Relatório Wavelets

Análise de Múltipla Resolução (MRA)Apesar dos problemas de resolução já falados devido ao principio de incerteza

de Heisenberg, que existe e sempre existirá qualquer que seja a transformada usada, é possível analisar usando um método mais dinâmico que o permitido pela STFT. O MRA permite obtermos diferentes resoluções para diferentes frequências.

Este método é usado pelas onduletas onde se obtêm:

boa resolução no tempo e fraca na frequência a altas frequências.

má resolução no tempo e boa na frequência a baixas frequências.

Faz sentido quando o sinal tem altas frequências por curto período de tempo e baixas por longo período de tempo, em que obtemos uma boa relação na resolução. Felizmente os sinais encontrados são muitas vezes deste tipo como o que aparece na figura abaixo.

Podemos observar no centro do sinal a tal presença de altas frequências por um curto período de tempo, enquanto as baixas frequências se encontram ao longo da maior parte do sinal.

Transformada de Onduletas Continua (CWT)

Esta transformada foi desenvolvida como uma alternativa a STFT devido ao já muito referido problema de resolução. A análise da wavelet é feita de forma muito similar á STFT, pois em ambas o sinal é multiplicado por uma função 'janela' tal como na STFT, mas neste caso essa função é uma wavelet. A transformada em ambas é computada separadamente para diferentes segmentos no domínio do tempo do sinal. Temos apesar disso duas grandes diferenças:

1. não é usada a transformada de Fourier das bandas de sinal, logo só será visto um pico correspondente a uma sinusóide (as frequências não são calculadas, logo os picos correspondentes a estas não aparecem nos gráficos).

2. A largura da janela muda conforme a transformada vai sendo calculada para cada componente espectral .

Esta ultima é a mais importante já que e a que nos permite obter uma escala de resoluções dinâmica.

A transformada de onduletas contínua é definida por:

Para esta transformada temos 3 novos conceitos principais:

Translação( τ ) – relacionada com o tempo ;

Escala ( s ) – relacionada com a frequência;

ψ(t) - onduleta mãe( a nossa window function).

TranslaçãoEm vez de tempo, usamos o termo de translação que esta relacionado com a

localização da janela conforme esta se desloca pelo sinal. Corresponde a informação temporal no domínio da transformada.

EscalaEm vez de Frequência, o parâmetro de escala que pode ser definido com

1/frequência.

Escalas grandes correspondem a baixas frequências enquanto escalas pequenas a altas frequências. Este tipo de relação faz sentido se repararmos que para grande parte dos sinais as baixas frequências têm grande duração enquanto as altas pequena.

Como podemos ver pela imagem para um s grande a escala dilata enquanto para um s pequeno a escala comprime (acontece exactamente o contrario para a

frequência). Isto relaciona-se com o facto de o s ser usado em denominador na equação da transformada.

Onduleta mãeO termo onduleta significa onda pequena, que se refere a condição de que esta

função (janela) é de comprimento finito, e onda deve-se ao facto de a função ser oscilatória. O termo mãe implica que as funções com diferentes regiões de suporte que são usadas no processo da transformada, são todas originadas de uma função mãe, que serve de protótipo para estas.

Podemos observar na imagem a mesma onduleta mãe com diferentes escalas.

Perspectiva Matemática

O produto interno entre duas funções é definido por:

* representa o conjugado.

Ortogonalidade

Chamam-se funções ortogonais as funções (complexas de variável real) que satisfazem as seguintes condições:

Nesta caso o conjugado é a barra. Podemos ver que o produto interno é maior que zero quando n = m, logo quando as funções são iguais (pois trata-se neste caso da mesma função).

Se nós pensarmos na CWT como produto interno do sinal em estudo com a função base ψ(t):

Onde:

O factor de normalização 1/raiz(s) garante que a energia seja a mesma para todos os valores de s.

Podemos ver que o produto interno será maior, quanto mais semelhantes forem as duas funções, no caso da transformada, o sinal com a onduleta. Concluímos então que a analise por onduletas é na verdade uma medida de similaridade entre estas funções, em que esta similaridade esta directamente relacionada com a frequência, pois para cada escala vemos a proximidade da frequência entre estas.

Para uma escala pequena encontramos as frequências altas, enquanto para a uma escala alta encontramos as frequências baixas.

Exemplo com sinal não estacionário

Podemos ver que as varias frequências presentes:

Ao aplicar a transformada por onduletas obtemos:

Observamos o sinal decomposto nas suas ondas. Podemos ver a escala pequena para as frequências mais altas, e como esta aumenta conforme a frequência no sinal vai baixando. Além disso observamos no eixo da translação a ordem pela qual as frequências vão aparecendo. Podemos fazer uma conversão desta escala para saber quando no tempo estas frequências aparecem.

Concluindo agora esta parte, recordamos o motivo porque esta transformada foi criada, a resolução. Podemos ver que para escalas altas temos pior resolução. Na verdade iremos ter uma melhor resolução na frequência, enquanto que as escalas baixas que possuem uma melhor resolução na escala, o que significa pior na frequência.

