重视!促使数学竞赛辅
导工作的系统化"科学化"规范化向更高层次发展$正如原著书名所表明的那样!原著没有收入苏联的数学竞赛试题$我国的试题收入的也
很少$为弥补这方面的欠缺!我们增补了适量的苏联和我国的试题!希望本书在内容上尽可
能包含国内外数学竞赛中各种类型的题目!在方法上能够穷尽国内外数学竞赛中各种典型
的解题技巧!以适应有志于数学竞赛的中学生自学的需要!也便于中学数学教师和数学奥林
匹克教练作为辅导教材之用$读者倘能悉心钻研!熟练掌握有关的数学知识!体会解题方法
之精妙!不论对亲自参加数学竞赛!还是对进行竞赛辅导!都是有益的$数学竞赛活动将在我国继续深入地开展下去$我们谨把此书奉献给全国广大中学数学
教师和中学生!愿它能伴随读者在数学竞赛中取得更好的成绩$
编著者
!""#年仲夏
'9' 中外数学竞赛(((!""个重要定理和竞赛题精解
目!!录
再版前言 :!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
前言 ;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第!部分!概念和定理 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第"部分!题目 (!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第!章!算术 (!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!整除性!素数与合数 (!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(!方程的整数解和有理数解 ()!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
'!阶乘与二项式系数 (*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
)!数集合 (&!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%!数的各种性质 '!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第(章!方程与不等式 ')!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
*!方程与方程组 ')!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
+!不等式 '*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&!含整数部分"!#的问题 )#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第'章!平面几何 )'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"!三角形 )'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#!圆 )%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!多边形 )"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!(!点!线段与直线 %!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!'!几何不等式 %'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!)!几何极值问题 %*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第)章!立体几何 %"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!%!四面体 %"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!*!多面体!球面和其他集合 *!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第%章!分析 *)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!+!数列 *)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!&!极值 *+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!"!函数的各种性质 *"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#!函数方程 +(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第*章!多项式 ++!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(!!多项式的根 ++!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
((!多项式的整除性和相等 +"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
('!多项式的各种性质 &(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第+章!组合数学 &*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
()!集合与子集 &*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(%!利用图的题目 &&!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(*!各种组合问题 "#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(+!初等概率论 ")!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第#部分!解答 "*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第!章!算术 "*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!整除性!素数与合数 "*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(!方程的整数解和有理数解 !#&!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
'!阶乘与二项式系数 !(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
)!数集合 !'#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%!数的各种性质 !)&!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第(章!方程与不等式 !%"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
*!方程与方程组 !%"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
+!不等式 !*&!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&!含整数部分"!#的问题 !&'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第'章!平面几何 !")!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"!三角形 !")!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#!圆 (#*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!多边形 (('!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!(!点!线段与直线 ('*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
'<' 中外数学竞赛(((!""个重要定理和竞赛题精解
!'!几何不等式 ()%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!)!几何极值问题 (*(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第)章!立体几何 (+'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!%!四面体 (+'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!*!多面体!球面和其他集合 (&*!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第%章!分析 '#'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!+!数列 '#'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!&!极值 '!+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!"!函数的各种性质 '(%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#!函数方程 ''(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第*章!多项式 '%#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(!!多项式的根 '%#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
((!多项式的整除性和相等 '%"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
('!多项式的各种性质 '+#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第+章!组合数学 '&(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
()!集合和子集 '&(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(%!利用图的题目 '&"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(*!各种组合问题 '"%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(+!初等概率论 )#&!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献 )!'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
'='目!!录
书书书
第!部分!概念和定理
!!国内外数学竞赛试题涉及许多数学分支!如代数"几何"数论"初等微积分"初等概率论"
组合数学和图论等!这一部分辑录了求解各类数学竞赛试题所必需的取自上述各分支的最
重要的概念和定理!数学名词以及某些定理的名称沿用现行中学数学教科书!即参考文献
#! "$!或引用参考文献## $$!这一部分包含了#%%个定理!大部分都已注明出处!从中可
查到定理的证明!至于比较简单的定理!则不再指明参考文献!当然!如果能自行给出定理的
证明!则不论对有关数学知识的理解与掌握!还是对提高求解数学竞赛题的能力!都是有所
裨益的!关于集合的概念见参考文献## !$!定义!!如果集合" 的每个元素都属于集合#!则集合" 称为集合# 的子集!记
作""#!定义"!集合"和#的并集"##是由所有至少属于集合"和#中一个集合的元素组
成的集合!集合"和#的交集"$#是由所有既属于"又属于#的元素组成的集合!同样可以定义若干个集合的并集及交集!定义#!集合"和#的差集"%#是集合"的子集!它由所有属于"但不属于#的元
素组成!如果#""!则差集"%#称为集合#在集合"中的补集!元素组由一些元素组成!如果元素组中的元素相同而只是元素的排列次序不同!不认为
是不同的元素组%比如&#!$!!'&&$!!!#'(!则称为无序组)如果元素组中的元素排列次序不
同!得到的元素组认为是不同的!则称为有序组!定义$!集合"和#的笛卡儿积"'#是所有有序元素对%$!%(!$&"!%&#组成的
集合!同样可以定义若干个集合的笛卡儿积!定理!!##"#(#%狄利克雷原理(!如果把&元集合表成它的'个子集的并集!则有某个子
集至少含&'
个元素!
上述定理也称抽屉原理"鸽笼原理!定理"!#"$")"#(#%数学归纳法原理(!设对某个依赖于参数&的命题(%&(!有*
%#(命题(%#(成立)
%$(如果对某个&&!'!命题(%#(!(%$(!+!(%&(成立!则命题(%&*#(也成立!则命题(%&(对每个&&!'都成立!关于函数的概念见参考文献## !!" #%$!用)*"(#表示定义域为"而值域"#的
函数!定义%!给定函数)*"(#!如果函数**#("满足
*%)%$((&$!!)%*%%((&%!!$&"!%&#!
则函数*称为函数)的反函数!记作*&)+#!定理#!函数)*"(#具有反函数的必要且充分条件是!对任意的%&#!存在$&"!
使得)%$(&%!并且对任意两个不同的$#!$$&"!)%$#())%$$(!定义&!两个函数)*"(#和**#(+的复合函数是函数,*"(+!其定义如下*
,%$(**%)%$((!!$&"!若干个函数
)#*"#("$!!)$*"$("!!!+!!)&*"&("&*#的复合函数类似地定义!
函数)*"("的&次复合函数记作)&!当给定函数)*"("时!函数)的&次复合函数
)&%$(&)%)%)%++, -)%$(+(((与反函数)+#%$(分别和%)%$((& 与%)%$((+#不相同!只有对数
!!!!!&个
函数和三角函数例外!例如!,-.$$表示,-.$,,-.$!而不表示,-.%,-.$(!定义'!设函数)*"("!如果存在某个-&"!使得对所有的$&"!都有)%$(.-!则)称为有上界的)
如果存在某个.&"!使得对所有的$&"!都有)%$(/.!则)称为有下界的!既有上界又有下界的函数称为有界函数!定义(!设"""!函数)*"("!如果)%$#(.)%$$(!则函数)称为递增的)
如果)%$#(/)%$$(!则函数)称为递减的)
如果)%$#(0)%$$(!则函数)称为不增的)
如果)%$#(1)%$$(!则函数)称为不减的!其中每个条件都对所有满足不等式$#.$$ 的数$#!$$&"成立!具有上述)个性质之
一的函数称为单调的!递增或者递减的函数称为严格单调的!数列是函数的特例!它的定义域是集合"的子集!它是映射!*!'("!它的值记作/&!
和定义("定义/相对应!可以定义有上界"有下界"有界"递增"递减"不增"不减"单调和严格
单调数列!#)$
定理$!对任意/!0&"和&&!'!有
/&*#+0&*#&%/+0(%/&*/&+#0*+*/0&+#*0&(!
/$&*#*0$&*#&%/*0(%/$&+/$&+#0*++/0$&+#*0$&(!
/$&+0$&&%/*0(%/$&+#+/$&+$0*+*/0$&+$+0$&+#(!
/0槡槡 0& #$%/* /$+槡 0槡 (0 #
$%/+ /$+槡 0槡 (!
,$, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
最后一个等式中设0/%且/0槡0!定理%##)$%伯努利不等式(!对所有满足条件//+#!/)%!0)%!0)#的/!0&"!有
%#*/(0.#*/0!!当%.0.#时!
%#*/(0/#*/0!!当02#%!#$时!
关于平均数的概念见参考文献## $!#)$!
定义)!数/#!/$!+!/&&"的算术平均数是
/#*/$*+*/&&
!
