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Chapter 5
フーリエ級数と固有関数展開
5.1 フーリエ級数
[�a; a] を周期とする関数 f(x) を 3角関数の級数
f (x) =a02
+1Xn=1
(an cosn�x
a+ bn sin
n�x
a) (5:1)
と表せたとする。この展開 (5.1)をフーリエ級数展開という。ここで係数 a0; a1; . . . ; b1; b2; . . .
はどう決めればよいか、またこの級数の収束に付いての性質を議論する事がこれからの主
題である。
n;m > 0 であるとき 3角関数にはZ a
�asin
m�x
asin
n�x
adx =
(0 : n 6= m
a : n = mZ a
�acos
m�x
acos
n�x
adx =
(0 : n 6= m
a : n = mZ a
�asin
m�x
acos
n�x
adx = 0
(5.2)
の関係がある。したがって (5.1) の展開が可能ならば、(5.1) に 3角関数をかけて積分する
ことにより、展開係数 an; bn は次の様に定められる。
an =1
a
Z a
�af (x) cos
n�x
adx ; n = 0; 1; 2; . . . (5.3)
bn =1
a
Z a
�af(x) sin
n�x
adx ; n = 1; 2; 3 . . . : (5.4)
ここでは無限級数の一様収束性を仮定して、項別積分を行った。関係 (5.2) を 3角関数の
直交関係という。また、直交関係を満たす関数系を直交関数系と呼ぶ。簡単な例題を考え
よう。
73
例題 5.1 �� < x < � 上の関数
f (x) =
(0 : �� < x � 0
x : 0 < x < �(5:5)
をフーリエ級数に展開せよ。
解. フーリエ級数の係数は (5.3) (5.4) により次のように計算できる。
a0 =1
�
Z �
0xdx =
�
2
an =1
�
Z �
0x cosnxdx =
1
n�[x sin nx]�0 �
1
n�
Z �
0sinnxdx
=1
n2�[(�1)n � 1] ; n = 1; 2 . . .
bn =1
�
Z �
0x sinnxdx = � 1
n�[x cosnx]�0 +
1
n�
Z �
0cosnxdx
=(�1)n+1
n; n = 1; 2 . . . (5.6)
したがって
f(x) =�
4+
1Xn=1
[(�1)n � 1
n2�cos nx+
(�1)n+1
nsinnx] (5:7)
である。■
上で得られた (5.7)から無限級数の和P1
m=01
(2m+1)2を求めることもできる。(5.7)で x = 0
とおくと
0 =�
4+
1Xn=1
(�1)n � 1
n2�
となる。これを整理すれば1X
m=0
1
(2m+ 1)2=
�2
8(5:8)
を得る。
第 3章では、境界条件
u(0) = u(a) = 0
を満たす関数 u(x)（定義域 0 < x < a）を 3角関数 sin n�xaを用いて
u(x) =1Xn=1
cn sinn�x
a(5:9)
と展開した。(5.9) では領域 [0; a] のみを考え、かつ上の境界条件がかせられていた。これ
を拡張し、�a < x < 0に対して奇関数
u(�x) = �u(x);�a < x < 0
74
と定義するしよう。奇関数 u(x) を展開したのだから (5.9) には (5.1) のうち奇関数成分の
みが現れたと理解できる。一方、関数 f(x) を偶関数として �a < x < 0 に拡張すれば
u(x) =1Xn=0
cn cosn�x
a(5:10)
と展開できる。 (5.9) (5.10) をそれぞれフーリエ・サイン展開、フーリエ・コサイン展開と
いう。
例題 5.1では、定義域 (�� < x < �) で連続な関数を考えた。それでは、不連続な関数
はどうだろう。
例題 5.2 関数
f(x) =
( �1 : �� < x � 0
1 : 0 < x < �(5:11)
をフーリエ級数に展開せよ。
解. この関数は、x の奇関数だから sin 成分しかあらわれないはずである。実際、
an =1
�[Z �
0cosnxdx�
Z 0
��cosnxdx] = 0; n = 0; 1; 2 . . .
