7-1

第七章 大氣熱力過程

本章之內容將討論大氣中之主要二種熱力過程：第一種為等壓冷卻 (isobaric

cooling)；第二種為絕熱過程 (adiabatic processes)。對於等壓過程而言

q 0 ; qdhdp 0 (∵ )dpqdh (7.0.1)

而對於絕熱過程而言，則是

q 0 ; dpdhdp 0 (7.0.2)

因此，對於等壓絕熱過程而言，下式成立

consthdpqdh 0 (7.0.3)

因此等壓絕熱過程即為等焓過程。

大氣中有很多過程可以視為絕熱過程，例如一個氣塊，若其體積夠大而使得其內

部特性對邊界附近之變化不敏感，則可視之為封閉絕熱系統，此種絕熱假設對於簡化

大氣中的許多物理問題，有很大的幫助。

7-1 等壓冷卻---露點與霜點

讓我們首先考慮一濕空氣塊的等壓冷卻過程，假設其比濕 ( q )、混合比 ( r ) 和水氣

壓 ( e ) 在冷卻過程中保持不變，但是相對濕度【 mRH )( 】則因飽和水氣壓 ( we ) 的減少

而增加【見 (4.6.11) 式】。假使繼續冷卻，則將使 we 趨近於 e ，此時空氣將達到飽

和。我們將空氣依等壓冷卻方式達到飽和的溫度稱為露點溫度 (dew point

temperature, dT )。另外這種飽和若是對冰而非對水 (即定壓冷卻結霜)，則稱之為霜點溫

度 (frost point temperature, fT )。

接著考慮壓力改變 (例如氣塊上升或下降) 之情形，此時由於壓力變化，系統的濕

度也將有變化。若吾人想找出露點、混合比、和全壓力之間的關係，則必須藉助於

Clausius-Clapeyron 方程。

將 (4.6.12) 式中的 pr

eep

r

等號左右各取自然對數得

pdrded lnlnln (7.1.1)

另外由 Clausius-Clapeyron 方程，知 [此處 (4.3.12) 中，p 已用 e 取代；T 已用 Td 取代]

2

ln

dv

v

d TRl

dTed (7.1.2)

7-2

上式中 e為溫度T 時之水氣壓， dT 則為露點溫度。解 ddT 並代入 (7.1.1) 吾人得

pdrdlTR

edlTR

dTv

dv

v

dvd lnlnln

22

(7.1.3)

或者

pdrdlTR

edlTR

Tdv

dv

v

dvd lnlnlnln

pdrd lnln105 2 (7.1.4)

上式中等號最右邊係數由 Td 270 K 得之。另外經由積分 (7.1.2) 式 (Td 換為 T)

dTTl

Red v

v

e

e

w

2

1ln [由某未飽和狀態 (e, Td) 積分至飽和狀態 (ew, T)]

並參考 (4.3.15) 之計算過程，得

d

d

v

vT

T

v

vw

w

TTTT

Rl

dTTl

RRH

ee

d

2

1lnln (7.1.5)

PS:e

eLHS wln

TT

v

vdTR

lRHS ]

1[ ]

11[

dv

v

TTRl

][d

d

v

v

TTTT

Rl

][d

d

v

v

TTTT

Rl

解 ( dTT ) 且利用以 10 為底之一般對數，則得

eRH

log)log(

][d

d

v

v

TTTT

Rl

=> wdv

vd RHTT

elR

TT log)log

1(

wdd RHTTTT )(log1025.4 4 (7.1.6)

若用粗略之估計 2290dTT 則上式成為

wd RHTT log35 (7.1.7)

因此欲估計相對溼度之值，也可由溫度露點差值代入 (7.1.7) 式而得到。

下圖顯示溫度與水氣壓之關係，其中QR 曲線代表飽和曲線，而 we 代表飽和水氣

壓。在 p 點處之氣塊有兩種可能到達飽和的方式，第一種藉著降溫而達到露點溫度 (由

p 點水平向左達到Q點的路徑)，另一種藉著增加水氣量達到飽和 (即由 p 點向上達到R

點的路徑)。

7-3

圖 7.1：溫度與水氣壓間之關係。

接下來推導 dT 和 fT （霜點溫度）間之關係，根據 Clausius-Clapeyron 方程

ft

ft

v

s

dt

dt

v

vt

TT

TT

Rl

TTTT

Rl

ee

ln (7.1.8)

上式中 te 代表三相點時之水氣壓（見圖7.2 之說明）， vl 和 sl 分別為蒸發和昇華之潛熱

常數。已知 KTKTt 15.27316.273 0 ，則露點和霜點以C 來表示為

tfff

tddd

TTTTt

TTTTt

0

0(7.1.9)

且

ftdt TTTT (7.1.10)

將 (7.1.9) 代入 (7.1.8) 可得

fv

sd

v

v tRl

tRl

因此吾人可寫出下式

v

s

f

d

ll

tt

(7.1.11)

雖然潛熱常數之值隨著溫度區間的不同而稍有變化，然而對於10C 時

lls

v 89

(7.1.12)

∴ 89

f

d

tt

由以上之值得知

7-4

89)1

89

(fd

ffd

ttttt (7.1.13)

圖 7.2：露點與霜點之溫度水氣壓之關係。

斜溫圖上露點可由 P 點（見下圖）沿著等壓面移動直到它碰到飽和混合比線時所

對應之溫度，即為露點溫度。

圖 7.3：露點在熱力圖上之求法。

7-2 等壓冷卻凝結

露和霜乃由水氣凝結於固體表面（例如：因晚上輻射冷卻作用）所產生的，假若

氣塊等壓冷卻直到凝結發生，此時空氣將達到飽和。空氣飽和之後，溫度將下降得較

緩慢，因為等壓冷卻將因飽和凝結之潛熱釋放而有一部份被抵消掉。凝結發生時，等

壓過程所吸收之熱可由焓之增加來表示。

drldTcdhq vp (7.2.1)

假若 per ，則（假設 p 為常數） depdr ，此時 e相當於飽和時之水氣壓，因

此吾人可以用 Clausius-Clapeyron 方程

7-5

dTTRl

edv

vw 2ln

dTTR

le

de

v

v

w

w2 => dT

TRel

dev

wvw 2

且讓 wee 而得

dTTpRel

dep

drv

wv2

(7.2.2)

以及由 (7.2.1) 式

dTTpRel

cqv

wvp

2

2 (7.2.3)

或者

wv

wv

vp depl

el

TRcq

2

(7.2.4)

∵ wwv

v deelTR

dT2

∴pl

el

TRc

elTR

TpRel

c v

wv

vp

wv

v

v

wvp

22

2

2

若吾人可由資料得知所損之熱量，則 (7.2.3) 告訴我們等壓冷卻凝結時，溫度遞減和潛

熱釋放兩者之關係。同理，(7.2.4) 則告訴我們等壓冷卻凝結時，飽和水氣壓變化和潛

熱釋放之關係。

等壓冷卻時 dT 和 wde 之變化關係，可由下圖來說明。圖中可知當溫度降低時，飽

和水氣壓也會同時減低。

圖 7.4：凝結過程中溫度與水氣壓之關係。

7-6

7-3 大氣之絕熱膨脹

絕熱膨脹過程對於大氣而言相當重要，因為它描述氣塊於大氣中上升時所產生之

轉變，因此往往為研究對流問題之重要一環。本節將討論氣塊上升時絕熱膨脹之情

形，為簡化起見，此處吾人忽略氣塊與環境間之混合作用。第六章已討論過氣體絕熱

膨脹之過程，吾人知絕熱膨脹時位溫保守。而未飽和前氣體之絕熱膨脹相當類似乾絕

熱膨脹（因為 d ）故可以下式

constp

Td

1000 (7.3.1)