非负实数/#!/$!+!/& 的几何平均数是
&/#/$+/槡 &!
正数/#!/$!+!/& 的调和平均数是
&#/#*
#/$*
+*#/&
!
数/#!/$!+!/&&"的二次平均数是
/$#*/$$*+*/$&槡 & !
定理&##)$%关于平均数的定理(!对任意的正数/#!/$!+!/&!有
&#/#*
#/$*
+*#/&
1&/#/$+/槡 &1
/#*/$*+*/&&
1 /$#*/$$*+*/$&槡 &!
而且!如果这)个平均数不全相等!则所有不等式都是严格的!
最常用的是几何平均数与算术平均数之间的不等式!它对非负实数也成立!
定理'#"#%$!数列 #*#% (&&!&&!'是递增的!并且有极限!其极限记作1!则对每一个
&&!'!都有
#*#% (&&
.1!
以1为底的对数称为自然对数!记作2.!即2341$&2.$!$/%%见参考文献##!" #%$(!
定义!*!符号函数定义为
,-4.%$(&
#!!!当$/%时!
%!! 当$&%时!
+#!!当$.%时
3
4
5 !
,!,第#部分!概念和定理
定义!!!数$&"的整数部分#$$是不超过$的最大整数!数&$'&$+#$$称为数$&
"的小数部分#
定理(!整数部分#$$是不减函数!小数部分&$'是周期函数!其周期为#!
关于整除性的概念见参考文献## $!## #$$!
定义!"!给定数/!0&$!0)%!如果1&$!2&&%!#!+!606+#'满足
/&10*2!
则1和2分别称为/除以0的商和余数!如果2&%!则称/被0整除!记作06/!或者称/是0的倍数!而0是/的因数!
定义!#!非零的数/#!/$!+!/&&$的最小公倍数是能被其中每一个整数/3!#131&所整除的最小自然数!记作#/#!/$!+!/&$!
定义!$!设/#!/$!+!/&&$中至少有一个数不等于零!这&个数的最大公因数是能
够整除其中每一个整数的最大自然数!记作%/#!/$!+!/&(!
定理)!###$#!对任意/!0&!'!有
%/!0(,#/!0$&/0!定义!%!如果/!0&$且满足%/!0(&#!则称/和0是互素的!也称为互质的!
定义!&!给定/!0!4&$且4)%!如果46%/+0(!则称/和0模4同余!记作/*0%5364(!否则称/和0模4不同余!记作/70%5364(!
定理!*####$$!给定/!0!4!5!.!'&$!且.)%!')%!则有*
%#(如果/*0%536.(且0*4%536.(!则/*4%536.()
%$(如 果/*0%536.(且4*5%536.(!则/*4*0*5%536.(且/4*05%536.()
%!(如果/*0%536.(!则对任意的&&!'!有/&*0&%536.()
%)(如果/*0%536.(!则/'*0'%536.'()
%7(如果/*0%536.(!且'6/!'60!'6.!则
/'&
0' 536.% (' !
定理!!!对任意/!0&$和&&!'!有*
%#(如果/)0!则%/+0(6%/&+0&()
%$(如果/)+0!则%/*0(6%/$&+#*0$&+#()
%!(如果/)+0!则%/*0(6%/$&+0$&(!这个定理由定理)或定理#%%!(即得!
定理!"!整数的&%$1&17(次幂除以整数.%!1.1#%(!所能得到的余数如表#!#
所示!
,), 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
表%!%
.&
$ ! ) 7
! %!# %!#!$ %!# %!#!$
) %!# %!#!! %!# %!#!!
7 %!#!) %!#!$!!!) %!# %!#!$!!!)
8 %!#!!!) %!#!$!!!)!7 %!#!!!) %!#!$!!!)!7
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/ %!#!) %!#!!!7!( %!# %!#!!!7!(
" %!#!)!( %!#!/ %!#!)!( %!#!$!)!7!(!/
#% %!#!)!7!8!"%!#!$!!!)!7!8!(!/!" %!#!7!8 %!#!$!!!)!7!8!(!/!"
整数的表示!有常用的十进制!用十进制表示的数叫作十进数!另外!还有二进数"八进
数等##$$!一般地!可以引进下面的定义!定义!'!如果&&!'可以表为
&&/#'.+#*/$'.+$*+*/.+#'#*/.'%!
其中整数'0$!而/#!/$!+!/. 是 非 负 整 数!并 且/3.'!#131.!/#/%!则 称
/#/$+/.是&的'进制表示!而/#/$+/. 称为'进数!定理!#!给定整数'0$!对任意&&!'!都有唯一的'进制表示!定理!$###$!任意一个自然数&与它的十进制表示中的所有数字之和模"同余!关于二项式和二项式系数的概念和公式见参考文献## $!7!#($!定义!(!设.!&&$!&0.0%!二项式系数是指下面的数
+.&& &...%&+.(.
!
其中记
&. &#,$,+,&!!当&&!'时!
#! 当&&%时34
5 !定理!%#7!#($!对任意.!&&!'!有*
%#(+%&&+&&&#)
%$(+.&&+&+.& !其中&0.0%)
%!(+.&&+.&+#*+.+#&+#!其中&/./%!定理!!#($%牛顿二项式定理(!对任意/!0&"和&&!'!有
%/*0(&&+%&/&*+#&/&+#0*+*+.&/&+.0.*+*+&+#& /0&+#*+&&0&!当取/&0&#或/&+0&#时!即得下面定理中的%#(和%$(!定理!'#7!#($!所有二项式系数都是自然数!并且有*
,7,第#部分!概念和定理
%#(+%&*+#&*+*+&&&$&)
%$(+%&++#&*+$&++*%+#(&+&&&%!关于素数的概念和定理见参考文献## $!## #$$!定义!)!大于#并且除#及其自身外没有别的整数因子的自然数称为素数或质数!其
他大于#的自然数称为合数!数#既不是素数也不是合数!定理!(####$$%算术基本定理(!每个大于#的整数都可分解为一些素数的乘积!而且!
如果不计因子的书写顺序!这种分解是唯一的!定理!)####$$!素数有无穷多个!定理"*####$$%勒让德定理(!在整数&. 的素因子分解式中!素数6作为因子出现的次
数是
&# $6 * &6# $$ * &
6# $! *+!下面三个定理是关于互素的数的性质的!定理"!####$$!设/!0!4&$!4)%!如果46/0且%0!4(&#!则有46/!定理""!设/!0!4!.&!'!如果/0&4. 且%/!0(&#!则/&/.#!0&0.#!其中/#0#
&4且%/#!0#(&#!定理"#####$$%中国剩余定理或孙子定理(!如果整数.#!.$!+!.' 都不为零!而且两
两互素!则对任意整数/#!/$!+!/'!在任意一个长为.#.$+.' 的左开右闭区间中!都
有整数$!使得对每个3!3&#!$!+!'!有$*/3%536.3(!定理"$####$$!对任意两个不全为%的/!0&$!存在6!1&$!使得6/*10&%/!0(!定理"%####$$%费马小定理(!如果素数6不能整除/&$!则66%/6+#+#(!由此即得如下定理!定理"&####$$!设6是素数!则对任意/&$!有
/6*/%5366(!关于连续函数的概念和性质见参考文献## $!" #%$!定理"'##%$%介值定理(!设函数)*#/!0$("在#/!0$上连续!且"&)%/(.)%0(&
#!则对任意+&%"!#(!存在4&%/!0(!使得)%4(&+!由此即有下面的特例!定理"(##%$%零点存在定理(!如果函数)*#/!0$("在#/!0$上连续!并且在区间的两
个端点处都取非零值!但符号相反!则存在4&%/!0(!使得)%4(&%!定理")##%$!如果函数)*#/!0$("在#/!0$上连续!则存在4&#/!0$!5&#/!0$!对
所有$&#/!0$!都有)%4(1)%$(1)%5(!由此即得下面的定理!定理#*!任意一个在有限闭区间上的连续函数!都是有界函数!关于函数的导数的概念和定理见参考文献#" #%$!
,8, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
用7表示直线"上的某个区间!考虑函数)*7("!设)在每个点$&7处是可导的!即
有导数)!%$(!于是!有新的函数)!*7("!它在点$&7的函数值是)!%$(!)!称为函数)的
一阶导数!如果函数)!在每个点$&7处可导!则它的导数称为函数)的二阶导数!同样可定
义函数)的&阶导数!并记作)%&(!&&!!)!7!+!函数)的一阶"二阶和三阶导数通常依次
记作)!!)"!)"!定义"*!设函数)*7("!如果&&!'!并且函数)在区间7的每个点处具有&阶导数!则)称为&次可导的)
如果函数)是&次可导的!并且函数)%&(在区间7上连续!则)称为&次连续可导的)
如果对任意&&!'!)有&阶导数!则)称为无限可导的!
