给力数学

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优

(七年级)

丛书主编 叶立军 本册主编 王娇娇 编 者 王娇娇 张 勇 李昱茜 李亚辉

罗 强 高华岳 孟泽琪 肖金志

图书在版编目(CIP)数据

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优七年级王娇娇主编mdash上海华东理工大学出版社20151

(给力数学middot数学尖子生高分题库叶立军)

ISBN978 7 5628 4062 6

Ⅰ①数hellip Ⅱ①王hellip Ⅲ①中学数学课mdash初中mdash习题集 Ⅳ①G634605

中国版本图书馆CIP数据核字(2014)第232209号

给力数学

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优(七年级)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip丛书主编叶立军

本册主编王娇娇

策划编辑庄晓明

责任编辑刘 婧

责任校对成 俊

封面设计裘幼华

出版发行华东理工大学出版社有限公司

地 址上海市梅陇路130号200237电 话(021)64250306(营销部)

(021)64252718(编辑室)传 真(021)64252707网 址pressecusteducn

印 刷常熟华顺印刷有限公司

开 本787mmtimes1092mm 116印 张2025字 数488千字

版 次2015年1月第1版

印 次2015年1月第1次

书 号ISBN978 7 5628 4062 6定 价4500元

联系我们电子邮箱pressecusteducn官方微博eweibocomecustpress淘宝官网http∥shop61951206taobaocom

随着课程改革的不断深入人人意识到学好数学的必要性不同的人在学习数学上得到不同

的发展等数学大众化的思想逐渐被人们所接受在中学教育面临改革的背景下初中数学教育也

正面临着前所未有的挑战与变革无论如何变革学好数学对每位初中生而言都是有百利而无一害的如何学好初中数学 方法是关键本书在内容编排上结合当前初中数学教与学中的难点兼顾数学尖子生应对奥数竞赛的需

求设置了以下栏目【知识梳理】对每一讲所要掌握的知识点进行了提纲挈领的归纳总结(包括主要公式定理和

常用的数学思想方法)促使学生对本讲的知识体系有一个全局的了解与认识做到胸有成竹从而提高学习效率

【典型例题】精选典型例题进行深入分析对每一道题的解题关键点都一一进行了解读【双基训练】本单元的基础题立足于教材本身通过针对性训练以使学生掌握基础知识和基

本技能【能力提升】本单元的中档题题目难度中等偏上需要综合运用所学知识适合中等程度的学

生为挑战数学高分而学习【拓展资源】本单元的压轴题面向数学尖子生适合学有余力准备参加奥数竞赛的学生

研读本书具有以下特点(1) 注重挖掘初中数学教材中的数学思想初中数学教材主要包括以下几类数学思想①转化

思想②方程思想③数形结合思想④函数思想⑤整体思想⑥分类讨论思想⑦统计思想同学

们只要能够深入地理解上述思想方法并能灵活地应用到具体的解题实践中就能极大地提高解

题能力(2) 注重通过针对性训练锻炼学生的八大数学能力这些能力分别是①基础运算能力②逻

辑思维能力③空间想象能力④数学语言表达能力⑤将实际问题抽象为数学问题的能力⑥数

形结合相互转化的能力⑦观察实验比较猜想归纳问题的能力⑧研究探讨问题的能力和创

新能力

由于水平有限书中不足之处在所难免笔者真诚地希望得到读者的建议

编　者

1 第一讲 有理数与数轴

11 第二讲 相反数与绝对值

21 第三讲 有理数的运算

35 第四讲 平方根与立方根

45 第五讲 代数式及代数式的值

55 第六讲 数学规律型问题探索

67 第七讲 整式的加减

75 第八讲 一元一次方程的解法

83 第九讲 绝对值方程

91 第十讲 一元一次方程的应用(1)

99 第十一讲 一元一次方程的应用(2)

113 第十二讲 线段射线直线

125 第十三讲 角

137 第十四讲 相交线与平行线的判定

149 第十五讲 平行线的性质及其应用

163 第十六讲 二元一次方程组的解法

173 第十七讲 二元一次方程组的应用

183 第十八讲 整式的乘除

191 第十九讲 因式分解(1)

201 第二十讲 因式分解(2)

211 第二十一讲 配方法

219 第二十二讲 分式及其运算

227 第二十三讲 分式方程

237 第二十四讲 新定义问题

247 第二十五讲 数据与统计图表

270 参考答案

第一讲

有理数与数轴

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

2

知识梳理

1数轴的三要素

数轴的三要素指的是正方向原点单位长度且必须是一条直线

2正数与负数

(1)概念正数就是带有正号ldquo+rdquo的数(正号可以省略不写)是大于零的数而负数是带

有负号ldquo-rdquo的数(负数前的ldquo-rdquo号不能省略)是小于零的数(2)数轴上的表示正数就是位于原点右侧的点负数就是位于原点左侧的点因此0既

不是正数也不是负数(3)非负数与非正数非负数根据字面意思理解为不是负数的数因此应该为正数与0

同理非正数应该是负数与0

3有理数的分类

有理数

正有理数

0负有理数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

有理数

整数

正整数

0负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

注意(1)在初中数学学习中小数也是分数的一部分(2)0既不是正有理数也不是负有理数(3)正整数与0的集合形成自然数

第一讲 有理数与数轴

3

4数轴与有理数

(1)有理数与数轴的关系所有的有理数都可以表示在数轴上(2)从数轴看有理数的大小在同一数轴上右边的数大于左边的数若两数表示同一点

则两数相等

5数轴上的最值记忆点

最小的自然数为0最大的负整数为-1最小的正整数为1最大的非正数为0没有最大的负数与最小的正数

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

如果温度上升3记作+3那么下降5记作

温度的上升和下降是一对具有相反意义的量因此可以用正负数表示在生活中这些

常见的相反意义量还有零上与零下收入与支出增加与减少盈余与亏损等

-5(单位不可遗漏)

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

把数-74840-9-79-12-31223800

45-1

58

分别填在相应的位置内

正数 负数 整数 正整数 负分数 非负数

根据有理数的分类对大量数据进行分类是基本技能之一在这里需要注意的是所有

的小数都是分数的一部分和非负数的概念

正数4842380045

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

4

负数-7-9-79-12-312-1

58

整数-740-9-1223800正整数423800

负分数-79-312-1

58 非负数48423800

450

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

在数轴上表示-212

和123并根据数轴指出所有大于-2

12

而小于123

的整数

首先将数表示在数轴上题目要求我们找出大于-212

而小于123

的整数其在数轴

上即为在-212

和123

之间的整数点因此我们可以结合数轴来解决这个问题这种方法将

在之后解决更多问题中起到重要作用

如图1 1所示在-212

和123

之间的整数点有-2-101

1 2 3 4 5 65 4 3 2 1 0

12 2

3

图1 1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-2且AB 两点的距离是3则点B 对应的数

是

本题可以利用数轴来解决且有两种理解方式方法一首先将点A 表示在数轴上并

以此为圆心以3个单位长度为半径作圆圆与数轴的交点即为所求方法二AB 两点的距

离是3则有左距离和右距离之分利用数轴得出点B 所在位置

如图1 2所示B 点为-5或者1

0 1 2 3 4 5

A B2B112345

图1 2

第一讲 有理数与数轴

5

双基训练

1下列说法中不具有相反意义的一对量是( )A向东35千米和向南2千米 B上升5米和下降18米

C收入5000元和亏损1500元 D零上6和零下72关于0有下列说法①既不是正数也不是负数②是整数③不是最小的整数是最小

的有理数④不是自然数是有理数正确的个数是( )A1 B2 C3 D43在01-2-35这四个数中位于原点最左端的是( )A-35 B-2 C1 D04在同一数轴上表示数-0502-2+2其中表示02的点的左边的点有( )A1个 B2个 C3个 D4个

5如果+10表示ldquo增加10rdquo那么ldquo减少90rdquo可以记为 6飞机上升-30米实际上就是

7在数轴上点AB 分别表示12

和-12则数轴上与AB 两点的距离相等的点表示的数

是 8在数轴上与原点距离为3的点为 9比较两个有理数之间的大小

(1)-34 -076

(2)-310 -

311

10比5小的正整数有 比-5大的负整数有

11比-312

大而比213

小的所有整数的和为

12设a 是最小的自然数b 是最小的正整数c 是最大的负整数则abc 三数之和

为 13把下列各数填入相应的横线内

-2715560110-

1213-21+987+69+

47099

正整数 负整数 正分数 非负数 正数 自然数

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

6

14把下列数表示在数轴上并用ldquoltrdquo号连接

-22-4-05-134

15如图1 3所示有几滴墨水洒在数轴上根据图中标出的数值写出墨迹盖住的所有

整数

126 74 0 105 172

图1 3

16画出数轴仔细思考回答下列问题(1)有没有最小的正整数 如果有是什么 如果没有说明理由(2)有没有最大的负整数 如果有是什么 如果没有说明理由(3)不超过3的自然数有哪些

17小马虎在做题时画了一个数轴在数轴上原有一点A其表示的数是-3由于粗心把数轴的原点标错了位置使点A 正好落在-3的相反数的位置上想一想要把数轴画正确原点要向哪个方向移动几个单位长度

