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CHAPTER 5 金屬波導與共振腔

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本章大綱

• 5.1 金屬波導的一般特性• 5.2 共振腔的一般特性• 5.3 矩形座標系的波導與共振腔• 5.4 圓柱座標系的波導與共振腔• 5.5 球座標系的共振腔與傳輸線• 5.6 重入共振腔，複雜邊界條件問題• 5.7 微擾（perturbation）原理

5.1 金屬波導的一般特性

4

5.1 金屬波導的一般特性（1/4）

• 在4.5節所述柱形系統中，若縱向無界，橫向邊界條件為沿縱向均勻的短路面，按照特徵值問題的一般原理，其橫向角波數T必然滿足

• 因此，系統中只可能傳播TEM波或快波，即波導波。

5

金屬波導的一般特性（2/4）

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• 在TE模中，U=0，V≠0，即Ez=0，Hz≠0，又稱H模。

• 在TM模中，U≠0 ， V=0 ，即Ez ≠ 0 ， Hz=0 ，又稱E模。

• TE模與TM模可以分開是金屬波導的一個特點。

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• 5.1.1 金屬波導的傳播特性• 5.1.2 金屬波導的波阻抗• 5.1.3 金屬波導中的功率• 5.1.4 金屬波導中電磁波的衰減• 5.1.5 非柱形波導• 5.1.6 金屬波導中的導波模和截止模

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金屬波導的傳播特性（1/6）

• 由第4章4.5小節關於柱形系統中電磁波的一般論述可知，金屬波導的橫向角波數T就是它的臨界角波數，常記做Kc，Kc=T。相應的臨界角頻率及臨界頻率為

• 臨界狀態下，電磁波在介質中的波長就是橫向波長，即

9


• 相應的臨界狀態下，真空中的波長稱為臨界波長，記做λc，有

10


• 當w>wc即k>T時，波導處於傳輸狀態。其縱向相移常數記做β=kz，縱向相速為υp，縱向波長或稱導波波長為λg。它們可依次由式（4-100）、（4-104）及式（4-15）決定，即

11


• 由式（4-105），金屬波導中的群速為

• 且有如下關係：

• 在真空中

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• 當w

13


14

金屬波導的波阻抗（1/3）

• TE模即H模，U=0，V≠0，求出式（4-26‘）與式（4-30’）之比就是TE模的波阻抗，記做ηTE。

• 將式（5-4）代入上式可得

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• 應用式（4-27‘）和（4-29’），得到

• 同理，TM模即E模，U≠0，V=0，由式（4-26'）和（4-30'）可得：

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• 由（5-4）可得

• 同樣，由（4-27'）和（4-29'）得到

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金屬波導中的功率（1/9）

• 縱向坡印廷向量在波導橫截面上的面積分就是沿波導傳輸的功率，即

• TE模的功率為

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• 應用式（5-11）和（5-13），可得

• 同理可得TM模的功率為

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• 將式（4-26‘）和（4-27’）代入式（5-17），得到

• 由式（4-72）有

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• 應用上式及運算式（5-11），得到

• 同理

• 可證，在金屬波導中

21


• 於是式（5-19）和式（5-20）成為

• 式（5-21）和式（5-22）的證明如下，以下的U代表U或V。

• 由向量恆等式

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• 有• 由式（4-71）

• U滿足赫姆霍玆方程，故有

• 因此

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• 將均勻波導取長度為dz的微分段，將上式在該微分段內進行體積分，並應用奧高公式，得到

• 於是上式中的面積分可改寫為

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• 由於dz為無窮小量，，且上式中

• 金屬波導的管壁可近似看作短路面。由4.3節可知，U和V在波導壁上滿足

25


• 無論是以上兩種情況中的哪一種，都導致以上Sw上的面積分為零，即

• 因此有• 於是必須

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金屬波導中電磁波的衰減（1/4）

27


• 設波導中場沿z的變化為

• 於是波導中傳輸功率沿z的變化成為

• 因此有

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• 由式（2-60）得到波導壁法向有功功率密度

• 因此，進入長度為dz的波導壁的功率為

• 故

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• 代入式（5-25），得到非理想波導中電磁波的衰減常數

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非柱形波導

• 以上描述的是柱形波導，在柱形波導中電磁波沿縱向（z）傳播，其等相位面為垂直於傳播方向的平面，但在等相位面上場的振幅並非常數，而是呈駐波分佈，故為非均勻平面波。

