chapter 18 靜電
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Chapter 18 靜電18-1 電荷與電量18-2 庫侖定律18-3 電場與電力線18-4 電位能、電容、電位差18-5 電容
概念圖靜電 動電電
起電方式靜電力
起電材質
摩擦起電
靜電感應
絕緣體
導體
半導體
感應起電
雷電現象 避雷針 驗電瓶
電荷
庫侖定律
電場
高斯定律
電位差
電位能
電流
電壓
電阻
電路
電容
交流電
三用電表
電動勢
直流電電池
國小 國中 高中
電功 電功率
電流熱效應 力學能
通路、斷路、短路
串聯與並聯
用電安全
歐姆定律
克希荷夫定律
惠司同電橋馬達、電熱器
大學
18 章 19 章
重點 Outline 電荷 Electric Charge 絕緣體與導體 Insulators and Conductors 庫侖定律 Coulomb’s Law 電場 The Electric Field 電場線 Electric Field Lines Shielding and Charging by Induction Electric Flux and Gauss’s Law
電的認知 電 (electricity) 的字義為希臘文琥珀
(electron) ，因為用毛皮摩擦過的琥珀可以吸引很輕的小物體。
摩擦起電：將兩物體 ( 非導體 ) 上的互相摩擦，有互相排斥或是吸引的現象。
電的認知 電荷的命名 ( 富蘭克
林 ) 玻璃棒與絲絹摩擦，
玻璃棒所帶的電稱為 正電 (Positively Charged)
塑膠棒與毛皮摩擦後，塑膠棒所帶的電稱為 負電 (Nagatively Charged)
電的認知 電荷的命名 ( 富蘭克林 )
同性相斥、異性相吸
電荷守恆定律經驗定律 任何一個孤立的系統中，電荷的 總和 是
不變的。 不論是 物理變化 、 化學變化 或是 核反
應 均成立 當產生一個正電荷，必然產生一個負電荷
，任何一個孤立系統的總電荷量維持不變
守恆定律 ( 複習 ) 自然界最重要也是最基本的定律。 它是自然界普遍遵守的一系列定律。 即某一種物理量，它既不會自己產生，也不會消
失，其總量守恆。包括： 質量守恆定律 化學反應 能量守恆定律 動量守恆定律 角動量守恆定律 電荷守恆定律
物理範圍 質能守恒
電荷量子化 ( 電荷的不連續性 ) 電荷的不連續性：
意旨在電的傳遞過程中有一個最小單位，它是不可被分割的，這個觀念在電的部分還好接受。
量子化的概念卻引起了後來的量子力學發展，卻是近代物理中最大的貢獻。
源自法拉弟電解實驗 十九世紀末， J.J. Thomson 的發現與
H.A.Lorentz 的理論 (Chapter 23~25)
電荷量子化 ( 電荷的不連續性 ) 1909 年在 Millikan 的油滴實驗，
發現每個油滴所帶的電荷都有一個「最大公約數」，
此最大公約數就是電荷的基本單位， 自然界中電荷的基本單位為
-191e.c 1.60 10= × (C)(庫侖)
181( ) 6.25 10 ( . )C e c= ×
電荷量子化 ( 電荷的不連續性 ) 所以，電量的 SI 單位稱為 庫侖 ， 記為 C 。 從實驗測量中我們得知一個質子與一個電子所
帶的電量均為 庫侖，質子帶正電，電子帶負電。
-191e.c 1.60 10= × (C)(庫侖)
電荷量子化 ( 電荷的不連續性 ) 電荷觀念的演進
電流體的觀念
法拉第電解定律
J.J.Thomson的實驗
H.A.Lorentz的理論 Millikan
油滴實驗電荷的不連續性
電荷的量子性
證實
導體、半導體、絕緣體（複習） 絕緣體：物質中的帶電質點無法自由移
動稱為絕緣體 如：玻璃、橡膠、乾燥的木材
導體、半導體、絕緣體（複習） 半導體：導電性在導體與絕緣體中間的物
體，導電性可由外界因素而改變。 如：矽、鍺等
導體、半導體、絕緣體（複習） 導體：物體中具有可自由移動的帶電質
點稱為導體 金屬：擁有自由電子 -> 電荷可以在物質內自由移動
電解質水溶液：具有正、負離子而導電 游離的氣體：具有正、負離子而導電
特殊性質靜電感應的現象 帶電體接近導體時，導體上靠近帶電體的
一端會產生異性電，相距較遠的一會端會產生同性電，這種正、負電荷分離 的現象稱為靜電感應。
特殊性質靜電感應的現象 帶電體接近絕緣體時，絕緣體上電子雖然無法自由移動，離開原子的束縛，但仍會稍稍調整位置，使物體呈現 極化 的現象
帶電體的電性 基本概念
當物體內質子與電子的數目相等時，則成 電中性 。
若物體內質子與電子數目不相等時，則稱物體為 帶電體
原子結構 (proton)
質子原子核(nucleus)
原子 中子(neutron)電子(electron)
帶電體的電性 電性的判斷： N+ ：總正電荷數、 N- ：總
負電荷數:
:
:
N N
N N
N N
+ −
+ −
+ −
> = <
物體帶正電物體電中性物體帶負電
帶電體的電性 摩擦起電： 電荷的轉移 電中性的兩物體互相摩擦時，原子獲得能量，使
自由電子 從一物體轉移到另一物體 (游離能的差異 )
其中獲得電子者帶 負電 ，失去電子者帶 正電 兩者所帶的電量 相等 ，但電性 相反 。 範例：
玻璃棒與絲絹：電子從玻璃棒移到絲捐 塑膠棒與毛皮：電子從毛皮移動到塑膠棒
帶電體的電性 感應起電：利用 靜電感應 可使中性導體
帶電，稱為感應起電
金箔驗電器 Gold-Leaf Electroscope 原理：
靜電感應原理 作用：
檢驗物體是否帶電及所帶的電性
金箔驗電器 Gold-Leaf Electroscope 檢驗待測物是否帶電。
帶電物體靠近，但不接觸 金箔張開
金箔因「負電荷」而分開
因靜電感應，金屬球產生正電荷
金箔驗電器 Gold-Leaf Electroscope
判別待測物所帶的電性。 先讓金箔驗電器帶電金箔先張開
金箔驗電器 Gold-Leaf Electroscope
若物體與金箔帶同性電。 當靠近驗電器，金箔張開角度會再加大 原因：同性電互相排斥
金箔驗電器 Gold-Leaf Electroscope 若物體與金箔帶異性電
當靠近驗電器，金箔張開角度會先變小，再變大
原因：
金箔驗電器 Gold-Leaf Electroscope
判別待測物為導體或絕緣體。
例 1: 靜電感應（ 75 年日大改） 如右圖所示，一接地之金屬球殼，殼內以
絕緣線繫一正電荷 +Q於球心。另將一電荷 +q置於球殼外附近，則球殼上的電荷如何分佈 ?