18某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园新华书店实验学校花园小区科技馆五个站点相邻两个站点之间的距离依次为35千米15千米2千米35千

米如果以实验学校为原点规定向东为正设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米请画

出数轴并将五个站点在数轴上表示出来

19点AB 在数轴上的位置如图1 4所示

4

BA

图1 4

(1)若点A 表示的数是-4则点B 表示的数是 (2)在上述条件下在原图中分别标出表示+3的点C表示-15的点D(3)在上述条件下BC 两点间的距离是 AC 两点间的距离是

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

图书在版编目(CIP)数据

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优七年级王娇娇主编mdash上海华东理工大学出版社20151

(给力数学middot数学尖子生高分题库叶立军)

ISBN978 7 5628 4062 6

Ⅰ①数hellip Ⅱ①王hellip Ⅲ①中学数学课mdash初中mdash习题集 Ⅳ①G634605

中国版本图书馆CIP数据核字(2014)第232209号

给力数学

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优(七年级)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip丛书主编叶立军

本册主编王娇娇

策划编辑庄晓明

责任编辑刘 婧

责任校对成 俊

封面设计裘幼华

出版发行华东理工大学出版社有限公司

地 址上海市梅陇路130号200237电 话(021)64250306(营销部)

(021)64252718(编辑室)传 真(021)64252707网 址pressecusteducn

印 刷常熟华顺印刷有限公司

开 本787mmtimes1092mm 116印 张2025字 数488千字

版 次2015年1月第1版

印 次2015年1月第1次

书 号ISBN978 7 5628 4062 6定 价4500元

联系我们电子邮箱pressecusteducn官方微博eweibocomecustpress淘宝官网http∥shop61951206taobaocom

随着课程改革的不断深入人人意识到学好数学的必要性不同的人在学习数学上得到不同

的发展等数学大众化的思想逐渐被人们所接受在中学教育面临改革的背景下初中数学教育也

正面临着前所未有的挑战与变革无论如何变革学好数学对每位初中生而言都是有百利而无一害的如何学好初中数学 方法是关键本书在内容编排上结合当前初中数学教与学中的难点兼顾数学尖子生应对奥数竞赛的需

求设置了以下栏目【知识梳理】对每一讲所要掌握的知识点进行了提纲挈领的归纳总结(包括主要公式定理和

常用的数学思想方法)促使学生对本讲的知识体系有一个全局的了解与认识做到胸有成竹从而提高学习效率

【典型例题】精选典型例题进行深入分析对每一道题的解题关键点都一一进行了解读【双基训练】本单元的基础题立足于教材本身通过针对性训练以使学生掌握基础知识和基

本技能【能力提升】本单元的中档题题目难度中等偏上需要综合运用所学知识适合中等程度的学

生为挑战数学高分而学习【拓展资源】本单元的压轴题面向数学尖子生适合学有余力准备参加奥数竞赛的学生

研读本书具有以下特点(1) 注重挖掘初中数学教材中的数学思想初中数学教材主要包括以下几类数学思想①转化

思想②方程思想③数形结合思想④函数思想⑤整体思想⑥分类讨论思想⑦统计思想同学

们只要能够深入地理解上述思想方法并能灵活地应用到具体的解题实践中就能极大地提高解

题能力(2) 注重通过针对性训练锻炼学生的八大数学能力这些能力分别是①基础运算能力②逻

辑思维能力③空间想象能力④数学语言表达能力⑤将实际问题抽象为数学问题的能力⑥数

形结合相互转化的能力⑦观察实验比较猜想归纳问题的能力⑧研究探讨问题的能力和创

新能力

由于水平有限书中不足之处在所难免笔者真诚地希望得到读者的建议

编　者

1 第一讲 有理数与数轴

11 第二讲 相反数与绝对值

21 第三讲 有理数的运算

35 第四讲 平方根与立方根

45 第五讲 代数式及代数式的值

55 第六讲 数学规律型问题探索

67 第七讲 整式的加减

75 第八讲 一元一次方程的解法

83 第九讲 绝对值方程

91 第十讲 一元一次方程的应用(1)

99 第十一讲 一元一次方程的应用(2)

113 第十二讲 线段射线直线

125 第十三讲 角

137 第十四讲 相交线与平行线的判定

149 第十五讲 平行线的性质及其应用

163 第十六讲 二元一次方程组的解法

173 第十七讲 二元一次方程组的应用

183 第十八讲 整式的乘除

191 第十九讲 因式分解(1)

201 第二十讲 因式分解(2)

211 第二十一讲 配方法

219 第二十二讲 分式及其运算

227 第二十三讲 分式方程

237 第二十四讲 新定义问题

247 第二十五讲 数据与统计图表

270 参考答案

第一讲

有理数与数轴

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

2

知识梳理

1数轴的三要素

数轴的三要素指的是正方向原点单位长度且必须是一条直线

2正数与负数

(1)概念正数就是带有正号ldquo+rdquo的数(正号可以省略不写)是大于零的数而负数是带

有负号ldquo-rdquo的数(负数前的ldquo-rdquo号不能省略)是小于零的数(2)数轴上的表示正数就是位于原点右侧的点负数就是位于原点左侧的点因此0既

不是正数也不是负数(3)非负数与非正数非负数根据字面意思理解为不是负数的数因此应该为正数与0

同理非正数应该是负数与0

3有理数的分类

有理数

正有理数

0负有理数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

有理数

整数

正整数

0负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

注意(1)在初中数学学习中小数也是分数的一部分(2)0既不是正有理数也不是负有理数(3)正整数与0的集合形成自然数

第一讲 有理数与数轴

3

4数轴与有理数

(1)有理数与数轴的关系所有的有理数都可以表示在数轴上(2)从数轴看有理数的大小在同一数轴上右边的数大于左边的数若两数表示同一点

则两数相等

5数轴上的最值记忆点

最小的自然数为0最大的负整数为-1最小的正整数为1最大的非正数为0没有最大的负数与最小的正数

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

如果温度上升3记作+3那么下降5记作

温度的上升和下降是一对具有相反意义的量因此可以用正负数表示在生活中这些

常见的相反意义量还有零上与零下收入与支出增加与减少盈余与亏损等

-5(单位不可遗漏)

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

把数-74840-9-79-12-31223800

45-1

58

分别填在相应的位置内

正数 负数 整数 正整数 负分数 非负数

根据有理数的分类对大量数据进行分类是基本技能之一在这里需要注意的是所有

的小数都是分数的一部分和非负数的概念

正数4842380045

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

4

负数-7-9-79-12-312-1

58

整数-740-9-1223800正整数423800

负分数-79-312-1

58 非负数48423800

450

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

在数轴上表示-212

和123并根据数轴指出所有大于-2

12

而小于123

的整数

首先将数表示在数轴上题目要求我们找出大于-212

而小于123

的整数其在数轴

上即为在-212

和123

之间的整数点因此我们可以结合数轴来解决这个问题这种方法将

在之后解决更多问题中起到重要作用

如图1 1所示在-212

和123

之间的整数点有-2-101

1 2 3 4 5 65 4 3 2 1 0

12 2

3

图1 1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-2且AB 两点的距离是3则点B 对应的数

是

本题可以利用数轴来解决且有两种理解方式方法一首先将点A 表示在数轴上并

以此为圆心以3个单位长度为半径作圆圆与数轴的交点即为所求方法二AB 两点的距

离是3则有左距离和右距离之分利用数轴得出点B 所在位置

如图1 2所示B 点为-5或者1

0 1 2 3 4 5

A B2B112345

图1 2

第一讲 有理数与数轴

5

双基训练

1下列说法中不具有相反意义的一对量是( )A向东35千米和向南2千米 B上升5米和下降18米

C收入5000元和亏损1500元 D零上6和零下72关于0有下列说法①既不是正数也不是负数②是整数③不是最小的整数是最小

的有理数④不是自然数是有理数正确的个数是( )A1 B2 C3 D43在01-2-35这四个数中位于原点最左端的是( )A-35 B-2 C1 D04在同一数轴上表示数-0502-2+2其中表示02的点的左边的点有( )A1个 B2个 C3个 D4个

5如果+10表示ldquo增加10rdquo那么ldquo减少90rdquo可以记为 6飞机上升-30米实际上就是

7在数轴上点AB 分别表示12

和-12则数轴上与AB 两点的距离相等的点表示的数

是 8在数轴上与原点距离为3的点为 9比较两个有理数之间的大小

(1)-34 -076

(2)-310 -

311

10比5小的正整数有 比-5大的负整数有

11比-312

大而比213

小的所有整数的和为

12设a 是最小的自然数b 是最小的正整数c 是最大的负整数则abc 三数之和

为 13把下列各数填入相应的横线内

-2715560110-

1213-21+987+69+

47099

正整数 负整数 正分数 非负数 正数 自然数

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

6

14把下列数表示在数轴上并用ldquoltrdquo号连接

-22-4-05-134

15如图1 3所示有几滴墨水洒在数轴上根据图中标出的数值写出墨迹盖住的所有

整数

126 74 0 105 172

图1 3

16画出数轴仔细思考回答下列问题(1)有没有最小的正整数 如果有是什么 如果没有说明理由(2)有没有最大的负整数 如果有是什么 如果没有说明理由(3)不超过3的自然数有哪些

