出版单位：丹青学业指导中心出版时间：2015 年月 · 第一章求极限...

厚德载学慎思笃行

浙江大学丹青学业指导中心

1

2014学年

冬学期

资

料

白

皮

书

科目：微积分 1

出版单位：丹青学业指导中心

出版时间：2015 年 1 月

2014学年

冬学期



2

2014学年

冬学期

国奖采访记录

问：平时复习吗?

答：没有特意的复习,真正开始复习是在考试前一个月,所以要调整好时间.

问：复习的建议?

答：1.刷题还是有用的,也是必须的.

2.如果刷题的话,先刷课后的题目,把老师布置的都做一遍,把例题都看懂.其实数学只要

掌握了模式,题都是可以变化的.所以说,先刷课本的题,再去复印店买往届的考试题练练手,

熟悉题型,再找出不足.

问：推荐几本练习册?

答：我一直没有做练习册的习惯.因为我觉得书本很重要,有时候你买回来练习册后,到期末

你会发现你几本上没有做些什么.所以还是踏踏实实的看书吧.

问：遇到不会的题怎么办?

答：1.找助教

2.找老师

3.微博上@苏德矿矿爷基本上全天在线.

问：技巧

答：1.不定积分多背公式

2.微积分易证中值定理

3.线代多为计算题

4.大英要多注意听力方面的训练.



3

2014学年

冬学期

第一章求极限

（一）知识体系

其中前四种方法为学长提醒的考试关键点

（二）相关公式

1.等价无穷小

xsin ~ x ， xcos1 ~2

2

1x ， xtan ~ x ， )1ln( x ~ x ， 1xe ~ x ，

1xa ~ )1,0(ln aaax ， 1)1( ax ~ )0( aax ， xarcsin ~ x ， xarctan ~ x

注意，以上各式均在 0x 时才为等价无穷小，求极限是只有积和商的部分可以用等价无

穷小替换

2.泰勒公式

求极限中常用的为带有佩亚诺型余项的泰勒公式或麦克劳林公式

下为五个常用的函数的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：

)(!!2

12

nn

x xn

xxxe

)()!12(

)1(!7!5!3

sin 1212753

nn

n xn

xxxxxx

主要方法

利用等价无穷小

利用泰勒公式

利用两个重要极限

利用洛必达法则

利用夹逼原理

利用定积分

利用定义法



4

2014学年

冬学期

)()!2(

)1(!6!4!2

1cos 22642

nn

n xn

xxxxx

)()1(432

)1ln( 1432

nn

n xn

xxxxxx

)(!

)1()1(

!2

)1(1)1( 2 nna xx

n

naaax

aaaxx

通常用泰勒展式展开要根据所求极限中含有的 x的幂次决定展开的幂次

注意，利用以上几个公式展开时应保证 x趋于 0

3.两个重要极限

)0)((1)(

)(sinlim 0

0

xfxxxf

xf

xx时，

)0)(())(1(lim 0

)(

1

0

xfxxexf xf

xx时，，处理幂指型极限常用此式。

4.利用洛必达法则

设（1） 0)(lim,0)(lim00

xgxfxxxx

（2） 0)()(),()(),( '''

000 xgxgxfxUxxUx 都存在，且时，当的某邻域存在

（3） )()(

)(lim

'

'

0

或Axg

xf

xx

则 )()(

)(lim

)(

)(lim

'

'

00

或Axg

xf

xg

xf

xxxx

时结论依旧成立或所求极限为

x

注意，利用洛必达法则是在（3）式成立的基础上，导函数之比极限不存在时不能应用。



5

2014学年

冬学期

同时要注意验证条件（1）成立方可使用

（三）习题

求下列极限

（1） ),(sin

sinlim 为正整数nm

nx

mx

x

（2） ),2

1(

tan)tan(2)2tan(lim

20Zkka

x

axaxa

x

（3）x

xxx

x cos1

3cos2coscos1lim

0

（4）bx

ax

x cosln

coslnlim

0

（5）100

1

0

2

limx

e x

x

（6）1ln

lim1

xx

xx x

x

（7）4

2

0

2

coslim

x

ex

x

x

（8） )]1

1ln([lim 2

xxx

x

（9） ]1)2

[(lim 6

1

23

xex

xx x

x

（10）2

1

0)

2cos

cos(lim x

x x

x

（11）)1ln(

)1ln(lim

43

3

xx

xx

x



6

2014学年

冬学期

（12） )(21

lim1

为正整数pn

np

ppp

n

（13） n

n n

n

nn)1()