bn =2
�
Z �
0sinnxdx =
2
�
1� (�1)nn
; n = 1; 2; . . . (5.12)
と計算できる。したがって
f (x) =4
�
1Xn=0
sin(2n+ 1)x
2n+ 1(5:13)
となる。ここで、右辺で x = 0とすると 0となるが、(5.11)では f (0) = �1であるから等号は成り立たないことに注意しなくてはならない。(5.13)の右辺は 0であり、1
2ff(0+)+f (0�)gに等しい。■
上で見たように、一般に、孤立した不連続点 x = c があるときには、フーリエ級数の和
は x = c で1
2ff(c+ 0) + f (c� 0)g (5:14)
の値をとる。(この事は後で一般的に示す。）したがって常に (5.1) の様な等号が成立する
わけではない。そこでよく (5.1) の代わりに
f(x) � a02
+1Xn=1
(an cosn�x
a+ bn sin
n�x
a) (5:15)
という書き方をする。図 5.1に (5.13) の部分和
SN (x) =4
�
NXn=1
sin(2n+ 1)x
2n+ 1(5:16)
75
を描こう。x = 0および x = �1近傍での振る舞いに注意してほしい。この部分和の収束性については後で議論することになる。
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//図 5.1////////////////////////////
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フーリエ級数を sin; cos を用いないで、指数関数を用いて表すこともできる。
sinn�x
a=
1
2ifexp(in�x
a)� exp(�in�x
a)g
cosn�x
a=
1
2fexp(in�x
a) + exp(�in�x
a)g (5.17)
であるから、これを (5.15) に代入し
f(x) � a02
+1Xn=1
f12(an � ibn)e
in�xa +
1
2(an + ibn)e
�in�xa g
=1X
n=�1cn exp(i
n�x
a) (5.18)
と書くと、係数 cn は ( 0 および正または負の整数 n について)
cn =1
2a
Z a
�af(x) exp(�in�x
a)dx; (n = 0;�1;�2 . . .) (5:19)
と定められる。ここでは指数関数の直交関係
1
2a
Z a
�aexp(�in�x
a) exp(i
m�x
a)dx =
(0 : n 6= m
1 : n = m(5:20)
を用いればよい。展開 (5.18) を複素フーリエ級数と呼ぶ。an; bn と cn の関数は
c0 =a02;
cm =1
2(am � ibm); m > 0
cm = (c�m)�; m < 0 (5.21)
である。
76
5.2 デルタ関数
フーリエ級数を議論する時に、デルタ関数（ディラックのデルタ関数）というものを使
うと便利である。
物理学における質点の概念は、大きさはないが質量は有限であるものを云う。電子は、
大きさはなく、有限の質量と電荷 (およびスピン)を持った質点である。ところが、古典数
学の中にはこのような質点の密度分布を表現できる関数はない。一点だけで有限な値を持
ち、その他のすべての領域で 0 である関数 m(x) を考えてみよう。
m(x) =
(1 : x = 0
0 : x 6= 0
一見するとこのような関数は、上で述べた質点の概念に対応していると思えるかも知れな
いが、それは違う。上の m(x) を x = 0 を内部に含む空間内で積分を行うと 0 である。Z 1
�1m(x)dx = 0:
しかし有限の質量を持つ質点を含む空間全体に含まれる質量はやはり有限である。したがっ
て、質点の分布は上で考えたような関数m(x) の形では表せないことになる。P.A.M.ディ
ラックは、量子力学の理論的枠組を作る中で、デルタ関数を導入した。デルタ関数は、普
通の関数ではなく、超関数 (distribution) といわれる数学的枠組みの中に納められている。
質点の質量分布もデルタ関数により表すことができる。以下でデルタ関数を説明しよう。
1次元空間において、関数列 fq
n�e�nx
2g を考える。それぞれの関数
�n(x) �rn
�e�nx
2
(5:22)
は、x の全域で無限回連続微分可能な関数であり、�p�
2pn< x <
p�
2pn程度の巾の中でのみ
大きな値を持ち、その外では急激にゼロとなる。また、ガウス関数の積分はZ 1
�1dx
rn
�e�nx
2
= 1 (5:23)
であるから、この関数の示す全面積は n によらずに 1である。デルタ関数を、この関数の
n!1 の極限として�(x) = lim
n!1
rn
�e�nx
2
(5:24)
と定義する。したがってデルタ関数は面積 1,巾が無限少で高さが無限大ということになる。
�n(x) およびその微分を図 5.2に示しておこう。
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77
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//図 5.2////////////////////////////
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関数 f(x) を無限回連続微分可能で、かつ jxj ! 1 にした時、任意の Nで定義される
jxj�N より早く 0になる関数 (急減少関数)であるとする。例えば jxj の充分大きいところで exp(�x2) の様に振る舞うと考えればよい。この時
Z 1
�1f(x)�(x)dx � lim
n!1
Z 1
�1f(x)�n(x)dx = f(0) (5:25)
であることが示される。充分大きい n について、 �n(x) は x = 0 を中心とした非常にせま
い範囲内でのみ 0でない値をとる。したがって f (x) は x ' 0 付近での値だけが寄与して
Z 1
�1f(x)�n(x)dx ' f (0)
Z 1
�1�n(x)dx = f(0) (5:26)
となるからである。あるいは、もう少し厳密な形で書くなら次のように示せばよい:
jZ 1
�1
rn
�e�nx
2
f (x)dx� f(0)j
= jZ 1
�1
rn
�e�nx
2ff (x)� f(0)gdxj
� Maxjf (1)(x)j �Z 1
�1
rn
�e�nx
2 jxjdx
=1pn�
Maxjf (1)(x)j ! 0 : (n!1): (5.27)
デルタ関数は数学的には (5.24) よりむしろ (5.25) の様に、関数 f (x) から値 f (0) への対
応 として定義されている。このような関係を 線形汎関数 という。
デルタ関数の微分も同じようにZ 1
�1f(x)�0(x)dx � lim
n!1
Z 1
�1f (x)�0n(x)dx (5:28)
と定義する。右辺は部分積分により
Z 1
�1f(x)
d�n(x)
dxdx =
Z 1
�1f(x)
d
dx(
rn
�e�nx
2
)dx
= �Z 1
�1f 0(x)
rn
�e�nx
2
dx! �f 0(0) : (n!1)
78
と計算される。ここでは f(x) ! 0 : jxj ! 1 を用いた。これにより、 �0(x) も超関
数として定義され、形式的に部分積分によってZ 1
�1f(x)�0(x)dx = �
Z 1
�1f 0(x)�(x)dx = �f 0(0) (5:29)
と計算できることが分かる。デルタ関数は常に積分の中に現れることを念頭に置いておけ
ば、あとは普通の関数のように微分や積分をしてかまわない。デルタ関数には以下の諸性
質がある。
例題 5.3デルタ関数 �(x) の次の性質を示せ。
(1) �(�x) = �(x)
(2) �(ax) =1
jaj�(x)(5.30)
解.