定理#!#"#%$%单调性的判定(!设函数)*7("在区间7上可导!则函数)是不减%或者
不增(的必要且充分条件是!对每个$&7!)!%$(0%%或者)!%$(1%(!如果对每个$&7!都
有)!%$(/%%或者)!%$(.%(!则函数)是递增%或者递减(的!定义"!!如果函数)*7("满足*对任意$!%&7和!&#%!#$!有
)%!$*%#+!(%(1!)%$(*%#+!()%%(!
则函数)称为在区间7上是下凸的!如果*%$(&+)%$(在区间7上是下凸的!则)称为在
区间7上是上凸的!定理#"#"#%$%凸性的判定(!设函数)*7("在区间#/!0$87上二次可导!则函数)在
该区间上是 下 凸%或 者 上 凸(的 必 要 且 充 分 条 件 是!对 每 个 点$&7!有)"%$(0%%或
者)"%$(1%(!定理###"#%$%拉格朗日中值定理(!设函数)*#/!0$("在区间#/!0$上连续!并且在
区间%/!0(上可导!则存在点4&%/!0(!适合
)!%4(&)%0(+)%/(0+/ !
下面的定理是拉格朗日中值定理的特例!定理#$#"#%$%罗尔中值定理(!设函数)*#/!0$("在区间#/!0$上连续!在%/!0(上
可导!并且)%/(&)%0(!则存在点4&%/!0(!使得)!%4(&%!关于复数的概念见参考文献## $!)$!定义""!复数集合&是有序实数对集合!并在其上如下定义加法及乘法运算*
%/!0(*%4!5(&%/*4!0*5(!
%/!0(%4!5(&%/4+05!/5*04(!
其中/!0!4!5&"!因为%/!%(*%0!%(&%/*0!%(!%/!%(%0!%(&%/0!%(!因此形如%/!%(的复数可以看
成与实数/是相同的!复数%%!#(称为虚数单位!记作-!虚数单位-满足
-$&+#!
,(,第#部分!概念和定理
对任意复数%/!0(!有
%/!0(&%/!%(*%0!%(%%!#(!
所以复数%/!0(通常写成为/*0-!定义"#!数/&"称为复数8&/*0-的实部!记作/&918!0&"称为复数8&/*
0-的虚部!记作0&:58!实部为%的复数!即形如0-的数称为纯虚数!复数的加法运算和乘法运算!与实数有相同的运算规则!即满足加法"乘法的交换律"结
合律!以及乘法对加法的分配律!复数可以用坐标平面上的点表示!以复数的实部作为横坐标!虚部作为纵坐标!
定义"$!数686& /$*0槡 $ 称为复数8&/*0-的模!定理#%!对任意复数8&&!恒有6860%!并且当且仅当8&%时!686&%!对任意8!9&&!有
6896&686,696!定理#&%三角形不等式(!对任意8!9&&!有
68*961686*696!
并且等式当且仅当8&%或者9&'8%'0%(时成立!定义"%!设8&/*0-是非零复数!满足
;3,#&/2!!,-.#&02
的角#称为复数8的辐角!其中2&686!设#是复数8的辐角!而且#&%+!!!$!则称#为
辐角的主值!记作#&<=48!
图%!%
显然!辐角的主值是唯一确定的!复数的模和辐角可以在坐标平面上表示出来!如图
#!#所示!定理#'#)$%复数的三角形式(!任意非零复数8&&!
都可以表为
8&2%;3,#*-,-.#(!
其中2&686!#&<=48!
定义"&!复数8+&/+0-称为复数8&/*0-的共轭!而8和8+ 互为共轭复数!
定理#(!对任意复数8&&!有
918+&918!!:58+&+:58!!%8(+ &8!
%#(8为实数当且仅当8+&8)
%$(8为纯虚数当且仅当8+&+8!
在坐标平面上!复数8与它的共轭8+关于实轴对称!
定理#)#)$!对任意复数8!9&&!有
,/, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
68+6&686!!88+&686$!!8*9&8+*9!!89&8+!9!
而且当8)%时!<=48+&+<=48)当8.%时!<=48+&<=48&!!复数的减法及除法分别作为加法及乘法的逆运算定义!定理$*#)$!如果8&/*0-!9&4*5-是任意两个复数!则方程8*$&9有唯一的复
数解
$&%4+/(*%5+0(-!
它称为复数9和8的差!定理$!#)$!如果8&/*0-!9&4*5-是任意两个复数!且8)%!则方程8$&9有唯
一的复数解
$&9,8686$ &
/4*05/$*0$*
/5+04/$*0$-
!
$称为复数9除以复数8的商!定理$"#)$!对用三角形式表示的复数!有
%2#%;3,##*-,-.##((%2$%;3,#$*-,-.#$((
!&2#2$%;3,%##*#$(*-,-.%##*#$((!
2#%;3,##*-,-.##(2$%;3,#$*-,-.#$(&
2#2$%;3,%##+#$(*-,-.%##+#$((!
由此可以得到下面两个定理!定理$##)$%棣莫弗定理(!对复数的&次幂!有
%2%;3,#*-,-.#((&&2&%;3,&#*-,-.&#(!!&&$!定理$$#)$!对任意非零的复数8&&和任意的&&!'!方程$&&8恰有&个复数解!
它们称为复数8的&次方根!数#的&次方根叫作&次单位根!它们是
$'&;3,$'!& *-,-.$'!&!!'&&%!#!+!&+#'!
定义"'!如果实变数或复变数$的函数)在其定义域上满足)%+$(&)%$(%或者
)%+$(&+)%$((!则函数)称为偶函数%或者奇函数(!关于多项式的概念和定理见参考文献## $!7!#7 #8$!定义"(!一元多项式是一个实变数或者复变数$的函数!它具有如下的形式*
:%$(&/&$&*/&+#$&+#*+*/#$*/%!
其中&&$*!/%!/#!+!/&&&!并且当&0#时!/&)%!定理$%!两个多项式
:%$(&/&$&*+*/#$*/%!
;%$(&0.$.*+*0#$*0%!
当且仅当&&. 并且/%&0%!/#&0#!+!/&&0& 时相等%即作为函数是相重合的(!定义")!数/%!/#!+!/& 称为多项式
,",第#部分!概念和定理
:%$(&/&$&*+*/#$*/%的系数!/% 称为常数项!/& 称为首项系数或最高次项系数!如果&0#!则&称为多项式
:%$(的次数)如果多项式:%$(&/%!则当/%)%时!:%$(的次数为%!而当/%&%时!:%$(
的次数规定为+>!多项式:%$(的次数记作614:!定理$&##7#8$!设:%$(和;%$(是任意的多项式!则*
%#(函数<%$(&:%$(*;%$(仍是多项式!并且
614<15<?%614:!614;(!当614:)614;时!有
614<&5<?%614:!614;(!%$(函数=%8(&:%$(,;%$(仍是多项式!如果:%$(7%!;%$(7%!则9%$(7%!
而且
614=&614:*614;!定义#*!方程:%$(&%的解!称为多项式:%$(的根!多项式和整数一样可以进行带余除法!并由此可以引出下面的定义和定理!定理$'##7#8$!任意给定两个多项式:%$(和;%$(!并且;%$(7%!则存在唯一的一对
多项式>%$(和?%$(!适合*
%#(:%$(&>%$(;%$(*?%$()
%$(614?.614;!定义#!!在定理)(中!多项式?%$(称为多项式:%$(除以多项式;%$(的余式!如果
?%$(*%!则称多项式:%$(被多项式;%$(整除!定理$(!在定理)(中!如果多项式:和;的系数都是实数!则多项式>和?的系数同
样都是实数)如果:和;的系数都是有理数!则>和?的系数同样都是有理数)如果:和;的系数都是整数!而且多项式; 的首项系数等于#或者+#!则>和? 的系数同样都是
整数!定理$)##8$%裴蜀定理(!多项式:%$(除以多项式$+$% 的余式等于:%$%(!裴蜀定理也称为余式定理!由裴蜀定理可得下面的定理!定理%*##7$%因式定理(!多项式:%$(被多项式$+$% 整除的必要且充分条件是!数$%
是:%$(的根!定义#"!如果多项式:%$(被多项式%$+$%(' 整除!但多项式%$+$%('*#不能整除
:%$(!'&!'!则$% 称为:%$(的'重根!如果多项式:%$(的每个根都在数组%$#!$$!+!$&(中出现!而且重根按重数计算!而
不出现在这个数组 中 的 任 意 一 个 数 都 不 是:%$(的 根!则 称 多 项 式:%$(具 有 根$#!
$$!+!$&!
