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Université de Liège Faculté des Sciences Appliquées

CONCEPTION ASSISTEE PAR ORDINATEUR DU MATERIEL

ELECTRIQUE

Notes de cours V2.4

2005

Date d’impression : 22/02/2007 à 14:56:55

André GENON

2

REFERENCES

Dhatt et Touzot, Une présentation de la méthode des éléments finis, éditions Laloine, 1984 Hari and Silvester, Finite elements for electrical and magnetic problems, J.Whiley, 1980 Zienkiewicz, La méthode des éléments finis, Mc Graw Hill, 1979 Lascaux et Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur, 2 volumes, Masson, 1987

CHAPITRE 1 : INTRODUCTION

1. SCHEMA GENERAL DE CONCEPTION

!

Figure 1.1

Dans le domaine de l'électricité, la conception d'un produit nouveau est un processus itératif dont la première itération est généralement basée sur :

• l’extrapolation de systèmes analogues réalisés précédemment; • des calculs basés sur des hypothèses simplificatrices; • des résultats d’expérience.

CAO des systèmes électriques Chapitre 1 : Introduction 4

La simulation sur ordinateur nécessite en général le calcul numérique du champ électromagnétique. La structure générale du ou des logiciels de simulation est la suivante :

Figure 1.2

2. METHODES NUMERIQUES

Les trois principales méthodes numériques utilisées pour la résolution d’équations aux dérivées partielles sont la méthode des différences finies, la méthode des éléments finis et la méthode des équations intégrales. 2.1. LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES

• la plus ancienne, la plus simple à mettre en œuvre; • nécessite un maillage régulier, ce qui rend souvent difficile l’application à des

géométries complexes; • le maillage doit souvent être serré pour bien épouser les contours et pour avoir une

précision valable; • la résolution de problèmes non bornés n’est en toute rigueur pas possible ; • le système d’équations résultant comporte généralement beaucoup d’inconnues et est

très creux; il peut être résolu par des techniques spéciales. 2.2. LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

• basée sur le découpage de l’espace en morceaux de dimensions finies sur lesquels on approxime la fonction inconnue par une fonction plus simple (souvent un polynôme) dépendant des inconnues (nodales, d’arête, ...);

• le découpage épouse facilement des formes complexes; • la prise en compte de problèmes non bornés peut s’effectuer en utilisant des éléments

finis spéciaux;

CAO des systèmes électriques Chapitre 1 : Introduction 5

• le système d’équations obtenu, fort creux et généralement symétrique peut être résolu par des techniques très performantes.

2.3. LA METHODE DES ELEMENTS DE FRONTIERES

• les inconnues sont situées sur les frontières; • le découpage épouse facilement des formes complexes; • la méthode réduit d’un ordre la dimension du problème, ce qui facilite les opérations

de maillage et réduit le nombre d’inconnues; • la prise en compte de géométries non bornées s’effectue naturellement; • le système d’équations à résoudre ne possède généralement pas de propriétés

remarquables (pas très creux, ni symétrique) permettant d’utiliser les méthodes efficaces de résolution.

3. MODELISATIONS

A priori, les structures à étudier se trouvent dans l’espace à trois dimensions. Cependant, dans de nombreux cas, on peut admettre que la géométrie et les champs sont quasi invariants dans une direction privilégiée. A ce moment, il est possible de simplifier le problème et de ne l’étudier que dans un seul plan. On parle alors de problème bidimensionnel (2D) Dans d’autres cas fréquents, le problème est axisymétrique. Dans ce cas, il est souvent avantageux de modifier les équations de telle sorte qu’au niveau modélisation et maillage, il suffise de considérer une coupe passant par l’axe de symétrie.

CHAPITRE 2 EQUATIONS DE MAXWELL.

FORMULATIONS POTENTIELLES.

1. EQUATIONS DE MAXWELL

Les phénomènes électromagnétiques sont régis par les équations de Maxwell. Dans un milieu continu, celles-ci s’écrivent :

t

rot∂∂DjiH ++=

loi de Maxwell-Ampère

ρ=D div loi de Gauss

t

rot∂∂BE −=

loi de Faraday

0 =Bdiv conservation du flux d’induction magnétique Ces équations font apparaître les champs vectoriels suivants :

• le champ magnétique H (A/m) ; • la densité de courant i forcés (A/m2) ; • la densité de courant j qui respecte la loi d'Ohm (A/m2) ; • le déplacement électrique D (C/ m2); • le champ électrique E (V/m) ; • l'induction magnétique B(T).

Le champ scalaire ρ désigne la densité volumique de charge électrique (C/m3). Ces champs sont reliés entre eux par les équations de Maxwell et par les caractéristiques de la matière dans laquelle ils sont présents. On sait que l'induction magnétique dépend du champ magnétique, mais également d'autres caractéristiques de la matière, telles la température, les traitements mécaniques subis antérieurement, etc. ... . On exprime généralement cette liaison par la relation : HB µ=

CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 8

dans laquelle le coefficient µ (en H/m), appelé perméabilité magnétique n'est pas nécessairement une constante, ni même un scalaire (µ peut être de nature tensorielle) ; de plus, la relation liant B et H peut ne pas être biunivoque (phénomène d'hystérésis). De même, le déplacement électrique dépend du champ électrique : ED ε= où ε (en F/m) est la permittivité diélectrique du milieu matériel. Comme µ , ε n'est pas nécessairement une constante ni même un scalaire. Dans les milieux conducteurs, la densité de courant est reliée au champ électrique par la loi d'Ohm : Ej σ= où σ est la conductivité du milieu (en Ω−1m−1 ou S/ m ) qui peut dépendre de diverses autres propriétés (température, tensions mécaniques, ... ). A la frontière entre deux matériaux, on a (figure 2.1) :

( )( )( )( ) 0.ou0

.ou0ou00ou0

=−==−==Λ−==Λ−=

+−+

+−+

+−+

+−+

nBBBnDDDnEEEnHHH

s

dds

s

s

divdivrotrot

σσ

Figure 2.1

Les équations de Maxwell peuvent être séparées en 3 groupes : a) les équations aux dérivées partielles (linéaires) reliant H et D avec les charges

et les courants :

t

rot∂∂DjiH ++=

ρ=D div

]0)([ =++t

div∂∂ρji (conservation de la charge électrique)

b) les équations aux dérivées partielles (linéaires) reliant E et B :


t

rot∂∂BE −=

]0 [ =Bdiv

c) les lois de comportement (généralement non linéaires et tensorielles) :

EjEDHB

σεµ

===

.

Remarque L’équation de conservation du flux d’induction n’est pas indépendante de l’équation de Faraday car, si on prend la divergence de celle-ci, on obtient :

0 =−=t

divrotdiv∂

∂ BE .

Cela signifie que si, à un moment donné, 0=Bdiv dans un système, le respect de la loi de Faraday entraîne que 0=Bdiv est nul à tout autre moment. En pratique, cela signifie que la loi de Faraday assure la conservation du flux d’induction magnétique, pour autant que les conditions initiales du problèmes aient été bien définies. 2. FORMULATION ELECTROSTATIQUE

2.1. ELECTROSTATIQUE : POTENTIEL SCALAIRE

Formulation générale Dans le cadre de l’électrostatique, on ne considère que les phénomènes engendrés par des charges fixes. Les équations de Maxwell se réduisent donc à : 0 =Erot ρ=D div ED ε= De la première équation, on peut déduire qu’il existe un potentiel V tel que : Vgrad−=E . Dès lors, on a :


0)( =+ ρε Vgraddiv .

Quand ε est constant, la relation précédente conduit à l’équation de Poisson :

0=+∆ερV .

Condition d’unicité Le potentiel trouvé est unique si, en chaque point de la frontière du domaine étudié, on connaît la valeur du potentiel (condition de Dirichlet) ou de sa dérivée normale (condition de Neumann). Démonstration : Considérons 2 solutions V1 et V2 satisfaisant l’équation de Poisson dans le domaine considéré. Définissons : 21 VVDV −= . Dès lors, puisque les 2 solutions satisfont l’équation de Poisson, on a, dans le volume v considéré : 0 =∆ DV . On peut écrire successivement :

2 .) .( DVgradDVDVDVgradDVdiv +∆=

∫∫ =vv

dvDVgraddvDVgradDVdiv ) .( 2

∫∫ =Σ v

dvDVgraddsDVgradDV . 2n

∫∫ =Σ v

dvDVgraddsn

DVDV 2

∂∂ .

De la relation précédente, on déduit immédiatement que DVgrad sera nul en tout point du volume v si DV ou nDV ∂∂ / est nul en tout point de la frontière Σ délimitant le volume v. Dès lors, la solution de l’équation de Poisson est unique (à une constante près) si, en tout point de la frontière, on impose, soit :

• la valeur du potentiel (condition de Dirichlet) • la valeur de la dérivée normale du potentiel (condition de Neumann)


• le rapport entre la valeur du potentiel et celle de sa dérivée normale (condition de Robin) (ce dernier point, bien que ne découlant pas de la démonstration précédente, peut être démontré par ailleurs).

Remarque :

nDgradVnV ε

∂∂

−=−== Enn .. .

3. FORMULATIONS MAGNETOSTATIQUES

Dans le cas où on n’envisage que les effets de courants invariants dans le temps, on se trouve dans le cadre de la magnétostatique. Les équations de Maxwell deviennent: iH = rot 0 =Bdiv HB µ= . Plusieurs formulations sont possibles. 3.1. MAGNETOSTATIQUE : POTENTIEL VECTEUR

Formulation générale Etant donné que la divergence de B est nulle, il est possible trouver un potentiel vecteur A tel que : AB rot= . La circulation du potentiel vecteur le long d’une courbe fermée représente le flux d’induction magnétique qui traverse la courbe. En effet (figure 2.2) : ∫ ∫

Σ

= ds . . nBdlA

Figure 2.2

Ce potentiel n’est pas unique : en effet, si A est une forme du potentiel vecteur,


fgrad+= AA2 est également une solution valable (f désigne un champ scalaire quelconque). En fait, seuls deux champs scalaires indépendants sont strictement nécessaires pour définir n'importe quel champ indivergentiel. Dès lors, on peut choisir arbitrairement une relation scalaire (appelée jauge) entre les trois composantes de A. Souvent, on choisit la jauge de Coulomb : 0=Adiv . Celle-ci présente l’avantage de simplifier l’écriture vectorielle des équations (voir plus loin). Une autre jauge, couramment utilisée en calcul numérique est la suivante : 0. =Aw . w est une champ vectoriel non nul, défini en tout point du domaine étudié et dont les lignes de champ ne se referment pas sur elles-mêmes à l’intérieur de ce domaine. Cette dernière jauge génère une relation linéaire entre les 3 composantes de A en chaque point du domaine étudié. D’autres jauges peuvent être envisagées ( 0=xA , … ). En introduisant l’expression du potentiel vecteur A dans la loi de Maxwell-Ampère, on obtient :

iA =)1( rotrotµ

.

Si on adopte la jauge de Coulomb et si la perméabilité magnétique est une constante, on retrouve la forme bien connue de l’équation vectorielle de Poisson :

0=+∆ iA µ .

Conditions d'unicité Soient A1 et A2 deux solutions différentes qui satisfont les équations dans un volume v. Définissons la différence : 21 AADA −= . Alors, on peut écrire successivement : dvrotrotrotdvrotdiv

vv

)) ( . ( ) ( 2

∫∫ −=Λ DADADADADA ννν ,


∫∫ =Λvv

dvrotdvrotdiv ) ( 2DADADA νν ,

∫∫ =ΛΣ v

dvrotdsrot ). ( 2DAnDADA νν

et, finalement : . ) .( 2

∫∫ =ΛΣ v

dvrotds DAnDHDA ν

Figure 2.3

Etant donné que : . ) ( . ) ( DHDAnDAnDH Λ=Λ , le potentiel vecteur A sera unique dans le domaine considéré (à la jauge près) si, en tout point de la frontière délimitant le domaine considéré, on impose :

• soit la composante tangentielle de A (condition de Dirichlet), • soit la composante tangentielle du champ magnétique H (condition de Neumann) • soit une relation entre les deux composantes précédentes (condition de Robin).

Signalons que la dernière condition ne se déduit pas immédiatement de la démonstration qui précède. Notons que connaître la composante tangentielle de A sur une surface est équivalent à connaître le flux d’induction qui traverse cette surface. Dire que le potentiel vecteur est constant sur une surface implique qu’aucun flux ne traverse cette surface (figure 2.3). De même, connaître la valeur de la composante tangentielle de H sur une surface est équivalent à connaître le courant qui traverse cette surface. 3.2. MAGNETOSTATIQUE : POTENTIEL SCALAIRE TOTAL

Formulation générale Dans les zones où il n’y a pas de courant, le rotationnel de H est nul. Dans ces zones, on peut considérer que le champ magnétique dérive d’un potentiel scalaire : Φ−= gradH .


Figure 2.4

Puisque :

0=Bdiv , on obtient :

0) ( =Φgraddiv µ .

La différence de potentiel magnétique entre deux points représente la circulation de H le long d'une courbe reliant les deux points (figure 2.4) :

∫=Φ−Φ2

121 . dlH

L’unicité du potentiel scalaire n’est assurée que si son domaine de définition est simplement connexe. En effet, considérons un parcours fermé entourant des conducteurs : ∑∫∫ ==Φ−=Φ−Φ courbe lapar entourés' .). ( IgradAA dlHdl

(Ω).

Ω

Σ 1

Σ 2

Γ 0

Γ 1Γ 2

Figure 2.5 : domaine multiplement connexe

Si la perméabilité µ est constante, on retrouve l’équation de Laplace

0=∆Φ


Unicité de la solution

Supposons que nous disposions de deux expressions du potentiel scalaire Φ1 et Φ2 satisfaisant l’équation de Laplace en tout point d’un domaine v simplement connexe. Définissons : 21 Φ−Φ=ΦD . On peut écrire successivement : dvDgraddivDDgraddvDgradDdiv

vv

)) ( ( ) ( 2

∫∫ ΦΦ+Φ=ΦΦ µµµ ,

dvDgraddsDgradDv

. 2

∫∫ Φ=ΦΦΣ

µµ n ,

soit

dvDgraddsdDv

. 2

∫∫ Φ=Φ−Σ

µnB .

Le potentiel scalaire Φ sera unique (à une constante près) si en tout point de la frontière délimitant le domaine considéré, on impose :

• soit la valeur du potentiel Φ (condition de Dirichlet), • soit la composante normale de l’induction (condition de Neumann) • soit une relation entre les deux grandeurs précédentes (condition de Robin).

Remarquons que connaître le potentiel scalaire sur une surface est équivalent à connaître la valeur du champ tangentiel sur cette surface. Dire que le potentiel scalaire est constant sur une surface signifie que le champ magnétique est perpendiculaire à cette surface (figure 2.6)

Figure 2.6

3.3. MAGNETOSTATIQUE : POTENTIEL SCALAIRE PARTIEL

Dans les zones où circulent des courants, on peut décomposer le champ magnétique en deux composantes :


rs HHH += . Si on suppose que Hs est donné par la loi de Biot et Savart :

dvrs ∫Λ

= 3

41 riHπ

on a : Srs rotrotrotrot HHHH =+= et, par conséquent : rr gradΦ−=H . Hs est dénommé champ source. C’est le champ magnétique que l’on aurait en l’absence des matériaux magnétiques. Hr est le champ de réaction. En exprimant la divergence de B, on obtient :

( ) 0=Φ rgraddiv µ

ou, si la perméabilité magnétique est constante :

0 =Φ∆ r

Comme pour le potentiel magnétique total, l’unicité de la solution est assurée si, en tout point de la surface extérieure au domaine étudié, on connaît soit le potentiel scalaire partiel, soit sa dérivée normale. Remarques :

• Le potentiel scalaire partiel n’est généralement pas utilisé à l’intérieur des milieux magnétiques non conducteurs. En effet, dans ces milieux, le champ magnétique de réaction est généralement démagnétisant et du même ordre de grandeur que le champ source. La figure 2.7 montre un exemple monodimensionnel. Dans ces conditions, la méthode du potentiel scalaire partiel est souvent fort imprécise.

• Nous avons choisi comme champ Hs le champ donné par la loi de Biot et Savart. Celui-ci est indivergentiel. En réalité, il n’est pas nécessaire que le champ Hs soit


indivergentiel ; la seule condition qu’il doit satisfaire est que son rotationnel soit égal à la densité de courant.

Figure 2.7

4. FORMULATION ELECTROCINETIQUE

L’électrocinétique étudie la répartition des courants dans les conducteurs en régime continu. Elle se situe donc dans le même cadre que la magnétostatique, mais, alors qu’en magnétostatique, on suppose la distribution des courants connue, en électrocinétique, on s’intéresse précisément à déterminer cette distribution de courants. Les équations de Maxwell qui régissent l’électrocinétique sont donc : 0 =Erot 0)( =+ jidiv

Ej .σ= Deux types de potentiels peuvent être envisagés : un potentiel vecteur dont dériverait la densité de courant (car 0)( =+ jidiv ) ou un potentiel scalaire dont dérive le champ électrique (car 0 =Erot ). Généralement, c’est la seconde possibilité qui est utilisée. Dans ces conditions, on peut écrire : Vgrad −=E . Dès lors, on obtient :

0) ( =− Vgraddiv σi

et, là où σ est constant :

0 div1-V =∆ iσ

Les conditions d’unicité de la solution sont les mêmes qu’en électrostatique.