解： 金屬球殼將 +Q 包圍
內表面感應電荷為 -Q ，外表面感應電荷 +Q 金屬球殼接地：＋ Q 傳到地上
球殼外 +q靠近 靠近 +q 一端產生感應電荷 -q ，另一端產生 +q 球殼接地： +q（傳到地上 )
解：重要 屏蔽作用 ：
被金屬導體包圍的帶電體 ，可不受外界電荷的影響。
其原因是金屬導體的感應電荷對帶電體的作用力 ，和外界電荷對帶電體的作用力互相抵消所致。
常見的帶電離子-19
-19
2+ -19
(proton):1.6 10 ( )
1.6 10 ( )
(He ):3.2 10 ( )
C
C
C
× ×
×
質子原子核(nucleus)
原子 中子(neutron)電子(electron):-
氦原子核
18-2 庫侖定律 (Coulomb’s Law) 1785 年庫侖仿照卡文迪西扭秤實驗之方法確定電荷間的力與距離的關係
與兩者的電量乘積成正比， 與兩者間的距離平方成反比，
力的方向在兩者所連成的直線上
1 22
q qF
r
×µ
庫侖定律 q1與 q2同號則為 斥力 ，異號則為 吸引
力 ； 電量的單位就直接叫做庫侖 (C)（MKS制），如果我們在把公式具體化：
其中， k 為一個常數，在真空中的值約為 9.0×109 N-m2/C2 ，現在真正的定義是：
1 22
q qF k
r
×=
00
1,
4k ε
πε= 為真空中的電容率(permittivity of free space)
庫侖定律的基本性質 靜電力為一種 連心力 力的性質
異性電，為吸引力， F < 0
同性電，為排斥力， F > 0
庫侖定律的基本性質 Superposition – The electric
force on one charge due to two or more other charges is the vector sum of each individual force
Spherical charge distributions - A spherical distribution of charge, when viewed from outside, behaves the same as an equivalent charge at the center of the sphere.
2
q QF k
r=
1 12 13 14F F F F= + +r r r r
庫侖定律 僅適用在 點電荷 。 若帶電體體積極大，則另一帶電體靠近時候，電荷會重新分佈，導致兩者間的靜電作用力不滿足庫侖定律 ( 大學電磁學範圍 )
作用範圍自原子核外之距離到無窮遠處均適用
庫侖靜電力與牛頓萬有引力的比較 相同點：
超距力 力的大小與距離平方成
反比均為保守力
庫侖靜電力與牛頓萬有引力的比較 相異點：
庫侖力因為物體 帶電 的特性造成，萬有引力因物體具有 質量 的特性造成
庫侖力有吸引力、排斥力，萬有引力只有吸引力
庫侖靜電力與牛頓萬有引力的比較 相異點：
庫侖力的大小與帶電體所在的 介質 (環境 ) 有關 真空與潮濕的環境，相通的帶電體會有不同大小的靜電力
萬有引力與物體所在的環境無關。 無特別聲明，自然界中的基本粒子或是點電荷而言， 兩電荷間的庫侖力遠大於兩電荷間的萬有引力 (詳情請看例題 )
例 2 ：基本題 已知質子 (氫原子核 ) 帶一單位正電荷，電
子帶一單位負電荷，基本電荷電量單位e=1.6×10-19 庫侖。質子的質量為 1.7×10-27 公斤，電子質量為 9.1×10-31 公斤。則質子與電子間的庫侖力大小為萬有引力大小的幾倍？
解：
-31 -2711
2 2
9.1 10 1.7 106.67 10g
M mF G
r r−× × × ×= × = × ×
19 29
2 2
(1.6 10 )9 10e
Q qF k
r r
−× ×= × = × ×28
2
2.3 10( )eF N
r
−×=
2839
67
2.30 102.23 10
1.03 10e
g
F
F
−
−
×= ≈ ××
67
2
1.03 10( )gF N
r
−×=
兩者差距 1039倍，在原子的尺度下我們都會忽略重力的影響
重點： 在「微觀」的世界（範圍） 比如電子、質子的之間處理 甚至更小的夸克 都可以忽略重力的處理。 僅考慮兩者之間的電磁作用力
例 3 ： Superposition of forces 如圖所示，正三角形三頂點上各置有點電
荷 q ，若於此三角形重心處放另一點電荷Q 後，此四個點電荷恰可成靜止平衡狀態，則 Q 與 q間之關係為何 ?
邊長： d
邊長： 3
3d
解： 由力圖顯示
中央位置必須放置異性電 Q 方可平衡
2 22
33
( )3
q Q qQF k k
dd
×= × = ×
F1
F2
Fe
2
2e
qF k
d= ×
2
1 22 cos 2 cose
qF F k
dθ θ= × = × × ×
2
1 2 2 20 2 cos 3 0
q qQF F k k
d dθ+ = ⇒ × × × + × =
3q Q= −
例 4:
h
x1 x2
如圖所示，電量各為 +q1 及 +q2 ，質量各為 m1 及 m2之 A 和 B二通草球，若各以等長之絲線共懸於一點，受靜電力排斥而分開，平衡時兩線與鉛垂線之夾角各為 θ1及θ2 ，則 m1 及 m2 的大小關係為何 ?