,%#, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
定理%!#7!#7#8$%代数基本定理(!任意一个次数为&0#的多项式恰有&个复数根!由此得到下面的特例!即定理7$"定理7)!定理%"##7$!如果两个次数都不大于&的多项式在&*#个点处的值是相同的!则这两
个多项式相等!定理%##7!#7$!任意一个次数为&0%的多项式:%$(都可以表为
:%$(&/&%$+$#(%$+$$(+%$+$&(!
如果不计因式书写的顺序!这种表示是唯一的!其中/& 是:%$(的首项系数!而$#!$$!+!
$& 是:%$(的根!定理%$!多项式:%$(被多项式;%$(整除的必要且充分条件是!多项式;%$(的每个
根都是:%$(的根!而且重数相同!定理%%#7!#7$%韦达定理(!设多项式
:%$(&/&$&*+*/#$*/%具有根$#!$$!+!$&!则有
$#*$$*+*$&&+/&+#/&!
$#$$*$$$!*+*$&+#$&&/&+$/&!
+!
$#$$+$&&%+#(&/%/&
3
4
5 !
定理77的逆定理也成立!即有如下定理!定理%$!设数$#!$$!+!$&&&是满足定理77的方程组!则它们是多项式
:%$(&/&$&*+*/#$*/%的根!
定理%'#7!#8$!设:%$(是实系数多项式!如果8&/*0-%0)%(是:%$(的'重根!则复
数8&/+0-也是:%$(的'重根!而且多项式:%$(被多项式
%$+8('%$+8('&%$$+$$918*686$('
整除!对实系数多项式!有与定理7!类似的结论!定理%(##7$%实系数多项式因式分解定理(!任意一个&次实系数多项式:%$(都可以
表为
:%$(&/&%$+$#(+%$+$.(%$$*$0#$*4#(+%$$*$0'$*4'(!
如果不计因式书写的顺序!这种表示是唯一的!其中.!'0%!.*$'&&!/& 是多项式
:%$(的首项系数!$#!$$!+!$.&"是:%$(的全部实根!重根按重数计算!而0#!+!0'!
4#!+!4'&"!并且二次三项式
,##,第#部分!概念和定理
$$*$0#$*4#!!+!!$$*$0'$*4'都没有实根!即有0$#.4#!+!0$'.4'!
定理%)#7!#7$!如 果 既 约 分 数 61
是 整 系 数 多 项 式/&$& *+*/#$*/% 的 根!
则66/%!16/&!由此有下面两个结论!定理&*!整系数多项式
$&*/&+#$&+#*+*/#$*/%的每一个根!要么是整数!要么是无理数!
定理&!!如果/!&&!'!则数 &槡/ 要么是整数!要么是无理数!
定理&"##8$%拉格朗日插值公式(!给定两两不同的数0%!0#!+!0&&&以及任意的4%!
4#!+!4&&&!&&$*!则存在唯一的次数不大于&的多项式:%$(!使得
:%0%(&4%!!:%0#(&4#!!+!!:%0&(&4&!而且:%$(具有如下形式*
:%$(@9&
3@!43 :
!1A1&!A)3
$B0A03B0% (
A!
应用导数公式#7!#%$!可得下面的多项式与它的导数之间的联系!定理&#!给定多项式
:%$(&/&$&*+*/#$*/%!
则有
:%%(&/%!!:!%%(&/#!!:"%%(&$/$!!+!!:%&(%%(&&./&!
并且原多项式可以写成
:%$(&:%%(%. *
:!%%(#. $*
:"%%($. $
$*+*:%&(%%(&. $
&!
定义##!设&&!'!&元多项式是有限多个形如
/$'##$'$$ +$'&&的实变数或者复变数$#!$$!+!$& 的函数之和!其中/&&!'#!'$!+!'&&!'!
有关平面几何的概念和定理见参考文献## $!8 ($!定理&$#8$%三角不等式(!对任意三个点"!#!+!有
"#1"+*#+!
等式当且仅当点+落在线段"#上或者这三个点重合时成立!在下面两个定义中!所说的集合都指平面上或空间中点的集合!定义#$!集合的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段!一个集合!可能有几条直径!也可能没有直径!定义#%!如果对集合"中的任意两点!以这两点为端点的线段包含在"里!则集合"
,$#, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
称为是凸的!本书提到多边形时!通常指任意的平面多边形!而未必是凸多边形!如果所考虑的是凸
多边形!将特别说明!多边形也叫多角形!
图%!'
定理&%#8$%内角和定理(!任意一个&边形%&0!(的&个内角和
等于%&+$(,#/%@!定义#&!设"!#!+是凸多边形上!个连续的顶点!在边"#!+#
的延长线上各任取点C!D!如图#!$所示!则;"#D!;+#C 称为这
个多边形在顶点#处的外角!它们都与多边形的内角;"#+互补!由内角和定理可以得到下面的结论!定理&&!凸多边形的所有外角之和等于!8%@!这里!在每个顶点处只计算一个外角!定义#'!设-!-#!-$!+!-& 是多边形!如果-&-##-$#+#-&!并且当3)A
时!多边形-3 和-A 没有公共内点!则称多边形- 分解为多边形-#!-$!+!-&!定义#(!如果多边形. 的所有顶点都在多边形- 的边上!则称多边形. 内接于多边
形-!定理&'#($!凸四边形"#+C内接于圆的必要且充分条件是
;"#+*;+C"&;#"C*;C+#&#/%@!定理&(#($!凸四边形"#+C外切于圆的必要且充分条件是
"#*+C&#+*"C!定理&)%托勒玫定理(!如果四边形"#+C内接于圆!则有
"#,+C*#+,"C&"+,#C!设"和#是内接于圆的多边形的两个相邻顶点!如果没有其他的说明!则弧/"#是指圆
周上端点为"和#而且不含多边形其他的顶点的那一条弧!定理'*#($%圆周角定理(!对内接于单位圆的<"#+!有
;"#+&/"+$ !
图%!(
定理'!!设单位圆内接四边形"#"$###$ 的对角线交于点:!
如图#!!所示!则有*
%#("#:,##:&"$:,#$:%相交弦定理#($()
%$(;"#:"$&#$%"#"/
$*###/
$(!
定理'"!设四边形"####$"$ 内接于单位圆!则*
图%!)
%#(当且仅当"#"/
$&###/
$时!直线"### 平行于直线"$#$)
%$(直线"### 和"$#$ 交于点:!并且点:位于由直线"#"$ 引
出且含线段###$ 的那个半平面上的必要且充分条件是"#"/
$/###/
$
%图#!)(!此时有*
,!#,第#部分!概念和定理
%#("#:,##:&"$:,#$:%割线定理#($()
%$(;"#:"$&#$%"#"/
$+###/
$(!
从点:到圆的切线长是指点:到切点的距离!可以将切线看成割线的极限位置*当割
线和圆的两个交点汇合成一个点时!割线即成为切线!因此!由定理($可以推出下面的
结论!定理'#!设<"#+内接于单位圆!直线E切圆于点+!则
%#(当且仅当"+&#+时!直线E平行"#)
图%!*
%$(直线E和"#交于点:!并且点:位于由直线"+引出
的且含点# 的那个半平面上的必要且充分条件是 /"+//#+%图#!7(!此时有*
%#(":,#:&+:$%切割线定理#($()
%$(;":+&#$%/"++/#+(!
从定理(%!定理(#%$(!定理($%$(%$(!定理(!%$(%$(!可以得出下面的结论!定理'$!给定线段"#!!是由直线"#引出的一个半平面!设#&%%@!#/%@(!则半平面
!中满足;"-#&#的点- 组成的集合是某个圆周上以" 和#为端点的圆弧!而且!当点
F&!位于该圆的内部时!;"F#/#)当F位于外部时!;"F#.#!定理'%! 设在<"#+中
/&#+!!0&"+!!4&"#是三边的长!而
!&;#"+!!$&;"#+!!%&;"+#是三个角!设
6&#$%/*0*4(
是半周长!2是内切圆的半径!? 是外接圆半径!,/ 是边#+上的高!2/ 是和边#+以及边
"#!"+的延长线相切的旁切圆的半径!则<"#+的面积>可以用下列公式计算*
%#(>&#$/,/#8$)
%$(>&#$04,-.!)
%!(>& 6%6+/(%6+0(%6+4槡 (%海仑公式()
%)(>&/04)?)