(1) Z 1
�1f(x)�(�x)dx = lim
n!1
Z 1
�1f (x)�n(�x)dx
= limn!1
Z 1
�1f (x)�n(x)dx =
Z 1
�1f(x)�(x)dx
である。したがって�(�x) = �(x)である。
(2) Z 1
�1f (x)�(ax)dx = lim
n!1
Z 1
�1f (x)�n(ax)dx
= limn!1
rn
�
Z 1
�1f(x) exp(�na2x2)dx
= limn!1
rn
�
Z 1
�1f(
y
jaj) exp(�ny2)dy
jaj=
1
jajf (0) =1
jajZ 1
�1f (x)�(x)dx
である。したがって�(ax) = 1jaj�(x)である。■
この様にして定義したデルタ関数を用いれば、空間の各点 ri(i = 1; 2; . . .) に分布した質
量 mi の質点の分布は、次の様にして与えられる。
�(r) =Xi
mi�(3)(r� ri): (5:31)
ただし �(3)(r) は 3次元のデルタ関数で、
r = (x; y; x)
79
とすれば
�(3)(r) = �(x)�(y)�(z) (5:32)
と定義されている。点電荷、点熱源、1点にかかる撃力などもすべてデルタ関数であらわ
される。
デルタ関数 �(x) の定義としては、(5.24)(5.25)の他にも次の様なものがある。
�(x) = lim�!1
1
�
sin �x
x; (5:33)
�(x) = lim"!0
1
�
"
x2 + "2: (5:34)
これらを説明しよう。
例題 5.4 (5.33)(5.34)がデルタ関数になっていることを示せ。
解.まず (5.33)を示そう。� > 0 として、複素積分
Z 1
�1dz
f (z)ei�z
z(5:35)
を考えよう。f(z) は jzj ! 1 で有界であるとすれば、図 5.3のように半円周の積分路を
加えて、積分を複素平面上、上半平面で閉じてやっても値は変らない。z = 0 を f(z) の正
則点とする。すると z = 0 は f(z)ei�z=z の 1位の極であるので、上の積分では z = 0 を
上または下に逃げておかなくてはならない。(図 5.3)ここでは半径 � の半円で上に逃げる
ことにする。また複素 z 平面上、上半平面にある f(z) の極を fzng とし、そこでの留数をRes(f : zn) と書くことにする。上の様に書いた積分路を C とすると、C にそった積分の
値は次の様になる。
ICdx
f(z)ei�z
z=
Z ��
�Rf (x)ei�x
xdx+
Z R
�
f (x)ei�x
xdx
+Z 0
�id��ei�
f(�ei�)ei��ei�
�ei�+Z �
0id�Rei�
f (Rei�)ei�Rei�
Rei�
(5.36)
右辺第 3項では z = �ei�, 第 4項では z = Rei� とおいて、半径� および R の半円周上での
積分である。
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///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
//図 5.3////////////////////////////
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80
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///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
一方、この積分路の内部には特異点は f(z) の極だけしかないから、この積分の値は
ICdx
f(z)ei�z
z= 2�i
Xn
Res(f (z)ei�z
z: zn) (5:37)
となる。ここで �! 0 , R!1 の極限を考える。(5.36)の第 3項、第 4項は
lim�!0
Z 0
�id�f(�ei�)ei��e
i�
= ��if(0);
limR!1
Z �
0id�f(Rei�)ei�Re
i�
= 0 (5:38)
となる。sin�x=x については x = 0 では値 � をとり正則である。したがって
Z 1
�1f(x)
sin�x
xdx =
1
ilim�!0R!1
fZ ��
�Rf(x)ei�x
xdx+
Z R
�
f(x)ei�x
xdxg (5:39)
である。(5.36)�(5.39)よりZ 1
�1f(x)
sin�x
xdx� �f(0) = 2�
Xn
Res(f(z)ei�z
z: zn) (5:40)
となる。右辺の和は、上半平面にある f (z) のすべての極についてとる。ここで �!1 の極限を考える。zn は上半平面にあり Imzn > 0 であるので
ei�zn ! 0 (�!1)
である。したがって jzj ! 1 で有界である任意の f(z) について、極 z = znからの寄与は、
m位の極であっても、�!1 のとき e��Im(zn)で小さくなる。以上から
lim�!1
1
�
Z 1
�1f(x)
sin�x
xdx = f(0) (5:41)
が示された。すなわち (5.33)である。
第 2の表式 (5.34)についても
"
x2 + "2=
1
2i[
1
x� i"� 1
x+ i"] (5:42)
と書きなおして同じ様に Z 1
�1dz
"
z2 + "2f (z) (5:43)
81
を考えればよい。積分路は、上或いは下、いずれの側で閉じてもよい。閉じるために付け
加えた積分路からの寄与は実際にはゼロで、f(z) の極と z = +i" または z = �i" からの寄与だけが残る。例えば、上半平面で閉じるなら
Z 1
�1dz
"
z2 + "2f(z) = 2�i・
f(i")
2i+Xn
2�iRes(f(z)"
z2 + "2: zn)
となる。zn は上半平面にある f (z) の極である。ここで "! 0 の極限をとると分子にある