17小马虎在做题时画了一个数轴在数轴上原有一点A其表示的数是-3由于粗心把数轴的原点标错了位置使点A 正好落在-3的相反数的位置上想一想要把数轴画正确原点要向哪个方向移动几个单位长度

18某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园新华书店实验学校花园小区科技馆五个站点相邻两个站点之间的距离依次为35千米15千米2千米35千

米如果以实验学校为原点规定向东为正设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米请画

出数轴并将五个站点在数轴上表示出来

19点AB 在数轴上的位置如图1 4所示

4

BA

图1 4

(1)若点A 表示的数是-4则点B 表示的数是 (2)在上述条件下在原图中分别标出表示+3的点C表示-15的点D(3)在上述条件下BC 两点间的距离是 AC 两点间的距离是

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

随着课程改革的不断深入人人意识到学好数学的必要性不同的人在学习数学上得到不同

的发展等数学大众化的思想逐渐被人们所接受在中学教育面临改革的背景下初中数学教育也

正面临着前所未有的挑战与变革无论如何变革学好数学对每位初中生而言都是有百利而无一害的如何学好初中数学 方法是关键本书在内容编排上结合当前初中数学教与学中的难点兼顾数学尖子生应对奥数竞赛的需

求设置了以下栏目【知识梳理】对每一讲所要掌握的知识点进行了提纲挈领的归纳总结(包括主要公式定理和

常用的数学思想方法)促使学生对本讲的知识体系有一个全局的了解与认识做到胸有成竹从而提高学习效率

【典型例题】精选典型例题进行深入分析对每一道题的解题关键点都一一进行了解读【双基训练】本单元的基础题立足于教材本身通过针对性训练以使学生掌握基础知识和基

本技能【能力提升】本单元的中档题题目难度中等偏上需要综合运用所学知识适合中等程度的学

生为挑战数学高分而学习【拓展资源】本单元的压轴题面向数学尖子生适合学有余力准备参加奥数竞赛的学生

研读本书具有以下特点(1) 注重挖掘初中数学教材中的数学思想初中数学教材主要包括以下几类数学思想①转化

思想②方程思想③数形结合思想④函数思想⑤整体思想⑥分类讨论思想⑦统计思想同学

们只要能够深入地理解上述思想方法并能灵活地应用到具体的解题实践中就能极大地提高解

题能力(2) 注重通过针对性训练锻炼学生的八大数学能力这些能力分别是①基础运算能力②逻

辑思维能力③空间想象能力④数学语言表达能力⑤将实际问题抽象为数学问题的能力⑥数

形结合相互转化的能力⑦观察实验比较猜想归纳问题的能力⑧研究探讨问题的能力和创

新能力

由于水平有限书中不足之处在所难免笔者真诚地希望得到读者的建议

编　者

1 第一讲 有理数与数轴

11 第二讲 相反数与绝对值

21 第三讲 有理数的运算

35 第四讲 平方根与立方根

45 第五讲 代数式及代数式的值

55 第六讲 数学规律型问题探索

67 第七讲 整式的加减

75 第八讲 一元一次方程的解法

83 第九讲 绝对值方程

91 第十讲 一元一次方程的应用(1)

99 第十一讲 一元一次方程的应用(2)

113 第十二讲 线段射线直线

125 第十三讲 角

137 第十四讲 相交线与平行线的判定

149 第十五讲 平行线的性质及其应用

163 第十六讲 二元一次方程组的解法

173 第十七讲 二元一次方程组的应用

183 第十八讲 整式的乘除

191 第十九讲 因式分解(1)

201 第二十讲 因式分解(2)

211 第二十一讲 配方法

219 第二十二讲 分式及其运算

227 第二十三讲 分式方程

237 第二十四讲 新定义问题

247 第二十五讲 数据与统计图表

270 参考答案

第一讲

有理数与数轴

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

2

知识梳理

1数轴的三要素

数轴的三要素指的是正方向原点单位长度且必须是一条直线

2正数与负数

(1)概念正数就是带有正号ldquo+rdquo的数(正号可以省略不写)是大于零的数而负数是带

有负号ldquo-rdquo的数(负数前的ldquo-rdquo号不能省略)是小于零的数(2)数轴上的表示正数就是位于原点右侧的点负数就是位于原点左侧的点因此0既

不是正数也不是负数(3)非负数与非正数非负数根据字面意思理解为不是负数的数因此应该为正数与0

同理非正数应该是负数与0

3有理数的分类

有理数

正有理数

0负有理数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

有理数

整数

正整数

0负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

注意(1)在初中数学学习中小数也是分数的一部分(2)0既不是正有理数也不是负有理数(3)正整数与0的集合形成自然数

第一讲 有理数与数轴

3

4数轴与有理数

(1)有理数与数轴的关系所有的有理数都可以表示在数轴上(2)从数轴看有理数的大小在同一数轴上右边的数大于左边的数若两数表示同一点

则两数相等

5数轴上的最值记忆点

最小的自然数为0最大的负整数为-1最小的正整数为1最大的非正数为0没有最大的负数与最小的正数

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

如果温度上升3记作+3那么下降5记作

温度的上升和下降是一对具有相反意义的量因此可以用正负数表示在生活中这些

常见的相反意义量还有零上与零下收入与支出增加与减少盈余与亏损等

-5(单位不可遗漏)

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

把数-74840-9-79-12-31223800

45-1

58

分别填在相应的位置内

正数 负数 整数 正整数 负分数 非负数

根据有理数的分类对大量数据进行分类是基本技能之一在这里需要注意的是所有

的小数都是分数的一部分和非负数的概念

正数4842380045

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

4

负数-7-9-79-12-312-1

58

整数-740-9-1223800正整数423800

负分数-79-312-1

58 非负数48423800

450

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

在数轴上表示-212

和123并根据数轴指出所有大于-2

12

而小于123

的整数

首先将数表示在数轴上题目要求我们找出大于-212

而小于123

的整数其在数轴

上即为在-212

和123

之间的整数点因此我们可以结合数轴来解决这个问题这种方法将

在之后解决更多问题中起到重要作用

如图1 1所示在-212

和123

之间的整数点有-2-101

1 2 3 4 5 65 4 3 2 1 0

12 2

3

图1 1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-2且AB 两点的距离是3则点B 对应的数

是

本题可以利用数轴来解决且有两种理解方式方法一首先将点A 表示在数轴上并

以此为圆心以3个单位长度为半径作圆圆与数轴的交点即为所求方法二AB 两点的距

离是3则有左距离和右距离之分利用数轴得出点B 所在位置

如图1 2所示B 点为-5或者1

0 1 2 3 4 5

A B2B112345

图1 2

第一讲 有理数与数轴

5

双基训练

1下列说法中不具有相反意义的一对量是( )A向东35千米和向南2千米 B上升5米和下降18米

C收入5000元和亏损1500元 D零上6和零下72关于0有下列说法①既不是正数也不是负数②是整数③不是最小的整数是最小

的有理数④不是自然数是有理数正确的个数是( )A1 B2 C3 D43在01-2-35这四个数中位于原点最左端的是( )A-35 B-2 C1 D04在同一数轴上表示数-0502-2+2其中表示02的点的左边的点有( )A1个 B2个 C3个 D4个

5如果+10表示ldquo增加10rdquo那么ldquo减少90rdquo可以记为 6飞机上升-30米实际上就是

7在数轴上点AB 分别表示12

和-12则数轴上与AB 两点的距离相等的点表示的数

是 8在数轴上与原点距离为3的点为 9比较两个有理数之间的大小

(1)-34 -076

(2)-310 -

311

10比5小的正整数有 比-5大的负整数有

11比-312

大而比213

小的所有整数的和为

12设a 是最小的自然数b 是最小的正整数c 是最大的负整数则abc 三数之和

为 13把下列各数填入相应的横线内

-2715560110-

1213-21+987+69+

47099

正整数 负整数 正分数 非负数 正数 自然数

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

6

14把下列数表示在数轴上并用ldquoltrdquo号连接

-22-4-05-134

15如图1 3所示有几滴墨水洒在数轴上根据图中标出的数值写出墨迹盖住的所有

整数

126 74 0 105 172

图1 3

16画出数轴仔细思考回答下列问题(1)有没有最小的正整数 如果有是什么 如果没有说明理由(2)有没有最大的负整数 如果有是什么 如果没有说明理由(3)不超过3的自然数有哪些

17小马虎在做题时画了一个数轴在数轴上原有一点A其表示的数是-3由于粗心把数轴的原点标错了位置使点A 正好落在-3的相反数的位置上想一想要把数轴画正确原点要向哪个方向移动几个单位长度

18某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园新华书店实验学校花园小区科技馆五个站点相邻两个站点之间的距离依次为35千米15千米2千米35千

