Chapter 7 MATLAB 在计算方法中的应用7.1 插值7.1.1 Lagrange 插值 对给定的 n 个自变量 x1, x2, …, xn 及对应的 函数值 y1, y2, …, yn, 求插值区间内任意 x 的函

数 值 y。 lagrange 插值公式：

y(x)= ∑ yk（∏ ）

n

k=1

n

j=1j≠k

x-xj

xk-xj

将上述插值公式编写成 M 文件，取名 lagrange.m

句法结构：function y=lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=p*y0(k)+s;

end

y(i)=s;

end

例 1： x=0:0.2:2*pi; y=sin(x);x1=0:0.1:2*pi;

插值： y1=lagrange(x,y,x1);

精确值： y2=sin(x1);

检查插值效果： plot(x,y,’r’,x1,y1,’bo’)

plot(x1,y1-sin(x1))

例 2： x=[-5:1:5]; y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];

插值： y0=lagrange(x,y,x0);

精确值： y1= 1./(1+x0.^2);

检查插值效果： plot(x0,y0,’--r’,x0,y1,’-b’)

7.1.2 一维插值命令 interp1

句法结构： y=interp1(x0,y0,x)

例：将上例中的 lagrange 换成 interp1, 其他相同。

nearest: 线性最近项插值， linear: 线性插值 spline: 三次样条插值， cubic ：三次插值。

例 正弦曲线的插值示例。>>x=0:0.1:10;>>y=sin(x);>>xi=0:.25:10;>>yi=interp1(x,y,xi);>> plot(x,y,’0’,xi,yi)

例 计算上例的函数插值>>y2=interp1(x,y,x0);>>plot(x0,y2.’*m’)

7.1.3 Hermite 插值

1. 方法介绍

已知 n 个插值节点 x1,x2,…， xn 及其对应的函数值 y1,y2,…,yn 和一阶导数值 y‘1,y’2,…,y‘n 。则计算插值区域内任意 x 的函数值 y的 Hermite 插值公式：

hhh

n

iji ji

i

n

ijj ji

ji

iiiii

n

ii

xxxx

xxh

yyyxxhxy

1

2

1

1

1;)(

])2)([()(

其中

2 MATLAB 实现 hermite.m function y=hermite(x0,y0,y1,x)%hermite insert n=length(x0);m=length(x); for k=1:m yy=0.0; for i=1:n h=1.0; a=0.0; for j=1:n if j- =i h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;

a=1/(x0(i)-x0(j))+a; end end yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); end y(k)=yy; end例 Hermite 插值示例。对给定数据表如表 7.2所示，试构造 Hermite 多项式，并给出 sin0.34的近似值。

>> x0=[0.3 0.32 0.35];>>y0=[0.29552 0.31457 0.34290];

>>y1=[0.95534 0.94924 0.93937];>>x=[0.3:0.005:0.35];>>y=hermite(x0,y0,y1,x);>>plot(x,y)>>hermite (x0,y0,y1,0.34);>>y

>>sin(0.34) >>y2=sin(x);>>hold on>>plot(x,y2,’--r’)

7.1.4 三次样条插值1 方法介绍设区间 [a,b] 上给定有关划分 a=x0<x1<…<xn=b,S 为[a,b]上满足下列条件的函数 .S C∈ 2 (a,b);S 在每个子区间 [xi,xi+1 ] 上是三次多项式 .

则称 S 关于划分的三次样条函数 . 常用的三次样条函数的边界条件有三种类型 :I 型 II 型

.)(,0)( 0 nfxSfxS n ,)(,0)( 0 nfxSfxS n 其特殊情况为

。0)( 0 nxSxS

Ⅲ 型 ，，，， 3210),()( 0 jxSxS njj 此条件称为周期样条函数 .