%7(>&26)
%8(>&#$2/%0*4+/()
,)#, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
%((>&#$?$%,-.$!*,-.$$*,-.$%()
%/(>&$?$,-.!,-.$,-.%!
其中公式%7(对于任何半周长为6且具有半径为2的内切圆的多边形都成立!
应用外公切线定理#($!可得如下结论!
定理'&!设/和0是直角三角形的两条直角边!4是它的斜边!2是内切圆半径!? 是
外接圆半径!则
2&#$%/*0+4(!!?&4$!
定理''#($%三角形内角平分线性质定理(!设"G是<"#+角"的平分线!则
#G+G&
"#"+!
应用熟知的余弦定理可得如下结论!定理'(%平行四边形等式(!设"#+C是平行四边形!则
"#$*#+$*+C$*"C$&"+$*#C$!
利用勾股定理#8$可得如下结论!
定理')!对任意的点:和任意的矩形"#+C!都有
:"$*:+$&:#$*:C$!
有关向量的概念见参考文献## $!#%$!在直线上的射影%也称投影(都指垂直投影!见
参考文献#/!#%$!定理(*!设线段"#与直线E的交角为#!则线段"#在E上的射影
"###&"#;3,#!
设"###=!"$#$=是两个向量!以"###=,"$#$=表示"###=和"$#$=的数量积##$!#%$!
定理(!!设!是平面上的非零向量!H是该平面上一个点!则对任意的'&"!该平面
上所有满足!,HI=&'的点I组成的集合是一条垂直于向量!的直线!
定理("!设"#!"$!+!"& 是任意一组点!而'#!'$!+!'&&"!且'#*'$*+*'&
)%!则存在唯一的点H!使得
9&
3@#'3H"3= @+!
而且对任意一点:!都有
9&
3@#'% (3:H=&9
&
3@#'3:"3=!
!!如果点"3 在空间直角坐标系中的坐标为%/3!03!43(!3&#!$!+!&!则点H 的坐标
%$#!$$!$!(是
,7#,第#部分!概念和定理
$#&9&
3@#/3'3
9&
3@#'3!!$$@
9&
3@#03'3
9&
3@#'3!!$!@
9&
3@#43'3
9&
3@#'3!
基于这个定理!可以给出下面三个定义!定义#)!满足
9&
3@#H"3=&+
的点H称为点组"#!"$!+!"& 的重心!定义$*!满足
9&
3@#E3H-3=&+
的点H称为一组线段"###!"$#$!+!"&#& 的重心!其中E3 是线段"3#3 的长!而-3 是它
的中点!3&#!$!+!&!定义$!!满足
9&
3@#>3H-3=&+
的点H称为一组三角形<"###+#!<"$#$+$!+!<"&#&+& 的重心!其中>3 是<"3#3+3的面积!而-3 是它的三条中线的交点!
利用定理/$和定义)%!可以导出下面的结论!定理(#!设- 是三角形"#+的中线的交点!则对空间中的任意一个点:!都有
:-=&#!%:"=*:#=*:+=(!
关于立体几何的概念和定理见参考文献## $!/!#!$!对于二面角的平面角!有与三角形不等式类似的结论如下!定理($#/$!任意一个三面角的三个平面角#!&!'!满足#.&*'!定理(%#/$!任意一个凸多面体的平面角之和小于!8%@!定义$"!如果多面体. 的所有顶点都在多面体- 的面上!则称. 为多面体- 的内接
多面体!定理(&##!$%参考文献##!$第!88题(!设三条不共面的直线都过点"!而## 和#$!+#
和+$!C# 和C$ 分别是这三条直线上" 之外的点!J# 和J$ 分别是四面体"##+#C# 和
"#$+$C$ 的体积!则有
J#J$&
"##,"+#,"C#"#$,"+$,"C$!
利用四面体的体积公式
J&#!,>!
,8#, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
其中>是底面面积!,是它的高!可以得到如下结论!定理('!设># 和>$ 是四面体"#+C 的两个面的面积!#是它们之间的二面角的大
小!/是它们的公共棱的长!则四面体"#+C的体积为
J&$>#>$,-.#!/ !
又设点D!K!L!M 依次是棱"#!#+!+C!C"的中点!>是平行四边形DKLM 的面积!
/!0是两条对棱"+!#C的长!5!&是两条对棱"+和#C 的距离"夹角!则有%见参考文献
##!$第!8%题(
J&$!>5/05,-.&!
定理((#/!#!$!棱锥的体积为
J&#!,>%!
其中>% 是棱锥底面的面积!,是它的高!如果存在一个球!它和棱锥的底面以及其他每个侧
面延伸到棱锥外的部分都相切!则这个棱锥的体积为
J&#!2%%;+>%(!
其中2% 是该球的半径!;是棱锥的表面积!应用棱锥体积公式!并以球心为公共顶点分割多面体!可以得到如下结论!
定理()##!$%参考文献##!$第8##题(!外切于半径为2的球的多面体的体积为
J&#!2>!
其中>是多面体的表面积!定理//和定理/"的公式对所有四面体均成立!关于在平面上的射影%也称投影(的概念!见参考文献## $!/!#%$!凡提到在平面上的
投影!都指正投影!应用定理/%!有如下结论!定理)*!设平面!和$相交!其二面角为#!在平面!上取面积为>的图形!则这个图
形在平面$上的投影的面积为>;3,#!与定理/#比较!在空间中有下面的结论!定理)!!设!是空间中的非零向量!H 是任意一个点!则对每个'&"!空间中满足
!,HI=&'的点I组成的集合是与!垂直的平面!
定理)"##!$%参考文献##!$第!$"题(!在四面体"#+C中!连接三对对棱的中点!得到
三条线段!它们交于一点!设为点-!则点- 是这三条线段的每一条线段的中点!并且对任
意的点:!有
,(#,第#部分!概念和定理
:-=&#)%:"=*:#=*:+=*:C=(!
定理)##/!#/$%欧拉定理(!设E是某凸多面体顶点的个数!. 是它的棱的条数!&是它的
面的个数!则有
E+.*&&$!关于图论的概念和定理见参考文献##/$!定义$#!给定一个图!是指*首先给定一个集合"&&/#!/$!+!/&'!集合中的元素叫
作顶点!其次给定一个由集合" 的元素构成的元素对的集合!这个集合的元素称为棱或边!如果元素对是有序的!这种图就叫有向图)如果元素对是无序的!这种图就叫无向图!
下面是无向图的一个例子*图的顶点集合由某些人组成!它的棱是彼此认识的两个人组
成的无序对!在这里!认识关系看成是对称的!即如果/认识0!则0也认识/!图可以用几何方法表示*图的每个顶点可以用平面上或者空间中的点表示!而每条棱用
连接相应的两点的线段表示!如果是有向图!则在线段上添加箭头表示方向!定义$$!在顶点为/#!/$!+!/& 的图中!形如
%/3#!/3$(!!%/3$!/3!(!!+!!%/3'+#!/3'(!!%/3'!/3#(
的'条不同的棱组成的序列!叫作长为'的圈!定理)$##/$!在恰含&个顶点和&条棱的图中至少有一个圈!有关排列与组合的概念和公式见参考文献## $!7!#($!定义$%!如果两个元素组%/#!/$!+!/&(和%0#!0$!+!0&(由相同的元素组成!不同
的只能是元素的书写顺序!则其中之一称为另一个的排列!定理)%#7!#($%全排列公式(!由&个不同元素组成的元素组的排列数等于&.!定理)!#($%组合数公式(!&元集合的. 元子集的个数等于+.&!其中%1.1&!数+.& 也叫作从&个不同的物品中取出. 个的组合数!由定理#(%#(和定理"8可以得到下面的结论!定理)'!&元集合的所有子集的个数等于$&!关于初等概率的概念见参考文献## $!7!#" $%$!定义$&!假定进行一种试验D!这种试验可以重复进行!如果试验的结果相当于随机地
从集合"&&/#!/$!+!/&'中取出某一个元素/3%此时说出现结果/3(!则把这种试验叫作
随机试验!集合"的任意一个子集#8"!称为这种随机试验D下的随机事件!简称为事件!
称在随机试验D下发生事件#!即指试验出现的结果/&#!如果对" 中任意两个元素/3和/A!在随机试验D下出现结果/3 与出现结果/A 是等可能的!那么!事件#8"发生的概
率用下面的公式计算*
:%#(&.&!
其中&!. 分别是集合"!#中元素的个数!