解：以力平衡概念解題 ( 解法一 )
φφ
m1g
Fe
Fe
T2
T1
m2g
Fe
m1gT1φ
1θ 1
1sin sineF m g
θ φ=
Fe
T2
m2gφ
2θ2
2sin sineF m g
θ φ=
兩式相除
1 2
2 1
sin
sin
m
m
θθ
=
例 5 三個完全相同的導電球 A 、 B及 C ，其中
A 、 B 兩球各帶相等之電荷，且位置固定，但 C球不帶電。若 A 、 B 兩球之距離遠大於球之半徑，其間的靜電斥力為 F 。今將 C球先與 A球接觸，移開後再與B球接觸，然後移到遠處。則最後 A 、 B 兩球間之作用力為何？
紅色段落：將 A 、 B 兩球視為點電荷 藍色段落：表示 C 不會影響 A 、 B
解： 假設 A 、 B 兩球均帶電量 Q ，距離為 r
A 、 C 兩球接觸後，因兩球等大，所以電量均分 QA=Q/2 、 Qc=Q/2
同理， B (QB=Q) 、 C(Qc=Q/2) 接觸後，電量均分 QB=3Q/4 、 Qc=3Q/4
2
2e
QF k
r= ×
2
2 2 2
332 48
A Be
Q QQ Q Q
F k k kr r r
××′ = × = × = × × 3
8e eF F′ =
例 6 原子序 Z 的原子核外有一電子，質量
m ，電量 e ，受核作用力作半徑 r 的等速率圓周運動，則此電子之向心力、向心加速度、速率、週期各為何？
r
Q Ze=q e= −
解： 向心力＝靜電力
r
Q Z e= ×q e= −
2
2 2c e
Q q ZeF F k k
r r
×= = × = ×2
2c
c
F Zea k
m m r= = ×
×2
c c
va v r a
r= ⇒ = ×
2kZev
mr=
2 2
2
4 4c
c
r ra T
T a
π π×= ⇒ =2 3
2
4 mrT
kZe
π=
18-3 電場與電力線 場：
一種空間的分佈狀態函數，不會因為該位置是否有物質而改變。
法拉第提出 電荷是透過其所產生的電場而對空間中的其他
電荷產生作用力，而電場就是傳遞這種庫侖力的媒介。
電場的定義 ( 講義 ) 單位正電荷所受的庫侖力。 將電量甚小的測試電荷放入空間中的某點
，其所受靜電力與其電量的比值，定義為該點的電場強度 E( 簡稱電場 ) 。
電場 (Electric Field) 由庫倫定律中：
如果我們把 q 定為 1 庫侖，也就是說 Q 在距離 r 的地方對單位正電荷 q施了一個力，我們將它定義為電場強度。
單位： N/C
2
Q qF k
r
×=
2
kQE
r=
來源電荷測試電荷
電場 (Electric Field) 電場值與該處是否有電荷無關，只與 Q 大
小及 r 有關（與重力場觀念一樣） 而因為靜電力 F 是向量，所以電場強度 E
也是向量，其方向隨 Q 而變，若 Q 為正電荷，則方向指向外；
若 Q 為負電荷，則方向指向內。
若 Q 為正電荷，則方向指向外；
若 Q 為負電荷，則方向指向內。
電場與電力線 電場本身是肉眼無法看到，因為他不是物
質，基本上來說，是一種抽象的物理概念 電力線被用來觀察電場分佈的最佳方法，
並非真實存在的線條 用來描述靜電力的作用的方向、範圍 以下所展現的是將電力線實體化的結果。
電場 3D 展示圖 (MIT 物理系教學網頁 )
電場3D展示圖
正電荷 負電荷
移動中的正電荷的電場變化
移動中的負電荷的電場變化
電場與靜電力 所以我們可以寫下一個向量式：
電場 E是向量，就必須滿足向量的各種關係式（如向量和、向量差等等），在此有一些計算題目需要多練習。
F q E= ×v v
電力線 (Line of Force)描述電場的分佈 當數個電荷同時存在的時候，用向量表示
法表示電場，容易產生混淆
+Q-Q
A
B
C
E-
E+E+
E+
E-
E-
電力線 (Line of Forcee)描述電場的分佈 當長頭髮的人接觸高電荷量的金屬球時候，頭髮
會沿某種趨勢由頭部放射開來 此趨勢我們稱為「電力線」
改用連續的場線 ( 電力線 ) 表示電場
「電力線」概念的起源
電力線 (Line of Force)描述電場的分佈 1840 年前後，法拉第提出電力線模型以模
擬電場的概念。將空間中彼此鄰近、而電場方向相同的各點連接起來，所得的有向曲線即為電力線。
Java動畫
正電荷 負電荷
常見的電力線分佈情形
單一正電荷建立的電場，電力線終點在無限遠處
單一負電荷建立的電場，電力線起點在無限遠處
電力線的特性 1. 在電力線上各點的 切線 方向為該點
的電場方向，故電力線不會相交。 2. 電場的大小以 電力線密集程度 代表。 電場大小正比單位面積通過的電力線數目
3. 電荷所發出或終止的電力線須正比於其電量。
電力線的特性 4. 法拉第構想電力線有彈性會互相排擠，
用以解釋同性電荷間會互相排斥；而電力線是張緊的，用以解釋異性電荷間會互相吸引。
5. 電力線由 正 電荷出發，終止於 負電 電荷，為非封閉曲線。
6. 電力線不一定為電荷在電場中的運動軌跡。
電場與導體(Electric Field and Conductors) 帶電實心導體球與空心導體球殼 一個電荷均勻分佈的無限大金屬平版 兩個帶等電量異性電荷的平行金屬板
帶電導體靜電平衡時的電場與電荷分佈 導體帶電後，其內自由電荷將因靜電力作
用而重新分布，最後淨電荷互相排斥而分布於 導體表面 上，稱為靜電平衡。
當導體處於靜電平衡時，導體內部的電場必定為 零 ，內部無電力線；
導體表面上的電場方向必 垂直表面 ；
導體外部電場與導體形狀有關。
帶電實心導體球 導體外部 導體內部
0r R E< ⇒ =2
Qr R E k
r≥ ⇒ =
R
2
QkR
金屬球體外部
空心導體球殼 因電荷均勻分佈
在外表面 內部無電場分佈 外部可視為點電