2 MATLAB 实现Spline2.m function s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) n=length(x0); km=length(x); a(1)=-0.5; b(1)=3*(y0(2)-y0(1))/(2*(x0(2)-x0(1))); for j=1:(n-1) h(j)=x0(j+1)-x0(j); end for j=2:(n-1) alpha(j)=h(j-1)/(h(j-1)+h(j));

beta(j)=3*((1-alpha(j))*(y0(j)-y0(j-1))/h(j-1)+…

alpha(j)*(y0(j+1)-y0(j))/h(j));

a(j)=-alpha(j)/(2+(1-alpha(j))*a(j-1));

b(j)=(beta(j)-(1-alpha(j))*b(j-1))/(2+(1-alpha(j))*a(j-1));

end

m(n)=(3*(y0(n)-y0(n-1))/h(n-1)+y2n*h(n-1)/2-b(n-1))/(2+a(n-1));

for j=(n-1):-1:1

m(j)=a(j)*m(j+1)+b(j);

end

for k=1:km

for j=1:(n-1)

if((x(k)>=x0(j))&(x(k)<x0(j+1)))

1(k)=j;

end

end

end

for k=1:km

sum=(3*(x0(1(k)+1)-x(k))^2/h(1(k))^2-…

2*(x0 (1(k)+1)-x(k))^3 /h(1(k))^3)*y0(1(k));

sum=sum+(3*(x(k)-x0(1(k)))^2/h(1(k))^2-…

2*(x(k)-x0(1(k)))^3/h(1(k))^3/h(1(k))^3)*y0(1(k)+1);

sum=sum+h(1(k))*((x0(1(k)+1)-x(k))^2/h(1(k))^2-…(x0(1(k) +1)-x(k))^3/h(1(k)^3)*m(1(k));

s(k)=sum-h(1(k))*((x(k)-x0(1(k)))^2/h(1(k))^2-…

(x(k)-x0(1(k)))^3/h()1(k))^3)*m(1(k)+1);

end

例 给定如下数据表所示的数据，试求三次样插值函数满足边界条件 s〞 (28.7)= s〞(30)=0. 表X 28.7 28 29 30

Y 4.1 4.3 4.1 3.0

>>x=[28.7 28 29 30];

>>y=[4.1 4.3 4.1 3.0];

>>x0=[28.7:0.15:30];

>>y=spline2(x,y,0,0,x0);

>>plot(x0,y)

7.1.5 最小二乘法拟合1 利用 polyfit 函数进行拟合 例： x=[0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0];

y=[1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.60];

a=polyfit(x,y,2)

x1=[0.5:0.05:3.0];

y1=a(1)*x1.^2 +a(2)*x1 + a(3);

plot(x,y,’*’,x1,y1,’-r’)

2 利用矩阵除法解决复杂型函数的拟合 例：用最小二乘法求一个形如 y=a+bex 的经 验公式 ，其中 a、 b 为待定参数

x=[0:0.4:2.0];

y=[1.2 1.3 1.45 1.6 2.0 2.5];

x1=exp(x)

x1=[ones(6,1),x1’]

%由 y’=x1ab 得 ab=x1\y’ % 其中 ab=

x2=0:0.01:2.0;

y2=ab(1)+ab(2)*exp(x2);

plot(x,y,’*’,x2,y2,’r’)

a

b

7.1.6 快速 Fourier 变换简介 周期性的连续函数可以用三角多项式逼近。对一组周期性的离散数据，这种逼近用快速 Fourier

变换来实现。设数据列为 x(n), n=1,2,…,N,

它对应的 Fourier 变换为 X(k), k=1,2,…,N

则有 X(k)= ∑ x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N)

1<= k <=N

x(n)=(1/N) ∑X(k)*exp(j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N)

1<= n <=N

n=1

N

n=1

N

…

命令函数及句法结构： fft(x)

fft(x,n)

fft(x,[],DIM)或 fft(x,n,DIM)

fft2 二维快速离散 Fourier 变换 调用形式 ( 逆函数相同 )

fft2(x)

fft2(x,MROWS,NCOLS)

fftn n 维快速离散 Fourier 变换 调用形式 ( 逆函数相同 )

fftn(x)

fftn(x,siz)

ifft 快速离散 Fourier 逆变换 ifft2 二维快速离散 Fourier 逆变换 ifftn n 维快速离散 Fourier 逆变换例：给出一张记录 {xk }=[4 3 2 1 0 1 2 3],用 FFT

算法求 {xk}, 离散频谱 {Ck }, 其中 k=0,1, …,7.