米如果以实验学校为原点规定向东为正设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米请画

出数轴并将五个站点在数轴上表示出来

19点AB 在数轴上的位置如图1 4所示

4

BA

图1 4

(1)若点A 表示的数是-4则点B 表示的数是 (2)在上述条件下在原图中分别标出表示+3的点C表示-15的点D(3)在上述条件下BC 两点间的距离是 AC 两点间的距离是

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

1 第一讲 有理数与数轴

11 第二讲 相反数与绝对值

21 第三讲 有理数的运算

35 第四讲 平方根与立方根

45 第五讲 代数式及代数式的值

55 第六讲 数学规律型问题探索

67 第七讲 整式的加减

75 第八讲 一元一次方程的解法

83 第九讲 绝对值方程

91 第十讲 一元一次方程的应用(1)

99 第十一讲 一元一次方程的应用(2)

113 第十二讲 线段射线直线

125 第十三讲 角

137 第十四讲 相交线与平行线的判定

149 第十五讲 平行线的性质及其应用

163 第十六讲 二元一次方程组的解法

173 第十七讲 二元一次方程组的应用

183 第十八讲 整式的乘除

191 第十九讲 因式分解(1)

201 第二十讲 因式分解(2)

211 第二十一讲 配方法

219 第二十二讲 分式及其运算

227 第二十三讲 分式方程

237 第二十四讲 新定义问题

247 第二十五讲 数据与统计图表

270 参考答案

第一讲

有理数与数轴

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

2

知识梳理

1数轴的三要素

数轴的三要素指的是正方向原点单位长度且必须是一条直线

2正数与负数

(1)概念正数就是带有正号ldquo+rdquo的数(正号可以省略不写)是大于零的数而负数是带

有负号ldquo-rdquo的数(负数前的ldquo-rdquo号不能省略)是小于零的数(2)数轴上的表示正数就是位于原点右侧的点负数就是位于原点左侧的点因此0既

不是正数也不是负数(3)非负数与非正数非负数根据字面意思理解为不是负数的数因此应该为正数与0

同理非正数应该是负数与0

3有理数的分类

有理数

正有理数

0负有理数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

有理数

整数

正整数

0负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

注意(1)在初中数学学习中小数也是分数的一部分(2)0既不是正有理数也不是负有理数(3)正整数与0的集合形成自然数

第一讲 有理数与数轴

3

4数轴与有理数

(1)有理数与数轴的关系所有的有理数都可以表示在数轴上(2)从数轴看有理数的大小在同一数轴上右边的数大于左边的数若两数表示同一点

则两数相等

5数轴上的最值记忆点

最小的自然数为0最大的负整数为-1最小的正整数为1最大的非正数为0没有最大的负数与最小的正数

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

如果温度上升3记作+3那么下降5记作

温度的上升和下降是一对具有相反意义的量因此可以用正负数表示在生活中这些

常见的相反意义量还有零上与零下收入与支出增加与减少盈余与亏损等

-5(单位不可遗漏)

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

把数-74840-9-79-12-31223800

45-1

58

分别填在相应的位置内

正数 负数 整数 正整数 负分数 非负数

根据有理数的分类对大量数据进行分类是基本技能之一在这里需要注意的是所有

的小数都是分数的一部分和非负数的概念

正数4842380045

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

4

负数-7-9-79-12-312-1

58

整数-740-9-1223800正整数423800

负分数-79-312-1

58 非负数48423800

450

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

在数轴上表示-212

和123并根据数轴指出所有大于-2

12

而小于123

的整数

首先将数表示在数轴上题目要求我们找出大于-212

而小于123

的整数其在数轴

上即为在-212

和123

之间的整数点因此我们可以结合数轴来解决这个问题这种方法将

在之后解决更多问题中起到重要作用

如图1 1所示在-212

和123

之间的整数点有-2-101

1 2 3 4 5 65 4 3 2 1 0

12 2

3

图1 1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-2且AB 两点的距离是3则点B 对应的数

是

本题可以利用数轴来解决且有两种理解方式方法一首先将点A 表示在数轴上并

以此为圆心以3个单位长度为半径作圆圆与数轴的交点即为所求方法二AB 两点的距

离是3则有左距离和右距离之分利用数轴得出点B 所在位置

如图1 2所示B 点为-5或者1

0 1 2 3 4 5

A B2B112345

图1 2

第一讲 有理数与数轴

5

双基训练

1下列说法中不具有相反意义的一对量是( )A向东35千米和向南2千米 B上升5米和下降18米

C收入5000元和亏损1500元 D零上6和零下72关于0有下列说法①既不是正数也不是负数②是整数③不是最小的整数是最小

的有理数④不是自然数是有理数正确的个数是( )A1 B2 C3 D43在01-2-35这四个数中位于原点最左端的是( )A-35 B-2 C1 D04在同一数轴上表示数-0502-2+2其中表示02的点的左边的点有( )A1个 B2个 C3个 D4个

5如果+10表示ldquo增加10rdquo那么ldquo减少90rdquo可以记为 6飞机上升-30米实际上就是

7在数轴上点AB 分别表示12

和-12则数轴上与AB 两点的距离相等的点表示的数

是 8在数轴上与原点距离为3的点为 9比较两个有理数之间的大小

(1)-34 -076

(2)-310 -

311

10比5小的正整数有 比-5大的负整数有

11比-312

大而比213

小的所有整数的和为

12设a 是最小的自然数b 是最小的正整数c 是最大的负整数则abc 三数之和

为 13把下列各数填入相应的横线内

-2715560110-

1213-21+987+69+

47099

正整数 负整数 正分数 非负数 正数 自然数

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

6

14把下列数表示在数轴上并用ldquoltrdquo号连接

-22-4-05-134

15如图1 3所示有几滴墨水洒在数轴上根据图中标出的数值写出墨迹盖住的所有

整数

126 74 0 105 172

图1 3

16画出数轴仔细思考回答下列问题(1)有没有最小的正整数 如果有是什么 如果没有说明理由(2)有没有最大的负整数 如果有是什么 如果没有说明理由(3)不超过3的自然数有哪些

17小马虎在做题时画了一个数轴在数轴上原有一点A其表示的数是-3由于粗心把数轴的原点标错了位置使点A 正好落在-3的相反数的位置上想一想要把数轴画正确原点要向哪个方向移动几个单位长度

18某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园新华书店实验学校花园小区科技馆五个站点相邻两个站点之间的距离依次为35千米15千米2千米35千

米如果以实验学校为原点规定向东为正设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米请画

出数轴并将五个站点在数轴上表示出来

19点AB 在数轴上的位置如图1 4所示

4

BA

图1 4

(1)若点A 表示的数是-4则点B 表示的数是 (2)在上述条件下在原图中分别标出表示+3的点C表示-15的点D(3)在上述条件下BC 两点间的距离是 AC 两点间的距离是

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第一讲

有理数与数轴

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

2

知识梳理

1数轴的三要素

数轴的三要素指的是正方向原点单位长度且必须是一条直线

2正数与负数

(1)概念正数就是带有正号ldquo+rdquo的数(正号可以省略不写)是大于零的数而负数是带

有负号ldquo-rdquo的数(负数前的ldquo-rdquo号不能省略)是小于零的数(2)数轴上的表示正数就是位于原点右侧的点负数就是位于原点左侧的点因此0既

不是正数也不是负数(3)非负数与非正数非负数根据字面意思理解为不是负数的数因此应该为正数与0

同理非正数应该是负数与0

3有理数的分类

有理数

正有理数

0负有理数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

有理数

整数

正整数

0负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

注意(1)在初中数学学习中小数也是分数的一部分(2)0既不是正有理数也不是负有理数(3)正整数与0的集合形成自然数

第一讲 有理数与数轴

3

4数轴与有理数

(1)有理数与数轴的关系所有的有理数都可以表示在数轴上(2)从数轴看有理数的大小在同一数轴上右边的数大于左边的数若两数表示同一点

则两数相等

5数轴上的最值记忆点

最小的自然数为0最大的负整数为-1最小的正整数为1最大的非正数为0没有最大的负数与最小的正数

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

如果温度上升3记作+3那么下降5记作

温度的上升和下降是一对具有相反意义的量因此可以用正负数表示在生活中这些

常见的相反意义量还有零上与零下收入与支出增加与减少盈余与亏损等

-5(单位不可遗漏)