,/#, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
例如!随机地投掷一枚硬币的结果相当于随机地从集合"&&0国徽1!0文字1'中取出一
个元素!并且出现0国徽1与出现0文字1是等可能的!因此!:%&0国徽1'(&#$!还可以举出别
的例子*从箱子中随机取球!从给定的点集的全部三点组中随机取出三点组!对给定的元素
组进行随机排列!等等!定理)(#7!#"$%$!任意一个事件#发生的概率都满足%1:%#(1#)事件#不发生的概
率为#+:%#(!如果事件#和+不可能同时发生%称#与+互斥(!则事件#或+发生的概
率为:%#(*:%+()如果事件#是否发生并不影响事件+发生的概率!事件+是否发生也
不影响事件#发生的概率%此时事件#与+ 相互独立(!则事件# 和+ 同时发生的概率
为:%#(:%+(!定义)8中所说的随机试验D可以和定义在"&&/#!/$!+!/&'上的某个函数I*"("
相联系!这个函数的取值!依赖于在随机试验D下出现的结果!因为出现的结果/#!/$!+!/&是随机的!所以I*"("的取值!对于随机试验D来说!也是随机的!因此!这种函数称为随机
的!而数I%/3(%3&#!$!+!&(的算术平均值称为这个函数的平均!或者称为数学期望!例如!
如果投掷一枚硬币'次!则出现0国徽1的次数是随机函数!它取值为%!#!$!+!'!究竟取什么
数值!则依赖于随机投掷所出现的结果!定义$'!随机变量是指这样的变量!它的所有可能的取值组成一个有限的数集合或一
个无限多个数的数集合!而且从这数集中取任何一个值!都是一个具有确定概率的随机
事件!定义$(!设随机变量I依次以概率6#!6$!+!6& 取值$#!$$!+!$&!而且
6#*6$*+*6&&#!
则数
D%I(&9&
'@#6'$'
称为随机变量I的平均或数学期望!定义$)!设随机变量I取无数多个值$#!$$!$!!+!并且取值$' 的概率为6'%'&#!
$!!!+(!6#*6$*6!*+&#!则当极限
2-5&(>9
&
'@#6'$'
存在时!这个极限值称为随机变量I 的平均或数学期望!记作D%I(!需要注意*D%I(与
$#!$$!$!!+的顺序有关!
定理))##"$%$!随机变量I#!I$!+!I& 的和的数学期望等于它们的数学期望之和!
即有
D 9&
3@#I% (3 &9&
3@#D%I3(!
,"#,第#部分!概念和定理
定义%*!设#!+是两个随机事件!在事件#发生的条件下!发生事件+ 的概率记作
:%+6#(!称为条件概率!设I 是随机变量!#是随机事件!在随机事件#发生的条件下!随
机变量I 的取值仍然是随机的!因而仍然是一个随机变量!记为I#!随机变量I# 取值为$的概率是条件概率!即
:%I#&$(&:%I&$6#(!在事件#发生的条件下发生事件+的概率:%+6#(不同于事件+发生的概率:%+(!
比如!在一个盒子里有E个白球和. 个黑球!从中随机地取一球!取出黑球%记作+(的概率
:%+(& .E*.!
!!如果从盒子里已经取出一个球!是黑球!再从中取出一球是黑球的概率是 .+#E*.+#!
应用条件概率的计算公式##"$%$和数学期望的定义!可以得出下面的结论!定理!**!设两个事件#和+不能同时发生!但其中之一必发生%称#与+为对立事
件(!则对任意的随机变量I!有
D%I(&:%#(D%I#(*:%+(D%I+(!
,%$, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
第"部分!题!!目
第!章!算!!术
#!整除性!素数与合数
%见第#部分!定义##"#8!#")定理#!)!""#$!#)!#/"#"!$#!$!!$7(
%!%!%英国!#"8/(设/#!/$!+!/( 是整数!0#!0$!+!0( 是它们的一个排列!证明*数
%/#+0#(,%/$+0$(,+,%/(+0((是偶数!
%!'!%美国纽约!#"(8(设/!/%!/#!+!/& 是任意整数!试问*整数
9&
'@%%/$*#(!'/'
被/$*/*#%或被/$+/*#(整除的必要且充分条件是数
9&
'@%%+#('/'
被/$*/*#%或被/$+/*#(整除!对否2
%!(!%捷克!#"7$)英国!#"87(在无限的0三角形1表
/#!%/$!+# /$!% /$!#
/!!+$ /!!+# /!!% /!!# /!!$/)!+! /)!+$ /)!+# /)!% /)!# /)!$ /)!!
++
中!/#!%&#!位于第&行%&&!'!&/#(第'列%'&$!6'6.&(的数/&!'等于上一行三个
数之和/&+#!'+#*/&+#!'*/&+#!'*#%如果这些数中有的不在表内!则在和式中令它为%(!证
明*从第三行起的每一行中都至少含有一个偶数!
%!)!%中国安徽省!#"(/(证明*在任意五个整数中!必有三个数!它们的和能被!整除!
%!*!%捷克!#"(#(对任意素数6/$!分数
.&&#*
#$*
#!*
+* #6+#
!!.!&&!'
的分子. 被6整除!
%!,!%美国纽约!#"(7(证明*对每个整数&/#!数&&+&$*&+#被%&+#($ 整除!
%!-!%苏联!#"/((证明*对任意&&!'!都有
##"/(*$#"/(*+*&#"/(
不被&*$整除!
%!.!%保加利亚!#"87(证明*仅有一个由大于#的自然数组成的三数组具有下列性质!
即其中任意二数之积再加#被第三数整除!
%!/!%苏联!#"/$(是否存在这样的自然数!它被##+3#&/. 整除!而且各位数字之和小
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 个于.2
%!%+!%英国!#"(8(证明*对任意&&!'!#",/&*#(是合数!
%!%%!%加拿大!#"/!(证明*对任意素数6!存在无限多个形如$&+&的数%其中&&
!'(被6整除!
%!%'!%捷克!#"(!(证明*存在无限多个&&!'!使得任意形如.)*&的数是合数!其
中.&!'!
%!%(!%捷克!#"("(求出所有不超过#%%%%%%%且具有下述性质的自然数&/$*任何
与&互素且满足#...&的数. 都是素数!
%!%)!%联邦德国!#"(((设//#是自然数!试求所有这样的数!它至少整除一个
/&&9&
'@%/'!!&&!'!
%!%*!%美国纽约!#"()(对给定的自然数. 与&!..&!试确定*是否任意一个由&个
连续整数组成的集合都含有两个不同的数!它们之积被.&整除!
%!%,!%美国纽约!#"(8(设)%&(&!'是使9)%&(
'@#'能被&整除的最小数!证明*当且仅当
&&$. 时)%&(&$&+#!其中.&!'!
%!%-!%评委会!联邦德国!#"(")保加利亚!#"/#(证明*如果#*$&*)& 是素数!&&
!'!则&&!'!其中'&!'!
%!%.!%罗马尼亚!#"(/(设.!&&!'满足*对任意'&!'!##'+#与. 和##'+#与
&具有相同的最大公因数!证明*存在某个!&$!使.&##!&!
%!%/!%美国纽约!#"(7(设/!0!4!5&$的最大公因数为#!试问*/5+04的任何素因
数都是/与4的因数的必要且充分条件为!对每个&&$!/&*0与4&*5都互素!对否2
%!'+'!%美国!#"/$(证明*存在'&!'!使得对每个&&!'!',$&*#都是合数!
%!'%'!%罗马尼亚!#"(/(证明*对大于$的任意/&!'!存在无限多个&&!'!使得
/&+#被&整除!当/&$时结论仍成立否2
%!'''!%评委会!比利时!#"/!(证明*存在无限多个&&!'!使得对'&#!$!+!
&+#!有
,$$, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
(%&(& /(
%'('!
其中(%&(表示&的所有因数之和!
%!'('!%匈牙利!#"/$(对给定的自然数'/#!&!&*#!+!&*'的最小公倍数记作
;%&(!&&!'!证明*存在无限多个&&!'!使得;%&(/;%&*#(!
%!')'!%奥地利!#"(!(证明*对任意&&!'!有
%.9&
'@#
*%'(' +$&!.
$!!
其中*%'(表示'的最大奇因数!
%!'*'!%评委会!南斯拉夫!#"("(设,%&(表示&&!'的最大素因数!是否有无限多个
&!使得
,%&(.,%&*#(.,%&*$(2
%!','!%评委会!南斯拉夫!#"("(设)%&(表示自然数&的素因数的个数!&/#!证
明*有无限多个&!使得
)%&(.)%&*#(.)%&*$(!
%!'-!%阿根廷!$%#%(已知正整数/!0!4都小于""!且/$*0$&4$*""$!求/*0*4
的最大值和最小值!
%!'.!%德国!$%##(是否存在自然数&使得!$)*)77& 是素数!