荷 故電場分佈如同導體球
R
2
QkR
電荷均勻分布的無限大金屬平板 一無線大均勻帶電
的平板在其周圍所產生的電場強度到處相同，和位置無關 面積為 A 、電量為
Q 其電場強度的量值
和平板上的面電荷密度成正比。
需要高斯定律解釋
4
2
kQE
A
π=
兩個帶等電量異性電荷的平行金屬板 兩個帶等電量異性電荷的平行金屬板每一板的面電荷密度為各板單獨存在時的 2倍；
電場僅存於兩平行電板之間的區域，電場強度為各電板單獨存在時的 2倍。
A 位置電場抵銷C 位置電場抵銷
B 位置：電場相加
帶電平行金屬板的應用 正電荷以水平速度 v0
進入平行電板中 因電場向上，故正電
荷受向上電力 電荷向上偏移
帶電平行金屬板的應用 電子槍發射電子束
CRT 的成像 (補充 ) 三色電子槍
靜電的應用：影印機
帶電平行金屬板的應用 除塵基本概念 靜電除塵器
Electrostatic Precipitator
帶電平行金屬板的應用
例 7 在邊長為之正三角形頂點上各置有一電
荷（如下圖），則三角形重心處之電場強度若干？
E2Q
EQEQ
E1
E2
E1 為兩個 EQ 的合向量
E2 為重心位置的電場強度
解：
2 22
26
3( )
3
Q
Q QE k k
ll
= − = − ×
E2Q
EQEQ
E1
E2
0 01 2
2
2 60 2 cos 60 33
( )3
Q
Q QE E cos k k
ll
= × × = × × = ×
取向上為正
2 1 2 2 2 23 6 3Q
Q Q QE E E k k k
l l l= − = × − × = − ×
例 7. 電中性的金屬球殼內外半徑各
為 R1 和 R2 ，今在其球心處置一點電荷 +Q ，如圖所示，則
(1) 在 A 、 B 、 C 、 D 、及E 各點處的電場強度為何？
(2) 若將球殼接地，則各點的電場強度又為何？
解： 球殼內有一正電荷 +Q 內球殼感應負電荷 外球殼感應正電荷 假設 A 、 B 、 C 、 C 、 D 、 E 各點半徑為 rA 、 rB 、 rC 、 rD 、 rE
2EE
QE k
r=
解： D 點的電場
因為內球殼產生的電場與正電荷產生的電場大小相同、但電性相反
故互相抵銷，故為零 C 點電場
因為 C 在金屬導體內部，當靜電平衡時候
電場亦為零
解： B 點電場
球殼內的一切不影響球殼外的感應電荷（ +Q ）
故可視為點電荷
2BB
QE k
r= 1 2
1B B
Qr R E k
R= ⇒ =
解： A 點的電場
球殼內的一切不影響球殼外的感應電荷（ +Q ）
故可視為點電荷
2BA
QE k
r=
解： 若外球殼接地，系統外的電荷進入外球殼，導致呈現電中性。 外球殼不帶電 內球殼帶負電 EA=EB=EC=ED=0
接地
2EE
QE k
r=
例 8. 半徑為 a 的金屬圓環，均勻分布電荷於環
上，其電量為 Q 。試求 (1)垂直於環面通過環心的線上，距環心為
r 處之 P 點的電場。 (2) 在環中心 C 點處的電場。 (3) 若 r<<a ，將電量為－ q （與 Q異號）
、質量為 m 的質點由 P 點釋放，則其作簡諧
運動的週期為何？
解：
半徑 a
距離為 r
cos cosA BE E Eθ θ= × + ×
A
B
EB
EA
斜邊 R
θ+Q
θ E
解： 假設將電環分成很多小段 每段則可視為點電荷
由圖，可知僅有水平方向有電場
iq∆
1 22 2
cos cosq q
E k kR R
θ θ∆ ∆= × + × +L
θ半徑 a
距離為 r E∑
A
B
EB
EA
斜邊 R
2 2cos
r r
R r aθ = =
+
2 3 2 2 3/ 2( )iq r Q r k Q r
E k kR R R r a
∆ × × ×= × = × =+
∑
解： 在環中心， r=0E=0
半徑 a
解：負電荷做 SHM
半徑 a 距離為 r
斜邊 R
-q
qF q E− = − ×
解：負電荷做 SHM
此區域可視為常數
此區域可視為常數
r a=若
2 2 3/ 2 33 2 3/ 2
=( ) [( ) 1]
k Q r k Q r kQrE
rr a aaa
× × × ×= ≈+ +
3q
kQqF q E r K r
a− = − × = − × ⇒ − ×
3
2 2m m a
TK kQq
π π ×= =Q
半徑 a
距離為 r E∑
A
B
EB
EA
斜邊 R
例 9 質量為 m 、帶電量
為 +q 的小物體，置於均勻電場 E 中，以長 L 之細繩懸之，使 其作小幅度的擺動。若電場方向與重力加速度方向相同，則小物體振動週期為何 ?
黑色：重力 紅色：電力
解： 同時受到向下的靜電力 與重力吸引
黑色：重力 紅色：電力
Fg Fq
gF mg=qF q E= ×g qF F F m g q E m a= + = × + × = ×∑
mg qEa
m
+=
2 2L L
T Tg a
π π′= ⇒ = 2mL
Tmg qE
π′ =+
例 10. 如右圖，一對長 L 之平行金屬板，其間之電場為 E ，今將
一質量 m ，電量– e 之電子以速度 v 。垂直射入此均勻電場中，若僅考慮電力，則電子：
(1) 在電場中運動歷時若干 ?
解： (1) 在電場中運動歷時若干
00
:
LL v t t
v= × ⇒ =
水平方向為等速度運動
(2) 在電場中之運動軌跡方程式為何?
0x v t= ×
2 21 1
2 2
eEy a t t
m= × =
F= (- )=e E( )y e E
eEF ma a
m
⇒⇒ − × ×
= ⇒ =
取向上為正方向受力 電力向上
22
02
t
eEy x
mv=
消去
解 : (3) 恰將離開電場時之側位移為何 ?
