第 1讲┃ 实数的有关概念

第 1讲┃ 考点聚焦

考点聚焦

实数

分数

有限小数或无限循环小数

无理数

正无理数

负无理数无限不循环小数

1 ．按定义分类：

考点 1 实数的概念及分类

有理数

整数正整数

零负整数

正分数负分数

2 ．按正负分类：

实数

正实数

正有理数

正无理数

负实数负有理数

负无理数

零

正整数正分数

负整数负分数

第 1讲┃ 考点聚焦

[注意](1)任何分数都是有理数，如227，－

311等；

(2)0既不是正数，也不是负数，但 0是自然数．

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考点 2 实数的有关概念

名称 定义 性质

数轴规定了

_______、 _______、________的直线

数轴上的点与实数一一对应

相反数 只有 ______不同的两个数互为相反数

若 a 、 b 互为相反数，则有 a ＋ b ＝ 0 ， |a| ＝ |b|.0的相反数

是 0

倒数 ________为 1 的两个数互为倒数

0 没有倒数，倒数等于本身的数是 1 或－

1

原点正方向 单位长度

符号

乘积

第 1讲┃ 考点聚焦

名称 定义 性质

绝对值 数轴上表示数 a 的点与原点的________，记作 |a|

科学记数法

把一个数写成 ________的形式． ( 其中 1≤|a|<10.n 为整数 ) ，这种记数法叫科学记数法

设这个数为m ，①当 |m|≥10时， n 等于原数的整数位数减 1 ；②当 |m|≤1时， |n| 等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数

近似数

一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位．对于带计数单位的近似数，由近似数的位数和后面的单位共同确定．如 3.618万，数字 8 实际上是十位上的数字，即精确到十位

距离

a×10n

|a|＝a（a>0）0（a＝0）－a（a<0）

非负数的概念 正数和零叫做非负数

常见的非负数

/a/， a2 √， a(a≥0， a 可代表一个数或一个式 )

非负数的性质

若几个非负数的和等于零，则这几个数都为0

考点 3 非负数

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第 1讲┃ 归类示例

归类示例

► 　类型之一　实数的概念及分类命题角度：1 ．有理数与无理数的概念；2 ．实数的分类．

[2012·六盘水] 数字 2，13，π ，

38，cos45° ，0.3

·

2·

中是无理数的

有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

C

[ 解析 ] ＝ 2 是有理数， cos45° ＝是无理数．故无理数有 ， π，cos45° 共三个．

例 1

38

38

第 1讲┃ 归类示例

对无理数的判定，不能只被表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如 是有理数，用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、 tan45° 也不是无理数，一个数是不是无理数关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数．

例 2 填空题：(1) 相反数等于它本身的数是 _________ ；(2) 倒数等于它本身的数是 _____________ ；(3) 平方等于它本身的数是 _____________ ；(4) 平方根等于它本身的数是 ______________ ；(5) 绝对值等于它本身的数是 __________________ ．

► 　类型之二　实数的有关概念

命题角度：1 ．数轴、相反数、倒数等概念；2 ．绝对值的概念及计算．

0

0或 1

非负数0

±1

第 1讲┃ 归类示例

(1)求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出．

(2)一个负数的绝对值等于它的相反数．反过来，一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数．

(3)解绝对值和数轴的有关问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．

第 1讲┃ 归类示例

► 类型之三 科学记数法

例 3 [2012· 南京 ] PM2.5是指大气中直径小于或等于 0.0000025 m的颗粒物．将 0.0000025用科学记数法表示为 ( )

A． 0.25×10 － 3 B． 0.25×10 － 4

C． 2.5×10 － 5 D． 2.5×10 － 6

第 1讲┃ 归类示例

D

命题角度：用科学记数法表示数．

第 1讲┃ 归类示例

[ 解析 ] 0.0000025 是小于 1 的数，这类数用科学记数法表示的方法是写成 a×10－ n(1≤|a|＜10， n ＞ 0 ) 的形式，关键是确定－ n. 确定了 n的值，－ n 的值就确定了，确定方法是：大于 1 的数，n 的值等于整数部分的位数减 1 ；小于 1 的数， n 的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数 ( 含整数位数上的零 ) ．

科学记数法的表示方法：(1) 当原数的绝对值大于或等于 10 时， n 等于原数的整

数位数减 1.(2) 当原数的绝对值小于 1 时， n 是负整数，它的绝对值

等于原数中左起第一位非零数字前所有零的个数 ( 含小数点前的 0) ．

(3) 有数字单位的科学记数法，先把数字单位转化为数字表示，再用科学记数法表示

第 1讲┃ 归类示例

► 类型之四 创新应用

例 4 [2012· 恩施 ] 观察数表：

根据表中数的排列规律，则 B ＋ D ＝ ______

23

命题角度：1 ．探究数字规律；2 ．探究图形与数字的变化关系．

第 1讲┃ 归类示例

[ 解析 ] 仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字，从左至右相加等于最后一个数字，

∴ 1 ＋ 4 ＋ 3 ＝ B ， 1 ＋ 7 ＋ D ＋ 10＋ 1 ＝ 34 ，∴ B ＝ 8 ， D ＝ 15 ，∴ B ＋ D ＝ 8 ＋ 15＝

23.

第 1讲┃ 归类示例

此类实数规律性的问题的特点是给定一列数或等式或图形，要求适当地进行计算，必要的观察，猜想，归纳，验证，利用从特殊到一般的数学思想，分析特点，探索规律，总结结论．

第 1讲┃ 归类示例

第 1讲┃ 回归教材

如何在数轴上找表示无理数的点教材母题　江苏科技版八上 P58 练习 T3

√在数轴上画出表示为 10的点．

回归教材

[ 解析 ] 根据勾股定理，两条直角边长分别为 1 和 3 的直角三角形，斜边长为√ 10.解：如图 1 － 1 所示，点 A 表示的数就是√ 10. 图 1－ 1

[ 点析 ] 许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．一般地，可以用无限不循环小数的近似值来表示这个点的位置．

第 1讲┃ 回归教材

第 1讲┃ 回归教材

[2011· 贵阳 ] 如图 1 － 3 ，矩形 OABC 的边 OA 长为 2 ，边 AB 长为 1 ，OA 在数轴上，以原点 O 为圆心，对角线 OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ( )

图 1 － 3

A ． 2.5 B ． 2√2 C.√3 D.√5

D

[解析] 由勾股定理得 OB＝ OA2＋AB2＝ 22＋12＝ 5.

中考变式