5. FORMULATION MAGNETODYNAMIQUE

Dans le cadre de l’électrotechnique classique, les courants de déplacement sont généralement négligeables vis-à-vis des courants de conduction. Dans ces conditions, en l’absence de charge d’espace, les équations de Maxwell deviennent : jiH += rot

t

rot∂∂BE −=

0 =Ddiv 0 =Bdiv HB µ= ED ε= Ej σ= . 5.1. MAGNETODYNAMIQUE : FORMULATION A-V

Formulation générale

Etant donné que 0 =Bdiv , on peut définir le potentiel vecteur magnétique A :

AB rot= .

Si on introduit cette expression dans la loi de Faraday, on obtient :

0)( =+t

rot∂∂AE ,

ce qui permet de définir le potentiel scalaire électrique V :

Vgradt

−=+∂∂AE .

Le potentiel vecteur A s’interprète comme en magnétostatique : sa circulation le long d’une courbe fermée représente le flux d’induction magnétique traversant toute surface s’appuyant sur la courbe. Le potentiel scalaire V représente ce qu’on appelle communément la tension : c’est la grandeur que l’on peut mesurer avec un voltmètre. En effet, intégrons la dernière relation le long d’une spire filiforme de faible section (figure 2.8) :


Figure 2.8

. . . )( . 22

1

2

1

2

11 ∫∫∫∫

Σ

+=+=−=− dsnBdljdlAEdltt

VgradVV∂∂ρ

∂∂

soit

21 tIRVV

∂∂Φ

+=− .

En introduisant les potentiels dans la loi d’Ampère, on obtient :

0 ) ( =−++ iAA Vgradt

rotrot σ∂∂σν .

Si les propriétés physiques du milieu sont linéaires ( εσν et, constants), on peut écrire :


rotrot σ∂∂σν .

En utilisant la jauge de Coulomb (div A = 0 ), la relation précédente devient :

0 =+−−∆ iAA µσµ∂∂σµ Vgrad

t.

Si on utilise la jauge de Lorentz ( Vdiv σµ−=A ), on obtient :


rotrot σ∂∂σν

0 =−++∆− iAAA µσµ∂∂σµ Vgrad

tdivgrad

0 =+−∆ iAA µ∂∂µσ

t

Unicité de la solution Supposons que l’on a choisi la jauge de Lorentz et que l’on dispose de deux solutions A1 et A2 satisfaisant les équations suivantes à l’intérieur d’un domaine v :


0 =+−∆ iAA µ∂∂σµ

t

Vdiv σµ−=A Recherchons les conditions sous lesquelles les deux solutions sont équivalentes. Soit : 21 AAA −=D . Dès lors :

0 =−∆t

DD∂

∂µσ AA

0=AdivD soit

0 ) ( =+t

DDrotrot∂

∂σν AA .

On a donc également :

0 ) ( . 0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫ ∫

t

vdtdv

tDDrotrotD∂

∂σν AAA ,

0 ) 2

) ( . (0

2

=+∫ ∫t

vdtdv

tD

DrotrotD∂

∂σνA

AA ,

0 2

) ( 0

22 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+Λ−∫ ∫

t

vdtdv

tD

DrotDdivDrot∂

∂σννA

AAA

et, en utilisant le théorème d’Ostrogradski :

∫∫ ∫

∫∫ ∫

+Λ

=+

Σ v

t

v

t

v

dvDdtdsDrotD

dvtDdtdvDrot

2

0

2

0

2

)0( 2

. ) (

)( 2

AnAA

AA

σν

σν

Notons également que : AnAAnAnAA DrotDDDrotDrotD . ) ( . ) ( . ) ( ννν Λ−=Λ=Λ Dès lors, l’unicité de la solution est assurée si le second membre de la relation intégrale précédente est identiquement nul, c’est-à-dire si les deux conditions suivantes sont vérifiées : • la valeur du potentiel vecteur A est connue en tout point du domaine étudié à l’instant

initial ;


• la valeur de la composante tangentielle du potentiel vecteur ( nA Λ ) ou celle de la composante tangentielle du champ magnétique ( nHnA Λ=Λrotν ) est connue tout point de la surface extérieure au domaine à tout instant postérieur à l’instant initial.

Dans les conditions aux limites que nous venons d’établir, on reconnaît les conditions aux limites des équations de type parabolique. Cas du régime sinusoïdal Le régime sinusoïdal peut être étudié en utilisant les nombres complexes. L’équation générale devient :

0 ) ( =−++ iAA Vgradjrotrot σσων .

Si les propriétés physiques du milieu sont linéaires ( εσν et, constants), on peut écrire :

0 ) ( =−++ iAA µµσµσω Vgradjrotrot .

En utilisant la jauge de Coulomb ( 0=Adiv ), la relation précédente devient :

0 =+−−∆ iAA µµσµσω Vgradj .

Si on utilise la jauge de Lorentz ( Vdiv σµ−=A ), on obtient :

0 =+−∆ iAA µµσωj .

Dans ce cas, l’équation est de type elliptique et l’unicité de la solution est unique si on connaît :

• soit la composante tangentielle de A (condition de Dirichlet), • soit la composante tangentielle du champ magnétique H (condition de Neumann) • soit une relation entre les deux composantes précédentes (condition de Robin).


5.2. MAGNETODYNAMIQUE : FORMULATION T-Ω

Formulation générale Puisque : 0)( =+ jidiv , on peut définir un potentiel vecteur électrique T tel que : Tji rot=+ . Dans ces conditions, la loi d’Ampère devient : 0)( =− THrot et on peut définir le potentiel scalaire magnétique Ω tel que : Ω−= gradTH . Le potentiel vecteur T est lié aux courants. Sa circulation le long d’une courbe fermée représente le courant qui traverse n’importe quelle surface qui s’appuie sur cette courbe. Le fait que la composante tangentielle de ce potentiel soit constante sur une surface signifie qu’aucun courant ne traverse cette surface. Le potentiel vecteur T est défini à un gradient près ; pour rendre la solution unique, il faut donc lui adjoindre une jauge. Si on choisit comme jauge 0=Tdiv , T est solution du système d’équations suivant : Tji rot=+

0=Tdiv .

Dans ce cas, T représente le champ magnétique engendré dans le vide par la répartition totale de courants et Ω peut donc être regardé comme le champ de réaction. En remplaçant T et Ω dans la loi de Faraday, on obtient :

0)()()1( =−Ω−+ iTT γµ∂∂

∂µ∂

σrotgrad

ttrotrot

Si µ et σ sont constants, l’équation devient :

0=−Ω−+ iTT rott

gradt

rotrot∂∂µσ

∂∂µσ

En adoptant comme jauge :


0 =Ω

−t

div∂∂µσT ,

on obtient :

0=+−∆ iTT rott∂

∂µσ .

On peut montrer que l’unicité de la solution est assurée si on connaît

• les valeurs de T en tout point du domaine étudié à l’instant initial • la valeur de la composante tangentielle du potentiel vecteur ( nTΛ ) ou celle de la

composante tangentielle du courant ( njinT )( Λ+=Λrot ) en tout point de la surface extérieure au domaine à tout instant postérieur à l’instant initial.

Cas du régime sinusoïdal Le régime sinusoïdal peut être étudié en utilisant les nombres complexes. Les équations deviennent

0)()1( =−Ω−+ iTT γµωµωσ

rotgradjjrotrot .

Si µ et σ sont constants, l’équation devient :

0=−Ω−+ iTT rotgradjjrotrot µσωµσω

En adoptant comme jauge :

0 =Ω− µσωjdivT ,

on obtient :

0=+−∆ iTT rotj µσω .


Dans ce cas, l’équation est de type elliptique et l’unicité de la solution est unique si on connaît :

• soit la composante tangentielle de T (condition de Dirichlet), • soit la composante tangentielle du courant i+j (condition de Neumann) • soit une relation entre les deux grandeurs précédentes (condition de Robin).

5.3. MAGNETODYNAMIQUE : FORMULATION A*.

Le potentiel vecteur modifié A* est défini par les deux relations suivantes : * AB rot= ,

t∂

∂ *AE −= .

Dans ces conditions, la loi de Faraday et celle de la conservation du vecteur induction magnétique sont vérifiées automatiquement. En effet : 0≡= AB rotdivdiv et

0**

≡∂∂

+∂

∂−=

∂∂

+ AABE rottt

rott

rot .

Le potentiel vecteur modifié A* peut être considéré comme une primitive temporelle du champ électrique car :

∫−=t

dt0

* EA .

En introduisant le potentiel vecteur modifié dans la loi d’Ampère et en utilisant la loi d’Ohm, on obtient :

iAA =+t

rotrot∂

∂σν*

* ) ( .

REMARQUE

Si on prend la divergence de l’expression précédente, on obtient :

0 * ≡= iA divdivt∂

∂σ

soit constante * =Adiv


Dans les régions conductrices où s'applique la loi d’Ohm ( 0≠σ ), il existe donc une jauge implicite liée au choix du potentiel. Par contre, dans les régions non conductrices, une jauge doit être imposée classiquement.

On peut montrer que l’unicité de la solution est assurée si on connaît

• les valeurs de A* en tout point du domaine étudié à l’instant initial • la valeur de la composante tangentielle du potentiel vecteur ( nA Λ* ) ou celle de la

composante tangentielle du champ magnétique ( nHnA * Λ=Λrotν ) en tout point de la surface extérieure au domaine à tout instant à partir de l’instant initial.

6. FORMULATIONS ELECTROMAGNETIQUES

Dans les milieux non conducteurs (σ = 0 , donc j = 0), en l’absence de densité de charge macroscopiques, les équations de Maxwell s’écrivent :

t

rot∂∂DiH +=

t

rot∂∂BE −=

0 =Ddiv 0 =Bdiv HB µ= ED ε= . Comme il a été dit plus haut, la loi de Faraday assure la conservation de l’induction ( 0 =Bdiv ), pour autant que les conditions initiales soient formulées correctement. De même, la loi de Maxwell-Ampère assure la loi de Gauss ( 0 =Ddiv dans ce cas-ci), pour autant que les conditions initiales relatives aux courants imposés soient formulées correctement. 6.1. ELECTROMAGNETISME : FORMULATION A-V

Formulation générale Comme en magnétodynamique, on peut définir, on peut définir le potentiel vecteur A et le potentiel scalaire V à partir des lois de conservation du flux d’induction et de Faraday par les relations suivantes : AB rot= ,

Vgradt

−=+∂∂AE .

En introduisant ces relations dans la loi de Maxwell-Ampère, on obtient :


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

+=t

Vgradt

irotrot∂∂ε

µAA 1

Si le milieu est linéaire, on obtient :

02

2

=−++ iAAtVgrad

trotrot

∂∂µε

∂∂µε

L’unicité du potentiel vecteur A peut être fixée au moyen d’une jauge convenable. Le choix de la jauge de Lorentz généralisée :

0 =+tVdiv

∂∂εµA

conduit à la relation suivante :

0 2

2

=+−∆ iAA µ∂

∂µεt

L’équation est cette fois de type hyperbolique. On peut montrer que l’unicité de la solution est assurée si on connaît

• les valeurs de A ainsi que ses dérivées premières en tout point du domaine étudié à l’instant initial (conditions de Cauchy)

• les valeurs des composantes tangentielles du potentiel vecteur (condition de Dirichlet) ou des composantes tangentielles du champ magnétique (condition de Neumann) en tout point de la surface extérieure au domaine à tout instant postérieur à l’instant initial.

Cas du régime sinusoïdal Le régime sinusoïdal peut être étudié en utilisant les nombres complexes. Dans ce cas, en utilisant la jauge de Lorentz généralisée :

0 =+tVjdiv

∂∂µεωA

on obtient, pour les matériaux linéaires, la relation suivante :

0 2 =++∆ iAA µµεω


L’équation est de type elliptique et l’unicité de la solution est assurée si on connaît les valeurs des composantes tangentielle du potentiel vecteur ou du champ magnétique en tout point de la surface extérieure au domaine. 6.3. ELECTROMAGNETISME: POTENTIEL DE HERTZ

Formulation générale Nous introduirons le potentiel de Hertz dans les milieux linéaires. Le potentiel de Hertz Π est lié aux potentiels A et V par les relations suivantes :

t∂

∂=

ΠA εµ

et ΠdivV −= .

Dans ce cas, on a :

t

rotrot∂

∂==

ΠAB µε

et

2

2

(t

divgradt

Vgad∂∂

−=∂∂

−−=ΠΠAE εµ) .

Les équations de conservation de l'induction et de Faraday ainsi que la jauge de Lorentz généralisée sont ainsi vérifiées identiquement car :

0≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

trotdivdiv

∂∂µε ΠB

0( ≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

∂∂

−=∂∂

−t

rottdtt

divgradrott

rot ΠΠΠBE µεεµ)

( ) 0≡∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂

+ ΠΠA divtt

divtVdiv µεµεµε .

En introduisant le potentiel de Hertz dans l’équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

0 3

322 =+−

∂∂

∆ iΠΠ µ∂∂µεεµ

tt.

Si on simplifie et intègre cette dernière relation, on obtient :

0 1 2

2

=+−∆ ∫∞−

t

dtt

iΠΠε∂

∂µε .


Les conditions d’unicité de la solution sont, comme pour les autres équations de type hyperbolique, la fixation :

• des valeurs de Π en tout point du domaine étudié à l’instant initial • la valeur de la composante tangentielle du potentiel ( nΠ Λ ) ou celle de la composante

tangentielle de son rotationnel ( nΠ Λrot ) en tout point de la surface extérieure au domaine à tout instant à partir de l’instant initial.

Cas du régime sinusoïdal : En régime sinusoïdal, l’équation du potentiel de Hertz s’écrit :

0 2 =++∆ωε

µεωj

iΠΠ .

On obtient à nouveau une équation elliptique ; l’unicité de la solution est assurée si on connaît les valeurs des composantes tangentielle du potentiel de Hertz (condition de Dirichlet) ou de son rotationnel (condition de Neumann) en tout point de la surface extérieure au domaine.

CHAPITRE 3 : METHODE DES ELEMENTS FINIS

1. PRINCIPES GENERAUX

1.1. AVERTISSEMENT

Ce chapitre n’a pas pour prétention de traiter de manière exhaustive la méthode des éléments finis. D’excellents ouvrages sont disponibles et d’autres cours universitaires sont spécialisés dans ce domaine. Nous n’envisagerons ici que le cas des éléments finis du premier ordre et insisterons par contre plus particulièrement sur les aspects spécifiques liés à la résolution des équations de Maxwell. 1.2. NOTION D’ELEMENT FINI

La méthode des éléments finis est basée sur une discrétisation de l’espace à étudier en éléments de forme simple (triangles, quadrangles en 2D, tétraèdres, hexaèdres, prismes ... en 3D) et de taille suffisamment faible. Des inconnues sont associées à ces éléments. Selon le cas, ces inconnues sont liées aux nœuds de l’élément (éléments finis nodaux), aux arêtes (cas des éléments d’arête), aux facettes (cas des éléments de facette) ou aux éléments de volume (éléments finis volumiques). L’utilisation d’une fonction d’évolution, souvent un polynôme d’ordre 0, 1 ou 2, permet d’approximer la valeur des grandeurs inconnues sur chaque élément fini. 1.4. ELEMENTS FINIS NODAUX TRIANGULAIRES DU PREMIER ORDRE

Définition Considérons un problème à 2 dimensions discrétisé en éléments finis triangulaires. A titre d’exemple, la figure 3.1 représente le maillage en éléments triangulaires de la coupe transversale d’un câble triphasé blindé. Remarque : On note que les éléments finis doivent respecter les frontières des objets et qu'ils ne peuvent se chevaucher.

CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 30

Figure 3.1 : exemple de maillage

Figure 3.2 : assemblage d’éléments finis

A chaque nœud du maillage obtenu, on associe une inconnue qui est la valeur de la fonction recherchée en ce nœud. On exprime ensuite la fonction recherchée sous la forme suivante :

i

N

iiUzyxU ∑

=

=1

),,( β)

.

• ),,( zyxU

) est la valeur estimée de la fonction inconnue U au point de coordonnées

(x,y,z) ; • N est le nombre de nœuds ; • iU est la valeur estimée de la fonction inconnue U au nœud i ;

• ),( yxiβ est la fonction de forme associée au nœud i. La fonction de forme ),( yxiβ possède les propriétés suivantes (figure 1.2) :

• elle vaut 1 au nœud i : 1),( =iii yxβ ;

• elle est nulle en tout autre nœud : ijyx jji ≠= si 0),(β ;

• sa valeur évolue d’une certaine manière (linéairement pour des fonctions de forme linéaires) sur les éléments finis qui touchent le nœud i.