"のために右辺第 2項は消えて
lim"!0
1
�
Z 1
�1dz
"
z2 + "2f (z) = f(0) (5:44)
となる。■
�; " が有限である場合の (5.33)(5.34)の形を図 5.4に示そう。面積が 1で、原点 x = 0 で
鋭いピークを持った関数である。微分も一緒に示しておく。デルタ関数の表式としては
�(x) =1
2�
Z 1
�1dk exp(ikx) (5:45)
というものもある。これについては次の節で詳しく検討することにする。
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//図 5.4////////////////////////////
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///////////////////////////////////
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5.3 フーリエ級数の収束性とディリクレの定理
もとにもどって (5.1)または (5.15)の収束性を議論しよう。
関数 f(x) は
(1) [�a; a] で絶対可積分、(2) 有界変動関数、
(3) [�a; a] を 1周期とする周期関数、
であるとする。絶対可積分とは、絶対値 jf(x)j についてZ a
�ajf(x)jdx
82
が有限確定値を持つことをいう。
区間 [�a; a] を有限個の部分区間 (x0 = �a; xn = a)
(x0; x1); (x1; x2); . . . (xn�1; xn)
に分割した時、その分割に対応した和
nXk=1
jf(xk)� f (xk�1)j (5:46)
の種々の分割に関する上限値を f(x) の全変動 V (f : [�a; a]) という。 V (f : [�a; a]) が有限である時、関数 f (x)を有界変動または有界変動関数という。有界な単調関数は有界変動
であり、その時の全変動は V (f : [�a; a]) = jf(a)� f(�a)j である。有限個の区間に分割した時、それぞれの区間で単調な関数も有界変動である。しかし連続な関数が常に有界変動
なわけではない。例えば
x sin1
x
は連続だが有界変動ではない (図 5.5)。sin 1xの極大・極小値をとる x の値は
x =2
(2n+ 1)�; (n = �1;�2 . . .)
である。したがって [0; �] における全変動は
V (x sin1
x: [0; �]) >
4
�[1
3+
1
5+
1
7+ . . .]
と評価でき、右辺は発散するからである。
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///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
//図 5.5////////////////////////////
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///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
性質 (1) � (3) を持つ関数 f (x) について (5.1)の部分和
SN (x) =a02
+NXk=1
(ak cosk�x
a+ bk sin
k�x
a) (5:47)
83
を考えよう。ここで
ak =1
a
Z a
�af(x) cos
k�x
adx k = 0; 1; 2; . . . (5:48)
bk =1
a
Z a
�af(x) sin
k�x
adx k = 1; 2; 3; . . . (5:49)
である。(5.48)(5.49)を (5.47)に代入すると
SN(x) =1
2a
Z a
�af(t)dt+
1
a
NXk=1
[cosk�x
a
Z a
�af (t) cos
k�t
adt+ sin
k�t
a
Z a
�af (t) sin
k�t
adt]
=1
a
Z a
�adtf(t)[
1
2+
NXk=1
cosk�(x� t)
a] (5.50)
となる。
ReNXk=0
eikt = Re1� ei(N+1)t
1� eit= Re
ei(N+ 1
2)t � e�it=2
eit=2 � e�it=2=
sin(N + 12)t+ sin( t
2)
2 sin( t2)(5.51)
であるから
ReNXk=1
eikt =NXk=1
cos kt =sin(N + 1
2)t
2 sin( t2)
� 1
2
である。これを (5.50)に用いると
SN(x) =1
a
Z a
�adtf(t)
sin (2N+1)�(x�t)2a
2 sin �(x�t)2a
=1
2a
Z a
�adtf(x� t)
sin (2N+1)�t2a
sin �t2a
(5.52)
と書きかえられる。ここで積分を 2つの区間に分けて、また t2 = � として
SN (x) =1
a
Z a
0d�f(x � 2�)
sin (2N+1)��a
sin ��a
+1
a
Z a
0d�f(x+ 2�)
sin (2N+1)��a
sin ��a
(5.53)
が得られる。ところで
Z a
0d�f(x+ 2�)
sin (2N+1)��a
sin ��a
�Z a
0d�f(x+ 2�)
sin (2N+1)��a
��a
=Z a
0d�f(x+ 2�)(
��a
sin ��a
� 1)sin (2N+1)��
a��a
(5.54)
であるが、ここで N !1 とすると (5.33) により sin(2N+1)��
は ��(�) になる。一方、 � = 0
では
[f(x+ 2�)(��a
sin(��a)� 1)]�!0 = 0
84
である。よって (5.54)は N !1 の極限で 0 となる。この関係を用いると、さらに (5.53)
は書き換えることができ、
