一、一、值域与核的概念值域与核的概念二、值域与核的有关性质二、值域与核的有关性质

§7.6 §7.6 线性变换的值域与核 线性变换的值域与核

三、例题讲析三、例题讲析

四、练习四、练习

一、值域与核的概念一、值域与核的概念1 、定义 1 设 是线性空间 V 的一个线性变换，

集合 ( ) ( ) |V V

称为线性变换　的值域，也记作　　　或 　　　Im , .V

集合 1(0) | , ( ) 0V

称为线性变换　的核，也记作 ker .

2 、　 皆为 V 的子空间 .1( ), (0)V

事实上， 　 且对 ( ) , ( ) ,V V V

( ), ( ) ( ),V k P

有 ( ) ( ) ( ) ( )V

( ) ( ) ( )k k V

即 对于 V 的加法与数量乘法封闭 .( )V

( )V 为 V 的子空间 .

再看　　　 　 1(0). 1(0) , (0) 0,V 首先，

又对　 有 从而 1, (0), ( ) 0, ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0.

( ) ( ) 0 0,k k k k P

即 1 1(0), (0),k

故 为 V 的子空间 .1(0)

1 10 (0), (0) .

1(0) 对于 V 的加法与数量乘法封闭 .

2 、定义 2 线性变换　的值域 　　的维数称为　( )V

的秩； 的核 的维数称为 的零度 . 1(0)

例 1 、在线性空间 中，令[ ]nP x

( ) ( )D f x f x

则 1[ ] [ ] ,n nD P x P x

1(0)D P

所以 D 的秩为 n － 1 ， D 的零度为 1.

1. ( 定理 10) 设　是 n 维线性空间 V 的线性变换，

是 V 的一组基，　在这组基下的矩阵是 A ，1 2, , , n

则

1 ） 的值域 是由基象组生成的子空间，即 ( )V

1 2( ) ( ), ( ), , ( )nV L

2 ） 的秩＝ A 的秩 .

二、有关性质二、有关性质

1 2( ), ( ), , ( )nL

即 1 2( ) ( ), ( ), , ( )nV L

又对 1 1 2 2( ) ( ) ( )n nx x x

1 1 2 2( ... ) ( )n nx x x V

证： 1 ）　 设 ,V 1 1 2 2 ,n nx x x

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nx x x 于是

有 1 1 2 2( ) ( ) ( )n nx x x

1 2( ), ( ), , ( ) ( ).nL V

因此， 1 2( ) ( ), ( ), , ( ) .nV L

的秩，又

1 2 1 2 ,( ), ( ), , ( ) ( , , , ) .n n A

∴ 　秩 ＝秩( ) ( ).A

等于矩阵 A 的秩 .

2 ）由 1 ）， 的秩等于基象组 1 2( ), ( ), , ( )n

由第六章 §5 的结论 3 知， 　　 的秩1 2( ), ( ), , ( )n

2. (定理 11) 设　为 n 维线性空间 V 的线性变换，则

的秩＋　的零度＝ n

即 1dim ( ) dim (0) .V n

证明：设 的零度等于 r ，在核 中取一组基 1(0)

1 2, , , r

并把它扩充为 V 的一组基： 1 2, , , , ,r n

生成的 .

由定理 10 ， 　　是由基象组( )V1 2( ), ( ), , ( )n

但 ( ) 0, 1,2, , .i i r

1( ) ( ), , ( )r nV L

设 1 1( ) ( ) 0r r n nk k

则有 1 1 0r r n nk k

11 1 (0)r r n nk k

下证 为 的一组基，即证它们1( ), , ( )r n ( )V

即 可被 线性表出 . 1 2, , , r

线性无关 .

设 1 1 2 2 r rk k k

于是有 1 1 2 2 , 1 1 0r r r r n nk k k k k

由于为 V 的基 . 1 2, , , n

1 2 0nk k k

的秩＝ n － r .

因此， 的秩＋　 的零度＝ n.

故 线 性无关，即它为 　　的一组基 . 1( ), , ( )r n ( )V

虽然 　　 与 　　 的维数之和等于 n 　，但是( )V 1(0)

未必等于 V. 1( ) (0)V

如在例 1 中 ,

11[ ] 0 [ ] [ ]n n nD P x D P x P x

注意：注意：

ⅰ) 　是满射 ( )V V

证明：ⅰ ) 显然 .

ⅱ) 因为　 若 为单射，则 0 0, 1(0) 0 .