21)(

11(lim

（四）习题答案

（1）

n

m

nt

mt

nt

mt

ntn

mtm

nx

mx

tx

nmnm

n

m

ttx

)1()1(sin)1(

sin)1(lim

)sin(

)sin(lim

sin

sinlim

00

则

令

注意，所求极限 x不趋向于 0，不可直接用等价无穷小替换

（2）利用公式 )tantan1)(tan(tantan yxyxyx

)tan1(tan2

)tan)2tan(1)(tan(2lim

)tan)2tan(1)(2tan()tan(lim

)tan)2)(tan(tan(tanlim

)tan)tan(1)(tan())tan()2tan(1)(2tan(lim

tan)tan(2)2tan(lim

2

0

20

20

20

20

aa

x

axaxax

x

axaaxaxax

x

axaxax

x

axaaxaxaxaxaxa

x

axaxa

x

x

x

x

x

（3）利用积化和差公式 ))cos()(cos(2

1coscos yxyxyx 及倍角公式



7

2014学年

冬学期

)3sin2sin(sin2

1

)2cos14cos16cos1(4

1

)4cos1(4

1)2cos6(cos

4

11

2cos)2cos4(cos2

11

3cos2coscos1

222 xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

14

))

2sin

3sin()

2sin

2sin()

2sin

sin((

4

1lim

2sin2

)3sin2sin(sin2

1

lim

cos1

3cos2coscos1lim

222

0

2

222

0

0

x

x

x

x

x

x

x

xxx

x

xxx

x

x

x

（4）灵活运用等价无穷小

2

2

2

2

0000

)(2

1

)(2

1

lim1cos

1coslim

)1cos1ln(

)1cos1ln(lim

cosln

coslnlim

b

a

bx

ax

bx

ax

bx

ax

bx

ax

xxxx

（5）注意到 )(limlim0

1

0

2

为负整数axe a

x

x

x

试验可知直接对所求函数应用洛必达法则会导致 x的幂次绝对值变大，所以考虑将分子分母

颠倒以后再应用洛必达法则



8

2014学年

冬学期

0

1lim!50

2

2lim!50

lim!50

lim4950

lim50

2

100lim

1

lim

lim

2

2

2

2

2

2

2

2

10

1

3

3

0

1

2

0

1

96

0

1

98

0

1

3

101

0

1

100

0

100

1

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

e

ex

x

e

x

e

x

e

x

ex

x

e

x

x

e

（6）注意到 0)1(lnlim)(lim11

xxxxx

x

x，可以应用洛必达法则

注意xxx ex ln 可对其进行求导

21

-

)1(lnlim

11

1)1(lnlim

1lnlim

2

12

111

x

xxx

x

xx

xx

xx xx

x

x

x

x

x

（7）所求式属于未定式，但注意到分母为 4 次且分子中求导无法与分母消去 0 因子，故运

用洛必达解决较为麻烦，可以考虑运用泰勒公式

)(!4!2

1cos 442

xxx

x ， ))2

((!2

)2

(

21 2

22

2

2

2

2

x

x

xe

x



9

2014学年

冬学期

12

1

)(12

1

lim

)))2

((!2

)2

(

)2

(1()(!4!2

1

lim

coslim

4

44

0

4

22

22

24

42

0

4

2

0

2

x

xx

x

x

x

xx

xx

x

ex

x

x

x

x

（8）利用泰勒公式 )1

(2

1

1)

11ln(

2

2

x

x

xx

2

1))

1(

2

1

1([lim)]

11ln([lim

2

222

x

x

xxx

xxx

xx

（9） )1

(!3

1

!2

1

11

3

321

x

xx

xe x ， ))

1(

2

11()

11(1

66

32

1

6

36

xxx

xxx

6

1

)]2

(!3

1

2!2

1

2

1

6

1

2

1

2

1

2

1

2()

1()

2[(lim

))1

(2

11())

1(

!3

1

!2

1

11)(

2[(lim

]1)2

[(lim

232

3

3223

3

2

66

3

3

3223

6

1

23

xxxxx

xxxxx

xxx

x

xx

xxx

x

xx

x

xxx

xex

xx

x

x

x

x

）

（10）幂指型极限考虑利用重要极限



10

2014学年

冬学期

2

3

2cos

)2

1(

2

32

0

2cos

)2

1sin(

2

3sin2

0

2cos

2coscos

2coscos

2cos

0

1

0

2

2

2

2

lim

lim

)2cos

2coscos1(lim

)2cos

cos(lim

e

e

e

x

xx

x

x

xx

xx

x

xx

xx

x

xx

xx

xx

x

x

x

x

（11）类似于有理函数，分理出趋向于无穷最快的量

2

3

)1ln(ln

1

3

1

)1ln(ln

1

2

1

lim

)1ln(ln3

1

)1ln(ln2

1

lim

)1ln(

)1ln(lim

12

1

3

1

6

1

2

1

12

1

3

1

6

1

2

1

43

3

xxx

xxx

xxx

xxx

xx

xx

x

x

x

（12）无穷项求和可考虑放缩

对于下凸函数 )(xf ，由下凸函数性质及拉格朗日中值定理知

)()1()(')1()( xfxfxfxfxf （根据函数图像上切线，割线斜率大小关系容

易看出）（对于上凸函数不等号反向）

由此可以得到一列数求和的列项放缩方法，对于

n

i

if1

)( ，可先求出 )(xf 的原函数 )(xF ，

根据 )(xF 的凹凸性将 )1()()()1()( xFxFxFxFif 和放缩为达到列项求和的目的



11

2014学年

冬学期

1

121lim

1

1)1)1((

1

1

lim21

lim1

1

lim1

1

))1((1

121))1((

1

1

1

1

1

11

1

1

11

1

11

pn

n

pn

np

n

n

n

np

p

iip

niip

p

ppp

n

p

p

np

ppp

np

p

n

n

i

pppppn

i

pp

（13）对于乘积可利用对数将其转换成和式

ee

n

n

nn

dxxn

i

n

n

i

nn

n

nn

n

n

n

in

n

i

n

4)1()

