class notes spanish 2012

7/25/2019 Class Notes Spanish 2012

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Contenido

Bibliografa vii

1 Cosmologa: una historia 1

1.1 Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 El modelo del Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Breve historia de la expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Ley de Hubble y el principio cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1 Primera determinacion de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.2 El valor actual deH0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 La oscuridad de la noche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Nucleosntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 La radiacion cosmica de fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7.1 El dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8 Cosmologa observacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Expansion 17

2.1 Modelos del Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Modelos en expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Principio cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3 La expansion cosmica: ley de Hubble clasica . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.4 El modelo del estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.5 Por que se expande el Universo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 El factor de escala a(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 El problema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 La metrica del Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Tiempo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Observador y distancia comovil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.1 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.2 Redshift cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.3 Redshift gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Ley de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7 Velocidades peculiares o propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8 El valor actual de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8.1 Problemas para medir H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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3 Ecuaciones cosmologicas 313.1 Ecuacion de continuidad y ecuacion de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Conservacion de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Ecuacion de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Universo plano y E= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Importancia de la ecuacion de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7 Aceleracion cosmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.8 Energa oscura y constante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.8.1 Energa oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8.2 Constante Cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8.3 Energa del vacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.9 Parametros cosmologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.9.1 Variacion de los parametros cosmologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.9.2 Densidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.10 Soluciones para a(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.10.1 Universo primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.11 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Medidas en el espacio-tiempo: Teora 454.1 Relacion entre la coordenada radial yz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Eventos radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 Eventos transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4 Distancia del tamano angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5 Distancia de luminosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.6 Magnitud aparente y distancia modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.7 Distancias radiales y ley de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8 Horizonte causal: horizonte de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.9 Edades y redshift: Lookback time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.10 Volumen y conteos: Number counts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.11 Correccion-K(K-correction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Medidas en el espacio-tiempo: Observaciones 595.1 Inhomogeneidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Indicadores de edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Indicadores de distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.1 Estrellas cefeidas y RR Lyrae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.2 Relacion de Tully-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.3 Relacion de Faber-Jackson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3.4 Relacion del plano fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3.5 Supernovas Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3.6 Oscilaciones acusticas de bariones (BAO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 Indicadores de masa y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4.1 Funcion de luminosidad de galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4.2 Materia estelar y

cociente M/L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4.3 Densidad barionica, materia oscurayenerga oscura . . . . . . . . . . 675.4.4 Curvas de rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4.5 El halo galactico y el teorema del virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


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Apuntes de Cosmologa E. Gazta~naga v

5.4.6 Otros metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Problemas del Big Bang 716.1 Bariogenesis o leptogenesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Horizontes causales y distancia de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.3 Inflacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.3.1 Inflaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.4 Origen de las estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.5 Materia oscura fra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Formacion de estructuras 777.1 Colapso gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 Colapso esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2.1 Crecimiento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2.2 Crecimiento no-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2.3 Virializacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3 La tortilla de Zeldovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.4 Estructura gerarquica y downsizing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.5 Inestabilidad de Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.6 Factor de crecimiento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.7 Funcion de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.8 Espectro de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.9 El espectro de temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.10 Oscilaciones barionicas acusticas (BAO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.11 Simulaciones numericas de N-cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.12 Modelo de halos y formacion de galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.12.1 Modelo de halos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.12.2 La funcion de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.12.3 El perfil de densidad de halos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.12.4 Correlacion entre halos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.12.5 HOD: distribucion de ocupacion de halos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.13 Lentes Gravitatorias debiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.13.1 Deformaciones opticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.13.2 Densidad proyectada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.13.3 Unica lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.13.4 Correlaciones de materia entre lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A Radiacion de un cuerpo negro 89A.1 Ley de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.2 Ley de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B Introduccion a la Relatividad especial 93B.1 Relatividad especial o restringida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93B.2 Transformaciones galileanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93B.3 Transformaciones lorentzianas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94B.4 La metrica de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95B.5 Puntos en el espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


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B.6 Escalares, vectores y tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97B.7 Transformaciones lorentzianas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99B.8 Accion y ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100B.9 Energa-momento: E=m c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100B.10 Tensor de energa-momento T

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

B.11 Fluido perfecto y ecuacion de B ol tzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

C Introduccion a la relatividad general 103C.1 La gravedad newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

C.1.1 Equivalencia entre masa inercial y gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . 104C.2 Espacio absoluto y fuerzas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104C.3 Principio de equivalencia de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105C.4 Principio de equivalencia de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

C.4.1 El doblamiento de la luz y el eclipse de 1919 . . . . . . . . . . . . . . . . 106C.4.2 Partcula en un campo gravitatorio y smbolos de Christoffel . . . . . . . 107

C.4.3 Relacion entre la metrica y los smbolos de Christoffel . . . . . . . . . . 108C.4.4 Aproximacion newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108C.4.5 Corrimiento gravitacional al rojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

C.5 Covariancia general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109C.5.1 Elemento de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109C.5.2 Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

C.6 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 10C.6.1 Fuerzas de marea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110C.6.2 Curvatura del espacio-tiempo: Tensor de Riemann . . . . . . . . . . . . . 111C.6.3 Desviacion geodesica y mareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

C.7 Ecuaciones de campo (de Einstein) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113C.8 Metrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114C.9 Teorema de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114C.10 Metrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

C. 10. 1 Curv atura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117C. 11 Ecuaci ones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117C.12 La constante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Estos apuntes son un borrador incompleto que ademas necesita ser pulido y revisado. Deantemano mis disculpas por cualquier error o falta. Agradecere correcciones o comentarios queel lector pueda detectar (mandarme un e-mail a gazta at ieec.fcr.es).En estas notas presento los conceptos cosmologicos basicos y algunas de sus formulas asumiendoque el lector no tiene porque estar familiarizado con los conceptos de Relatividad. Creo quees posible hacer esto sin comprometer en ningun momento la veracidad o exactitud de lopresentado. El estudio mas adecuado de universos con curvatura necesitan de un formalismorelativista. En el Apendice C se da una breve introduccion a la Relatividad Especial y Generalpara presentar la formulacion mas general de las mismas ecuaciones cosmologicas.


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Bibliografa

1. Cosmology, S. Weinberg, Oxford U. Press (2008).

2. Modern Cosmology, S. Dodelson, Academic Press (2003).

3. Gravitation and Cosmology, S. Weinberg, Wiley and Sons (1972).

4. Cosmological Physics, J.A.Peacock, Cambridge U. Press (1999)

5. The Early Universe, E. Kolb, M. Turner. Frontiers in Physics, Lectures Notes Series. AddisonWesley. (1990)

6. Principles of Physical Cosmology. P.J.E. Peebles. Princeton Series in Physics. Princeton Univ.Press (1993)

7. Structure Formation in the Universe, T. Padmanabhan, Cambridge University Press, Universityof Cambridge (1993)

8. The Large Scale Structure of the Universe, P.J.E. Peebles. Princeton Univ. Press (1980)

9. The First three minutes: A Moderm View of the Origen of the Universe, S.Weinberg, updateedition, Basic Books (1993)

10. Darkness at Night, E.Harrison, Harvard Univ. Press (1987)

11. An introduction to Moderm Cosmology, A.Liddle, Horizon P&D (1999, 2003)

12. The Big Bang Theory http://map.gsfc.nasa.gov/html/big bang.html

13. Cosmology Tutorial http://www.astro.ucla.edu/ wright/cosmolog.htm

14. Schutz, B.F., A first course in general relativity, Cambridge University Press, 1985

15. Wald, R.M. General Relativity, Chicago University Press, 1984

16. The Big Bang, J.Silk, Freeman & Company, 1980

17. In search of the Big Bang, J. Gribbin, W.Heinemann Ltd., 1986.

18. Black Holes and Time Warps: Einsteins Outrageous Legacy, Kip S.Thorne, 1994

19. The Fabric of the Cosmos, Brian Greene

20. Introduction to Cosmology, Barbara Sue Ryden

21. Extragalactic Astronomy and Cosmology, Peter Schneider, 2010

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Captulo 1

Cosmologa: una historia

La Cosmologa moderna centra su estudio en la evolucion del espacio y la materia del Cosmoscomo un todo. El estudio engloba desde la formacion de los primeros atomos a la aparicion

de estrellas y galaxias. A principios del siglo XX este estudio paso del marco de la filosofa almarco de la ciencia.

Solamente conocemos dos interacciones de largo alcance: la gravedad y el electromagnetismo.Esta ultima es mucho mas fuerte que la primera (la constante de acoplamiento es mayor), peroprecisamente por ello y por el apantallamiento de cargas positivas y negativas ausente en lagravedad, parece que las estructuras cosmicas son neutras y la gravitacion domina a escalasgrandes. Por ello en gran medida la Cosmologa consiste EN el estudio de la Gravitacion. Porotro lado, hoy en da se entiende la Gravitacion como una teora del espacio-tiempo y, por tanto,podemos pensar que la Cosmologa consiste en la historia del espacio-tiempo a grandes esca-las.