22
02
eEy x x L
mv= ⇒ =
22
02
eEy L
mv=
解： (4) 恰將離開電場時之運動方向與原入射方向所夾之角為何 ?
102 2
0 0 0 0
tan tan ( )y
x
eE Lv m va t eEL eEL
v v v mv mvθ θ −
××= = = = ⇒ =
v
vx
vy
解： (5) 在電場中所獲得之動能為何?
kE W F y∆ = = ×
Fe y
2 2 2 2
2 20 02 2k
eEL e E LE eE
mv mv∆ = × =
解： (6) 在映幕上垂直偏向位移為何？等速度運動
Yθ
y
x
0
tan y
x
vy a t
x v vθ ×= = =
0
( )2
22 2
ta t y L
xt L
v
×= ⇒ =
×
22 (1 )
2
LDY D
Y yLy L
+= ⇒ = +
20
( 2 )
2
eEL L DY
mv
+=
§18-4 電位能、電位與電位差 這裡的講法會和第七章有些類似， 必須引入第七章中的重力位能概念， 最重要的是多了所謂的電位， 這和大家過去所學並非很相關，但卻是電
學中最重要的觀念。
重力位能（複習） (Potential Energy) 重力位能：
儲存在重力場中的能量 在重力場中，移動物體位置所產生的能量變
化。
重力位能（複習）第一種意義均勻重力場的重力位能 重力永遠都是吸引力：
當兩個物體運動靠近時後，重力作正功將重力位能轉變成為動能（位能減少）。
當兩個物體遠離的時候，重力做負功，重力位能則增加
gW U= −∆
重力屬於保守力
Wc U= −∆
重力位能（複習）第二種定義重力位能的一般式 把物體從無窮遠處的位置，移到距離 R ，外力抵
抗重力所作的功（萬有引力作的是負功）。
( ) ( )GMm
W U R UR
= − = − ∞外力公式的結果，請回去翻閱物理講義或物理課本
M
m
無窮遠處
mR高位能區低位能區
重力位能（複習）第二種定義重力位能的一般式 若我們將無窮遠處當零的話，則可定義 兩物體質量分別為 M 及 m ，距離為 r ，則
兩物體之間的位能為，
( )GMm
U Rr
= −
M
mr
電位能 ( 比照重力位能 ) 第一種定義均勻電場上下的電位能
電力作正功
動能增加 位能必定減少E
q=F E
+q
+q
d
eW F d= × qEd=
v
高位能
低位能
WE U= −∆
電位能（複習）第二種定義電位能的一般式 ( 點電荷的電位能 ) 將兩點電荷 Q 與 q 由無窮遠處等速移至
相距 r 時，外力抵抗靜電力所作之功，稱為該系統所具有的電位能 Ue 。
Q
q
無窮遠處
qr
( ) ( )e
kQqW U U R U
r= = ∆ = − ∞外力
高位能區低位能區
電位能（複習）第二種定義電位能的一般式 ( 點電荷的電位能 ) 若我們將無窮遠處當零的話，則可定義 兩物體質量分別為 Q 及 q ，距離為 R ，則
電荷之間的電位能為
( )kQq
U RR
=
Q
qR
電位能與重力位能 電位能 重力位能
距離
靜電力
距離
萬有引力
2e
Q qF k
r
×= ×2g
M mF G
r
×= ×
e
Q qU k
r
×= ×g
M mU G
r
×= − ×
Mm
r r
電位能的性質 電位能與重力位能相同的是把無窮遠處視
為位能為零，且都與距離成反比； 更重要的是，位能是兩物體或兩帶電體所
共同擁有的，缺一不可，這電場的概念及後面要講的電位概念非常不同。
既然稱為位能，就一定是純量，不具有方向性，可以直接相加減。
電位能的性質 電位能有正有負， Q 、 q 同號：斥力位
能 電位能為正值
Q 、 q 異號：引力位能
電位能的性質 系統的電位能是可以累加的（因為位能是
純量）。1 2 3U U U U= + +
q1
q2
q3
r1
r2
r3
2 3 3 11 2 kq q kq qkq qU
r r r= + +
U<0 系統呈現束縛狀態系統可自然形成
例 11 . 在一正方形ＡＢＣＤ各角上分別有＋ｑ、
＋ｑ、－ｑ、－ｑ 的點電荷，而正方形邊長為ａ，則 (1) 四電荷間的總電力位能為何﹖ (2) 將Ａ點的電荷移到無窮遠處至少需作功若干﹖
q
q
-q
-q
a
a
a
a
解 (1)
q
q
-q
-q
a
a
a
a
( ) .( )U
( ) ( )
( ) ( )
2 2
q q q qk k
a aq q q q
k ka a
q q q qk k
a a
× − −= +
× − × −+ +
× − × −+ +
2
2kq
Ua
= −
A B
C D
解 (2) 將 A 點移走2
2
.( ) ( ) ( ) ( )U
2( )
U2
q q q q q qk k k
a a aq q
ka
− − × − × −+ +=
× −=
2 2
2 2
kq kqU W U
a a∆ = ⇒ = ∆ =外力
q
q
-q
-q
a
a
a
a
A C
B D
2U U U∆ = −2 22
( ) ( )2
kq kq
aa= − − −
q
例 12. (1) 兩點電荷，荷電量各為 +Q 與 +q ，質
量各為 M 與 m ，兩者原相距 r ，由靜止釋放，當兩者相距 2r 時，兩者的動能各為何 ?