Les éléments finis nodaux assurent naturellement la continuité d’une fonction lorsque l’on passe d’un élément à l’autre. Ils conviennent donc particulièrement bien lorsque l’inconnue est un potentiel.

Figure 3.3 : fonction de forme d’un nœud (2D - 1er degré)

Espace réel et espace de référence Considérons un des éléments finis triangulaires (figure 3.4). Afin de faciliter la mise en œuvre des calculs, il est habituel d’associer à l'élément fini réel, un élément fini de référence situé dans un plan ξ, η dit plan de référence. A chaque point du triangle situé dans l’espace réel x,y est associé un et un seul point du triangle de référence situé dans l’espace de référence ξ, η. Si U1, U2 et U3 sont les valeurs de U aux 3 sommets du triangle (on les appelle valeurs nodales). Dans l’espace de référence, on peut écrire :

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=

3

2

1

1),(UUU

U ηξηξηξ)

.

La relation précédente permet d’évaluer la fonction inconnue U en tout point de l’élément de référence en fonction des valeurs nodales de la fonction. Les fonctions de forme des nœuds 1,2 et 3 sont respectivement :

ηηξβξηξβ

ηξηξβ

==

−−=

),(),(

1),(

3

2

1

On peut également écrire : N

T UN ),(),( ηξηξ =U (1) avec


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−=

3

2

1

3

2

1

et),(),(),(1

),(UUU

NUNηξβηξβηξβ

ηξ

ηξηξ .

Figure 3.4 : élément de référence triangulaire

De même, on peut définir les transformations de coordonnées, qui permettent d’associer à tout point de l’élément fini de référence un et un seul point de l’élément réel : ( ) NN

T xxN' '3

'2

'1),(),( βββηξηξ ==x (2)

( ) NNT yyN' '

3'2

'1),(),( βββηξηξ ==y (3)

si

et

3

2

1

3

2

1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

yyy

xxx

NN yx .

Les relations (1), (2) et (3) permettent d’associer tout point (ξ,η) de l’élément de référence un et un seul point (x, y) de l’espace réel ainsi que la valeur en ce point de la fonction approchée. Quand βi

' = βi , les mêmes fonctions de forme sont utilisées pour l’approximation des inconnues et pour les transformations de coordonnées et on parle de transformations isoparamétriques. Le passage de l’espace (ξ,η) à l’espace (x,y) est donc particulièrement simple. La transformation inverse est généralement plus compliquée. Formule de transformation pour les dérivées On calcule :

),( ),( ),( yxFy

xyxFy

xyx

yxyxF

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂η∂

∂η∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂η∂∂ξ∂

J

avec


⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

∂η∂

∂η∂

∂ξ∂

∂ξ∂

yx

yxJ .

J est dénommée la matrice jacobienne de la transformation. Dans le cas des éléments finis triangulaires du premier ordre, la matrice jacobienne vaut :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

=1313

1212

yyxxyyxx

J

et Ayyxxyyxxdtm 2))(())(()( 12131312 =−−−−−=J où A représente l’aire du triangle réel. On a également :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

=−

1221

3113

21

xxyyxxyy

A1J

et, finalement :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

∂η∂∂ξ∂

∂∂∂∂

1Jy

x

Formule de transformation pour les intégrales L’intégrale d’une fonction sur un élément réel peut se calculer en intégrant sur l’élément de référence par la formule suivante :

∫

∫∫

∆

∆∆

=

=

réf

réf

ddfA

dddtmyxfdydxyxf

ηξηξ

ηξηξηξ

),(2

)( )),(),,(( ),(

*

J


1.5. ELEMENTS FINIS D’ARETE DU PREMIER ORDRE

i j

kl

ijklf

i

j

k

ijkfi

i

jija

noeud

arête

facette triangulaire

facette quadrangulaire Figure 3.5 : nœuds, arêtes et facettes

Au lieu de choisir comme inconnues la valeur de la fonction recherchée aux nœuds du maillage, on peut choisir comme inconnues la circulation d’un vecteur (E ou H par exemple) le long des arêtes du maillage. On parle alors d’éléments finis d’arête. Dans ce cas, si U est la grandeur vectorielle inconnue, on peut écrire :

∑=AN

ij

dlijijUzyx pU ),,(

)

• ),,( zyxU

) est la valeur estimée de la fonction vectorielle inconnue en x,y,z ;

• AN est le nombre d’arêtes ;

• dlijU est la circulation du vecteur U le long de l’arête ij ;

• ijp est la fonction de forme (vectorielle) associée à l’arête ij.

La fonction de forme ijp associée à une arête ij est une fonction vectorielle possédant les propriétés suivantes :

• sa circulation le long de l’arête ij (dans le sens i => j) vaut 1 : 1. =∫ dlpj

i ij ;

• sa circulation le long de toute autre arête est nulle : ijkll

k kl ≠=∫ si 0.dlp ;

• sa valeur n’est non nulle que sur les éléments finis dont ij est une arête.

Figure 3.6 : désignation de la facette ij,

Les éléments finis d’arête assurent naturellement la continuité de la composante tangentielle des vecteurs inconnus. Ils conviennent donc particulièrement bien lorsque le champ vectoriel inconnu est le champ électrique E ou le champ magnétique H.


En 3D, dans le cas d’éléments finis comportant 3 arêtes par nœud, la fonction de forme d’une arête ij reliant les nœuds i et j peut se déduire des fonctions de forme nodales par la formule : ∑∑

∈∈

−=jiFijF Nr

riNr

rjij gradgrad,,

ββββp

où ijFN , désigne l'ensemble des nœuds de la facette de l'élément fini considéré qui contient le nœud j mais pas le nœud i . Une telle facette est unique pour des éléments possédant trois arêtes issues de chaque nœud ainsi que l’indique la figure 3.6. C’est le cas des tétraèdres, hexaèdres, pyramides à base triangulaire et des prismes). Le cas des éléments finis comportant plus de 3 arêtes par nœud n’est pas traité ici. Sur la figure 3.7a, on remarque que le vecteur

(a) (b)

+

(c)

Figure 3.7 : interprétation de la fonction de forme d'arête

∑

∈ ijFNrrj grad

,

ββ

• est nul sur toutes les arêtes qui ne touchent pas le nœud j (car jβ y est nul);

• est perpendiculaire à la facette hachurée (car 1,

=∑∈ ijFNr

rβ est constant sur cette facette);

• s'annule au nœud i (car jβ y est nul).

1.6. ELEMENTS FINIS DE FACETTE

De même que l’on a défini des éléments finis nodaux et d’arête, on peut définir des éléments finis de facette où les inconnues sont le flux d’une grandeur vectorielle au travers d’une facette (flux d’induction magnétique par exemple). La grandeur vectorielle inconnue s’exprime alors sous la forme :


∑ Φ=FN

ijkijkijkUzyx sU ),,(

)

• ),,( zyxU

) est la valeur estimée de la fonction vectorielle inconnue en x,y,z ;

• FN est le nombre de facettes ;

• ΦijkU est le flux du vecteur U au travers de la facette ijk ;

• ijks est la fonction de forme vectorielle associée à la facette ijk.

La fonction de forme ijks associée à une arête ijk est une fonction vectorielle possédant les propriétés suivantes :

• son flux au travers de la facette ijk (dans le sens positif choisi) est égal à 1 :

1. =∫ dssijk ijk ;

• son flux au travers de toute autre facette est nul : ijklmnlmn ijk ≠=∫ si 0.dss ;

• sa valeur n’est non nulle que sur les éléments finis dont ijk est une facette. Les éléments de facette assurent naturellement la continuité de la composante normale du champ vectoriel approximé. Elles conviennent donc particulièrement bien à l'approximation du champ d'induction magnétique B..

Figure 3.8

Les expressions des fonctions de forme de facette peuvent être dérivées des fonctions de forme d’arête. Pour les facettes à 3 nœuds, on a :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛Λ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= ∑∑ ∑

−+ ∈= ∈ 1,,1,,

3

12

iiFiiF Njj

i Njjif gradgrad βββs

et pour celles comportant 4 nœuds :


⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛Λ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= ∑∑ ∑

−+ ∈= ∈ 1,,1,,

4

1 iiFiiF Njj

i Njjif gradgrad βββs .

Dans les expressions précédentes :

• la première sommation s’effectue sur chacun des nœuds i de la facette f ; • la seconde sommation s’effectue sur les nœuds de la facette adjacente qui contient

le nœud i, mais pas le nœud i+1 (obtenu par permutation circulaire) ; • la troisième sommation s’effectue sur les nœuds de la facette adjacente qui

contient le nœud i, mais pas le nœud i-1 (obtenu par permutation circulaire). La figure 3.8 illustre la sélection des facettes adjacentes, tandis que la figure 3.9 montre l’allure du champ vectoriel engendré par la fonction de forme fs .

Figure 3.9

1.7. ELEMENTS FINIS DE VOLUME

Des éléments finis de volume peuvent également être définis. Dans ceux-ci, les inconnues sont des scalaires représentant l’intégrale volumique de l’inconnue sur l’élément fini considéré. La grandeur inconnue s’exprime alors par :

∑=EN

ijkl

vijklijklUvzyxU ),,(

)

• ),,( zyxU

) est la valeur estimée de la fonction inconnue en x,y,z ;

• EN est le nombre d’éléments finis ;

• vijklU est l’intégrale de l’inconnue U sur l’élément fini ijkl ;

• ijklv est la fonction de forme associée à l’élément fini ijkl.

La fonction de forme ijklv associée à un élément fini ijkl est possède les caractéristiques suivantes :

• elle est égale à l’inverse du volume de l’élément fini ijkl en tout point de celui-ci, si bien que son intégrale volumique sur cet élément fini est égale à 1 ;

• elle vaut 0 en tout partout ailleurs, si bien que son intégrale volumique sur tout autre élément fini est égale à 0.

Les éléments finis de volume conviennent bien à l'approximation de la charge électrique.


1.8. ESPACES FONCTIONNELS

On peut associer à chaque type d’élément fini un espace fonctionnel dans lequel il est défini. L’espace fonctionnel dans lequel sont définis les éléments finis nodaux est baptisé S0 (on parle également de 0-formes). Celui des éléments finis d’arêtes se dénomme S1 (1-formes), celui des éléments finis de facettes, S2 (2-formes) et celui des éléments finis de volume, S3 (3-formes). Ces espaces fonctionnels ne sont pas indépendants et on peut montrer que :

• le gradient d’une fonction scalaire définie dans l’espace S0 est une fonction vectorielle définie dans l’espace S1 ;

• le rotationnel d’une fonction vectorielle définie dans l’espace S1 est une fonction vectorielle définie dans l’espace S2 ;

• la divergence d’une fonction vectorielle définie dans l’espace S2 est une fonction scalaire définie dans l’espace S3.

La figure 3.10 illustre cette propriété remarquable.

S S S Sgrad rot div0 1 2 3⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯⎯

Figure 3.10

Exemples : • Si le potentiel scalaire électrique V est défini dans l’espace des éléments nodaux (S0), le

champ électrique E qui en dérive est situé dans l’espace S1 des éléments d’arêtes )( Vgrad−=Ε . Dans les mêmes conditions, l’induction magnétique se trouve dans

l’espace S2 des éléments de facette )/( EB rotdtd = (figure 3.11). • De manière analogue, si le potentiel scalaire magnétique Φ est défini dans l’espace S0 des

éléments finis nodaux, le champ magnétique H est défini dans l’espace S1 des éléments d’arêtes )( Φ−= gradH . Dans les mêmes conditions, la densité de courant i et le déplacement électrique D se trouvent dans l’espace S2 des éléments de facette

)/( HiD rotdtd =+ . Dans le même contexte, la densité de charge électrique se trouve dans l’espace S3 )( ρ=Ddiv (figure 3.11).

• Si le potentiel vecteur magnétique A est défini dans l’espace S1 des éléments finis d’arêtes, l’induction magnétique B )( AB rot= se trouve dans l’espace S2 des éléments finis de facettes (figure 3.11).

1.9. DIAGRAMME DE TONTI

La figure 3.11 montre les 2 suites d’espaces fonctionnels naturels dans lesquels évoluent les grandeurs électromagnétiques ainsi que les lois de comportement qui les relient. Les lois de comportement relient des grandeurs situées dans des espaces fonctionnels différents (par exemple H défini dans l’espace des éléments d’arêtes et B défini dans l’espace des éléments de facettes). On peut en déduire que dans un espace discrétisé, il est impossible de satisfaire en tout point à la fois les équations de Maxwell et les lois de comportement. Le diagramme de la figure 3.11 est appelé diagramme de Tonti.


1.10. AUTRES TYPES D’ELEMENTS FINIS

D'autre types d’éléments finis sont utilisés : • Les éléments finis polynomiaux d’ordre supérieur (second ordre, troisième ordre, ...) • Les éléments finis nodaux décrits précédemment assurent naturellement la continuité

des inconnues au passage d’un élément à un autre. On peut envisager également d’assurer la continuité de la dérivée de la fonction inconnue au passage d’un élément à un autre. On parle alors d’éléments finis d’Hermite.

Pour la théorie complète des éléments finis nodaux, on consultera la littérature spécialisée (voir bibliographie). 1.11. CONCLUSION

D’une manière générale, la ou les grandeurs inconnues peuvent s’exprimer sous la forme : ( ) ii UyxfyxU ),(, ∑=

)

où ( )yxfi , est la fonction de forme associée à l’inconnue iU . Rappelons que cette fonction de forme (ou son intégrale) vaut 1 sur l’élément auquel elle est associée (nœud, arête, facette, ...). Dans le cas des éléments finis nodaux, d’arête et de facette, la fonction de forme est non nulle sur les éléments finis qui touchent l’élément associé et elle est nulle partout ailleurs. Une fois la modélisation choisie, il s’agit de rechercher les valeurs des grandeurs inconnues de telle manière que l’ensemble de ces valeurs fournisse une solution acceptable au problème posé. Pour ce faire, plusieurs techniques peuvent être mises en œuvre.


EF ... EF ... nodaux V ρ volume ↓ ↑ grad div ↓ ↑ → ε → (jω) D arêtes (jω)A→ E → σ → j← ↑ facettes i← ↑ ↓ ↓ ↑ → rot rot ↓ ↑ facettes (jω)B ← µ ← H arêtes ↓ ↑ div grad ↓ ↑ volume 0 Φ nodaux

Figure 3.11

2. ELECTROSTATIQUE

2.1. METHODE VARIATIONNELLE DE RITZ-RAYLEIGH

2.1.1. Principe

Soit un domaine Ω de l’espace délimité par une frontière 21 Γ+Γ constituée d’une partie 1Γ où le potentiel scalaire VD est connu (condition de Dirichlet) et d’une partie 2Γ où est connue la composante normale du déplacement électrique Dn (condition de Neumann). Considérons une fonction scalaire V définie sur le volume Ω et satisfaisant la condition de Dirichlet 1sur Γ= DVV ainsi que la fonctionnelle )(VΨ définie par :

∫∫ΓΩ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Ψ

22

)(2

dsVDdvVEV nρε .

Parmi l’ensemble des fonctions V, celle qui minimise Ψ est celle qui satisfait aux équations de l’électrostatique.


Figure 3.12 : conditions aux limites

2.1.2. Démonstration Calculons :

))((.)(.)()( VgraddVdVVVVd

E∂∂

∂∂ Ψ

−Ψ

=Ψ ,

( ) ∫∫ΓΩ

+−−=Ψ2

)(.)( dsdVDdvdVdVgradVd nρεE .

Comme : EEE divdVdVgraddVdiv += .)( , on obtient : ( ) ∫∫

ΓΩ

+−+−=Ψ2

)()( dsdVDdvdVdivdVdVdivVd nρεε EE

( ) ∫∫∫ΓΓ+ΓΩ

+−−=Ψ221

.)( dsdVDdsdVdvdVdivVd nnEE ερε

Puisque, par définition, dV est nul sur 1Γ , on obtient : ( ) ( ) dsdVDdvdVdivVd n∫∫

ΓΩ

−−−=Ψ2

.)( nEE ερε .

Etant donné que dV est quelconque (sauf sur 1Γ ), )(VΨ sera extrémale si et seulement si :

• 0=− ρε Ediv en tout point de Ω et • 0. =− nDnEε sur 2Γ .

Par ailleurs, étant donné que Vgrad−=E , le rotationnel de E est identiquement nul. Le potentiel scalaire V obtenu satisfait donc aux équations de l’électrostatique et aux conditions limites imposées.


2.1.3. Interprétation physique Reprenons l’expression de la fonctionnelle, dans le cas où le volume Ω s’étend jusqu’à l’infini :

dvVEV ∫∞Ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Ψ ρε

2)(

2

.

On se souviendra des deux expressions de l’énergie électrostatique :

• la première, évaluée à partir du champ électrique :

dvE∫∞Ω 2

2ε

• et la seconde, calculée à partir de la valeur des charges et du potentiel auquel elles sont portées

dvV∫∞Ω 2

ρ .