做為未飽和 (即在達到飽和以前) 之絕熱膨脹方程。

待溫度因膨脹而持續降低時，氣塊終將到達飽和。飽和後凝結之水滴有二種影響

大氣的可能：第一種為水滴皆留在大氣中（即形成雲），因此當空氣塊開始下降時，

水滴將因壓縮 (與絕熱增溫) 而再度蒸發出來，吾人稱此種過程為可逆飽和絕熱膨脹

(reversible saturated adiabatic expansion)。第二種則假設所有水滴或冰晶皆在凝結時轉為

降水而下光了，吾人稱此種過程為假絕熱膨脹 (pseudo-adiabatic expansion)。實際大氣

凝結過程時，則會有一部份以降水的形式損失，而另外一部份則留在大氣中。

以下吾人考慮二種因上升所產生之大氣飽和過程：

（A）絕熱上升所造成之空氣飽和：

吾人已於第一節中討論過因等壓冷卻所造成之飽和，此處吾人討論因絕熱膨脹上

升所造成之飽和現象。若吾人對相對濕度之公式取自然對數和微分算子，則

ww ededRHd lnlnln (7.3.2)

於上升過程中 vNpe 為常數 ( dpepe

r ; )，因此由Poisson方程第二關係式

constpT (7.3.3)

vv N

epN

pe

∴ constNTe v

吾人將得

'constconstNTe v (7.3.4)

亦即水氣之分壓同樣遵守 Poission 方程。將上式 (7.3.4) 取自然對數加上微分算子

edTd lnln (7.3.5)

再利用Clausius-Clapeyron方程，代回 (7.3.2) 與 (7.2.2) 吾人得

7-7

dTTRl

TdededRHdv

vww 2ln

1lnlnln

(7.3.6)

上式等號右邊第一項代表因氣壓減少（水氣壓 e也減小）而產生之改變量，第二項代表

因溫度減少所造成之改變。值得注意的是，上列兩項的符號乃是相反的，因此絕熱膨

脹可使 wRH 增加亦可使之減少，端視二項的大小決定。

另外 (7.3.6) 式亦可以寫成

dT

TRl

TR

TcdT

TRl

TdT

R

c

RHRHd

d

v

d

p

v

v

d

p

w

w

222)(

=>

TR

lTc

TRH

TRl

R

c

TRH

dTRHd

d

vpw

v

v

d

pww )(

)()(

TR

lTc

TRH

TRl

TRH

dTRHd

d

vpw

v

vww

1

(7.3.7)

吾人知若 Tcp ＜ vl (若T < 約1500 K) 時，(7.3.7) 等號右邊將為負值，因此 wRH

將隨著T 的減少而增加（對於絕熱膨脹而言）。積分 (7.3.6) 式得

00

11ln

1ln

0TTR

lTT

RHRH

v

v

w

w

(7.3.8)

上式中 0T 、 0wRH 為初始狀態之值。對於飽和而言【 1wRH 】

wT

wT

,

, 00

)6.3.7(

=> )

11(ln

1]

1[ln

1ln

1ln

0002

00

00

TTRl

TT

TRl

TT

TdT

Rl

TT

RHRH

v

vTT

v

vT

Tv

v

w

w

得

00

11ln

1ln

0 TTRl

TT

RHsv

vsw

(7.3.9)

上式可以用數值方法解得飽和溫度（ sT ）之值。大氣中的上升 (絕熱冷卻) 運動最終永

遠都可以獲得飽和，亦即 sT 永遠都可以求得。在圖上，上述情形代表氣塊沿著乾絕熱

線上升，直到碰到水氣曲線時之混合比值，即為氣塊之飽和混合比值（見圖7.5），對

於乾絕熱大氣而言，每上升一公里大約下降 10C (或10 K) 左右。

7-8

圖 7.5：在 Tephigram 圖上絕熱膨脹之情形。

（B）可逆飽和絕熱過程：

於可逆飽和絕熱過程中，所有凝結的水滴皆會保留於空氣中，因此這種過程又稱

為等熵過程。由 (4.9.17) 式知，飽和絕熱過程的熵需要遵守

const

TTlm

pRmTcmcmS vvdddwtpdd lnln (7.3.10)

PS: (4.9.13): constmTlTcmcmH vvwtpdd )()(

dppR

Tdh

Tdpdh

TdQ

dS

上式除以 dm 且假設熵保守 (dS = 0) 則

constTlr

pRTcrc vwddwwtpd lnln, (7.3.11)

上式中d

vwwvt m

mrmmm ; => wddwwdtwt eppmmrmmr ,, ，下標w表示飽

和值。若以微分形式表示，上式變成

0lnln,

Tlr

dpdRTdcrc vwddwwtpd (7.3.12)

方程式 (7.3.11) 和 (7.3.12) 描述可逆飽和絕熱過程裡，溫度和壓力之間的關係。若於

(7.3.11) 中忽略 wwt cr , 項（當和 pdc 做比較時），吾人得

constTlr

pRTc vwdpd lnln (7.3.13)

另外若在 (7.3.12) 中，考慮 vl 隨溫度變化緩慢而可忽略，則上式可寫成

0)(lnln Tr

dlpdRTdc wvdpd (7.3.14)

7-9

7-4 大氣的垂直混合

當分析大氣垂直混合的問題時，因為 p 、T 和 r 均隨高度改變而變得複雜許多。

現在吾人考慮有一層厚度為 21 ppp 之大氣，並假設它在垂直向均勻混合，此種混

合可分成兩步驟來說明。首先將整層移到等壓面 p 上，在等壓混合後再重新平均分配

到整層 p 之內。此種混合由於在絕熱過程下發生，因此將會使位溫（）在垂直向為

常數，意即混合後之位溫，變為混合前之加權平均值（）。

由靜力方程

dpg

dz1

(7.4.1)

知

210

00

2

1

pp

dp

dz

dz

m

dmp

pz

zm

(7.4.2)

相同之表示法亦可以應用在混合比（r）或比濕（ q ）上（因為垂直混合後水氣容量在

垂直向也是均勻分布）。

此時溫度之垂直分布將以來表示，

1000

pT

吾人可以下列 Tephigram 圖形來說明垂直混合之情形。圖中實線代表原始溫度分布，

而虛線代表最後經絕熱混合後之情形（）。在 Tephigram 圖上垂直混合後相當於找出

一線使上下兩側的面積相等，此時之即為混合後之位溫【即 (7.4.2) 式之】。

圖 7.6：在Tephigram圖上，無凝結發生時的混合情形。

7-10

圖 7.7：斜溫圖 (Skew-T-log-p diagram) 中，各氣象元素說明。

7-11

圖 7.8：斜溫圖中自由對流高度（LFC）之求取方法。

圖 7.9：斜溫圖中對流可用位能 (Convective Available Potential Enery；CAPE)

之求取方法。

7-12

圖 7.10：斜溫圖中之對流抑制能 (Convective inhibition；CIN) 的求取方法。

第七章 習題 (Homework)：

7.1 (a) 何謂「露點溫度 (dew-point temperature)」?(b) 何謂「霜點溫度 (frost-point temperature)」?

