CONTROL ESTADISTICO DE PROCESOSUTN_FRM Unidad 3 Mgter. Ing. Julio OrtigalaCartas de control para atributos

Muchas características de calidad no pueden representarse convenientemente con valores numéricos. En tales casos cada artículo inspeccionado por lo general se clasifica como conforme o disconforme respecto de las especificaciones para esas características de calidad. A las características de calidad de este tipo se les llama atributos.

También dentro de estas cartas de control, se hallan aquellas que monitorean la cantidad de defectos que se encuentran en una muestra de n elementos.

La carta de control para la fracción disconforme

La fracción disconforme se define como el cociente entre el número de artículos disconformes de la población y el número total de artículos que componen dicha

población.

Los artículos pueden tener varias características de calidad que son examinadas al mismo tiempo por un inspector. Si el artículo no se ajusta al estándar en una o más de esas características, se clasifica como disconforme.

Aún cuando se acostumbra trabajar con la fracción disconforme, con la misma facilidad podría analizarse la fracción conforme, de donde resultaría una carta de control del rendimiento del proceso.

Los principios estadísticos fundamentales de la carta de control para la fracción disconforme tienen su base en la distribución binomial. Suponemos que el proceso de producción está operando de forma estable, que la probabilidad de que cualquier unidad deje de cumplir con las especificaciones es p y que las unidades sucesivas producidas son independientes. Entonces cada unidad producida es una realización de una variable aleatoria Bernoulli con parámetro p. Si se selecciona una muestra aleatoria de n unidades del producto, y D es el número de unidades del producto que son disconformes, entonces D tiene una distribución binomial con parámetros n y pEs decir:

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Donde x va de 0 a n

La fracción disconforme muestral se define como el cociente entre el número de unidades disconformes en la muestra, D y el tamaño de la muestra n; es decir

Se sabe que tiene distribución de probabilidad binomial, con media y varianza

Desarrollo de la carta de control p

La carta p sigue los principios estadísticos de las cartas de control de Shewhart, es decir son cartas tres sigmas. Si w es un estadístico que mide una característica de calidad y si la media de w es y la varianza es , el modelo general es:

Cuando no se conoce la verdadera fracción disconforme p del proceso, deberá estimarse a partir de los datos observados. El procedimiento es seleccionar m muestras preliminares, cada una de tamaño n. Entonces si hay unidades disconformes en la muestra i, la fracción disconforme de la i-ésima muestra se calcula como

El promedio de estas fracciones disconformes muestrales es:

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Diseño de la carta de control p

La carta de control p tiene tres parámetros que deben especificarse: el tamaño de la muestra, la frecuencia del muestreo y el ancho de los límites de control

Duncan ha propuesto que el tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande como para tener una probabilidad del 50 % de detectar un corrimiento en la fracción defectuosa hacia algún valor importante. Por ejemplo, suponer que =0,01 y se quiere que la probabilidad de detectar un cambio a =0,05 sea de 0,5.

Suponiendo que es válida la aproximación de la distribución binomial por la normal, deberá elegirse n de tal manera que el límite superior de control coincida exactamente con la fracción disconforme en el estado fuera de control.

Por lo tanto,

Otro criterio es elegir n lo suficientemente grande para que la carta de control tenga un límite de control inferior positivo.

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Ejemplo: las botellas de plástico para un detergente líquido se fabrican por moldeo de impacto. Se toman 20 muestras, cada una con n=100 botellas, son inspeccionadas en el orden en que se producen y se notifica la cantidad de botellas defectuosas de cada muestra. Los datos aparecen a continuación. Construya una carta p para controlar el proceso, e indique si se halla dentro de control estadístico.

Muestra unidades defectuosas (Di) fracción defectuosa (pi)1 12 0,122 15 0,153 18 0,184 10 0,15 12 0,126 11 0,117 5 0,058 9 0,099 13 0,1310 13 0,1311 10 0,112 7 0, 0713 12 0,1214 8 0,0815 9 0,0916 15 0,1517 10 0,118 6 0,0619 12 0,1220 13 0,13

Total 220 2,2

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Grafico p de la fracción defectuosa de las botellas de plástico.

La carta de control np

La carta de control también puede basarse en el número de unidades disconformes en vez de usar la fracción disconforme. Los parámetros de esta carta son:

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Tamaño de la muestra variable

En algunas aplicaciones de la carta de control para la fracción disconforme, la muestra es una inspección al 100% de la salida del proceso en cierto periodo de tiempo. Puesto que en cada periodo de tiempo podrían producirse diferente número de unidades, la carta de control tendría un tamaño de la muestra variable.

Existen dos enfoques para abordar este problema: el primero es trabajar con límites individuales para cada muestra según el tamaño de la misma.