• 主要的非柱形波導有沿圓柱座標系統ρ方向傳播的徑向傳輸線和柱面喇叭波導（柱面波）及沿球座標系統r方向傳播的雙錐線和錐面波導（球面波）。

• 非柱形波導主要不是用於電磁能量或信號的傳輸，而是用於一些特殊的功能元件中作為形成一定的電磁場結構。

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金屬波導中的導波模和截止模

• 臨界頻率低於工作頻率的模式是導波模，臨界頻率高於工作頻率的模式是截止模或漸消模。

• 導波模的縱向相位常數為實數，場沿縱向是等幅行進波，其波阻抗為實數即電阻性，截止模的縱向相位常數為虛數，場沿縱向是漸消場或衰減場，其波阻抗為虛數即電抗性。

• 由於截止模的場沿縱向是漸消場或衰減場，因此在一個無窮長的均勻波導中，或在遠離激勵源和任何不均勻性的均勻波導中，任何截止模的場都已被衰減掉了，僅存在導波模。

5.2 共振腔的一般特性

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5.2 共振腔的一般特性

• 5.2.1 共振腔的固有頻率和能量平衡• 5.2.2 共振腔的損耗，品質因數

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共振腔的固有頻率和能量平衡（1/2）

• 理想共振腔的固有角波數即封閉電磁系統的特徵值。如第4章4.9節中的式（4-263）所示，共振腔的第m個模式的固有角波數為

• 與之對應的第個模式的固有角頻率為

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共振腔的固有頻率和能量平衡（2/2）

• Em及Hm為該邊值問題的特徵函數，它們滿足馬克斯威爾方程，故式（5-27）可化為

• 故有

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共振腔的損耗，品質因數（1/4）

• 當共振腔體內的介質有損耗，或腔壁有損耗時成為非理想共振腔或有損共振腔，定義共振腔的固有品質因數（quality factor）為

• 同樣應用微擾法，由式（2-60）可得共振腔壁法向有功功率密度為

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• 共振腔體內儲能密度為

• 因此，由於腔壁損耗形成的品質因數為

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• 腔體內介質歐姆功率密度為

• 因此，由腔體內介質損耗形成的品質因數為

• 共振腔的總固有品質因數為

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• 當共振腔與負載耦合時，外負載消耗的功率構成外界品質因數Qe。此時，共振系統的品質因數稱為有載品質因數QL，並有

5.3 矩形座標系的波導與共振腔

41

矩形座標系的波導與共振腔

• 5.3.1 矩形波導• 5.3.2 平行板傳輸線• 5.3.3 矩形共振腔

42

矩形波導

43

矩形波導--TE模（1/6）

• V(x,y.z)可寫成

• 式中，β=kz為縱向相移常數。• 由第4章的4.3節中式（4-94）所表示的V函數在橫向遇到的邊界面上的邊界條件為

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• 將這個邊界條件方程用於矩形波導就是

• 由式（5-35）可求出

45


• 將以上二式代入上述四個邊界條件方程

46


• 由式（4-112），有

• 將（5-36）∼（5-39）所得的結果代入式（5-35）得到

47


• 應用式（4-132）∼（4-137）及式（5-42）得到TEmn模電磁場各分量

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49

矩形波導--TM模（1/4）

• V=0

• 由第4章的4.3節中式（4-93），U函數在橫向邊界上的邊界條件為

50


• 應用於矩形波導就是

• 因此有

51


• 與式（5-40）相同，因此β的運算式也與式（5-41）相同

• 將式（5-50）∼（5-53）代入式（5-49），得到

52


• 應用式（4-132）∼（4-137）及式（5-56），得到TMmn模電磁場的各分量

53

矩形波導--矩形波導的傳播特性

54

矩形波導--矩形波導中的主模──TE10模（1/6）

• 矩形波導TE10模的臨界相移常數可由式（5-40）求出，即

• 由式（5-1）和（5-3）得到

• 即

55


• 當波導中為真空或大氣時

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• TE10模的場分量可由式（5-43）∼（5-48）令m=1，n=0計算如下：

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60

矩形波導--矩形波導中的功率及衰減係數（1/4）

• 將TE波V函數（5-42）及TM波U函數（5-56）代入金屬波導中功率的運算式（5-23）和（5-24），即可求出矩形波導中的功率

61


• 式中

• 將TE模及TM模磁場運算式（5-46）、（5-47）、（5-48）、（5-60）和（5-61），以及以上兩個功率運算式分別代入金屬波導中由於管壁損耗引起的衰減係數運算式（5-26），即得到

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63


64

平行板傳輸線

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平行板傳輸線--平行板傳輸線中可以存在TEM模

• 圖5-11所示的平行板傳輸線中TEM模的電磁場為

• 與平面波電磁場運算式（2-9）和（2-11）中沿+z方向傳播的行進波相同。

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平行板傳輸線--平行板傳輸線中的TE模與TM模（1/5）

• TE模

67


• TM模

• 式中

68


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• 平行板傳輸線的TE模及TM模的臨界角波數為

• 臨界波長為

70


• 當平行板間為真空或大氣時，TE及TM模中最低模式即的臨界波長為

• 因此當兩平板間距離小於二分之一波長時，即

71

矩形共振腔

72

矩形共振腔--TE模（1/4）

• 由4.2.1節式（4-95）可知，在縱向短路邊界z=0和z=l上應當有

73


• 於是有

• 故

• 將式（5-36）∼（5-39）及式（5-89）和（5-90）代入式（5-88），得到

74


• 式中

75


• 因此

76

矩形共振腔--TM模（1/6）

• 據式（4-96）應當有

77


• 於是有

• 故

• 將式（5-50）∼（5-53）及式（5-101）和（5-102）代入式（5-100），得到

78


• 代入式（4-125）∼（4-130），得到

• TMmnp模的kx、ky、kz與模的相同，即

79


• 因此，其固有角波數及固有角頻率亦與TE模相同。

80


81


82

矩形共振腔--矩形共振腔的主模（1/3）

• 設m=1，n=0，p=1，式（5-98）和（5-99）成為

• 於是共振波長成為

83


• 將m=1，n=0，p=1代入式（5-92）∼（5-97），得到矩形共振腔TE101模的場分量

84


5.4 圓柱座標系的波導與共振腔

86

5.4 圓柱座標系的波導與共振腔

• 5.4.1 扇形截面柱共振腔• 5.4.2 扇形截面波導• 5.4.3 同軸線及同軸共振腔• 5.4.4 圓波導及圓柱共振腔• 5.4.5 柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線• 5.4.6 徑向傳輸線及徑向線共振腔