解 :

>>x=[4 3 2 1 0 1 2 3];

>>fft(x)

卷积运算演示>> x=[4 3 2 1 0 1 2 3];

>> y=[1 1 1 1 1 1 1 1];

>>fx=fft(x,19)

>>fy=fft(y,19)

>>xy=conv(x,y)

>>yx=ifft(fx.*fy)

>>real(yx)

例：见 demo/numerics/fast fourier transform

7.2 积分与微分7.2.1 Newton-Cotes 系列数值求值公式若将积分区间 [a,b] 划分为 n 等份 , 步长 h=(b-a)/n,选取等距节点 xk =a+kh, 构造下面的插值型求公式 .

In =(b-a)

其中 xk =a+kh, Ck(n) 由 Cotes 系数表 7.6 给出 .

当 n=0 时 , 即为矩形公式 ( 稍做变化 )

当 n=1 时 , 即为梯形公式当 n=2 时 , 即为 Simpson 公式当 n=3 时 , 即为 Cotes 公式

sxfC k

n

k

nk )(

0

)(

1 矩形求积公式

y=cumsum(x)

对 n 维向量 x，

返回 n 维向量 y， y(i)是 x 的前 i 个分量之和。 例 :

>>x=[0 1 2;3 4 5];>>cumsum(x,1)>>cumsum(x,2)

2 梯形求积公式 y=trapz(x)

对 n 维向量 x ，返回标量数值 y ，它的值是 x 的

各分量相隔为 1 单位时各小梯形面积之和。

例：求积分 e-0.5t sin(t+/6)dt

解：建立被积函数 function y=fun1(t)

y=exp(-0.5*t).*sin(t+pi/6);

∫0

3π

d=pi/1000; t=0:d:3*pi; nt=length(t); y=fun1(t); sc=cumsum(y)*d; scf=sc(nt) z=trapz(y)*d

3 自适应法－－ Simpson 法求积 Q=quad(‘F’,a,b) 求函数 F(x) 从 a到 b 的相对误差为 1e-3 的积分近似值 Q=quad(‘F’,a,b,tol) tol 分别用于指定相对误差和绝对误差 例： ∫ dx

x

x2+4—————

0

1

function f=fun2(x)

f=x./(4+x.^2)

quad(‘fun2’,0,1)

4 自适应法的 Cotes 求积公式 quad8 自适应法的 Cote 求积公式 ( 高阶方法 )

Q=quad8(‘F’,a,b) 使用 Newton-Cotes 法则求自适应递归法求函数 F(X)从 a到 b 的相对误差为 1e-3 的积分近似值 , 其中 F 为函数名 .

Q=quad8(‘F’,a,b,tol)

tol 分别用于指定相对误差和绝对误差

例：求积分 ∫ e － x/2 dx

编制函数文件 :

fun.m

function f=fun(x)

f=exp(-x/2);

>>quad8(‘fun’,1,3,1e-10)

7.2.2 Gauss 求积公式

对任意的求积区间 [a,b], 通过变换 x=(b-

a)x/2+(a+b)/2, 可转化到区间 [-1 ， 1] 上。此时

系数为 LegendreGaussA

xfAdxxf

k

n

kkk

0

1

1)()(

dtba

tab

fab

dxxfb

a

1

1)