3. (性质 1) 设　为 n 维线性空间 V 的线性变换，则

ⅱ) 　 是单射 1(0) 0

反之 ，若 　任取　 若 1(0) 0 , ,V 、

( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,

即 　. = 故　是单射 . 1(0) 0 , 从而

是单射 　是满射 .

证明：　是单射

1(0) 0

dim ( )V n

4. (性质 2) 设　为 n 维线性空间 V 的线性变换，则

1dim (0) 0

是满射 .

( )V V

例 2 、设 A 是一个 n 阶方阵， 　 证明： A 相似于2 ,A A

证：设 A 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换 在一

组基 下的矩阵，即 1 2, , , n

1 2 , 1 2 ,, , , ( , , , )n n A

一个对角矩阵 1

1

0

0

三、例题讲析

由 　 知 2 ,A A 2 .

任取　 设 ( ),V ( ), ,V

则 2( ) ( ( )) ( ) ( )

故有 　当且仅当 ( ), ( ) 0V 0.

因此有 1( ) (0) 0V

又 1dim ( ) dim (0)V n

所以有 1( ) (0).V V

从而　　　　　　是直和 .1( ) (0)V

在 中取一组基： 1(0) 1 , ,r n

则　 就是 V 的一组基 . 1 2 1, , , , ,r r n

显然有，

1 1 2 2, , , ,r r

1 20, 0, , 0.r r n

在 中取一组基 ： 1 2, , r ( )V

用矩阵表示即

1 2 1 2

1

1( , , ) ( , , )

0

0

n n

所以， A 相似于矩阵

1

1.

0

0

1 0 2 1

1 2 1 3

1 2 5 5

2 2 1 2

A

线性变换　在此基下的矩阵为

1) 求 及 1(0). ( )V

2) 在 中选一组基，把它扩充为 V 的一组基， 1(0)

并求 在这组基下的矩阵 .

并求 在这组基下的矩阵 .

3) 在 中选一组基，把它扩充为 V 的一组基，( )V

例 3 、设　　　　　是线性空间 V 的一组基，已知1 2 3 4, , ,

解： 1 ）先求 　设 它在1(0). 1(0), 1 2 3 4, , ,

下的坐标为 1 2 3 4( , , , ).x x x x

0,0,0,0 .

故

1

2

3

4

1 0 2 1 0

1 2 1 3 0

1 2 5 5 0

2 2 1 2 0

x

x

x

x

由于 有 在　 下的坐标为 ( ) 0, 1 2 3 4, , , ( )

解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：

2 2/ 3 1 0 , 1 2 0 1

从而 1 1 2 32 2/ 3 ,

是 的一组基 . 1(0) 1

1 2(0) , .L

由于 的零度为 2 ，所以 的秩为 2 ，

又由矩阵 A ，有

2 1 2 42

即 为 2 维的 .( )V

再求 ( ).V

1 1 2 3 4( ) 2

2 2 3 4( ) 2 2 2

1 2 3 4( ) ( ), ( ), ( ), ( )V L

2 ）因为

1 2 1 2 1 2 3 4

1 0 2 1

0 1 2/ 3 2, , , , , ,

0 0 1 0

0 0 0 1

从而有所以，　　　　　线性无关，1 2( ), ( )

1 2( ), ( )L

就是 　　的一组基 . 1 2( ), ( ) ( )V

1 2 3 4 1( , , , )D

而

1 0 2 1

0 1 2/ 3 21 0,

0 0 1 0

0 0 0 1

1D 可逆 .

从而 ， 线性无关，即为 V 的一组基 . 1 2 1 2, , ,

在基 下的矩阵为 1 2 1 2, , ,

11 1

5 2 0 0

9/ 2 1 0 0.

1 2 0 0

2 2 0 0

D AD

3 ）因为

1 2 3 4 1 2 3 4

1 0 0 0

1 2 0 0( ), ( ), , , , ,

1 2 1 0

2 2 0 1

1 2 3 4 2( , , , )D

可逆 .2D

1 0 0 0

1 2 0 02 0,

1 2 1 0

2 2 0 1

而

从而 线性无关，即为 V 的一组基 . 1 2 3 4( ), ( ), ,

在这组基下的矩阵为

12 2

5 2 2 1

9/ 2 1 3/ 2 2.

0 0 0 0

0 0 0 0

D AD

四、练习V F

4 6 0

3 5 0

3 6 1

A

: X AX

Ker Im

设 是数域 所有 3维列向量构成的线性空间 ,

. 定义 的映射

.

(1)证明 是线性变换 ;

的核 和值域 的维数 ;

的特征值和对应的特征向量 .

V .

(2) 求

(3) 求