87

扇形截面柱共振腔

88

扇形截面柱共振腔-- TM模（1/8）

• V=0，根據式（4-162）∼（4-165）可寫出函數在圓柱座標中滿足赫姆霍玆方程的運算式

• 式中

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• 由式（4-93）和（4-96）寫出扇形截面共振腔各短路面的各邊界條件

90


• 由式（5-120）有

• 代入式（5-121），得

• A≠0，因此有

91


• 由式（5-122）有

• 代入式（5-123），得到

• 即• 因此有• n為正整數或零。

92


• 由式（5-124）有

• 代入式（5-125）

• 即• 因此

• p為零或正整數。

93


• 式（5-127）、（5-129）和（5-131）就是這一共振腔TM模的共振條件。由式（5-119）可求出TMnmp模的固有角波數及固有角頻率，即

• 將（5-126）∼（5-131）代入式（5-118），得到U函數的三個因子R(p)、Φ(Φ)、Z(z)的運算式

94


• 設

• 於是U(p, Φ,z)成為

95


• 將的運算式代入場分量運算式（4-177）∼（4-182）就得到扇形腔TMnmp模的各個場分量

96

扇形截面柱共振腔--TE模，U=0（1/4）

• V函數的邊界條件可根據式（4-94）和（4-95）寫出如下：

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• 由這六個邊界條件方程可以得到

98


• 於是，扇形共振腔TMnmp模的固有角波數及固有角頻率為

• 式中，TTEnmn為v階特徵方程（5-149）的第m個根。

• 將式（5-148）∼（5-153）代入式（5-141）並設

99


• 則函數V(r, Φ,z)成為

• 代入式（4-177）∼（4-182）得到扇形腔TMnmp模的各個場分量

100

扇形截面波導（1/3）

• 現只研究朝+z方向傳播的一個行進波，即

• TM模的U函數成為

101


• 扇形波導TMnm模的臨界角波數T就是v階特徵方程（5-127）的第m個根。

• 它的色散方程即β與w或β與k的關係為

• 扇形截面波導TE模的V函數可寫成

102


103

同軸線及同軸共振腔

• 扇形截面共振腔及扇形截面波導的張角若擴大到整圓周，a=2π，則式（5-129）、（5-151）成為

104

同軸線及同軸共振腔

• 將a=2π代入上式，得

• v=n為整數，於是貝塞爾函數成為整數階的。

105

同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（1/12）

• 選擇Φ=0的位置使場為偶函數cosnΦ，則同軸線中TM模的U函數成為

• 代入式（4-183）∼（4-188）可得同軸線TM模場分量

106


• 同軸線TM模的特徵方程為

• 同理，令v為整數v=n，即得到同軸線TE模的V函數

107


• 代入式（4-183）∼（4-188）得到各場分量

108


• 同軸線TE模的特徵方程是

• β的運算式仍為式（5-163）。

109


• 同軸線的特徵方程（5-172）和（5-179）是兩個超越方程，可用圖解法或數值法求解。設

• 則兩個方程成為

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111


112


• 由此可得同軸線中TMnm模和TEnm模的臨界波長

113


114


• 按式（5-84）可以求出這種條件下同軸線TM01模的臨界角波數近似式

• 故其臨界波長為

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116


• 由此可按矩形波導TE10模臨界波長的運算式寫出同軸線TE11模的臨界波長近似式，即

• 由於，故TE11模為同軸線中的最低非TEM模。為保證單一TEM模必須滿足

117

同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TEM模（1/3）

• 由於T=0，電磁場橫向向量的方程（4-83）和（4-84）化為二維向量拉普拉斯方程

• 同時，U和V的方程（4-32）的（4-33）成為二維純量拉普拉斯方程

118


• 其角向均勻解，即n=0的解為

• 代入式（4-183）∼（4-188），考慮到β=k，T=0，得到

119


• 應用式（3-91），同軸線TEM模的特性阻抗是

120

同軸線及同軸共振腔--同軸共振腔（1/4）

• （1）λ/2同軸共振腔。如圖5-23（a）• 兩端為短路面的同軸共振腔的長度為二分之一波長或其整倍數，即

• 式中，λD為介質中的波長，，故共振波長為

121


• （2）λ/2同軸腔• 一端為短路面另一端為開路面的同軸共振腔和長度為四分之一波長或其奇數倍。故其共振波長為

122


123


• （3）具有縮短電容的同軸腔• 將λ/4同軸腔的開路端接一電容，如圖5-23（c）所示，則腔的長度將小於四分之一波長或其奇數倍。又稱電容加載同軸腔，詳見本章5.6小節。