21)(

11(lim

12ln2)1ln()1ln(1

lim

)1ln(1

))1()2

1)(1

1(ln(

12ln2

1

01

1

注意到和式的形式有

第二章导数与微分

（一）：知识体系

（二）相关公式 1) 导数的定义：



12

2014学年

冬学期

2) 函数在点可导，则曲线在曲线上点 ( )处的切线方程为：

,

法线方程为： ,

3) 设在点的左邻域内有定义，若极限

存在，则称

.同理可

知右导数的定义及表达式。当处的左右导数均存在且相等时，

处可导。

4) 几个基本初等函数的导数：

=0

，

，特别地，

=

5) 设函数在点 x处可导，则都在点

x处可导，且

；

，特别的，当 ;

。

6) ;

;

;

.

设为函数

;

.

7) ;



13

2014学年

冬学期

.

8) 若函数

.

9) ;

.

10) 若均存在 n阶导数，则

;

,其中 c为常数；

,其中 .

11) 等价于 .

12) .

13) 在点 x处均可微，

;

,特别的

,特别地， .

（三）典型例题 1.导数定义的应用：

例 2.1：已知

（1） ;

（2） .

例 2.2：求下列极限：

（1） ;

（2）

例 2.3：若奇函数，且在处可导，而 ,则是的何种间

断点？



14

2014学年

冬学期

例 2.4：已知函数可导，且对任何实数满足 ,

证明： .

1. 分段函数可导性判定及待定常数确定

例 2.5：设。

例 2.6：设 ,求 ,并讨论在处的连续性。

例 2.7讨论下列函数在处的可导性。

（1） ;

（2） .

例 2.8设

例 2.9设 .

例 2 ． 10 设

2 .显函数求导

例 2.11设 .

例 2.12设

例 2.13 设是严格单调的连续函数的反函数，，且

。

例 2.14求下列函数的导数（对数求导法）：

（1）

（2）

（3）

（4）



15

2014学年

冬学期

（5）

2 .隐函数导数

例 2.15求下列方程所确定的隐函数的导数

（1）

（2） ;

（3）

（4）

例 2.16设函数

。

例 2．17求下列隐函数的二阶导数：

（1）

（2）

例 2.18设由方程确定 y=y(x),求。

例 2.19设由方程 y=1+x 确定函数 y=y(x)，求 .

例 2.20设函数 y=f(x)由方程 x 所确定，其中 f具有二阶导数，且 ,求 .

例 2.21求椭圆上任一点( )处的切线方程.

例 2．22求方程所确定的隐函数 y=y(x)的微分

2. 参数方程求导

例 2.23设参数方程 ,求 .

例 2.24设函数二阶可导，且 ,求 ;

例 2.25求下列参数方程所确定的函数 y=y(x)的一阶导数和二阶导数。

（1） ;

（2） ;

（3）

例 2.26曲线上对应于的点处的法线斜率为多少？

例 2.27y=y(x)由所确定，求 .

例 2.28函数 y=y(x)由参数方程所确定，求 .

例 2.29求由下列参数方程所确定的函数的导数 :



16

2014学年

冬学期

（1） ;

（2）。

3. 高阶导数求法

例 2.30已知函数具有任意阶的导数，且 ,当 n为大于 1的正整数时，

求的 n阶导数。

例 2.31求下列函数 n的阶导数：

（1） ;

（2） y=

（3）。(n )

例 2.32若，求下列函数的二阶导数。

（1） y=f( );

（2）

例 2.33已知 ,求证：

（1） ;

（2） .

例 2.34设 ,求。

答案：

例 2.1

（1）解：因为所以

原式= 其中 );

（ 2 ）解：原式

=

例 2.2

（1）解：

;

（ 2 ）解：原式 = ，由（ 1 ）可知，

所以原式=- .

例 2.3

解：因为奇函数，所以，又 ,所以



17

2014学年

冬学期

是的第一类可去间断点。

例 2.4

证明：因为，所以 ,

所以

例 2.5

解：当 0时，

当 >0时，

当=0时，考察左，右导数：

，所以不存在，因此

例 2.6解：

所以

例 2.7

（1）解：

,

所以 .