On en déduit que, lorsque V est le potentiel électrostatique, la fonctionnelle )(VΨ représente au signe près l’énergie électrostatique contenue dans le système. 2.1.4. Construction du système d’équations à résoudre

Discrétisons l’espace Ω en éléments finis nodaux. Soit une fonction ( )yxV ,)

satisfaisant les conditions de Dirichlet sur la frontière 1Γ :

( ) ∑=

=N

iii VyxyxV

1

),(, β)

.

On peut écrire :

∑=

−=N

iii Vyxgrad

1

),(βE)

et

∫∫ΓΩ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Ψ

22

)(2

dsVDdvVEV n

)))

)ρε

Minimisons la fonctionnelle )(V

)Ψ par rapport à Vj :

0.)(

2

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Ψ∫∫

ΓΩ

dsVVDdv

VV

VVgradVgrad

VV

jn

jjj ∂∂

∂∂ρ

∂∂ε

∂∂

))))

)

,

( ) 0.)(

2

=+−=Ψ

∫∫ΓΩ

dsDdvgradVgradVV

jnjjj

ββρβε∂

∂ ))


0.)(

21=+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

Ψ∫∫ ∑ΓΩ =

dsDdvgradgradVV

Vjnj

N

ijii

j

ββρββε∂

∂)

.

Dès lors, on obtient le système d’équations suivant :

0.21

=+− ∫∫∑ ∫ΓΩ= Ω

dsDdvdvgradgradV jnj

N

ijii ββρββε ( N ...., ,1=j ).

Le système d’équations peut s’écrire sous forme matricielle : BVM = où :

• ∫Ω

= dvgradgradM jiij ββε . est le terme général d’une matrice M symétrique et creuse,

puisque ji gradgrad ββ . n’est non nul que si les nœuds i et j sont voisins ;

• V est le vecteur contentant les inconnues Vi ; • B est un vecteur dont le terme général vaut ∫∫

ΓΩ

−=2

dsDdvdvB jnjj ββρ .

La résolution du système d’équations fournit la solution du problème. 2.2. METHODE DES RESIDUS PONDERES

Discrétisons, comme précédemment le domaine à étudier en éléments finis et définissons la fonction ( )yxV ,

) qui satisfait aux conditions de Dirichlet sur la frontière 1Γ :

( ) ∑=

iii VyxyxV ),(, β

)

Dans ces conditions, le champ électrique a pour expression : ∑−=−=

iii VyxgradVgrad ),(β

))E

Dès lors le rotationnel de E

) sera identiquement nul. La méthode des résidus pondérés

consiste à déterminer les coefficients Vi qui vérifient « au mieux » l'expression de la divergence du vecteur déplacement dans le volume considéré ainsi que les conditions de Neumann sur la frontière 2Γ . Soit une fonction de pondération ),( yxη quelconque définie sur Ω et nulle sur la frontière

1Γ . Formons le résidu : ( ) ∫∫

ΓΩ

−+−=2

).( dsDdvdivR n ηεηρε nEE))


soit ( ) ∫∫

ΓΩ

++−−=2

).( dsVgradDdvVgraddivR n ηεηρε n))

Ce résidu est à annuler. En observant la relation précédente, on constate qu’elle fait apparaître les dérivées secondes du potentiel. Cette expression constitue ce qu'on appelle la formulation forte de la méthode des résidus. Si le résidu est nul pour n’importe quelle fonction de pondération ),( yxη , la solution obtenue est la solution exacte. Généralement, on préfère utiliser une formulation faible, obtenue en réalisant une intégration. Puisque VgradgradVgraddivVgraddiv

))).)( ηεεηεη −= ,

on obtient successivement : ( ) ∫∫

ΓΩ

++−+−=2

).(.)( dsVgradDdvVgradgradVgraddivR n ηεηρηεεη n)))

,

( ) ∫∫∫ΓΓ+ΓΩ

++−−=221

).(.. dsVgradDdsVgraddvVgradgradR n ηεηεηρηε nn)))

( ) ∫∫ΓΩ

+−=2

. dsDdvVgradgradR nηηρηε)

,

soit :

∫∫∑ ∫ΓΩ= Ω

+−=2

1. dsDdvdvgradgradVR n

N

iii ηηρβηε

L’annulation du résidu pour N fonctions de pondérations indépendantes fournit N équations à N inconnues. Au niveau des fonctions de pondération, plusieurs choix sont possibles :

• si les fonctions de pondération sont des fonctions de Dirac centrées sur chaque nœud inconnu, on parle de collocation ;

• si on choisit comme fonctions de pondération les fonction de forme, on obtient la méthode de Galerkin:

0.

2

=+−= ∫∫∫∑ΓΩΩ

dsDdvdvgradgradVR jnjiji

ij ββρββε .

On remarque que la méthode de Galerkin conduit aux même système d’équations que la méthode de Ritz-Rayleigh. 2.3. ASPECTS PARTICULIERS

2.3.1. Symétries Bien souvent, les structures à étudier possèdent des symétries qui permettent de simplifier le problème.


Symétrie plane Dans bien cas, les structures à étudier ont une dimension beaucoup plus importante que les autres et, en négligeant les effets de bord, on peut admettre que la structure s’étend jusqu’à l’infini dans cette direction privilégiée (baptisons-la z). C’est par exemple souvent le cas de jeux de barres dans des postes électriques de transformation. Dans ces conditions, le vecteur champ électrique se trouve dans le plan perpendiculaire à la direction z et les grandeurs inconnues ne dépendent pas de z. A ce moment, il suffit d’étudier ce qui se passe dans un des plans x,y et le problème devient bidimensionnel. Symétrie axiale Lorsque la géométrie présente une symétrie axiale (cas des isolateurs par exemple), on simplifie fortement le problème en en tenant compte. On choisit alors comme éléments finis des éléments toroïdaux dont la section droite est un élément fini 2D (triangle, quadrangle, ...).

Figure 3.13 : symétrie axiale

Les intégrales volumiques et de surface deviennent respectivement des intégrales de surface et de contour dans le plan r,z : ∫∫ ∫ ==

sv sdszrfrdzdrzrfrdvzyxf ),( 2 ),( 2 ),,( ππ

∫ ∫=s c

dlzrfrdszyxf ),( 2 ),,( π .

Plan de symétrie/ d’antisymétrie Dans certains cas, la géométrie possède des propriétés de symétrie par rapport à un plan, accompagnées d’une symétrie ou d’une antisymétrie électrique.

• Dans le cas d’une symétrie électrique, le champ est tangent au plan de symétrie et on peut se contenter d’étudier un côté du plan, en imposant sur le plan la condition limite de Neumann suivante :

0=nD .

• Dans le cas d’une antisymétrie électrique, le plan de symétrie est à potentiel nul. On y impose donc la condition de Dirichlet :


0=V . Symétries et antisymétries cycliques Dans les cas de symétries cycliques, il suffit d’étudier un quartier (voir figure 3.14)

Figure 3.14 : symétrie/antisymétrie cyclique

2.3.2. Points anguleux On sait que le champ électrique devient très intense au voisinage de points anguleux. Si on n'y prend garde, la méthode des éléments finis lissera ce phénomène, dont la cause n’est pas une valeur importante du potentiel, mais bien une variation rapide du celui-ci. Cette variation rapide du potentiel au voisinage d’un point anguleux n'est généralement pas rendue correctement par les fonctions de forme. Si on désire déterminer la valeur correcte du champ au voisinage d'un point anguleux, il faut d'abord représenter correctement ce point (s'il s'agit d'une pointe parfaite, il n'y a pas besoin de calcul, puisque le champ est infini !) et ensuite mailler son voisinage de manière suffisamment fine. 2.3.3. Conducteurs à potentiel flottant Aux frontières des conducteurs à potentiel fixe, on impose simplement des conditions de Dirichlet (valeur du potentiel fixé). Pour un conducteur à potentiel flottant (donc inconnu), il faut exprimer que tous les points du conducteur sont au même potentiel et que la charge totale du conducteur est connue (généralement nulle). Une première méthode pour résoudre ce problème consiste à considérer chaque point de la frontière du conducteur à potentiel flottant comme un point où s’applique une condition de Neumann de valeur Dn inconnue. S'il y a NF nœuds sur cette frontière, il y aura donc 2 inconnues en chaque nœud, soit en tout 2NF inconnues. L'annulation des résidus fournira NF équations auxquelles on ajoutera les relations suivantes : 21 VV = 31 VV = ...

FNVV =1

0 ==∫∫ dsDdsD nS

n

F


La dernière relation exprime que la charge totale du conducteur est nulle. Une autre méthode consiste à fusionner tous les nœuds situés à la surface de l’objet à potentiel flottant en un seul nœud inconnu et d’attribuer à ce nœud une fonction de forme spéciale. Dans ce cas, si

) V x, y( ) désigne la fonction inconnue et si FΩ est un objet à potentiel flottant,

on peut regrouper les nœuds portés au même potentiel VF :

( ) ∑∑∑ΩΩ−Ω

+==FF

Fiiii

ii VyxVyxVyxyxV ),(),( ),(, βββ)

soit

( ) FFii VyxVyxyxVF

),(),(, ββ += ∑Ω−Ω)

avec ∑

Ω∈

=Fi

iF ββ .

La fonction de forme vaut 1 en tout point de la surface du conducteur à potentiel flottant et est nulle en tous les autres nœuds. Dans le système d’équations, le terme correspondant au nœud "fusionné" sera :

0.2

* =+−== ∫∫∫∑∑ΓΩΩ

Ω

dsDdvdvgradgradVRR FnFiFi

ij

F

ββρββε .

Le dernier terme de la relation précédente représente la charge portée par le conducteur à potentiel flottant : ∫∫

ΩΓ

=F

dsDdsD nFn

2

β .

L’intérêt de cette seconde méthode est qu’elle ne rompt pas la symétrie du système matriciel à résoudre. 2.3.4. Espaces non confinés D'un manière générale, le champ électromagnétique s'étend jusqu'à l'infini. Dans beaucoup de situations, il est assez aisé de délimiter le domaine d'étude soit par une condition de symétrie ou par une frontière suffisamment éloignée de la zone d'intérêt pour qu'on puisse supposer que le potentiel électrique y est nul. Une autre méthode permettant de tenir compte de l'espace situé au-delà d'une certaine limite consiste à utiliser une transformation géométrique transformant cette partie (infinie) de l'espace en un espace de dimension finie qu'il est possible de mailler. Considérons une géométrie bidimensionnelle et la transformation géométrique suivante :

),(),(

2

1

YXfyYXfx

==


reliant les coordonnées x, y de l'espace réel infini ∞Ω aux coordonnées X, Y de l'espace fini (élément de volume *Ω ).

Dans les équations d’éléments finis, les termes correspondant à l’intégration sur l’espace infini deviennent :

),(

),(

),( .),(

*

*

*

*11

∫

∫

∫∫

Ω

Ω

−−

ΩΩ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∞∞

dv

Y

XYX

YXf

dvdtm

Y

XYX

YXf

dv

y

xyx

yxfdvgradgradyxf

j

j

ii

j

j

Tii

j

j

iiji

∂∂β∂∂β

∂∂β

∂∂β

∂∂β∂∂β

∂∂β

∂∂β

∂∂β∂

∂β

∂∂β

∂∂βββ

T

JJJ

avec

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Yf

Xf

Yf

Xf

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

22

11

J

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

−

+−

−

+−

−

+

=== −−

Yf

Xf

Yf

Xf

Xf

Xf

Yf

Xf

Yf

Xf

Yf

Xf

Yf

Xf

Yf

Xf

Yf

Xf

Yf

Xf

Yf

Xf

Yf

Xf

Yf

Xf

Yf

Yf

dtmT

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

1221

2

22

2

21

1221

2211

1221

2211

1221

2

22

2

21

11 JJJT

Si la transformation 21 fjf + est conforme, c’est-à-dire si :

Yf

Xf

Yf

Xf

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

12

21

−=

=,

la matrice T est la matrice unité.


Figure 3.15

La transformation de Kelvin :

22

2

2

22

2

1

),(

),(

YXYAYXfy

YXXAYXfx

+==

+==

est une transformation conforme qui associe la partie de l'espace située au-delà d'un cercle de rayon A à l'intérieur d'un cercle de rayon A. La transformation cylindrique :

Figure 3.16

( )

( )22222

22221

),(

),(

YXBABA

YXYYXfy

YXBABA

YXXYXfx

+−

−

+==

+−

−

+==

transforme l'espace situé au-delà d'un cercle de rayon A en une couronne circulaire située entre A et B.


Il est également possible de définir des couronnes rectangulaires ou elliptiques. 3. MAGNETOSTATIQUE

En magnétostatique, plusieurs modélisations sont possibles : • potentiel vecteur ; • potentiel scalaire (total et partiel) ; • éléments d’arête ; • éléments de facette.

3.1. MODELISATION NODALE UTILISANT LE POTENTIEL VECTEUR

3.1.1. Méthode variationnelle de Ritz-Rayleigh La fonctionnelle à minimiser a pour expression : ( ) ∫∫

ΓΩ

−−∫=Ψ2

0 .)()( dsdvdB tB A.HA.jBHA .

Si on discrétise l’espace Ω en éléments finis nodaux, on obtient : ( ) ii yxyx AA ),(, ∑= β

)

( ) iigradyx AB , Λ= ∑ β)

.

La fonction A

) est supposée satisfaire les conditions de Dirichlet sur la frontière 1Γ . Dès lors,

( ) ∫∫

ΓΩ

−−∫=Ψ2

. )()(

0dsdvdB t

ArotA.HA.jBHA))) )

.

Minimisons la fonctionnelle )(A

)Ψ par rapport à une composante (x par exemple) de Ai :

0.)(

2

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Ψ∫∫ΓΩ

dsdvrotrot xi

txi

xi

xi A

A.HAA.j

AAA

AA

∂∂

∂∂

∂∂ν

∂∂

))))

)

,

( )( ) 0 .)(

2

=−−Λ=Ψ

∫∫ΓΩ

dsdvgradrot xitxixixi

1.H1.j1AA

A βββν∂

∂ ))

( ) 0.)(

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−ΛΛ=

Ψ∫∫∑∫ΓΩΩ

xtiij

ijjxi

dsdvdvgradgrad 1HjAA

A ββββν∂

∂)

.

Sous forme vectorielle, on a donc :


( ) 02

=−−ΛΛ ∫∫∑∫ΓΩΩ

dsdvdvgradgrad itij

ijj ββββν HjA

On obtient par conséquent un système d’équations symétrique et creux (puisque

ij gradgrad ββ Λ n’est non nul que si les nœuds i et j sont voisins) comportant autant d’équations que d’inconnues. On peut montrer aisément que la solution qui minimise le fonctionnelle est celle qui satisfait l’équation d’Ampère jH =rot à l’intérieur du domaine étudié et les conditions de Neumann sur la frontière 2Γ . Le potentiel vecteur ainsi obtenu n’est pas unique. Si on désire assurer l’unicité du potentiel vecteur, il faut choisir une jauge, c’est-à-dire une relation scalaire entre les composantes de A

)

en chaque point. On remarque qu’ici aussi, la valeur de la fonctionnelle représente, au signe près, l'énergie magnétique du système, car :

( ) dvdvdBWVV

Bmag ∫∫ =∫= A.jBH

21.)(0 .

3.1.2. Méthode des résidus pondérés Subdivisons le domaine à étudier en éléments finis et soit

) A x ,y( ) = βi∑ (x, y) Ai

une fonction vectorielle qui satisfait aux conditions de Dirichlet sur la frontière 1Γ . Dès lors, puisque iigradrot AAB Λ== ∑ β

)),

la divergence de

) B sera identiquement nulle. Il restera à vérifier « au mieux » l’équation

d’Ampère ainsi que les conditions de Neumann sur la frontière concernée. Soit une fonction de pondération u),( yxη nulle sur 1Γ (u est un vecteur quelconque). Formons le résidu : ( ) ∫∫

ΓΩ

Λ−−−=2

.)(.)( dsrotdvrotrotR unAHtujA ηνην))

C’est ce résidu que l’on va minimiser. En observant l’expression précédente, on constate qu’elle fait apparaître les dérivées secondes du potentiel vecteur. Cette formule constitue ce qu'on appelle la formulation forte de la méthode. Généralement, on lui préfère une formulation faible, obtenue en réalisant une intégration. Puisque :


.)()(.

)(.)()(.

uAuAAu

uAuAAu

Λ+Λ=

+Λ=

ηνηννη

ηνηννη

gradrotrotdivrotrot

rotrotrotdivrotrot)))

)))

( ) 2∫∫

ΓΩ

−−Λ= dsdvgradrotR tηηην HjA)

( ) 0 2

=−−ΛΛ ∫∫∑∫ΓΩΩ

dsdvdvgradgrad tj

jj ηηηβν HjA .