124

圓波導及圓柱共振腔

125

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（1/12）

• 圓波導的結構包括軸線，即p=0，而Nn(0)→∞，故赫姆霍玆方程圓柱座標解（4-168）中Nn(Tp)的係數必為零，解中只有Jn(Tp)項。

• 因此在同軸線U函數運算式（5-166）中只取Jn(Tp)一項，即得到圓波導TM模的U函數

126


• 應用p=a處的短路邊界條件式（4-93），得到

• 因此

127


128


• 應用式（5-198）及式（4-176）∼（4-181）即得到圓波導中TM模場分量

• 圓波導TE模的V函數為

129


• 應用p=a處的短路邊界條件式（4-94），得到

• 因此

130


131


• 方程（5-199）和（5-207）依次是圓波導TM模和TE模的特徵方程。

• 將式（5-206）代入式（4-183）∼（4-188），得到圓波導中TE模的場分量

132


133


• 圓波導TMnm和TEnm模的臨界頻率和臨界波長依次為

134


135


• 圓波導TE和TM模的衰減係數為

• 式中，。

136


137

圓波導及圓柱共振腔--圓柱共振腔（1/5）

• 令v為整數，v=n，設沿Φ方向為偶函數及Nn(Tp)的係數為零，則依次得到圓柱共振腔中TM模的U函數

• 及TE模的V函數

• 應用式（4-177）∼（4-182）即可得到圓柱共振腔中TM模及TE模場分量運算式。

138


• 圓柱共振腔TM模的特徵方程為式（5-199）、（5-131）及（5-132），

139


• 圓柱共振腔TE模的特徵方程為式（5-207）、（5-153）及（5-154）。

140


141


142

柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--喇叭波導中的柱面波（1/3）

143


• TM模的函數和TE模的函數可由式（5-118）和（5-141）分別求出：

• 式中

144


• 設

• 則式（5-220）和（5-221）成為

145

柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--漸開平板傳輸線中的柱面波（1/5）

• 若以上結構中z方向也無邊界，則成為兩塊漸開平板，如圖5-30（b）所示。其間夾角為a。這時可研究沿z均勻的場，即

• 於是

146


• 將以上二式用於式（4-177）∼（4-182），可以得到在漸開平板傳輸線中下列兩類場。第一類為V=0的場，即

147


• 第二類是U=0場，由式（5-227）及（4-177）∼（4-182）有

148


• 當v=0時，模的場分量（5-228）∼（5-230）均為零，但模場分量（5-231）∼（5-233）化為

149


150

徑向傳輸線及徑向線共振腔

151

徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的TM模及TE模（1/4）

• 令v為整數，v=n，研究場沿Φ為偶函數的解，得到徑向線中TM模的U函數和TE模的V函數依次為

152


• 由z=0及z=l的短路邊界條件有

• 與喇叭波導一樣，在徑向線中β成為臨界相位常數，而T成為傳播方向（徑向）的相位常數。因此徑向線TM模或TE模的臨界波長都是

153


• 研究圓周對稱的即角向均勻的TM模式，n=0，式（5-236）成為

• 代入式（4-177）∼（4-182），得到下列場分量運算式：

154


• 以上式（5-242）∼（5-245）是寫成徑向駐波的形式，若寫成徑向（±p方向）行進波的形式，則成為

155

徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的TEM模（1/3）

• 令n=0，p=0即β=0，則成為沿±p方向傳播的柱面TEM模。T=k，式（5-242）∼（5-249）成為

156


157


• 由式（5-241）可知，當徑向線兩板間距離為l，其間為真空或大氣時，保證單一TEM模的條件為

158

徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向線共振腔（1/2）

• 在式（5-251）和（5-252）中，若所研究的區域包括軸線（p=0），則N0(kp)、N1(kp)的係數為零，電磁場運算式為

159

徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向線共振腔（2/2）

• 在p=a處滿足短路邊界條件，則

• 為零階貝塞爾函數的第m個根。

5.5 球座標系的共振腔與傳輸線

161

5.5 球座標系的共振腔與傳輸線

• 5.5.1 球形共振腔• 5.5.2 雙錐傳輸線與雙錐共振腔

162

球形共振腔（1/11）

• 設有由理想導體壁構成的球形共振腔，內半徑為a。在腔壁必須滿足電場切向分量為零的邊界條件

163


• 對於TE模，U=0，V如式（5-258）所示。由場在球座標的運算式（4-232）和（4-233）可知，為滿足以上電場切向分量為零的邊界條件，必須有

• 由式（5-258）可知，這就要求

164


165


• 半徑為a的球形腔TEnmp模的固有角頻率和固有波長依次為

• 對於TM模，V=0，U如式（5-257）所示。由式（4-232）和（4-233）可知，為滿足電場切向分量為零的邊界條件，必須有