1.1 Preguntas

De que esta hecho el Universo? Como y cuando se formaron las estructuras cosmicas, loscuasares, las galaxias, las estrellas o los planetas? Estas preguntas, todava no tienen unarespuesta precisa. Se estima que la mayor parte de la materia de la que se compone el Universoes oscura (o poco luminosa) y que esta compuesta por una sustancia exotica (no barionica)diferente a la que conocemos en la fsica actual (del llamado modelo estandar de partculas).Esta materia exotica no parece suficiente para explicar la dinamica de la expansion del universo.

O bien las leyes de la grativacion ordinarias no pueden ser extrapoladas a escalas cosmicas o biendebe existir otra forma de energa, la llamadaenerga oscura(como la constante cosmologica),aun mas exotica que la materia oscura, al no diluirse con la expansion del Universo.

Este problema, uno de los mas inquietantes en Cosmologa, dificulta la elaboracion de unateora sobre la formacion de galaxias y estructuras a gran escala. Como modelizar objetoscuya composicion desconocemos cuantitativa y cualitivamente? Una clave esta en el caracteruniversal de la Gravitacion, que se aplica por igual a todas las formas de materia o energa.

La radiacion de fondo de microondas aporta informacion basica sobre las condiciones inicialesde la distribucion de materia que ha dado lugar a la estructura a gran escala que observamoshoy en da. Esta informacion, de naturaleza estadstica, nos permite elaborar modelos de

evolucion de estas estructuras que pueden ser contrastados con las propiedades actuales dela distribucion de galaxias. Con ello podemos establecer o rechazar diferentes hipotesis, tantoacerca de la naturaleza y cantidad de materia oscura como de los procesos especficos que llevana la formacion de las galaxias.

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En cosmologa las leyes fundamentales de la fsica se extrapolan en varios ordenes de magnitudfuera de su rango de validez observacional.1 Por ello es importante buscar en los datos men-cionados anteriormente desviaciones de estas leyes. La formacion de galaxias, la estructura agran escala y la radiacion cosmica de fondo pueden proporcionar una herramienta unica paraponer observacionalmente a prueba teoras fsicas que se relacionan con energas de hasta 1015

GeV, cuando el Universo tena menos de 1035 segundos.

1.2 El modelo del Big Bang

Se conoce por Big Bang al modelo por el cual el universo evoluciona expansionandose. Los ras-gos fundamentales de este modelo se sustentan en firmes evidencias observacionales de maneraque desde los anos 60 el Big Bang y la Cosmologa han pasado de la especulacion a formarparte de la cultura cientfica y de la fsica fundamental. En los ultimos anos los detalles de estemodelo se estan poniendo a prueba a gran velocidad. Esto ocurre paralelamente al desarrollo

de nuevas tecnologas y observatorios terrestres y espaciales, que nos abren nuevas ventanas alUniverso y a sus orgenes.El nombre de Big Bang tiene su origen en la singularidad inicial que resulta de extrapolarhacia atras la expansion del Universo. Esta singularidad inicial es parecida a la que se obtienede la Relativida General en el colapso de una estrella a una agujero negro(ver C.8). Ambasson singularidades matematicas cuyo significado fsico esta todava por determinar. Para darlesentido fsico a esta sigularidad necesitamos un modelo de gravedad cuantica consistente, algoen lo que los fsicos llevan muchas decadas trabajando, con algunos avances, pero todava sinsoluciones satisfactorias. Los mayores avances se han producido en el area de teoras de cuerdasen universos con dimensiones espaciales extras. Pero hasta la fecha tales teoras han mostrado

poco poder predictivo a la hora de poder contrastarlas con las observaciones.

1.3 Breve historia de la expansion

Desde un punto de vista teorico, la cosmologa moderna se inicia en 1915-17 con la propuestade la Relatividad General (RG) de Einstein.2 El principio de homogeneidad e isotropa,el llamado principio cosmologico, requiere la evolucion (eg expansion) del Universo, que es

el hilo conductor de nuestra historia. Esta nos lleva a todo lo demas: la nucleosntesis, laradiacion de fondo y la formacion de estructuras. La expansion implica una evolucion y unorigen; algo que muchos fsicos de principios de siglo consideraban filosoficamente repulsivo. Encierta manera esta actitud parecia razonable: un origen parece violar la invariancia temporalen las leyes.3

1La ley de la gravedad ha sido verificada experimentalmente en distancias del sistema solar, es decir unidadesastronomicas (u.a). Aun siendo muy grande, la distancia del sistema solar es mas de 15 ordenes de magnitud(1015) menor que las distancias cosmicas mas grandes.

2Para una vision mas completa de esta historia ver Peebles 1993, Gribbin 1986 o Weinberg 1972.3Pero hay que recordar que existen tambien principios fsicos insorteables, como la irreversibilidad en la

termodinamica (e.g. la entropa solo se puede mantener constante o aumentar), que parecen impedir tal invari-ancia. Quiza aqu hay que distinguir entre condiciones iniciales y leyes de la fsica. El que las leyes sean o noinvariantes temporales no implica nada sobre la historia del Universo, que tambien depende de sus condicionesiniciales. En cualquier caso, algunas de estas objeciones son mas filosoficas que fsicas. Con la llegada de la

Relatividad, se produce un cambio del paradigma cartesiano en lo que se refiere a nuestra comprension delespacio y del tiempo. Para empezar, la cantidad fsicamente relevante es una combinacion: el espacio-tiempo.Adicionalmente, se puede pensar que el espacio-tiempo es una propiedad resultante del Universo, de maneraque no tiene sentido hacerse preguntas como: Que haba antes del Big Bang? o Que hay fuera del Universo?


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Apuntes de Cosmologa E. Gazta~naga 3

En 1917 la idea de un universo en expansion resultaba tan extrana y contraria a la experien-cia/observacion del universo de las estrellas fijas, que no fue tomada en serio ni elaborada. Poraquel entonces muchos fsicos pensaban que el Universo consista unicamente en la Va Lactea,nuestra galaxia: el llamado Universo Isla. No pareca que esta estuviera sufriendo evolucionalguna. Einstein introdujo la constante cosmologica (una especie de fuerza repulsiva quecontrarresta la gravedad, ver3.8 yC.12) para forzar un universo cuasiestatico, tal y comoparecan indicar las observaciones de su tiempo. Este fue posiblemente el mayor error de Ein-stein (segun su propio juicio). Einstein fue capaz de agitar los cimientos de la fsica y del sentidocomun alterando nuestra vision del espacio, del tiempo y de la gravedad. Pero no pudo llevarhasta el final las consecuencias de sus propias teoras para postular un universo en evolucion ylleno de galaxias.

Fueron las observaciones directas de los astronomos las que pusieron la teora sobre la verdaderapista. Con el descubrimiento de que las nebulosas espirales eran en realidad galaxias de estrellascomo la nuestra, se dio el primer gran paso hacia lo que Sanford (1917) y Hubble (1936)llamaron el reino de las nebulosas. Sorprendentemente, Thomas Wright (1750) fue un pre-

cursor de la vision de nuestra galaxia como un disco de estrellas, quizas rodeada de otrasgalaxias similares. W.Herschel (1781) desarrollo una teora de la evolucion del universo islay su hijo John Herschel ayudo a establecer que algunas de las nebulosas estaban formadas deestrellas. Gracias a lascefeidas, estrellas variables cuya periodicidad se toma como patron deluminosidad, Shapley pudo hacer un mapa detallado de nuestra galaxia y mostrar (en 1918)que nuestro Sol esta situado a 2/3 de la distancia del centro al borde de la Va Lactea. Sinembargo, la controversia sobre el origen y distancia a las nebulosas todava duro unos anosmas. Opik (1922) dio el primer resultado convincente de que la nebulosa Andromeda seencontraba a gran distancia de nuestra galaxia (ver Peebles 1993, pag 19). En 1929 Hubblepublico su famoso dagrama relacionando la distancia y el redshiftde 46 galaxias hasta el red-

shift correspondiente a una velocidad de 1.000 Km/s (llegando a 20.000 Km/s en 1931). Alparecer Hubble se inspiro en las soluciones de las ecuaciones deEinsteinque propusoDeSitter(1917, astronomo holandes), que predecan una relacion entre velocidad y distancia.4 En 1934Hubble completo su ambicion de tomar una placa fotografica tan profunda que contuviera tan-tas galaxias como estrellas.5 Para entonces Friedmann(1922, un meteorologo ruso) ya habaencontrado la solucion adecuada para la metrica de la Relatividad General en el marco del prin-cipio cosmologico de Einstein, pero en realidad fue Lemaitre (1927, un jesuita belga) quienvislumbro la conexion correcta entre la Relatividad General y los redshifts de las galaxias.6

Lectura: Captulo 3 de Peebles (1993) Captulo 1 y 2 de Gribbin (1986)

1.4 Ley de Hubble y el principio cosmologico

Laley de Hubble relaciona elredshiftz, o en su interpretacion como velocidad radialvz =zc,con la distancia d:

vz =z c= H0 d (1.1)

El espacio-tiempo se crea a la vez que el universo y no tiene sentido hablar de el como un marco donde ocurrenlas cosas.

4Tal y como ocurre con cualquier solucion que sea homogenea e isotropa.5Esto ocurre alrededor de una magnitud lmite de 17. Hoy en da se toman exposiciones con magnitud lmite

superior a 30.6No deja de ser ironico (o quizas logico?) que fuera cura uno de los primeros cientficos que no tuvo reparos

filosoficos en aceptar que las leyes de la fsica podian explicar la creacion del Cosmos.


