§3.8 §3.8 函数的最大值与函数的最大值与最小值最小值

高三数学选修（Ⅱ）第三章 导数与微分

Maximum Value & Minimum Value of Function

授课教师：韩兴梅

实际问题

如图，有一长 80cm 宽 60cm 的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求 , 长方体的高不小于 10cm 且不大于 20cm,设长方体的高为 xcm ，体积为Vcm3 ．问 x 为多大时， V 最大 ? 并求这个最大值．

解：由长方体的高为 xcm ， 可知其底面两边长分别是（ 80 － 2x ） cm ，（ 60 － 2x)cm, (10≤x≤20).

所以体积 V 与高 x 有以下函数关系

V= （ 80 － 2x ）（ 60 － 2x ） x

=4 （ 40 － x ）（ 30 － x ） x.

( )f x 一般地，在闭区间 [a,b] 上连续的函数 在 [a,b] 上必有最大值与最小值 .

( ) , (1,2).f x x x

若改为 (a,b) 情况如何 ?

[a,b]

最值存在定理

x

y

o 1

2

1

2

( )f x 一般地，在闭区间 [a,b] 上连续的函数 在 [a,b] 上必有最大值与最小值 .

).1( 0

),10( )(

x

xxxf

若改为不连续呢 ?

连续

最值存在定理

x

y

o 1

1

( ) , (1,2).f x x x

x

y

o 1

2

1

2

① 求函数 在 内的极值； )(xf ),( ba

求 上的连续函数 的最大值与最小值的步骤 :],[ ba

② 将 f (x) 的各极值与 f (a) 、 f (b) 比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值．

例 1 求函数 在区间 上的最大值与最小值．

4 22 5y x x ]2,2[

求 [a,b] 上连续函数 最值的方法( )f x

( )f x

例题讲解

例 1 求函数 在区间 上的最大值与最小值．

4 22 5y x x ]2,2[

解： xxy 44 3

从表上可知，最大值是 13，最小值是 4 ．

13134455441313

22(1,2)(1,2)11(0,1)(0,1)00(-1,0)(-1,0)-1-1(-2,-1)(-2,-1)-2-2

++00——00++00——

当 x 变化时， 的变化情况如下表：yy ,

0y令 ，有 044 3 xx ，解得 1,0,1x

x'y

y单调性

（（ 22 ））将将 的解对应的的解对应的函数值函数值 ff((xx)) 与与 ff((aa)) 、、 ff((bb)) 比较比较，，其其 中最大的一个是最大值中最大的一个是最大值，，最小的一个是最小值最小的一个是最小值．．

( ) 0f x

( ) 0f x （ 1 ）在 (a,b) 内解方程 , 但不需要判断是否是极值点 , 更不需要判断是极大值还是极小值；

例题讲解

例 1 求函数 在区间 上的最大值与最小值．4 22 5y x x ]2,2[解： xxy 44 3

从上表可知，最大值是 13 ，最小值是 4 ．

当 x 变化时， 的变化情况如下表：yy ,0y令 ，有 044 3 xx ，解得 1,0,1x

13134455441313

22(1,2)(1,2)11(0,1)(0,1)00(-1,0)(-1,0)-1-1(-2,-1)(-2,-1)-2-2

++00——00++00——

x'y

y

例题讲解

(0) 5,f (1) 4,f

(2) 13.f ∴所求最大值是 13，最小值是 4．

例 1 求函数 在区间 上的最大值与 最小值．

4 2( ) 2 5y f x x x ]2,2[

解： xxy 44 3 0y令 ，有 044 3 xx , 解得 1,0,1x

( 1) 4,f

( 2) 13,f 又

（（ 22 ））将将 的解对应的的解对应的函数值函数值 ff((xx)) 与与 ff((aa)) 、、 ff((bb)) 比较，其比较，其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．．

( ) 0f x

( ) 0f x （ 1 ）在 (a,b) 内解方程 , 求 上的连续函数 的最大值与最小值的简化步骤 :],[ ba ( )f x

课堂练习

2: ( ) 1 3 , ( ) 0

3 3, ( ).

3 3

3 2 3( ) , (0) 0, (2) 6,

3 9

2 36, .

9

f x x f x

x x

f f f

解 令

得 舍去

所求最小值为 最大值为

2( ) 3 2 1

1( ) 0 , 1.

31 5

( ) , ( 1) 1,3 27

( 2) 2, (1) 1,

2

f x x x

f x x

f f

f f

解：

令 ，得

1.所求最小值为 ，最大值为

•求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值 .

3 3 21 ( ) , [0,2].(2) ( ) , [ 2,1].f x x x x f x x x x x

实际问题

例２　如图，有一长 80cm 宽 60cm 的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求 , 长方体的高不小于10cm 且不大于 20cm,设长方体的高为 xcm ，体积为 Vcm3 ．问 x为多大时， V 最大 ? 并求这个最大值．

解：由长方体的高为 xcm ， 可知其底面两边长分别是（ 80 － 2x ） cm ，（ 60 － 2x)cm, (10≤x≤20).

所以体积 V 与高 x 有以下函数关系

V= （ 80 － 2x ）（ 60 － 2x ） x

=4 （ 40 － x ）（ 30 － x ） x

=4x3 － 280x2 ＋ 4800x.

0,V 令 得

比较可知当70 10 13

,3

x

V 有最大值280000 104000 13

.27

23 140 1200 0.x x

70 10 3 70 10 3, 10,20 ,

3 3x

.但 舍去解得

70 10 13 280000 104000 13( ) ,

3 27(10) 24000, (20) 16000,

f

f f

由

所以体积 V 与高 x 有以下函数关系

解：由长方体的高为 xcm ， 可知其底面两边长分别是（ 80 － 2x)cm ，（ 60 －2x)cm, (10≤x≤20). V=f (x)= （ 80 － 2x ）（ 60 － 2x ） x=4x3 － 280x2 ＋ 4800x.

2.2. 求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤 ;;

1.在闭区间 [a,b] 上连续的函数在 [a,b] 上必有最大 值与最小值 ;

课堂小结

课外作业 : 教材 P139 练习 1 、 2 、 3.

3.利用导数求闭区间 [a,b] 上的连续函数最值的关键是 求得方程 (x∈ [a,b]) 的根所对应的函数值 .

( ) 0f x