ChươngI: KHỐI ĐA DIỆN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:I. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN:

Hình đa diện (đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn 2 tính chất:

+) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

+) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng 2 đa giác.

Mỗi đa giác như vậy được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các

đỉnh, cạnh của hình đa diện.

II. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN: Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một

hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là

diểm ngoài của khối đa diện. Những điẻm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các

điểm trong gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài... của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt,

điểm trong, điểm ngoài... của hình đa diện tương ứng.

III. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU:

1. Phép dời hình trong không gian:Phép biến hình trong không gian

được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tuỳ ý.

2. Một số phép dời hình thường gặpa) Phép tịnh tiến theo vectơ

là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho =  

 

P

M

I

M'

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phăng trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì mặt phẳng (P) được gọi là mạt phẳng đối xứng của hình (H).

c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm MM’ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H)

thành chính nó thì O được gọi tâm đối xứng của hình (H).

O

M'

M

d) phép đối xứng qua đường thẳng d (hay phép đối xứng qua trục d) là phép biến hình biến mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến mỗi diểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là dường trung trực của MM’Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến

hình (H) thành chính nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H).   

d

M'M

3. Nhận xét:+) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình

sẽ được một phép dời hình.+) Phép dời hình biến đa diện (H) thành

đa diện (H’) và biến đỉnh, cạnh, mặt của hình (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H’).Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có

một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.

IV. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1) và (H2) sao cho (H1) và (H2)

không có điểm chung trong thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép

được hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H).

V. KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khốiđa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của

(H) luôn thuộc (H). Khi đó các đa diện xác định (H) được gọi là các đa diện lồi.

Một khối đa diện là lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mạt của

nó.

VI. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU1. Định nghĩa:

Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại {p; q} nếu:

+) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh;

+) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

Vậy các mặt của khối đa diện đều là các mặt bằng nhau.

VI. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

2. Định lý:Có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa

diện đều loại: {3; 3}: khối tứ diện đều {4; 3}: khối lập phương

{3; 4}: khối bát diện đều (khối tám mặt đều) {5; 3}: khối 12 mặt đều

{3; 5}: khối hai mươi mặt đều.

VII. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

+) Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V =1/3. Bh

+) Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh

+) Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.

+) Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

+) Thể tích của hình lập phương có cạnh bằng a bằng a3

VII. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

Chú ý: Thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỉ số đồng dạng.Trong một số bài toán ta thường sử dụng

kết qủa sau:Cho khối chóp S.ABC. Trên SA, SB, SC

lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó:  

'.

'.

''''.

.

SCSC

SBSB

SASA

VV

CBAS

ABCS

B. BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là số chẵn. Cho ví dụ.

Giải: Giả sử đa diện (H) có m mặt. Vì mỗi mặt có 3 cạnh nên tổng số cạnh của m mặt là: 3m Mà mỗi cạnh là cạnh chung của đúng 2 mặt nên số cạnh của (H) là: Do c là số nguyên nên m phải là số chẵn.Ví dụ: tứ diện.

32mc

Bài 2. Chứng minh rằng: trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều. Giải: Cho tứ diện ABCD, cạnh bằng a. Gọi I, J, E, F, M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, BC, CD và DA.          

C

l

E

M

J

F

B

N

D

A

Ta chứng minh các cạnh IN, IE, IM, IF, JN, JE, JM, JF đều có độ dài bằng a/2.

Thật vây, đó là các đường trung bình của các tam giác CAD, ABD, ACB, BCD.

Vì AB = AC = AD = CB = a (ABCD là tứ diện đều) Nên IN = IE = IM = IF = JN = JE = JM = JF = a/2.Suy ra các tam giác IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM,

JMN, JNE là các tam giác đều bằng nhau. Tám tam giác trên tạo thành một đa diện có các đỉnh là I, J, E, F, M, N mà mỗi đỉnh là đỉnh chung

của đúng 4 tam giác đều. Do đó đa diện ấy là đa diện đều loại {3; 4}, tức là hình bát diện đều.

Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E và F lần lượt là trung

điểm của các cạnh AA’, BB’. Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ tai E’. Đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ tại F’. Gọi V là thể tích

khối lăng trụ ABC.A’B’C’.a)     Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V.b)     Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi

khối chóp C.ABFE. Tính tỉ số thể tích của (H) và của khối chóp C.C’E’F’.

Giải:a)     Hình chóp C.A’B’C’ và hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy và

đường cao bằng nhau nên

F'

E'

F

E

A C

B

B'

C'A'

. ' ' '13C A B CV V

Từ đó suy ra .

. ' '1 23 3C ABB AV V V V

Do EF là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’ nên diện tích ABFE bằng nủa diện tích ABB’A’. Do đó

. . ' '1 1.2 3C ABFE C ABB AV V V

b) Áp dụng câu a) ta có  

Vì EA’ song song và bằng nên theo định lý Talet, A’ là trung điểm của E’C’. Tương tự, B’ là trung điểm của F’C’. Do đó:

( ) . ' ' '1 23 3H ABC A B C CABFEV V V V V V

1 '2CC

' ' ' ' ' '4.C E F A B CS SSuy ra:

Vậy:

. ' ' ' . ' ' '44.3C E F C C A B CV V V

( )

. ' ' '

12

H

C E F C

VV

Bàai 4. Cho khoái töù dieän SABC coù ba caïnh SA, SB, SC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau vaø SA = 3 ; SB = SC = 4. 1> Tính theå tích cuûa khoái töù dieän A.SBC. 2> Tính dieän tích tam giaùc ABC. Suy ra khoaûng caùch töø ñieåm S ñeán maët phaúng (ABC).

A

S

B CI

1)

= (đvdt) 3

SCSBSASSAV SBCSBCA ..21..

31..

31

.

84.4.3.61

2) Gọi h = d( S/(ABC))

ABCABCSSBCA ShVV ..31

..

h = ABC

SBCA

SV .3

Ta có: Tam giaùc SAC vuoâng taïi S neân: AC2=SA2+SC2 = 9 + 16=25.Vaäy AC = 5Töông töï : AB =5 vaø BC = 42

Vì AB = AC nên tgiác ABC cân tai A. Nên AI là đường cao của tam giác ABC SABC = .AI.BC Áp dụng đ/lý Pitago trong tam giác vuông ABI có: SI2 = SB2 - (BC/2)2 = 52 - (2 )2 = 17 SI = SABC = 2Vậy h = 3.8/2 =12/

21

2 17

34 3434

Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Biết AB = 3a, SA = 4a, AC = a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.b) Tính khoảng cách từ điểm A đến

mặt phẳng (SBC).

13

4a

3a

S

A

B

C

a) =

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại B, ta có:BC2 = AC2 - AB2 = 13a2 - 9a2 = 4a2 BC = 2aVậy

= .4a.3a.2a = 4a3

ABCSV . BCABSASSA ABC .21..

31..

31

ABCSV .

61

b) Gọi h = d(A/(SBC))Ta có: = VA.SBC =

h = Theo định lý 3 đường vuông góc, BC vuông góc

với hình chiếu AB của đường xiêng SB nên BC vuông góc với SB.

= với SB2 = SA2 + AB2 = 16a2 + 9a2 = 25a2 SB = 5a = .5a.2a = 5a2

Vậy h = = a 

ABCSV . SBCSh..31

SBC

ABCS

SV .3

SBCS BCSB.

21

SBCS21

2

3

54.3aa

512