En utilisant les fonctions de forme comme fonctions de pondération, on obtient la formulation de Galerkin : ( ) 0

2

=−−ΛΛ ∫∫∑∫ΓΩΩ

dsdvdvgradgrad itij

ijj ββββν HjA .

La remarque faite au paragraphe précédent concernant l’unicité du potentiel vecteur reste valable. 3.2. MODELISATION NODALE UTILISANT LE POTENTIEL SCALAIRE

Dans les zones sans courant, on a 0=Hrot et Φ−= gradH . Le potentiel magnétique est multiforme si le domaine considéré est multiplement connexe et traversé par un courant. Dans ce cas, il est nécessaire de réaliser des coupures de manière à rendre le domaine simplement connexe. Après avoir discrétisé le domaine d’étude, on écrira : ( ) ii yxyx Φ=Φ ∑ ),(, β

)

en respectant les conditions de Dirichlet. Dans ce cas, la loi d’Ampère est automatiquement vérifiée et restera à vérifier « au mieux » :

Ω= dans 0B)

div et

2sur . Γ= nBnB)

. La formulation forte s'écrit :

0 ) ( ) ( 2

=+Φ

−Φ ∫∫ΓΩ

dsBn

dvgraddiv ini β∂∂µµβ

))

.

En tenant compte de ( ) ( ) Φ−Φ=Φ

)))gradgradgraddivgraddiv iii .βµµβµβ

( ) ∫∫∫ΩΓΩ

Φ−Φ

=Φ dvgradgradn

dvgraddiv iii

))

).

2

βµ∂∂µβµβ ,


on obtient la formulation faible : 0.

2

=+Φ ∫∑∫ΓΩ

dsBdvgradgrad inj

jij βββµ .

3.3. MODELISATION NODALE UTILISANT LE POTENTIEL SCALAIRE PARTIEL

Dans les zones comportant du courant, on peut utiliser le potentiel scalaire partiel tel que rs HHH += avec

dvrs ∫Λ

= 4 3

0 rjHπ

µ

et rr gradΦ−=H . Dès lors, la formulation forte s'écrit :

0 . )) ( ( 2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−−Φ− ∫∫

ΓΩ

dsBn

dvgraddiv inr

srsi β∂

∂µµβ)

)nHH .

En tenant compte de

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

∫∫

∫∫Φ+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−=Φ−

Φ−−Φ−=Φ−

ΓΩ

Vri

Vsi

rsirsi

rsirsirsi

dvgradgraddvgrad

dsn

dvgraddiv

gradgradgraddivgraddiv

)

))

)))

..

.

.

2

βµβµ

∂∂µβµβ

βµµβµβ

H

nHH

HHH

on obtient la formulation faible : 0 . .

2, =+−Φ ∫∫∑∫

ΓΩΩ

dsBdvgraddvgradgrad inisj

jrij ββµββµ H .

3.4. ELEMENTS D’ARETE - FORMULATION EN A

Les inconnues (circulation du potentiel vecteur le long des arêtes) sont associées aux arêtes du maillage. On peut montrer qu'imposer (en pratique, annuler) les valeurs de la circulation de A le long des branches d’un arbre topologique construit sur le maillage constitue une jauge valable (un arbre topologique est une ligne constituée d’arêtes qui passe par tous les nœuds du problème sans jamais se refermer ; l’ensemble des autres arêtes constituent le co-arbre). On peut vérifier que le nombre de branches du co-arbre est égal au nombre de facettes. La définition complète du flux d’induction requiert une inconnue par facette, donc un nombre d’inconnues égal au


nombre de branches du co-arbre. Convenons donc d'annuler la circulation de A le long des branches de l’arbre topologique. Si Nc désigne le nombre de branches du co-arbre, on peut donc écrire :

∑=

=cN

ij

dlijij A

1sA

)

et

∑=

=cN

ijij

dlij rotA

1sB

).

Figure 3.17 : arbres et co-arbres topologiques

Il s’ensuit que B est indivergentiel et il reste à vérifier « au mieux » la loi de Maxwell-Ampère, ce qui fournit la formulation forte : ( )( ) 0.)(.

2

=−Λ+− ∫∫ΓΩ

dsdvrotrot ijtij sHnHsiA))

ν .

En tenant compte de ijijij rotrotrotdivrotrot sAsAsA . ) ( . ) (

)))ννν +Λ= ,

on obtient la formulation faible :

0...21

=−− ∫∫∑ ∫ΓΩ= Ω

dsdvdvrotrotA ijtij

N

klijij

dlij

c

sHsissν pour cNij ,...,1= .


3.5. ASPECTS PARTICULIERS

Symétries. On peut simplifier l’étude de problèmes comportant des symétries en utilisant des conditions limites adéquates : Sur un axe ou un plan de symétrie électrique, le champ tangentiel est nul. Dès lors, sur l’élément de symétrie : 0=tH ; constante=Φ . L’induction normale à un axe ou un plan de symétrie est nulle ; dès lors, sur l’élément de symétrie :

0=Φ

dnd ; constante=tA .

Espaces non confinés Les espaces non confinés peuvent être traitées de manière analogue à ce qui a été présenté en électrostatique. Couplage entre méthodes Dans un même problème, on peut traiter des domaines différents par des méthodes différentes, pour autant que l’on puisse exprimer les conditions de passage d’un domaine à l’autre. Pour ce faire, toutes les frontières séparant des domaines utilisant des méthodes différentes sont traitées en y plaçant en chaque nœud (arête ou facette) deux inconnues correspondant aux conditions aux limites classiques (Dirichlet, Neumann). On exprime ensuite les conditions de passage d’un domaine à l’autre :

• la continuité de la composante tangentielle de H ; • la continuité de la composante normale de B.

Exemple : modélisations par potentiel scalaire partiel et potentiel scalaire total A la limite entre les deux modèles, on écrit en chaque nœud : 21 nnn BBB =⇒ et, le long des arête constituant la frontière :

rjri

j

i sjit Φ−Φ+=Φ−Φ⇒ ∫ dlHH . .


4. MAGNETODYNAMIQUE

4.1. METHODE NODALE A-V

Afin de ne pas alourdir inutilement la présentation de ce paragraphe, nous supposerons que le problème comporte :

• Des courants imposés i • Des courants induits j • Des conditions limites de Dirichlet (A connu sur 1Γ ) et de Neuman (Ht connu sur 2Γ )

Dans ces conditions, on a AB rot= et

dtdVgrad AE −−= .

Dans l’expression précédente, V représente la tension appliquée au système. Dans le cas de courants induits, celle-ci est nulle et on a :

dtdAE −=

Nous adopterons également la jauge de Coulomb : 0=Adiv . Choisissons comme inconnues le potentiel vecteur A aux nœuds du maillage et construisons les fonctions de forme vérifiant les conditions de Dirichlet : ii AA ∑= β

).

Donc iigradrot AAB Λ== ∑ β

))

dt

ddtd i

iAAE ∑−=−= β

))

Grâce au choix des potentiels, on aura automatiquement 0 =B

)div

et

t

rot∂∂BE

))

−= .


Il reste à vérifier "au mieux" : jiH

))+= rot

et 0 =D

)div

(notons que, dans le cas linéaire, la dernière relation est automatiquement vérifiée dans les conducteurs si la précédente l’est, car

0)( ====+ DEjji))))

divdivdivdivεσσ )

En formulation forte, on aura donc 0)() (

2

=−Λ+−−= ∫∫ΓΩ

dsdvrot jtjj ββσ HnHEiHR)))

( ) 0)( 2

=−Λ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∫∫

ΓΩ

dsdvdtdrotrot jtjj ββσν HnHAiAR

))

).

Pour obtenir la formulation faible, on projette le résidu sur un vecteur u constant quelconque :

( ) 0.)( ..2

=−Λ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∫∫

ΓΩ

dsdvdtdrotrot jtjj ββσν uHnHuAiARu

))

)

et on utilise l’identité suivante : .)()(. uAuAAu Λ+Λ= jjj gradrotrotdivrotrot βνβννβ

)))

( ) ( )

0.)( .

. . )(.

2

=−Λ++

−Λ+Λ=

∫∫

∫∫∫

ΓΩ

ΩΩΩ

dsdvdtd

dvdvgradrotdvrotdiv

jtj

jjjj

ββσ

ββνβν

uHnHuA

uiuAuARu

))

))

( )

0.)( . .

. .)(.

2

2

=−Λ++−

Λ+Λ=

∫∫∫

∫∫

ΓΩΩ

ΩΓ

dsdvdtddv

dvgradrotds

jtjj

jjj

ββσβ

βνβ

uHnHuAui

uAnuHRu

))

))

soit

( ) 0. . . ..2

=−+−Λ= ∫∫∫∫ΓΩΩΩ

dsdvdtddvdvgradrot jtjjjj ββσββν uHuAuiuARu

))


car unHuHnnuH ... Λ−=Λ=Λ jjj βββ .

On aura également :

( ) 0. . . ..2

=−+−Λ= ∫∫∫∫ΓΩΩΩ

dsdvdtddvdvgradrot jtjjjj ββσββν uHuAuiuARu

))

ou

( ) 0 2

=−+−Λ= ∫∫∫∫ΓΩΩΩ

dsdvdtddvdvgradrot jtjjjj ββσββν HAiAR

))

Finalement, on obtient :

( )

0

21

1

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΛΛ−=

∫∑ ∫

∫∑ ∫

Γ= Ω

Ω= Ω

dsdt

ddv

dvdvgradgrad

jti

N

iji

j

N

ijiij

βββσ

βββν

HA

iAR

Exercice : poursuivre le développement et l'appliquer au cas bidimensionnel ( zz 1i1A zz iA == ; ) 4.2. METHODE NODALE T-Ω

On choisit comme inconnues le potentiel scalaire magnétique (partiel ou total selon le cas) et le potentiel vecteur électrique aux nœuds du maillage. S'il y a des courants imposés dans le domaine, on définit Hs par la loi de Biot et Savart (d’autres solutions sont possibles)

Hs =1

4πi Λ r

r3∫

alors

Ω−+=⇒=−−

=⇒=⇒=−+=+=

0)( 0 )(

gradrotrotdivrot

rotrot

ss

s

s

THHTHHTjjjHH

HjijH

Dès lors, on aura automatiquement :

rot H = j + idiv D = div εE = div εγ j = 0

si εγ est constant. Soit


) T = βi∑ Ti

) Ω = βi∑ Ωi

On aura

) j = grad βi∑ Λ Ti

) E = γ grad βi∑ Λ Ti

) B = µ Hs + βi∑ Ti − Ωi grad βi∑( )

Il reste à vérifier au mieux

rot

) E = −

∂) B

∂t

( div ) B = 0 est identiquement vérifiée si la précédente l’est)

En formulation forte, on aura donc

R j = rot

) E +

∂) B

∂t⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

V∫ β j dv − (E t −

) E Λ n) βj ds

Γ2∫ = 0

et en formulation faible

R j =

) E Λ gradβ j +

∂) B

∂tβj

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ dv

V∫ − E t β j ds

Γ2∫ = 0

Notons qu'ici aussi, il convient de choisir une jauge pour T 4.3. METHODE DES ELEMENTS D'ARETE - FORMULATION EN H.

4.3.1. Zones sans courants Les zones sans courants sont traités par potentiel scalaire comme en magnétostatique. 4.3.2. Zones à courants induits (et forcés) Choisissons comme inconnues la circulation de H le long des arêtes. On pourra donc écrire (Nb désigne le nombre de branches)

) H = pi

Nb∑ Hli


Calculons E à partir de l'équation de Maxwell-Ampère

) E = γ rot

) H − γ i = γ Hli rot pi

Nb∑ − γ i

Dans ces conditions, pour autant que div i soit nul et que ε et γ soient constants, on aura div

) D = 0

Il reste à vérifier "au mieux" l'équation de Faraday qui implique elle-même que div B soit nul. La formulation forte s'écrira donc

rot ) E +

∂) B

∂t⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

V∫ . p j dv − (Et −

) E Λ n) . p j ds

Γ2∫ = 0

et la formulation faible

) E . rot p j +

∂) B

∂t . p j

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ dv

V∫ − E t . p j ds

Γ 2∫ = 0

γ Hli rot piNb∑ . rot p j + µ ∂Hli

∂t pi

Nb∑ . pj − γ i . rot p j

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ dv

V∫ −

− Et . pj dsΓ2∫ = 0

4.4. METHODE DES ELEMENTS D'ARETE - FORMULATION EN A*.

Choisissons comme inconnues la circulation du potentiel vecteur modifié A* le long des arêtes. Dans ces conditions, la somme algébrique des circulations le long des arêtes d’une facette fournit le flux d’induction magnétique qui traverse cette facette. 4.4.1. Zones sans courants (ou à courants imposés) Nous avons vu que dans les zones ne comportant pas de courants soumis à la loi d’Ohm, une jauge doit être définie pour assurer l’unicité du potentiel vecteur. On peut montrer que le nombre de composantes de A* que l’on peut fixer arbitrairement sont associées aux arêtes d’un arbre topologique. On peut donc annuler arbitrairement les inconnues associées aux branches d’un arbre topologique convenablement choisi. On pourra donc écrire (Nc désigne le nombre de branches du co-arbre)

) A * = pi

Nc∑ Ali

*


On a donc

) B = Ali

* rot piNc∑

B est donc indivergentiel et il reste à vérifier « au mieux » la loi de Maxwell-Ampère:

(rot(ν rot ) A * ) − i

V∫ ) . p j dv + (

) H Λ n − Ht ) . p j ds

Γ2∫ = 0

et en formulation faible en tenant compte de

rot(ν rot

) A * ) . p j = div(ν rot

) A * Λ p j) + ν rot

) A * . rot p j

(ν Ali* rot pi . rot

Nc∑ p j − i

V∫ . pj ) dv − Ht . p j ds

Γ2∫ = 0

4.4.2. Zones à courants induits Dans ces zones, il n’y a pas besoin de jauge. Les inconnues sont donc en nombre égal aux arêtes. On pourra donc écrire (Nb désigne le nombre de branches)

) A * = pi

Nb∑ Ali

*

On a donc

) B = Ali

* rot piNb∑

) E = −

∂) A *

∂t= − pi

Nb∑

∂Ali*

∂t

B est donc indivergentiel et la loi de Faraday est vérifiée. Il reste à vérifier « au mieux » la loi de Maxwell-Ampère. En formulation forte, on aura donc

(rot )

H − i − σ V∫

) E ) . p j dv + (

) H Λ n − Ht ) . p j ds

Γ2∫ = 0

et en formulation faible


() H . rot p j

V∫ − i . p j − σ

) E . p j ) dv − Ht . pj ds

Γ 2∫ = 0

(ν Ali* rot pi

Nb∑ . rot p j

V∫ − i . pj + σ

∂Ali*

∂t pi

Nb∑ . pj ) dv −

− Ht . pj dsΓ2∫ = 0

5. RESUME DES METHODES (MAGNETOSTATIQUE ET MAGNETODYNAMIQUE)

Méthode équations vérifiées identiquement

équations vérifiées "au mieux"

A divB = 0 rotH = j Φ,Φ r rotH = j divB = 0 A,V divB = 0

rotE = −∂B∂t

rotH = i + j divD = 0

T,Ω rotH = i + j divD = 0

divB = 0

rotE = −∂B∂t

formulation en H rotH = i + j divD = 0

divB = 0

rotE = −∂B∂t

A* divB = 0

rotE = −∂B∂t

rotH = i + j divD = 0

Figure 3.18

6. ENCADREMENT DE LA SOLUTION PAR DES METHODES DUALES DANS LES CAS STATIQUES

Considérons un problème fermé de magnétostatique ( 0nB =. sur la frontière extérieure): div B = 0 rot H = i Supposons que par une méthode, on puisse obtenir une estimation de H*(x,y) de H qui respecte rot H* = i (potentiel scalaire partiel par exemple). Soit B*(x,y) obtenu par une autre méthode qui respecte div B* = 0 (potentiel vecteur par exemple). Définissons l’erreur d'énergie par :


0...),( 21**

00

****

≥−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=∆ ∫ ∫∫ cc

v

BH

r EEdvddHBE HBBBHH νµ (voir figure 3.19).

avec ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

v

H

c dvdHHE*

01 µ

et ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

v

B

c dvHBdBBE **

02

*

ν

Figure 3.19

1cE et 2cE constituent deux approximations de la coénergie. Leurs valeurs sont égales lorsque en tout point, la solution ),( ** HB se trouve sur la courbe de magnétisation (solution exacte). Puisque la solution H* satisfait l'équation d'Ampère, on peut écrire H* = Hs − grad φ r

* . et

( ) ∫∫∫∫∫∫ =−+=−=Γ v

srv

rv

sv

rsv

dvdvdvdivdvdvgraddvHB HBnBBHBHB ********** .φφφ .