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

把数-74840-9-79-12-31223800

45-1

58

分别填在相应的位置内

正数 负数 整数 正整数 负分数 非负数

根据有理数的分类对大量数据进行分类是基本技能之一在这里需要注意的是所有

的小数都是分数的一部分和非负数的概念

正数4842380045

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

4

负数-7-9-79-12-312-1

58

整数-740-9-1223800正整数423800

负分数-79-312-1

58 非负数48423800

450

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

在数轴上表示-212

和123并根据数轴指出所有大于-2

12

而小于123

的整数

首先将数表示在数轴上题目要求我们找出大于-212

而小于123

的整数其在数轴

上即为在-212

和123

之间的整数点因此我们可以结合数轴来解决这个问题这种方法将

在之后解决更多问题中起到重要作用

如图1 1所示在-212

和123

之间的整数点有-2-101

1 2 3 4 5 65 4 3 2 1 0

12 2

3

图1 1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-2且AB 两点的距离是3则点B 对应的数

是

本题可以利用数轴来解决且有两种理解方式方法一首先将点A 表示在数轴上并

以此为圆心以3个单位长度为半径作圆圆与数轴的交点即为所求方法二AB 两点的距

离是3则有左距离和右距离之分利用数轴得出点B 所在位置

如图1 2所示B 点为-5或者1

0 1 2 3 4 5

A B2B112345

图1 2

第一讲 有理数与数轴

5

双基训练

1下列说法中不具有相反意义的一对量是( )A向东35千米和向南2千米 B上升5米和下降18米

C收入5000元和亏损1500元 D零上6和零下72关于0有下列说法①既不是正数也不是负数②是整数③不是最小的整数是最小

的有理数④不是自然数是有理数正确的个数是( )A1 B2 C3 D43在01-2-35这四个数中位于原点最左端的是( )A-35 B-2 C1 D04在同一数轴上表示数-0502-2+2其中表示02的点的左边的点有( )A1个 B2个 C3个 D4个

5如果+10表示ldquo增加10rdquo那么ldquo减少90rdquo可以记为 6飞机上升-30米实际上就是

7在数轴上点AB 分别表示12

和-12则数轴上与AB 两点的距离相等的点表示的数

是 8在数轴上与原点距离为3的点为 9比较两个有理数之间的大小

(1)-34 -076

(2)-310 -

311

10比5小的正整数有 比-5大的负整数有

11比-312

大而比213

小的所有整数的和为

12设a 是最小的自然数b 是最小的正整数c 是最大的负整数则abc 三数之和

为 13把下列各数填入相应的横线内

-2715560110-

1213-21+987+69+

47099

正整数 负整数 正分数 非负数 正数 自然数

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

6

14把下列数表示在数轴上并用ldquoltrdquo号连接

-22-4-05-134

15如图1 3所示有几滴墨水洒在数轴上根据图中标出的数值写出墨迹盖住的所有

整数

126 74 0 105 172

图1 3

16画出数轴仔细思考回答下列问题(1)有没有最小的正整数 如果有是什么 如果没有说明理由(2)有没有最大的负整数 如果有是什么 如果没有说明理由(3)不超过3的自然数有哪些

17小马虎在做题时画了一个数轴在数轴上原有一点A其表示的数是-3由于粗心把数轴的原点标错了位置使点A 正好落在-3的相反数的位置上想一想要把数轴画正确原点要向哪个方向移动几个单位长度

18某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园新华书店实验学校花园小区科技馆五个站点相邻两个站点之间的距离依次为35千米15千米2千米35千

米如果以实验学校为原点规定向东为正设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米请画

出数轴并将五个站点在数轴上表示出来

19点AB 在数轴上的位置如图1 4所示

4

BA

图1 4

(1)若点A 表示的数是-4则点B 表示的数是 (2)在上述条件下在原图中分别标出表示+3的点C表示-15的点D(3)在上述条件下BC 两点间的距离是 AC 两点间的距离是

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

2

知识梳理

1数轴的三要素

数轴的三要素指的是正方向原点单位长度且必须是一条直线

2正数与负数

(1)概念正数就是带有正号ldquo+rdquo的数(正号可以省略不写)是大于零的数而负数是带

有负号ldquo-rdquo的数(负数前的ldquo-rdquo号不能省略)是小于零的数(2)数轴上的表示正数就是位于原点右侧的点负数就是位于原点左侧的点因此0既

不是正数也不是负数(3)非负数与非正数非负数根据字面意思理解为不是负数的数因此应该为正数与0

同理非正数应该是负数与0

3有理数的分类

有理数

正有理数

0负有理数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

有理数

整数

正整数

0负整数

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

分数正分数

负分数

igrave

icirc

iacute

iumliumliumliuml

iumliumliuml

注意(1)在初中数学学习中小数也是分数的一部分(2)0既不是正有理数也不是负有理数(3)正整数与0的集合形成自然数

第一讲 有理数与数轴

3

4数轴与有理数

(1)有理数与数轴的关系所有的有理数都可以表示在数轴上(2)从数轴看有理数的大小在同一数轴上右边的数大于左边的数若两数表示同一点

则两数相等

5数轴上的最值记忆点

最小的自然数为0最大的负整数为-1最小的正整数为1最大的非正数为0没有最大的负数与最小的正数

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

如果温度上升3记作+3那么下降5记作

温度的上升和下降是一对具有相反意义的量因此可以用正负数表示在生活中这些

常见的相反意义量还有零上与零下收入与支出增加与减少盈余与亏损等

-5(单位不可遗漏)

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

把数-74840-9-79-12-31223800

45-1

58

分别填在相应的位置内

正数 负数 整数 正整数 负分数 非负数

根据有理数的分类对大量数据进行分类是基本技能之一在这里需要注意的是所有

的小数都是分数的一部分和非负数的概念

正数4842380045

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

4

负数-7-9-79-12-312-1

58

整数-740-9-1223800正整数423800

负分数-79-312-1

58 非负数48423800

450

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

在数轴上表示-212

和123并根据数轴指出所有大于-2

12

而小于123

的整数

首先将数表示在数轴上题目要求我们找出大于-212

而小于123

的整数其在数轴

上即为在-212

和123

之间的整数点因此我们可以结合数轴来解决这个问题这种方法将

在之后解决更多问题中起到重要作用

如图1 1所示在-212

和123

之间的整数点有-2-101

1 2 3 4 5 65 4 3 2 1 0

12 2

3

图1 1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-2且AB 两点的距离是3则点B 对应的数

是

本题可以利用数轴来解决且有两种理解方式方法一首先将点A 表示在数轴上并

以此为圆心以3个单位长度为半径作圆圆与数轴的交点即为所求方法二AB 两点的距

离是3则有左距离和右距离之分利用数轴得出点B 所在位置

如图1 2所示B 点为-5或者1

0 1 2 3 4 5

A B2B112345

图1 2

第一讲 有理数与数轴

5

双基训练

1下列说法中不具有相反意义的一对量是( )A向东35千米和向南2千米 B上升5米和下降18米

C收入5000元和亏损1500元 D零上6和零下72关于0有下列说法①既不是正数也不是负数②是整数③不是最小的整数是最小

的有理数④不是自然数是有理数正确的个数是( )A1 B2 C3 D43在01-2-35这四个数中位于原点最左端的是( )A-35 B-2 C1 D04在同一数轴上表示数-0502-2+2其中表示02的点的左边的点有( )A1个 B2个 C3个 D4个

5如果+10表示ldquo增加10rdquo那么ldquo减少90rdquo可以记为 6飞机上升-30米实际上就是

7在数轴上点AB 分别表示12

和-12则数轴上与AB 两点的距离相等的点表示的数

是 8在数轴上与原点距离为3的点为 9比较两个有理数之间的大小

(1)-34 -076

(2)-310 -

311

10比5小的正整数有 比-5大的负整数有

11比-312

大而比213

小的所有整数的和为

12设a 是最小的自然数b 是最小的正整数c 是最大的负整数则abc 三数之和

为 13把下列各数填入相应的横线内

-2715560110-

1213-21+987+69+

47099

正整数 负整数 正分数 非负数 正数 自然数

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

6

14把下列数表示在数轴上并用ldquoltrdquo号连接

-22-4-05-134

15如图1 3所示有几滴墨水洒在数轴上根据图中标出的数值写出墨迹盖住的所有

整数

126 74 0 105 172

图1 3

16画出数轴仔细思考回答下列问题(1)有没有最小的正整数 如果有是什么 如果没有说明理由(2)有没有最大的负整数 如果有是什么 如果没有说明理由(3)不超过3的自然数有哪些

17小马虎在做题时画了一个数轴在数轴上原有一点A其表示的数是-3由于粗心把数轴的原点标错了位置使点A 正好落在-3的相反数的位置上想一想要把数轴画正确原点要向哪个方向移动几个单位长度

18某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园新华书店实验学校花园小区科技馆五个站点相邻两个站点之间的距离依次为35千米15千米2千米35千

米如果以实验学校为原点规定向东为正设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米请画

出数轴并将五个站点在数轴上表示出来

19点AB 在数轴上的位置如图1 4所示

4

BA

图1 4

(1)若点A 表示的数是-4则点B 表示的数是 (2)在上述条件下在原图中分别标出表示+3的点C表示-15的点D(3)在上述条件下BC 两点间的距离是 AC 两点间的距离是

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第一讲 有理数与数轴

3

4数轴与有理数

(1)有理数与数轴的关系所有的有理数都可以表示在数轴上(2)从数轴看有理数的大小在同一数轴上右边的数大于左边的数若两数表示同一点

则两数相等

5数轴上的最值记忆点

最小的自然数为0最大的负整数为-1最小的正整数为1最大的非正数为0没有最大的负数与最小的正数

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

如果温度上升3记作+3那么下降5记作

温度的上升和下降是一对具有相反意义的量因此可以用正负数表示在生活中这些

常见的相反意义量还有零上与零下收入与支出增加与减少盈余与亏损等

-5(单位不可遗漏)