7.2 (a) 說明何謂「可逆飽和絕熱過程」(reversible saturated adiabatic process)?(b) 說明何謂「假絕熱過程」(pseudo-adiabatic process)?

7.3 於飽和絕熱膨脹過程中，1 kg 的溼空氣凝結出 4 g 的液態水。試證明這 4 g 液態水

具有的內能僅為整個溼空氣塊 (1 kg) 具有內能的 2.4 %。

7.4 一個溼空氣塊的氣壓為 950 hPa，溫度為 14C，混合比為 8 g kg1，

(a) 此氣塊的飽和混合比為何? 此氣塊是否已飽和? 舉升凝結層 LCL為何? 溼球位

溫為何?(b) 假設此氣塊遇到山脈而被抬升至山頂 (700 hPa)，而在抬升過程中所凝結水蒸

氣的 70 % 變成雨滴而離開氣塊 (假絕熱過程)。試計算此氣塊到達山的背面

950 hPa 氣壓時，溫度為何? 位溫為何? 混合比為何? 溼球位溫為何?注意: 此時氣塊於背風面的溫度將比在迎風面時高出許多，此即為「焚風效應」!

7-13

Ans: (a) 10.6 g kg1，未飽和，890 hPa，14C(b) 20C，297.5 K，5.7 g kg1，14C

7.5 一溼空氣塊的氣壓為 1000 hPa，溫度為 20C，混合比為 10 g kg1，

(a) 此氣塊的露點溫度為何?(b) 假設此氣塊遇到地形而被抬升至山頂 (700 hPa)，而在抬升過程中所凝結水蒸

氣的 80 % 變成雨滴而離開。試推算此氣塊到達山的背面 900 hPa 氣壓處時的

溫度為何?

Ans: (a) 14.0C(b) 19.8C

8-1

第八章 大氣之靜力平衡

在第七章中吾人已討論過個別氣塊在做物理轉變時之行為，本章討論大氣垂直向

之重力分層 (stratification) 以及靜力平衡問題 (hydrostatic equilibrium)。文中採用 z (實際

高度) 作為垂直座標，並假設大氣為理想氣體且所有狀態變數於固定高度時為常數。後

者表示等壓、等溫和等濕面皆為平面。

8-1 重力位場 (geopotential field)

於大氣中任何系統都可接受到二種力：(a) 重力吸引力 (gravitational force)，(b) 離

心力 (centrifugal force)。後者乃由固定於地球上之座標（即旋轉座標）下產生之項，通

常以此項之大小（

r2 ，：角速度，

r ：距旋轉軸心之距離）比重力小很多。因此

重力（

g ）可以表達成

rgg z2 (8.1.1)

上式中第一項為重力而第二項則為離心力。

地球因旋轉關係而呈橢圓形，最大半徑發生在赤道而最小半徑則在兩極，其半徑

於赤道和極區分別為

kmR

kmR

Pole

Equator

9.6356

1.6378

(8.1.2)

兩者相差達 21 公里之多。另外地心引力於不同高度時其值亦稍有差異，在高度為 z

時，重力可表為

22

0 zRR

gg z (8.1.3)

其中 0g 為海平面之地心引力，R 為地球半徑。利用泰勒級數展開，上式可寫成

Rz

gRz

gRz

gg z2

1.....2

11 00

2

0 (8.1.4)

取 (8.1.2) 之平均值 (即將R = 6367.5 km 代入 (8.1.4)，則上式變為

zgg z7

0 1014.31 (8.1.5)

對於大氣的對流層而言 ( mz 410 )，地心引力隨高度的變化，可以忽略不計而不致於

產生太大的誤差。

另外由於離心力的作用，重力的值會隨緯度而改變。考慮如圖 8.1 之情形，吾人得

8-2

cos200, rgg (8.1.6)

上式中 r 為距旋轉軸長度，為緯度。若考慮 cosRr 則 (8.1.6) 式可寫為

22

00, cosRgg (8.1.7)

在緯度為 45 的地區，吾人可得 (2

145cos )

Rgg 200,45 2

1 (8.1.8)

自 (8.1.7) 和 (8.1.8) 中消去 0g 可得 (∵2

2cos1cos2

)

2cos21 2

0,450, Rgg (8.1.9)

由於地球半徑 R 的值非常接近常數，代入典型之值，吾人可發現相對於緯度45處

的重力而言，由離心力所造成的重力修正值（即上式等號右邊的第二項）在赤道為27.1 scm ，而在北極為 27.1 scm 。

圖 8.1：重立場中各種力之間的關係示意圖。

總之，因高度或緯度改變而產生之重力修正都非常有限，在大氣科學研究之範疇

內重力可以當成常數來看，而不會損及精確度。在海平面上，重力的標準值為2

0 80665.9 smg (8.1.10)

如果某一單位質量在重力場中移動了

rd (位移向量) 之距離，則重力對此單位質量的

作功為

gw . drgrd cos

(8.1.11)

其中

rd 為位移向量，為移向和重力場之間的角度。

經驗告訴吾人，當質量再度回到原來位置時

g . 0

rd (8.1.12)

上列特性表示重立場為保守的 (conservative)。因此吾人可以定義一個保守量為

8-3

gd .

rd (8.1.13)

其中稱之為重力位 (geopotential)。由於重力位僅和高度有關，吾人可以改寫上式為

dzgd

或

z

gzdzgz0

(8.1.14)

8-2 靜力方程 (hydrostatic equation)

在平衡狀態下，重力和壓力梯度力應於每處皆為平衡。若考慮下圖厚度 dz 氣柱之

情形，其所受之壓力 p 作用在底部（指向上）而壓力 pp 作用在頂部（指向下）。

圖 8.2：垂直向之壓力變化。

因此淨力dp 為

dzgdp (8.2.1a)

或

gdzdp (8.2.1b)

上式即為大氣之靜力平衡方程式的標準式。於靜力平衡下，若假設 p 僅為 z的函數，則

等壓面和等重力位面皆為水平的。

比較 (8.1.14) 和 (8.2.1) 兩式，吾人得

dp d (8.2.2)

或dpd (8.2.3)

上式中為比容 (specific volume)。若吾人積分 (8.2.3) 式，得

pdTRpRTddp vd lnln2

1

2

1

2

1 (8.2.4)

若想積分上式則需知道虛溫（ vT ）和壓力之關係。8-4 和 8-10 節中將會討論此問題。

8-4

8-3 大氣的熱力梯度

大氣之垂直溫度梯度或垂直溫度遞減率 (temperature lapse rate) 可以寫成

dzdT

Γ (8.3.1)

然而通常吾人以重力位來表示 (8.3.1) 式

gΓ

dzdT

gddT

1

(8.3.2)

雖然和Γ關係密切，然而它們卻是二個不同的物理量。Γ代表絕對溫度隨高度的遞

減率，通常以單位 1mK 來表示；而定義為隨重力位增加的溫度遞減率。通常以22 msK 為單位，偶爾亦可以 1gpmK 或是 1gpftK 為單位。

另外虛溫的遞減率也可以用類似方法表達成

ddTv

v (8.3.3)

其中 gdzd 。根據壓力座標的靜力方程 dpd ，吾人又可改寫虛溫遞減率成

pdTd

RdpdT

gdzdT v

d

vvv ln

ln11

(8.3.4)

{ dpTp

Rdp v

d }

8-4 等溫度遞減率大氣 (atmosphere with constant lapse rate)