Mues. unidades defec.(Di) Tam.de la mues.(ni) Fracción def.(pi) 1 12 100 0,12 2 15 90 0,17 3 18 80 0,22 4 10 95 0,10 5 12 90 0,13 6 11 100 0,11 7 5 90 0,05 8 9 80 0,11 9 13 100 0,13 10 13 80 0,16 11 10 90 0,09 12 7 100 0,07 13 12 90 0,13 14 8 85 0,09 15 9 95 0,09 16 15 90 0,17 17 10 100 0,1 18 6 100 0,06 19 12 80 0,15 20 13 85 0,15

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El segundo enfoque consiste en trabaja con una variable estandarizada, donde los puntos se grafican en unidades de desviación estándar. Esta carta de control tiene la línea central en cero y los límites superior e inferior son +3 y -3 respectivamente. La variable graficada en la carta es:

Tarea extraclase: construir un gráfico estandarizado para el caso de las botellas de plástico.

La función característica de operación y el cálculo de la longitud promedio de la corrida

La función característica de operación de la carta de control para la fracción disconforme es una representación gráfica de la probabilidad de aceptar incorrectamente la hipótesis de que el proceso se halla funcionando bajo control estadístico (error tipo II), contra la fracción disconforme del proceso. La probabilidad de cometer un error tipo II se puede calcular de la siguiente manera:

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Si hacemos

Puesto que D es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, la probabilidad de cometer el error tipo II

puede calcularse a partir de la

distribución binomial acumulada.

Suponiendo que n=50, =0,2 ; LIC=0,0303 y LSC= 0,3697

Como D tiene que ser entero

Tabla 3.1: cálculo de para distintos p

p 0,01 1 0,91 0,09 0,1 1 0,55 0,45 0,2 0,9975 0,0002 0,9973 0,3 0,8594 0 0,8594 0,4 0,34 0 0,34 0,5 0,005 0 0,005

8

Curva CO

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Fracción defectuosa

Err

or

tip

o I

I

Serie1

También pueden calcularse las longitudes promedio de corridas (las ARL) de la carta de control para la fracción disconforme

Si el proceso está bajo control

Si el proceso está fuera de control

Ejemplo: considérese los datos con los cuales se calculó la curva característica de operación. Por la tabla 3.1 se encuentra que si el proceso se halla dentro de control, es decir si = 0,2, entonces la probabilidad de que un punto caiga dentro de los limites es 0,9973. Por lo tanto la probabilidad de que un punto caiga fuera de los límites es su complementario, es decir 1-0,9973= 0,0027

Por lo tanto si el proceso se halla dentro de control, un punto cada 370 graficados caerá fuera de los límites de control. Es decir que tendremos, en promedio, una falsa alarma cada 370 muestras.

Supongamos ahora que la verdadera fracción defectuosa del proceso es 0,3. De la tabla3.1 vemos que error tipo II que se comete en este caso es de 0,8594. Por lo tanto la ARL fuera de control es:

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Por lo que se necesitan 7 muestras en promedio, para detectar el cambio con un punto que caiga fuera de los límites de control. Si esta situación no conforma a la dirección, deberá aumentarse el tamaño de la muestra a fin de reducir el error tipo II y detectar antes el corrimiento.

Cartas de control para la cantidad de defectos

Un artículo disconforme contiene al menos un defecto en su estructura. Sin embargo, dependiendo de la naturaleza y gravedad, es muy posible que una unidad contenga varios defectos y no se clasifique como disconforme. Hay muchas situaciones prácticas donde es preferible trabajar directamente con el número de defectos en vez de usar la fracción defectuosa. Estas situaciones incluyen el número de soldaduras defectuosas en 100 m de oleoducto, el número de defectos de pintura en las puertas de un automóvil o sobre la superficie de un electrodoméstico, número de remaches rotos en el ala de un avión, el número de defectos funcionales en un dispositivo lógico electrónico.

Para resolver estas situaciones se construyen cartas de control para el número total de disconformidades en una muestra. En estas cartas de control se considera que el modelo Poisson es apropiado para modelar la ocurrencia de defectos en muestras de tamaño constante o variable.

Procedimientos con tamaño de la muestra constante

Consideremos la ocurrencia de defectos en una muestra.

En estas situaciones se construye una carta de control basada en la cantidad de defectos que se encuentran en la muestra. En este caso se considera que la cantidad de defectos sigue una distribución de probabilidad de Poisson. Por lo tanto:

Donde x es el número de defectos y c 0, es el parámetro de la distribución de Poisson (la media de la distribución, la cantidad promedio de defectos en un intervalo dado).

Si es la cantidad promedio de defectos en las m muestras

La línea central y los límites de control son:

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Ejemplo: el papel de una industria se fabrica a partir de una madera semidura, con más color que el normal. Se utiliza un blanqueador químico formado por cloro y divinilbenceno. Periódicamente se toman muestras de cinco rollos y se anota el número de defectos observados. A continuación se proporciona los resultados de 25 muestras.

Muestra Num. de defectos Muestra Num. de defectos1 3 14 82 2 15 03 0 16 24 1 17 45 4 18 36 3 19 57 2 20 08 4 21 29 1 22 110 6 23 711 2 24 312 3 25 213 2

Total de defectos= 70

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Se observa un punto fuera de control, se elimina y se recalcula.

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Se observa que el proceso se halla dentro de control estadístico. Estos valores pueden usarse para controlar la producción futura.