（ 2 ）解：

。故



18

2014学年

冬学期

于是。

例 2．8

解：当时 . 当时 , 由导数的定义得

所以,

,显然,当，又因为极限

)不存在,所以在点不连续。

例 2.9

解：当 ,

当 ,

当

因此。

例 2.10

解：因为

所以

即

,

因为

所以

例 2.11

解：法一：令

法二：直接用四则运算



19

2014学年

冬学期

法三：用导数的定义求：

例 2.12

解：

所以

例 2.13

解：

故

例 2.13求函数的导数

解：

例 2.14

（1）解：令

两边求导，，得 = 。

故 2 .

（2）解：令

所以

同理，可得，

所以

（3）解：法一:两边取对数，再两边求导，得

所以

法二：

所以

。

（4）解：两边取对数，得



20

2014学年

冬学期

所以

（5）解：因为

所以

故

例 2.15

（1）解：两边求导，得

整理后得，

（2）解：法一：因为 ,所以

所以

法二：方程两边对

所以

（3）解：法一：等式两边关于

1= ,

整理后得，

从而 .

法二： ,

从而

所以

（4）解：两边取对数，得

两边对求导，得 ,

整理得，

例 2.16

解：方程两边同时对，



21

2014学年

冬学期

当将，得

，，法线方程为

例 2.17

（1）解：两边对求导，得

即

在对求导，得

;

（2）解：两边对 x求导，得

故

上式两边再对 x求导，的

所以

例 2.18

解：法一（隐函数求导法）：方程两边对 x求导，

解之得，

法二（利用一阶微分形式不变性）

方程两边微分

化解得，

所以

例 2．19

解：方程两边对 x求导，得

(1)

解得：

(1)两边对 x求导，

当 x=0时，y=1， , =2

例 2.20

解：方程两边先取对数再对 x求导，得

再对 x求导，



22

2014学年

冬学期

代入并解之得，

例 2.21

解：法一：由椭圆方程化为显式：y= ,所以

由点斜式直线方程得所求切线方程为

法二：由隐函数求导法对方程两边的 x求导得： + =0,解得

= , 因此 ( ) 的切线斜率为 k= ,一下同法一。

法三：将椭圆方程化为参数方程： (0 ,设点( )对应的参数为 .

由参数方程求导得， .所以点( )处的切线斜率为

K= 以下同法一。

例 2.22

解：对方程两边求微分得，

所以

例 2.23

解：

.

例 2.24

解：当 t=0时，x=f(0)- ,y=f(0), ,所以

例 2.25



23

2014学年

冬学期

（1）解：

（2）解：

.

（3）解：

.

例 2．26

解：

所以当时，，故法线的斜率为。

例 2.27

解： ,由隐函数求导，得

因而 .

例 2.28

解：因为在不可导,故需先求出 y=y(x)的表达式，再用导数的定义求解。因为

,

所以

所以

例 2.29

（1）解： ,

所以

.

（2）解： ,

所以 ,

例 2.30

解：

=3!

由数学归纳法易证，



24

2014学年

冬学期

所以

例 2.31

（1）解：将等式右边的有理分式函数化为部分分式，有

所以

（2）解：法一：利用三角恒等式先降低函数的幂次，即

y= + ,

所以 .

法二：因为 ,故

,

。

（3）解：设 ,因为根据莱布尼兹高阶导数公式，有

，而

所以

.

例 3.32

（1）解： ,

.

（2）解： ,

例 2.33

（1）证明：

（2）证明： .

例 2.34

解：由 ,得 ,

从而

第三章不定积分

不

定

积

分

概念

公式



25

2014学年

冬学期

（一）不定积分概念：

原函数与不定积分

定义 1 如果对任一 Ix ，都有 )()( xfxF 或 dxxfxdF )()(

则称 )(xF 为 )(xf 在区间 I 上的原函数。

原函数存在定理：如果函数 )(xf 在区间 I 上连续，则 )(xf 在区间 I 上一定有原函数，

即存在区间 I 上的可导函数 )(xF ，使得对任一 Ix ，有 )()( xfxF 。

注 1：设 )(xF 是 )(xf 的原函数，则 CxF )( 也为 )(xf 的原函数，其中C 为任意常数。

注 2 ：如果 )(xF 与 )(xG 都为 )(xf 在区间 I 上的原函数，则

CxGxF )()( （C为常数）

由原函数与不定积分的概念可得：

1) )()( xfdxxfdx

d

2) dxxfdxxfd )()(

3) CxFdxxF )()(

4) CxFxdF )()(

5) Cxdx

性质

方法

凑配法

换元法

分步法

特殊类型

有理式

三角函数

无理式



26

2014学年

冬学期

（二）基本及补充积分公式：

1) Ckxkdx ( k 为常数)；2)

Cx

dxx1

1

( 1 )

3) Cxx

dx||ln ；4)

Cx

x

dxarctan

1 2

5)