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

把数-74840-9-79-12-31223800

45-1

58

分别填在相应的位置内

正数 负数 整数 正整数 负分数 非负数

根据有理数的分类对大量数据进行分类是基本技能之一在这里需要注意的是所有

的小数都是分数的一部分和非负数的概念

正数4842380045

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

4

负数-7-9-79-12-312-1

58

整数-740-9-1223800正整数423800

负分数-79-312-1

58 非负数48423800

450

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

在数轴上表示-212

和123并根据数轴指出所有大于-2

12

而小于123

的整数

首先将数表示在数轴上题目要求我们找出大于-212

而小于123

的整数其在数轴

上即为在-212

和123

之间的整数点因此我们可以结合数轴来解决这个问题这种方法将

在之后解决更多问题中起到重要作用

如图1 1所示在-212

和123

之间的整数点有-2-101

1 2 3 4 5 65 4 3 2 1 0

12 2

3

图1 1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-2且AB 两点的距离是3则点B 对应的数

是

本题可以利用数轴来解决且有两种理解方式方法一首先将点A 表示在数轴上并

以此为圆心以3个单位长度为半径作圆圆与数轴的交点即为所求方法二AB 两点的距

离是3则有左距离和右距离之分利用数轴得出点B 所在位置

如图1 2所示B 点为-5或者1

0 1 2 3 4 5

A B2B112345

图1 2

第一讲 有理数与数轴

5

双基训练

1下列说法中不具有相反意义的一对量是( )A向东35千米和向南2千米 B上升5米和下降18米

C收入5000元和亏损1500元 D零上6和零下72关于0有下列说法①既不是正数也不是负数②是整数③不是最小的整数是最小

的有理数④不是自然数是有理数正确的个数是( )A1 B2 C3 D43在01-2-35这四个数中位于原点最左端的是( )A-35 B-2 C1 D04在同一数轴上表示数-0502-2+2其中表示02的点的左边的点有( )A1个 B2个 C3个 D4个

5如果+10表示ldquo增加10rdquo那么ldquo减少90rdquo可以记为 6飞机上升-30米实际上就是

7在数轴上点AB 分别表示12

和-12则数轴上与AB 两点的距离相等的点表示的数

是 8在数轴上与原点距离为3的点为 9比较两个有理数之间的大小

(1)-34 -076

(2)-310 -

311

10比5小的正整数有 比-5大的负整数有

11比-312

大而比213

小的所有整数的和为

12设a 是最小的自然数b 是最小的正整数c 是最大的负整数则abc 三数之和

为 13把下列各数填入相应的横线内

-2715560110-

1213-21+987+69+

47099

正整数 负整数 正分数 非负数 正数 自然数

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

6

14把下列数表示在数轴上并用ldquoltrdquo号连接

-22-4-05-134

15如图1 3所示有几滴墨水洒在数轴上根据图中标出的数值写出墨迹盖住的所有

整数

126 74 0 105 172

图1 3

16画出数轴仔细思考回答下列问题(1)有没有最小的正整数 如果有是什么 如果没有说明理由(2)有没有最大的负整数 如果有是什么 如果没有说明理由(3)不超过3的自然数有哪些

17小马虎在做题时画了一个数轴在数轴上原有一点A其表示的数是-3由于粗心把数轴的原点标错了位置使点A 正好落在-3的相反数的位置上想一想要把数轴画正确原点要向哪个方向移动几个单位长度

18某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园新华书店实验学校花园小区科技馆五个站点相邻两个站点之间的距离依次为35千米15千米2千米35千

米如果以实验学校为原点规定向东为正设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米请画

出数轴并将五个站点在数轴上表示出来

19点AB 在数轴上的位置如图1 4所示

4

BA

图1 4

(1)若点A 表示的数是-4则点B 表示的数是 (2)在上述条件下在原图中分别标出表示+3的点C表示-15的点D(3)在上述条件下BC 两点间的距离是 AC 两点间的距离是

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

4

负数-7-9-79-12-312-1

58

整数-740-9-1223800正整数423800

负分数-79-312-1

58 非负数48423800

450

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

在数轴上表示-212

和123并根据数轴指出所有大于-2

12

而小于123

的整数

首先将数表示在数轴上题目要求我们找出大于-212

而小于123

的整数其在数轴

上即为在-212

和123

之间的整数点因此我们可以结合数轴来解决这个问题这种方法将

在之后解决更多问题中起到重要作用

如图1 1所示在-212

和123

之间的整数点有-2-101

1 2 3 4 5 65 4 3 2 1 0

12 2

3

图1 1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-2且AB 两点的距离是3则点B 对应的数

是

本题可以利用数轴来解决且有两种理解方式方法一首先将点A 表示在数轴上并

以此为圆心以3个单位长度为半径作圆圆与数轴的交点即为所求方法二AB 两点的距

离是3则有左距离和右距离之分利用数轴得出点B 所在位置

如图1 2所示B 点为-5或者1

0 1 2 3 4 5

A B2B112345

图1 2

第一讲 有理数与数轴

5

双基训练

1下列说法中不具有相反意义的一对量是( )A向东35千米和向南2千米 B上升5米和下降18米

C收入5000元和亏损1500元 D零上6和零下72关于0有下列说法①既不是正数也不是负数②是整数③不是最小的整数是最小

的有理数④不是自然数是有理数正确的个数是( )A1 B2 C3 D43在01-2-35这四个数中位于原点最左端的是( )A-35 B-2 C1 D04在同一数轴上表示数-0502-2+2其中表示02的点的左边的点有( )A1个 B2个 C3个 D4个

5如果+10表示ldquo增加10rdquo那么ldquo减少90rdquo可以记为 6飞机上升-30米实际上就是

7在数轴上点AB 分别表示12

和-12则数轴上与AB 两点的距离相等的点表示的数

是 8在数轴上与原点距离为3的点为 9比较两个有理数之间的大小

(1)-34 -076

(2)-310 -

311

10比5小的正整数有 比-5大的负整数有

11比-312

大而比213

小的所有整数的和为

12设a 是最小的自然数b 是最小的正整数c 是最大的负整数则abc 三数之和

为 13把下列各数填入相应的横线内

-2715560110-

1213-21+987+69+

47099

正整数 负整数 正分数 非负数 正数 自然数

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

6

14把下列数表示在数轴上并用ldquoltrdquo号连接

-22-4-05-134

15如图1 3所示有几滴墨水洒在数轴上根据图中标出的数值写出墨迹盖住的所有

整数

126 74 0 105 172

图1 3

16画出数轴仔细思考回答下列问题(1)有没有最小的正整数 如果有是什么 如果没有说明理由(2)有没有最大的负整数 如果有是什么 如果没有说明理由(3)不超过3的自然数有哪些

17小马虎在做题时画了一个数轴在数轴上原有一点A其表示的数是-3由于粗心把数轴的原点标错了位置使点A 正好落在-3的相反数的位置上想一想要把数轴画正确原点要向哪个方向移动几个单位长度

18某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园新华书店实验学校花园小区科技馆五个站点相邻两个站点之间的距离依次为35千米15千米2千米35千

米如果以实验学校为原点规定向东为正设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米请画

出数轴并将五个站点在数轴上表示出来

19点AB 在数轴上的位置如图1 4所示

4

BA

图1 4

(1)若点A 表示的数是-4则点B 表示的数是 (2)在上述条件下在原图中分别标出表示+3的点C表示-15的点D(3)在上述条件下BC 两点间的距离是 AC 两点间的距离是

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第一讲 有理数与数轴

5

双基训练

1下列说法中不具有相反意义的一对量是( )A向东35千米和向南2千米 B上升5米和下降18米

C收入5000元和亏损1500元 D零上6和零下72关于0有下列说法①既不是正数也不是负数②是整数③不是最小的整数是最小

的有理数④不是自然数是有理数正确的个数是( )A1 B2 C3 D43在01-2-35这四个数中位于原点最左端的是( )A-35 B-2 C1 D04在同一数轴上表示数-0502-2+2其中表示02的点的左边的点有( )A1个 B2个 C3个 D4个

5如果+10表示ldquo增加10rdquo那么ldquo减少90rdquo可以记为 6飞机上升-30米实际上就是

7在数轴上点AB 分别表示12

和-12则数轴上与AB 两点的距离相等的点表示的数

是 8在数轴上与原点距离为3的点为 9比较两个有理数之间的大小

(1)-34 -076

(2)-310 -

311

10比5小的正整数有 比-5大的负整数有

11比-312

大而比213

小的所有整数的和为

12设a 是最小的自然数b 是最小的正整数c 是最大的负整数则abc 三数之和

为 13把下列各数填入相应的横线内

-2715560110-

1213-21+987+69+

47099

正整数 负整数 正分数 非负数 正数 自然数

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

6

14把下列数表示在数轴上并用ldquoltrdquo号连接

-22-4-05-134

15如图1 3所示有几滴墨水洒在数轴上根据图中标出的数值写出墨迹盖住的所有

整数

126 74 0 105 172

图1 3

16画出数轴仔细思考回答下列问题(1)有没有最小的正整数 如果有是什么 如果没有说明理由(2)有没有最大的负整数 如果有是什么 如果没有说明理由(3)不超过3的自然数有哪些