166


• 由式（5-257）可知，這就要求

• 球形腔TEnmp模的固有角頻率和固有波長依次為

167


168


• 球形共振腔的兩種最基本的模式是TM101（H101）及TM101模（ E101 ）。

• 最低的TM模式是TM101模，n=1，m=0，p=1，其函數為

• 由於• 和

169


• 令，則式（5-265）成為

• 代入式（4-232）∼（4-237）得到

170


• 最低的TE模式是TM101模，n=1，m=0，p=1，V函數為

• 令，則上式成為

171


• 代入式（4-232）∼（4-237），得到

172


173

雙錐傳輸線與雙錐共振腔

174

雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的TM模（1/2）

• 根據赫姆霍玆方程的球座標解（4-229），雙錐傳輸線沿Φ方向為偶函數的TM模的U函數可寫成

• 應用θ= θ1處的短路邊界條件U θ - θ1 =0，可得

175

雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的TM模（2/2）

• 於是有

• 式中

• 再應用θ= θ2的短路邊界條件U θ – θ2 =0 ，可得

176

雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的TE模（1/2）

• 雙錐傳輸線沿Φ方向為偶函數的TE模的V函數可寫成

• 應用θ= θ1和θ= θ2處的短路邊界條件和，可得

177

雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的TE模（2/2）

• 這一齊次線性方程組有非零解的條件是其係數行列式等於零，即

178

雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的球面TEM模（1/3）

• 考慮到

• 並應用半整數階漢開爾函數的運算式（4-226）和（4-227）

179


• U函數的運算式成為

• 式中

• 將式（5-281）代入（4-232）∼（4-237），並考慮到

180


• 得到場運算式

• 式中

• 應用式（3-91），雙錐傳輸線模的特性阻抗是

181

雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐共振腔

• 從錐的頂端往外看的輸入阻抗為

• 雙錐共振腔主模的共振條件是

5.6 重入共振腔，複雜邊界條件問題

183

5.6 重入共振腔，複雜邊界條件問題（1/9）

184

重入共振腔，複雜邊界條件問題（2/9）

• V=0，U=0。U函數的普遍運算式為

• 研究圖5-37（a）所示結構，它對於呈對稱結構，因此可以只考慮沿的偶對稱場，於是上式成為

185


• 1區：所涉及的區域包括軸線即ρ=0，因此式（5-286）中N0函數的係數為零，a2=0。設1區的U函數記做U1，它在端面z±d的邊界條件為式（4-96），即

• 由式（5-286），有

• 式中，m為零或正整數，m=0，1，2…。

186


• 於是U1可寫成下列級數式：

• 式中

187


• 由式（4-177）∼（4-182）可求出1區場分量運算式

188


• 2區：所涉及的區域不包括軸線，式（5-286）中J0及N0函數的係數都不為零。設2區的U函數記做U2，它在端面z=±l上滿足式（4-96）的邊界條件

• 即

• n為零或正整數，n=0, 1, 2, …。

189


• 於是U2函數可寫成下列級數式：

• 式中

• 在2區，場還必須滿足ρ=a的柱面上的短路邊界條件，即滿足式（4-93）

190


• 將這一條件用於式（5-294），得到

• 因此

191


• 於是U2函數的運算式（5-294）成為

• 由式（4-177）∼（4-182）求出第2區場分量運算式

192

重入共振腔，複雜邊界條件問題

• 5.6.1 重入共振腔的嚴格解• 5.6.2 重入共振腔的近似解

193

重入共振腔的嚴格解（1/9）

• 場匹配的條件是切向分量Ez及HΦ連續，即

• 在1區，ρ=b處，由式（5-290）有

• 式中

194


• 在2區，ρ=b處，由式（5-298）有

• 式中

• 式中（5-300）可寫成

195


• 式中

• 應用圓柱面ρ=b上的場匹配條件，可得

196


• 將式（5-310）和（5-311）的右方作為已知函數，可求出其左方的傅立葉級數的係數Bn

197


• β0和βn可合併寫成

198


• 再將式（5-312）的左方作為已知函數，求出其右方的傅立葉級數的係數，AmYm1即

199


• A0Y01和AmYm1可合併為

• 式中，Pmn已如式（5-315）所示。• 以下將Bn的運算式（5-314）代入上式，為區別，將式（5-314）中的m換成p，即

200


• 將式（5-317）代入（5-316），得到

• 令

• 則式（5-318）成為

201


• 或

• 這是一個無窮階的齊次線性方程組，方程組中的係數又是無窮級數。齊次線性方程組有非零解的條件是其係數行列式為零，於是得到下列方程：

202

重入共振腔的近似解--重入區單項近似（1/10）

• 在第1區，即重入區或間隙區由於間隙很窄，即2d＜＜λ，我們可以略去式（5-290）∼（5-292）中無窮級數的高階分量，只保留m=0的分量，即認為在第1區只有柱面TEM模的場。這時