22(

2)(

例 求下面的积分值

先确定 n 的值。由高斯余项可得下式：

编制函数文件如下： gaussf.m function y=gaussf(x) y=cos(x);>>gauss1(0,1,6)

dxxG 1

0)cos(

6

105270

1

2706

4

5

nn

nh

计算得到

以 n=3 为例 gauss3.m function g=gauss3(fun,a,b,tol) if nargin<4 tol=1e-6;end c=(a+b)/2; x=[a,b,c]; y=feval(fun,x); lev=1; if any(imag(y)) g0=1e30; else

g0=inf; end g=gaussstp1(fun,a,b,tol,lev,g0); function g=gaussstp1(fun,a,b,tol,lev,g0) levmax=10; if lev>levmax disp(‘Reearsion level limit reached in gauss’); g=g0; else c=(a+b)/2; g1=gaussstp2(fun,a,c); g2=gaussstp2(gun,c,b); g=g1+g2; if abs(g-g0)>tol*abs(g)

g1=gaussstp2(fun,a,c,tol/2,lev+1,g1); g2=gaussstp2(fun,c,b,tol/2,lev+1,g2);g=g1+g2; end end function g=gaussstp2(fun,a,b) h=(b-a)/2; c=(a+b)/2; x=[h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745976+c]; f=feaval(fun,x); g=h*(0.555555556*(f(1)+f(3))+0.888888889*f(2));>>gauss3(‘guassf’,0,1)

7.2.3 Romberg 求积公式1 Romberg 加速法

rbgl.m function [s,n]=rbg1(a,b,eps) if nargin<3,eps=1e-6;end s=10; s0=0; k=2; t(1,1)=(b-a)*(f(a)+f(b))/2;

14

4 )(1

)1(1)(

L

kL

kL

Lk

L

TTT

while(abs(s-s0)>eps) h=(b-a)/2^(k-1); w=0; if(h~=0) for i=1:(2^(k-1)-1) w=w+f (a+i*h); end t(k,l)=h*(f(a)/2+w+f(b)/2); for l=2:k for i=1:(k-l+1) t(i,l)=(4^(l-1)*t(i+1,l-1)-t(i,l-1))/(4^(l-1)-1); end end

s=t(1,k);

s0=(t(1,k-1));

k=k+1;

n=k;

else s=s0;

n=-k;

end

end

例 用 Romberg 求积分公式计算积分

dxx2

0

3

解：改编 f.m 函数如下： function f=f(x);

f=x.^3;

计算积分，在 MATLAB 命令窗口中输入：rbg1(0,2)

2 改进 Romberg 的求积函数

rbg2.m

141

111

1

j

kj

kjk

jkj

RRRR

function [s,eer]=rbg2(a,b,eps) if nargin<3, eps=1e-6;end m=1; t(1,1)=(b-a)*(f(a)+f(b))/2; r(1,1)=0; while((abs(t(1,m)-r(1,m))/2)>eps) c=0; for j=1:2^(m-1) c=c+f(a+(j-0.5)*(b-a)/2^(m-1)); end r(m,1)=(b-a)*c/2^(m-1); for j=2:m for k=1(m-j+1)

r(k,j)=r(k+1,j-1)+(r(k+1,j-1)-r(k,j-1))/(4^(j-1)-1);

end

t(l,j)=r(l,j-1)+2*(4^(j-2)-1)*(t(1,j-1)-r(1,j-1))/(4^(j-1)-1);

end

end

err=abs(t(1,m)-r(1,m))/2;

s=t(1,m);

例 计算积分值

dxxx 3

0

21

解：被积分的 M 文件 f.m 变为 :

function f=f(x)

f=x.*sqrt(1+x.^2);

计算积分，在 MATLAB 命令窗口中输入：>>rbg1(0,3)

7.2.4 Mote-Carlo 方法简介（积分多维）求解半球体积设半球体积为： f(x,y,z)=

其中3222 zyx

33

33

y

x

由于是半球，因此，编制 Mote-Carlo 函数 mtc1.m

function y=mtc1(fun,x,y,z,n)

if nargin<5 n=1000;end

n0=0;

xh=x(2)-x(1);

yh=y(2)-y(1);

zh=z(2)-z(1);

for i=1

a=xh*rand+x(1)

b=yh*rand+y(1)

c=zh*rand+z(1)