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4

Figura 1.1: Panel izquierdo: Ley de Hubble (lnea recta para H0 = 72Km/s/Mpc) dadapor la relaciones de Tully-FisheryFaber-Jacksonpara 335 galaxias espirales y elpticas enun entorno local. Se compara la distancia modulo en Eq.[4.23] con la velocidad radial vr(definida como vr =z c). La dispersion respecto a la ley de Hubble ( 612Km/s) es debidaa las velocidades peculiares. Panel derecho: Ley de Hubble medida por el TelescopioEspacial Hubble (HST key project, ver astro-ph/0202006).

La figura 1.1 muestra el soporte observacional de esta relacion, que solo funciona bien a escalas

grandes. Que significa que todas las galaxias a nuestro alrededor se alejen de nosotros? Estaobservacion adquiere sentido con elprincipio cosmologico:

El Universo es homogeneo e isotropo a grandes escalas: laspropiedades del universo a gran escala no dependen de la posicion o dela direccion desde la cual las midamos.

Si esto es as para un observador en la Tierra, la ley de Hubble parece indicar que todos lospuntos (galaxias), se alejan unos de otros, en una expansion parecida a la predicha por Einsteinen su teora de la Relatividad General (RG). De hecho, la RG no es necesaria para llegar aesta conclusion. Es facil ver que es suficiente tener elprincipio cosmologico(o la invariancia

galileana7) para llegar a la ley de Hubble.

1.4.1 Primera determinacion de H0

La primera determinacion de la constante H0 por Hubble fue:

H0 500 km/s/Mpc (1.2)El valor de la constante nos da una idea de la edad del Universo. C omo? Imaginemos que elritmo de expansion, la constante de Hubble, no cambia con el tiempo. Si esto es as, 1/H0 nosda el tiempo necesario para que la distancia entre dos puntos se anule (puesto que v = H0d).

A esta se la llama la edad de Hubble. Si el Universo esta en expansion desacelerada (debido

7La homogeneidad se traduce en la invariancia de las leyes bajo traslaciones espaciales, mientras que laisotropa se traduce en la invariancia bajo rotaciones de nuestro sistema de referencia. Ver.B.2


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a que la fuerza gravitatoria retrasa la expansion) este tiempo sera una cota superior a la edaddel universo (si la expansion es acelerada la cota sera inferior). Es facil calcular (simplementecambiando de unidades (ejercicio) que esta edad corresponde a:

1/H0

2Gyr

2

109yr (1.3)

Esta edad esta (y estaba en 1930) en claro conflicto con la edad de la Tierra (evidenciasgeologicas apuntaban a una edad superior a 4Gyr) y de las estrellas (Edington ya apuntaba aedades superiores a 4Gyr). Esto supuso un claro golpe para el modelo cosmologico de la ex-pansion. En 1943 Baade encontro parte del problema: la calibracion de lascefeidas. Existendos poblaciones de cefeidas: poblacion I (jovenes y brillantes) y poblacion II (viejas y debiles).Al observar con mayor resolucion angular las cefeidas que utilizo Hubble para la distancia aAndromeda, estas resultaron ser de la poblacion I y no de la II como creyo Hubble incorrecta-mente. Con ello, en los anos 1950, la edad del Universo inferida por la expansion pareca mayorque la edad de la Tierra y las estrellas, como era de esperar.

En la actualidad existen varios metodos para medir la edad de las estrellas mas viejas (e.g.dagrama HR y funcion de luminosidad de enanas blancas). La abundancia qumica y laradioactividad de elementos tambien son indicadores de una edad que es compatible con lasedades cosmologicas.

Lectura: Captulo 5 de Peebles (1993). Captulo 3 de Gribbin (1986).

1.4.2 El valor actual deH0

En la actualidad se suele dar el valor de la constante de Hubble en unidades:

H0= 100 h Km/s/Mpc (1.4)

donde h es una constante por determinar observacionalmente de orden unidad: 1.0 < h 10 MeV), estos crean pares electron-positron en equilibrio termico con la radiacion. Estaspartculas mantienen a su vez en equilibrio termico el numero de protones np y de neutronesnn a traves de reacciones de formacion y destruccion con neutrinos y antineutrinos.

+ n e +p (1.8)

e

+

+ n + pn e +p +

Para estas energas grandes (>10 MeV) las dos direcciones de estas reacciones son igualmenteprobables y esto hace que se iguale el numero de protones y neutrones, independientemente desu proporcion original. Estas reacciones producen equilibrio termico entre radiacion y materia.Pero resulta que la masa del neutron es ligeramente superior a la masa del proton:

11En los anos 40-50 los investigadores sovieticos G.Gamov, R.Alpher y R.Herman especularon sobre estasideas y desarrollaron la teora de nucleosntesis primordial, aunque por diversos motivos estas investigacionespasaron desapercibidas. Estos trabajos fueron redescubiertos en los anos 60, unos anos antes de que Penzias yWilson (1964) encontraran accidentalmente los restos de la radiacion cosmica de fondo. Sin la existencia de esta

radiacion no era posible justificar la nucleosntesis primordial. G.Gamov, R.Alpher y R.Herman haban predichosu existencia mucho antes de ser descubierta... Hans Bethe y Fred Hoyle fueron los pioneros en el estudio de lanucleosintesis estelar duran la Segunda Guerra mundial. Ver S.Weingerg, Los tres primeros minutos, 1977,para una revision historica detallada.


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(mn mp) c2 1.3MeV (1.9)Esto significa que a temperaturas inferiores a esta energa de kBT < 1.3 MeV las reaccionesanteriores solo funcionan hacia la derecha, ie destruyendo neutrones, dado que esto es en-

ergeticamente mas favorable que destruir protones. El rtmo de destruccion depende de lassecciones eficaces de estas reacciones, que son funcion de la densidad y la temperatura.12

En situacion de equilibrio termico tenemos:

r nnnp

= exp

(mn mp)c

2

kBT

(1.10)

La conversion de neutrones y neutrinos en protones y electrones es por tanto energeticamentefavorable a bajas temperaturas lo que haria que r tienda rapidamente a zero. La conversioninversa cuesta energa, pero a temperaturas altas (superiores a kBT > 1 Mev), esta reaccionse alimenta de energa termica (de radiacion) libre y se mantiene un equilibrio lo que implicar = 1, ie para kBT > (mn mp)c2 en la ecuacion superior. A medida que la energa termicadisminuye, domina el proceso de destruccion de neutrones y el cociente r disminuye. Este pro-ceso destructuivo se detiene (en las 2 primeras reacciones en Eq.1.9) debido a que los neutrinosdejan de interaccionar con la materia a partir de ciertos valores de la densidad y la temper-atura. Calculos detallados predicen un corte de estas 2 reacciones a kBT 0.726 MeV 13 loque producer = 1/6 de acuerdo con la Eq.1.10. A partir de aqui, solo actua la tercera reacci onen la Eq.1.9: el relativamente lento proceso de desitegracion del neutron(de vida media deunos 15 minutos14). En seguida argumentaremos que antes de que ocurra esto los neutronesquedaran atrapados dentro de los nucleos de 4He. Este proceso de captura de neutrones

ocurre de forma eficiente a bajas temperaturas. Para temperaturas entre 1 y 0.1 Mev todoslos neutrones son capturados y el valor de r disminuye de 1/6 a 1/7, lo que coincide con lasobservaciones de la abundancia relativa de hidrogeno y helio.Inicialmente no se forman nucleos porque la radiacion es tan energetica que los rompe. El nucleomas sencillo (aparte de 1H, que solo tiene un proton) que se puede formar es el de deuterio (2H),formado por un proton y un neutron. Pero este no dura mucho a altas temperaturas. La energade ligadura del deuterio es 2.2Mev, pero dado que hay muchos fotones por cada barion (verEq.1.11), incluso cuando la temperatura media de la radiacion es de solo 0.1 Mev, hay suficientesfotones de 2.2 Mev (en la cola de la distribucion termica de media 0.1Mev) como para poderfotodisociar todos los nucleos de deuterio. Pero puede formarse 4He rapidamente a partir de

dos nucleos de deuterio y esta reaccion ocurre de forma muy favorable antes de que se destruyatodo el deuterio o todos los neutrones (por lenta desitegraci on en protones). No hay nucleosestables con entre 5 y 8 bariones (o nucleones) y el 4He es el nucleo que esta mas fuertementeligado y por tanto el que mejor resiste la fotodisociacion. Asi pues, la mayor parte de losneutrones en el universo estan atrapados en los nucleos de 4He.15 Durante la nucleosntesis,

12Estos valores fueron un secreto bien guardado durante la II Guerra mundial y la Guerra fria por susimplicaciones en la construccion de la Bomba Atomica.

13Justo por encima de la energa umbral para la creacion de pares electron-positron: la masa en reposo delelectron es de mec2 0.5 MeV.

14Este tiempo, como veremos, es mucho mayor que la edad del Universo cuando la temperatura es de 1 Mev,que es alrededor de 1 segundo. Asi que el proceso de desintegraci on solo se completara totalmente cuando pasen

unas horas en la vida del cosmos.15Esto es una suerte, porque si no fuera asi los neutrones se acabarian desintegrando y el universe seria un

sitio muy distinto. Solo habria inicialmente hidrogeno 1H y todos los elementos pesados deberian de generarseen las estrellas.


