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Heat transfer 4th week lecture

Chapter 2: One-dimensional steady-state conduction

■ 전도-대류계

∙ 실제생활에서 많은 열과 관련된 기구들의 열전달은 전도와 대류의 혼합형태로 일어난다.

∙ 특히, 열교환기에 많이 쓰이는 핀의 경우 거의 모두 전도와 대류의 혼합형태로 일어난다.

▶ 핀 서론

Figure 1. Modeling conduction-convection systems

에너지 평형에 의해 다음과 같이 식을 쓸 수 있다 (왼쪽면으로 들어오는 에너지 = 오른쪽 면으로 나가는

에너지 + 대류에 의한 손실)

𝑞𝑥 = −𝑘𝐴𝑑𝑇

𝑑𝑥

𝑞𝑥+𝑑𝑥 = − 𝑘𝐴𝑑𝑇

𝑑𝑥 ]

𝑥+𝑑𝑥= −𝑘𝐴 (

𝑑𝑇

𝑑𝑥+

𝑑2𝑇

𝑑𝑥2𝑑𝑥)

Energy lost by convection = ℎ𝑃𝑑𝑥(𝑇 − 𝑇∞)


결과적으로 다음과 같은 식을 쓸 수 있다.

−𝑘𝐴𝑑𝑇

𝑑𝑥+ 𝑘𝐴 (

𝑑𝑇

𝑑𝑥+

𝑑2𝑇

𝑑𝑥2𝑑𝑥) = ℎ𝑃𝑑𝑥(𝑇 − 𝑇∞)

정리하면 다음과 같은 2 계 미분 방정식을 얻는다.

𝑑2𝑇

𝑑𝑥2−

ℎ𝑝

𝑘𝐴(𝑇 − 𝑇∞) = 0

𝑚2 =ℎ𝑝

𝑘𝐴이라 하면 →

𝑑2𝑇

𝑑𝑥2− 𝑚2(𝑇 − 𝑇∞) = 0

𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞ 이라 하면 → 𝑑2𝜃

𝑑𝑥2− 𝑚2𝜃 = 0

♠ 여기서 주의할 점은 열전달 방향과 그에 따른 면적이다.

대류의 경우 대류 면적은 핀 둘레의 면적이 되므로 (둘레의 길이 𝑃 × 𝑑𝑥)가 대류 열전달의 면적이 되지만,

전도의 경우 열원이 밑이 아닌 뒤쪽에 있기 때문에 전도에서 열전달 방향의 𝑥방향이고 핀을 가로질러서

전도가 일어난다. 즉, 전도 열전달 면적은 𝐴(= 𝑍 × 𝑡)가 된다.

Figure 2. Conceptual illustration of conduction-convection systems (Holman 10

th edition, 2011)


▶ 풀이

앞선 식은 상수를 계수로 가지는 2 계상 미분방정식이므로, 특성방정식을 통해서 일반해를 구할 수 있으며,

특성 방정식은 다음과 같다.

𝜆2 − 𝑚2 = 0

특성 방정식의 해는 다음과 같다.

𝜆 = ±𝑚

즉, 그래서 구하고자 하는 방정식의 일반해는 ±m 을 지수로 가지는 지수함수의 일차결합으로 쓸수 있다. 즉

온도변화를 지수함수의 일차결합의 형태로 쓸 수 있다.

𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞ = 𝐶1𝑒𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒−𝑚𝑥

특수해를 구하기 위해서는 (즉, 두 개의 상수값을 구하기 위해서는) 두 가지의 조건이 필요하다.

1) 첫번째는 𝑥 = 0일 때 𝜃 = 𝜃0 이다 (즉, 𝑥 = 0일 때 𝑇0 − 𝑇∞).

2) 두번째 경계조건은 경우에 따라 다르지만 일반적으로 핀에 있어서는 3 가지로 분류할 수 있다 (즉,

문제를 풀 때 세가지의 경우중 하나를 선택해서 푼다).

① 핀의 길이는 무한히 길고 핀 끝에서의 온도는 주위유체의 온도와 같다.

② 핀의 길이는 유한하고 그 끝에 대류에 의한 열 손실이 생긴다

③ 핀의 끝이 단열되어 L 점에서의 길이에 대한 온도 변화가 0 이다

이 세가지 유형을 놓고, 각각의 경우에 대해 열전달을 유도하여 경우에 따른 식을 완성한다.