Cxx

dxarcsin

1 2；6） Cxxdx sincos

7） Cxxdx cossin ；8） Cxxdxx

dxtansec

cos

2

2

9） Cxxdxx

dxcotcsc

sin

2

2；10） Cxxdxx sectansec

11） Cxxdxx csccotcsc ；12） Cedxe xx

13） Ca

adxa

xx

ln；14） Cxxdx coshsinh

15） Cxxdx sinhcosh

16)补充：

)16(seclncoslncos

cos

cos

sintan CxCx

x

xddx

x

xxdx

)17(coslnsinlnsin

sin

sin

coscot CxCx

x

xddx

x

xxdx

)18(tansecln

tansec

tansec

tansec

tansecsecsec Cxx

xx

xxddx

xx

xxxxdx

)19(cotcscln

cotcsc

cotcsc

cotcsc

cotcsccsccsc Cxx

xx

xxddx

xx

xxxxdx

（三）不定积分的性质：

性质 1． dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

性质 2． dxxfkdxxkf )()( ，（ k 为常数， 0k ）

（四）三种基本基本方法：



27

2014学年

冬学期

凑配法

设 )(uF 为 )(uf 的原函数， )(xu 可微，则

)(

])([)()]([xu

duufdxxxf

称为第一类换元积分公式（凑微分）.

例：求 dxexxx

x ]1

)ln21(

1[ 3

解：

dxex

dxxx

dxexxx

xx 33 1

)ln21(

1]

1

)ln21(

1[

Cex

xdexdx

x

x

3

3

3

2|ln21|ln

2

1

33

2)ln21(

ln21

1

2

1

换元法

设 )(tx 是单调的可导函数，且在区间内部有 0)( t ，又设 )()]([ ttf 具有

原函数，则 )()()]([)( xtdtttfdxxf 其中 )(xt 为 )(tx 的反函数。

称为第二类换元积分公式。

例1．求 dxxa 22， )0( a

解：令 tax sin ，22

t ，则 taxa cos22 ， tdtadx cos ，因此有

2 2 cos cosa x dx a t a tdt

2 2 2 1 cos 2a cos a

2

ttdt dt

2 2 2 2a asin 2 sin cos

2 4 2 2

a at t C t t t C

2 2 2 2 22 2a a 1

arcsin arcsin2 2 2 2

x a x a x xC x a x C

a a a a

2. 22 xa

dx ， )0( a

解：令 tax tan ，22

t ，则

taxa sec22 ， tdtadx 2sec ，因此有



28

2014学年

冬学期

1

2222

2

22

||ln||ln

|tansec|ln

sec

secsec

1

CaxxCa

x

a

xa

Ctt

tdt

tdtataxa

dx

其中 aCC ln1 。用类似方法可得

分部积分法

duvvudvu 称为不定积分的分部积分公式。

例：求 xdxxcos

解： xxdxdxx sincos sin sinx x xdx sin cosx x x C

例：求 dxex x2

解： xx dexdxex 22

Cexeex

dxexeex

dxxeex

dxeex

xxx

xxx

xx

xx

22

)(2

2

2

2

2

22

例：求 xdxx ln

解： 2ln2

1ln xdxxdxx

2 21ln ln

2x x x d x

21ln

2x x xdx

2 2 2 21 1 1 1ln ln

2 2 2 4x x x C x x x C

例：求 xdxxarctan

解： 2arctan2

1arctan xdxxdxx 2 21

arctan arctan2

x x x d x

22 2

2 2

1 1 1arctan arctan (1 )

2 21 1

xx x dx x x dx

x x

21arctan arctan

2x x x x C



29

2014学年

冬学期

例求 xdxe x sin

解： xx xdexdxe sinsin sin sinx xe x e d x

sin cos sin cosx x x xe x e xdx e x xde

sin ( cos cos ) sin cos sinx x x x x xe x e x e d x e x e x e xdx

因此得 )cos(sinsin2 xxexdxe xx

即 Cxxexdxe xx )cos(sin2

1sin

例求 dxe x

解：令 tx ，则 2tx ， tdtdx 2 ，因此

2 2 2x t t t te dx e tdt te dt te e C 2 ( 1)xe x C

（五）几种特殊类型函数的积分

一、有理函数的积分

形如

mm

mm

nn

nn

axbxbxb

axaxaxa

xQ

xP

1

1

10

1

1

10

)(

)(

(4-1)

称为有理函数。其中 naaaa ,,,, 210 及 mbbbb ,,,, 210 为常数，且 00 a ， 00 b 。

例：求

dx

xx

x

65

32

解：因为 3

6

2

5

)3)(2(

3

65

32

xxxx

x

xx

x

得 2

3 5 6 1 15 6

2 3 -2 35 6

xdx dx dx dx

x x x xx x

-5ln| -2| 6ln | 3 |x x C

例：求

dx

xx

x

32

22



30

2014学年

冬学期

解2 2 2 2

1(2 2) 3

2 1 2 22 322 3 2 3 2 3 2 3

xx x dx

dx dx dxx x x x x x x x

22

2 2 2

1 ( 2 3) ( 1) 1 3 13 ln( 2 3) arctan

2 22 3 ( 1) ( 2) 2 2

d x x d x xx x C

x x x

二、三角函数有理式的积分

如果 ),( vuR 为关于 vu , 的有理式，则 )cos,(sin xxR 称为三角函数有理式。我们不深

入讨论，仅举几个例子说明这类函数的积分方法。

例1．求

dx

xx

x

)cos1(sin

sin1

解：如果作变量代换 2

tanx

u ，可得 21

2sin

u

ux

，

2

2

1

1cos

u

ux

，

duu

dx21

2

因此得2

2 2

2 2

2(1 )