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tambien es posible formar 2H, 3He y ltio 7Li en pequenas cantidades (Y 104, 105, 1010).Estos nucleos son mas fragiles y se destruten facilmente.

Materia Oscura

El resultado en todos los casos depende de la densidad total de bariones nB (protones masneutrones) en el momento de la nucleosntesis debido a que todas las secciones eficaces deinteracciones son proporcionales a la densidad de partculas. Una vez fijamos la densidad nB auna temperatura dada KBT, queda fijo el cociente:

=nBn

(1.11)

que es una medida de la entropa cosmica. Este cociente no cambia con el tiempo o redshift(paraT >0.5 MeV)16. Las abundancias primordiales observadas para deuterio (2H), 3He y 7Linos dan una medida del valor de 51010 en el universo primitivo. Puesto que este cocienteno cambia con el tiempo, esto permite predecir el numero actual de n (o equivalentemente el

valor de la temperatura de la radiacion cosmica de fondo actual T0), en funcion de la densidadactual observada de bariones. Esta radiacion de fondo fue observada por Penzias y Wilsonen 1964. De hecho, hoy en da T0 se conoce con mucha mas precision que nB. As que lasmediciones en se traducen en predicciones para el valor de nB. En terminos de la densidadcrtica, Eq.[3.28], B nB/c, tenemos:

0, 017< Bh2


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En el Apendice A repasamos cual es la emision de radiacion de un cuerpo en equilibrio ter-modinamico: radiacion de un cuerpo negro. Este es el tipo de radiacion que se espera quesobreviva el universo primitivo. La radiacion se termaliza durante las numerosas interaccionesque ocurren en el universo primitivo. La temperatura de esta radiacion disminuye como

T =T0

a (1.13)

a medida que el Universo se expande/contrae en un factor a respecto al tamano actual (a= 1y T = T0). Esto es debido al aumento en un factor a en la longitud de onda asociada aesta radiacion. Cuando se formaron los primeros atomos (unos 400.000 anos despues de lanucleostesis) la temperatura era de T 3300K, equivalente 1eV. El atomo de hidrogeno seforma en el momento en que la energa de esta radiacion es inferior a la energa de ionizaciondel hidrogeno17. A partir de ese momento, denominado tiempo de desacoplo (entre radiacion

y materia) o tiempo de recombinacion(entre nucleos y electrones), la radiacion es demasiadofra para interaccionar con la materia y continua enfriandose hasta nuestros das, donde T02, 726K, que equivale a una energa de kBT0 2, 3 104 eV o a una densidad de radiacion(de Eq.[A.7]):

4, 65 1034 (T0/2, 726K)4 gr/cm3 (1.14)

El valor deT0nos dice que el Universo ha crecido desde el desacoploen un factora 1100. Eldesacoplo ocurre de forma bastante abrupta y por tanto define una superficie esferica de dondehan salido todos los fotones que observamos hoy en da: es la superficie de ultima interac-cion(o Last scattering surface).

La radiacion que observamos hoy en dia desde la Tierra ha llegado de forma directa (radial)desde la superficie de ultima interaccion. En su camino se ha enfriado de 3300K a 3K, peroel numero total de fotones emitidos se ha preservado. Esta radiacion es muy isotropica (lasvariaciones son menores de una parte en 10,000) y tiene el espectro de un cuerpo negro perfecto(con desviaciones menores de una parte en 100,000). Todo ello hace muy dificil explicar estaradiacion de otra manera. Pero quizas lo que sorprende mas es que podemos medir y predecirde forma muy precisa (con mas de 10000 grados de libertad bien medidos) el spectro de laspequenas anisotropias en su temperatura, ie ver

5.3.6.

Despues del desacoplo todos los bariones estan en forma de atomos neutros y no hay interaccionentre radiacion y materia. Pero las pequenas inhomogeneidades en la distribucion espacial delos atomos (presentes en el momento del desacoplo) terminan creciendo y colapsando gravitato-riamente, lo que da lugar a las primeras estrellas. Las estrellas emiten radiaci on de alta energaque terminan por ionizar de nuevo los atomos en el medio intersterlar (e intergalactico). Estose conoce como la epoca de re-ionizacion. Los electrones resultantes se calientan formandodensas nubes concetradas en los lugares de formacion. Estas nubes se detectan por su emisionBremsstrahlungde rayos X y pueden dispersar las radiacion cosmica de fondo en esas re-giones por efecto Compton, es el llamado efecto Sunyaev-Zeldovich, que es importante enel medio intergalactico en los cumulos de galaxias.

17La energa de ionizacion es 13,6 eV. Un cuerpo negro con una temperatura media de 1eV contiene

suficientes fotones de 13,6eV para ionizar todos los atomos del Universo, ya que hay 5 1010 Eq.[1.11]protones por foton.


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1.7.1 El dipolo

La existencia de una radiacion termica de fondo implica que existe unsistema de referenciaprivilegiado: aquel en el que la radiacion se observa como perfectamente uniforme. Un sistemade referencia en movimiento relativo, con velocidad vr, respecto al sistema uniforme, presenta

una distribucion asimetrica del tipo dipolar, con una fluctuacion de temperatura en la direccionr:

T

T (r) =

vrr

c =

|vr|c

cos (1.15)

donde es el angulo entre r yvr. Dicho de otra forma: la distribucion dipolar en la radiacioncosmica de fondo nos permite medir el modulo y la direccion del movimiento relativo vr delsistema de observacion (e.g. la Tierra) respecto al sistema de referencia cosmico donde laradiacion es uniforme. Un observador en este sistema de referencia, esta en cada libre con

respecto a las fuerzas gravitatorias que ejerce el resto del Universo en ese punto.En general, uno puede descomponer el mapa de anisotropas de temperaturas observadas enla radiacion cosmica de fondo con un desarrollo multipolar (ver7.5). Estas anisotropas sonextremadamente pequenas, de una parte en 105 (de acuerdo con el principio cosmologico), conexcepcion del dipolo, que es del order T

T 103. Este valor da unavr 300 Km/s (vr cTT )

que es tpica de los movimientos de rotacion o translacion de las galaxias. Esto nos indicaque la anisotropa dipolar no es intrnsica, sino que muy probablemente es debida a nuestromovimiento respecto al sistema de referencia cosmico.

1.8 Cosmologa observacionalLa Fig.1.3 representa un esquema de las epocas principales en el modelo cosmologico estandard:origen, nucleosntesis, radiacion cosmica, primeros quasares, formacion estelar y planetaria...Este modelo cosmologico se conoce solo de forma esquematica, pero se asienta en unas solidasbases observacionales:

Relatividad General (GR): existen numeross test de precision de GR, mayoritariamenteen escalas del sistema solar.

Ley de Expansion: hoy en dia hemos medido el redshifts de varios millones de objetos;todos ellos confirman la idea de que el universo esta en expansi on.

Nucleosntesis: Las abundancias primordiales de los 5 elementos mas ligeros se puedenmedir y estan en muy buen acuerdo con las predicciones del modelo de nucleosntesisprimordial.

Radiacion cosmica de fondo: mediciones de el espectro y de las anisotropias concuerdancon las predicciones con una precision de 1 entre 100,000.

La edad de las estrellas mas viejas coincide con la edad del universo que deducimos apartir de las medidas del ritmo de expansion observado.

El ritmo de expansion observado coincide, en orden de magnitud, con la densidad deenerga que medimos en el cosmos.


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Historia del Universo:

HOY: T=14,000 Mill.de aos

T=0 origen del tiempo. Densa bola de fuego (BigBang?)T=diminuta fraccin del primer segundo:El universo se expande inflacionariamente dando lugar a: ununiverso plano y al origen de las semillas primordiales (o

irregularidades) cunticas que ms tarde darn lugar a todala estructura csmica: galaxias y estrellas.

espacio

tiempo

T= antes del primer segundo: Se crea la materia ordinaria(llamada barinica) formada por quarks, electrones y otras

partculas fundamentales.

T=3 minutos: Se crean los nucleos ligeros(con abundancia primordial relativa del 25%nucleos de hidrogeno, y 75% nucleos de helio).

T=10,000 aos: La densidad de energa en formade materia pasa a dominar sobre la radiacin. Se

generan oscilaciones acusticas de presin que creceranhasta el desacoplo. Permanecen solamente las semillas(fluctuaciones)ms grandes250-400,000 aos: Se crean los

primeros tomos (hidrgeno y helio neutros).La Radiacin (csmica de fondo)quedalibre (desacoplada) de la materia. Iniciodel colapso gravitatorio de lassemillasprimordialesgrandes.

50 Mill.de aos: Protogalaxias. Se forman porcolapso gravitatorio las primeras estrellas gigantes

(Poblacion estelar III) a base de nucleos ligeros.En ellas se crean (por fusin) los primeros

nucleospesados(Oxigeno, Carbono, ..)que son ejectados al medio en gigantes

explosiones (supernovas) permitiendo

la futura formacin de moleculas yde vida.Somos polvo de estrellas!

500 Mill.aos:Se forma el nucleo(bulgo) de las Galaxias con estrellasque hoy en dia son viejas y rojas(Poblacin II). Estos bulgos seagrupan en grandes Cmulos

1,000 Mill.aos:pocadorada de la formacin

estelar: estrellas jovenesazules (Poblacin I).