1) 경우 1: 핀의 길이는 무한히 길고 핀 끝에서의 온도는 주위유체의 온도와 같다 (𝐿 → ∞, 𝑇 = 𝑇∞)

이 경우, 경계조건은 다음과 같이 정리할 수 있다.

𝑥 = 0일 때 𝜃 = 𝜃0

𝑥 = ∞일 때 𝜃 = 0

이 때의, 풀이는 다음과 같다.

𝑇 − 𝑇∞ = (𝑇0 − 𝑇∞)𝑒−𝑚𝑥

𝜃

𝜃0

= 𝑇 − 𝑇∞

𝑇0 − 𝑇∞

= 𝑒−𝑚𝑥


전도로 인한 열전달과 대류로 인한 총 열손실이 같으므로 (즉, 전도로 인한 모든 열전달이 대류로 손실된다는

말과 동일), 열전달은 다음과 같이 구할 수 있다.

𝑞𝑓𝑖𝑛 = −𝑘𝐴𝑑𝑇

𝑑𝑥|

𝑥=0= ∫ ℎ𝑃(𝑇 − 𝑇∞)𝑑𝑥

∞

0

(위의 식은, 초기의 전도 열전달 = 총 대류열손실)

𝑞𝑓𝑖𝑛 = −𝑘𝐴(−𝑚𝜃0𝑒−𝑚(0)) = √ℎ𝑝𝑘𝐴 (𝑇0 − 𝑇∞)

2) 경우 3: 핀의 끝이 단열되어 L 점에서의 길이에 대한 온도 변화가 0 이다


𝑥 = 0일 때 𝜃 = 𝜃0

𝑥 = 𝐿일 때 𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ = 0


𝜃

𝜃0

= 𝑇 − 𝑇∞

𝑇0 − 𝑇∞

=𝑒−𝑚𝑥

1 + 𝑒−2𝑚𝐿+

𝑒𝑚𝑥

1 + 𝑒2𝑚𝐿

쌍곡선 함수의 정의에 의해

sinh 𝑥 =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2, cosh 𝑥 =

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2, tanh 𝑥 =

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

𝜃

𝜃0

=cosh[𝑚(𝐿 − 𝑥)]

cosh 𝑚𝐿

경우 1 과 마찬가지로 열전달을 구할 수 있다.

𝑞𝑓𝑖𝑛 = −𝑘𝐴𝑚𝜃0 (1

1 + 𝑒−2𝑚𝐿−

1

1 + 𝑒2𝑚𝐿) = √ℎ𝑝𝑘𝐴 (𝑇0 − 𝑇∞) tanh 𝑚𝐿


3) 경우 2: 핀의 길이는 유한하고 그 끝에 대류에 의한 열 손실이 생긴다.

가장 복잡한 형태이지만, 가장 일반적인 형태라 할 수 있다.


𝑥 = 0일 때 𝜃 = 𝜃0

𝑥 = 𝐿일 때

−𝑘𝑑𝑇

𝑑𝑥|

𝑥=𝐿= ℎ(𝑇 − 𝑇∞)


𝜃

𝜃0

= 𝑇 − 𝑇∞

𝑇0 − 𝑇∞

=cosh[𝑚(𝐿 − 𝑥)] +

ℎ𝑚𝑘

sinh[𝑚(𝐿 − 𝑥)]

cosh 𝑚𝐿 +ℎ

𝑚𝑘sinh 𝑚𝐿

이 경우 열전달은 다음과 같이 구할 수 있다.

𝑞𝑓𝑖𝑛 = √ℎ𝑝𝑘𝐴 (𝑇0 − 𝑇∞)sinh 𝑚𝐿 +

ℎ𝑚𝑘

cosh 𝑚𝐿

cosh 𝑚𝐿 +ℎ

𝑚𝑘sinh 𝑚𝐿

위 식의 풀이에서 온도구배는 𝑥방향으로만 존재한다고 가정하였다. 이러한 가정은 핀이 대단히 얇을 때

성립하며, 또한 대부분의 실제 핀에서도 이 가정으로 인한 오차는 1%미만이다. 정확한 핀의 열전달 값을

계산하는 것은 대류열전달계수 ℎ의 부정확성 때문에 한계가 있다.

