.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 1

Chapter 5 : RelationsBenchaporn Jantarakongkul

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 2

ความสมพนธ(Relations)•หากเราตองการเขยนความสมพนธระหวางสมาชกของเซต หากเราตองการเขยนความสมพนธระหวางสมาชกของเซต 2 2 เซต เซต คอเซตคอเซต A A และและ B, B, สามารถใชคอนดบสามารถใชคอนดบ((ordered pairsordered pairs)) โดยสมาชกตวโดยสมาชกตวแรกมาจากเซตแรกมาจากเซต A A และสมาชกตวทสองมาจากเซตและสมาชกตวทสองมาจากเซต B B โดยความโดยความสมพนธระหวางเซตสองเซต จะเรยกวาสมพนธระหวางเซตสองเซต จะเรยกวา ความสมพนธทวภาค ความสมพนธทวภาค((binary binary relationrelation))

•นยามนยาม:: ใหให A A และและ B B เปนเซตเปนเซต binary relation binary relation จากจาก A A ไปไป B B คอเซตคอเซตยอยของยอยของ AABB

•หรอกลาวไดวาหรอกลาวไดวา binary relation R binary relation R ใดๆใดๆ, , R R A AB B เราใชสญลกษณเราใชสญลกษณ aRb aRb เพอแทนเพอแทน (a, b)(a, b)R R และเขยนและเขยน a a R b b เพอแทนเพอแทน (a, b)(a, b)RRตวอยาง ให A = {0, 1, 2} และ B = {a, b} ดงนน R = {( 0, a) , ( 0, b) , ( 1, a) , ( 0, b) }เปนความสมพนธจาก A ไป B

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 3

ความสมพนธ(Relations)

•เมอเมอ (a, b) (a, b) อยในความสมพนธอยในความสมพนธ R R กลาวไดวากลาวไดวา a a สมพนธกบสมพนธกบ b b ดวยดวย RR•ตวอยางตวอยาง:: ใหให P P เปนเซตของคนเปนเซตของคน, C , C เปนเซตของยหอรถเปนเซตของยหอรถ, , และและ D D เปนความสมพนธทใชอธบายวาคนขบรถยหอใดเปนความสมพนธทใชอธบายวาคนขบรถยหอใด•P = {P = {สมรสมร, , สรยสรย, , พระพระ, , อาภาอาภา}, }, •C = {C = {ฮอนดาฮอนดา, , บเอมดบบลวบเอมดบบลว, , โตโยตาโตโยตา}}•D = {(D = {(สมรสมร, , ฮอนดาฮอนดา), (), (สรยสรย, , ฮอนดาฮอนดา),), ( (สรยสรย, , บเอมดบบลวบเอมดบบลว), (), (พระพระ, , โตโยตาโตโยตา)})}•จากความสมพนธทกำาหนดแสดงวา สมรขบรถฮอนดา สรยจากความสมพนธทกำาหนดแสดงวา สมรขบรถฮอนดา สรยขบรถฮอนดาและบเอมดบบลว พระขบรถโตโยตา สวนอาภาไมขบรถฮอนดาและบเอมดบบลว พระขบรถโตโยตา สวนอาภาไมไดขบรถยหอใดเลยไดขบรถยหอใดเลย

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 4

ความสมพนธสวนเตมเตม(Complementary Relations)

• ใหให RR::AA××BB เปนเปน binary relationbinary relation นยามโดย นยามโดย RR :≡ {( :≡ {(aa,,bb) | () | (aa,,bb) ) RR}}

• ดงนนดงนน, , RR::AA××BB, , สวนเตมเตมของสวนเตมเตมของ RR, , เปนเปน binary binary relation relation นยามโดยนยามโดย

RR :≡ {( :≡ {(aa,,bb) | () | (aa,,bb))RR} = (} = (AA××BB) − ) − RR• สงเกตวาความสมพนธนกคอสงเกตวาความสมพนธนกคอ RR โดยเอกภพโดยเอกภพ

สมพทธสมพทธ UU = = AA××BB• สวนเตมเตมของสวนเตมเตมของ RR คอคอ R R เชนเชน << = {( = {(aa,,bb) | ) | aa<<bb)})} ตวอยาง : << = {( = {(aa,,bb) | () | (aa,,bb))<<} = {(} = {(aa,,bb) | ) | ¬(¬(aa<<b)b)} = } = ≥≥

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 5

ความสมพนธผกผน(Inverse Relations)

• ความสมพนธความสมพนธ RR::AA××BB ใดๆ มความสมพนธผกผนใดๆ มความสมพนธผกผน RR−1−1::BB××A A นยามโดยนยามโดย

RR−1 −1 :≡ {(:≡ {(bb, , aa) | () | (aa,,bb))RR}}เชนเชน, , <<−1−1 = {( = {(bb, , aa) | ) | aa<<bb} = {(} = {(bb, , aa) | ) | bb>>aa} = } = >>

• ตวอยางตวอยาง, , ถาถา RR::คนคน→→อาหารอาหาร นยามโดยนยามโดย a R ba R b aa กนกน bb หรอ หรอ RR :≡ {(:≡ {(aa, , bb) | ) | a a กน กน bb}} ดงนนดงนน: : bb RR−1−1

aa bb ถกกนโดยถกกนโดย a a หรอ หรอ RR−1 −1 :≡ {(:≡ {(bb, , aa) | ) | bb ถกกนโดยถกกนโดย a a }}

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 6

ความสมพนธผกผน(Inverse Relations)