El universo iniciauna:

Expansin

Acelerada:

Energa Oscura.

9,000Mill.aos:Se forma nuestroSistema Solar

y La TierraEn el brazode una grangalaxiaEspiral Aparece

la vida

Figura 1.3: Caricatura de lahistoria del Universo: el tiempo y la energa aumentan vertical-mente. mientras que la dimension horizontal representa el espacio. Se muestran 4 epocas claves:inicio (Big Bang t= 0), nucleosntesis (t= 1s), formacion de atomos o desacoplo (t= 400, 000anos) y la actualidad (t= 14 millones de anos). Entre estas dos ultimas se han debido formarlas estrellas y galaxias que observamos.

A pesar de estos aciertos, el modelo cosmologico tambien plantea muchas incognitas, contradic-ciones y problemas que estudiaremos con detalle en los siguiente captulos. Estas dificulatadesincluyen:

entender porque el universo es plano entender porque el universo se acelera que son las llamadas materia y la energa oscuras, como interpretar observaciones estrechamente relacionadas pero que aparentemete no han

estado causalmente conectadas

como se origina la materia (y radiacion) y la estructura que observamos en el cosmos ...


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14

En el universo primitivo del modelo cosmologico encontramos unas condiciones excepcionalespara la Fsica que requieren de nuevas leyes para la gravedad cuantica. El modelo cos-mologico estandard se basa en las leyes de la gravitaci on (de la Relatividad General), queson aparentemente incompatibles con las leyes de fsica cuantica que explican exitosamente ydetalladamente el resto de las interacciones. Esta incompatibildad solo se manifiesta en losregmenes de extrema densidad18, asi que tal incompatibildad no presenta un problema praticopara entender los fenomenos de la fsica actual (que estan muy lejos de estas densidades ex-tremas). Sin embargo, en el universo primitivo se dan estas situaciones de extrema densidadlo cual plantea un gran reto para dar sentido pleno a este modelo... O quizas, piensan otros,es una oportunidad para intentar lograr entender mejor la gravedad cu antica a partir de lasobservaciones cosmologicas.

18Correspondintes a la escala de Planck, donde en escalas cuanticas tenemos densidades tales que la fuerzagravitatoria domina sobre las otras interacciones.


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1.9 Problemas

1. Utilizando argumentos unicamente dimensionales, estimar el tiempo caracterstico de evolu-cion cosmica en el Universo. Compararlo con el tiempo caracterstico de evolucion gravi-tatoria de nuestro Sol.

2. Demostrar que en un Universo homogeneo el numero de galaxias con magnitud aparentemayor que msigue la leyN(> m) 100.6m

3. Demostrar que un astronomo en Andromeda observa la misma ley de expansion de Hubbleque nosotros. Que pasara si la ley de expansion fuera distinta, por ejemplo si todos loscuerpos se alejaran de nosotros con velocidad constante?

4. Demostrar que elprincipio cosmologico(PC) junto con la invarianza galileana implicanlaley de expansion de Hubble. Pista: Considerar 2 observadores comoviles (quietosrespecto a un sistema de referencia que se mueve con el cosmos) que observan una galaxia

tambien comovil. A partir de la adicion de velocidades y el PC (ambos observadores debenver el mismo campo de velocidades) inferir que la relacion entre velocidad v y distanciar debe ser lineal. Utilizando argumentos de simetra demostrar que los dos vectores serelacionan a traves de una matriz unitaria: v = Hr. De aqu llegar a la ley de Hubble:v=H r, donde H es una constante (funcion del tiempo).

5. Cual sera la edad de un universo en desaceleracion constante si el parametro de desacele-racion adimensionalq0 = a0/(H

20d0) = 0.5? (donde a0 yd0 son la aceleracion y distancia

actuales yH0= 100hKm/s/Mpc.

6. Paradoja de Olbers: Por que la noche es oscura? Considerar fuentes de luz (galaxias o

estrellas) con una densidad numerica media n y luminosidad constante L (energa porunidad de tiempo) independiente de la posicion (PC). a) Demostrar que en un universoeuclidiano y estatico la densidad media de energa de radiacion diverge. b) Encontrar laexpresion para un Universo en expansion (FRW) donde las fuentes no son eternas, sinoque todas empiezan en un momento fijo del pasado. c) Comparar el caso estatico con elcaso en expansion: encontrar cuan importante es la supresion de la densidad media comofuncion del tiempo de vida de las fuentes (relativo a la edad del universo). Que ocurresi tenemos en cuenta que las estrellas se agrupan en galaxias?

7. Demostrar que la temperaturaTde radiacion de un cuerpo negro perfecto se enfra en un

factor T /acuando el universo se expande en un factor a.


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Captulo 2

Expansion

Elprincipio cosmologicosupone una fuerte restricion para el modelo que explique como debeser el espacio-tiempo cosmico. Nos impone la ley de Hubble: v = Hd, que equivale a decir

que todos los deplazamientos dr deben cambiar con la misma ley de tiempos: dr = a(t)d,donde d es una coordenada de desplazamientos de referencia en un tiempo dado (hoy enda). La funcion a(t) se conoce como factor de escala y es una funcion cosmica universal. Elproblema fundamental de la Cosmologa Moderna consiste en comprender cual es esta funcion,tanto desde un punto de vista observacional como teorico.

2.1 Modelos del Universo

2.1.1 Modelos en expansion

Aunque Big Bang se traduzca como la Gran Explosion la expansion del universo es muydiferente a la que ocurre en una explosion. La expansion cosmologica es homogenea e isotropa, esdecir ocurre por igual en cualquier punto y direcci on del espacio, mientras que en una explosionla expansion tiene un punto o zona espacial de origen, de donde divergen los movimientos. Enel modelo cosmologico cualquier punto se puede ver como origen de una explosion. Como esesto posible? Veamoslo con un par de modelos.

Modelo del bizcocho con pasas

En esta analoga, la expansion del universo se asemeja al crecimiento que experimenta un

bizcocho (idealmente de tamano infinito) con pasas en un horno. Las pasas representan lasgalaxias, que no crecen (estan desacopladas de la expansion1) y el bizcocho representa el espacio.La separacion entre las pasas aumenta con el tiempo, sin embargo no hay ningun punto que sepueda considerar el centro de esta expansion. Este modelo no es del todo satisfactorio porqueel bizcocho tiene una superficie exterior, que no tiene un an alogo en el Big Bang.

Modelo del globo

En la analoga del globo, la expanion del universo se asemeja al crecimiento de un globo degoma cuando se infla. En este ejemplo, el espacio es unicamente la superficie del globo (elespacio interior del globo representa el tiempo o factor de escalaa). Las galaxias seran puntos

1Esto ocurre porque se rompe la aproximacion de homogeneidad: las galaxias representan grandes concen-traciones de materia donde las fuerzas gravitatorias locales dominan sobre las fuerzas a grandes escalas queejerce el fondo homogeneo de materia.

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pintados (o mas bien enganchados) en la superficie del globo. La distancia entre puntos crececon el tiempo, pero ninguno de los puntos es el centro de la expansi on. Esta analoga es masadecuada que la del pastel de bizcocho, pero tiene la desventaja de representar un espacio deuna dimension espacial menos (dos dimensiones = 2D en lugar de 3D espaciales). As en elBig Bang necesitaramos imaginarnos un globo hinchandose en un espacio de 4D. La superficiedel globo tiene 3D espaciales. La dimension radial es el tiempo. La parte interna del globo esel espacio-tiempo 4D.

2.1.2 Principio cosmologico

Recordemos elprincipio cosmologico:

Las propiedades del Universo a gran escala no dependen de la posiciondesde la cual las midamos.

Observacionalmente constatamos que el Universo es en buena aproximacion isotropa, al menos

desde nuestro punto de observacion: la Tierra en el Sistema Solar. Por todo lo que sabemos, laTierra, nuestro Sol o nuestra Galaxia no tienen nada de especial y existen infinidad de estrellasy galaxias similares o comparables con la nuestra. Podemos entonces pensar que el Universodebe ser tambien isotropo desde cualquier otra de estas estrellas o galaxias. Pero un espacioisotropo desde cualquier punto, debe ser necesariamente homogeneo.

2.1.3 La expansion cosmica: ley de Hubble clasica

Vamos a deducir aqui laley de expansion de Hubbledesde el punto de vista de la mecanicaclasica (newtoniana o galileana), ie a partir de las leyes de invariancia galileanas. En la secci on

2.6 veremos una derivacion de la misma ley usando la metrica FRWen la Relatividad Gen-eral. La motivacion de este ejercicio es mostrar que la expansion cosmica no es una consecien-cia especfica de la Relatividad General, sino que surge de la asumpcion de homogeneidad eisotropia.Consideremos 2 observadores comoviles (quietos respecto a un sistema de referencia que semueve con el cosmos) que observan una galaxia tambien comovil. Llamemos r1 y r2 a lasposiciones relativas de esta galaxias vistas por los dos observadores, de manera que:

r12=r2 r1 (2.1)El principio de invarianza galileana nos dice que si se cumple Eq.2.1, entonces:

v12

=v2

v1

(2.2)

Debido a la invariancia bajo translaciones, las velocidades v1 yv2 que observan para estagalaxia, solo puede ser una funcion de las respectivas posiciones relativas: v1 =v(r1) y v2 =v(r2). Asi que tenemos:

v(r12) =v(r2) v(r1) (2.3)Si lo comparamos con Eq.2.1, vemos que v tiene que ser una funcion lineal de r, que podemosescribir de forma matricial como:

v= M r vi= Mijrj (2.4)donde Mij es una matriz 3 3. Debido a la isotropa Mij debe ser invariante bajo rotaciones ypor tanto es proporcional a la matriz identidad: Mij =H ij. Asi que finalmente tenemos que:

v= Hr (2.5)

es la unica solucion posible compatible con el principio cosmologico.