SN (x) �!N!1
1
a
Z a
0d�f (x� 2�)
sin(2N + 1)��=a
��=a� 1
a
Z a
0d�f(x+ 2�)
sin(2N + 1)��=a
��=a
を得る。さらにもう一度 sin(2N+1)��
! ��(�)を用いると
limN!1
SN (x) =�
a
Z a
0d�f(x � 2�)�(
�
a�) +
�
a
Z a
0d�f(x+ 2�)�(
�
a�)
=Z a
0d�f (x� 2�)�(�) +
Z a
0d�f (x+ 2�)�(�) (5.55)
となる。最後の変形には (5.30) の第 2式を用いた。ここでZ a
�ag(x)�(x)dx = g(0)
Z a
�a�(x)dx = 1 ; �(x) = �(�x)
であることを考えれば Z a
0g(x)�(x)dx =
1
2g(0+)
と評価できる。したがって (5.55)の積分は
limN!1
SN(x) =1
2ff(x� 0) + f (x+ 0)g (5:56)
となる。すなわちフーリエ級数は、x が連続点であるなら正しく f (x) を与え、また xで
f(x)が不連続なら左右から xに近づいた値の平均値を与える。これをディリクレ (Dirichlet)
の定理という。仮定 (2)が必要だったのは、有界変動関数であれば連続である必要はなく、
しかもその様な点においても f(x� 0) が存在するからである。
x = c が f(x) の孤立した不連続点で、それ以外では f(x) は連続であると仮定しよう。
この時、係数 an を計算すると部分積分により
an =1
a
Z a
�af (x) cos
n�x
adx
=1
a[a
n�sin
n�x
af (x)]a�a �
1
n�
Z a
�af 0(x) sin
n�x
adx
=1
n�[fsin n�f(a)� sin
n�c
af(c+)g+ fsin n�c
af(c�) + sinn�f(�a)g]
� 1
n�
Z a
�af 0(x) sin
n�x
adx (5.57)
85
となる。f 0(x) については [�a; a] に不連続点があるかもしれないが、それが孤立しているかぎり最後の項からの寄与は、同様な計算により 1=n2 のオーダーの数となる。以上により
an = � 1
n�sin
n�c
aff(c+) � f(c�)g+O(
1
n2) (5:58)
を得る。同様にして bn も計算できる。
bn =1
n�cos
n�c
aff(c+)� f(c�)g+O(
1
n2) (5:59)
これから、不連続点があると係数 an; bn は 1=n で小さくなる振舞いをし、フーリエ級数の
収束性が遅くなることが分かる。
一般に、関数 f(x) が m 回連続微分可能 (Cm 級, f(x) が m 回微分可能で f (m)(x) が連
続) で、f (m+1)(x) が孤立した不連続点を持つ場合には
an; bn � O(1
nm+2) (5:60)
となる。したがって滑らかな関数ほど an; bn の収束は速い。
もう一度、例題 5.2 の問題
f(x) =
( �1 : �� < x � 0
1 : 0 < x < �(5:61)
のフーリエ級数展開
f (x) =4
�
1Xn=0
sin(2n+ 1)x
2n+ 1(5:62)
を考えよう。n � N の部分和 SN (x) は
SN(x) =4
�
NXn=0
sin(2n+ 1)x
2n+ 1=
4
�
Z x
0
NXn=0
cos(2n+ 1)�d�
=2
�
Z x
0
sin 2(N + 1)�
sin �d� (5.63)
と計算できる。ここで x ! 0+ における SN (x) の振る舞いを見よう。任意の正数 " に対
して
jsin 2(N0 + 1)�
sin �� sin 2(N0 + 1)�
�j < "
を満足する N0 は必ず存在する。したがって 2(N + 1)� � � とおいて、充分大きな N
(N > N0) について
SN(x) �= 2
�
Z 2(N+1)x
0
sin �
�d� (5:64)
86
と書きなおすことができる。積分
2
�
Z �
0
sin �
�d� =
2
�Si� = 1:17897975 . . . (ギブスの定数)
に注意する。(5.64)で 2(N + 1)x = � にたもったまま x! 0+; N !1 とするとこの値を得る。他方、N !1 の極限と x! 0+ の極限を独立に行えば、SN(x) の値は極限のとり
方の順番に依存し、N !1 を先に行えば 1 、x! 0+ を先に行えば 0 となる。
limx!0+
limN!1
SN (x) = f (0+) = 1
limN!1
limx!0+
SN (x) = 0
limx!0+N!1
2(N+1)x=�
SN (x) = 1:17897975 . . . (5:65)
したがって不連続点 x = 0 の近傍で部分和 SN(x) は一様収束しない。SN (x) の振舞いは
図 5.1 で見たとうりである。フーリエ級数の部分和に関するこの様な振舞いをギブス現象
という。
5.4 最小誤差近似
実際に関数 f (x) をフーリエ級数で表して数値的取り扱いをする時には、無限個の項を
扱うのは現実的ではない。ここでは、少し見方を変えて、関数 f(x) を有限個の 3角関数
で近似することを考えよう。具体的には、関数 f (x) の近似式として次のものを考える。
'N(x) =�0
2+
NXk=1
(�k cosk�x
a+ �k sin
k�x
a) (5:66)
この時、″最も適した″近似を行うには係数 �n; �n をどのように選べばよいだろうか。'N (x)
の近似式として良し悪しの度合いを計る尺度はいろいろなものが考えられる。例えば、
Maxx2[�a;a]
jf (x)� 'N (x)j
もその 1つである。しかし、これでは [�a; a] の区間全体がどうなっているかの評価は難しい。そこで次のような 2乗平均誤差を考えることにする。(勿論、これがすべての目的に″