Exemplos de Wavelets mais comuns

Função de Morlet

Definição Matemática:

a – parâmetro de modulação.σ – parâmetro de escala (afecta a largura da janela).

Função Mexican Hat

Definição Matemática:

É a segunda derivada da função Gaussiana:

σ – parâmetro de escala.

Transformada por Onduletas Contínua (CWT) inversa

Se a onduleta é escolhida apropriadamente é possível reconstruir a forma original da onda a partir dos coeficientes da wavelet. Vimos que a CWT decompõe a forma da onda em coeficientes de duas variáveis, s e τ, uma dupla integração é necessária para recuperar o sinal original a partir dos coeficientes:

Temos que respeitar duas condições:

1)

É a chamada condição de Admissibilidade. Esta constante depende da onduleta usada.

2)

Para o integral da onduleta ser zero implica que esta tem que ser oscilatória, felizmente este não é um critério muito restritivo pois a maior parte das wavelets respeitam esta condição. Podemos ver facilmente olhando para os gráficos das wavelets exemplo (Morlet e Mexican Hat) que ambas respeita esta condição.

Na verdade a reconstrução pelos coeficientes da CWT raramente é usada devido a redundância da transformada.

Características tempo - frequência

Também aqui se aplica o principio de incerteza de Heisenberg, por isso calculamos o intervalo de tempo e frequência a k corresponde um ponto (a e t) da wavelet. Elas oferecem um compromisso na 'batalha' entre a localização no tempo e na frequência, pois estão localizadas em ambas, mas não exactamente em nenhuma.

t0 - tempo central , W0 - frequência central, a - escala , t - translação

Relação entre tempo e frequência. Note-se que uma melhor resolução no tempo equivale a uma pior na frequência e vice-versa. As áreas de resolução são exactamente as mesmas, qualquer que seja a frequência, sendo que não as podemos reduzir a partir de certo ponto devido ao principio de incerteza de Heisenberg, pois não podemos localizar pontos exactos, apenas intervalos.

Problemas relacionados com a CWT

Elevada redundância obtemos muito mais amostras da forma de onda original que as necessárias.

Esforço computacionalmente excessivo para aplicar a transformada inversa devido ao domínio em que estamos a trabalhar.

Devido a isto precisamos de uma solução. Precisamos de uma transformada que nos permita recuperar o sinal com um número mínimo de coeficientes.

Transformada de Onduletas Discreta (DWT)

Vantagens:

A continua é demasiado redundante no que diz respeito a reconstrução do sinal requerendo uma quantidade significativa e recursos computacionais e de tempo.

A DWT fornece informação suficiente para a análise e síntese do sinal original com redução significativa de tempo computacional.

É consideravelmente mais fácil de implementar a comparar com a CWT.

Em relação ao funcionamento desta, a ideia base é a mesma da CWT, vamos obter uma representação tempo-escala do sinal. Para isto usam-se técnicas de filtragem digitais, em que dividimos o sinal em bandas de varias frequências com diferentes escalas. É de lembrar que na CWT se usava a escala como medida de semelhança entre a onduleta e o sinal.

Discretização da CWT

Primeiro teremos que obter os coeficientes através de uma discretização da CWT. A escala mais usada para isto chamase escala diática:

{a,b} correspondem a escala(s) e a translação(τ)

Esta usa um critério logarítmico, neste caso de base 2 que significa que só temos valores na escala de 2,4,8,16,32,.. que de facto é uma escala discreta.

Funções usadas na DWT

Funções de escala(ϕ) – encontram-se associadas a filtros passa baixo.

Funções de Onduletas(ψ) – estão associadas a filtros passa alto.

ck e dj,k - coeficientes dos filtros (passa alto e passa baixo, respectivamente).

em que

em que

A decomposição é obtida por filtragens(passa-alto e passa-baixo) sucessivas do sinal no domínio do tempo, para bases ortonormais. Ortonormalidade significa que as bases são ortogonais e além disso unitárias.

Filter Banks

Filtros para separar o sinal digital por frequências e analiza-lo em diferentes escalas. Os filtros passa-alto são usados para altas frequências e os passa baixo para baixas frequências. Devido á aplicação dos filtros a resolução vai mudando conforme as filtragens e logo a escala muda, aumentando o número de amostras (upsampling) ou diminuindo (downsampling).

Subband coding

Critério mais usado dos Filter Banks em que primeiro o sinal passa por um filtro passa-alto de meia banda g[n] e por um filtro passa-baixo h[n]. Depois de aplicados os filtros, metade das amostras podem ser eliminadas de acordo com a regra de Nyquist já que o sinal tem de frequência mais alta π/2 em vês de π (pois antes de aplicarmos este critério passamos a frequência para uma escala de 0 a π rad/s), e então realizar um downsampling de 2.