Q: Q: สมมตสมมต RR นยามบนนยามบน N N โดยโดย: : xRy xRy กตอเมอกตอเมอ yy = = x x 22 หรอ หรอ RR :≡ {(:≡ {(xx, , yy) | ) | yy = = x x 22}} จงหาความสมพนธผกผนจงหาความสมพนธผกผน R R -1-1 ??A: A: xRy xRy กตอเมอกตอเมอ yy = = x x 22 RR เปนฟงกชนกำาลงสอง ดงนนเปนฟงกชนกำาลงสอง ดงนน R R -1-1 เปนรากทสองเปนรากทสอง: : นนคอนนคอ: :

yR yR -1-1x x กตอเมอกตอเมอ yy = = x x 22 หรอ หรอ RR−1 −1 :≡ {(:≡ {(yy, , xx) | ) | yy = = x x 22}}xR xR -1-1y y กตอเมอกตอเมอ xx = = y y 2 2 หรอ หรอ RR−1 −1 :≡ {(:≡ {(xx, , yy) | ) | xx = = y y 22}}xR xR -1-1y y กตอเมอกตอเมอ yy = ± = ±xx หรอ หรอ RR−1 −1 :≡ {(:≡ {(xx, , yy) | ) | yy = ± = ±xx }}โดยโดย x x ตองตองไมเปนจำานวนลบไมเปนจำานวนลบ

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 7

Example

• R={(a,b) | a R={(a,b) | a สงกวาสงกวา b}b}• RR-1 -1 ={(b,a) | a ={(b,a) | a สงกวาสงกวา b}b}

={(a,b) | b ={(a,b) | b สงกวาสงกวา a}a}• S={(x,y)S={(x,y)RR×R | y=(x+1)/3×R | y=(x+1)/3}}• SS-1 -1 ={(y,x)={(y,x)RR×R | y=(x+1)/3×R | y=(x+1)/3}}

={(x,y)={(x,y)RR×R | x=(y+1)/3×R | x=(y+1)/3}}={(x,y)={(x,y)RR×R | y=3x-1×R | y=3x-1}}

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 8

ความสมพนธบนเซต• ความสมพนธจากเซตความสมพนธจากเซต AA ไปยงตวมนเองเรยกวา ความไปยงตวมนเองเรยกวา ความ

สมพนธบนเซตสมพนธบนเซต AA• เชน ความสมพนธเชน ความสมพนธ “ “<<” ” เปนความสมพนธบนเซตของเปนความสมพนธบนเซตของ

จำานวนนบจำานวนนบ NN• ความสมพนธเอกลกษณความสมพนธเอกลกษณ((identity relationidentity relation)) IIAA บนเซตบนเซต AA

คอเซตคอเซต {({(aa,,aa)|)|aaAA}}• ตวอยางตวอยาง:: กำาหนดใหกำาหนดให A = {1, 2, 3, 4} A = {1, 2, 3, 4} จงหาคอนดบในจงหาคอนดบใน

ความสมพนธความสมพนธ R = {(a, b) | a < b} ?R = {(a, b) | a < b} ?•Solution:Solution: R = R = {(1, 2),{(1, 2),(1, 3),(1, 3),(1, 4),(1, 4),(2, 3),(2, 3),(2, 4),(2, 4),(3, 4)}(3, 4)}

11 11223344

223344

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 9

ความสมพนธบนเซต•มความสมพนธทแตกตางกนไดกแบบทนยามบนเซต มความสมพนธทแตกตางกนไดกแบบทนยามบนเซต AA ทมทมสมาชกจำานวน สมาชกจำานวน nn ตวตว??

•ความสมพนธบนเซตความสมพนธบนเซต A A เปนเซตยอยของเปนเซตยอยของ AAAA•จำานวนสมาชกของจำานวนสมาชกของ AAA A เทากบเทาไรเทากบเทาไร??

•มสมาชกมสมาชก nn22 ในใน AAA, A, ดงนนจำานวนเซตยอยดงนนจำานวนเซตยอย (=(=จำานวนความจำานวนความสมพนธบนสมพนธบน A) A) ของของ AAA A เทากบเทาไรเทากบเทาไร??

•จำานวนเซตยอยของเซตทมสมาชก จำานวนเซตยอยของเซตทมสมาชก mm ตวเทากบตวเทากบ 22m m ดงนน ดงนน AAAA จะมจำานวนเซตยอยไดเทากบจะมจำานวนเซตยอยไดเทากบ 22nn22

•Answer:Answer: เราสามารถกำาหนดความสมพนธบนเซตเราสามารถกำาหนดความสมพนธบนเซต AA ทแตกตางกนทแตกตางกนไดทงหมดไดทงหมด 22nn22 แบบแบบ

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 10

คณสมบตของความสมพนธ•นยามนยาม:: ความสมพนธความสมพนธ R R บนเซตบนเซต A A เปนเปนความสมพนธความสมพนธสะทอนสะทอน((reflexivereflexive)) ถาถา (a, a)(a, a)R R สำาหรบ สำาหรบ สมาชกทกตวสมาชกทกตว aaA A •หมายเหต ถา U = แลวประโยคขางตนเปนจรง•ตวอยาง เชนตวอยาง เชน:

– ความสมพนธความสมพนธ << ไมเปนไมเปน reflexive reflexive เนองจาก x < x ไมจรง, ดงนน (x, x) R

– ความสมพนธความสมพนธ ≥≥ :≡ {(:≡ {(aa,,bb) | ) | aa≥≥bb}} เปนเปน reflexive reflexive เนองจาก (x, x) R

•ความสมพนธบนเซตความสมพนธบนเซต {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} ตอไปนเปน ตอไปนเปน reflexive reflexive หรอหรอไมไม??