最も適して″いるわけではない。)
�2N =1
2a
Z a
�ajf (x)� 'N (x)j2dx : (5:67)
87
そしてこの 2乗平均誤差 �2N を最小にするように �0; �1 . . .�N ; �1 . . . �N を決めよう。�2N は
計算すると
�2N =1
2a
Z a
�aff (x)2 � 2f(x)'(x) + '(x)2gdx
=1
2a
Z a
�adxff(x)2 � �0f(x)� 2f (x)
NXk=1
(�k cosk�x
a+ �k sin
k�x
a)
+�20
4+
NXk=1
(�2k cos
2 k�x
a+ �2
k sin2 k�x
a+ 2�k�k sin
k�x
acos
k�x
a)
+Xk 6=l
(�k cosk�x
a+ �k sin
k�x
a)(�l cos
l�x
a+ �l sin
l�x
a)g (5.68)
である。ここで、3角関数の直交性 (5.2)を用いると、(5.68)は変形されて
�2N =1
2a
Z a
�af(x)2dx� a0
2�0 �
NXk=1
(�kak + �kbk)
+�20
4+
1
2
NXk=1
(�2k + �2
k)
=1
2a
Z a
�af(x)2dx� a20
4� 1
2
NXk=1
(a2k + b2k)
+1
4(�0 � a0)
2 +1
2
NXk=1
f(�k � ak)2 + (�k � bk)
2g (5.69)
これから、2乗平均誤差 �2N は
�2N � 1
2a
Z a
�af(x)2dx� a20
4� 1
2
NXk=1
(a2k + �2k) (5:70)
と評価できる。最小誤差 (等号の成り立つ場合)は
�0 = a0; �n = an; �n = bn (n = 1; 2; . . . ; N) (5:71)
と選んだ時に与えられる。すなわち、フーリエ級数を適当な項で打ち切った場合には、そ
れは、そこまでの 3角関数を用いた 2乗平均誤差を最小とする近似 (最小誤差近似)になっ
ている。
(5.71)の様に選べば、(5.70)の等号が成立する。この時右辺は正または 0の数であるか
ら一般に1
a
Z a
�af(x)2dx � a20
2+
NXk=1
(a2k + b2k)
であり、これは N !1 でも成立する。1
a
Z a
�af(x)2dx � a0
2
2+
1Xk=1
(a2k + b2k) (5:72)
88
これをベッセルの不等式という。ここで等号が成立する時、すなわち
1
a
Z a
�af (x)2dx =
a202
+1Xk=1
(a2k + b2k) (5:73)
を、パーサバルの等式という。パーサバルの等式が成立するならば、 f(x) とそのフーリエ
級数の部分和 SN(x) の間には
limN!1
Z a
�ajf(x)� SN(x)j2dx = 0 (5:74)
が成立することになる。
すでに見たように、f (x) が [�a; a] を周期とする有界変動関数ならば、すべての点で(5.56)が成立する。したがって (5.74)が成立し、パーサバルの等式が成立していることに
なる。これは 3角関数の完全性 (または完備性)といい、フーリエ級数展開を保証している。
5.5 フーリエ式展開と線形空間
フーリエ級数展開では 3角関数または指数関数による展開 (5.15)(5.18)を考えた。しか
し、すでに第 3章で見たように、それ以外にも、ルジャンドル陪多項式による展開、ベッ
セル関数による展開などある。このように与えられた (偏)微分方程式の固有関数によって
展開するということは、極く一般的なことである。
区間 [a; b] で定義された関数系 f'n(x)g を考えよう。これらの関数について、内積 は
hf; gi =Z b
adx�(x)f (x)�g(x) (5:75)
と定義されているとする。ただし �(x)は [a; b]で定義された負にはならない定まった関数で
ある。�g(x)は g(x)の複素共役である。この �(x) を 重み関数 という。また関数系 f'n(x)gは、この内積に関して、規格直交関係
h'n; 'mi =Z b
a�(x)'n(x) �'m(x)dx = �nm (5:76)
を満しているとする。�nm はクロネッカーのデルタといい
�nm =
(1 : n = m
0 : n 6= m
と定義される。(5.75)のように定義した hf; gi は、内積の公理：
(i) hf; fi � 0 かつ hf; f i = 0 *) f(x) � 0
(ii) hf; gi = hg; fi(iii) hf1 + f2; gi = hf1; gi+ hf2; gi(iv) 定数�について h�f; gi = �hf; gi (5.77)
89
を満足する。さらに
jjf jj =qhf; fi (5:78)
をノルムという。ノルムは次の性質 (ノルムの公理)を満足している。
(i) jjf jj � 0 かつ jjf jj = 0 *) f(x) = 0
(ii) jjf + gjj � jjf jj + jjgjj (3角不等式)
(iii) 定数�について jj�f jj = j�j・jjf jj(5.79)
内積とノルムについて簡単な例題をやってみよう。
例題 5.5 シュワルツの不等式
jhf; gij � jjf jj・jjgjj (5:80)
を説明せよ。
解.f(x); g(x) が関数であるということをあからさまに使わずに、内積の定義と公理のみ
を用いていくことができる。� と � を任意の複素数として
0 � jj�f + �gjj2 = j�j2・jjf jj2 + � ��・hf; gi+ ���・hf; gi+ j�j2・jjgjj2
が成立している。ここで � = jjgjj2; � = �hf; gi と選べば
0 � jjgjj2fjjgjj2・jjf jj2 � jhf; gij2g
となる。したがって jjgjj = 0 の時を含めてシュワルツの不等式が成立している。■
例題 5.6 シュワルツの不等式を用いて、3角不等式を証明せよ。
解.