203


• 於是式（5-288）∼（5-292）化為下列試驗函數：

• p=b處的2區場仍如式（5-306）∼（5-309）所示。

204


• 在1區與2區的p=b邊界處，1區場在範圍內成為

205


• 令Ez滿足嚴格匹配條件，即令式（5-306）與式（5-325）相等，即

• 可求出上式右端的傅立葉級數的係數，即

206


• 式中

• 式中的積分為

• 式中，於是

207


• 1區與2區的HΦ不可能在p=b的界面上處處嚴格匹配，於是採用4.10小節的近似匹配條件式（4-313）

• 將式（5-326）和（5-308）用於上式，得到

208


• 將式（5-331）代入上式

• 即

• 應用積分式（5-330），得到

209


• 將Y01的式（5-327）及Yn2的式（5-309）代入上式，得到

• 式中

210


• 另一種近似匹配方法是使1區與2區的HΦ在界面的某一點匹配，例如，令二者在界面中點，即p=b，z=0處匹配，來代替式（5-332）

• 將式（5-326）和（5-308）用於上式，得到

211


• 將式（5-331）代入上式，有

• 將式（5-327）和（5-309）代入上式，得到的特徵方程是

212

重入共振腔的近似解--重入區與腔區都取單項近似（1/4）

• 若重入共振腔的腔區也很短，即2l

213


• 在1區與2區界面，p=b，2區場成為

• 在界面上，即p=b處1區場仍如式（5-325）和（5-326）所示。

214


• 應用界面上的電場匹配條件即在式（5-329）中只取n=0的項，則B0與A0的關係為

• 它的物理意義是，在p=b處1區與2區的電位差相等。

• 再令磁場匹配，即式（5-326）與（5-340）相等，得到

215


• 將式（5-327）和（5-341）代入上式，得到特徵方程

• 這個方程就是以前的特徵方程（5-334）、（5-335）只取的項。

216

重入共振腔的近似解--電容加載徑向線共振腔（1/4）

• 可以用兩端電納相等的方法導出電容加載徑向線共振腔的特徵方程。

• 電容電納為

• 終端短路徑向線在r=b處的電壓為

217


• P=b處的總電流為

• 因此p=b處，終端短路徑向線的輸入電納為

• 令電納相等，即式（5-343）與（5-344）相等得到

218


• 在方程（5-342）中考慮到下列漸近式：

• 則方程（5-342）化為（5-345）。

219


5.7 微擾（perturbation）原理

221

5.7 微擾（perturbation）原理

• 5.7.1 共振腔的導體微擾• 5.7.2 共振腔的介質微擾• 5.7.3 波導臨界頻率的微擾• 5.7.4 波導傳播係數的微擾

222

共振腔的導體微擾（1/11）

223


• 設擾動體積為ΔV，包圍擾動體積的閉合面為∆S，擾動後共振腔體積為，其閉合表面為。S及以指向V及以外的方向為正，ΔS以指向ΔV以外的方向為正。因此有

• 和

224


• E0和H0在V內滿足馬克斯威爾方程，E、H在內滿足馬克斯威爾方程，即

225


• 將式（5-349）與點積，將式（5-346）的共軛式與H點積，得到下列二式：

• 將以上二式相減，應用以下向量恆等式：

• 得到

226


• 同理，將式（5-348）與點積，將式（5-347）的共軛式與E點積，相減，並應用以上向量恆等式，得到

• 將式（5-352）與（5-353）相加，在擾動後腔體積內積分，並應用奧高公式，得到

227


• 由於擾動後腔內電場E滿足上的短路邊界條件

• 故上式上面積分的第二項為零，成為

228


• 由於，故上式左端為

• 由於擾動前腔內電壓E0在S上滿足短路邊界條件

229


• 故上式右端第一項為零，於是式（5-355）成為

230


• 在微小擾動的條件下，式（5-356）分母中的E及H可用E0、H0代替，因為微小擾動所引起的場的局部微小變化對整個腔體積內的積分影響不大，即

• 因此式（5-356）分子中的也可用代替。同時應用複數坡印廷定理式（1-245），得到

231


• 將式（5-357）和（5-358）代入式（5-356），得到

• 或

• 式中，W為腔內總電磁能，ΔWm及ΔWe依次為微擾體ΔV內原有的磁場能及電場能的時間平均值。

232


• 若引入的微擾體只是使微擾體內的電場、磁場成為零，而不影響微擾體外的電磁場，則式（5-359）和（5-360）是正確的。

• 則式（5-359）和（5-360）成為

233

共振腔的介質微擾（1/8）

234


• 擾動後共振腔的固有角頻率、電場、磁場依次為w、E、H。

• E0、H0在V內滿足馬克斯威爾方程

• 及

235


• E、H在內滿足下列馬克斯威爾方程：

• 但E、H在△V內滿足下列馬克斯威爾方程：

236


• 在V’內

• 在∆V內

• 在V內即在V’內和∆V內

237


• 將式（5-368）與（5-370）相減，並應用恆等式（A5-11）

• 將式（5-369）與（5-370）相減，並應用恆等式（A5-11）

238


• 同理可得

• 將式（5-371）與（5-373）相加，式（5-372）與（5-374）相加，並在體積 V=V’+▽V 內積分，應用奧高公式，得到

239


• 由於E0及E在邊界上都滿足短路邊界條件

• 故式（5-375）左端為零，即

• 因此式（5-375）右端亦為零，整理後得到

240


• 式（5-376）是嚴格的微擾公式，當∆ε、∆μ較小或∆V較小時，除w-w0外，可用w0、E0、H0代替式（5-376）中的w、E及H，得到

• 由於引入介質後也會對微擾體周圍的場有影響，式（5-377）應改寫為

241

波導臨界頻率的微擾（1/2）

• 波導的介質微擾公式為

• 式中，S為波導截面積，∆S為微擾截面積。• 波導的介質微擾公式為

• 以上式中，微擾沿z是均勻的。

242

波導臨界頻率的微擾（2/2）

243

波導傳播係數的微擾（1/5）

• 它滿足未擾的橫向二維赫姆霍玆方程（4-102）

• 這時波導的橫向二維特徵值從

• 變成

• 式中。

244


• 做出上式中的乘法，去掉其中的未擾橫向二維赫姆霍玆方程，因其等於零，略去二階小項，於是得到以下橫向二維一階微擾波方程：

• 將以上方程乘以，在波導截面S上積分，得到

• 以上方程的第二項等於零，證明如下：

245


• 將未擾橫向二維赫姆霍玆方程的共軛式乘以，得到

• 其中εr和β為實數。於是方程（5-289）右端第二個積分中的最後兩項可被代替，得到

246


• 因為金屬波導的邊界是短路邊界條件，故UT和△UT在邊界上必為零，或由開路邊界構成的波導

和在邊界上必為零。於是得到

方程（5-289）的第二項等於零得以證明。

247


• 最後求解方程（5-289），得到波導傳播常數的微擾公式

• 在這一公式中，除代表材料微擾的△εr以外，其他物理量都是微擾前的值

Q & A