Example 1

1cm-diameter very long rod (K=377 W/m°C) is

attached to the body of base temperature of

150°C. The temperature of surrounding air

=22°C. Determine the heat transfer rate from

the rod to the surrounding air when h=11

W/m2°C.

150 ℃

22 ℃

1 cm

verylong

150 ℃

22 ℃

1 cm

verylong


■ 핀

▶ 핀이란 무엇인가?

1. 바깥의 공기에 의하여 내부를 냉각할 때, 냉각 효과를 높이기 위하여 표면적을 최대한 넓혀 만든

주름으로, 공랭식 내연 기관의 실린더 따위에 쓴다.

2. 방열 또는 냉각용의 배관에 전열 면적을 넓히기 위해서 붙여진 지느러미 모양의 금속판, 또는

지느러미 모양으로 성형된 부분을 말한다.

3. 열전도를 좋게 하기 위해 파이프 주위에 부착하는 비늘 모양의 판. 파이프 주위에 나선형으로 감은

것을 나선형 핀, 여러 장의 평판으로 된 핀을 파이프에 관통시키는 것을 판형 핀이라 한다.

♠ (예시) 컴퓨터 쿨러, 에어컨이나 난방기에 들어가서 열전달 면적을 넓혀 열전도를 증가시킨다

(열전달은 면적에 비례)

Figure 3. Various types of fins

▶ 핀효율 (Fin efficiency)

지금까지는 평면으로부터 돌출된 단면이 일정한 핀으로부터의 열전달(전도-대류계)에 대해서 다루었지만,

실제로는 핀의 단면이 일정하지 않거나 또는 곡면에 핀이 부착되어 있을 수 있다(즉, 단면이 상수가 아니므로

변수로 취급해야 한다). 이 경우 푸는 과정이 매우 복잡하기 때문에, 결과가 그래프로 제시되어 있다(그림 4).

그림 4(교재 그림 11, 12)는 특정 형태에 대한 핀의 효율을 미리 계산하여 기하학적 모양(핀의 모양 및

수치)에 따른 핀효율을 그래프로 나타내었다 (x축 핀의 형태에 따른 특정 값, y축 핀효율).

핀 효율은 다음과 같이 계산할 수 있다.

핀효율 = 실제로 전달된 열

핀의 모든 부분의 온도가 핀의 바탕 온도와

동일하다고 가정했을 때 전달된 열

즉, 이상적으로 열이 완전히 전달될 경우에 대해 실제로 전달된 열의 비율이라 할 수 있다.


Figure 4. Fin efficiency for different types of fins using corrected length (Holman 10

th edition, 2011)

1) 경우 3에 대한 효율

핀의 끝이 단열되어 L점에서의 길이에 대한 온도 변화가 0이다

𝜂𝑓 = √ℎ𝑃𝑘𝐴𝜃0 ∙ tanh 𝑚𝐿

ℎ𝑃𝐿𝜃0

= tanh 𝑚𝐿

𝑚𝐿 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑚𝐿 = √

2ℎ

𝑘𝐴𝑚

∙ 𝐿3/2


𝑚𝐿 = √ℎ𝑝

𝑘𝐴𝐿 = √

ℎ(2𝑧 + 2𝑡)

𝑘𝑧𝑡𝐿 = √

ℎ ∙ 2𝑧

𝑘𝑧𝑡𝐿 = √

2ℎ

𝑘𝑡𝐿 = √

2ℎ

𝑘𝐴𝑚

∙ 𝐿3/2

위의 𝑚𝐿 을 핀효율 식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 𝐴𝑚 = 𝐿𝑡 이며, 이를 핀의

형상면적이라 한다.

𝜂𝑓 = tanh √

2ℎ𝑘𝐴𝑚

∙ 𝐿3/2

√2ℎ

𝑘𝐴𝑚∙ 𝐿3/2

즉, 끝이 단열된 핀의 효율은 위의 식을 이용하여 구할 수 있다.