17小马虎在做题时画了一个数轴在数轴上原有一点A其表示的数是-3由于粗心把数轴的原点标错了位置使点A 正好落在-3的相反数的位置上想一想要把数轴画正确原点要向哪个方向移动几个单位长度

18某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园新华书店实验学校花园小区科技馆五个站点相邻两个站点之间的距离依次为35千米15千米2千米35千

米如果以实验学校为原点规定向东为正设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米请画

出数轴并将五个站点在数轴上表示出来

19点AB 在数轴上的位置如图1 4所示

4

BA

图1 4

(1)若点A 表示的数是-4则点B 表示的数是 (2)在上述条件下在原图中分别标出表示+3的点C表示-15的点D(3)在上述条件下BC 两点间的距离是 AC 两点间的距离是

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

6

14把下列数表示在数轴上并用ldquoltrdquo号连接

-22-4-05-134

15如图1 3所示有几滴墨水洒在数轴上根据图中标出的数值写出墨迹盖住的所有

整数

126 74 0 105 172

图1 3

16画出数轴仔细思考回答下列问题(1)有没有最小的正整数 如果有是什么 如果没有说明理由(2)有没有最大的负整数 如果有是什么 如果没有说明理由(3)不超过3的自然数有哪些

17小马虎在做题时画了一个数轴在数轴上原有一点A其表示的数是-3由于粗心把数轴的原点标错了位置使点A 正好落在-3的相反数的位置上想一想要把数轴画正确原点要向哪个方向移动几个单位长度

18某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园新华书店实验学校花园小区科技馆五个站点相邻两个站点之间的距离依次为35千米15千米2千米35千

米如果以实验学校为原点规定向东为正设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米请画

出数轴并将五个站点在数轴上表示出来

19点AB 在数轴上的位置如图1 4所示

4

BA

图1 4

(1)若点A 表示的数是-4则点B 表示的数是 (2)在上述条件下在原图中分别标出表示+3的点C表示-15的点D(3)在上述条件下BC 两点间的距离是 AC 两点间的距离是

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第一讲 有理数与数轴

7

20如图1 5所示按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长且在圆周的三等分点处分别标上了数字012)上先让原点与圆周上数字0所对应的点重合再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上使数轴上1234hellip所对应的点分别与圆周上12

01hellip所对应的点重合这样正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系

1 2 30

4 531

2

23

3

4

4

1 2 3

120

120 12

0 12012

0

图1 5

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应则a= (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后并落在圆周上数字1所对

应的位置这个整数是 (用含n 的代数式表达)

能力提升

21在数轴上表示a01b 四个数的点如图1 6所示如果点O 为AB 的中点那么

a+b + ab + a+1 =

A BO

ba 10

图1 6

1

2

3

0012

图1 7

22如图1 7所示圆的周长为4个单位长数轴每个数字之间的距离为1个单位在圆

的4等分点处分别标上0123先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合)则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字 的点重合

23在数轴上任取一条长度为199919

的线段则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数

点的个数是 24如图1 8所示数轴上MNP 三点对应的数都是整数且点M 为线段NP 的中点

若点M 对应的整数是a点N 对应的整数是b且b=2a则数轴上的原点是点

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

8

N M P

图1 8

25数轴上有AB 两点若点A 对应的数是-3且AB 两点的距离是3则点B 对应的

数是 26一个点从数轴上表示-2的点开始向右移动4个单位长度再向左移动5个单位长

度这时这个点表示的数为

27在数轴上点AB 分别表示-13

和15则线段AB 的中点所表示的数是

28点AB 分别是数-3-12

在数轴上对应的点使线段AB 沿数轴向右移动成为线

段AB且线段AB的中点对应的数是3则点A对应的数是 点A 移动的距离

是 29已知数轴上有AB 两点AB 之间的距离为1点A 与原点O 的距离为3求所有满

足条件的点B 与原点O 的距离的和

30一条直线流水线上依次有5个机器人它们所处的位置在数轴上依次用点A1A2

A3A4A5表示如图1 9所示

12345 10 2 3 4 5

A2 A3 A4 A5A1

图1 9

(1)怎样将点A3移动使它先到达点A2 处再到达点A5处请用文字语言说明(2)若原点是零件供应点那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少(3)将零件的供应点设在何处才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短

拓展资源

31等边ABC 在数轴上的位置如图1 10所示点AC 对应的数分别是0和-1若三

角形绕着顶点A并按顺时针方向在数轴上连续翻转翻转一次后点B 所对应的数是1则翻

转2014次后点B 所对应的数是多少

12 10 2 3 4 5AC

B

图1 10

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第一讲 有理数与数轴

9

32一条马路同侧自西向东依次坐落着书店学校小红家和小明家书店与学校相距100米学校与小红家相距400米小红家与小明家相距100米

(1)若以学校为原点以向东方向为正方向用一个单位长度来表示100米请你在数轴

上分别表示出书店学校小红家小明家的位置(2)小红小明的步行速度都是80米分他们俩在同一所学校读书中午1130放学下

午130上课小红小明中午吃饭都要用30分钟中午吃完饭后小红要先去找小明然后沿这

条马路一起去书店买完书再到学校上课如果已知买书时间为7分钟小红在小明家停留了

2分钟请你帮小红设计一下什么时间出发下午上课才能不迟到

33小惠和小红在学校操场的旗杆前玩ldquo石头剪刀布rdquo的游戏规则如下在每一个回合

中若某一方赢了对方便可向右走2米而输的一方则向右走-3米平局的话就原地不动最先向右走18米的便是胜方假设游戏开始时两人均在旗杆处

(1)若小惠在前四个回合中都输了则她会站在什么位置(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次则她会站在什么位置(3)假设经过五个回合后小红仍然站在旗杆处且没有猜平局(即五个回合中没有出现

平局的情况)问小惠此时会站在什么位置

34如图1 11所示数轴上有ABC 三个点它们可以沿着数轴左右移动请回答(1)将点B 向左移动三个单位长度后三个点所表示的数中最小的数是多少(2)怎样移动ABC 中的一个点才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点

请写出所有的移动方法(3)若ABC 三个点移动后得到三个互不相等的有理数既可以表示为1aa+b的形

式又可以表示为0bba

的形式试求ab的值

1234 10 2 3 4

A B C

图1 11

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

10

35(1)如图1 12所示有一根木棒在数轴上沿水平方向移动则当点A 移动到点B时点B 所对应的数为20当点B 移动到点A 时点A 所对应的数为5(单位厘米)由此可

得这根木棒的长度为多少

A B

(A) (A)(B) (B)

0 5 20图1 12

(2)一天小红去问邻居爷爷的年龄爷爷说ldquo我若是你现在这么大你还要37年后才出

生呢你若是我现在这么大我已经是老寿星了131岁了哈哈rdquo小红纳闷了邻居爷爷到底

是多少岁呢 现在你能借助于ldquo数轴rdquo这个工具解决这个问题吗

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第二讲

相反数与绝对值

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

12

知识梳理

1相反数的概念

(1)代数意义如果两个数只是符号不同那么我们称其中一个数是另外一个数的相反

数也称这两个数互为相反数(2)几何意义从数轴上看位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作

互为相反数(3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0)

2求相反数

一般地在一个数的前面加上ldquo-rdquo号就表示这个数的相反数如a 的相反数为-a

3绝对值的概念

(1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(2)表示一个数a 的绝对值可以表示为|a|

引申绝对值表示的是一个数a 到原点的距离记为|a|也可看作|a-0|若要表示

一个数a 到任一点b的距离可记为|a-b|

4绝对值的性质

(1)一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0用数

学式表达如下所示

|a|=aagt00a=0-aalt0

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

因此绝对值是它本身的数是正数和0即非负数(2)互为相反数的两数它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解)(3)绝对值的非负性由于距离总是正数或者0因此绝对值不可能是负数即|a|ge0

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第二讲 相反数与绝对值

13

引申若几个数的绝对值之和为0则它们各自为0即若|a|+|b|+|c|+hellip+|z|=0则

a=b=c=hellip=z=0

(4)绝对值的其他性质①|ab|=|a|middot|b|②|a2|=|a|2=a2③ ab =

ab(bne0)

典型例题

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例1

1051275

1051275

已知2n+3与-5是相反数则n= -5的相反数有且仅有5因此题目就是解决2n+3=5这个方程

n=1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例2

1051275

1051275

已知|x-5|+|y+1|=0求xy 的值 此题主要考查对绝对值非负性的运用因为任何数的绝对值都是非负数即|a|ge0因

此|x-5|ge0|y+1|ge0要使得这两个非负数之和为0则绝对值内的数必须为0即x-5=0y+1=0由此可求出xy 的值 因为|x-5|ge0|y+1|ge0且|x-5|+|y+1|=0