Filtros: Regra de Nyquist:

Obtemos então os outputs depois do downsampling.

Sabemos então que só metade das amostras caracteriza agora o sinal(metade da resolução no tempo), mas aumenta a resolução da frequência diminuindo a incerteza desta para metade.

Esquema da Subband coding:

Usamos uma escala para a frequência de 0 ~ π rad/s.

Aplicamos os filtros g[n] (passa-alto) e h[n] (passa-baixo) ficando com metade das amostras em cada. Fazemos então o downsampling em ambas e voltamos a aplicar os filtros ao resultado do filtro passa-baixo aplicado anteriormente.

Podemos ver que o facto de irmos retirando os coeficientes dos filtros passa-alto tem alguma lógica pois já anteriormente vimos que as frequências altas tem uma duração muito mais curta que as baixas, desta forma acabamos por obter uma divisão relativamente equilibrada em relação ao tempo, mesmo que não o seja em relação a frequência.

Exemplo:

Vamos repetir isto para um exemplo na tentativa de tornar este processo mais claro. Suponhamos que temos um sinal x[n] com 512 pontos, e uma banda de frequências de 0 a π rad/s. No primeiro nível de decomposição o sinal passa por um filtro passa-alto e por um passa-baixo, seguido de um downsampling de 2 em cada um. O resultado do filtro passa-alto tem 256 pontos (metade da resolução do tempo original), no entanto a variação da frequência só vai de π/2 a π rad/s (logo o dobro da resolução em frequência). Estas 256 amostras constituem o primeiro nível de coeficientes da DWT. Em relação ao resto dos pontos (256), que são o output do filtro passa-baixo, com uma frequência que vai de 0 a π/2 rad/s, vão ser submetidos novamente aos mesmo filtros para posterior decomposição. Efectuam-se exactamente uns mesmos passos que anteriormente e vamos obter dois outputs de 128 pontos, em

que os relativos ao filtro passa-alto serão os próximos coeficientes da DWT. As resoluções variam novamente de maneira igual para este output, o que significa que vamos obter uma resolução no tempo 4 vezes menor que a do sinal original, no entanto a da frequência será 4 vezes maior. O output do passa-baixo será novamente sujeito a decomposição. Este processo só para ate obtermos 2 amostras. Significa que para este caso teríamos 8 níveis de decomposição.

A DWT do sinal original é então obtida concatenando todos os coeficientes, começando pelo ultimo nível de decomposição obtido. O resultado final terá o mesmo numero de amostras do sinal original. As frequências mais proeminentes aparecerão então com amplitudes grandes no sinal da DWT obtido. No entanto a localização no tempo terá uma resolução que depende em que nível estas aparecem. Maiores frequências terão uma localização mais precisa, já que são caracterizadas por um maior número de pontos.

Podemos ver que neste caso (sinal de 256 amostras) só nos vão interessar as primeiras 64, pois podemos observar que o resto dos pontos não fornece informação relevante, o que nos dá um esquema de redução de dados muito eficiente.

Transformada Inversa

A transformada inversa implica basicamente em aplicar os filtros inversos no sinal decomposto, realizando um upsampling. Isto quer dizer fazer o contrário do que fizemos para aplicar a transformada.

Upsampling:

Consiste em acrescentar zeros nas posições eliminadas anteriormente por downsampling.

Esta baseia-se nos mesmos critérios anteriormente referidos de ortogonalidade e ortonormalidade para obter os filtros inversos.

h' = (h'1,h'2,...,h'N) = (hN,hN − 1,...,h1) inverso do filtro h.

g' = (g'1,g'2,...,g'n,...,g'N) = (h1, − h2,...,( − 1)n + 1hn,...,( − 1)N + 1hN) inverso do filtro g.

Vamos explicar isto e mais pormenor para o caso mais simples, ou seja quando realizamos apenas uma decomposição com 2 filtros.

g filtro passa-alto h filtro passa-baixo L comprimento do filtro

Os filtros que respeitam esta condição são muito usados onde a conversão de passa-alto para passa-baixo é dada pelo factor -1n. Estes filtros não podem ser independentes entre si. As operações de filtro e upsampling são expressas por:

Obtemos então esta fórmula para reconstruir o sinal:

Mas nem todos os filtros permitem uma reconstrução perfeita, os mais usados para isto são as chamadas Daubechies Wavelets .

Wavelets mais utilizadas

Podemos ver na tabela que se segue as características mais comuns entre as varias wavelets utilizadas, sendo que não existe um numero de wavelets definido pois dependendo do tipo de sinal que estamos a avaliar, a wavelet mais indicada para a análise pode variar.

bases ortonormais e biortogonais – são muito boas na redução de erros.

As biortogonais, como as Splines têm a vantagem de que tanto os filtros de decomposição como os de reconstrução podem ser simétricos.

Transformada de Haar

Este é um caso particular da transformada de onduletas que equivale a onduleta de Daubechies D2, que possui um critério bastante simples.