CHAPTER 5 金屬波導與共振腔本章大綱5.1 金屬波導的一般特性5.1 金屬波導的一般特性（1/4）金屬波導的一般特性（2/4）金屬波導的一般特性（3/4）金屬波導的一般特性（4/4）金屬波導的傳播特性（1/6）金屬波導的傳播特性（2/6）金屬波導的傳播特性（3/6）金屬波導的傳播特性（4/6）金屬波導的傳播特性（5/6）金屬波導的傳播特性（6/6）金屬波導的波阻抗（1/3）金屬波導的波阻抗（2/3）金屬波導的波阻抗（3/3）金屬波導中的功率（1/9）金屬波導中的功率（2/9）金屬波導中的功率（3/9）金屬波導中的功率（4/9）金屬波導中的功率（5/9）金屬波導中的功率（6/9）金屬波導中的功率（7/9）金屬波導中的功率（8/9）金屬波導中的功率（9/9）金屬波導中電磁波的衰減（1/4）金屬波導中電磁波的衰減（2/4）金屬波導中電磁波的衰減（3/4）金屬波導中電磁波的衰減（4/4）非柱形波導金屬波導中的導波模和截止模5.2 共振腔的一般特性5.2 共振腔的一般特性共振腔的固有頻率和能量平衡（1/2）共振腔的固有頻率和能量平衡（2/2）共振腔的損耗，品質因數（1/4）共振腔的損耗，品質因數（2/4）共振腔的損耗，品質因數（3/4）共振腔的損耗，品質因數（4/4）5.3 矩形座標系的波導與共振腔矩形座標系的波導與共振腔矩形波導矩形波導--TE模（1/6）矩形波導--TE模（2/6）矩形波導--TE模（3/6）矩形波導--TE模（4/6）矩形波導--TE模（5/6）矩形波導--TE模（6/6）矩形波導--TM模（1/4）矩形波導--TM模（2/4）矩形波導--TM模（3/4）矩形波導--TM模（4/4）矩形波導--矩形波導的傳播特性矩形波導--矩形波導中的主模──TE10模（1/6）矩形波導--矩形波導中的主模──TE10模（2/6）矩形波導--矩形波導中的主模──TE10模（3/6）矩形波導--矩形波導中的主模──TE10模（4/6）矩形波導--矩形波導中的主模──TE10模（5/6）矩形波導--矩形波導中的主模──TE10模（6/6）矩形波導--矩形波導中的功率及衰減係數（1/4）矩形波導--矩形波導中的功率及衰減係數（2/4）矩形波導--矩形波導中的功率及衰減係數（3/4）矩形波導--矩形波導中的功率及衰減係數（4/4）平行板傳輸線平行板傳輸線--平行板傳輸線中可以存在TEM模平行板傳輸線--平行板傳輸線中的TE模與TM模（1/5）平行板傳輸線--平行板傳輸線中的TE模與TM模（2/5）平行板傳輸線--平行板傳輸線中的TE模與TM模（3/5）平行板傳輸線--平行板傳輸線中的TE模與TM模（4/5）平行板傳輸線--平行板傳輸線中的TE模與TM模（5/5）矩形共振腔矩形共振腔--TE模（1/4）矩形共振腔--TE模（2/4）矩形共振腔--TE模（3/4）矩形共振腔--TE模（4/4）矩形共振腔--TM模（1/6）矩形共振腔--TM模（2/6）矩形共振腔--TM模（3/6）矩形共振腔--TM模（4/6）矩形共振腔--TM模（5/6）矩形共振腔--TM模（6/6）矩形共振腔--矩形共振腔的主模（1/3）矩形共振腔--矩形共振腔的主模（2/3）矩形共振腔--矩形共振腔的主模（3/3）5.4 圓柱座標系的波導與共振腔5.4 圓柱座標系的波導與共振腔扇形截面柱共振腔扇形截面柱共振腔-- TM模（1/8）扇形截面柱共振腔-- TM模（2/8）扇形截面柱共振腔-- TM模（3/8）扇形截面柱共振腔-- TM模（4/8）扇形截面柱共振腔-- TM模（5/8）扇形截面柱共振腔-- TM模（6/8）扇形截面柱共振腔-- TM模（7/8）扇形截面柱共振腔-- TM模（8/8）扇形截面柱共振腔--TE模，U=0（1/4）扇形截面柱共振腔--TE模，U=0（2/4）扇形截面柱共振腔--TE模，U=0（3/4）扇形截面柱共振腔--TE模，U=0（4/4）扇形截面波導（1/3）扇形截面波導（2/3）扇形截面波導（3/3）同軸線及同軸共振腔同軸線及同軸共振腔同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（1/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（2/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（3/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（4/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（5/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（6/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（7/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（8/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（9/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（10/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（11/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與TE模（12/12）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TEM模（1/3）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TEM模（2/3）同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TEM模（3/3）同軸線及同軸共振腔--同軸共振腔（1/4）同軸線及同軸共振腔--同軸共振腔（2/4）同軸線及同軸共振腔--同軸共振腔（3/4）同軸線及同軸共振腔--同軸共振腔（4/4）圓波導及圓柱共振腔圓波導及圓柱共振腔--圓波導（1/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（2/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（3/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（4/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（5/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（6/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（7/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（8/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（9/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（10/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（11/12）圓波導及圓柱共振腔--圓波導（12/12）圓波導及圓柱共振腔--圓柱共振腔（1/5）圓波導及圓柱共振腔--