Chapter 5: 数字控制 Objectives

数字控制系统的基本结构 离散系统动态分析－ Z 变换 混叠现象及采样问题 数字控制器的设计和性能评估 例子

学完本章后，应该能够设计、分析并实现数字控制系统。

数字控制介绍 问题提出

前面研究的控制器大部分是用 L 变换或微分方程描述的，基于这样的系统，其实现均是以模拟电子电路为基础而构建；

计算机的出现对控制系统的设计和实现提出了新的要求；

基于数字控制所存在的混叠现象和平均延迟问题需要在数字控制中得到解决；

模拟电路可以对信息进行积分和微分，而在使用数字控制来完成这样的任务时，则必须要用包含加法、减法和乘法的代数方程来近似微分方程

数字化问题

G(s)

1

D(S)

连续控制器＋

－

e(t) u(t) y(t)

y(t)

y(t)

G(s)

1

差分方程

数字控制器＋

－

e(kt)

u(kt)

y(t)

r(kt)

DA 和保持器

两种基本结构的根本区别在于：

数字系统不处理连续信号，而是对受控对象的量测输出进行采样并对采样值进行处理，而且由 D(s) 提供的控制必须用代数递归方程产生。

A/D转换器作用

1 ：对物理信号（通常为电压信号进行采样，并将其转换成一个 10 至 16 位 的二进制数；2 ：实现从模拟 y(t) 到采样值 y(kt) 的转换每隔 T 秒时间间隔重复一次， T位采 样周期；3 ： y(kt) 为采样后的信号，为离散信号；

D/A数模转换器作用

1 ：将离散信号 u(kt) 转换成为连续信号 u(t) 并保持下来；2 ：将二进制数转换成为模拟电压值；3 ：零阶保持 (ZOH) 将电压值保持一个采样周期；

采样速率

1 ：要求采样的速率取决于系统闭环带宽，一般来说，采样速率应为系统 带宽的 20 倍以上；以确保数字控制器与连续控制器的性能匹配；

保持延迟

1 ：对实现控制系统数字化影响最大的因素； P443 ，图 8.2

离散系统的动态分析Z 变换是用来分析线性离散系统的数学工具；其价值及作用与 L 变换在连续系统分析所起的作用是相同的

Z变换

0

)()()(k

kzkfzFkfZ

其中： f(k) 为 f(t) 的采样值

K=0,1,2,3,… 对应离散采样时刻 t0,t1,t2,t3…

)()1-( 1 zFzkfZ

给定系统的差分方程，利用上述关系，可以很容易地求出离散系统的传递函数。

例：一般二阶差分方程：

)2()1()()2()1()( 21021 kubkubkubkyakyaky

重复利用 Z 变换，将转换为变量 y(k),u(k) 的 Z 变换形式：

)()()()()( 22

110

22

11 zUzbzbbzYzazazY

其离散传递函数为：

22

11

22

110

1)(

)(

zaza

zbzbb

zU

zY

终值定理

连续系统的终值定理

离散系统的终值定理

)(lim)(lim0

ssXtxst

)()1lim()(lim1

1 zXzkxzk

终值定理主要用来求系统的稳态误差或求控制系统各部分的稳态增益

例：求系统16.0

)1(58.0

)(

)()(

z

z

zU

zXzG 的直流增益

当 0≤k 时，令 u(k)=1. 有：11

1)(

zzU

)16.0)(1(

)1(58.0)(

1

zz

zzX

利用终值定理， . 有： 1)16.0(

)1(58.0lim

1

z

zX

zss

可见，为了求出任意稳定传递函数的 DC 增益，仅需将 z=1 带入计算就可

DC=1

SS与与 ZZ 关系关系

sTez Z 平面与 s 平面之间的等效性关系

数字控制器设计数字控制器设计

三种方法： 1 ：仿真设计 2 ：离散设计 3 ：状态空间设计

1：仿真设计方法

1 ：利用连续系统设计方法设计控制器2 ：连续控制器离散化3 ：用离散分析、仿真或实验来验证该设计的可行性

STEP ：

数字化过程并分析数字控制系统的性能

问题的提出：

D （ z ） ZOHe(t)