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2.1.4 El modelo del estado estacionario

El principio cosmologico nos lleva a la ley de Hubble: v = H d, y en partcular admite lasolucion estatica H = 0. La solucion H = 0 es m as atractiva porque tiene una simetraadicional: la invariancia temporal y, por tanto, obedece a un principio cosmologico mas general,

elprincipio cosmologico estacionario:

Las propiedades del universo a gran escala no dependen de la posici ono el momento en la cual las midamos.

En el modelo del estado estacionario, propuesto por Bondi, H.,Gold, T. y Hoyle, F. en1948, el universo debe ser estacionario, es decir debe aparecer igual a grandes rasgos paraobservadores en diferentes tiempos. Esto es muy atractivo filosoficamente, pero viola la ley deexpansion observada por Hubble. En el modelo delEstado Estacionariose postula la creacioncontinuada de materia a un ritmo tal que compensa exactamente la perdida de densidad debida

a la expansion del universo. De esta manera es posible compatibilizar la ley de Hubble con elprincipio cosmologico estacionario.2

La teora delBig Bangpropone la creacion de todo el universo en un instante inicial (aparente-mente violando la conservacion de la energa/materia, pero ver3.4), mientras que el modelodelEstado Estacionario propone que esta creacion ocurra de forma continuada en todos lospuntos y tiempos del universo. Por tanto, ambas propuestas no son tan distintas. Sin embargo,el modelo del Estado Estacionario no puede explicar, entre otras observaciones, la existen-cia de la Radiacion Cosmica de Fondo, cuya temperatura actual coincide, como vimos,con las predicciones del modelo del Big Bang referentes a la abundancia relativa observadaentre el hidrogeno y el helio. Tambien necesita nuevos ingredientes para explicar la coinciden-cia (como mnimo aproximada) entre los valores medidos del ritmo de expansion actual y lacorrespondiente cantidad de densidad de materia o con la edad de las estrellas mas antiguas.

2.1.5 Por que se expande el Universo?

Si la ley de Hubble viola la invariancia temporal: por que se expande el Universo? No seramas esperable que el Universo fuera estatico? En un universo vaco, la respuesta podra serafirmativa. Pero un universo que contenga materia no puede ser estatico. La gravedad haceinestable cualquier configuracion estatica y nos plantea el problema de las condiciones iniciales.Aunque las leyes de la gravedad sean invariantes en el tiempo, no es posible imaginar unamaterializacion de dichas leyes que nos de un universo estatico.

As pues la respuesta es: el Universo se expande porque contiene materia. Una respuestasiempre trae otra pregunta: Por que tiene materia el Universo? Que nos lleva al problema delaasimetra entre materia y antimateria en el Universo primitivo (ver6.1).

2.2 El factor de escalaa(t)

Consideremos un sistema de coordenadas (, t) para describir sucesos en el espacio-tiempo.Describimos el universo en expansion mediante el factor de escala: a = a(t) que conside-

2Recordemos que la invariancia temporal implica la conservacion de la energa/materia. Mediante la creacion

continua de materia violamos la conservacion de energa/materia y por tanto la invariancia temporal. Lo quehace el modelo del Estado Estacionario es compensar exactamente esta violacion de la invariancia temporal(al crear materia) con la que ocurre en la ley de Hubble, de manera que finalmente recuperamos un estadoestacionario por ajuste fino.


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Figura 2.1: Factor de escala ay distancias comovildxy propia dr en el modelo del globo.

raremos como un factor adimensional3 que puede cambiar con la coordenada temporal t. Ladistancia propia o distancia fsica dr entre dos sucesos (, t) y ( +d, t) simultaneos

(notese que dt= 0) es:

dr= a(t) d (2.6)

Este es el resultado mas general posible compatible con el principio cosmologico, por elcual a grandes escalas el Universo es homogeneo e isotropo. Si el Universo es homogeneo eisotropo en el sistema de coordenadas , entonces la ley anterior mantendra esta propiedaden cualquier otro instante (recordemos el bizcocho con pasas2.1.1). La relacion anterior,dr = ad, implica directamente la ley de expansion (o contraccion) de Hubble: v = Hr, porlo que ambas expresiones pueden deducirse directamente del principio cosmologico sin que

ello implique ninguna contradiccion. Para ver esto basta con derivar la expresi on anterior:

dr

dt =

da(t)

dt d=

a

adr Hdr (2.7)

En el modelo del globo2.1.1, el radio del globo es a(t) (no es una coordenada espacial), ladistancia propia dr es un elemento de arco en la superficie de la esfera y d hace las veces deangulo d= dr/a(aunque dimensionalmente en nuestro caso tiene dimensiones de espacio: esel arcodr paraa = 1). A esta coordenada se la llama coordenada comovil. La fig.2.1 ilustraeste modelo del globo en dos dimensiones. En la figura el factor de escala corresponde alradio del crculo. A medida que el Universo se expande, el crculo crece. La coordenada d

corresponde al angulo entre dos radios. La distacia propia dres el arco: el espacio tridimensional

3Esto es una eleccion arbitraria, pues podamos decidir darle dimensiones de distancia, en cuyo caso lascoordenadas deberan ser adimensionales.


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corresponde a la circunferencia en la ilustracion, mientras que el tiempo aumenta en la direcciondel radio: radios pequenos corresponden al pasado, y radios grandes al futuro.Usualmente se toma como referencia:

a= 1 ahora (2.8)

en el momento actual, de manera que las distancias propias coinciden con las coordenadas:dr = d, hoy en da. As en un universo en expansion, tenemos que en el pasado a < 1 yel futuro a > 1. Por ejemplo, a = 0.1 corresponde a un tiempo cuando las distancias en elUniverso eran diez veces menores que hoy en da (decimos que el Universo es diez veces menor).

2.2.1 El problema fundamental

El problema fundamental de la Cosmologa consiste en encontrar como vara el factor de escalacon el tiempo, es decir, encontrar la curva a= a(t), como ilustra la figura 2.2. Como veremos(

2.6), la constante de Hubble H0 corresponde a la derivada de esta curva en el momentoactual:

da

dt(t= t0) =H0a

t (2.9)

en la segunda igualdad hemos aproximado la derivada por una constante H H0. Laedad del Universo es t = t0: el tiempo cosmico transcurrido entre el inicio (a = 0) yahora (a = 1). De manera que a 1 para t t0. Por tanto en la aproximacion anteriortenemos que la edad del universo es:

t0 1H0

9.8Gyr/h, (2.10)

donde hemos utilizado Eq.[1.4] y 1Gyr = 109

anos. A segundo orden, es decir tomando d2

a/dt2

constante, tendremos que esta edad es una cota superior a la verdadera edad del Universo sid2a/dt2


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t

a(t)

t0 (ahora)t= 0

a= 1

a= 0

H0

Figura 2.2: Mediciones del factor de escala a(t) como funcion del tiempo en los alrededores delmomento actual (ahora). La pendiente en este punto es H0. Su inverso nos da una estimacionde la edad del Universo: t0= 1/H0, que es el tiempo transcurrido entre a= 0 ya= 1.

En la segunda igualdad hemos utilizado Eq.[2.6], con = (x,y,z). El valor de la separaciondsentre dos sucesos no depende del observador o sistema de coordenadas que utilicemos, decimos

que es un invariante, mientras que la distancia d o dtdepende del observador. La distanciaentre coordenadas espaciales d2 d2 la podemos descomponer en:

d2 = dx2 + dy2 + dz2 =d2 + 2d2 (2.15)

donde es una coordenada radial 4 y d2 = d2 +sin2d2 es el angulo solido o area quesepara los dos sucesos en coordenadas esfericas (,,)5.

As pues, podemos escribir la metrica del Universo como:

ds2 =c2dt2 a2 d2 + 2d2 (2.16)

A esta se la conoce como la metrica de Friedmann-Robertson-Walker (1935) o abrevi-adamente FRW, para un universo plano.

En su forma mas general, la parte espacial de lametrica de Friedmann-Robertson-Walkerse puede escribir como: d2 =du2/(1 ku2) + u2 d2, dondeu es una nueva coordenada radialy el signo de k nos da la curvatura espacial global. Podemos hacer un cambio de coordenadaspara pasar de esta forma a otra con la misma parte radial que Eq.[2.16], ver Eq.[C.75].

Por tanto, en un universo que no es plano, k= 0, debemos sustituir 2d2 por S2k()d2:

ds2 =c2dt2

a2(t) d

2 + S2k() d2 . (2.17)

4No confundir con d |d|.5Para llegar a la Eq.[2.15] simplemente basta con diferenciar x = sin cos ,y = sin sin yz = cos

y formar la cuadratura dx2 + dy2 + dz2.