L’erreur en énergie peut par conséquent se mettre sous la forme

0...),(**

0

*

0

** ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆ ∫ ∫∫ ∫

v

B

sv

H

r dvddvdHBE BBHBHH νµ

soit 0)()(),( *2

*1

** ≥−=∆ BEHEHBE ccr L’erreur d’énergie est toujours positive (voir figure 3.19) à cause de la courbure négative de la courbe de saturation. La solution exacte correspond donc au minimum (zéro) de la fonction ∆Er (B

*,H* ). Etant donné que cette fonction est la somme de deux fonctions de variables indépendantes ( H* et B* ), le minimum sera le minimum de chacune de ces deux fonctions. La solution exacte sera donc le minimum de la fonction EC2

B*

Be

EC1

H*

He


Figure 3.20

∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

v

H

c dvdHHHE*

0

*1 )( µ

et le maximum de la fonction

∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

v

B

sc dvdBBHBBE*

0

**2 )( ν .

Dès lors, on peut écrire : Ec (H* ) ≥ Ec(H e) = Ec(Be ) ≥ Ec(B* ) .

ANNEXE AU CHAPITRE 3

NOTE

Les lignes qui suivent sont extraites de « Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systèmes tridimensionnels non linéaires » P. DULAR, Thèse de doctorat, ELEMENTS DE REFERENCE TRIDIMENSIONNELS

Nous définissons ci-après les éléments de référence qui sont associés aux trois types d’éléments géométriques considérés, c’est-à-dire aux tétraèdres, aux hexaèdres et aux prismes à base triangulaire. Des éléments finis nodaux, d’arête, de facette et de volume, sont définis sur ces éléments géométriques.

TETRAEDRE DE REFERENCE DE TYPE I

Le tétraèdre de référence de type I est un élément à 4 noeuds dont les coordonnées sont données sur la figure 1. Les entités géométriques associées, ainsi que leur numérotation, sont mises en évidence sur la figure 2. Les fonctions de base nodales et d’arête de cet élément sont données dans les tableaux 1 et 2. Le tableau 3 reprend la numérotation des facettes. Les matrices d’incidence sont données par (2), (3) et (4).

n1

n 2

n 3

n4 (0, 0, 1)

(0, 1, 0)

(1, 0, 0)

(0, 0, 0)

u

v

w

Fig. 1. Tétraèdre de référence de type I.

CAO des systèmes électriques Chapitre 3 : Annexe 66

n1

n 2

n 3

n4

a 1

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

f 1

f 2

f 4f 3

Entité Noeud (ni) Arête (ai) Facette (fi) Volume Nombre 4 6 4 1

Fig. 2. Entités géométriques définies sur un tétraèdre de type I.

Noeud i ∈ N

Fonction de base nodale pi (u, v, w) = si (u, v, w)

1 1 – u – v – w 2 u 3 v 4 w

Tableau 1. Fonctions de base nodales du tétraèdre de type I.

Arête a = i, j sa(u) , u = (u, v, w) a ∈ A i ∈ N j ∈ N sa,u sa,v sa,w

1 1 2 1 – v –w u u 2 1 3 v 1 – u –w v 3 1 4 w w 1 – u –v 4 2 3 – v u 0 5 2 4 – w 0 u 6 3 4 0 – w v

Tableau 2. Numérotation des arêtes du tétraèdre de type I et fonctions de base d’arête associées (sa).

Facette f = i, j, k f ∈ F i ∈ N j ∈ N k ∈ N

1 1 2 4 2 1 3 2 3 1 4 3 4 2 3 4

Tableau 3. Numérotation des facettes du tétraèdre de type I.


Matrice d’incidence arête - noeud Matrice d’incidence facette - arête

GAN =

a nO 1 2 3 4123456

1 11 11 1

1 11 1

1 1

−−−

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

. .. .. .

. .

. .

. .

, RFA =

f aO 1 2 3 4 5 61234

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

. . .. . .

. . .

. . .

−− −

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

(2-3)

Matrice d’incidence volume - facette

DVF = ( )

v fO 1 2 3 41 1 1 1 1

(4)

HEXAEDRE DE REFERENCE DE TYPE I

L’hexaèdre de référence de type I est un élément à 8 noeuds dont les coordonnées sont données sur la figure 3. Les entités géométriques associées, ainsi que leur numérotation, sont mises en évidence sur la figure 4. Les fonctions de base nodales (dites trilinéaires) et d’arête de cet élément sont données dans les tableaux 4 et 5. Le tableau 6 reprend la numérotation des facettes. Les matrices d’incidence sont données par (5), (6) et (7).

n 1

n2 n3 u

v

wn 4(–1, –1, –1)

( 1, –1, –1) ( 1, 1, –1)

(–1, 1, –1)

n 5

n6 n7

n 8

( 1, –1, 1) ( 1, 1, 1)

(–1, 1, 1)(–1, –1, 1)

Fig. 3. Hexaèdre de référence de type I.


a 1

a 2

a 3

a 4

a 5

f 1

f 2

f 3

f 4

n1

n 2 n3

n 4

n5

n 6 n7

n 8

a 6

a 7

a 8

a 9

a 10

a 11a 12

f 5

f 6


Fig. 4. Entités géométriques définies sur un hexaèdre de type I.

Noeud i∈N


1 (1 – u) (1 – v) (1 – w) / 8 2 (1 + u) (1 – v) (1 – w) / 8 3 (1 + u) (1 + v) (1 – w) / 8 4 (1 – u) (1 + v) (1 – w) / 8 5 (1 – u) (1 – v) (1 + w) / 8 6 (1 + u) (1 – v) (1 + w) / 8 7 (1 + u) (1 + v) (1 + w) / 8 8 (1 – u) (1 + v) (1 + w) / 8

Tableau 4. Fonctions de base nodales de l’hexaèdre de type I.

Arête a = i, j sa(u) , u = (u, v, w) a∈A i∈N j∈N sa,u sa,v sa,w

1 1 2 (1 – v) (1 – w) / 8 0 0 2 1 4 0 (1 – u) (1 – w) / 8 0 3 1 5 0 0 (1 – u) (1 – v) / 8 4 2 3 0 (1 + u) (1 – w) / 8 0 5 2 6 0 0 (1 + u) (1 – v) / 8 6 3 4 –(1 + v) (1 – w) / 8 0 0 7 3 7 0 0 (1 + u) (1 + v) / 8 8 4 8 0 0 (1 – u) (1 + v) / 8 9 5 6 (1 – v) (1 + w) / 8 0 0

10 5 8 0 (1 – u) (1 + w) / 8 0 11 6 7 0 (1 + u) (1 + w) / 8 0 12 7 8 –(1 + v) (1 + w) / 8 0 0

Tableau 5. Numérotation des arêtes de l’hexaèdre de type I et fonctions de base d’arête associées (sa).


Facette f = i, j, k, l

f ∈ F i ∈ N j ∈ N k ∈ N l ∈ N 1 1 2 6 5 2 1 4 3 2 3 1 5 8 4 4 2 3 7 6 5 3 4 8 7 6 5 6 7 8

Tableau 6. Numérotation des facettes de l’hexaèdre de type I.

Matrice d’incidence arête - noeud

GAN

a n

=

−−−

−−

−−

−−−

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

O 1 2 3 4 5 6 7 8123456789

101112

1 11 11 1

1 11 1

1 11 1

1 11 11 1

1 11 1

. . . . . .. . . . . .. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

(5)

Matrice d’incidence facette - arête

RFA =

f aO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12123456

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 11 1 1 1

. . . . . . . .. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

− −− − −

− −− −

− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(6)


DVF = ( )

v fO 1 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1 1

(7)

PRISME A BASE TRIANGULAIRE DE REFERENCE DE TYPE I

Le prisme à base triangulaire de référence de type I est un élément à 6 noeuds dont les coordonnées sont données sur la figure 5. Les entités géométriques associées, ainsi que leur numérotation, sont mises en évidence sur la figure 6. Les fonctions de base nodales et d’arête


de cet élément sont données dans les tableaux 7 et 8. Le tableau 9 reprend la numérotation des facettes. Les matrices d’incidence sont données par (8), (9) et (10).

n1

n 2

n 3(0, 1, –1)

(1, 0, –1)

(0, 0, –1)

u

v

w

n4

n 5

n 6(0, 1, 1)

(1, 0, 1)

(0, 0, 1)

Fig. 5. Prisme à base triangulaire de référence de type I.

a 1

a 2

a 3

a 4

a 5

f 1

f 2

f 3

f 4

n1

n2

n3

n4

n5

n 6

f 5

a 6

a 7

a 8

a 9


Fig. 6. Entités géométriques définies sur un prisme de type I.

Noeud i ∈ N


1 (1 – u – v) (1 – w) / 2 2 u (1 – w) / 2 3 v (1 – w) / 2 4 (1 – u – v) (1 + w) / 2 5 u (1 + w) / 2 6 v (1 + w) / 2

Tableau 7. Fonctions de base nodales du prisme de type I.


Arête a = i, j sa(u) , u = (u, v, w) a ∈ A i ∈ N j ∈ N sa,u sa,v sa,w

1 1 2 (1 – v) (1 – w) / 2 u (1 – w) / 2 0 2 1 3 v (1 – w) / 2 (1 – u) (1 – w) / 2 0 3 1 4 0 0 (1 – u – v) / 2 4 2 3 – v (1 – w) / 2 u (1 – w) / 2 0 5 2 5 0 0 u / 2 6 3 6 0 0 v / 2 7 4 5 (1 – v) (1 + w) / 2 u (1 + w) / 2 0 8 4 6 v (1 + w) / 2 (1 – u) (1 + w) / 2 0 9 5 6 – v (1 + w) / 2 u (1 + w) / 2 0

Tableau 8. Numérotation des arêtes du prisme de type I et fonctions de base d’arête associées (sa).

Facette f = i, j, k (, l) f ∈ F i ∈ N j ∈ N k ∈ N l ∈ N

1 1 2 5 4 2 1 3 2 – 3 1 4 6 3 4 2 3 6 5 5 4 5 6 –

Tableau 9. Numérotation des facettes du prisme de type I.

Matrice d’incidence arête - noeud

GAN

a n

=

−−−

−−

−−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

O 1 2 3 4 5 6123456789

1 11 11 1

1 11 1

1 11 11 1

1 1

. . . .. . . .. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

(8)

Matrice d’incidence facette - arête

RFA =

f aO 1 2 3 4 5 6 7 8 912345

1 1 1 11 1 1

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1

. . . . .. . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

− −− −

− −− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(9)


DVF = ( )

v fO 1 2 3 4 51 1 1 1 1 1

(10)


FONCTIONS DE BASE D’ARETE DANS LES ELEMENTS REELS

L’expression générale des fonctions de base d’arête pour les éléments de type I est

s x x xx xa j rr N i rr Nij F ji F ijp grad p p grad p( ) ( ) ( )

, ,= −

∈ ∈∑ ∑ ,

pour une arête aij=i, j dont les noeuds origine et extrémité sont respectivement i et j ; l’indice associé à l’opérateur grad indique le système de coordonnées utilisé. Les fonctions de base étant en général exprimées dans des éléments de référence, des transformations de coordonnées sont nécessaires pour les exprimer dans les éléments réels. Plus précisément, la présence de l’opérateur gradient dans l’expression de sa va nécessiter, dans ce but, l’application de la matrice jacobienne de transformation. En effet, nous avons

grad p pu v wu v wu v w

p

p grad p

r

x

y

z

r

x x x

y y y

z z z

u

v

w

r

u

v

w

r r

x

u

x x u

J u J u

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=− −

∂∂∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂∂∂

∂∂∂

1 1

et donc,

s x J u J u

J u u

J s u

u u

u u

a j rr N i rr N

j rr N i rr N

a

ij F ji F ij

F ji F ij

ij

p grad p p grad p

p grad p p grad p

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

, ,

, ,

= −

= −

=

−∈

−∈

−∈ ∈

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

∑ ∑

∑ ∑

1 1

1

1

Il suffit donc de prémultiplier la fonction de base d’arête exprimée dans l’élément de référence par l’inverse de la matrice jacobienne de transformation, pour obtenir la fonction de base exprimée dans l’élément réel.

CHAPITRE 4 METHODES NUMERIQUES

1. INTEGRATION NUMERIQUE

L’intégration analytique n’est réalisable que dans des cas simples. Même dans ces conditions, l’intégration numérique est bien souvent préférée pour des raisons de précision. En éléments finis, les fonctions à intégrer ne présentent normalement pas de singularité sur l’élément, ce qui fait que leur intégration numérique ne pose généralement aucun problème. La méthode d’intégration numérique la plus utilisée est la méthode de Gauss. 1.1. INTEGRATION A UNE DIMENSION.

1.1.1. Méthode de Gauss.

Les n coefficients wi et les n abscisses ξi sont déterminés de manière à intégrer exactement tout polynôme d’ordre 12 −≤ nm .

y(ξ) d−1

1

∫ ξ = wi y(ξi )i =1

n

∑

CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 74

Méthode d’intégration de GAUSS n ξi wi Degré du

polynôme 1 0 2 1 2 ±

13

1 3

3 0

±35

89

59

5

4 ±

3 − 2 6 / 57

±3 + 2 6 / 5

7

12

+1

6 6 / 5

12

−1

6 6 / 5

7

1.1.2. Méthode de Newton-Cotes Les abscisses sont régulièrement espacées. A ce moment, avec n coefficients, on intègre exactement un polynôme d’ordre n (si n impair) ou n-1 (n pair).

Méthode d’intégration de NEWTON-COTES n ξi wi Degré du

polynôme 2 ±1 1 1 3 0

±1 4 / 3 1 / 3

3

4 ±1 / 3 ±1

3 / 4 1 / 4

3

5 0 ±1 / 2 ±1

12 / 45 32 / 45 7 / 45

5

1.1.3. Méthode de Patterson La méthode de Patterson, basée sur la méthode de Gauss, a été conçue pour être utilisée dans le cadre de méthodes d'intégrations adaptatives. Connaissant une évaluation de l'intégrale basée sur n points on ajoute p points supplémentaires. Disposant ainsi de n+2p degrés de liberté (n+p coefficients de pondération et p abscisses), on peut intégrer exactement tous les polynômes de degré 12 −+≤ npm . Si, par exemple, on part d'une formule de Gauss à 3 points, on obtient le schéma représenté sur le tableau suivant :


Méthode d’intégration de PATTERSON n p degré max m base (Gauss) 3 5 +4 3 4 10 +8 7 8 22 +16 15 16 46 1.2. INTEGRATION A 2 ET 3 DIMENSIONS

1.2.1. Utilisation de formules produit Cette méthode consiste à utiliser dans chacune des directions une intégrations numérique à une dimension. Ces formules fournissent souvent des points d’intégration mal répartis. 1.2.2. Formules directes Voir par exemple l’ouvrage de Datt et Touzot cité en référence. 2. INTEGRATION TEMPORELLE

2.1. METHODES EN "THETA"

Dans les problèmes d’évolution temporelle, le système d’équations à résoudre peut se mettre sous la forme )()()( ttt by My S =+& ou encore :

( )ttt ,)( )y(fy =& .

Ce système peut être non linéaire, car les coefficients des matrices peuvent dépendre des inconnues. Il s’agit de trouver une solution )(tyy = satisfaisant le système d’équations et la condition initiale 0)0( yy = .

Linéarisons la fonction )(ty entre les points nt et 1+nt . A un instant quelconque θt compris dans l’intervalle [ ]1, +nn tt tel que : nn ttt )1( 1 θθθ −+= + ( [ ]1, +∈ nn ttθ ), la fonction peut être approchée par la relation suivante : nnt yy)y( )1( 1 θθθ −+= + . En discrétisant l’équation différentielle ( )ttt ,)y(f)(y =& dans l’intervalle considéré, on peut écrire :


( ) ( ))(),(, 111

nnnnnnnn ttttt

tt −+−+==

∆−

≈ +++ θθθθ yyyf)y(fyy)(y&

Si on choisit : • θ=0, on obtient la méthode d’Euler explicite :

yn+1 − yn

∆t= f yn ,tn( )

• θ=0,5, on parle de méthode de Crank-Nicholson :

yn+1 − yn

∆t= f

yn+1 + yn

2,tn+1 + t n

2⎛ ⎝

⎞ ⎠

• θ=2/3, la méthode est dite de Galerkin :

yn+1 − yn

∆t= f yn +

23

yn +1 − yn( ), tn +23

tn +1 − tn( )⎛ ⎝

⎞ ⎠

• θ=1, on parle de méthode d’Euler implicite :

( )y yf yn n

n ntt+

+ +

−=1

1 1∆,

Notons que la méthode est dite implicite à partir du moment où 0≠θ Stabilité de la méthode Considérons l’équation différentielle suivante : &y y+ =α2 0 . Sa solution est

y Ce t= −α2


α4321

θ

θ

θ

θ Figure 4.1

Appliquons le schéma en « théta » à cette équation :

( )( )y yn nn nt

y y++

−= − − +1 2

11∆

α θ θ

soit ( ) ( ) nnn F

tt yyy θ

θαθα

=∆+

∆−−=+ 2

2

1 111 .