T

e(kT) u(kT)u(t)

D （ s ）e(t) u(t)

Tustin方法

寻找一个最佳的 D(z) 来匹配图 b 中由 D(s) 所表示的连续系统

D(z) 仅是近似 D(S) 。因为 D(z) 仅仅响应采样值 e(kT), 而 D(s) 响应 e(t) 的所有时间序列，因此，各种 数字方法的区别仅仅是对采样点间的 e(t)做了不同的假设。

一种数字方法就是把一个问题作为一种数值积分，假设：

ssD

sE

sU 1)(

)(

)(

为一个积分式， Tustin 法中每一步任务就是使用梯形积分法，即将两个采样点之间的 e(t) 用一条直线近似代替：

详细推导见 P450.

结论：

在获得 D(s) 后，对任何一处 s做如下的替换：

)1

1(2

1

1

z

z

Ts

例：用 Tustin 近似求如下系统的数字控制器

)110

12(10)(

s

ssD

采样速率为 25 倍的带宽，将其性能与连续系统的性能比较

求系统采样频率：

srBNs /25010)25(25

问题：此处如何求得系统带宽？？？

Hzf ss 402

sfTs

025.01

采样周期为：

对 D(s) 中的每处 s做 Tusin 代换：

1

1

7778.01

33.4356.45)(

z

zzD Matlab实现：

SysDs=tf(10*[0.5 1],[0.1 1]);SysDd=c2d(SysDs,0.025,’tustin’);

其差分方程为：

)](9510.0)1([56.45)(0.7778)1( kekekuku

含义： 给定控制信号的过去值，误差信息的现在值与前一时刻值 e(k+1),e(k) 可以计算出现在的值 u(k+1). Simulink 性能仿真与比较

MPZ-匹配零极点法

由描述 s 平面与 z 平面之间的关系推导：

sTeZ

其实质就是将关系式应用到传递函数的零极点上。

原理：

Step:

1 ：更加关系式映射零极点；2 ：若分子的阶数低于分母的阶数，就在分子中加入（ z+1 ）的幂项； 直到分子分母阶数相等；3 ：令 D(z) 的直流增益与 D(s) 相等；

详细推导见 :452

bs

asKsD c

)(

bT

aT

d ez

ezKzD

)(MPZ

例子：空间站姿态数字控制器的仿真设计

2

1)(s

sG

设计一个数字控制器，使其自然频率为 0.3弧度 / 秒，阻尼比为 0.7

根据连续系统的设计方法，可找出一个超前补偿器可满足指标要求：

2

2.0s0.81)(D

s

s

数字化 D(s) 需要先确定一个采样频率 （ 20 倍系统自然频率）

sr /6203.03

采样周期：

HzT 1

D(s) 1/s2RE U Y

MPZ 数字化：1

1

135.01

319.0389.0

135.0

82.0389.0)(

z

z

z

zzD

)(319.0)1(389.0)(135.0)1( kekekuku 差分方程：

计算机

ZOH

被控对象

采样器（ T=1s ）数模转换

2

1

s

r(k) u(k) u(t) y(t)

y(k)

)()()( kykrke 其中：

性能比较 -- 仿真分析：

22：离散设计：离散设计

原则：

D(z) ZOH G(s)

+R(s)

-

Y(s)

混合系统

D(z) G(z)

纯离散等效数字系统

R(z) Y(z)

+

-

1 ：被控对象纯数字离散化模型

2 ：控制器设计以数字化模型为设计基础

3 ：其设计方法有别于仿真系统设计方法

分析方法：

对数字系统，其闭环传递函数为：

)()(1

)()(

)(

)(

zGzD

zGzD

zR

zY

可用根轨迹方法设计其控制器，但一定要注意： 在 Z 平面里，其稳定范围是一个单位园而不是 s 平面内的虚轴；

Z=-1 Z=a

S=-a

Im(s)

Re(s)

前串一个 ZOH 的被控对象，其离散传递函数为：

s

sGZzzG

)()1()( 1

D(z) G(z)

纯离散等效数字系统

R(z) Y(z)