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donde Sk():

Sk() =

sin sik >0 (k= 1) sik= 0sinh sik


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d = 10Mpc, esta es la distancia propia o fsica que las separara hoy en da (si fuerancomoviles), pero dado que son lejanas la distancia fsica que en realidad las separaba en el mo-mento en el que las observamos (cuando se emitio la luz que hoy llega a nuestro telescopio) esmenor en un factor 1/a, donde el factor de escalaa= a(t) corresponde al momento de la emision(por ejemplo, paraa = 0.1, la distancia fsica que las separa en realidad es de r = 1Mpc). Estadistincion es de vital importancia a la hora de entender la fsica del universo primitivo (porejemplo el proceso de formacion de galaxias) y su evolucion.

El sistema de referencia que usualmente se toma como comoviles aquel en el cual la radiacioncosmica de fondo es perfectamente isotropica: se anula la componente dipolar (ver1.7.1),que presumiblemente es debida al movimiento de nuestros telescopios (Tierra, Sol, Galaxia)relativos a este sistema de referencia. Podemos definir observadores comovilesen cualquierpunto del universo con tal de que sus coordenadas esten en reposo respecto a este sistema.7

2.5 RedshiftEl redshift(o corrimiento hacia el rojo) zes un observable adimensional que se define como elcambio relativo en la longitud de onda que experimenta un foton (o espectro de luz) entre suemision y recepcion:

z2 11

(2.24)

donde 1 es la longitud de onda emitida (sistema de referencia donde el emisor esta en reposo,llamadosistema en reposoo rest frame) y2 es la longitud de onda recibida. En el efectoDoppler el corrimiento hacia el rojo (redshift) o el azul (blueshift) es debido a la velocidadrelativa de alejamiento o acercamiento entre el receptor y la fuente. Es f acil ver que el caso norelativista (v c) tenemos: z=v/c, donde v es la velocidad relativa entre emisor y receptor.

2.5.1 Efecto Doppler

Para hacer el calculo del efecto Dopplerbasta considerar como cambia la distancia 1 =ct1entre dos crestas (o pulsos de onda) desde su emision a su recepci on. Debido al movimiento

relativo de alejamiento (o acercamiento) entre receptor y emisor la distancia entre la recepcionde dos crestas aumenta (disminuye) en un valor vt1en el tiempo t1 = 1/1=1/cque separala emision de dos cretas. Por tanto:

2 = 1+ v1/c= 1(1 + v/c) (2.25)

lo que efectivamente nos lleva, usando Eq.[2.24], a z=v/c. 8

7Notese que esta definicion de observador comovil es mucho mas restrictiva que la deobservador inercial: no todos los observadores inerciales son comoviles.

8

Hemos despreciado la dilatacion relativista del tiempo propio entre un sistema en reposo y otro enmovimiento. El intervalo de tiempo entre dos crestas, cuando se mueve el receptor debe incluir el factorde Lorentz: t1/

1 v2/c2, Eq.[B.8], que es una correccion de orden superior (despreciable) cuando v c. Por

tanto la expresion relativista correcta del efecto Doppleres: 1 + z =

1+v/c1v/c

.


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2.5.2 Redshift cosmologico

Consideremos en primer lugar el caso de emision y recepcion de fotones entre dos observadorescomoviles, cuyas coordenadas no cambian con la expansion del Universo. Para simplificar,colocamos al receptor en el origen = 0 de coordenadas y al emisor en una coordenada radial

. Consideremos el suceso de emision de luz (, t1) y recepcion en el origen ( = 0, t2). Sien un tiempo dt la luz emitida recorre una coordenada d, tenemos que la distancia fsicacorrespondiente es: (a d) y por tanto: c dt= a(t)d9. De manera que la distancia comoviles:

=

d= t2t1

c dt

a(t) (2.26)

Si la luz emitida tiene una longitud de onda 1, el tiempo que separa dos crestas o pulsos seradt1 =1/c. as consideremos que la primera cresta sale en t1 y llega al receptor en un tiempot2. La segunda cresta sale de la misma coordenada (es comovil) en el tiempo t1 + dt1 y llega enen un tiempot2 + dt2, dondedt2 = c2 nos da, por definicion, la longitud de onda en recepcion.

Puesto que los sucesos son comoviles, las dos crestas deben recorrer la misma distancia comovil:

=

d= t2+dt2t1+dt1

c dt

a(t) (2.27)

de lo cual, comparando con Eq.[2.26], inmediatamente deducimos 10:

dt1dt2

=a(t1)

a(t2)=

12

, (2.28)

y por tanto de Eq.[2.24]:

1 + z21 = a(t2)a(t1) (2.29)o, equivalentemente:

z=a(t2) a(t1)

a(t1) (2.30)

Puesto que las observaciones se refieren siempre al momento actual, tenemos que a(t2) = 1 enEq.[2.8] y por tanto:

1 + z= 1a(t)

(2.31)

que nos da una forma de medir directamente a(t) con el redshift, que es un observable.11

Habitualmente se utiliza zcomo referencia de tiempo cosmico, dado que t es mas complicadode medir. Por ejemplo z= 2 corresponde al tiempo cosmico t en el cual a = 1/3. A veces sedice que el redshiftcosmologico (en la formula anterior) es consecuencia del efecto Doppler(clasico) causado por la velocidad de explansion del Universo (ver ley de Hubble, mas adelante).

9Esto sale de manera natural de la metrica al considerar dos sucesos conectados por la luz, light-like, dadoque el elemento de lnea o tiempo propio se anula para eventos conectados por la luz: ds2 = 0 en Eq.[2.14].

10Podemos llegar directamente a esta expresion al darnos cuenta que la longitud de onda no se altera encoordenadas comoviles: d= cdt1/a(t1) = cdt2/a(t2).

11El problema para resolver cual es la funcion a(t) no viene de la medicion de a, que viene dada por z, sinode saber el valor de t correspondiente.


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Esta es una interpretacion aproximada del efecto, pero notese las diferencias sustanciales conla deduccion respecto al efecto Doppler clasico.Cuando el emisor o receptor no son comoviles y tienen un movimiento relativo v = addt=0 tendremos que sumar el efecto Doppler zD (2.5.1) al redshift cosmologico zC (debidounicamente a la expansion del Universo entre observadores comoviles). Es facil ver (bastacombinar los dos efectos anteriores) que el redshiftobservado neto zO es:

1 + zO = (1 + zC) (1 + zD) (2.32)

2.5.3 Redshift gravitatorio

La Relatividad General nos dice que cualquier forma de energa esta sometida a los efectosde la gravedad (m = E/c2). Una de las consecuencias notables de esta ley son los efectos delentes gravitatorias, por los cuales la luz esta sometida a la atraccion gravitatoria. Por ellocuando la luz es emitida desde un lugar con un potencial gravitatorio 1 mayor que en el lugar

de recepcion 2 existe un redshiftgravitatorio debido a la perdida de energa que el fotoninvierte en escapar de la atraccion gravitatoria (ver Eq.[C.18]):

zG2 11

=2 1

c2 . (2.33)

Tanto aqu como en el caso Doppler, elredshiftpuede ser positivo o negativo dependiendo de lafuente.12 En la mayora de los casos practicos este efecto es pequeno comparado con el redshiftcosmologico o el redshiftDoppler. Es facil demostrar que el redshiftcombinado es

1 + z= (1 + zC) (1 + zD) (1 + zG) (2.34)

2.6 Ley de Hubble

Consideremos dos galaxias comoviles. Elijamos un sistema de coordenadas tales que las posi-ciones angulares relativas esten fijas, d = 0 y tenga como origen una de las galaxias, dondesuponemos que se encuentra el observador. La ley de Hubble original relaciona el redshiftob-servadozcon una medida de la distancia propia que separa las dos galaxias en el momento dela observacion (t2). Las galaxias estan conectadas por el rayo de luz que observamos a travesdel telescopio donde realizamos la medicion delredshift. Esta luz fue emitida en un tiempot1 y

recibida en un tiempot2. La distancia se puede referir a la que recorre la luz entre la emision yla recepcion: t2 t1. Por tanto la ley de Hubble es una relacion entre dos observables: redshifty tiempo. Popularmente se conoce mejor como una relacion entre velocidad y distancia, quesale de multiplicar tanto el redshiftcomo el tiempo por la velocidad la luz.Si despreciamos el redshiftgravitatorio y asumimos que las dos galaxias estan en reposo, en-tonces el redshiftobservado sera de origen cosmologico, dado por la Eq.2.30:

z=a

a =

1

a

t2t1

adt Ht (2.35)

donde hemos introducido la definicion:

Ha

a, (2.36)

12El redshiftcosmologico siempre tiene el mismo signo, porque es una propiedad global. Podria ser siemprenegativo, para H 0


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de H = H(t) que llamaremos parametro o constante de Hubble y hemos aproximado laintegral por su valor medio en t t2 t1. En general, H no es constante. Si definimos ladistancia propia como l= ct, tenemos:

v cz H l (2.37)que se conoce comoley de Hubbleclasica. Esta expresion solo es valida en la aproximacion dedistancias pequenas, es decir alrededor deH H0 yt2 t0, donde no hay mucha ambiguedadsobre que queremos decir por la distancial. En realidad, cuandoH(z) =H0es constante, vemosde la Eq.2.36 quea(t) = exp H0(t t0) crece exponencialmente y la ley de Hubble se convierteen z= exp H0(to t) 1 En general, cuando H(t) (o a(t)) varian de forma significativa a lolargo de la distancia que separa a las dos galaxias, debemos usar la Ley de Hubble exacta:

z=aa

=1a

t2t1

a(t)H(t)dt (2.38)

que relaciona elredshiftcon tu otras cantidades observadas tales como la distancia luminosidady distancia angular (ver mas adelante). Si consideramos la expasi on de Taylor de la Eq.2.12:

z H0t + (1 + q0/2)H202t (2.39)

que podemos reescribir:z zH+ (1 + q0/2)z2H (2.40)

dondezHes el redshift que da la ley de Hubble clasica en la Eq.2.37. El caso aceleradoq0= 1corresponde a la expansion exponencial (i.e. H = H0 constante). Notese que el caso sinaceleracion q0 = 0 no coincide con la ley de Hubble cl asica: z= zH, sino que necesitamosmucha aceleracion q0 =2 para tener la ley de Hubble lineal. La Eq.2.40 nos da una formade estimar el error por usar la ley de Hubble lineal y tambien indica a partir de que redshift esposible medir la aceleracion cosmica.