Q
qr
2r
靜電力為斥力亦為此系統的內力可使用動量守恆定律
VQVq
解 (1) ：
2
2 2M
k
PE
m=
1 2E2k k
Q qE k
r
×+ = ×
1 2 2 ( )k
m Q q mkQqE k
M m r r m M
×= × × =+ +
靜電力為此系統內力作用系統動量守恆
0 M m M mP P P P= + ⇒ =
系統能量守恆initial e
Q qE U k
r
×= =2 1 2final k kE U E E= + +
1 2E2 k k
Q q Q qk k E
r r
× ×× = × + +
2 221 ( )
2 2 2k
mv pE mv
m m= = ⇒
2
1 2M
k
PE
M=
2
12
2
2
2
Mk
mk
PE mM
PE Mm
= =
2 2 2 ( )k
M Q q MkQqE k
M m r r m M
×= × × =+ +
例 12. (2)設原子核質量Ｍ，帶電Ｑ，在距其極遠
處，一帶電質點質量ｍ，帶正電ｑ，以初動能 Ek 向Ｍ做正向碰撞。
假設只有庫侖力作用，求兩者最近距離，設原子核恆靜止；
若原子核原為靜止，但可自由移動，則又如何？ Q
qr q
Ek
解 (2) ：原子核永遠靜止 假設最接近距離為 r ，且原子核永遠靜止 能量守恆
kE U+ = 定值
E 0 0k
Qqk
r+ = +
k
kQqr
E=
例 12. 設原子核質量Ｍ，帶電Ｑ，在距其極遠處
，一帶電質點質量ｍ，帶正電ｑ，以初動能 Ek 向Ｍ做正向碰撞。
假設只有庫侖力作用，求兩者最近距離，設原子核恆靜止；
若原子核原為靜止，但可自由移動，則又如何？Q
qr q
Ek
Vc
解 (2) ：假設最接近距離為 r ，且原子核可自由移動 最接近兩者以相同速度前進質心速度 碰撞運動動量守恆
能量守恆
2
2( )k
k
mEQqE k
r m M= +
+
2initial k finalp mE p= =
2
2( )final
k
pQqE k
r m M= +
+2
2( )k k
k
mE MEQqk E
r m M m M= − =
+ +
( )
k
m M kQqr
ME
+=
例 13. 在單電子離子中 ( 原子序 Z) ，設電子繞核
以半徑為ｒ作等速率圓周運動，電子電量以 e 表示，求：
(1) 電子的動能 (2) 系統的位能 (3) 系統的力學能 (4) 電子的游離能 ( 束縛能 )
解 (1) 原子核與電子之間為庫輪靜電力的吸引力
Q Z e= ×
-e
=靜電力的大小 向心力的大小
e 2F =
Z e ek
r
× ×2
c c
vF m a m
r= × = ×
僅考慮大小
2 2
2
kZe mv
r r∴ =
22 kZe
mvr
=2
21
2 2k
kZeE mv
r= =
解 (2) and (3) ：
Q Z e= ×
-e2( )
e
Q q Ze e kZeU k k
r r r
× × −= = × = −
e kE U E= +2 2
2
kZe kZeE
r r= − + 2
2
kZeE
r= −
E<0 ，系統可自然形成，並呈現束縛狀態
解 (4) ： 因此要破壞此狀態，需要增加能量使 E>=0 故此能量被稱為束縛能或 (游離能 ) ： Eb
2
02 b
kZeE
r− + ≥
2
2b
kZeE
r=
此題目的主要目的瞭解在原子核與電子的組合系統（原子）其內的能量的種類與交互作用的情形其實與行星環繞恆星系統相類似。
二、電位與電位差 電位
(Electrostatic Potential or Electric Potential) 在電場中，將單位正電荷由無窮遠處等速移
至電場中某點，外力抵抗靜電力所作之功，即為該點的的電位 V 。
電位 (Electric Potential) 在電位能的式子中，如果我們將
q 視為單位正電荷（＋ 1庫侖） 這和前面討論電場時的方法一樣 也就是說不論該處是否有電荷存
在，都分布了一個純量的物理量 這個物理量我們把它稱之為電位 定義：單位正電荷的電位能 單位：
( )kQq
U rr
=
1q=
( )kQ
V rr
=
( )( )
U rV r
q=( )
1 ( )=1( )
JV
C
焦耳伏特庫倫
電場靜電力 電位電位能 空間存在一正電荷 Q
在此空間形成電場 E(發散 ) 並形成電位 V
當移入一電荷 q( 電性未知 ) 兩者產生靜電力 Fq
若 Q 、 q 同號斥力 若 Q 、 q 異號吸力
兩者間具有電位能 U Q
q2
EkQ
R=
2q
Q qF k
R
×=
RQ qU k
R
×=Q
V kR
=
F q E= × U q V= ×
簡易分析 電場 E （向量）：
描述空間中某個點「每單位正電荷所受的力」 電位 V( 純量 ) ：
描述空間中每單位正電荷的位能 因此：兩者的值均與來源電荷 Q 有關，與測試電荷 q 無關
分析某特定情形時候，使用電位會比電場還容易處理
電位 (Electric Potential) 的性質 純量，可為正、負或零 電位是一種相對的量，必須先定義零電位
靜電帶電體：無窮遠處 V=0 電路學：大地 V=0
電位與電位能一樣都是純量，可以直接加減，不需考慮方向。 V=V1+V2+V3+V4+….