+

-

连续系统中，控制器设计过程一般采用： 比例、微分或积分控制规律或它的组合形式，有时还带一个滞后环节

离散系统中，控制器设计过程也可以采用这样思想

比例 U(k)=Ke(k) D(z)=K

微分 U(k)=KTD [e(k)-e(k-1)] D(z)=KTD(z-1)/z

积分 U(k)=U(k-1)+Kp e(k)/TI D(z)=K(z)/TI (z-1)

超前补偿 U(k+1)=βU(k)+K(e(k+1)-αe(k)) D(z)=K(1- αz-1)/(1- β z-1)

离散数字控制设计方法就是对上面的这些基本反馈环节进行设计并对设计参数反复迭加，逐步逼近，直到所有性能指标都满足要求。

例：空间站数字控制器的直接离散设计

用离散设计方法设计一个数字控制器，使该控制器 满足：

使其自然频率为 0.3弧度 / 秒，阻尼比为 0.7

2

1)(s

sG D(s) 1/s2R

E U Y

Solution ：前串一个零阶保持器 ZOH 的受控对象，其离散模型为：

2

2

)1(

1

2)(

z

zTzG

当 T=1s,

2)1(

1

2

1)(

z

zzG

分析系统性能，控制律如下：

)()]1(1[)( 1 zEzTKzU D 比例 + 微分环节

其补偿式为：

z

azKz

)(D

根据根轨迹方法，确定其控制器为：

z

zz

85.0374.0)(D

控制律为：

)(318.0)1(374.0)1(

)()85.01(374.0)( 1

kekeku

zEzzU

设计的离散分析设计的离散分析

任何数字控制器均可以用离散分析法分析，其步骤： 1 ：求出受控对象和零阶保持器 (ZOH) 的离散模型 G(z) ； 2 ：构建包括 D(z) 的反馈系统； 3 ：对所得离散系统进行分析；

例：分析上例联系控制系统和离散控制系统的性能

Matlab CC

sysGs=tf(1,[1 0 0]);sysDs=tf(0.81*[1 0.2],[1 2]);sysGDs=series(sysGs,sysDs);sysCLs=feedback(SysGDs,1,1);Step(sysCls)Damp(sysCLs)

Matlab CC

sysGs=tf(1,[1 0 0]);sysDs=tf(0.81*[1 0.2],[1 2]);sysGDs=series(sysGs,sysDs);sysCLs=feedback(SysGDs,1,1);Step(sysCls)Damp(sysCLs)

连续系统 离散系统

Matlab CC

T=1;sysGz=c2d(sysGs,T,’zoh’);sysDz=tf([0.389 -0.319], [1 -0.135]);sysDGz=series(sysGz,sysDz);sysCLs=feedback(SysGDz, 1);Step(sysClz,T)Damp(sysCLz, T)

Matlab CC

T=1;sysGz=c2d(sysGs,T,’zoh’);sysDz=tf([0.389 -0.319], [1 -0.135]);sysDGz=series(sysGz,sysDz);sysCLs=feedback(SysGDz, 1);Step(sysClz,T)Damp(sysCLz, T)

连续情况 ζ=0.705 ωn=0.324

仿真设计 ζ=0.645 ωn=0.441

离散设计 ζ=0.733 ωn=0.306

跃阶信息下的响应曲线

结论：结论：

1 ：与连续系统性能比较，两种数字控制器的性能之间存在一定的差别；2 ：但控制方程和性能的差别不是很大，这种相似性的产生是因为与系统 自然频率相比，采用速度太快了；3 ：若降低采用速度，则补偿中的数字值的差别越来越大，尤其对仿真设计 方法的性能将严重恶化。4 ：如果采用频率低于 20 倍固有频率，则应该采取离散设计；

混叠与采样混叠与采样

奈奎斯特 -香农采样定理：

要根据采样值把信号准确地重新构建，信号中必须不含有高于 1/2 采样速率（ ωs/2 ）的频率成分。

即：能够用离散采样值明确表示的最高频率为奈奎斯特频率 ωs/2 。也就是说，当系统的采用频率低于被采用信号的中最高频率的两倍时，所得到的采用信号就存在失真。

混叠对数字控制系统的影响很大；解决办法 --- 模拟滤波器

aS

SsH p

)(