所以|x-5|=0|y+1|=0即x-5=0y+1=0所以x=5y=-1

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例3

1051275

1051275

数轴上点A 表示的数是-2点B 到点A 的距离是5个单位长度则点B 所表示的有理

数是什么

方法一上节中我们已经尝试使用数轴来解决该类问题如图2 1所示

0 1 2 31234567A B2B1

图2 1

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

14

在数轴上我们能够十分直观地得到点B 所对应的数方法二使用绝对值来解决该问题我们知道点B 到点A 的距离是5个单位长度且点A 表示的数是-2因此我们可以写

作|B-(-2)|=5其中B 表示点B 对应的数-2表示点A 对应的数5表示它们之间的距

离接下来就是求解绝对值方程|B-(-2)|=5我们知道plusmn5的绝对值均为5因此B-(-2)=5或B-(-2)=-5 点B 为3或-7

10512751051275 105127510512751051275

105127510512751051275例4

1051275

1051275

出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的如果规定向东为正向西为负他这天的行驶记录(单位千米)如下

+15-5+9-1+10-4-2-8+15+6如果出租车耗油量为015升千米则这天小李的出租车共耗油多少升

要计算耗油量必须知道出租车行驶的总路程这个路程可以通过绝对值求出出租车

行驶的总路程为|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)把这个总路程和每千米的耗油量相

乘即得结果

|+15|+|-5|+|+9|+|-1|+|+10|+|-4|+|-2|+|-8|+|+15|+|+6|

=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米)

75times15=1125(升)答这天小李的出租车共耗油1125升

双基训练

1如果a 与-3互为相反数那么a 是( )

A-3 B-13 C

13 D3

2下列结论正确的有( )① 任何数都不等于它的相反数

② 符号相反的数互为相反数

③ 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等

④ 若有理数ab互为相反数那么a+b=0

⑤ 若有理数ab互为相反数则它们一定异号A2个 B3个 C4个 D5个

3绝对值不大于11的整数有( )A11个 B12个 C22个 D23个

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第二讲 相反数与绝对值

15

4-5的绝对值是( )

A5 B-5 C15 D-

15

5一个数的绝对值等于3这个数是( )

A3 B-3 Cplusmn3 D13

6下列说法中正确的个数是( )① 若一个数的绝对值是它本身则这个数必定是0

② 绝对值最小的数是0

③ 若m=n则|m|=|n|

④ 若m=-n则|m|=|n|

⑤ 若|m|=|n|则m=n

⑥ 若|m|=|n|则m=-nA2个 B3个 C4个 D5个

7质检员抽查某种零件的质量超过规定长度的部分记为正数小于规定长度的部分记

为负数检查结果如下第一个为013毫米第二个为-012毫米第三个为015毫米第四

个为-011毫米则质量最好的零件是( )A第一个 B第二个 C第三个 D第四个

8若m 是有理数则 m -m 一定是( )A零 B非负数 C正数 D负数

9―(―2)= 与―[―(―8)]互为相反数10如果a 的相反数是最大的负整数b的相反数是最小的正整数则a+b= 11一个数的相反数大于它本身那么这个数是 一个数的相反数等于它本

身这个数是 一个数的相反数小于它本身这个数是 12数轴上点A 表示-3BC 两点表示的数互为相反数且点B 到点A 的距离是2则

点C 表示的数应该是

1

3 2 3 A

B

图2 2

13如图2 2所示是一个正方形纸盒的展开图其中的四个正方形内标

有数字123和-3要在其余的正方形内分别填上―1―2使得按图中虚

线折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则A 处应填 14(1)已知ab 为有理数且agt0blt0alt|b|将四个数ab

-a-b按由小到大的顺序排列是 (2)已知alt0bgt0a+blt0试把-aab-b 四个有理数按从小到大的顺序排列

是 15化简(1)|314-π|= (2)|3-π|+|4-π|= 16数a 在数轴上的位置如图2 3所示且|a+1|=2则|3a+15|=

a 10图2 3

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

16

17已知|a|=-a化简|a-1|-|a-2|为 18计算(1) -2 + -19 (2) +6 - -3

(3)0 divide -34 (4) -4 times +5

19阅读下面材料点AB 在数轴上分别表示实数abAB 两点之间的距离表示为

|AB|当AB 两点中有一点为原点时不妨设点A 为原点如图2 4(a)所示|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

Bb

Aa

O0

(b)

O0

Aa

Bb

(c)

Aa

O0

Bb

(d)

Bb

O(A)0

(a)图2 4

当AB 两点都不在原点时如图2 4(b)所示点AB 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(c)所示点AB 都在原点的左边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a

=|a-b|如图2 4(d)所示点 AB 在原点的两边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=

-b-(-a)=|a-b|综上数轴上AB 两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示-2和-5的两点之间

的距离是 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 如果|AB|=2那么x

为

20根据|x|ge0这条性质解答下列各题(1)当x 取何值时|x-2|有最小值 这个最小值是多少(2)当x 取何值时3-|x-2|有最大值 这个最大值是多少

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第二讲 相反数与绝对值

17

能力提升

21有理数ab在数轴上的位置如图2 5所示若a 的绝对值是b的绝对值的3倍则数

轴的原点可以是

CA

a

B

b

D图2 5

22有理数abc在数轴上的位置如图2 6所示式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|的

化简结果为

c a b0 1图2 6

23设m=x+|x-1|则m 的最小值为( )A0 B1 C-1 D224若xlt-2则y=|1-|1+x||等于( )A2+x B-2-x Cx D-x25如图2 7所示点MNPR 分别是数轴上四个整数所对应的点其中有一点是原

点并且MN=NP=PR=1数a 对应的点在点M 与点N 之间数b对应的点在点P 与点R之间若|a|+|b|=3则原点是( )

M N P R xba

图2 7

AM 或R BN 或P CM 或N DP 或R

26若x 与y 互为相反数求3x+6+3y+5xy

的值

27当x 取何值时|x-4|+|x-5|有最小值 这个最小值是多少

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

18

28已知|ab-2|+|a-2|=0求2a

a(b+1)+a(b+1)

a

29小红和小明在研究绝对值的问题时遇到了下面的问题ldquo当式子|x+1|+|x-2|取最小值时相应的x 的取值范围是 最小值是

rdquo小红说ldquo如果去掉绝对值问题就变得简单了rdquo小明说ldquo利用数轴可以解决这个问题rdquo他们把数轴分为三段xlt-1-1lexle2和xgt2经研究发现当-1lexle2时值最小

为3请你根据他们的解题解决下面的问题(1)当式子|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|取最小值时相应的x 的取值范围是

最小值是 (2)已知y=|2x+8|-4|x+2|求相应的x 的取值范围及y 的最大值写出解答过程

30推理题

(1)5的相反数是-5-5的相反数是5那么-x 的相反数是 m+12n

的相反

数是

(2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4有这样的关系4=12(2+6)那么

到点100和到点999距离相等的点表示的数是 到点m 和点-n 距离相等的点表示

的数是 (3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位有这样的关系5=9-4那么点10和点

-3之间的距离是 点m 和点n 之间的距离是

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第二讲 相反数与绝对值

19

拓展资源

31阅读下列材料并解决有关问题我们可以用下面的结论来化简含有绝对值的代数式如化简代数式|x+1|+|x-2|时

可令x+1=0和x-2=0分别求得x=-1x=2(称-12分别为|x+1|与|x-2|的零点

值)在实数范围内零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况(1)xlt-1(2)-1lexlt2(3)xge2从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种

情况(1)当xlt-1时原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1lexlt2时原式=x+1-(x-2)=3(3)当xge2时原式=x+1+x-2=2x-1

综上所述原式=-2x+1xlt-13-1lexlt22x-1xge2

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

通过以上阅读请你解决以下问题(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值(2)化简代数式|x+2|+|x-4|

32已知x=aa +

bb +

cc +

abcabc

求x 所有可能的值

33化简 12004-

12003 +

12003-

12002 +

12002-

12001 -

12001-

12004 =

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

数学尖子生高分题库从课本双基练到奥数培优︵七年级︶

20

34已知|ab-2|与|a-1|互为相反数试求下式的值1ab+

1a+1( ) b+1( )

+1

a+2( ) b+2( )+hellip+

1a+2007( ) b+2007( )

35已知在数轴上点A 对应的数为a点B 对应的数为b且|a+4|+(b-1)2=0AB两点之间的距离记作|AB|定义|AB|=|a-b|

(1)求线段AB 的长|AB|(2)设点P 在数轴上对应的数为x当|PA|-|PB|=2时求x 的值(3)若点P 在点A 的左侧点MN 分别是PAPB 的中点当点P 在点A 的左侧移动

时有下列两个结论①|PM|+|PN|的值不变②|PN|-|PM|的值不变其中只有一个

结论正确请判断出正确结论并求其值

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

第三讲

有理数的运算

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13

• 第一讲
• 第二讲
• 第三讲
• 第四讲
• 第五讲
• 第六讲
• 第七讲
• 第八讲
• 第九讲
• 第十讲
• 第十一讲
• 第十二讲
• 第十三讲
• 第十四讲
• 第十五讲
• 第十六讲
• 第十七讲
• 第十八讲
• 第十九讲
• 第二十讲
• 第二十一讲
• 第二十二讲
• 第二十三讲
• 第二十四讲
• 第二十五讲
• 答案13