於本節中，吾人考慮等溫度遞減率之大氣，意即 vT 隨重力位場線性地遞減。此種

假設為相當重要的一種，因為實際大氣之溫度遞減率相當接近此一假設。通常大氣溫

度隨高度遞減，因此 v為正值。

假設於海平面（ 0z ），虛溫、壓力和重力位分別為

0vv TT ； 0pp ； 0 (8.4.1)

因此將 (8.3.3) 由海平面積分到某一高度，即計算

0

)3.3.8( d ，可得

T Tv v v 0

(8.4.2a)

或

00

1v

v

v

v

TTT

(8.4.2b)

上式可知虛溫隨著重力位線性遞減。若忽略重力隨高度之變化，則上式也表示虛溫隨

8-5

著高度線性遞減。

另外由 (8.3.4)，吾人得

pdRTd vdv lnln (8.4.3)

雙邊積分上式後得

)ln()ln()3.4.8(00

pp

RTT

vdv

v =>vdR

v

v

pp

TT

00

(8.4.4)

由 (8.4.2b) 和 (8.4.3) 中消去0vv TT ，吾人得

vdR

v

v

pp

T

)(100

=>vdR

v

v

Tpp

1

0

0

1

(8.4.5)

因此 (8.4.2b)、(8.4.4) 和 (8.4.5) 三式將變數 vT 、 p 和串聯為一體。另外值得注意的是

(8.4.2b) 和 (8.4.5) 中，當 vvc T 0

時 p 和 vT 之值皆為零。通常吾人稱上述之高度為等

溫度遞減率大氣之「極限重力位高度」(limiting geopotential height)。以下將討論三種等

溫度遞減率大氣之例子。

8-5 密度均勻大氣 (= const.)

假使 1)(2.341 kmgpKRdv ，則由 (8.4.3) 和理想氣體方程式之關係

(8.4.3) 與 dv R1 => pdTd v lnln => 可得到 0d

理想氣體 vd TRp => lnlnln dpdTd v

因此大氣變為均勻 (即 const )，儘管只有密度為常數而溫度與氣壓皆為高度之函

數，吾人仍稱此種大氣為均勻大氣 (homogeneous atmosphere)。均勻大氣中，方程式

(8.4.2b)、(8.4.4) 和 (8.4.5) 因此可被簡化成

dv R1 代入 (8.4.2a) 式 => T TRv v

d

0

(8.5.1a)

或

dv R1 代入 (8.4.4) 式 =>00

pp

TT

v

v (8.5.1b)

或

dv R1 代入 (8.4.5) 式 =>

0

10vd TR

pp

(8.5.1c)

前述第二式即為等密度下之理想氣體方程。此時之極限重力位高度為

0vdc TR (8.5.2)

8-6

若 KTv 2730 則 gpmc 7990 。事實上除地面受到強烈加熱，其上薄薄一層大氣之溫

度遞減率可達到 dv R1 之外，實際大氣中很少能有如此大之遞減率。

8-6 乾絕熱大氣 (dry adiabatic atmosphere)

若吾人考慮大氣之溫度遞減率為

1)(76.91 kmgpK

c dpd

v (8.6.1)

將pd

v c1

代入 (8.4.4) 式，則 (8.4.4) 式變為

d

pp

TT vv

00

(8.6.2)

上式與 Poisson 方程中描述乾空氣進行乾絕熱膨脹時完全相同，因此溫度的垂直分佈即

可由乾空氣絕熱膨脹曲線來描述。此種大氣之虛位溫為

d

pTvv

0

10000

(8.6.3)

且v 於大氣柱中為常數。因此 (8.4.2a) 和 (8.4.5) 兩式變為

pdv c

1 代入 (8.4.2a) 式 =>

pdvv c

TT

0 (8.6.4)

或

pdv c

1 代入 (8.4.5) 式 =>

d

vpdTcpp

1

0

0

1

(8.6.5)

而極限重力位高度則為0vpdc Tc 。假設 KTv 273

0 則 gpmc 27950 。

8-7 等溫大氣 (isothermal atmosphere)

等溫大氣 (isothermal atmosphere) 係假設

0v (8.7.1a)

或constTT vv

0(8.7.1b)

積分理想氣體方程式 (8.2.3) 可得

0

ln0 p

pTRdp vd (8.7.2)

8-7

或RTTR epepp vd 00 (8.7.3)

因此在等溫大氣中，氣壓隨高度遞減，且當 z 時壓力值為零。等溫大氣之極限重

力位高度變為無限大。另外，(8.7.3) 式亦可以寫成

HzTRgMzTRzgM epepepp vd

000 (8.7.4)

{d

d MR

R*

，MR

R*

}

上式中 dM 為乾空氣之平均分子量，M 為一般空氣之平均分子量，而H 則定義為

gMTR

gMTR

Hd

v

(8.7.5)

H 通常稱為尺度高度 (scale height)，它代表著氣壓值向上降低為地面氣壓值之 e1 倍時

之高度。對於等溫大氣而言，H 為常數，而當溫度隨高度而變時，H 則非常數。

8-8 標準大氣 (standard atmosphere)

前面三節討論極端理想之例子中，均勻大氣只對於理論研究有所幫助，在真實大

氣中僅限制在地表以上極薄的一層內；等溫大氣則在低平流層尚稱適用，然而以對流

層而言，等溫的假設則又偏離太遠。至於絕熱大氣則比較有實用的價值，其溫度遞減

率之值通常代表對流層內穩定大氣之垂直溫度遞減率的上限。

標準大氣之定義則由實際大氣而來的，根據國際民航飛行組織 (International Civil

Aeronautical Organization; ICAO)，其定義如下：

(1) 為純乾空氣所組成之大氣，且在垂直方向的化學成份為固定，平均分子量為

9644.28 dMM 。

(2) 其行為遵守理想氣體方程式。

(3) 海平面之重力加速度為 20 80665.9 msg 。

(4) 垂直方向為靜力平衡。

(5) 海平面溫度為 KCT 15.288150 而氣壓為 atmhPap 125.10130 。

(6) 當高度 H < 11 km 時，溫度遞減率為常數且其大小為 10 5.6 kmKdHdTΓ 。

(7) 當高度介於 11 km 和 20 km 之間時，溫度為常數且其值為 CT 5.56 。當高度介

於 20 km 和 32 km 之間時，溫度遞減率為 10.1 kmKΓ 。

下表列了標準大氣之 p 、H 和T 分布。

8-8

)(mbp )(mH )( CT

1013.25 0 15.01000 110 14.3900 990 8.6800 1950 2.3700 3010 4.6600 4200 12.3500 5570 21.2400 7180 31.7300 9160 44.5

226.3 11000 56.5

根據 (8.4.2b)、(8.4.4) 和 (8.4.5)，標準大氣 (< 11 km) 之T 、 p 和之關係為

256.55

0

00

1903.0

00

300

10255.2125.10131

25.101315.288

105.615.288

00

00

HTH

pp

ppp

TT

HHΓTT

ΓRg

gΓR

d

d

(8.8.1)

上式中T 以 K 為單位， p 用 hPa 而 H 用m 為單位。吾人發現當H 和之數值相等時，

0Γ和 0之數值也相等。

8-9 靜力方程之積分

方程式 (8.4.4) 和 (8.4.5) 為假設了 v為常數之情況下，積分靜力方程所得之結果。

本節將討論實際大氣氣壓隨重力位變化之情形。考慮 (8.2.4) 式

pdTRpdRTdp vd lnln2

1

2

1

2

1 (8.9.1)

由第六章中知 emv pdT ln2

1。利用平均等溫線法可得

emdvd Rpp

TR1

2ln (8.9.2)

上式中 vT 代表平均虛溫， emagramem

。若使用 Tephigram，則 (8.9.1) 又可寫成

tephp

pp

Tc

dTcTcqhdp2

1

2

1ln

(8.9.3)

上式中 tephigramteph

。

8-9

因此重力位差可由 Emagram 和 Tephigram 之面積推算出來。另外重力位隨壓力變化曲

線【 pf 】，或高度隨壓力變化曲線【 pfz 】也可由溫度剖面曲線以及(8.9.2)

和 (8.9.3) 式求得。

第八章 習題 (Homework)：

8.1 「重力位」的定義為何?