1 sin 21

sin (1 cos ) 2 1 1(1 )

1 1

u

x udx dux x u u u

u u

221 1 1 1 1

( 2 ) ( 2 ln | | ) tan tan ln | tan |2 2 2 4 2 2 2 2

u x x xu du u u C C

u

三、简单无理式的积分

例2．求 3 21 x

dx

解：令 ux 3 2 ，得 23 ux ， duudx 23 ，代入得

2 2

3

3 1 1 13 3 ( 1 )

1 1 11 2

dx u udu du u du

u u ux

22 3 333

3( ln |1 | ) ( 2) 3 2 3ln |1 2 |2 2

uu u C x x x C

习题自测：



31

2014学年

冬学期

21 1 sin ) _________2

xdx

一、选择题、填空题：

、（

22 ( ) (ln ) _______xe f x x f x dx 、若是的原函数，则：

3 sin(ln ) ______x dx 、

2 2

2

4 ( ) (tan )sec _________;

5 (1,1) ________;

6 '( ) ( ), '( ) _________;

1 ( )7 ( ) , _________;

18 ( ) arcsin , ______

( )

x

x

x

e f x f x xdx

dxy

x x

F x f x f ax b dx

f ef x dx c dx

x e

xf x dx x c dxf x

、已知是的一个原函数，则

、在积分曲线族中，过点的积分曲线是

、则

、设则

、设则 ____;

9 '(ln ) 1 , ( ) ________;

10 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ______;

( ) ( ) ( ) ( )

11 ( ) sin sin , ( ) ______;

12 '( ) ( ), '( ) ( ), ( ) _____

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

f x x f x

f x a b a b f x

A B C D

xf x dx x x xdx f x

F x f x x f x f x dx

A F x B x C x

、则

、若在内连续，则在内

必有导函数必有原函数必有界必有极限

、若则

、若则

) ( ) ( ) ( )c D F x x c

13

( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dA d f x dx f x B f x dx f x dx

dx

C df x f x D df x f x c

、下列各式中正确的是：

(ln )14 ( ) , _______

1 1( ) ( ) ln ( ) ( ) ln

x f xf x e dx

x

A c B x c C c D x cx x

、设则：

115 ______

(1 )

1( ) arcsin ( ) arcsin ( ) 2arcsin(2 1)

2

( ) arcsin(2 1)

dxx x

A x c B x c C x c

D x c

、



32

2014学年

冬学期

16 ( ) [ , ] [ , ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) '( )

f x a b a b

A f x B f x

C f x D f x f x

、若在上的某原函数为零，则在上必有____

的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；

恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。

二、计算题：

2 2 2

1(1) (2) (3) cos

( 2) 4 1

dxdx xdx

x x x x

2 4 42

sin 5 1 sin 2(4) (5) (6)

2 cos sincos 1 sin

x x xdx dx dx

x x x xx x

3 2 22 4

2ln 1 1 arcsin(7) (8) (9)

(ln ) cos tan

x xdx dx dx

x x xx x

4

2

cos sin sin cos sin(10) (11) (12)

1 sin sin cos 1 cos

x x x x xdx dx dx

x x x x

4 2

ln arcsin(13) (14) (15)

1 sin (1 ) 1

dx x xdx dx

x x x

2 2

1 arctan 1 sin cos(16) (17) (18)

4 1 sin1

x

x

e x x xdx dx dx

e xx

2 23

2 2

ln(1 )(19) arctan (20) (21) tan

1 1

x x xxdx dx xdx

x x

3

1002

1(22) (23) (24)

1 cos ( 1)1 x

x xdx dx dx

x xe

2 2

2 2 2

arctan arctan(25) (tan 1) (26) (27)

(1 )

xx

x

x ee x dx dx dx

x x e

2(28) (sin ) , ( )sin 1

x xf x f x dx

x x

设求：

2(29) ( ) ln , '( )f x x xf x dx已知的一个原函数为求：



33

2014学年

冬学期

22 tan

1 3

2 22 2

1 11) ( sin ) 2) 3) [sin(ln ) cos(ln )] 4)

2 2 2

1 15) 2 3 6) ( ) 7) 8) (1 ) 9)

3

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

x

x x

xx x c x c x x c e c

x F ax b c e c x c e x ca

B C C D C D C

答案：

一、选择题、填空题

2

2

3

2 42

2

1 1 1 4 11) ln ln 2 2)

4 4 2( 2)