La figure 4.1 montre l’évolution de la fonction ( )F θ en fonction de α 2 ∆t . Pour θ ≥ 0 5. , l’algorithme est inconditionnellement stable. Sinon, la stabilité n’est assurée que pour des pas de calcul suffisamment faibles. 2.2. METHODES DE RUNGE-KUTTA

Soit à résoudre : ( )ttt ,)y(f)(y =& . Supposons connu ny en nt . Nous recherchons la valeur 1+ny en ttt nn ∆+=+1 . En développant la solution en série de Taylor au voisinage de ny , on obtient :

...!3!2 3

33

2

22

1 +∆

+∆

+∆+=+ tt

tt

tt nnn

nn ∂∂

∂∂

∂∂ yyyyy

ou

( )1

11 !

+

=+ ∆+

∆+= ∑ k

k

iin

ii

nn tti

t Oyyy∂

∂ .


1 2 ... s 1 α1 β11 β12 ... β1s

2 α2 β21 β22 ... β2s

... ... ... ... ... ...

s αs βs1 βs2 ... βss

µ1 µ 2 ... µ s

Tableau 4.1

La méthode de Runge-Kutta consiste à utiliser le schéma d'intégration suivant :

yn+1 = yn + µ i kii =1

s

∑

avec

ki = ∆t f yn + βij k j,j =1

s

∑ tn + αi ∆t⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

où les coefficients αi , βij et µ i sont choisis de telle sorte que l'erreur soit d'ordre aussi élevé que possible. Les coefficients de Runge-Kutta se placent usuellement dans un tableau (tableau 4.1). Lorsque tous les coefficients βij situés sur et au-dessus de la diagonale sont nuls, la méthode est dite explicite. Le tableau 4.2 indique les coefficients de la méthode de Runge-Kutta explicite du quatrième ordre (erreur proportionnelle à ∆t5 ) : 1 2 3 4 1 0 0 0 0 0

2 1/2 1/2 0 0 0

3 1/2 0 1/2 0 0

4 1 0 0 1 0

1/6 1/3 1/3 1/6

Tableau 4.2

Le schéma d’intégration est dans ce cas :

( )

( )

6336

,2

,2

2,

2

,

43211

34

23

12

1

kkkkyy

kyfk

kyfk

kyfk

yfk

++++=

∆++∆=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆++∆=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆++∆=

∆=

+ nn

nn

nn

nn

nn

ttt

ttt

ttt

tt


3. RESOLUTION DE SYSTEMES NON LINEAIRES : METHODE DE NEWTON-RAPHSON

Nous allons illustrer cette méthode à partir de l’exemple de la magnétostatique 2D utilisant le potentiel vecteur. Le système à résoudre est de la forme : ∑ =

kikik bAM (i=1,... N)

où Ak désigne la valeur du potentiel vecteur au nœud k et Mik dépend du champ magnétique : ekiik dgradgradHM

e

Ω= ∫∫Ω ββν .)(

La résolution de ce problème s’effectue de manière itérative. Le système d’équations peut s’écrire également :

.,...,1pour 0)()(1

NibAAMAR i

N

kkiki ==−= ∑

=

))

Supposons que le résidu R Ai ( )

)ne soit pas nul. Soit A

)∆ l’incrément nécessaire pour obtenir la

bonne solution. En développant en série de Taylor et en le limitant au premier terme, on a :

.0)()()(1

=∆+=∆+ ∑=

N

jj

j

iii A

AARARAAR

∂∂

))))

On obtient donc un nouveau système d’équations linéaires où les inconnues sont les jA∆ . La matrice :

j

iij A

ARJ∂

∂ )()

=

est appelée matrice jacobienne du système. Dans notre cas particulier, elle se met sous la forme

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−== ∑

=

N

kikik

jj

iij bAAM

AAARJ

1)()( )

)

∂∂

∂∂

soit

J ij = Mij +∂Mik∂A j

Akk =1

N

∑ = M ij + Kij


La matrice jacobienne est donc égale à la somme de la matrice Mij et d’une matrice de correction Kij. Evaluons la contribution e

ijK d’un élément fini :

K ije =

∂Mike

∂A j

A kk=1

Ne

∑ =∂

∂A j

νΩe

∫∫ gradβi .gradβk dΩe⎡ ⎣

⎤ ⎦ k=1

N e

∑ A k ,

Si on suppose que la réluctivité dépend de l’induction (ou de son carré), on aura successivement: ν = ν(B2 ) et

∂ν

∂A j

=∂ν

∂(B2 )∂(B2 )∂A j

= 2∂ν

∂(B2 )A lgradβl .grad βj

l=1

N e

∑ ,

car, en 2D,

B = rot A = rot A1 z = grad AΛ1 z = Algradβl Λ1 zl =1

N e

∑

d’où

K ije = 2

∂ν∂(B2 )

A lgradβ l.gradβj( )A kgradβi .gradβk( )dΩel=1

N e

∑k=1

N e

∑Ωe∫∫ .

La matrice jacobienne obtenue est creuse et symétrique, si bien que l’on peut utiliser des méthodes de résolution adaptées. L’algorithme de résolution prend dès lors la forme suivante : 1. initialisation de la solution : A(0), 2. résolution du système : [J(k)]. DA(k) = -R(k), 3. correction de la solution: A(k+1) = A(k) + DA(k), 4. test de convergence:

A Ak k go to

endk k( ) ( )

: , , : .

+ −> = +

<⎧⎨⎩

11 2ε

ε

4. RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES

Soit à résoudre le système d’équations linéaires suivant : bAx = où A désigne une matrice carrée de dimensions nxn; x le vecteur des n inconnues et b le vecteur second membre. La méthode la plus efficace pour résoudre ce système d’équations va dépendre des propriétés de la matrice A. Celle-ci peut être symétrique ou non; pleine ou creuse. Les algorithmes de résolution sont groupés en deux catégories : les méthodes directes et les méthodes itératives.


4.1. METHODES DIRECTES

Les méthodes directes sont basées sur l’élimination de Gauss. La méthode classique consiste à factoriser la matrice A en un produit d’une matrice triangulaire inférieure (L) et supérieure (U) : A LU= . Dans ce cas, si on introduit un vecteur intermédiaire w, le système d’équations peut se mettre sous la forme suivante : Lw b= Ux w= . L’intérêt de cette méthode est que la résolution d’un système triangulaire est triviale. En effet, la résolution de la première équation matricielle s’effectue par substitution avant :

11

11 l

bw = ,

niwlbl

wi

jjiji

iii ,,3,2pour 1 1

1K=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

−

=

,

tandis que la seconde se résout par substitution arrière :

nn

nn u

wx =

1,,2,1pour 11

K−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

+=

nnixuwu

xn

ijjiji

iii

4.1.1. Réalisation de la LU décomposition Calculons le terme général du produit des matrices L et U :

jijiaululul

jijiaulululjijiaululul

ijjjjjjiji

iiiiiiiiii

ijiiiijiji

>∀=+++=∀=+++<∀=+++

pour ,pour ,pour ,

2211

2211

2211

L

L

L

On obtient ainsi n2 équations avec n2+n inconnues. On peut donc choisir arbitrairement n inconnues. On choisit généralement : nilii ,,1pour 1 K== . L’algorithme de Crout permet de résoudre aisément le système de la manière suivante : 1. Assignons nilii ,,1pour 1 K==


2. Pour j=1, ..., n, on calcule dans l’ordre :

jiulaui

kkjikijij ,,1pour

1

1K=−= ∑

−

=

njiulau

li

kkjikij

jjij ,,1pour 1 1

1K+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑

−

=

4.1.2. Stratégie de pivotage Dans la dernière relation du paragraphe précédent, on voit apparaître ujj comme diviseur. La méthode de Crout devient imprécise ou peut être mise en échec si ce coefficient devient trop petit, voire nul. Pour ce faire, on effectue un pivotage partiel : à l’étape j de l’algorithme précédent, on permute les lignes de telle sorte à faire apparaître en position jj le coefficient de valeur absolue la plus importante possible : kj

nkjjj aa max

≤≤

= .

4.1.3. Raffinement itératif de la solution Les méthodes directes appliquées à des grands systèmes d’équations conduisent à des imprécisions quelquefois importantes au niveau de la solution. Pour améliorer la précision des résultats, on peut recourir au raffinement itératif. Soit x la solution exacte du système : Ax b= . Supposons que nous connaissions une solution approchée x + δx où δx désigne l’erreur commise. On aura : ( )A x x b b+ = +δ δ soit A x bδ δ= . L’évaluation de l’erreur δx s’effectuera en résolvant le système ( )A x A x x bδ δ= + − . 4.1.4. Autres méthodes (pour mémoire) Méthode frontale Méthode « ligne du ciel » (skyline) Ces méthodes ont connu un grand succès lorsque les ordinateurs possédaient une mémoire vive peu importante et que les méthodes itératives n’étaient pas encore utilisées. Elles ne sont plus guère utilisées aujourd’hui.


4.2. METHODES ITERATIVES1

4.2.1. Cas des matrices symétriques définies positives Principe des méthodes de pente. Si A est une matrice symétrique et définie positive, résoudre le système : Ax b= revient à minimiser la fonctionnelle : E(x) = A (x − x ) . (x − x ) si x est la solution du système. En effet, si : x = x + ∂x , alors E(x) = A ∂x . ∂x ≥ 0 est nul si et seulement si ∂x est nul. Dans les méthodes de pente, à chaque itération, on détermine une direction de recherche pk et un scalaire αk, et on calcule xk+1 par la formule : kkkk pxx α+=+1 Si la direction pk est imposée, l’évaluation de αk, s’effectue en minimisant

( ) ( )kkkk pxExE α+=+1 par rapport à kα : On a en effet ;

( )( )( )( ) ( )

( ) kkkkkk

kkkkk

kkkkkkkkkE

pxxAppA

xxpAxxxxAxpxxpxApx

−++

−+−−=−+−+=+

αα

αααα

2

)(

En posant : ( ) bxArxxA −≡−=− kkk , on obtient : kkkkkkkkkk EE ppAprxpx 22)()( ααα +−=+ car

1 Pour plus de renseignements, consulter par exemple P.LASCAUX et R.THEODOR : « Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur » Ed Masson, 1986


( ) ( ) ( ) ( ) kkkkkktkkkk prpxxApxxApAxxxxpA −=−=−=−=− Dès lors, le minimum s'obtient pour :

kk

kkk ppA

pr⋅

⋅=α

Les propriétés suivantes peuvent être vérifiées : • rk+1 = rk − α k A pk

En effet : rk+1 = b − Axk+1 = b − A xk + αk pk( )= rk − αk Apk

• pk . rk +1 = 0

En effet : ( ) 0..

.... 1 =−=−=+ kkkk

kkkkkkkkkk pAp

pApprrppArprp α

• )1)(()( 1 kkk EE γ−=+ xx

avec

γ k =(rk .p k )2

(Apk .pk )(A−1rk .rk )≥ 0

En effet :

( )

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=+−=+

−kk

kk

kkk

kk

kk

kk

kk

kkkkkkkkkkkkk

EE

E

EEE

pAppr

rArx

pAppr

xx

pApprxppAprxpx

..11)(

.)(11)(

.)(2)()(

2

1

2

22ααα

Pour un problème à deux inconnues, constante)( =xE est l’équation d’une ellipse centrée sur la solution. Les dimensions de cette ellipse sont d’autant plus faible que l’on est près de la solution. le vecteur pk est tangent à )( 1+kE x et 1+kr est normal à cette ellipse (figure 4.2).


xkrk+1

xk+1

pk

x

E(xk+1)

E(xk)X1

X2

Figure 4.2

On peut également montrer que :

2

.)(

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥

kk

kkk K pr

prA

γ

où K(A) est le nombre de conditionnement de la matrice A (rapport entre la plus grande valeur propre et la plus petite)


Méthode du gradient

Dans la méthode du gradient, le résidu kr est choisi comme direction de recherche kp . Alors kkkk rxx 1 α+=+ et

kk

kk rAr

r.

2

=α

Si l’ellipse d’équation constante)( =xE est un cercle (cas des valeurs propres égales), la direction de recherche pointe vers la solution. Par contre, plus l’ellipse est allongée et plus la convergence risque d’être longue. On peut montrer que la rapidité de la convergence est donnée par la formule :

)(114)( 0

2

xx EKKE

k

k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

≤

où )(AKK = . Méthode du gradient conjugué

Dans la méthode du gradient conjugué, la direction de recherche kp est prise dans le plan ( kk rp ,1− ) de manière à réduire autant que possible l’erreur restante (figure 4.3) (il s’agit donc de maximiser kγ ). On a : 1 −+= kkkk prp β . Dès lors : ( ) 2

1 2

1 ... kkkkkkkkkkk rprrprrpr =+=+= −− ββ

et

kk

kk ppA

r.

2

=α

On a donc :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=+ −

kkkk

kkkkk EE

pAprArr

xpx.

1.

1)()( 1

2

α

Minimiser )( kkkE px α+ revient donc à maximiser kk pAp . . Comme :


( )( ) kkkkkkkkkkkkkkkk rArrAppApprprApAp ..2... 1 112

1 1 ++=++= −−−−− ββββ ,

kβ est donné par la formule suivante :

11

1 .

.

−−

−−=kk

kkk pAp

rApβ .

Dès lors,

( ) 0...... 11

11

111 11 =−=+= −−

−−

−−−−− kk

kk

kkkkkkkkkk pAp

pAprAprApprAppAp β

Les vecteurs 1−kp et kp sont dits A-conjugués. Par ailleurs, on a les propriétés suivantes : 0.1 =+ kk rr

En effet : ( ) ( )

0..

....

1 2

1 22

1

=+−=

−−=−=−=

−

−+

kkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkk

ppAppAr

pppArrpArrpArrr

βαα

βααα

De manière générale, on peut montrer (par récurrence) que :

),1(0.1 kjjk ⊂∀=+ rr

Les résidus sont donc tous orthogonaux entre eux.

xk-1rk

xk

pk-1

x

E(xk)

E(xk-1)

pk-1

pk

X1

X2

Figure 4.3

D’autre part,

( ) 211

1.1. kk

kkkk

kk rrrrrApαα

−=−= −−

et


( ) 21111111

1.1.1. −−−−−−− ==−= kk

kkk

kkkk

kk rprprrpApααα

d’où

21

2

11

1 .

.

−−−

− =−=k

k

kk

kkk

rr

pAprApβ

En théorie, la méthode des gradients conjugués converge en au plus N itérations. En effet les résidus étant tous orthogonaux les uns aux autres, le (N+1)ième ne peut être que nul. Dans la pratique, si le système est bien conditionné, la convergence est rapide, voire très rapide ; par contre si le conditionnement est mauvais, la méthode peut ne pas converger, suite aux erreurs numériques de troncature des calculateurs. L’algorithme de résolution est le suivant 1. initialisation : x0 ; p0=r0=b-Ax0,

2. tant que ε≥kr ,

3. calculer :

kkkk

k

kk

kkkk

kkkk

kk

kk

prpr

r

pArrpxx

pApr

111

2

21

1

1

1

2

.

+++

++

+

+

+=

=

−=+=

=

β

β

αα

α

La rapidité de la convergence est donnée par la formule suivante :

)(1)(1)(

4)( 0

2

xAA

x EKK

Ek

k ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

≤ .

Préconditionnement La rapidité de la convergence des méthodes de descente dépend du nombre de conditionnement )(AK de la matrice A. Plus )(AK est proche de 1, plus vite l’algorithme converge. Le principe de préconditionnement d’une matrice A consiste à remplacer la résolution du système bxA = par celle du système équivalent bCxAC 11 −− = . La matrice C−1 doit être choisie de telle sorte que ( )AC 1−K soit beaucoup plus petit que )(AK . En théorie, le meilleur choix est 11 −− = AC car alors ( ) 11 =− ACK . Il faut donc trouver 1−C la plus proche de A−1 sans que les calculs pour l’obtenir soient trop importants. Une fois C trouvée, l’algorithme du gradient conjugué préconditionné devient : 1. initialisation : x0 ; r0 = b - Ax0 ; Cp0 = r0 ; z0 = p0,


2. tant que ε≥kr

3. calculer :

α

αα

β

β

kk k

k k

k k k k

k k k k

k k

kk k

k k

k k k k

=

= += −

=

=

= +

+

+

+ +

++ +

+ + +

r zAp p

x x pr r A pC z r

r zr z

p z p

..

.

.

1

1

1 1

11 1

1 1 1

On constate qu’à chaque itération, il faut, en plus des opérations habituelles, résoudre un système de la forme : rCz = . Il est donc indispensable que cette résolution soit facile à réaliser. On choisit souvent C de telle manière qu’elle soit factorisée de manière évidente en un produit d’une matrice triangulaire inférieure par sa transposée, soit : tTTC = . Exemple 1: factorisation SSOR d’Evans La matrice A, symétrique et définie positive, est mise sous la forme : A = D − E − Et . D est la diagonale de A, E est la triangulaire inférieure et Et la triangulaire supérieure. La matrice T est déterminée par la relation suivante :

T =1

ω 2 − ω( )D − ωE( ) D−1/ 2

avec 0 < ω < 2 . Dès lors,

C =1

ω 2 − ω( )D − ωE( )D−1 D − ωE( )t .