%!'/!%捷克斯洛伐克!$%#%(求所有满足%6*#(%1*$(%2*!(&)612的三元素数组
%6!1!2(!
%!(+!%克罗地亚!$%##(把$%##$%#%表示成两个&*#
&%&是正整数(型分数的乘积%不计次
序(的方式共有多少种2
%!(%!%美国!$%##(证明或否定*对于每个正整数&0$!$$&被$&+#除的余数都是)的
方幂!
%!('!%蒙古!$%##(给定奇数.&!'!证明*存在无穷多个正整数&!使得.&*#整
除$&+#!
%!((!%斯洛文尼亚!$%##(求所有正整数对%.!&(!使得 .$&.$*&
是素数!
%!()!%匈牙利!$%##(求素数6!使得存在整数/!0!4满足/$*0$*4$&6且6整
除%/)*0)*4)(!
%!(*!%伊朗!$%##(已知整数/!0满足//0!/0+#与/*0互素!/0*#与/+0互
素!证明*%/*0($*%/0+#($ 不是完全平方数!
,!$,第$部分!题!!目
$!方程的整数解和有理数解
%见第#部分!定义##"#$!#)"#8!)7)定理$!)"7!/!#%!#$!#8!#/!$#"$!!$7!8%"
8#!"8(
'!%!%美国纽约!#"(((求方程$$*#&%$ 的自然数解!
'!'!%英国!#"($(证明*对任意/!0!4!5&$!/)0!方程
%$*/%*4(%$*0%*5(&$至多有四个整数解!再确定/!0!4!5!使得方程恰有四个不同的解!
'!(!%民主德国!#"(!(求方程$%$*#(%$*((%$*/(&%$ 的整数解!
'!)!%罗马尼亚!#"/#(求方程$8*!$!*#&%) 的整数解!
'!*!%南斯拉夫!#"()(求方程$$*$%*%$&$$%$ 的整数解!
'!,!%民主德国!#"()(求方程%$*$()+$)&%! 的整数解!
'!-!%美国!#"("(求方程$)#*$)$*+*$)#)""的整数解!
'!.!%中国北京!#"(/(设/与0是任意给定的整数!证明*方程
$$*#%/$*70*!&%和
$$*#%/$*70+!&%都没有整数解!
'!/!%民主德国!#"(%)罗马尼亚!#"/%(证明*对任意奇数/!0!4&$!方程
/$$*0$*4&%没有有理数解!
'!%+!%英国!#"(%(求方程 槡槡$!+!& $槡槡 !+ %槡槡 !的有理数解!
'!%%!%巴西!#"/!(证明*方程
#$*
#%*
#8&
##"/!
只有有限多个自然数解!
'!%'!%南斯拉夫!#"/#(证明*对任意/!0&$!7/0(00%!方程组
$*$%*!8*(N&/
%*$8*7N&34
5 0有非负整数解!
'!%(!%中国!#"(/(求方程组
$*%*8&%
$!*%!*8!34
5 &+#/
,)$, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
的整数解!
'!%)!%民主德国!#"(((有多少对不超过#%%的数6!1&!'!使得方程$7*6$*1&%有有理数解2
'!%*!%捷克!#"(8(求方程$$*%$&!8$ 的整数解!
'!%,!%匈牙利!#"/!(证明*方程$!*!%!*"8!+"$%8&%有唯一有理数解!
'!%-!%美国!#"(8(求方程$$*%$*8$&$$%$ 的整数解!
'!%.!%英国!#"(%(对给定的&&!'!用/&&!'表示方程&$*$$&%$ 的大于&的自
然数解的个数!%#(证明*对任意给定的数-!至少有一个&&!'!使得/&/-!%$(2-5
&(>/&&>!对否2
'!%/!%匈牙利!#"(((证明*对任意素数6/7!方程$)*)$&6没有整数解!
'!'+!%民主德国!#"/%(证明*方程%$$($$+#&%8*#没有自然数解!
'!'%!%民主德国!#"/#(证明*对任意&&!'!方程$$#*$$$*+*$$&&%$ 都有自然
数解!
'!''!%中国!#"/7(方程$$#*$$*$!*$)*$7*$8*$(*$/*$"*$#%&!有多少个
非负整数解2
'!'(!%评委会!罗马尼亚!#"(((设/#!/$!+!/&*#&!'!且/3 与/&*#互素!3&#!
$!+!&!证明*方程$/## *$/$$ *+*$/&& &$/&*#&*# 有无限多个自然数解!
'!')!%评委会!法国!#"("(证明*对任意/!0!4&!'!%/!0(&#!且40%/+#(%0+#(!
方程4&/$*0%有非负整数解!
'!'*!%苏联!#"//(证明*方程$+%*8&#具有无限多个正整数解$!%!8!其中$!%!8两两不同!并且任意两个之积都被第三个整除!
'!',!%匈牙利!#"(/(证明*对任意/!0&0!方程/$$*0%$&#在有理数范围内要么
无解!要么有无限多个解!
'!'-!%评委会!罗马尼亚!#"("(证明*对任意互素的/!0&$!方程/$$*0%$&8! 有无
限多个整数解满足条件%$!%(&#!
'!'.!%英国!#"/%(证明*对任意大于#的&&!'!方程$&*%&&8& 没有适合条件
$1&!%1&的自然数解!
'!'/'!%奥地利!#"($(证明*对任意大于$的&&!'!方程$&*%$*#(&&%$*$(&
没有自然数解!
'!(+'!%美国纽约!#"/#(求方程$$*%&%$*%(% 的正有理数解!
'!(%!%苏联!#"//(求方程
#*#% ($$*#
& $* #% (#"//#"//
,7$,第$部分!题!!目
的整数解!
'!(''!%匈牙利!#"/%)保加利亚!#"/#(证明*如果&&!' 是奇数!则当且仅当&&
.%)'+#(时方程
#$*
#%&
)&
有自然数解!其中.!'&!'!
'!(('!%评委会!加拿大!#"/$(证明*所有使方程
#$*
#%&
!&
没有自然数解的&&!'的集合不能表成有限个算术级数%不论有限或无限(之集合的并集!
'!()'!%保加利亚!#"("(证明*方程$$*7&%! 没有整数解!
'!(*!%俄罗斯!$%##(是否存在实数!使得;3,!是无理数!而;3,$!!;3,!!!;3,7!都
是有理数2
'!(,!%新加坡!$%##(求所有的正整数对%.!&(使得
.*&+!.&.*&&$%##! !
A!!阶乘与二项式系数
%见第#部分!定义##"#$!#)"#/)定理$!)!/!#$"#!!#7"#(!$%"$#!"8(
(!%!%荷兰!#"/$(%#(%"#"/$.($ 与#(%"#"/$#(%"#"/$哪一个大2
(!'!%南斯拉夫!#"()(求所有的&&!'!使得对某个'&&#!$!+!&+#'!有$+'&&
+'+#& *+'*#& !
(!(!%加拿大!#"/!(求方程$. *%. *8. &N. 的自然数解!
(!)!%评委会!美国!#"/$(证明*对任意&&!'!均有
9&
'@%
%$&(.%'.($%%&+'(.($&
%+&$&($!
(!*!%评委会!澳大利亚!#"/$(给定.&!'!
%#(证明* #.*#+
.$.是自然数!
%$(求最小的'&!'!使得对每个自然数&0.! '&*.*#+
&*.$& 为自然数!
(!,!%美国纽约!#"()(证明*对任意自然数&0'!+'&!+'&*#!+!+'&*'的最大公因数等
于#!
(!-!%英国!#"/#(证明*对任意.!&&!'!有
,8$, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
>.!&&#*9.
'@#%+#('
%&*'*#(.&. %&*'(
都被.. 整除!但对某些.!&&!'!>.!&不被.. %&*#(整除!
(!.!%南斯拉夫!#"(%(证明*如果6是素数!则+6$6+$被6$ 整除!
(!/!%南斯拉夫!#"(7(求方程
#. *$. *+*%$*#(. &%8*#
的自然数解!
(!%+!%保加利亚!#"/$)澳大利亚!#"/!(求方程%%*#($+#&%. 的自然数解!
(!%%!%奥地利!#"(!)南斯拉夫!#"(()民主德国!#"("(对给定的&&!'!&/#!记.'
&&. *'!'&!'!证明*对任意'&&#!$!+!&'!都有一个素数6!它整除.'!但不整除
.#!.$!+!.'+#!.'*#!+!.&!
(!%''!%保加利亚!#"8/(证明*+'& 为奇数的必要且充分条件是!在&!'&!'的二进
制写法中!当'的某个位数上的数字为#时!&在同一位数上的数字也为#!