23)2( sin cos ) 4) ln 2 sec 2sec 1 5)2 ln 1 3ln 2

2

1 1 46) ln 2sin 1 7) 8) (tan )

2 ln 3

1 1 1 1 2 cos9) arcsin ln 10)arctan(sin ) ln( )

2 2 2 cos

xx x c c

x x

x x x c x x c x x c

x c c x cx x

x xx c x c

x x x

二、计算题：

3

2

1 111) (sin cos ) ln sec( ) tan( )

2 4 42 2

1 1 1 1 112) ( sin 2 ) sin 13) [tan arctan( 2 tan )]

2 2 3 2 2

ln14) ln ln 1 ) 15)2[ 1 arcsin ]

1

1 1 116) arctan ln ln( 4) 17)2 1 arctan 2ln )

2 2 4 8

1

xx

x x x x c

x x x c x x c

xx x c x x x c

x

ex e c x x x x c

2 2 2 2 2

2

96 9

2 1 cos 28) arctan( 2 tan ) arctan(sin ) ln

2 2 2 cos 2

1 1 1 119) arctan ln(1 ) (arctan ) 20) ln (1 ) 21) tan ln cos

2 2 2 2

22) ln 1 23) cot ln sin ln csc cotsin

1 324) ( 1) ( 1)

96 97

x x

xx x c

x

x x x x c x c x x c

xe e c x x x x x c

x

x x

7 98 99 2

22

2

2

2

3 1( 1) ( 1) 25) tan

98 9

arctan 1 126) (arctan ) ln

2 2 1

1 1 127) arctan arctan

2 2 2

28) 2arcsin 1 2

29)2ln ln

x

x x x

x x c e x c

x xx c

x x

e x e e c

x x x c

x x c

第五章定积分

（一）知识体系：



34

2014学年

冬学期

（二）、基础知识

重要定理

1、若 f(x)在闭区间[a, b]上连续或单调或只有有限多个间断点且有界，则在[a, b]

上可积，反之均不成立

2、微积分学基本定理（变上限函数求导定理）：设 f(x)在区间 I上连续，是一固定

点，则由变上限积分

G(x)=

3、

定义的函数在 I上可导，且 G’(x)=f(x)

（一）定积分的常用性质

1、线性运算法则

2、对区间的可加性（用于计算分段函数的积分与定积分的证明）

3、积分中值定理

若 f(x)在闭区间[a, b]上连续，则至少存在一点，使

也称为闭区间[a, b]上连续函数 f(x)的平均值

4、估值定理

若 f(x)在[a, b]上可积，m f(x) M m, M均为常数,则

5、

（二）反常积分的定义

第一类反常积分：设函数在区间[a, ]上连续，称记号为函数在无穷区间上的反常

积分

第二类反常积分：设函数在区间（a，b]上连续，不存在（称点 a为瑕点）



35

2014学年

冬学期

对于以上两式：若右端极限存在，称该反常积分收敛，该极限值为该反常积分的值，

否则成该反常积分发散

（三）必背公式

牛顿—莱布尼茨公式：

周期函数的定积分

（三）习题

类型一：定义法计算定积分

例 5.1 （1）利用定义求

（2）用定积分表示：

类型二：利用定积分的性质进行证明

例 5.2 （1）求证

（2）设函数 f 在区间[0, 1]上可微，且满足，证明至少

存在一点使得

类型三：利用微积分基本定理求值

例 5.3 （1）求极限：

（2）计算：

类型四：换元法

例 5.4 设函数 f连续，，求 F’(x)。



36

2014学年

冬学期

类型五：分部积分法

例 5.5 （1）计算

（2）计算

类型六：求面积并与极坐标及参数方程相联系

例 5.6 （1）求和直线 y=x围成的图形面积

（2）求心形线围成的面积

（3）求椭圆：围成的面积

类型七：求曲线弧长、体积和侧面积

例 5.7 （1）求悬链线：的曲线弧长。

（2）求：，分别绕 x轴、y轴和直

线 y=2a旋转一周得到的旋转体体积。

（3）求半径为 R的球面积。

类型八：物理问题

例 5.8 直径为 8米的半球形水池的水全部抽到距池口 10米高的水塔上至少做多少功？



37

2014学年

冬学期

类型九：反常积分

例 5.9 （1）判断 1、；2、；3、的敛散性。

（2）求

答案：

1、（1）（2）

2、（1）略（2）利用微分中值定理和积分中值定理

3、均为 1

4、

5、(1) (2)

6、(1) (2) (3)

7、(1) (2)

8、约焦耳

9、(1)散、敛、散(2)

（四）定积分的定义

设函数在闭区间[a, b]上有定义，在闭区间[a, b]内任意插入 n-1个分点，将[a, b]