8.2 寫出「靜力方程式」並說明其物理意義。

8.3 (a) 假設一等溫度遞減大氣於海平面的虛溫為0vT ，壓力為 0p ，溫度遞減率為 v，

試求此大氣之「極限重力位高度」為何?(b) 假設一等溫度遞減大氣的密度亦為常數，此大氣於海平面的虛溫為

0vT ，試求

此大氣之「極限重力位高度」為何?(c) 根據熱力學第一定律，求出乾絕熱大氣之降溫率為何? 求出乾絕熱大氣之「極

限重力位高度」為何?(d) 假設等溫大的虛溫為

0vT ，為海平面高度的氣壓為 0p ，求出其任一高度之氣壓

p 與 0p 之關係式? 求出此等溫大之「極限重力位高度」為何?

Ans: (a)v

vc

T

0 , (b) dc R0vT , (c)

pdd C

1 , pdc C

0vT , (d) p 00

vdTRep

, ∞

8.4 根據習題 2.9「位密度」(potential density)的定義

pv

cc

pp

D )( 0

証明 )(11 dTdz

dDD

其中 d為乾絕熱降溫率，為大氣的真實大氣降溫率，T 為大氣於高度 z處的溫度。

8.5 「海市蜃樓」(mirage) 現象生成的必要條件為大氣密度隨高度增加。試証明只有大

氣降溫率高於乾絕熱降溫率的 3.5 倍時，大氣密度才會隨高度增加，即「海市蜃

樓」才有可能發生。(提示:參考習題 8.4)

9-1

第九章 垂直穩定度

大氣於垂直方向有溫度梯度，因此必須有熱能傳遞以到達平衡狀態。熱能傳遞方

式有三類：第一類靠分子擴散；第二類則靠亂流傳導；第三類靠輻射過程。靠分子擴

散傳遞熱能相當緩慢且缺乏效率，反之，亂流傳導則有效率多了。另外輻射過程對於

垂直向之熱傳導亦扮演著重要角色，下圖為估算出之大氣垂直溫度梯度，虛線代表經

由輻射平衡計算出之垂直溫度剖面（由大氣層底獲得能量與頂部消散能量平衡所得之

結果），而實線則代表加入對流混合作用之大氣垂直溫度剖面。後者和實際觀測大氣

垂直溫度剖面較接近，因此垂直亂流熱能傳遞對於大氣垂直溫度之構造扮演著極重要

之角色。事實上，當對流機制旺盛時，對流比輻射更為有效地（10倍以上之效果）決

定局地之溫度變化。

圖 9.1：由輻射平衡（虛線）和對流調整（實線）所推估之大氣溫度垂直剖面

（摘自Emden）。

除了上述之能量傳遞考慮外，大氣之垂直運動通常伴隨著天氣的擾動，因此對於

氣象而言相當重要。另外水平空氣運動對於每日溫度變化較重要，因此在數天之時間

尺度內不能被忽略。

9-1 氣塊法 (parcel method)

本節討論在靜力平衡環流內空氣塊 (air parcel) 垂直位移時穩定度之問題。氣塊在

未移動之前與環境是為一體的，但當它開始位移而周圍環境仍然是靜止時氣塊則變為

獨立個體，氣塊法即為討論此獨立氣塊在作垂直位移時之動力過程。

9-2

於氣塊法中吾人做了如下之假設：

（1）氣塊於垂直位移時並不和四周環境混合，而保持其獨特性質。

（2）氣塊位移時，並不對環境大氣造成擾動。

（3）過程為絕熱的。

（4）每一瞬間，氣塊之氣壓和同一高度之環境氣壓相同。

氣塊法之第一條假設對於極小之位移時尚稱合理，然而當氣塊垂直移位較大時則

變為較不切實際，因此本節討論之問題僅為「半定量」，而完整的過程則必須由經驗

因子來修正之。第二條假設則不能廣泛地用來解釋所有現象，因為一般而言，空氣塊

上升時必須伴隨著其它地區空氣之下降，然而這個假設對於獨立對流仍然不失為一個

好的假設條件。第三條假設為合理的，因為大氣之熱傳導過程（亂流擴散、輻射、分

子熱傳導）通常比對流運動來的緩慢。另外氣壓通常會快速地調整到平衡狀態，因此

第四條件假設也相當合理。

9-2 穩定條件

現在吾人考慮一空氣塊由初始位置垂直位移到一新的位置，通常環境總是維持平

衡狀態，其垂直構造應遵守靜力方程

pz

g 0 (9.2.1)

反之，氣塊通常不會到達平衡狀態，因為氣塊受到重力和氣壓梯度力雙重影響。現在

讓吾人考慮下圖之情形（為模擬之氣塊） z為無限小之厚度，則作用在體積 V’上氣塊

之力有重力 ( mg ) 和壓力 zp V’，故單位體積氣塊上力之平衡為

zg

zp

(9.2.2)

圖 9.2：空氣柱中氣塊之垂直平衡。

上式中為氣塊之密度，而

z 則為垂直加速度。將 (9.2.1) 代入 (9.2.2) 可得到

9-3

gz (9.2.3)

另外由氣體方程及虛溫之定義可知

v

vv

TTT

ggz

(9.2.4)

(9.2.3) 和 (9.2.4) 式代表每單位質量作用在氣塊上之作用力（重力和壓力梯度力），通

常吾人又稱之為作用於氣塊上之浮力 (buoyancy)。

另外假設環境和氣塊之虛溫變化分別為

dTT vvv 0

(9.2.5a)

0dTT vvv (9.2.5b)

上式中0vT 代表上升前之初始虛溫，因此吾人知

00 vv TT 。 v和 v則分別代表環境和氣

塊之溫度遞減率而 zg 。將上兩式相減吾人得到

gdzTT vvvv (9.2.6)

上式中

gdzdTv

v ；gdzTd v

v

(9.2.7)

將 (9.2.6) 代入 (9.2.4) 可得

dzTg

z vvv

2

(9.2.8)

上式告訴吾人，當 v＜ v時，空氣塊將於位移之後有淨加速度

z （繼續垂直位移）造

成不穩定。也就是說當

z 和dz 同號，大氣為不穩定；

z 和dz 異號，大氣為穩定。

因此大氣之穩定度條件可以整理成：

（1） v＞ v 不穩定 (unstable)

（2） v＝ v 中性 (neutral)

（3） v＜ v 穩定 (stable)