30 z

f=feval(fun,a,b,c);

if f<=0

n0=n0+1;

end

end

y=n0/n*xh*yh*zh

球函数f.m

function f=f(x,y,z);

f=x.^2+ y.^2+ z.^2-3;

积分计算：

>>x=[-sqrt(3),sqrt(3)]>>y=[-sqrt(3),sqrt(3)]>>z=[0,sqrt(3)];>>mtc1(‘f’,x,y,z,) 当增加随机点的个数时 mtc1(‘f’,x,y,z,1000)

7.2.6 微分和差分1 数值微分和差分 diff(x) 对向量 x , 其值为 [ x(2)-x(1) x(3)-x(2)

… x(n)-x(n-1)] diff(X) 对矩阵 X ，其值为矩阵列的差分

[X(2： n,:)-X(1:n-1,:)]

diff(X,n) 求 n 阶的差分值，如果 n size(X,DIM),diff 函数将先计算可能的连续差分值，直到

size(X,DIM)=1. 然后 diff 沿任意 n+1 维进行差分计算

diff(X,n,DIM) 求 n 阶的差分值，如果 n size(X,DIM), 函数返回空数组

2 符号微分和差分 diff(S) 对由 findsym 返回的自变量微分符号表达式 S

diff(S ’， V’) 或 diff(S， sym’V’) 对自变量 v 微分符号表达式 S

diff(S， n) 对正整数 n ，函数微分 S 表达式 n 次diff(S,n,’V’) 和 diff(S,’V’ , n ）两种形式都可以被

识别

例 x=sym(‘x’);

diff(sin(x^2))

3 梯度函数 gradient 近似梯度函数[fx,fy]=gradient(F) 返回矩阵 F 的数值梯度， fx

相当于 dF/dx, 为 x 方向的差分值。 fy 相当于 dF/dx,为 y 方向的差分值。各个方向的点间隔设为 1 。当 F 为向量分值， DF=gradient(F) 为一维梯度

7.3 求一元高次方程与线性方程组 an xn+an-1 xn-1+…+a0=0

p=[an , an-1 , … ,a0 ]

x0=roots(p)

n 元线性方程组可表达为 AX＝ b ％ A为 nxn 阶系数矩阵 ％ b为 nx1 阶常数矩阵 ％ X为 nx1 阶变量矩阵 X＝ A\b

例 求解下列方程组

2557.03927.02786.04002.01784.0

4240.00643.03781.01920.03645.0

1550.01129.04015.03872.02246.0

4043.02943.03678.01234.04096.0

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

解：在 MATLAB 命令窗中输入： a=[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943 0.2246 0.3872 0.4015 0.1129 0.3645 0.1920 0.3781 0.0643 0.1784 0.4002 0.2786 0.3927]； b=[0.4043 0.1550 0.4240 –0.2557]’； x=a\b

7.3.2 迭代解法的几种形式1 Jacobi 迭代法方程组 Ax=b, 其中 A ∈ ， b , ∈ 且 A 为非奇异，则 A 可写成 A=D-L-U 。其中， D=

diag , 而 -L、 -U 分别为 A 的严格下三角部分（不包括对角线元素）

则

nnR nR

],,,[ 2211 nnaaa

bDfADIULDB

fBxx

bDxULDxkk

111

)()1(

11 ,)(

，）（其中：

可构造迭代法：

由此

2 Gauss-Seidel(G-S) 迭代法

3. SOR 迭代法4. 两步迭代法 当线性方程系数矩阵为对称正定时，可用一种特殊的迭代法来解决，其迭代公式如下：

bLxxUD

bUxxLD

kk

kk

)2

1(1

)(2

1

)(

)(

MATLAB 的实现 jacobi.mD=diag(diag(a));U=-triu(a,-1);L=-triu(a,-1);B=D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f;n=1; while norm(y-x0)>1.0e-6 x0=y; y =B*x0+f;n=n+1; end y n