圓柱共振腔（2/5）圓波導及圓柱共振腔--圓柱共振腔（3/5）圓波導及圓柱共振腔--圓柱共振腔（4/5）圓波導及圓柱共振腔--圓柱共振腔（5/5）柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--喇叭波導中的柱面波（1/3）柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--喇叭波導中的柱面波（2/3）柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--喇叭波導中的柱面波（3/3）柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--漸開平板傳輸線中的柱面波（1/5）柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--漸開平板傳輸線中的柱面波（2/5）柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--漸開平板傳輸線中的柱面波（3/5）柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--漸開平板傳輸線中的柱面波（4/5）柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--漸開平板傳輸線中的柱面波（5/5）徑向傳輸線及徑向線共振腔徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的TM模及TE模（1/4）徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的TM模及TE模（2/4）徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的TM模及TE模（3/4）徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的TM模及TE模（4/4）徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的TEM模（1/3）徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的TEM模（2/3）徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的TEM模（3/3）徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向線共振腔（1/2）徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向線共振腔（2/2）5.5 球座標系的共振腔與傳輸線5.5 球座標系的共振腔與傳輸線球形共振腔（1/11）球形共振腔（2/11）球形共振腔（3/11）球形共振腔（4/11）球形共振腔（5/11）球形共振腔（6/11）球形共振腔（7/11）球形共振腔（8/11）球形共振腔（9/11）球形共振腔（10/11）球形共振腔（11/11）雙錐傳輸線與雙錐共振腔雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的TM模（1/2）雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的TM模（2/2）雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的TE模（1/2）雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的TE模（2/2）雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的球面TEM模（1/3）雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的球面TEM模（2/3）雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的球面TEM模（3/3）雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐共振腔5.6 重入共振腔，複雜邊界條件問題5.6 重入共振腔，複雜邊界條件問題（1/9）重入共振腔，複雜邊界條件問題（2/9）重入共振腔，複雜邊界條件問題（3/9）重入共振腔，複雜邊界條件問題（4/9）重入共振腔，複雜邊界條件問題（5/9）重入共振腔，複雜邊界條件問題（6/9）重入共振腔，複雜邊界條件問題（7/9）重入共振腔，複雜邊界條件問題（8/9）重入共振腔，複雜邊界條件問題（9/9）重入共振腔，複雜邊界條件問題重入共振腔的嚴格解（1/9）重入共振腔的嚴格解（2/9）重入共振腔的嚴格解（3/9）重入共振腔的嚴格解（4/9）重入共振腔的嚴格解（5/9）重入共振腔的嚴格解（6/9）重入共振腔的嚴格解（7/9）重入共振腔的嚴格解（8/9）重入共振腔的嚴格解（9/9）重入共振腔的近似解--重入區單項近似（1/10）重入共振腔的近似解--重入區單項近似（2/10）重入共振腔的近似解--重入區單項近似（3/10）重入共振腔的近似解--重入區單項近似（4/10）重入共振腔的近似解--重入區單項近似（5/10）重入共振腔的近似解--重入區單項近似（6/10）重入共振腔的近似解--重入區單項近似（7/10）重入共振腔的近似解--重入區單項近似（8/10）重入共振腔的近似解--重入區單項近似（9/10）重入共振腔的近似解--重入區單項近似（10/10）重入共振腔的近似解--重入區與腔區都取單項近似（1/4）重入共振腔的近似解--重入區與腔區都取單項近似（2/4）重入共振腔的近似解--重入區與腔區都取單項近似（3/4）重入共振腔的近似解--重入區與腔區都取單項近似（4/4）重入共振腔的近似解--電容加載徑向線共振腔（1/4）重入共振腔的近似解--電容加載徑向線共振腔（2/4）重入共振腔的近似解--電容加載徑向線共振腔（3/4）重入共振腔的近似解--電容加載徑向線共振腔（4/4）5.7 微擾（perturbation）原理5.7 微擾（perturbation）原理共振腔的導體微擾（1/11）共振腔的導體微擾（2/11）共振腔的導體微擾（3/11）共振腔的導體微擾（4/11）共振腔的導體微擾（5/11）共振腔的導體微擾（6/11）共振腔的導體微擾（7/11）共振腔的導體微擾（8/11）共振腔的導體微擾（9/11）共振腔的導體微擾（10/11）共振腔的導體微擾（11/11）共振腔的介質微擾（1/8）共振腔的介質微擾（2/8）共振腔的介質微擾（3/8）共振腔的介質微擾（4/8）共振腔的介質微擾（5/8）共振腔的介質微擾（6/8）共振腔的介質微擾（7/8）共振腔的介質微擾（8/8）波導臨界頻率的微擾（1/2）波導臨界頻率的微擾（2/2）波導傳播係數的微擾（1/5）波導傳播係數的微擾（2/5）波導傳播係數的微擾（3/5）波導傳播係數的微擾（4/5）波導傳播係數的微擾（5/5）Q & A

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