9-3 大氣上升運動之溫度遞減率

大氣之熱力梯度通常包含乾絕熱遞減（ d）、濕絕熱遞減（ m）以及飽和絕熱遞

減（ w）三種。只要氣塊上升，根據濕度條件，必須沿著上述的其中一種過程。

首先對於無凝結（蒸發）下之絕熱過程（含水氣）

dpdTcdpdhq p 0 (9.3.1)

9-4

假設垂直運動夠慢而能維持靜力平衡則得

0ddTcp (9.3.2)

PS: gdzdp => gdzdp

=> dgdzgdzgdzdp )(

此時溫度遞減率(pcd

dT 1

)為

1 pm c (9.3.3)

上式中 rcc pdp 87.01 。對於乾空氣而言

1111 )(0320.0)(6.97)(0976.0 ftgpKkmgpKgpmKcpdd

即為乾絕熱大氣遞減率（乾絕熱線）。而濕絕熱線與乾絕熱線僅有少數之差異，即

md

drr

1 0.871 0.87 (9.3.4)

關於飽和絕熱線過程則複雜許多。我們現在考慮一個較為簡單的例子--飽和絕熱可逆過

程。由熱力學定律中知絕熱過程遵守

0 vdpdhq (9.3.5)

而可逆過程得 Tdsq ，因此

dpdT

RTp

dpdT

ddT

w

1(9.3.6)

上式中 wd rRR 61.01

另外由 (7.3.12) 式 ( 0)(lnln), T

ldpdRTdcrc vw

ddwwtpd

知

wv

dd

dwtwpd drTl

dppR

dTT

rcc

, 02

dTT

lrdl

Tr vw

vw (9.3.7)

吾人利用下列關係式

wd epp (9.3.8)

wd dedpdp (9.3.9)

w

ww ep

er

(9.3.10)

22w

ww

w

w

w

ww ep

deeepdpe

epde

dr

rp e

dee

p edpw

ww

w

w2 (9.3.11)

再利用一些技巧，可得飽和絕熱遞減率為

9-5

2

2,1

61.01

TRcrrl

crrcrc

rRTl

epp

dpd

wwv

pd

wwtwwpv

wv

w

dw

(9.3.12)

由於 w處理複雜，且 mw ，因此在實際處理氣塊垂直上升運動過程當中，氣塊飽和

時大多均假設是沿著濕絕熱線。

9-4 氣塊與環境之溫度遞減率

由前幾章討論中知，對於虛溫而言氣塊為絕熱的。對於未飽和氣塊，由於與環境

無混合作用，混合比 0r 應為常數。另外由虛溫與溫度之關係，吾人知氣塊中之虛溫可

表示為

061.01 TrTv (9.4.1)

將上式對微分且加上負號

ddmv rrrr 0000 26.0187.0161.0161.01 (9.4.2)

{ rdm 87.01 ,

d

dTvv

,

ddT

m

}

上式中 m和 d分別代表濕絕熱和乾絕熱遞減率。由於 026.0 r 之值為遠小於1，因此對於

未飽和氣塊而言

parcelunsturateddv (9.4.3)

若空氣塊為飽和，混合比 wr 於上升過程必須減少（因為降水會減少水氣含量）。

與前面類似微分下列虛溫方程

TrT wv 61.01 (9.4.4)

將上式對重力位微分可得

dd

(9.4.4) =>

drd

Tr wwwv 61.061.01

(9.4.5)

上式中w為飽和絕熱溫度遞減率。吾人注意到當下降運動時 drd w > 0，

v將減

少，大氣將趨於穩定；反之，當上生運動時 drd w ＜0，v將增加，大氣將趨於不穩

定。但是當wr及其導數因上升運動而減小時v'便趨近

w了。在低對流層，等號右邊

第二項大約佔了v大約10 % 之份量，然而在其它地區此項則小多了。若忽略等號右

邊第二項以及wr61.0 項可得

airsaturatedwv (9.4.6)

9-6

因此吾人以氣塊是否到達飽和來決定氣塊之溫度遞減率是 d或者是 w。

現在吾人以類似之方法來考慮環境之溫度遞減率。環境之虛溫以及虛溫遞減率分

別為

TrTv 61.01 (9.4.7)

r

Trv 61.061.01 (9.4.8)

由 (9.4.8) 式中吾人知，當溼度隨高度增加而增加時（ r ＞0），垂直穩定度將減

小。反之（ r ＜0），垂直穩定度將增加。事實上 (9.4.8) 式等號右邊第二項之貢獻

不能被忽略。譬如吾人假設 0 ，則此時只要 1510661.0

gpmT

r d

即可以讓

dpdv c 1 （環境之虛溫遞減率同乾絕熱遞減率）。

9-5 絕熱過程之穩定條件

未飽和空氣（含水氣）之位溫由虛位溫來決定，而虛位溫定義成

d

pmb

Tvv

1000 (9.5.1)

將 (9.5.1) 取自然對數，再對微分得

p

pT

Tdv

v

v

v

11

(9.5.2)

)(1

)()(1

vdvv

d

v

v

vd

dv

v

TTT

TRT

利用 p 以及理想氣體方程可得

v v

vd vT

(9.5.3)

同理對於飽和空氣而言

w w

ww vT

(9.5.4)

因此對於未飽和空氣而言

v ＞d 不穩定

v ＜d 穩定

但是對於飽和空氣而言

9-7

v＞ w 不穩定

v＜ w 穩定

圖 9.3：大氣垂直溫度遞減率與穩定度關係。

因此我們可以總結不穩定之條件為：

v ＞d 絕對不穩定

w＜v ＜d 條件性不穩定

v ＜w 絕對穩定

上述「絕對」之意義代表穩定度與氣塊飽和與否無關，「條件性」之意義則代表氣塊

飽和時為不穩定而未飽和時為穩定的。

另外由位溫觀點看

(1) 未飽和氣塊

v ＜0 不穩定 [v ＞d =>

v v

vd vT

< 0]

v ＞0 穩定 [v ＜d =>

v v

vd vT

> 0]

(2) 飽和氣塊

w ＜0 不穩定 [ v＞ w =>

w w

ww vT

< 0]

w ＞0 穩定 [ v＜ w =>

w w

ww vT

> 0]

亦即未飽和濕空氣之穩定度可以虛位溫 ( )v 來判定，而飽和空氣則以飽和位溫（濕球

位溫 w）來表示。因此當位溫隨高度增加而增加時，大氣為垂直穩定的，反之當位溫

隨高度增加而減少時，大氣為垂直不穩定的。

9-8

9-6 條件性不穩定 (conditional instability)

於第9-5節中，吾人已知條件性不穩定之條件為

w＜ v＜ d (9.6.1)

然而上述結果皆奠基於極小之垂直位移上。現吾人考慮於整層大氣之穩定度條件。考

慮如下之 Emagram 圖，浮力 (buoyancy) 作用於氣塊上每單位質量之功為

dzzwb

a

(9.6.2)

圖 9.4：由浮力所做之功。

利用 (9.2.4) 及理想氣體方程式得

ememd

b

a vvd

b

a

b

a vvdvdvd

b

a

b

a

b

a

R

pdTTRpdTTRdppTR

pTR

dpvvdzgvvdzv

vvgw

lnln][][

)(

(9.6.3)

上式中em和em 分別代表二組由等壓線、垂直軸以及 c（氣塊上升溫度曲線）或 c

（環境溫度曲線）所包圍之面積。兩者之差值（ emem ）則於圖上以斜線區表

示。上述作用於氣塊之功須以動能方式表現出來

22

21

ab

b

a

b

a

b

azzzdzdz

dtzd

dzzw (9.6.4)