•R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)}R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} YesYes

•R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} NoNo

•นยามนยาม :: ความสมพนธบนเซตความสมพนธบนเซต A A เปนเปนความสมพนธไมสะทอนความสมพนธไมสะทอน((irreflexiveirreflexive))

ถาถา (a, a)(a, a)R R สำาหรบสมาชกทกตวสำาหรบสมาชกทกตว aaA A ตวอยาง เชนตวอยาง เชน: : << เปนเปน irreflexiveirreflexive

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 11

Symmetry & Antisymmetry• ความสมพนธความสมพนธ RR บนเซตบนเซต AA เปนเปนความสมพนธความสมพนธ

สมมาตรสมมาตร((symmetricsymmetric)) กตอเมอกตอเมอ RR = = RR−1−1,, นนคอ ถานนคอ ถา ((aa,,bb))RR ↔ (↔ (bb,,aa))RR– เชนเชน, , == ( (เทากบเทากบ) ) เปนเปน symmetric symmetric เพราะถา x = y แลว y = x

สำาหรบทกๆ x และ y แตความสมพนธ << ไมไมเปน เปน symmetricsymmetric– ““แตงงานกบแตงงานกบ” ” เปนเปน symmetric, “symmetric, “ชอบชอบ” ” ไมเปนไมเปน

• ความสมพนธความสมพนธ RR เปนเปนความสมพนธปฏความสมพนธปฏสมมาตรสมมาตร((antisymmetricantisymmetric)) ถาถา aa≠≠bb, (, (aa,,bb))RR → → ((bb,,aa))RR– ตวอยาง เชน ตวอยาง เชน : <: < เปนเปน antisymmetric, “antisymmetric, “ชอบชอบ” ” ไมเปนไมเปน

• ความสมพนธความสมพนธ RR บนเซตบนเซต AA เปนเปนความสมพนธไมความสมพนธไมสมมาตรสมมาตร((asymmetricasymmetric)) ถาถา a,ba,bA, (a,b)A, (a,b)R R →→(b,a)(b,a)RR

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 12

คณสมบตของความสมพนธ•ความสมพนธบนเซตความสมพนธบนเซต {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} ตอไปนเปน ตอไปนเปน symmetric, antisymmetric, symmetric, antisymmetric, หรอหรอ asymmetric?asymmetric?

•R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)}R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)} symmetricsymmetric

•R = {(1, 1)}R = {(1, 1)} sym. and sym. and antisym.antisym.

•R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} antisym. and antisym. and asym.asym.

•R = {(4, 4), (3, 3), (1, 4)}R = {(4, 4), (3, 3), (1, 4)} antisym.antisym.

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 13

คณสมบตของความสมพนธนยามนยาม:: ความสมพนธความสมพนธ RR เปนเปนความสมพนธถายทอดความสมพนธถายทอด((transitivetransitive)) กตอกตอเมอเมอ((aa,,bb,,cc)) ((aa,,bb))RR ( (bb,,cc))RR → (→ (aa,,cc))RR•ความสมพนธจะเปนความสมพนธจะเปนความสมพนธไมถายทอดความสมพนธไมถายทอด intransitiveintransitive กตอเมอกตอเมอไมเปนความสมพนธถายทอดไมเปนความสมพนธถายทอด ตวอยาง เชนตวอยาง เชน: :

– ““เปนบรรพบรษเปนบรรพบรษ” ” เปนเปน transitivetransitive– ““ชอบชอบ” ” ระหวางคนเปนระหวางคนเปน intransitiveintransitive– ความสมพนธความสมพนธ = = < >< > เปนเปน transitivetransitive

•ความสมพนธบนเซตความสมพนธบนเซต {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} ตอไปนเปน ตอไปนเปน transitive transitive หรอไมหรอไม??

•R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)}R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)} YesYes•R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} NoNo•R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)}R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)} NoNo

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 14

Exercise

• ใหให A={1,2,3,4} A={1,2,3,4} และและ R,S,T,U R,S,T,U เปนความเปนความสมพนธบนเซตสมพนธบนเซต AA

• R={(1,3), (3,4)}R={(1,3), (3,4)}• S={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4)}S={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4)}• T={(1,1), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4)}T={(1,1), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4)}• U={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4), U={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4),

(4,2), (1,2),(1,3)}(4,2), (1,2),(1,3)}

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 15

Answer

• R R มคณสมบตมคณสมบต Irreflexive, Antisymmetric Irreflexive, Antisymmetric และและ AsymmetricAsymmetric

• S S มคณสมบตมคณสมบต TransitiveTransitive• T T มคณสมบตมคณสมบต Reflexive, SymmetricReflexive, Symmetric, , และและ

TransitiveTransitive• U U ไมมคณสมบตใดเลยไมมคณสมบตใดเลย

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 16

ความสมพนธประกอบ(Composite Relations)

• ใหให RR::AA×B×B, , และและ SS::B×CB×C ดงนนความสมพนธดงนนความสมพนธประกอบประกอบ SSRR จากจาก RR ไปไป SS นยามไดโดยนยามไดโดย::SSR R = {(= {(aa,,cc) | ) | bb: : aRbaRb bScbSc}}

• RRnn ของของ RR บนเซตบนเซต AA สามารถนยามไดโดยสามารถนยามไดโดยRR00 :≡ :≡ IIAA ;; RRnn+1 +1 :≡ :≡ RRRRnn โดยโดย nn≥0≥0

โดย โดย IIAA = {(= {(x,xx,x)|)|xxA}A}และและ

RR−−nn :≡ (:≡ (RR−1−1))nn

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 17

ความสมพนธประกอบ(Composite Relations)

ตวอยางตวอยาง:: ใหให D D และและ S S เปนความสมพนธบนเซตเปนความสมพนธบนเซต A = {1, 2, 3, 4}A = {1, 2, 3, 4}D = {(a, b) | b = 5 - a} “b D = {(a, b) | b = 5 - a} “b เทากบเทากบ (5 – a)”(5 – a)”S = {(a, b) | a < b} “a S = {(a, b) | a < b} “a นอยกวานอยกวา b”b”

D = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}D = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}SSD = D = QQ: : สมมตความสมพนธสมมตความสมพนธ RR นยามบนเซตนยามบนเซต N N โดยโดย: : xRy xRy กตอเมอกตอเมอ yy = = xx2 2

และความสมพนธและความสมพนธ SS นยามบนเซตนยามบนเซต N N โดยโดย : : xSy xSy กตอเมอกตอเมอ yy = = x x 33