2.7 Velocidades peculiares o propias

Si el movimiento (de la galaxia en expansion) no es comovil, podemos pensar que la variacion

temporal de la distancia propia l a (en un suceso radial conectado por luz, como en lasubseccion anterior) tiene dos terminos:

vdldt

= a + a = H l+ vp (2.41)

dondevp a (2.42)

que llamaremosvelocidad peculiarradial ovelocidad propiaradial en analoga con ladis-tancia propia,l = a . El termino de velocidad propiao velocidad peculiarcorresponde

a la posibilidad de que las dos galaxias no sean com oviles, es decir que = 0, y que tengancierto movimiento propio (respecto al sistema de referencia cosmico del CMB). Como veremoseste puede ser debido a inhomogeneidades locales (que provocan el crecimiento gravitatorio ylas fuerzas de marea que dan lugar a estructuras tales como galaxias).


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Para distancias grandes el tratamiento anterior es aproximado. La forma correcta de pensar eneste efecto es la Eq.2.32, donde el redshiftobservado tiene una contribucion Doppler (debidaal movimiento propio radial) ademas de una contribucion cosmologica. Cuando el movimientopropio radial es pequeno comparado con la velocidad de la luz, ievp c, tenemos que el redshiftobservado es:

czO =a

a + vp (2.43)

que con Eq.2.37 reproduce la Eq.2.41.

Se puede tomar vp como un ruido o termino aleatorio en la ley de Hubble, que en promedio(para medidas en muchas galaxias) se anula < vp >= 0 (las velocidades propias pueden tenersignos positivos o negativos respecto a la ley de Hubble).

2.8 El valor actual deH0

Dado que a= a(t) tenemos que H=H(t), de manera que la constante de Hubble no es talconstante. El valor de Hhoy en da se denota por H0 = a0/a0 = a0, ya que tomamos a0 = 1.Se suele dar el valor de la constante de Hubble en unidades:

H0= 100 h Km/s/Mpc (2.44)

donde h es una constante adimensional, por determinar observacionalmente, del orden unidad:1< h


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2.8.1 Problemas para medirH0

La segunda mitad del siglo XX vivio una amarga controversia sobre el valor de H0. La escuelade DeVaucouleurs defendia tajantemente un valor alto H0 100 Km/s/Mpc, mientras quela escuela de Sandage y Tammann abogaban energicamente por H0

50 Km/s/Mpc. Un

universo crtico (de Einstein-deSitter, EdS), el mas popular en aquella epoca, da una edadt0 2/3H10 (ver Eq.[4.35]), que corresponde at0 6.6 Gyr (miles de millones de anos) paralos valores altos de H0 y t0 13.1Gyr para los valores bajos. Esta estimacion favoreca losvalores mas bajos de H0: la edad de las estrellas mas viejas en cumulos globulares se estima de13Gyr, similar a la datacion de isotopos radioactivos.Pongamos como ejemplo para ilustrar estos problemas al metodo Tully-Fisher para medirdistancias. Establece una relacion fenomenologica entre la velocidad de rotacion (a un radiofijo) en una galaxia espiral (vercurvas de rotacionen 5.4.4) y su luminosidad. Necesitamosmedidas simultaneas del redshift, la luminosidad y las curvas de rotacion para un gran numerode galaxias espirales para poder reducir los errores estadsticos y sistematicos. Para calibrar esta

relacion es necesario medir la distancia de forma absoluta para algunas de estas galaxias. Estointroduce errores sistematicos. La relacion Tully-Fisher no es una relacion exacta, esta sometidaa una dispersion intrnseca en las luminosidades que corresponden a una determinada velocidadde rotacion. Otra fuente de error sistematico es el llamado sesgo (o bias) de Malmquist, porel cual las observaciones (limitadas en magnitud aparente) tienden a incluir s olo la parte masluminosa de esta dispersion intrnseca. El resultado es una infravaloracion de esta dispersion.Para objetos cercanos o medidas de precision, el campo de velocidades peculiares tambien esuna fuente importante de error para estimar el redshift cosmologico (ver2.7). Este errorincrementa considerablemente la dispersion en la relacion entre redshifty distancia.Despues de una decada de observaciones con el telescopio espacial Hubble (HST) se han podidoutilizar las cefeidas para calibrar varios metodos secundarios para medir distancias. El HSTtiene una resolucion angular (0.04 arcsec) sin precedentes para un telescopio terrestre lo que lepermite observar cefeidas en galaxias mas lejanas, lo cual ha sido fundamental para poder evitarel problema de las velocidades peculiares (que dominan sobre la ley de la expasion a distanciascortas). Estos metodos secundarios incluyen la relacion Tully-Fisher, supernovas de tipo II ytipo Ia, fluctuaciones de brillos superficiales y el plano fundamental de las galaxias elpticas. Lacombinacion de estas medidas dan H0= 72 8 Km/s/Mpc (ver Figura 1.1). Esta solucion dauna edad de t0 9 Gyr para un universo crtico EdS, en clara contradiccion con otras medicionesde edad. Esta paradoja aparente se puede solucionar introduciendo laenerga oscura (eg unaconstante cosmologica) que acelera la expansion del universo (respecto al modelo EdS) ypor tanto permite que pase mas tiempo antes de llegar a un determinado valor de H0.

Que nos dice el valor de H0 sobre el Universo? A continuacion veremos como este ritmo deespansion viene dado por la densidad media de materia (o contenido energetico) del Universo,a traves de las leyes de gravitacion.


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2.9 Problemas

1. Las velocidades peculiares promedio de las galaxias en un cumulo (o cluster) son del ordende vp 1000 Km/s. A que distancia tiene que estar el cumulo para que al medir losredshifts de 100 objetos individuales, podamos estimar la constante de Hubble con una

precision de un 1%? Tomar que el error en el redshiftes despreciable (nulo) y el error enla distancia a cada objeto es de un 5%.

2. Demostrar la ecuacion Eq.[2.34]. Discutir si el redshift cosmologico se puede interpretarcomo un effecto Doppler o como un redshiftgravitatorio.

3. Calcular el redhift gravitatorio que sufre la luz del Sol observada desde la Tierra.

4. Medimosz0 0.1 para una galaxia que asuminos comovil. Calcular el redshiftcosmologicoteniendo en cuenta que el movimiento heliocentrico de la Tierra y que el Sol se mueve a400Km/s respecto al centro galactico. Depende esta correccion de la posicion angular

de la galaxia o del momento de la observacion?

5. Calcular el error en redshiftque da la ley de Hubble cl asica, i.e. Eq.2.37 para z = 0.5 siasumimos: a) que H(t) =H0 es una constante b) que q0= 0.

6. Calcular la edad del universo para a t2/3, si h= 0.7. Cuanto vale la desaceleracion cos-mica q0 en este caso? Que edad tiene este Universo cuando T= 3000K?


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Captulo 3

Ecuaciones cosmologicas

La teora de la Relatividad General representa la unica forma consistente de abordar el prob-lema de la cosmologa. Es posible deducir muchas de las formulas y comportamientos en

cosmologa a partir de la cosmologa newtoniana, donde se utilizan las leyes de la mecanicanewtoniana o clasica en un universo en expansion con la ley de expansion de Hubble. Con ellopodemos simplificar los calculos y concentrarnos en la interpretacion de los resultados. Sin em-bargo lacosmologa newtonianapuede llevarnos a paradojas y debe tratarse con precaucion.En cualquier caso, la cosmologa newtoniana es consistente gracias al Teorema de Birkhoff(1968), un analogo relativista al teorema de Gauss (verC.9 y15.1 de Weinberg, 1972).Este teorema implica que el efecto gravitatorio de un medio uniforme sobre el interior deuna cavidad esferica es nulo. Esto nos permite aplicar las leyes de la gravedad newtonianasen el interior de esta esfera ignorando posibles efectos externos dado que sabemos, casi porconstruccion, que la Relatividad General se reduce a la gravedad newtoniana para campos

gravitatorios debiles (el caso en cosmologa) y velocidades y escalas suficientemente pequenas.En el caso de partculas relativistas(e.g. fotones), la densidad que aparece en las formulasnewtonianas debe interpretarse como la densidad total de energa d

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