分成 n 个小区间[xi-1, xi]，记 xi=xi-xi-1(i=1,2,…，n),任给[xi-1, xi],作乘积



38

2014学年

冬学期

( )i if x 称为积分元），把这些乘积相加得到和式

1 2 2

1

( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ( )n

i i i n n i i

i

f x f x f x f x f x

称为积分和式，

设 max{ :1 }ix i n ，如果 0 ，上述和式的极限都存在且极限值 I 与闭

区间[a, b]的分法及点 i 的取法都无关，则称这个唯一的极限值 I为函数在闭区间

[a, b]上的定积分，记作 ( )b

af x dx ，即

01

( ) lim ( )nb

i ia

i

I f x dx f x

注：定积分交换上下限要变号

（五）重要定理

4、若 f(x)在闭区间[a, b]上连续或单调或只有有限多个间断点且有界，则在[a, b]

上可积，反之均不成立

5、微积分学基本定理（变上限函数求导定理）：设 f(x)在区间 I上连续，是一固定

点，则由变上限积分

( ) ( ) ,x

aG x f t dt x I

定义的函数在 I上可导，且 G’(x)=f(x)

（六）定积分的常用性质

5、线性运算法则

6、对区间的可加性（用于计算分段函数的积分与定积分的证明）

7、积分中值定理

若 f(x)在闭区间[a, b]上连续，则至少存在一点，使 ( ) ( )( )b

af x dx f b a

( )f 也称为闭区间[a, b]上连续函数 f(x)的平均值

8、估值定理

若 f(x)在[a, b]上可积， ( ) , [ , ]m f x M x a b , m, M 均为常数 ,则

( ) ( ) ( )b

am b a f x dx M b a

5、若 f(x),g(x)在[a, b]上可积且 f(x)>=g(x),则 ( ) ( )b b

a af x dx g x dx

（七）反常积分的定义

第一类反常积分：设函数在区间 [a, ] 上连续，称记号

( ) lim ( )t

a atf x dx f x dx

为函数 f(x)在无穷区间[a, ]上的反常积分



39

2014学年

冬学期

第二类反常积分：设函数 f(x)在区间（a，b]上连续， lim ( )x a

f x

不存在（称点 a为

瑕点）, 0 b a 且 ,称记号0

( ) lim ( )b b

a af x dx f x dx

为无界函数的反常

积分

对于以上两式：若右端极限存在，称该反常积分收敛，该极限值为该反常积分的值，

否则成该反常积分发散

（八）必背公式

1、牛顿—莱布尼茨公式：

2、周期函数的定积分

3、sinx，cosx的 n次方在

第六章数项级数

一、判断一般级数的收敛性

1，用绝对值比值判断法

2，用绝对值极值判断法

3，如果n 1

| |nU

收敛，则 n 1

nU

收敛。

4，如果n 1

| |nU

发散，尤其是

1

n 1

( 1) ( 0)n

n nU U

称为交错级数，用莱布尼兹判别法。

5，若

lim 0nn

U

，则 n 1

nU

发散。

6，定义研究前 n项 Sn的极限

lim nn

S

7，用线性运算法则

二、求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数

0

0

( )n

n

n

a X X

1

lim n

nn

aR

a

或

1limn n

n

Ra



40

2014学年

冬学期

求幂级数和函数有四大法宝

1，线性运算

2，变量代换

3，

0

' 1

1

'

0 0

0

( ) ( , )

S ( ) ( )

( ) ( )

( ) (0) ( )

n

n

n

n

n

n

x x

x

S x a X R R

x a nX f x

S x dx f x dx

S x S f x dx

4，

1

0 00 0

( ) ( )1

nx x

n

n n

n n

xS x dx a x dx a f x

n

已知

两边对 x求导

( ) '( )S x f x

三、将 f(x)展成幂级数

记住七个函数的麦克劳林

1，对 f(x)线性运算法则

2，对 f(x)变量代换

3，对 f’(x)展开，再两边积分

4，对 f(x)积分，再两边求导



41

2014学年

冬学期

习题：（出自真题）

一．常数项级数收敛性的判别问题

1，已知0

1

( cosnx b sinnx), (0,2 )2

n n

n

xa a x

，则 b5=_________.

2，设级数 1

n

n

a

收敛，则下述结论不正确的是

A.1

1

( )n n

n

a a

必收敛 B.

2 2

1

1

( )n n

n

a a

必收敛

C.2 2 1

1

( )n n

n

a a

必收敛 D.

2 2 1

1

( )n n

n

a a

必收敛

3，设f(x)在区间（0,1）内可导，且|f’(x)|小于等于M（常数）

证明：1，级数1

1

1 1[ ( ) ( )]

2 2n nn

f f

绝对收敛；2，

1lim ( )

2nnf

存在

二、函数展开为幂级数及幂级数的应用

1,将函数

21( ) arctan ln(1 )

2f x x x x

在x=0处展开成泰勒级数，并指明成立范围。

2，将函数2

( )2 3 1

xf x

x x

展开成x的幂级数，并求

( )(0)nf 。

出版单位：丹青学业指导中心 出版时间：2015 年 月 · 第一章 求极限...

Documents

出版单位：丹青学业指导中心出版时间：2015 年月 · 第一章求极限...