จงหาจงหา S S R R ??AA: : ความสมพนธทงสองนเปนฟงกชนกำาลงสองและกำาลงสาม ดงนนความสมพนธทงสองนเปนฟงกชนกำาลงสองและกำาลงสาม ดงนนความสมพนธประกอบ ความสมพนธประกอบ S S R R คอคอ xSRy xSRy กตอเมอกตอเมอ y y = = x x 66 ( (ในกรณในกรณตวอยางนจะเหนวาตวอยางนจะเหนวา R R S S = = S S R R ))

{(2, 4),{(2, 4), (3, 3),(3, 3), (3, 4),(3, 4), (4, 2),(4, 2), (4, 3),(4, 3), (4, 4)}(4, 4)}

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 18

การแสดงความสมพนธประกอบดวยภาพ

Q:Q:กำาหนดความสมพนธ กำาหนดความสมพนธ RR11 และ และ RR22 ดวยภาพ ดงน ดวยภาพ ดงน จงหา จงหา RR22 RR11 ::

11 11 11 1122 22 22 2233 33 33 3344 44 44

55 55RR11 RR22

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 19

การหาความสมพนธประกอบโดยใชภาพ11 11 1122 22 2233 33 3344 44

55A: A: ลากเสนทางลดทเปนไปไดทงหมด ในตวอยางนลากเสนทางลดทเปนไปไดทงหมด ในตวอยางน

ทำาไดโดยการลากผานทำาไดโดยการลากผาน 11::11 1122 2233 3344

RR11 RR22

RR2 2 RR11

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 20

การหาความสมพนธประกอบโดยใชภาพ11 11 1122 22 2233 33 3344 44

55A: A: ลากเสนทางลดทเปนไปไดทงหมด ในตวอยางนลากเสนทางลดทเปนไปไดทงหมด ในตวอยางน

ทำาไดโดยการลากผานทำาไดโดยการลากผาน 11:: 11 1122 2233 3344 RR2 2 RR11

RR11 RR22

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 21

การหาความสมพนธประกอบโดยใชภาพ11 11 1122 22 2233 33 3344 44

55A: A: ลากเสนทางลดทเปนไปไดทงหมด ในตวอยางนลากเสนทางลดทเปนไปไดทงหมด ในตวอยางน

ทำาไดโดยการลากผานทำาไดโดยการลากผาน 11:: 11 1122 2233 3344 RR2 2 RR11

RR11 RR22

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 22

การหาความสมพนธประกอบโดยใชภาพ11 11 1122 22 2233 33 3344 44

55

A: A: ลากเสนทางลดทเปนไปไดทงหมด ในตวอยางนลากเสนทางลดทเปนไปไดทงหมด ในตวอยางนทำาไดโดยการลากผานทำาไดโดยการลากผาน 11::

11 1122 2233 3344 RR2 2 RR11

RR11 RR22

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 23

การหาความสมพนธประกอบโดยใชภาพ11 11 1122 22 2233 33 3344 44

55

A: A: ลากเสนทางลดทเปนไปไดทงหมด ในตวอยางนลากเสนทางลดทเปนไปไดทงหมด ในตวอยางนทำาไดโดยการลากผานทำาไดโดยการลากผาน 11: :

11 1122 2233 3344 RR2 2 RR11

RR11 RR22

ดงนน RR2 2 RR11= = {(4,1),{(4,1),(4,2),(4,3)}(4,2),(4,3)}

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 24

การรวมความสมพนธ

•ทฤษฎบททฤษฎบท:: ความสมพนธความสมพนธ RR บนเซตบนเซต AA เปนความสมพนธเปนความสมพนธถายทอดถายทอด กตอเมอกตอเมอ RRnn R R โดยโดย nn เปนเลขจำานวนเตมบวกเปนเลขจำานวนเตมบวก •นยามนยาม:: ความสมพนธความสมพนธ RR บนเซตบนเซต AA เปนความสมพนธถายทอดเปนความสมพนธถายทอด ถาถา (a,b)(a,b)RR และและ (b, c)(b, c)R,R, แลวแลว (a, c)(a, c)RR เมอเมอ a, b, ca, b, cAA •ความสมพนธประกอบบนความสมพนธความสมพนธประกอบบนความสมพนธ RR จะประกอบดวยสมาชกจะประกอบดวยสมาชก (a, c)(a, c) ซงอยใน ซงอยใน RR เทานน ดงนน ความสมพนธถายทอดเทานน ดงนน ความสมพนธถายทอด RR หรอหรอ RRRR จะไมมสมาชกอนทไมไดอยในความสมพนธ จะไมมสมาชกอนทไมไดอยในความสมพนธ R,R, ดงนนดงนน RRR R R R•และจะเหนวาสมาชกในและจะเหนวาสมาชกใน RRRRRR จะไมมสมาชกอนทไมไดอยในความจะไมมสมาชกอนทไมไดอยในความสมพนธ สมพนธ RR ดงนนดงนน (R(RR)R)R R R, R, เปนเชนนไปเรอยๆ จงสรปไดวาเปนเชนนไปเรอยๆ จงสรปไดวา RRnn R R

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 25

การแทนความสมพนธ(Representing Relations)

•การแทนความสมพนธทำาได การแทนความสมพนธทำาได 2 2 วธคอวธคอ::การแทนดวยเมตรกซ การแทนดวยเมตรกซ 0-10-1((Zero-one matricesZero-one matrices)) และการแทนดวยไดกราฟและการแทนดวยไดกราฟ((Directed graphsDirected graphs))

•ถาถา RR เปนความสมพนธจากเปนความสมพนธจาก A = {aA = {a11, a, a22, …, a, …, amm}} ไปยงไปยง B ={bB ={b11, b, b22, …, b, …, bnn},}, ดงนนดงนน RR สามารถสามารถแทนดวยเมตรกซแทนดวยเมตรกซ MMRR = [m = [mijij]] โดยโดย

mmijij = 1, = 1, ถาถา (a(aii, b, bjj))R,R, และและmmijij = 0, = 0, ถาถา (a(aii, b, bjj))RR