2) 수정길이

Case 2의 경우 (핀의 길이는 유한하고 그 끝에 대류에 의한 열 손실이 생기는 경우) 결과가 매우 복잡하므로,

간단한 계산을 위해 수정길이를 이용한다. 즉, case 2의 결과에 수정길이를 이용하여 case 3의 결과를

대치할 수 있다.

♠ 핀의 길이를 두께의 반만큼 더 연장하면 겨우 2의 결과는 경우 3의 결과로 대치하여 사용할 수 있음을

Harper와 Brown이 증명하였다. 따라서, 핀의 끝이 단열되었을 때 유도된 모든 공식에 수정길이를 사용해야

한다.

사각형 핀의 경우 다음과 같이 수정길이를 계산할 수 있다.

𝐿𝑐 = 𝐿 +𝑡

2

이와 같은 가정을 사용했을 때 생기는 오차는 다음과 같은 조건에서 8%이내가 된다.

(ℎ𝑡

2𝑘)

1/2

≤1

2

평판으로부터 돌출된 원통형 핀에 대한 수정된 핀 길이는 다음과 같이 표현된다.

𝐿𝑐 = 𝐿 +𝜋𝑑2 4⁄

𝜋𝑑= 𝐿 +

𝑑

4

그림 4 아래의 그림은 경우 2에 대해서 삼각형 핀과 사각형 핀의 효율을 비교하였으며, 원통표면에 붙어 있는


원판형 핀의 효율은 그림 4의 위쪽에 나타나 있다. 그림4는 핀의 수정길이와 형상면적이 사용되고 있음을

유의하여야 한다. 또한, 𝑟2𝑐 𝑟1⁄ → 1.0일 때 원통표면에 붙어 있는 원판형 핀의 효율은 단면이 일정한 사각형

핀의 효율과 비슷하게 됨을 알 수 있다.

그림을 주의깊에 살펴본다면 핀의 최대효율은 마치 L = 0 혹은 핀이 없을 때 얻을 수 있음을 알 수 있다.

그러므로 핀의 최대효율은 핀의 길이 (튀어나온 정도)를 통해서 얻는 것이 아니라, 재질 (질량, 체적, 또는

비용)에 대하여 효율을 극대화하며 경제적 중요성에 중점을 두어야 한다.

♠ 수정길이 정리

수정길이 형상면적

사각형 𝐿𝑐 = 𝐿 +𝑡

2 𝐴𝑚 = 𝑡𝐿𝑐

삼각형 𝐿𝑐 = 𝐿 𝐴𝑚 =𝑡

2𝐿𝑐

원통면에 붙어 있는 원형핀 𝐿𝑐 = 𝐿 +𝑡

2, 𝑟2𝑐 = 𝑟1 + 𝐿𝑐 𝐴𝑚 = 𝑡(𝑟2𝑐 − 𝑟1) = 𝑡𝐿𝑐

평판으로부터 돌출된 원통형 핀 𝐿𝑐 = 𝐿 +𝑑

4 𝐴𝑚 = 𝑑𝐿𝑐

3) 핀유용도: 핀이 달려있는 경우와 달려있지 않은 경우에 얻어지는 열전달량을 비교

어떤 경우에는 핀의 성능을 측정하는 방법으로 핀이 달려있는 경우와 달려있지 않은 경우에 얻어지는

열전달량을 비교한다. 핀효율은 핀이 얼마나 효과적으로 열을 전달하느냐의 문제라면, 핀유용도는 핀이 있는

것이 없는 것에 비해 열전달 측면에서 유리한가의 문제라 할 수 있다.

핀이 달려있는 경우의 q

핀이 없는 경우의 q=

𝜂𝑓𝐴𝑓ℎ𝜃0

ℎ𝐴𝑏𝜃0

여기서 𝐴𝑓는 핀의 전체 표면적이고, 𝐴𝑏는 바탕의 단면적이다.

앞선 case 2의 단열핀의 경우에 있어서는 다음과 같이 계산할 수 있다.

𝐴𝑓 = 𝑃𝐿

𝐴𝑏 = 𝐴


핀 유용도 =tanh 𝑚𝐿

√ℎ𝐴 𝑘𝑃⁄

▶ 핀이 달린 벽에서의 열저항

Figure 5. Thermal resistance for fin-wall combinations

핀이 달린 벽에서의 열저항은 핀이 있는 곳에서의 열손실과 핀이 없는 곳에서의 열손실의 합으로 구할 수

있다.