jjf + gjj2 � (jjf jj+ jjgjj)2
を示せばよい。これを整理すると
hf; gi+ hg; fi � 2jjf jj・jjgjj
となる。あるいは hf; gi = hg; fi を用いれば
fRehf; gig2 � jjf jj2・jjgjj2 (5:81)
である。(5.88)を示すことにする。複素数 z について、実数部、虚数部を x; y として
z = x+ iy
90
と書いたとき、
x2 � x2 + y2 = jzj2
であるから一般に、
jRehf; gij2 � jRehf; gij2 + jImhf; gij2 = jhf; gij2
が成立する。一方、シュワルツの不等式は
jhf; gij2 � jjf jj2・jjgjj2
であったから
jRehf; gij2 � jjf jj2・jjgjj2
すなわち (5.81)が成立する。したがって 3角不等式が成立している。3角不等式は、3次
元のベクトルに関しては、3角形の 2辺の長さ (ノルム)の和は、1辺の長さ (ノルム)より
常に長い、ということを述べていることから名づけられている。■
もとにもどって、区間 [a; b] で与えられた関数 f(x) が、規格直交関数系 f'n(x)g で展開できて、
f(x)～1Xk=1
ck'k(x) (5:82)
が成立しているとする。これをフーリエ式展開という。�'m(x) をかける形で内積を計算す
ると、項別積分が許されると仮定すれば
hf; 'mi =Z b
adx�(x)f(x) �'m(x)
=1Xk=1
ckh'k; 'mi = cm (5.83)
を得る。すなわち展開系数 cm は内積 hf; 'mi で与えられる。部分和
�N (x) =NXk=1
k'k(x) (5:84)
を考え、内積 (5.75)のもとで、最小誤差近似となるように係数 k を定めてみよう。2乗平
均誤差 �N は
�2N = jjf � �N jj2=(b� a) (5:85)
である。これを計算すると
�2N =1
b� a[jjf jj2 � hf;�Ni � h�N ; f i+ h�N ;�N i]
=1
b� a[jjf jj2 �
NXk=1
(ck� k + �ck k) +NXk=1
j kj2]
=1
b� a[jjf jj2 �
NXk=1
jckj2 +NXk=1
jck � kj2] � 0 (5.86)
91
となる。これから直ちに、最小誤差は
k = ck = hf; 'ki (5:87)
と定めた時であり、また任意の N については
jjf jj2 �NXk=1
jckj2 ;
あるいは
jjf jj2 �1Xk=1
jckj2 (5:88)
成立することが示される。(5.88)の不等式を、ベッセルの不等式、等号が成立する時にはその
等式をパーサバルの等式という。パーサバルの等式が成立する時、規格直交関数系 f'n(x)gは完全であるという。関数系が完全であるとは、与えられた関数 f(x)について、展開 (5.82)
が 2乗平均誤差をゼロにするという意味で成立するということである。上で議論した、一
般の関数を完全な規格直交関数系で展開する議論は、形式的には普通のベクトルに関して
学んだことを繰り返しているにすぎない。すなわち、関数の集合が線形空間を形成してい
るのである。
規格直交関数系による展開を考える時、ワイエルストラス (Weierstrass)の定理は重要で
ある。
ワイエルストラスの定理:区間 [a; b] において f (x) が連続であるならば、任意の " > 0 に
対して x によらずに
jf(x)� P (x)j < "
とする x の多項式 P (x) が存在する。
閉区間 [a; b] において f (x) はフーリエ級数 (5.15)に展開可能である。この 3角関数を
すべて x = 0 の周りでテイラー展開すれば、それは x の多項式となる。よって、多項式
P (x) の存在が保証される。
閉区間で互いに直交する多項式が具体的にどのようなものであるか考えてみよう。
例題 5.7 �1 � x � 1 において正規直交関数系をなす x の多項式を次数の低いものから
順に構成せよ。重み関数は �(x) = 1 とする。
解. x の多項式 f1; x; x2; . . . ; xn; . . .gから正規直交系を作る。一般に関数系 ffn(x)g から正規直交系を作るには次の様にする。（グラム・シュミットの方法） この方法は、通常の
ベクトルについても用いられる。
�0(x) =f0(x)
jjf0jj ; (5.89)
g1(x) = f1(x)� hf1; �0i�0(x);
92
�1(x) =g1(x)
jjg1jj ; (5.90)
g2(x) = f2(x)� hf2; �0i�0(x)� hf2; �1i�1(x);
�2(x) =g2(x)
jjg2jj ; (5.91)
...
gn(x) = fn(x)�n�1Xk=0
hfn; �ki�k(x);
�n(x) =gn(x)
jjgnjj ; (5.92)
...