•การสรางเมตรกซ ทำาไดโดยเขยนสมาชกทอยในการสรางเมตรกซ ทำาไดโดยเขยนสมาชกทอยใน A A ในดานในดานแถวและเขยนสมาชกของแถวและเขยนสมาชกของ B B ในดานคอลมน โดยจะเขยนเรยงในดานคอลมน โดยจะเขยนเรยงลำาดบสมาชกแบบใดกไดลำาดบสมาชกแบบใดกได

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 26

การแทนความสมพนธโดยใชเมตรกซ•ตวอยางตวอยาง:: จงเขยนความสมพนธจงเขยนความสมพนธ R R ซงเปนความสมพนธซงเปนความสมพนธ จาก จาก {1, 2, 3} {1, 2, 3} ไปยงไปยง {1, 2} {1, 2} โดยกำาหนดความสมพนธโดยกำาหนดความสมพนธ R R ดงนดงนR = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)} R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)} ในรปของเมตรกซในรปของเมตรกซ??

•ตอบตอบ:: เมตรกซเมตรกซ MMRR เขยนไดดงนเขยนไดดงน

110100

RM

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 27

การแทนความสมพนธโดยใชเมตรกซ• เมตรกซแทนความสมพนธบนเซตใดๆเมตรกซแทนความสมพนธบนเซตใดๆ ((เชน ความเชน ความสมพนธจากเซตสมพนธจากเซต AA ไปยงไปยง A)A) จะเปนเมตรกซจตรสจะเปนเมตรกซจตรส((square square matricesmatrices))

• เมตรกซทแทนความสมพนธสะทอนจะมสมาชกในแนวเมตรกซทแทนความสมพนธสะทอนจะมสมาชกในแนวเสนทแยงมมเปนหนงเสนทแยงมมเปนหนง(1) (1) ทงหมดทงหมด ดงเมตรกซ ดงเมตรกซ MMrefref

1.

..

11

M ref

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 28

การแทนความสมพนธโดยใชเมตรกซ•เมตรกซทแทนความสมพนธสมมาตร หากพบเมตรกซในเมตรกซทแทนความสมพนธสมมาตร หากพบเมตรกซในแนวทแยงจะมสมาชกทเหมอนกนทกตวหรอ แนวทแยงจะมสมาชกทเหมอนกนทกตวหรอ MMRR = (M = (MRR))tt

1101100100101101

RM

เมตรกซแทนความสมพนธสมมาตร

0011001100110011

RM

เมตรกซแทนความสมพนธไมสมมาตร

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 29

การแทนความสมพนธโดยใชเมตรกซ

• เมตรกซ เมตรกซ 0-1 0-1 สามารถใชในการบอกไดวาความสามารถใชในการบอกไดวาความสมพนธนนมหรอไมมคณสมบตใดไดดวย เชนสมพนธนนมหรอไมมคณสมบตใดไดดวย เชน

00

1010

0

011

00

00

11

11

Reflexive:all 1’s on diagonal

Irreflexive:all 0’s on diagonal

Symmetric:all identical

across diagonal

Antisymmetric:all 1’s are across

from 0’s

any-thing

any-thing

any-thing

any-thing anything

anything

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 30

การแทนความสมพนธโดยใชเมตรกซ•ตวอยางตวอยาง:: กำาหนดใหความสมพนธกำาหนดใหความสมพนธ R R และและ S S แทนดวยเมตรกซ แทนดวยเมตรกซ MMRR และ และ MMSS ตามลำาดบตามลำาดบ

011111101

SRSR MMM

001110101

SM

•จงหาเมตรกซทแทนจงหาเมตรกซทแทน RRS S และและ RRS?S?

ตอบตอบ::

000000101

SRSR MMM

010001101

RM

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 31

การแทนความสมพนธโดยใชเมตรกซ•ใหให A = [aA = [aijij] ] เปนเมตรกซ เปนเมตรกซ 0-1 0-1 ขนาดขนาด mmkk และและ

B = [bB = [bijij] ] เปนเมตรกซ เปนเมตรกซ 0-1 0-1 ขนาดขนาด kknn

•ดงนนการคณแบบบลนดงนนการคณแบบบลน((Boolean productBoolean product)) ของของ A A และและ B, B, แทนดวยแทนดวยสญลกษณสญลกษณ AAB B คอเมตรกซขนาดคอเมตรกซขนาด mmn n ทสมาชกแถวท ทสมาชกแถวท ii คอลมนคอลมนทท j j แทนดวยแทนดวย [c[cijij] ] หาไดจากหาไดจาก

ccijij = (a = (ai1i1 b b1j1j) ) (a (ai2i2 b b2j2j) ) … … (a (aikik b bkjkj))

ccijij = 1 = 1 กตอเมอม กตอเมอม (a(ainin b bnjnj) = 1 ) = 1 อยางนอยหนงชด สำาหรบอยางนอยหนงชด สำาหรบ n n บางคา บางคา หากไมมชด หากไมมชด (a(ainin b bnjnj)) ใดเลยทเทากบหนง จะมผลทำาใหใดเลยทเทากบหนง จะมผลทำาให ccijij = 0 = 0

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 32

การแทนความสมพนธโดยใชเมตรกซ•กำาหนดเมตรกซ กำาหนดเมตรกซ 0-10-1 MMA A = [a= [aijij], M], MBB = [b = [bijij] ] และและ MMCC = [c = [cijij] ] แทนความแทนความสมพนธสมพนธ A, B, A, B, และและ C, C, ตามลำาดบตามลำาดบ•สำาหรบสำาหรบ MMCC = M = MAAMMBB จะไดวาจะไดวา

ccijij = 1 = 1 กตอเมอม กตอเมอม (a(ainin b bnjnj) = 1 ) = 1 อยางนอยหนงชด สำาหรบอยางนอยหนงชด สำาหรบ n n บางคา บางคา หากไมมชด หากไมมชด (a(ainin b bnjnj)) ใดทเทากบหนง จะทำาใหใดทเทากบหนง จะทำาให ccijij = 0 = 0