𝑞𝑡𝑜𝑡 = 𝑞𝑓 + 𝑞𝑜

핀이 있는 곳과 없는 곳에서의 열저항 모두 전도+대류 저항의 형태로 계산할 수 있다.

핀이 있는 경우는 다음과 같이 저항을 계산할 수 있다.

𝑅𝑤𝑓 =Δ𝑥

𝐾𝑓𝐴𝑏

𝑅𝑓 =1

𝜂𝑓𝐴𝑓ℎ

핀이 없는 경우는 다음과 같다.

𝑅𝑤𝑜 =Δ𝑥

𝐾𝑤𝐴𝑜


𝑅𝑜 =1

ℎ𝐴𝑜

그러므로, 핀이 있는 경우의 열전달은 다음과 같다.

𝑞𝑓 =𝑇𝑖 − 𝑇∞

𝑅𝑤𝑓 + 𝑅𝑓

핀이 없는 경우는 다음과 같이 열전달을 계산할 수 있다.

𝑞𝑜 =𝑇𝑖 − 𝑇∞

𝑅𝑤𝑜 + 𝑅𝑜

총 열전달은 둘의 합친 것이 되므로 다음과 같이 계산할 수 있다.

𝑞𝑡𝑜𝑡 = (𝑇𝑖 − 𝑇∞) [1

𝑅𝑤𝑓 + 𝑅𝑓

+1

𝑅𝑤𝑜 + 𝑅𝑜

]

▶ 핀이 도움이 되지 않는 조건

Fin에 의해 열이동량이 감소하는 경우가 발생하는 경우가 있다. 즉, 고속유체, 비등액체와 같이

대류열전달계수 h가 크면 fin돌출부에서 전도에 의한 열저항이 fin표면의 대류 열저항 보다 크기 때문에 fin

에 의한 열이동량이 감소하는 경우도 있다

(예시) K=16 W/m°C, L=10 cm, d=1 cm, h=5000 W/m2°C stainless steel fin

𝑃 = 𝜋𝑑 = 2𝜋𝑟, 𝐴 = 𝜋𝑟2

𝑚 = √ℎ𝑝

𝑘𝐴= √

ℎ ∙ 2𝜋𝑟

𝑘 ∙ 𝜋𝑟2= √

2ℎ

𝑘𝑟=

353.55

𝑚

∴ 𝑚𝐿 = 353.55 × 0.1 = 35.36

tanh 𝑚𝐿 = tanh(35.36) = 1

tanh(12) = 1 이므로, 12이상의 값에서는 tanh(𝑥) = 1이 된다.


√ℎ𝐴

𝑘𝑝= √

ℎ ∙ 𝜋𝑟2

𝑘 ∙ 2𝜋𝑟= √

ℎ𝑟

2𝑘= 0.8839

∴ q의 비 =tanh 𝑚𝐿

√ℎ𝐴 𝑘𝑃⁄=

1

0.8839= 1.13

즉, 핀이 있을 때 13% 정도의 열을 더 발산한다. 좀더 살펴보면, Fin의 길이가 10cm에서 0.85cm이하로 줄면

fin에 의한 열 발산량은 fin이 없는 경우에 비하여 13 % 이하의 열 이동이 일어나고 fin의 길이가 10 cm이상

길어지더라도 열 이동량은 fin이 없는 경우에 비하여 13 % 이상을 넘지 못한다.

■ 핀 예제

1. A circumferential fin of rectangular profile is constructed of 1% carbon steel (k=43 W/m∙K) and

attached to a circular tube maintained at 150℃. The diameter of the tube is 5cm, and the length is

also 5cm with a thickness of 2mm. The surrounding air is maintained at 20℃ and the convection

heat-transfer coefficient may be 100 W/m2∙K.Calculate the heat lost from the fin.