上式中221 z 代表每單位質量之動能。如上圖所示，若 c曲線位於 c曲線之右，則功為

正值，反之為負值。「正功」氣塊具有正浮力將加速，「負功」則氣塊具有負浮力將

減速。若氣塊要上升則外力須提供相等於負面積之能量方足以使氣塊能自由移動。

9-9

圖 9.5：熱力探空圖上大氣潛在不穩定之估算。

c 曲線 => 環境曲線 c' 曲線 => 空氣塊曲線

如上圖為了使氣塊能沿著 c'曲線上升，和負面積 A 一般大小之功必須施於氣塊上

以抵抗負的浮力。氣塊沿乾絕熱上升到達飽和之點 ( sp ) 稱之為舉升凝結高度 (LCL)，

通常LCL高度即為地形抬升產生之淺積雲底高度。當氣塊繼續上升沿著溼絕熱線和探

空曲線之交點，此點稱為自由對流高度 (LFC)，此時氣塊將可不藉助外力而自由上升到

和探空曲線之另一交點。因此正面積 A 代表於 1p 點氣塊之潛在不穩定度 (latent

instability)。另外氣塊若於 2p 點開始上升則正面積 A 將消失，因此稱 ( 21 pp ) 這層稱

之為潛在不穩定層 (layer with latent instability)。

同時吾人亦注意到當溫度（T ）和混合比（ r ）增加時，不穩定度將增加。首先當

r 增加時 21 pp 線段將縮短， A 因此減少而 A 相對則增加。關於溫度部份，假使地表受

陽光加熱，則近地層大氣將會有較陡峭之溫度遞減率（ v），當溫度遞減率大於乾絕

熱線時則將造成不穩定，因而有垂直混合產生，如此情況若持續下去，則將會有越厚

9-10

之低層大氣會變成乾絕熱遞減率，因而使得混合層頂到達飽和。亦即地面露點溫度沿

著飽和混合比線上升與溫度曲線交點之處即為對流凝結高度 (CCL)。因此CCL通常為熱

力對流雲（積狀雲）底之高度。

9-7 穩定層中之震盪

若有一小擾動激起了一點小垂直位移，則於穩定層內將有震盪產生。若考慮混合

作用則此種震盪將逐漸消退，然而於氣塊法中，因不考慮與環境混合作用，因此震盪

將持續下去。氣塊加速度由下式提供【同 (9.2.4) 式】

zTg

z vvv

2

(9.7.1)

{v

vv

TTT

gz

; T T gdzv v v v' ' }

上式中 z表示垂直位移。(9.7.1) 和力學中的線性調和運動 (linear harmonic motion) 方程

類似

0

kzz (9.7.2)

只是在我們例子中

2

22 2

vv

vTg

k (9.7.3)

其中為角頻率，為週期。(9.7.3) 和 (9.7.2) 式之解為

tAz sin (9.7.4)

而週期則為

vv

vTg

2(

2

) (9.7.5)

當氣塊和環境之溫度遞減率差別愈大時週期愈短，反之則愈長。此類波動之角頻

率通常稱之為 Brunt-Vaisala 頻率。事實上此類波動即為大氣中之重力波，因其回復力為重力而命名。例如，吾人假設 0vT C， 0v ，

pddv c1 （未飽和）得

min6.5sec335 。若 mA 200 （最大振幅）則震盪之最大垂直速度為

1max 7.3

3352200

msAz (9.7.6)

9-11

9-8 大氣中之內能與位能

地球系統整體而言維持輻射平衡，亦即太陽之短波輻射和地球之外逸長波輻射大

致抵消。然而於輻射平衡下，大氣亦同時進行著複雜之過程。當太陽光加熱大氣時不

僅增加了大氣之內能，同時因為膨脹而使重心升高，也同時增加了位能。內能和位能

又有部份轉成動能驅動各種尺度之大氣運動，因此大氣之主要能量就由內能、位能和

動能三者所組成。

由第四章討論中得知，濕內能和溼焓由下列式子表示：

constqlTch

constqlTcu

vp

vv

(9.8.1)

內能和焓中等號右邊第一項稱之為「可感熱」，而第二項則稱之為「潛熱」。

考慮每單位截面積之空氣柱（靜力平衡下），由地面（ 0z ）延伸到 hz ，此氣

柱之內能為

hpd

gRc

dRp

gc

dTgc

dzTcUh

vvvv

00

0

00

)()()(p

p

vp

p

vvp

p

v

h

hhTdp

gc

dpTgc

dpRp

gcdp

pgRc

(9.8.2)

上式中 vc 和R 隨溼度改變部份已被忽略。類似之積分則可應用於焓，並得

H Ucc

p

v

, (9.8.3)

同理， 0

0

p

p

ph

ph

Tdpgc

dzTcH ∴ v

p

cc

UH

對於位能而言

h h p

ph

zdpzdzgdzP0 0

0 {∵ gdzdp } (9.8.4)

利用部份積分及氣體方程

UcR

RTdzhpRTdzhppdzzpzdpPv

hh

hhh

pp

p

p hh

00

00

0][

Ucc

hpUc

cchpU

cR

hpTdzRhpv

ph

v

vph

v

h

hh )1(0

Uhph 1 (9.8.5)

若空氣柱延伸到大氣層頂（ 0hp ）則上式成為

UP 1 (9.8.6)

9-12

由上面吾人知內能、焓、和位能三者之間，在靜力平衡狀態下將有一正比關係存

在。當=7/5 得 5:2: UP {= 7/5, UUp52

)1( }

因此若大氣柱得到能量，則將有29 %存在於位能中，另外71 %存在於內能中。若

將內能和位能相加可得到焓：

HUUUUP )1( (9.8.7)

因此焓等於位能和內能之總和，且等於 倍之內能，當有外來能量輸入時，將增加焓

之量。

現在吾人考慮一個無限長之氣柱，同時為了討論方便，將氣柱垂直方向分成上下

二層（如下圖）。下層由地表到 hz 之高度，而上層則由 hz 到無限大。下層之位

能導可由 (9.8.5) 式而來

UhpP h 1 (9.8.8)

圖 9.6：大氣柱中內能和位能之分配情形。

另外上層之位能（由 hpp 積分到 0p ）則為

P p h Uh' ' 1 (9.8.9)

{ 1][ 00UhpTdzRzpzdpdzP hh

pph

p

ph

h

}

因此總位能

1 UUPP (9.8.10)

亦即

tt UP 1 (9.8.11)

其中 tP 為總位能 (total potential energy)， tU 為總內能 (total internal energy)。(9.8.11) 和

(9.8.6) 式完全相同。另外吾人發現當上層不改變而只有下層改變時（例如下層加熱，

上層不變），上層之內能 (U) 將維持常數但上層之位能 ( P) 將因高度h 改變而改變。

位能之變量可寫成

9-13

hpP h (9.8.12)

上式中 hp 代表位於初始高度 h 以上之氣柱重量， hp 將維持常數不變。亦即P之改變乃

由下層氣柱增加 h 之值乘上位於其上空氣之重量 ( hp ) 而得之。

另由 (9.8.5)、(9.8.11) 和 (9.8.12) 可得

UhpPP ht 1 (9.8.13)