หมายความวาหมายความวา C C มสมาชกมสมาชก (x(xii, z, zjj) ) กตอเมอมสมาชกกตอเมอมสมาชก yynn ตวหนงทตวหนงท (x(xii, ,

yynn) ) อยในความสมพนธอยในความสมพนธ A A และและ (y(ynn, z, zjj) ) อยในความสมพนธอยในความสมพนธ BB•ดงนนดงนน C = BC = BA A (C (C เปนความสมพนธประกอบจากเปนความสมพนธประกอบจาก A A ไปยงไปยง B)B)

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 33

การแทนความสมพนธโดยใชเมตรกซ•จะไดวา เมตรกซของความสมพนธประกอบ จะไดวา เมตรกซของความสมพนธประกอบ BBA A หาไดจากหาไดจาก::

MMBBAA = M = MAAMMBB

•หรอกลาวไดวา เมตรกซทแทนความสมพนธประกอบจากความหรอกลาวไดวา เมตรกซทแทนความสมพนธประกอบจากความสมพนธสมพนธ A A ไปยงไปยง B B หาไดจากการนำาเมตรกซแทนความสมพนธหาไดจากการนำาเมตรกซแทนความสมพนธ AA คณแบบบลนคณแบบบลน((Boolean productBoolean product)) กบเมตรกซแทนความสมพนธกบเมตรกซแทนความสมพนธ BB

•ในทำานองเดยวกน สามารถหาเมตรกซทแทน ยกกำาลงของความในทำานองเดยวกน สามารถหาเมตรกซทแทน ยกกำาลงของความสมพนธไดจากสมพนธไดจาก::

•MMRRnn = M = MRR[n][n] ((การคณแบบบลนของเมตรกซแทนความสมพนธ การคณแบบบลนของเมตรกซแทนความสมพนธ n n

ครงครง))

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 34

การแทนความสมพนธโดยใชเมตรกซ•ตวอยางตวอยาง :: จงหาเมตรกซจงหาเมตรกซ RR2 2 โดยกำาหนดเมตรกซแทนความสมพนธโดยกำาหนดเมตรกซแทนความสมพนธ R R ดงนดงน

001110010

RM

ตอบตอบ:: เมตรกซเมตรกซ RR22 เขยนไดดงนเขยนไดดงน

010111110

]2[2 RR

MM

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 35

การแทนความสมพนธโดยใช Directed Graphs

• กราฟมทศทางกราฟมทศทาง((directed graph)directed graph)หรอ ไดกราฟหรอ ไดกราฟ((digraph) digraph) GG=(=(VVGG,,EEGG)) คอเซตของจดคอเซตของจด VVGG กบเซตของดานกบเซตของดาน EEGGVVGG××VVGG โดยความสมพนธโดยความสมพนธ RR::AA××BB สามารถแทนไดดวยกราฟสามารถแทนไดดวยกราฟ GGRR=(=(VVGG==AABB, , EEGG==RR))

1 000100 1 1

MarkFred

JoeSallyMarySusan

เมตรกซแทนความสมพนธ R MR:กราฟแทนความสมพนธ RGR: Joe

FredMark

SusanMarySally

จดแทนสมาชกใน VG

ดานหรอเสนแทนสมาชกใน EG

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 36

การแทนความสมพนธโดยใช Directed Graphs

•ตวอยางตวอยาง:: จงเขยนไดกราฟของจดจงเขยนไดกราฟของจด V = {a, b, c, d}, V = {a, b, c, d}, และดานและดาน E = {(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (d, b)}E = {(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (d, b)}

aa bb

ccdd•ดานดาน (b, b) (b, b) เรยกวาเรยกวา looploop

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 37

การแทนความสมพนธ Reflexive, Symmetric

โดยใช Directed Graphs

Reflexive:ทกจดมลปหาตวเอง

Irreflexive:ไมมจดใด

มลปหาตวเอง

Symmetric:เสนเชอมจด

ตองมทงไปและกลบ

Antisymmetric:

เสนเชอมจดมทศทางเดยว

กราฟทงสองไมเปน asymmetric และ

ไมเปน antisymmetric

กราฟทงสองไมเปน reflexive และ ไมเปน irreflexive

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 38

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 39

ความสมพนธสมมล(Equivalence Relations)

•ความสมพนธสมมลใชเชอมโยงสงทมคณสมบตบางความสมพนธสมมลใชเชอมโยงสงทมคณสมบตบางอยางเหมอนกนไวดวยกนอยางเหมอนกนไวดวยกน

•นยามนยาม:: ความสมพนธบนเซตความสมพนธบนเซต A A เรยกวาความสมพนธเรยกวาความสมพนธสมมล ถาความสมพนธนนเปนความสมพนธสมมล ถาความสมพนธนนเปนความสมพนธสะทอนสะทอน(Reflexive)(Reflexive) สมมาตรสมมาตร(Symmetric)(Symmetric) และและถายทอดถายทอด(Transitive)(Transitive)

•สมาชกสองตวใดๆทถกเชอมโยงกนดวยความสมพนธสมาชกสองตวใดๆทถกเชอมโยงกนดวยความสมพนธสมมลสมมล R R จะกลาวไดวาสมาชกทงสองตวนนสมมลกนจะกลาวไดวาสมาชกทงสองตวนนสมมลกน

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 40

ความสมพนธสมมล(Equivalence Relations)