(solution)

𝐿𝑐 = 𝐿 +𝑡

2= 5 + 0.1 = 5.1 cm

𝑟2𝑐 = 𝑟1 + 𝐿𝑐 = 2.5 + 5.1 = 7.6 𝑐𝑚

𝐴𝑚 = 𝑡𝐿𝑐 = 0.2 × 5.1 = 1.02 𝑐𝑚2

𝐿𝑐3/2 (

ℎ

𝑘𝐴𝑚

)1/2

= 0.0513/2 (100

43 × 0.000102)

1/2

= 1.74

𝑟2𝑐

𝑟1

=7.6

2.5= 3.04

Use figure 4, we can find following fin efficiency

η𝑓 = 0.27

∴ q = η𝑓2ℎ𝜋(𝑟2𝑐2 − 𝑟1

2) = 0.27 × 100 × 2 × π × (0.007512 − 0.0252)(150 − 20) = 110.6 𝑊


2. An engine head on a motorcycle is constructed of 2024-T6 aluminum alloy. The head is in the

form of a cylinder that has a height of H = 0.15m and an outside diameter of D = 50mm. Under

typical operating conditions the outer surface of the head is at a temperature of 500K and is

exposed to ambient air at 300K, with a convection coefficient of 50 W/m2K. Annular fins of

rectangular profile are typically added to the head in order to increase heat transfer to the

surroundings. Assume that five such fins, which are of thickness t = 6mm, length L = 20mm and

equally spaced, are added. What is the increase in heat transfer from the head due to addition of

the fins?

Information summary that we can get from the above question

Known: Operating conditions of finned motorcycle head

Find: Increase in heat transfer associated with using fins.

Assumptions

1. Steady-state conditions

2. One-dimensional radial conduction in the fins

3. Constant properties

4. No internal heat generation

5. Negligible radiation exchange with surroundings

6. Uniform convection coefficient over the outer surface (with or without fins)

Properties: 2024-T6 aluminum (at T=500K): 186 W/m·K

Schematics


(solution)

1) 핀이 있는 경우: 핀이 있는 부분과 없는 부분으로 나누어 생각할 수 있다

i. 핀이 있는 부분

𝑞𝑓 = 𝑁 ∙ 𝜂𝑓 ∙ 𝑞𝑚𝑎𝑥 where 𝑁 = 핀의 개수

𝜂𝑓 =𝑞𝑓

𝑞𝑚𝑎𝑥

=𝑞𝑓

ℎ ∙ 𝐴𝑓𝜃0

where 𝑞𝑚𝑎𝑥 = 2ℎ𝜋(𝑟22 − 𝑟1

2)(𝑇ℎ − 𝑇∞)

위의 식을 사용하기 위해서는 수정길이를 이용해야 하므로

𝑟2.𝑐 = 𝑟2 +𝑡

2= 0.048𝑚, 𝐿𝑐 = 𝐿 +

𝑡

2= 0.023𝑚, 𝐴𝑚 = 𝑡 ∙ 𝐿𝑐 = 1.38 × 10−4𝑚2

𝐿𝑐3/2

(ℎ

𝑘𝐴𝑚

)1/2

= 0.15 ⇒ 𝜂𝑓 = 0.95 (그림 4)

∴ 𝑞𝑓 = 5 × 0.95 × 50 × 2𝜋(0.0482 − 0.0252)(500 − 300) = 501.1 𝑊

ii. 핀이 없는 부분

𝑞0 = ℎ𝐴0(𝑇ℎ − 𝑇∞)

𝐴0 = (𝐻 − 𝑁𝑡)(2𝜋𝑟1) = (0.15 − 5 × 0.006)(2𝜋 × 0.025) = 0.0188𝑚2

∴ 𝑞0 = 50 × 0.0188 × (500 − 300) = 188.5 𝑊

iii. 그러므로, 총 열전달률은 𝑞 = 𝑞𝑓 + 𝑞𝑜 = 501.1 + 188.5 = 689.6 𝑊

2) 핀이 없는 경우: 원통의 단면적에서 단순한 대류가 발생한다

𝑞𝑤/0 = ℎ𝐴𝑤/𝑜(𝑇ℎ − 𝑇∞)

𝐴𝑤/𝑜 = 𝐻 × 2𝜋𝑟1 = 0.024𝑚2

∴ 𝑞0 = 50 × 0.024 × (500 − 300) = 235.6 𝑊

3) 결론적으로, 핀을 설치함으로써 열전달률이 453.6 W 만큼 증가하였다

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