jjgnjj は gn(x) のノルムqhgn; gni である。(5.92) の第 1 式右辺では、fn(x) から�0(x),
�1(x) . . . , �n�1(x) 成分の要素を取り除き、それらに直交する成分だけで新しい n番目の
基底を構成している。(5.92)の第 2式ではさらにそれを正規化、すなわちノルムが 1のも
のに定義しなおしている。(5.92)の第 1式からは
h�k; gni = 0; k = 0; 1; 2; . . . ; n� 1
が示される。第 2式によりこれは
h�k; �ni = 0; k = 0; 1; 2; . . . ; n� 1 (5:93)
となる。したがってすべての異なる �n は互いに直交している。
内積の定義を hg; fi = R 1�1 g(x)
�f (x)dx としてこの方法を ffn(x) = xn ; (n = 0; 1; 2 . . .)gに適用する。
jjf0jj2 =Z 1
�11・dx = 2
であるから
�0(x) =1p2
(5:94)
となる。これから
g1(x) = x� hx; 1p2i 1p
2= x;
jjg1jj2 =Z 1
�1x2dx =
2
3;
�1(x) =
s3
2x (5.95)
93
を得る。さらに
g2(x) = x2 � hx2; 1p2i 1p
2� hx2;
s3
2xis3
2x = x2 � 1
3;
jjg2jj2 =8
45;
�2(x) =
p10
4(3x2 � 1) (5.96)
となる。n が 1つ増すごとに x の偶関数、奇関数が交互にあらわれ、 n が偶数 (奇数)な
ら n 以下の偶数 (奇数)べきの項のみからなる。ここであらわれた�n(x) を
�n(x) =
s2n+ 1
2Pn(x) (5:97)
と書くと、Pn(x)はよく知られた n次ルジャンドル多項式となる。証明は省略するが、Pn(x)
は、微分方程式
(1� x2)d2
dx2Pn(x)� 2x
d
dxPn(x) + n(n+ 1)Pn(x) = 0 (5:98)
の解となっている。この微分方程式は第 3章であらわれたものであり、また Pn(x) は、ル
ジャンドルの陪多項式 Pnm(x) で m = 0 としたものでもある。■
2階の偏微分方程式を解いてあらわれるスツルム・リュービル型微分方程式の解 (固有関
数)は、この様な直交関数になっていることはすでに第 4章で見たとうりである。またそ
れらは完全系を構成しているが、そのことの一般的な証明は難しいのでここでは省略する。
(5.82)で示したフーリエ式展開が、スツルム・リュービル型固有関数について有効である
理由はこの直交性と完全性にある。
5.6 付録:複素積分に関する留数の定理
複素積分を学んでいない読者のために簡単な説明を加えておこう。
複素数 z = x+ iy を変数とする関数 f (z) が、z = z0 の周りで
f(z) =a�n
(z � z0)n+
a�n+1
(z � z0)n�1+ . . . + a0 + a1(z � z0) + a2(z � z0)
2 + . . . (5:99)
と展開できるとする。これをローラン展開という。この時、z = z0 を f(z) の n 位の極と
いう。この関数を z = z0 の周りを正の方向に一周する積分路 C(図 A-1)の上で積分するこ
とを ICf(z)dz (5:100)
94
と書く。この積分の値は z0 を積分路 C の中の唯一の f (z) の極とすればICf(z)dz = 2�ia�1 (5:101)
である。a�1 を f(z) の z = z0 における留数といい Res(f(z) : z0) と書く。したがってICf(z)dz = 2�iRes(f (z) : z0) (5:102)
である。積分路を動かしても、それが、z0 やあるいは f(z) の他の極を横切らなければ、積
分の値は変化しない。
///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
//図 A-1////////////////////////////
///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
///////////////////////////////////
関数 f(z) が z =1 で正則であるとする。積分Z 1
�1f(x)eikxdx (5:103)
を複素積分を用いて計算して見よう。k > 0 とする。この時、図 A-2 の様に、複素 z 平
面上で半円の積分路を加えた C を考えてみよう。半円の円周を z = Rei� とおいてあとで
R!1 の極限を考える。そこでは
eikz = eik(Rei�) = eikR cos �e�kR sin �
である。したがって半円を大きくすると e�kR sin � (0 < � < �) はすみやかに 0 となり、半
円周の長さが �R で長くなっても
limR!1
Z �
0d�Re�kR sin �jf(Rei�)j = 0
となる。これが半円上での積分値の絶対値の上限を与える。よってZ 1
�1dxf(x)eikx =
ICdzf (z)eikz (5:104)
と書き換えられる。この積分は、積分路 C の中にある極からの留数の和で与えられるので
ある。 Z 1
�1dxf(x)eikx = 2�i
X0<Arg(zn)<�
Res(f(z)eikz : zn): (5.105)
95
ここでは k > 0 と仮定したため 0 < Arg(z) < � の領域 (上半 z-平面)で積分路を閉じて
も積分の値は変わらなかった。k < 0の場合には � < Arg(z) < 2� の領域 (下半 z-平面)で
積分路を閉じることができる。この時、積分路は負の方向 (z の偏角が減る方向)にまわっ
ているためZ 1
�1dxf (x)eikx = �2�i X
�<Arg(z0
n)<2�
Res(f(z)eikz : z0n) (5.106)
となり、前の式とは符号が逆転する。
96
97