•ตวอยางตวอยาง:: สมมตสมมต R R เปนความสมพนธบนเซตของขอความเปนความสมพนธบนเซตของขอความภาษาองกฤษโดยภาษาองกฤษโดย aRb aRb กตอเมอกตอเมอ l(a) = l(b), l(a) = l(b), ซงซง l(x) l(x) แทนความแทนความยาวของขอความยาวของขอความ x x จงพจารณาวาจงพจารณาวา R R เปนความสมพนธสมมลเปนความสมพนธสมมลหรอไมหรอไม??•ตอบตอบ:: • R R เปนความสมพนธเปนความสมพนธสะทอนสะทอน เพราะ เพราะ l(a) = l(a) l(a) = l(a) ดงนนดงนน aRa aRa สำาหรบขอความสำาหรบขอความ a a ใดๆใดๆ• R R เปนความสมพนธเปนความสมพนธสมมาตรสมมาตร เพราะ เพราะ ถาถา l(a) = l(b) l(a) = l(b) แลวแลว l(b) = l(a) l(b) = l(a) ดงนนถาดงนนถา aRb aRb แลวแลว bRabRa• R R เปนความสมพนธเปนความสมพนธถายทอดถายทอด เพราะเพราะ ถาถา l(a) = l(b) l(a) = l(b) และและ l(b) = l(c), l(b) = l(c), แลวแลว l(a) = l(c), l(a) = l(c), ดงนนดงนน ถาถา aRb aRb และและ bRc bRc แลวแลว aRcaRc•ดงนน ดงนน R R เปนความสมพนธสมมลเปนความสมพนธสมมล

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 41

ชนสมมล(Equivalence Classes)

•นยามนยาม:: ใหให R R เปนความสมพนธสมมลบนเซตเปนความสมพนธสมมลบนเซต A A เซตของเซตของสมาชกทกตวทสมพนธกบสมาชกสมาชกทกตวทสมพนธกบสมาชก aa ของเซตของเซต A A จะเรยกวาชนจะเรยกวาชนสมมลของสมมลของ aa•ชนสมมลของชนสมมลของ aa ภายใตความสมพนธภายใตความสมพนธ R R แทนดวยสญลกษณแทนดวยสญลกษณ [a][a]RR โดยโดย [[aa]]RR : :≡ { ≡ { bb | | aRbaRb } }

•ในกรณทพจารณาชนสมมลภายใตความสมพนธเพยงความในกรณทพจารณาชนสมมลภายใตความสมพนธเพยงความสมพนธเดยว อาจแทนชนสมมลของ สมพนธเดยว อาจแทนชนสมมลของ aa สนๆดวยสนๆดวย [[aa] ] กไดกได•ถาถา bb[[aa]]RR, , bb เรยกวา เรยกวา ตวแทนตวแทน((representativerepresentative)) ของชนของชนสมมลนสมมลน

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 42

ชนสมมล(Equivalence Classes)

ตวอยางตวอยาง:: จากตวอยางของขอความทมความยาวเทาจากตวอยางของขอความทมความยาวเทากน จงหาชนสมมลของคำาวากน จงหาชนสมมลของคำาวา mouse, mouse, โดยแทนดวยโดยแทนดวยสญลกษณสญลกษณ [mouse] ?[mouse] ?

ตอบตอบ:: [mouse] [mouse] คอเซตของคำาทมความยาวเทากบ คอเซตของคำาทมความยาวเทากบ 5 5 ตวตวอกษรอกษร[mouse][mouse] ={horse, table, white,…}={horse, table, white,…}

จะเหนวาจะเหนวา ‘‘horse’horse’ จดเปนตวแทนตวหนงของชนสมมลนจดเปนตวแทนตวหนงของชนสมมลน

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 43

ตวอยางชนสมมล(Equivalence Classes)

• ““ขอความขอความ aa และและ bb ทมความยาวเทากนทมความยาวเทากน””– [[aa] = ] = เซตของขอความใดๆทมความยาวเทากบความยาวของเซตของขอความใดๆทมความยาวเทากบความยาวของ

ขอความขอความ aa• ““จำานวนเตมจำานวนเตม aa และและ b b ทมคาสมบรณเทากนทมคาสมบรณเทากน””

– [[aa] = {] = {aa, , −−aa}}• ““จำานวนจรงจำานวนจรง aa และและ bb ทมสวนทศนยมเทากนทมสวนทศนยมเทากน ((นนคอนนคอ, , aa − − bb

ZZ)”)”– [[aa] = {…, ] = {…, aa−2, −2, aa−1, −1, aa, , aa+1, +1, aa+2, …}+2, …}

• ““จำานวนเตมจำานวนเตม aa และและ bb ทมเศษเหลอจากการหารดวยทมเศษเหลอจากการหารดวย m m เทาเทากนกน” ” ((กำาหนดใหกำาหนดให mm>1)>1)– [[aa] = {…, ] = {…, aa−−22mm, , aa−−mm, , aa, , aa++mm, , aa+2+2mm, …}, …}

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 44

ชนสมมล(Equivalence Classes)

ทฤษฎบททฤษฎบท:: ใหให R R เปนความสมพนธสมมลบนเซตเปนความสมพนธสมมลบนเซต A A ประโยคตอไปประโยคตอไปนสมมลกนนสมมลกน::• aRbaRb• [a] = [b][a] = [b]• [a] [a] [b] [b] นยามนยาม:: การแบงสวนการแบงสวน((partitionpartition)) ของเซตของเซต S S คอกลมของเซตยอยคอกลมของเซตยอยของ ของ S S ทไมใชเซตวาง และไมมสมาชกรวมกนทไมใชเซตวาง และไมมสมาชกรวมกน โดยเมอนำาเซตยอยโดยเมอนำาเซตยอยทงหมดมารวมทงหมดมารวม((unionunion) ) กนจะเทากบเซตกนจะเทากบเซต S S หรอกลาวไดวา กลมหรอกลาวไดวา กลมของเซตยอยของเซตยอย AAi i โดย โดย iiI I ทำาใหเกดการแบงสวนของทำาใหเกดการแบงสวนของ S S กตอเมอกตอเมอ (i) A(i) Aii โดยโดย iiII(ii) A(ii) Aii A Ajj = = , , ถาถา i i j j(iii) (iii) iiII A Aii = S = S

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 45

การแบงสวน(Partition)•ตวอยางตวอยาง:: กำาหนดใหกำาหนดให SS เปนเซตเปนเซต {u, m, b, r, o, c, k, s}{u, m, b, r, o, c, k, s}

เซตตอไปนเปนการแบงสวนเซตตอไปนเปนการแบงสวน((partitionpartition))ของเซตของเซต SS หรอไมหรอไม??