(!%('!%国际数学竞赛!卢森堡!#"/%(证明*对任意&&!'与素数6!下述条件是等
价的!
%#(当'&%!#!$!+!&时!+'& 都不被6整除!
%$(&&6O.+#!其中O!.&!'!..6!
(!%)'!%评委会!苏联!#"/!(设,& 是&. 的十进制写法中最后一个非零数字!证明*无
限小数%!,#,$,!+是无理数!
(!%*!%中国!#"/8(设实数列/%!/#!/$!+满足
/%)/#!!/3+#*/3*#&$/3!!3&#!$!!!+!
证明*对任意&&!'!都有
6%$(&9&
'@%/'+'&$'%#+$(&+'
是$的一次多项式!
(!%,!%中国北京!#"8!(求
%#*$(!*%#*$()*+*%#*$(&*$
展开式里$$ 的系数!
(!%-!%爱沙尼亚!$%##(已知正整数&!'满足$1'1&+$!证明*二项式系数+'& 不
是素数的方幂!
(!%.!%白俄罗斯!$%##(求$%%".
$%##的小数部分!
(!%/!%保加利亚!$%##(是否存在正整数&!'满足'1&+$!使得%+'&($*%+'*#& ($&
%+'*$& ()2
,($,第$部分!题!!目
(!'+!%俄罗斯!$%#$(证明*存在正整数&使得>&&#. *$. *+*&. 有大于#%$%#$
的素因子!
(!'%!%罗马尼亚!$%##(设&是正整数!证明*每个不大于&. 的正整数都可以写成至
多&个不同的&. 的正因子之和!
(!''!%中国冬令营!$%#!(记)&%$(@9&
'@%4&!'$'!其中4&!' 是+'& 被$除的余数!已知
正整数.!&!6满足).%6(P)&%6(!并且6Q#不是$的方幂!证明*对任意正整数1都有
).%1(P)&%1(!
A)!数!集!合
%见第#部分!定义#"$!##"#$)定理#"$!#%!#!!#/!$!!77!"7""8(
)!%!%罗马尼亚!#"(/(证明*将集合I&&#!$!!!)!7!8!(!/!"'任意划分为两个子集!
至少有一个子集!含有三个数!其中两数之和为第三数的两倍!
)!'!%比利时!#"("(对#$!)78(的数字进行排列!得到(. 个数!求这些数的和!
)!(!%英国!#"88(证明*在任意7$个整数中!必有两个数!它们之和或差被#%%整除!
)!)!%英国!#"(%(证明*在任意&个自然数构成的集合中!总有一个非空子集!它所含
的数之和被&整除!
)!*!%波兰!#"("(设自然数/#!/$!+!/& 被某个.&!'除的余数各不相同!且&/
.$!
证明*对每个'&$!存在下标3!A&&#!$!+!&'!使得/3*/A+'被. 整除!
)!,!%南斯拉夫!#"(((给定$%个不超过(%的自然数/#./$.+/$%!证明*在差/A+
/'!A/'中至少有)个相同!
)!-!%南斯拉夫!#"/#(把集合&#!$!+!#%%'分成七个子集!证明*至少有一个子集!要
么含有四个数/!0!4!5!使得/*0&4*5!要么含有三个数R!)!*!使得R*)&$*!
)!.!%美国!#"/!(在数轴上取长为#&
的开区间7!&&!'!证明*7至多含有&*#$
个形如
61
的既约分数!其中6!1&$!#111&!
)!/!%南斯拉夫!#"(((对给定的&&!'!有多少个三元自然数组%无序组(!其和
为8&2
)!%+!%保加利亚!#"/%(证明*从#!$!+!)"中取出六个不同的数!其中至少有两个是
相邻的!共有+8)"++8))种取法!
)!%%!%奥地利 波兰!#"(/(设4)#是给定的正有理数!证明*自然数集合可以表为两
,/$, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解
个不交的子集"与#之并!使得"中任意两数之比与#中任意两数之比都不等于4!
)!%'!%评委会!西班牙!#"(((整数/#!/$!+!/& 之和为#!证明*在数
03&/3*$/3*#*!/3*$*+*%&+3*#(/&*%&+3*$(/#
*%&+3*!(/$*+*&/3+#!!3&#!$!+!&中没有相同的!
)!%(!%中国!#"(/(证明*当给定的正整数&与'适合&/$!'/$时!&%&+#('+#可以
表为&个连续偶数之和!
)!%)!%评委会!苏联!#"/$(求所有具有下述性质的&&!'!能够把$&个数#!#!$!$!
!!!!+!&!&排成一行!使得当'&#!$!+!&时!在两个'之间恰有'个数!
)!%*!%苏联!#"//(在第一行写有#"个不超过//的自然数!在第二行写有//个不超
过#"的自然数!将一行中的一个数或几个相连的数称为一段!证明*可以从上述两行数中各
选出一段!使得这两段数字之和相等!
)!%,!%奥地利!#"(7(设非空集合-"0满足下述两个条件*
%#(如果/&-!0&-!则/*0&-!且/0&-)
%$(如果2&0!则2&-!+2&-!2&%这三者恰有一个成立!
证明*集合- 与所有正有理数集合相等!
)!%-!%美国纽约!#"(!(设有限集合#""和集合-""!如果集合- 中每个数都可
唯一地表为集合#中的数的整数次幂的乘积!则#称为- 的基!试问*任意有限的正数集合
都具有基!对否2
)!%.!%奥地利 波兰!#"/%(证明*对任意&&!'!都有
9#13#.3$.+.3'1&
"#"##+#$ %
&!
其中求和是对所有取自集合&#!$!+!&'的数组3#.3$.+.3'!'&#!$!+!&进行的!
)!%/'!%保加利亚!#"/!)蒙古!$%##(求所有具有下述性质的&&!'!存在%!#!+!
&+#的排列%/#!/$!+!/&(!使得
/#!!/#/$!!/#/$/!!!+!!/#/$+/&被&除的余数各不相同!
)!'+'!%评委会!瑞典!#"/!(证明*如果&&!'不是素数的整数次幂!则存在#!$!+!
&的排列%3#!3$!+!3&(!使得
9&
'@#';3,$!3'& @%!
)!'%'!%苏联!#"//)爱沙尼亚!$%##(设&!.!'是自然数!且.0&!证明*如果#*$
*+*&&.'!则可将#!$!+!&分成'个组!使得每一组数之和都等于.!
)!'''!%评委会!芬兰!#"/$(求所有这样的自然数的和!它们在十进制写法中的数字组
,"$,第$部分!题!!目
成递增或递减数列!
)!'('!%评委会!芬兰!#"("(满足
/#*$/$*+*&/&&#"("的&元自然数组%/#!/$!+!/&(当&为偶数时称为偶的!当&为奇数时称为奇的!证明*奇
组与偶组一样多!
)!')'!%评委会!波兰!#"("(证明*对任意/#!/$!+!/.&!'!下述情况分别成立!
%#(存在&个数的集合!&.$.!它的所有非空子集具有不同的和!而且这些和中包含
所有的/#!/$!+!/.!%$(存在&个数的集合!&1.!它的所有非空子集具有不同的和!而且这些和中包含所
有的/#!/$!+!/.!
)!'*'!%评委会!波兰!#"/!(设集合-"!'满足*
%#(任意大于#的&&!'都可表为&&/*0!其中/!0&-)
%$(如果/!0!4!5&- 都大于#%!则仅当/&4或/&5时/*0&4*5!集合- 存在否2
)!',!%匈牙利!#"#8(证明*把集合>&&#!$!!!)!7'任意分为两组!总有某个组!它含
有两个数及它们的差!
)!'-!%中国!集训班!#"//(设&&!'大于!!且具有下列性质*把集合>&&&#!$!+!
&'任意分为两组!总有某个组!它含有三个数/!0!4!允许/&0!使得/0&4!求这种&的
最小值!
)!'.'!%匈牙利!#"/8(证明*可以用两种颜色给正整数#!$!+!#"/8染色!使它不含
有#/个项的单色算术级数!
)!'/'!%评委会!罗马尼亚!#"/((证明*可以用四种颜色给正整数#!$!+!#"/(染色!
使它不含有#%个项的单色算术级数!
)!(+!%阿根廷!$%#%(已知一列数#!$!+!$%#%!用其中任意两数差的绝对值来代替这
两个数!称这种代替为一次操作!持续进行这种操作直到这列数变为一个数!试求所有可能
的最后这个数!
)!(%!%北欧地区!$%##(设正整数&0$!证明*集合
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证明*6"6,6#616+6$!
,%!, 中外数学竞赛---#%%个重要定理和竞赛题精解