例 用 Jacobi 方法求解方程组 ,设 x(0)=0, 精度为

a=[10 –1 0;-1 10 –2 10];

b=[9;7;6];

jacobi(a,b,[0;0;0])

例：对上例的方程组，以 Gauss-Seidel 方法求解。 seidel(a,b,[0;0;0])

6102

7210

910

32

321

21

xx

xxx

xx.10 6

例 在上述例 中，当 =1.103 时，用 SOR 法求截原方程

a=[10 –1 0;-1 10 –2 10];

b=[9;7;6];

sor(a,b,1.103,[0;0;0])

7.3.3 线性方程组的符号解法例 还上述的方程组为例，用符号求解函数来求解。a=sym(‘[10 –1 0;-1 10 –2 10]’);

b=(‘[9;7;6]’);

linsolve(a,b)

vpa(ans)

7.4 求解非线性方程7.41 二分法 对函数 f(x), 在区间 [a,b], 若有 f(a)*f(b)<0, 则在该区间内至少有一个根。求解命令： erfen(‘fun’,a,b,tol)例：用二分法求方程 x2-x-1=0 的正根，要求误差小 于 0.05 。 fun4.m function y=fun4(x) y=x^2-x-1; x=-4:0.01:4; plot(x,0,’r’,x,x.*x-x-1) erfen(‘fun4’,0,10,0.05)

7.4.2 Newton 迭代法 迭代公式 xk+1=xk- —————

编制 m 函数 newton.m

求 3x2 – ex = 0

解： fc.m

function y=fc(x)

y=3*x.^2-exp(x);

fd.m

function y=df(x)

f (xk)

f ’ (xk)

y=6*x-exp(x);

x=-1:0.01:4

plot(x,0,’r’,x,3*x.^2-exp(x))

newton(0)

newton(1)

newton(3.5)

7.6 常微分方程的求解 常用的微分方程的数值求解方法有欧拉法和Runge-Kutta 法。在 MATLAB 中，使用 Runge-

Kutta 法，针对不同性质的微分方程已编制出微分

方程的系列求解命令函数 ODE, 包括 ode23,ode45,ode113,ode15s,ode23s. ode 命令函数使用说明（以 ode45 为例） 将微分方程（组）表示为 y ’ = f ( t , y ) ％注意：方程是矢量形式 则微分方程的解为 [T,Y]=ode45(‘fun’,Tspan,Y0) 其中 T 为一个列矢量，每一个元素对应一个时刻， Y 为与 T 有相同行数的矩阵，其列数与微分方程 组中未知函数的个数相同，每一行为各个求解函 数在对应时刻的函数值。 fun 为描写微分方程组的 m 函数名。

Tspan=[T0 TFINAL] 是微分方程的求解区间 Y0 是微分方程初始条件，用矩阵形式给出。 例：解常微分方程的初值问题 y’’-3(1-y2)y’+y=0

y(0)=2, y’(0)=3

解：设 y1=y, y2 =y’ 原式可化为标准形式： y1’=y2

y2’=3(1-y12)y2-y1

把微分方程组编成 M 文件 function dy=F(t,y)

dy=[y(2);3*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

%注意： y=[y1; y2] dy=[y1’ ; y2’]

初始条件写为 Y0=[2 ； 3]

满足初值条件 y1(0)=2

y2(0)=3

％注意： dy 必须为列向量，函数文件必须包

含 t ， y 两个输入变量 [T,Y]=ode23(‘F’,[0 50],[2;3])

％注意： T0=0, TFINAL=50

为观察解的图像，可以使用以下两种方法： ode23(‘F’,[0 50],[2;3])

或 plot(T,Y(:,1),T,Y(:,2))