Chapitre 2 : La Transforme de Laplace

H. Kesraoui 1

Chapitre 2

La Transforme de Laplace

2.1 Introduction :

L'tude des systmes s'accompagne invitablement de la manipulation

d'quations diffrentielles. Or les oprations lies cette manipulation sont souvent

dlicates et la rsolution des quations n'est pas toujours simple. Pour faciliter les

calculs, on utilise un outil mathmatique puissant: La Transforme de Laplace.

2.2 Dfinition :

Soit f une fonction de la variable relle t (temps)dfinie sur R et suppose nulle

pour t

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Fig 2.1 Echelon unitaire

L p.t p.t p.t

0 00

1 1u(t) U( p) u(t).e .dt = 1.e .dt = - .e

p p

1U( p)

p

2.3.2 La rampe r(t) :

t si t 0

r(t)0 si t < 0

Fig 2.2 Rampe (ou chelon e vitesse)

L p.t p.t20 0

1r(t) R( p) r(t).e .dt = t.e .dt =

p (Intgration par parties)

2

1R( p)

p

2.3.3 Limpulsion (de Dirac) :

1/T si t>0

(t) 0 si t < 0 et t >T

avec T 0

Fig 2.3 Impulsion de Dirac

Le calcul de la transforme de Laplace de limpulsion permet de donner le

rsultat suivant :

L(t) ( p) 1

t

r(t)

1

1

t

u(t)

1

0

0

t

(t)

1/T

T 0

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2.4 Principales proprits :

Les principales proprits de la transforme de Laplace sont :

2.4.1 Linarit :

Soient a et b deux constantes, la fonction f(t) = a.f1(t) + b.f2(t) a pour

transforme de Laplace : F(p)= a.F1(p) + b.F2(p).

Lf(t) a.f1(t) b.f 2(t) F( p) a.F1( p) b.F2( p)

(Attention : La transforme de Laplace de f(t).g(t) nest pas le produit F(p).G(p)).

2.4.2 Facteur dchelle :

La fonction g(t)=f( k .t) a pour transforme de Laplace G(p)= k

1.F(

k

p) ( *k )

L 1 pg(t) = f( k.t) G( p) .F( )k k

2.4.3 Translation :

La fonction g(t) = f(t).e-a.t a pour transforme de Laplace G(p) =F(p+a).

L-a.tg(t) = f(t).e G( p) F( p a)

2.4.4 Thorme du retard :

Soit f une fonction dont la transforme de Laplace est F ( Lf(t) F( p) ) et soit

g la fonction prsentant un retard par rapport f telle que g(t)=f(t-), alors on a :

Fig 2.4 Illustration du thorme du retard

L .pg(t) = f(t- ) G( p) F( p).e

f(t)

t 0

g(t)

t 0

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2.4.5 Drivation :

Ldf(t)Ordre 1: f'(t)= p.F( p) f(0 )dt

nL(n) n n 1 ( n 2) ( n 1)

n

d f(t)Ordre n: f (t)= p .F( p) p .f(0 ) ... p.f (0 ) f (0 )

dt

Si les conditions initiales f(0+)et f(n-1)(0+) sont nulle, ce qui est gnralement le

cas, alors on aura :

Ldf(t)Ordre 1: f'(t)= p.F( p)dt

nL(n) n

n

d f(t)Ordre n: f (t)= p .F( p)

dt

2.4.6 Intgration :

En considrant les conditions initiales nulles :

L F( p)f(t).dtp

N.B :

Lorsque les conditions initiales sont nulles, on peut retenir simplement :

- Driver dans le domaine temporel revient multiplier par p dans le domaine

frquentiel.

- Intgrer dans le domaine temporel revient diviser par p dans le domaine

frquentiel.

-

2.4.7 Thormes des limites :

Thorme de la valeur initiale :

t 0 pf(0) lim f(t) lim p.F( p)

Thorme de la valeur finale :

t p 0f( ) lim f(t) lim p.F( p)

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2.5 Tables des Transformes de Laplace :

Il est souvent plus simple de calculer la transforme de Laplace dune fonction

partir de la transforme de Laplace dune autre fonction connue en utilisant les

proprits et les thormes prcdents.

A partir de quelques rsultats de base, on peut ainsi trouver rapidement les

transformes de Laplace de la plupart des fonctions utilises en lectronique ou en

automatique dans les asservissements.

On regroupe ces fonctions de base dans des tables dites tables de transformes

de Laplace afin dviter le calcul systmatique. (Les tables des T.L sont donnes la

fin du chapitre).

2.6 Utilisation de la transforme de Laplace :

La transformation de Laplace permet de remplacer une quation diffrentielle

dans le domaine temporel par une quation polynomiale dans le domaine symbolique.

En effet, elle est particulirement adapte la rsolution des quations

diffrentielles linaires cfficients constants.

2.6.1 Exemples :

a) 0m.x" k.x 0 x(0)=x ; x'(0) 0

1

0

0

L0 00Table

m.p.X( p) m.p.x(0) m.x '(0) k.X( p) 0

m.p.X( p) m.p.x k.X( p) 0

X( p).(m.p k) m.p.x

m.p.x p.x kX( p) x(t) x .cos( .t)mkm.p k p m

b) y'' + 3.y' + 2.y = u(t) y(0) = -1 ; y'(0) = 2.

1LTable

1pY( p) p.y(0) y'(0) 3.p.Y( p) 3.y(0) 2.Y( p)

p

1 1 p pY( p).( p 3.p 2) p 1

p p

1 p pY( p) y(t) dans la table

p.( p 3.p 2)

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On est oblig de faire une dcomposition en lments simples :

1

t 2.t

L

t 2.t

1 p p 1 p pY( p)

p.( p 3.p 2) p.( p 1).( p 2) p p 1 p 2

1 11 1 y(t) e .e12 2 2 2d'o Y( p)p p 1 p 2 y'(t) e e

On vrifie bien que y(0)=-1 et y(0)=2.

2.7 Fonction de transfert dun systme :

Soit lquation diffrentielle suivante liant la sortie dun systme son entre : n n 1 m m 1

n n 1 1 0 m m 1 1 0n n 1 m m 1

d s d s ds d e d e dea . a . ... a . a .s b . b . ... b . b .e

dt dt dt dt dt dt

Pour rsoudre cette quation diffrentielle, on lui applique la transforme de

Laplace (en supposant que les conditions initiales nulles) :

n mn 1 0 m 1 0a .p .S( p) ... a .p.S( p) a .S( p) b .p .E( p) ... b .p.E( p) b .E( p)

n mn 1 0 m 1 0(a .p ... a .p a )S( p) (b .p ... b .p b ).E( p)

On dfinit la fonction de transfert (ou transmittance) du systme par le rapport

de la transforme de Laplace de la sortie S(p) sur celle de lentre E(p):

mm 1 0

nn 1 0

S( p) b .p ... b .p bH( p)

E( p) a .p ... a .p a

C'est une fonction rationnelle. L'ordre du systme (qui est l'ordre de l'quation

diffrentielle) est le degr du dnominateur de H(p).