電位 (Electric Potential) 的性質 電荷在電場的自然移動方向
正電荷：由高電位移動低電位 負電荷：由低電位移動高電位
電位差(Electric Pontential Difference) 有了電位的觀念就可以介紹電位差 ( 電壓 ) 這個名詞了
定義 在電場中，將單位正電荷由 A 點等速移
至另一 B 點，外力抵抗靜電力所作之功，即為 A 、 B 兩點間的電位差 ΔV 。
電位差(Electric Pontential Difference) 圖中 SA 及 SB 分別為距離圓心 rA 與 rB 的兩個球面，若在圓心處放置一個電荷Q SA 為一個等位面 (稍後解
釋 ) SB也是等位面 在 SA 上的任一點 P 與 SB 上
的任一點 P 之間存在著電位的差值
我們給它一個專有名詞稱為電壓（就像水位差會產生水壓一樣）。
rA
rB
AA
QV k
r=
BB
QV k
r=
電位差的性質 只需要考慮兩點之間的位置，不必考慮移
動的過程與路徑 任兩點之間若存在電位差 ( 電壓 )
電荷放置其間一定會 移動 ，兩點之間也存在 電場 驅使電荷移動
電位差的性質 反過來說：若無電位差，則電荷呈現 靜電平衡 狀態
在同一導體上任意兩點： 電位差 0 電荷重新分佈，最後達成另外
一個平衡 電位差 =0 電荷呈現靜電平衡，
三、等位線 ( 面、體 ) 將鄰近相等電位的點連成線或面，稱為等位線或等位面。
將圖中相同高度所以形成的連線等高線 線條緊密地形陡峭 線條稀疏地形緩降
應用此概念 可以用標示重力面 標示電場的等位面
點電荷的電位與等位線 將鄰近相等電位的點連成線或面，稱為等位線或等位面
等位面（假想面） 是以場源電荷 Q 為球心的球
面 (虛線 ) 靠近電荷，電位隨距離快速
變化等位面擠在一起 不相交、不相切 形狀與帶電體形狀而異
距離
電位
點電荷的電位與等位線 電場 ( 力 )線 (實線 )
垂直於 等位面 ，且指向低電位
等位面越密電場越 大
距離
電位
點電荷的等位面 2D圖形 3D圖形
帶電平行金屬版的等位面 2-dimensional view 3-dimensional view
帶電平行金屬版的等位面 均勻電場下，一靜止正
電荷會順電場方向移動 正電荷從高電位移動到
低電位
高電位 :A 低電位 :B
距離 d
電位 V
V E d∆ = − ×∆rr
∆V
d∆
e eB A
U WV V V
q q
∆∆ = − = = −
e eW F d qE d= × = ×∆rr r
eW qE dV E d
q q
×∆∆ = − = − = − ×∆rr
rr
Fe
電力做正功
兩正電荷的等電位面 藍色代表等位面 紅色代表電場 ( 力 )線
正電荷與負電荷的等位面 藍色代表等位面 紅色代表電場 ( 力 )線
特殊帶電體的電位分佈 體內部電場為零，代表的意義是導體內部
不存在電壓，也就是說導體內部應該是等電位的；
帶靜電的導體可稱為「等位體」
特殊帶電體的電位分佈 半徑為 R 的導體球 球體內
球體外
E=0kQ
r R VR
< = = 定值
2
kQ kQr R V E
r r≥ = = =定值
尖端放電：避雷針 ( 引雷針 )
1 2
1 2
Q QV k k
R R= =
11 2
14
Q
Rσ
π=
×2
2 224
Q
Rσ
π=
×
避雷針 ( 引雷針 )
特殊帶電體的電位分佈 人體的等位面
等位線 ( 面、體 ) 的應用 醫學：利
用閃光刺激腦部，觀察腦部電位變化
生物系統的電位差 動物細胞的內部與外
部並不處於相同的電位
起因 細胞內外液體中不同
的離子濃度 這種現象在神經細胞
更明顯
生物系統的電位差 神經脈衝 (nerve impulse)
沿軸突 (Axon) 傳播 Na+ 離子濃度的不同而造成
生物系統的電位差
生物系統的電位差
生物系統的電位差細胞外側
細胞內側
醫學中的電位差 心電圖 (EKG)
胸腔上各點之間的電位差隨時間的關係圖
量測心臟細胞的電位差
醫學中的電位差
例 14. 有一均勻帶電的圓環，半徑為Ｒ，其總電
量為Ｑ。求 (1) 在此中垂軸上距環面為ｘ處 (2) 環心處 (3) 距環心甚遠處 的電位各若干 ?
R
X
2 2R x+
解 (1) ： 環上一小段（電量 q）在 P 點的電位
整個圓環在 P 點產生的電位
2 2 1/ 2( )
k qV
R x
×∆∆ =+
R
X
2 2R x+
P2 2 1/ 2( )i
i
k qV V
R x
×∆= ∆ =+∑ ∑
2 2 1/ 2 2 2 1/ 2( ) ( )i
k kQV q
R x R x= ∆ =
+ +∑
解 (2)(3): x=0
x>>R
此時可以將圓環視為點電荷處理
2 2 1/ 2 2 1/ 2( ) ( 0)
kQ kQ k QV
R x R R
×= = =+ +
2 2 1/ 2( )
kQ kQV
R x x=
+B
x
R
r
q
例 15. 設有兩同心銅球半徑分別為Ｒ及ｒ ( Ｒ＞
ｒ ) ，外球極薄且接地，內球帶電ｑ，則內外兩球之電位差為多少﹖
R
解： 外球殼因內球殼帶電
產生感應起電 內側為 -q，外側為 +q
外球殼接地之後 因球殼極薄 ， q會被大
地的負電荷取代 球殼帶負電 :-q
此空間內任一點的電位大小，同時受到內球及外球殼的電荷影響
r
R
+q
-q
+q
-q
r
+q
解：分開考慮 內球產生的電位 外球殼產生的電位
R
r
R
-q
_q R
kqV
R=
_q r
kqV
r= _ rq
kqV
R− = −_ Rq
kqV
R− = −
Vr
VR
解：電位可以累加
_ _ ( )r q r q r
q qV V V k k
r R−−= + = +
_ _ ( )R q R q R
q qV V V k k
R R−−= + = +
r
R
+q
r
R
-q
_q rV
_q RV
_ rqV−
_ RqV−
r RV V V∆ = −
1 1( )V kqr R
∆ = −
例 17. A 與 B 兩荷同性電之金屬球其電位分別
為Ｖ、 5 Ｖ，將其接觸後二者電位皆變為 4 Ｖ，求此二金屬球 A 與 B 的半徑比。
B
RB
A
RA
電荷高電位
RB
低電位 直到兩者電位
相同，電荷不再移動
解： 假設 A 球原有電量為
QA ，半徑為 RA
B 球原有電量為 QB ，半徑為 RB
接觸後，當達成靜電平衡後， A 球電量為QA’， B 球電量為 QB’
5 B
B
kQV
R=
kQV
r=
A
A
kQV
R=
' 'A B A BQ Q Q Q+ = +
AA
R VQ
k
×=
5BB
R VQ
k
×=
'4 A
A
kQV
R=
'4 B
B
kQV
R=
4' A
A
R VQ
k
×=
4' B
B
R VQ
k
×=
5 4 4A B A BR V R V R V R V
k k k k
× × × ×+ = +1
3A
B
R
R=
例 16. 帶 +2 基本電荷的質點在電場中因電力而
移動 10 公分，在移動過程中電場強度由20 N/m 線性增加至 40 N/m ，則在此過程中此質點因而所得動能為何 ?