La función característica de operación

La curva característica de operación para la carta c es una gráfica de vs la verdadera media del número de defectos.

La expresión para es

Donde x es una variable aleatoria Poisson con parámetro c. Si como en este caso y se produce un cambio de la media a otro valor, se cometerá un error tipo

II cada vez que la muestra se ubique dentro de los límites de control

Puesto que el número de defectos debe ser entero, esto es equivalente a

Tabla 3.2 Cálculo de la curva característica de operación para varios c, con uso de la distribución acumulada de Poisson

C 0,2 1,0 0,818 0,182 0,5 1,0 0,606 0,394 1,0 0,999 0,367 0,632 1,5 0,999 0,223 0,776 2,0 0,998 0,135 0,863 2,6 0,994 0,074 0,92 3,0 0,988 0,049 0,944 5,0 0,866 0,006 0,86 8,0 0,452 0,0 0,452 15,0 0,018 0,0 0,018

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Curva OC

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20

cantidad promedio de defectos

Err

or

tip

o I

I

Serie1

Procedimientos con tamaños de muestra variableLa carta de control para la cantidad de defectos en ciertas ocasiones se lleva adelante utilizando una inspección del 100 % del producto. Por ejemplo, la inspección de rollos de tela o papel lleva con frecuenta a una situación en el que el tamaño de la muestra varía, ya que no todos los rollos tienen exactamente la misma longitud o anchura. Si se utiliza una carta de control para esta situación, tanto la línea central como lo limites de control variarían con el tamaño de la muestra.

El procedimiento correcto es emplear una carta de control para cantidad de defectos por unidad de inspección. La unidad de inspección será una cantidad fija, elegida de tal manera que en el total producido en la muestra, represente una cantidad significativa.

Ejemplo:

En una planta de acabado textil se inspecciona la tela teñida para controlar la cantidad de defectos en la superficie. Se utiliza una unidad de inspección de 50 metros cuadrados. Los datos obtenidos se dan en la siguiente tabla:

Numero de rollo

Cantidad de m2

Defectos, c

Can.de uni de ins.

Can.de defec. por unidad de inspección, ui

1 500 14 10 1,42 400 12 8 1,53 650 20 13 1,544 500 11 10 1,15 475 7 9,5 0,746 500 10 10 17 600 21 12 1,758 525 16 10,5 1,52

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9 600 19 12 1,5810 625 23 12,5 1,84Total 153 107,5

Se calcula

Existen dos enfoques para resolver este problema. Utilizar límites de control individuales o utilizar una variable estandarizada.

Explicaremos este tercer enfoque, por considerarlo el mas apropiado, dejándole al alumno la posibilidad de leer a Montgomery para acceder a los otros dos esquemas.

Grafico estandarizado: en este caso el límite superior es +3 y el inferior es -3, siendo la línea central cero. Se grafica

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Se observa que el proceso se halla dentro de control estadístico.

Elección entre cartas de control para atributos y para variables

En muchas ocasiones, el ingeniero deberá elegir entre utilizar una carta de control para variables, como las cartas y R, y una carta de control para atributos, como la carta p. En algunas ocasiones la elección será clara. Por ejemplo, si una de las características de la calidad que interesan es el color de un artículo, como podría ser el caso en la fabricación de alfombras o de un polímero, entonces la inspección de atributos con frecuencia se preferiría sobre el intento de cuantificar la característica de calidad ”color”. En otros casos la elección no será tan obvia y el analista deberá tomar en consideración varios factores para elegir la carta más conveniente.

Las cartas de control para atributos tienen la ventaja de que pueden considerarse varias características de calidad a la vez y la unidad se clasifica como disconforme si deja de cumplir con la especificación de cualquiera de las características. Por otra parte, si las diferentes características se tratan como variables, entonces será necesario medir cada una de ellas, y deberá mantenerse una carta x y R por cada una de ellas o bien emplearse alguna técnica de control para variables conjuntas, que considere todas las características.

Las cartas de control para variables, en contraste, ofrecen información mucho más útil acerca del desempeño del proceso que la carta de control para atributos. Se obtiene información directa acerca de la media y de la variabilidad del proceso. Además, cuando hay puntos que se localizan fuera de control, generalmente se obtiene mucha más información respecto de la causa potencial de esa señal fuera de control. Para estudiar la capacidad de los procesos, son mucho mas útiles las cartas de control para variables.

Quizá la ventaja más importante de las cartas x y R radique en el hecho que con frecuencia proporcionan un indicio de problemas inminentes y permiten al personal

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de operación emprender una acción correctiva antes que se produzca realmente cualquier unidad defectuosa. Por tanto, las cartas x y R son indicadores fundamentales de problemas, mientras que las cartas p no reaccionarán a menos que el proceso ya haya cambiado, por lo que se reproducirán mas unidades disconformes.

También es importante remarcar que si se comparan ambos tipos de cartas, se observa que las cartas de control para variables requieren, para el mismo nivel de protección (error tipo II), tamaños muestrales más pequeños, lo cual generalmente es un beneficio económico, aunque el costo de inspección sea menor cuando se instrumentan cartas de control para atributos.

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