{{m, o, c, k}, {r, u, b, s}}{{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} yesyes

{{c, o, m, b}, {u, s}, {r}}{{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} no (no (ไมม ไมม k)k)

{{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}}{{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} no (t no (t ไมเปนสมาชกของไมเปนสมาชกของ S)S)

{{u, m, b, r, o, c, k, s}}{{u, m, b, r, o, c, k, s}} yesyes

{{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}}{{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} yes ({b,o,o,k} = {b,o,k})yes ({b,o,o,k} = {b,o,k})

{{u, m, b}, {r, o, c, k, s}, {{u, m, b}, {r, o, c, k, s}, }} no (no (เปน เปน ไมไดไมได))

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 46

ชนสมมล(Equivalence Classes)

•ทฤษฎบททฤษฎบท:: ให R R เปนความสมพนธสมมลบนเซตเปนความสมพนธสมมลบนเซต S S ดงดงนนชนสมมลของความสมพนธนนชนสมมลของความสมพนธ RR จะทำาใหเกดการแบงจะทำาใหเกดการแบงสวนสวน((partitionpartition)) ของเซตของเซต S S และ หากกำาหนดการแบงสวนและ หากกำาหนดการแบงสวน {A{Aii | i | iI} I} ของเซตของเซต S S มาให จะมความสมพนธสมมลมาให จะมความสมพนธสมมล R R ซงซงมเซตมเซต AAii, i, iI, I, เปนชนสมมลของความสมพนธนนเปนชนสมมลของความสมพนธนน•ชนสมมลของความสมพนธสมมลชนสมมลของความสมพนธสมมล R R ใดๆทนยามบนเซตใดๆทนยามบนเซต S S จะทำาใหเกดการแบงสวนของเซตจะทำาใหเกดการแบงสวนของเซต S S เพราะสมาชกทกตวเพราะสมาชกทกตวในเซตในเซต S S ถกกำาหนดใหอยในชนสมมลไดเพยงชนเดยวถกกำาหนดใหอยในชนสมมลไดเพยงชนเดยวเทานนเทานน

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 47

ชนสมมล(Equivalence Classes)

•ตวอยางตวอยาง:: สมมต แฟรงกแฟรงก, , ซซานซซาน และและ จอรจจอรจ อาศยในเมองบอสตนอาศยในเมองบอสตน, , สเตสเตฟานและแมค อาศยอยในเมองเบอลน เจนนเฟอรอาศยอยในเมองซดนยฟานและแมค อาศยอยในเมองเบอลน เจนนเฟอรอาศยอยในเมองซดนย•ใหให R R เปนความสมพนธสมมลเปนความสมพนธสมมล {(a, b) | a {(a, b) | a และและ b b อาศยอยในเมองอาศยอยในเมองเดยวกนเดยวกน} } บนเซตบนเซต P = {P = {แฟรงกแฟรงก, , ซซานซซาน, , จอรจจอรจ, , สเตฟานสเตฟาน, , แมคแมค, , เจนนเฟอรเจนนเฟอร} } ดงนนดงนน R = {(R = {(แฟรงกแฟรงก, , แฟรงกแฟรงก), (), (แฟรงกแฟรงก, , ซซานซซาน), (), (แฟรงกแฟรงก, , จอรจจอรจ), (), (ซซานซซาน, , แฟแฟรงกรงก), (), (ซซานซซาน, , ซซานซซาน), (), (ซซานซซาน, , จอรจจอรจ), (), (จอรจจอรจ, , แฟรงกแฟรงก), (), (จอรจจอรจ, , ซซซานซาน), (), (จอรจจอรจ, , จอรจจอรจ), (), (สเตฟานสเตฟาน,,สเตฟานสเตฟาน), (), (สเตฟานสเตฟาน, , แมคแมค), (), (แมคแมค, , สเตสเตฟานฟาน), (), (แมคแมค, , แมคแมค), (), (เจนนเฟอรเจนนเฟอร , , เจนนเฟอรเจนนเฟอร)})}•ดงนนชนสมมล ของดงนนชนสมมล ของ R R คอคอ: : {{{{แฟรงกแฟรงก, , ซซานซซาน , , จอรจจอรจ}, {}, {สเตฟานสเตฟาน, , แมคแมค}, {}, {เจนนเฟอรเจนนเฟอร}}}}

ซงเปนการแบงสวน ซงเปนการแบงสวน ((partitionpartition) ) ของของ PP

.สาขาวชาเทคโนโลยสารสนเทศ คณะวทยาการสารสนเทศ ม บรพา 48

ชนสมมล(Equivalence Classes)

•ตวอยางตวอยาง:: กำาหนดใหกำาหนดให R R เปนความสมพนธเปนความสมพนธ{(a, b) | a {(a, b) | a b (mod 3)} b (mod 3)} บนเซตของจำานวนเตม หรอกลาวไดบนเซตของจำานวนเตม หรอกลาวไดวา วา R R เปนความสมพนธ เปนความสมพนธ (a, b) | a (a, b) | a หารดวย หารดวย 3 3 แลวเหลอเศษแลวเหลอเศษ b }b }

•ความสมพนธความสมพนธ R R เปนความสมพนธสมมลหรอไมเปนความสมพนธสมมลหรอไม??•เปน เปน เพราะเพราะ R R เปนความสมพนธสะทอน สมมาตร และเปนความสมพนธสะทอน สมมาตร และถายทอด ถายทอด ((ใหเหตผล เปนแบบฝกหดใหเหตผล เปนแบบฝกหด))

•จงหาชนสมมลของความสมพนธจงหาชนสมมลของความสมพนธ R ?R ?

{{…, -6, -3, 0, 3, 6, …},{{…, -6, -3, 0, 3, 6, …}, {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}, {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}, {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}} {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}}