解： 穩定電場下，電位差為
電場產生變化 計算面積
E
d
20N/C
40N/CV E d∆ = − ×
1(20 40) 0.1 3( )
2V∆ = + × =的大小 伏特
-19=9.6 10 (J)kW E= ∆ ×
19 193.2 10 3 9.6 10 ( )qU q V − −∆ = × ∆ = − × × = − × 焦耳
qW U= −∆
§18-5 電容 凡能貯存電荷的物體，皆稱為電
容器 (capacitor) 結構：基本上包含二個以絕緣體
分離的導體，導體上帶有等量且異性的電荷
作用： 貯存電能 ( 抽象意義） 貯存的電荷 (實際情形 ) 一方面可調節電路中的電荷量 一力面可阻止電路電壓的變化
電容的原理 充電前 以絕緣體隔開兩金屬片作成。
隔開的空間，有正負電荷散佈
0(V)
1.5(V)
電容的原理 電容內的電荷量愈多
，電容的端電壓，就 會提升；
當電容 的電壓，上升至電源電壓時，就會持平 .
兩金屬板與電池連接時，兩板便累積等量的異性電荷。
0(V)
1.5(V)
-電子
----
-
++++
電容的原理 若兩板與電池切斷連
接，則兩板上儲存電荷
由圖可知，電容越大，則可儲存的電荷就越多。
0(V)
1.5(V) ---
-
++
++
------
-
++++++
+
1.5(V)
電容的原理 若將兩板以導線接通
，其上的電荷或電能則可經由導線而釋放出來。
最後回到原來狀態
0(V)
1.5(V)
-
--
-
++
++
------
-
++++++
+
-電路裝置
電容的定義 電容器之兩導體所帶的電量 Q 與兩導體電位
差 V 的比值為電容 C
符號： 單位：庫侖 / 伏特法拉 (F) 1法拉的電容相當大，根本不會用到（稍後會
解釋） 常用 的單位大小為： F
QC
V=
常見的電容器（補充） 電解電容 陶瓷電容 紙介電容 可變電容 玻璃釉電容 其他… .
平行板電容器 ( 面積 A, 距離 d)
V
+Q
-Q
A
QkkE πσπ 44 ==電場
4Qd
V Ed kA
π= =電位差Q
CV
=
44
Q AC
Qd kdkA
ππ∴ = =
兩平行金屬板的電容 平行板電容器的電容
的大小 與板面積成正比， 與兩板間距成反比。
4
AC
kdπ∴ =
兩平行金屬板的電容 為了增加電容，平板電容器多由兩片面積
甚大的金屬箔片隔以絕緣材料層作成，再將此夾層捲成圓柱狀
兩平行金屬板的電容 在可變電容器中，藉調整重疊部分的金屬板面積而改變電容的大小。
孤立導體球的電容 孤立導球充電時，以電池的一端接地，另一端接
到導體球上，可視為外球在無限遠處的電容器。
kQV
a=
Q aC
V k= =
a：導體球的半徑
a
b
-Q
+Q
)11
(ba
KQVVV ba −=−=
)( abK
ab
abab
KQ
Q
V
QC
−=−⋅
==∴
球殼電容器
電容的性質 結果顯示
單一導體上的電荷量恒與電位成正比 C 為定值
電容為導體形狀的函數。 它受導體間電介質影響 ( 大學會介紹 ) 與電荷量無關。 也與充電電壓無關
例 18. 基本觀念 有一平行板電容器，
當其充電量為 1庫侖時，其電壓為 10 伏特，則
(1) 此平行板電容器的電容為何？
(2) 當平行板電容器上的電量再增加 1 庫侖時，則對應的電壓會增加多少伏特 ?
假設電壓為 Vx
1( )
10
QC
V= = 法拉
1 2=
10 x
QC
V V= =
20( )xV = 伏特
補充題：平行板電容 有一平行板電容器，間距為 1mm ，若電容值為
1 法拉，求其平板面積。
9 31
4 9 10 10
A
π −∴ =× × ×
8 21.13 10 ( )A m≅ ×
4
AC
kdπ∴ =
要製造一法拉的電容，在現實狀態下，是極為困難
補充題：地球的電容 假定地球是大型導體球，半徑為 6370(km) 則地球可以產生多少電容？
Q RC
V k= = 3
9
6370 10710
9 10C Fµ×= ≈
×
電容的串聯 (補充 )• 如圖求 C1,C2,C3 並聯之
等效電容 VC1 C2 C3
1 1 2 2 3 3; ;q CV q C V q C V= = =
1 2 31 2 3
q q qqC C C C
V V
+ +∴ = = = + +
電容串聯 (補充 )• 如圖求 C1,C2,串聯之
等效電容
v
+q-q
+q-q
C1
C2
1 2 1 21 2
; ;q q
V V V V VC C
= = = + 代入
1 2 1 2
1 1 1q q q
C C C C C C∴ = + ⇒ = +
例 : 如圖 C1=10µF,C2=5µ,C3=4µF 且 V=100 伏特 , 求 (1) 等效電容 C (2)C3 上的電量 (3)C1 上的電量 (4)C2 兩端電位差 v
C1
C2 C3
)(104100104)2( 4633 CoulVCq −− ×=××==
)(3
200100
3
2
105
103
10
)4(
)(103.3100103
10)3(
6
4
22
461221
VoltC
qV
CoulVCqq
=×=×
×==
×=××===
−
−
−−
)(3
22
)(3
10)1(
312
21
211221
FCCC再並聯
FCC
CCC串聯CC
解
µ
µ
=+=∴
=+
=∴
電容的應用 - 電容式麥克風 電容器維持在固定電壓
。 聲波導致電容版上下震
動 間距改變時候，電荷會流出或是流入
產生不同大小的電訊號
電容的應用神經元 = 電容 神經元可以以平行版
電容來當作模型 當知道膜電位
(Membrance Potential) 某範圍細胞膜的面積 便可估計通過細胞膜
的離子數
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細胞膜
細胞內部
細胞外部
4
AC
kdπ∴ =
其他應用 電擊器 閃光燈 電腦記憶體 電腦鍵盤
又學完一章了離畢業又更近摟！