總之，任何能量輸入將增加焓，【 UPH tt 】，其中 75 進入 U 而 72 進入

tP 。於 tp 中， hph 使 P 增加，而其餘則增加 P 部份。

現在吾人考慮一個封閉、絕熱、無摩擦之系統，則

0 UPK t (9.8.14)

HUUPK t (9.8.15)

因此動能可由焓之減少而來（當氣體之密度會有改變時）。事實上大氣中很少為絕熱

而無摩擦之現象，因此動能通常會透過摩擦力消散作用將能量傳遞給內能和位能。

9-9 可用位能 (available potential energy)

可用位能 (available potential energy; APE) 之概念最早由美國麻省理工學院 (MIT)

的 Lorenz 教授將之帶入大氣環流之能量轉換過程中，本節中無法詳細敘述 APE 之概

念，僅提供 APE 之基本理論基礎。詳細討論待大氣動力相關課程中再加以說明。此處

討論忽略凝結之作用，且假設垂直維持靜力平衡。另外吾人考慮絕熱過程下之情形，

其優點乃氣塊將沿著等位溫面移動，且對於大氣之大尺度運動而言，絕熱不失為一個

好的假設。

可用位能之概念乃在討論焓 ( H ) 如何被轉換成動能 ( K )，而 APE 則定義為經過絕

熱質量重新分配後所能得到之最小焓 ( minH ) 與原始值 ( H ) 間之差值：

minHHA (9.9.1)

傳統上吾人利用下二例子來說明 APE 之概念

(1) 於水平靜力穩定分層之大氣內，雖H 之值很大，但 A卻為零。

(2) 反之，將上述之大氣不均勻冷卻，雖使H 值減少，但 A值卻增加（ A＞0），並造

成不穩定（亦即 minH 減少得比H 值多）。

因此可用位能有如下之四種特性：

(1) 於絕熱氣流內，（ KA ）須保守。

(2) 可用位能完全由質量分配來決定。

(3) 若等壓線（ constp 線）和等位溫線（ const 線）重合則可用位能為零。

9-14

(4) 若等壓線和等位溫線沒有重合，則可用位能為正值。

但值得吾人注意的是，APE 並非全部可以轉換成動能，APE 只是焓轉換成動能之

上限而已。大氣中約只有 101 之 APE 可以轉換成動能，而 APE 只佔焓之 2001 而已，

因此大氣中之焓（即總位能）約只有 20001 可以轉換成動能而已。因此大氣可以說是

一個非常無效率之「熱機」(heat engine)。

現在吾人來討論面上之可用位能。由於隨著高度呈單調地遞減，因此吾人可

以用來取代壓力 ( p ) 和高度 ( z ) 作為垂直座標。等面通常又稱之為等熵面

(isentropic surface)。

在面積 S 之等熵面上平均氣壓值定義為

dSyxpS

ps ,,

1(9.9.2)

對於絕熱過程而言 p 應為常數，因為 pS 代表位溫超過之總空氣重量。而面積 S

所包圍之總焓為

s

pp TdpdSgc

H0

0

c

g pdp dSp p

s1 00

1

0

0

(9.9.3)

{ )()(0

0

pp

Tpp

T ; dppdp

1

11

}

上式中 mbp 100000 且 pc 和 g 為常數。上式中括號內可改寫成

dppdp pp

0

00 1

01

0

1

dpp 0

1100 (9.9.4)

等號右邊第一項之值有一部份已被假設為零，因為 p 隨著高度遞減比隨高度增加來

得快多了。另外吾人已假設在 0pp 時 0 。

另外若假設＜ 0範圍內 p 為常數則

dpp

0

0

1100 (9.9.5)

因此 (9.9.4) 變為

0

11

0

111000

1

0

0

0

0

dpdpdpdppdpp

=> dp p dp 1

0

1

0

0

(9.9.6)

將 (9.9.6) 式代回 (9.9.3) 式得

dSdppg

cH

s

p

0

1

001(9.9.7)

現在 minH 可以透過壓力（ p ）在等面上不變下質量重新分配而獲得，因此

9-15

dSdppg

cH

s

p

0

1

00min 1

(9.9.8)

而可用位能便成為

dSdpppg

cA

s

p

0

11

001(9.9.9)

若吾人寫

ppp )1(pp

p

則

21

111

21

111pp

pp

ppp

pp

(9.9.10)

代回 (9.9.9) 得

Ac

g pp d dS p

pp

d dSp

s s

11

1200

1

0

12

0

'(9.9.11)

上式中括號內第一項為零【用 ppp 和 (9.9.2) 式可得】。因此上式變為

dSdpp

pgpc

As

p

21

00 02

(9.9.12)

因此若在平均氣壓面上有氣壓擾動， 0A 。

可用位能也可以用溫度來表示。假設吾人用

TTT (9.9.13)

再利用等面上之特性

pp

Tpp

pp

pp

T 110000

(9.9.14)

可得

TT

pp

1

代回 (9.9.12) 得

dSdTT

ppg

cA

s

p

21

00 02

(9.9.15)

因此可用位能亦可以另一種觀點來看：在平均溫度面上有溫度擾動則 0A 。

現在讓吾人考慮一個簡單模式（如下圖）。我們假設一長方形面積，長度為L，寬

度為W，並以變數X代表沿著長度變化之量，變數Y代表沿著寬度變化之量。圖中虛線

9-16

代表在 X 平面上之等壓面，且等壓面有一固定之傾斜率。根據線性變化量得

Lx

SL

pxp2

11,2

, (9.9.16)

上式中 S 為斜率。同時吾人進一步假設在 2Lx 處大氣之溫度遞減率為常數，且空

氣為乾燥的。若中點之地面氣壓 hPaLp 1000,2 00 ，地面溫度0 = 300 K，15.6 gphmK ， 15.0S （代表在等熵面上氣壓變化可達 hPa150 ）則每單位面積可

用位能及總焓將分別為2926 J1058.2,J1056.3 mHmA

因此 725/1/ HA

圖 9.7：可用位能存在與否之示意圖。

9-17

第九章 習題 (Homework)：

9.1 「氣塊法」所做的 4 項假設為何?

9.2 以溫度遞減率說明大氣為「不穩定」、「中性」及「穩定」的條件為何?

9.3 証明溼絕熱線的溫度遞減率 m為

rd

m 87.01

,其中 d為乾絕熱降溫率, r 為混合比。

9.4 以乾絕熱降溫率( d)及溼絕熱降溫率( w )說明大氣為「絕對不穩定」、「條件性不穩定」及「絕對穩定」的條件為何?

9.5 証明在 Emagram 圖(座標為T 及 ln p )上，浮力作用於氣塊上每單位質量之功與探空曲線所圍成之面積成正比。

9.6 試以氣塊之虛溫 vT 及環境之虛溫 vT ，表示環境作用於氣塊之浮力為何? 並解釋其

物理意義。

9.7 試証明在穩定大氣中，重力波的振盪頻率為 Brant-Väisälä 頻率 N ，其中

v

vv

TgN

22 ,

其中 g 為重力加速度, v為氣塊之降溫率, v為環境空氣之降溫率, vT 為環境空氣

之溫度。

9.8 試証明就整個大氣層而言(空氣柱由地面延伸到大氣層頂)，

P + U = H, 其中 P 為位能，U 為內能，H 為焓。

9.9 根據習題 2.9「位密度」(potential density) 的定義

pv

cc

pp

D )( 0 ,

証明大氣穩定度的條件如下:

穩定 =>dzdD

< 0

中性 =>dzdD

= 0

不穩定 =>dzdD

> 0