La matrice T se déduit donc immédiatement de A sans calculs compliqués. Exemple 2: factorisation incomplète de Choleski


La factorisation complète d’une matrice A symétrique, creuse et définie positive sous forme A = LL t conduit généralement à un remplissage important de la matrice L. La méthode dénommée « IC(0) » consiste à calculer la matrice T de telle sorte qu’elle ait la même structure que la partie triangulaire inférieure de A c’est-à-dire : 0 si 0 == ijij at .

Pour déterminer les valeurs non nulles de ijt , on impose la condition suivante :

( ) 0si0 ≠=− ijijt aTTA .

4.2.2. Extension de la méthode du gradient conjugué à des matrices quelconques La méthode du gradient conjugué est extrêmement efficace, mais elle ne s’applique qu’aux matrices définies positives. De nombreuses recherches ont été faites pour adapter cette méthode à la résolution de systèmes comportant des matrices quelconques. Méthode de l’équation normale

Soit A une matrice régulière. En prémultipliant par tA les deux membres de l’équation bAx = , on obtient l’équation dite normale A Ax A bt t= . La matrice A At est symétrique et

définie positive et on peut dès lors appliquer la méthode du gradient conjugué. On minimise alors

( )E t( )x A A r.r=−1

où r b Ax= − . La relation de conjugaison des directions de descente est :

( )A A p .pt k k

−

− =1

1 0 . La rapidité de la convergence est donnée par la formule :

EKK

Ek

k

( ) ( )x x≤−+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟4

11

2

0

où K K Kt= =( ) ( )A A A2 . L’algorithme converge théoriquement pour toute matrice régulière, mais la rapidité de convergence est plus faible ; à chaque itération, il faut effectuer deux produits d’une matrice par un vecteur


Méthode du résidu minimal (MINRES) Dans la méthode du résidu minimal, on cherche à minimiser : E( )r r.r r= = 2 où r b Ax= − . La relation de conjugaison est :

( )A A p .pt k k

−

− =1

1 0 . L’algorithme de résolution est le suivant : 1. initialisation : x0 ; r0 = b - Ax0 ; p0 = r0 ; q0 = A p0,

2. tant que ε≥kr ,

3. calculer :

kkkk

kkkk

kk

kkk

kkkk

kkkk

kk

kkk

qArqprp

qqqAr

qrrpxx

qqqr

111

111

1 1

1

1

..

..

+++

+++

++

+

+

+=+=

−=

−=+=

=

ββ

β

αα

α

On peut montrer que Ar .rk j j k= ∀ ≠0 . Cet algorithme ne converge pas pour toute matrice A. On peut démontrer la convergence dans certains cas et notamment lorsque partie symétrique de A est définie positive. La rapidité de la convergence est donnée par la formule :

EKK

Ek

k

( ) ( )x x≤−+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟4

11

2

0

où K K= ( )A . Méthode généralisée du résidu minimal (GMRES2) Dans cette méthode, on cherche à minimiser : E( )r r.r r= = 2 2 Voir par exemple : Iterative solution of linear systems ; RW Freud, GH Golub, NM Nachtigal, Acta Numerica, 1992, pp 1-44


où r b Ax= − . La relation de conjugaison est : Ap .pk j j k= ∀ ⊂ −0 1 1( , ) .

La matrice A n’ayant aucune propriété particulière, l’évaluation de la direction pk nécessite d’utiliser tous les p j précédents. Pour limiter l’espace mémoire, on utilise souvent des algorithmes avec « restart », redémarrant le processus après un nombre donné d’itérations.

CHAPITRE 5 METHODE DES ELEMENTS FRONTIERES

1. INTRODUCTION

Les méthodes d'éléments finis vues précédemment nécessitent une discrétisation volumique du domaine à étudier et la connaissance de conditions aux limites de ce domaine. Les méthodes des éléments frontières (BEM = Boundary Element Methods), objets de ce chapitre, ne nécessitent que la discrétisation des surfaces de discontinuité, lorsque les matériaux ont un comportement linéaire. 2. CAS DE L’ELECTROSTATIQUE

2.1. POSITION DU PROBLEME

Considérons un domaine V comportant des diélectriques et des conducteurs à potentiels fixes et flottants. Supposons de plus que ce domaine est limité par une frontière Γ sur une partie de laquelle (Γ1) le potentiel est connu (condition de Dirichlet) tandis que la composante normale du déplacement est connue sur la partie Γ2 de cette frontière (condition de Neumann). On recherche la répartition du potentiel et du champ électrique dans le domaine. Les équations à résoudre sont les suivantes : • dans le volume :

ED

DE

0

ερ

===

divrot

• sur les surfaces de discontinuité :

σ=

=DE

0

s

s

divrot

Si on pose E = −grad V, on peut écrire :

CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 94

0 .

0) (=++∆

=+ρεε

ρεVgradgradV

Vgraddiv

EE . ε

εερ graddivV +−=−=∆

Lorsque le milieu possède une permittivité constante, on retrouve l’équation de Poisson :

0 =+∆ερV

2.2. FONCTION DE GREEN

La fonction de Green est la solution fondamentale de l'équation aux dérivées partielles à résoudre lorsque la source est ponctuelle et unitaire. La fonction de Green de notre problème est donc la solution de l'équation : 0)(),( =−+∆ QPQPG δ .

Q

P

RPQ

Figure 5.1

C'est donc le potentiel engendré au point P par une charge de valeur ε0 placée au point Q situé dans le vide (figure 5.1) , soit :

PQr

QPG 141),(π

=

Cas bidimensionnel plan Dans ces conditions, on a : ),( yxVV = et

2

2

2

2

yV

xVV

∂∂

∂∂

+=∆ .

La fonction de Green est le potentiel engendré par une densité de charge linéique ε0 située sur le fil Q (figure 5.2) :


PQr

QPG 1ln21),(π

= .

Q P

xy

z

r

Figure 5.2

Cas axisymétrique Dans le cas présent : ),( zrVV = et

2

2

2

2 1zV

rV

rrVV

∂∂

∂∂

∂∂

++=∆ .

Q

P

xy

z

r Q

r P

Figure 5.3

La fonction de Green est le potentiel engendré par une spire filiforme de rayon rQ portant une charge ε0 :

22

2

)()(

)( 1),(QPQP

Q

rrzz

kKrQPG

++−=

π

avec

222

2/

022

2

)()( 4sin1

)(

QPQP

QP

rrzzrr

k

kdkK

++−=

Ψ−

Ψ= ∫

π


2.3 PROPRIETE FONDAMENTALE DE LA FONCTION DE GREEN

P

Qdv

Figure 5.4

Considérons l’intégrale suivante : ∫∫ −=∆=

VQ

VQ dvQPdvQPGI ),( ),( δ .

1. Si le point P est extérieur au volume V (figure 5.4), on aura 0=I .

P r

Figure 5.5

2. Si le point P est intérieur au volume V, isolons une petite sphère s centrée sur le point P (figure 5.5), on a :

∫∫∫

∫∫∫

−=Ω−=−==

=∆=∆=

ssQ

e

sQe

sphèreQ

sphèreQ

vQ

ddsr

dsQPGgrad

dvQPGgraddivdvQPGdvQPGI

1 41

4.),(.

)),(( ),( ),(

3 ππrnn

3. Si le point P situé est sur la surface délimitant le volume, on isole encore la singularité par

une portion de sphère (figure 5.6) et on obtient :

∫∫∫Ω

−=Ω−=−=∆=ss

Qe

vQ dds

rdvQPGI

πππ 4 41

4. ),( 3rn

où Ω est l'angle solide sous lequel le domaine considéré est vu du point P.( 2/14/ =Ω π dans le cas d’une frontière lisse)


P Figure 5.6

En résumé, on peut écrire : ∫∫ −=−=∆=

VQ

VQ hdvQPdvQPGI ),( ),( δ

où 0=h si P est extérieur au volume V 1=h si P est intérieur au volume V π4/Ω=h si P se trouve sur la frontière du volume V. 2.4. INVERSION DES OPERATEURS DIFFERENTIELS

La formule de Green

dsnn

dviiv

) ( ) ( ∂∂ψϕ

∂∂ϕψϕψψϕ −=∆−∆ ∫∫

Σ

est valable pour toute fonction ϕ et ψ. En remplaçant dans la formule de Green ϕ par G(P,Q) et ψ par V(Q), on obtient :

dsnVG

nGVdvQPGQVQVQPG

iivQQ ) ( )),( )( )( ),((

∂∂

∂∂

−=∆−∆ ∫∫Σ

ou

dsnVG

nGVdvdivGdvQPGQV

iivQ

vQ ) ( ),( )(

∂∂

∂∂

−+=∆− ∫∫∫Σ

E

soit

dsnVG

nGVdvdivGPVh

iiv

) ( )( ∂∂

∂∂

−+= ∫∫Σ

E

où 0=h si P est extérieur au volume V 1=h si P est intérieur au volume V π4/Ω=h si P se trouve sur la frontière du volume V.


ni

Figure 2.7

Interprétation physique Dans le cas 3D, l’équation précédente devient :

141

41

41)( 3 ∫∫∫

ΣΣ

−−= dsnV

rds

rVdv

rdivPVh

ii

v ∂∂

πππrnE

ou

( ) ( ) ( ) /41.

41 .

41

41)( 3 ∫∫∫∫

ΣΣ

−−−= dsr

nVdsr

Vdvr

graddvr

PVh ii

vv

∂ε∂πε

επε

επε

ρπε

rnE

Les deux premiers termes du second membre de la relation précédente représentent la contribution des charges contenues dans le volume V considéré ainsi que l’effet de l’inhomogénéité éventuelle des matériaux. Les 2 termes suivants représentent l’influence sur le potentiel du point P des charges et matériaux situés à l’extérieur du volume V. L’influence de l’extérieur du volume V sur le potentiel d’un point situé à l’intérieur de celui-ci peut être traduite par deux répartitions de charges électriques situées sur la frontière du volume considéré : • une répartition de charges électriques superficielles de densité égale à

in

V∂∂ε−

• une répartition de superficielle de dipôles électriques de densité dipolaire égale à iVnε− . Remarque A partir de la relation suivante :

dsnVG

nGVdvdivGPVh

iiv

) ( )( ∂∂

∂∂

−+= ∫∫Σ

E

on a développé deux types de méthodes : • La méthode indirecte où le volume V s’étend jusqu’à l’infini.

Dans ce cas, l’équation précédente devient :

∫=v

dvdivGPV )( E


car d’une part le point P se trouve toujours à l’intérieur du domaine étudié et d’autre part, les intégrales sur la surface extérieure s’annulent à l’infini. Dans ce cas, les inconnues sont

E div en tout point. Si les milieux sont linéaires par morceaux, les inconnues sont E sdiv sur les surfaces de discontinuités.

• La méthode directe où les volumes Vi sont des volumes continus à caractéristiques linéaires. Dans ce cas, dans chaque volume, on a 0 =Ediv et pour chacun, on a l’équation :

dsnVG

nGVPVh

ii

) ()( ∂∂

∂∂

−= ∫Σ

Actuellement, les méthodes directes sont les plus utilisées. Nous limiterons par conséquent l’exposé à ces méthodes. 2.5. METHODE DIRECTE

2.5.1. Principe Supposons les milieux matériels linéaires et les charges électriques disposées à la surface des conducteurs. On subdivise le domaine à étudier en sous-domaines de telle sorte que les discontinuités (changement de permittivité, conducteurs) soient situées à la frontière des sous-domaines. Dans ce cas, chaque sous-domaine constitue un milieu homogène ne comportant pas de charges internes et on a pour chaque sous-domaine :

dsnVG

nGVPVh

ii

) ()( ∂∂

∂∂

−= ∫Σ

Le problème consiste à déterminer les valeurs correctes des coefficients V et inV ∂∂ / sur les frontières des sous-domaines.


Exemple en 3D

dsnV

rrVPVh

rQPGgrad

rQPG

i

i

PQPQ

QP

PQ

QP

PQ

)1 .

(41)(

41),(

141),(

3

3

∂∂

π

π

π

−=

=

=

∫Σ

rn

r

Cette dernière équation indique que l'influence du milieu extérieur peut être traduite par une simple et une double couche de charges équivalentes situées sur la surface extérieure du domaine considéré. 2.5.2. Etablissement du système d’équations Discrétisation des frontières Divisons le problème étudié en un nombre suffisant de sous-domaines de telle sorte que dans chaque sous-domaine, le milieu puisse être considéré comme homogène. Discrétisons ensuite les frontières des sous-domaines de manière à faire apparaître des nœuds auxquels nous associerons des inconnues. Pour la facilité de l'exposé, associons à chaque nœud 2 inconnues dans chaque domaine touchant ce nœud. Choisissons des fonctions de forme convenables pour interpoler l'évolution des grandeurs inconnues sur les frontières : ∑= jjVV α

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

jij

i nV

nV α

V ?

-V

ε

+V

Figure 5.8

Dans ce cas, dans chaque domaine, on pourra écrire

∑ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ΣΣjj

jiijj dsG

nVds

nGVPVh )( α

∂∂

∂∂α

).


Conducteur à potentiel fixe Il n'y a pas besoin de placer d'inconnues à l'intérieur du conducteur, puisqu'on sait que le potentiel y est constant et connu et que le champ y est nul. En chaque point k de la surface (extérieure), on aura donc 2 inconnues et donc 2 relations : donnék VV =

∑ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ΣΣjj

jiijjk dsG

nVds

nGVVh α

∂∂

∂∂α

Conducteur à potentiel flottant Dans ce cas s’ajoute une inconnue pour l'ensemble du conducteur: la valeur du potentiel. On aura donc 2 inconnues pour chaque nœud k : inconnuk VV =

∑ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ΣΣjj

jiijjk dsG

nVds

nGVVh α

∂∂

∂∂α

Pour l'ensemble du conducteur, il manquera donc une relation. Celle-ci exprimera que la charge totale du conducteur est connue (généralement nulle). On sait que la densité superficielle de charge d'un conducteur vaut :

nV

∂∂εσ =

En intégrant sur la surface du conducteur, on obtient la relation supplémentaire :

0 ____

== ∫∫conducteurdusurfaceconducteurdusurface

dsnVds

∂∂εσ

))

Frontière entre deux diélectriques A la frontière entre 2 diélectriques, on a en chaque point k 4 inconnues (2 de chaque côté m et n de la frontière). On exprimera donc : n

km

k VV = (continuité du potentiel)

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

n

kn

m

km n

VnV

∂∂ε

∂∂ε (continuité de Dn)

∑ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ΣΣj

mj

jii

mjj

mk dsG

nVds

nGVVh α

∂∂

∂∂α (dans domaine m)


∑ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ΣΣj

nj

jii

njj

nk dsG

nVds

nGVVh α

∂∂

∂∂α (dans domaine n)

2.6. PRISE EN COMPTE DES SYMETRIES AU MOYEN DE FONCTIONS DE GREEN MODIFIEES

Cas d'un plan d'(anti)symétrie En 3D, on utilisera la fonction de Green modifiée suivante (figure 5.9) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=

'

1141

PQPQ RRG

π

P

Q

Q' Figure 5.9

Cas d'une géométrie cyclique Dans ce cas, on pourra utiliser la fonction de Green suivante (figure 5.10) :

∑=

±=n

i PQiR

G1

141π

PQ1

Qn

Q3

Q2

Figure 5.10

2.7. DIFFICULTES NUMERIQUES

Dans les expressions précédentes, on voit apparaître deux types d'intégrales, dont les intégrants sont singuliers au voisinage du point potentié. Ces singularités sont néanmoins intégrables. Premier type de singularité :


dsQPGmj ),( ∫

Σ

α

La fonction G(P,Q) tend vers l’infini si P tend vers Q. Isolons un petit cercle centré sur le point P et plaçons en ce point l'origine du système de coordonnées. On aura donc :

dsGddsGdsGdsGdsG

G

dds

s

mj

s

mj

s

mj

s

mj

s

mj

mj

2

41

2

∫∫∫∫∫∫−Σ−Σ−ΣΣ

→+=+≈

=

=

αρααααα

ρπ

ρρπ

Second type de singularité :

dsnG

i

mj ∂

∂α ∫Σ

ϕ

θ

π/2−θ

Figure 5.11

En isolant le voisinage du point potentié P, et en prenant un système de coordonnées centré sur ce point (figure 5.11), on a :

∫∫∫ =≈ dsr

dsnGds

nG m

j

i

mj

i

mj 24

nr.11π

α∂∂α

∂∂α

Q

ddrrdsθ

ϕsin

=

ϕθ

ϕθθ

ddrR

ddrr

dsr QQQ

Q 21

sin1 1

sincos

2 ==nr.11


0 21

sin1 →≈ ∫∫ ϕθ

α∂∂α ddr

Rds

nG

QQ

mj

i

mj

2.8. RESOLUTION DU SYSTEME D'EQUATIONS

Le système d'équations à résoudre ne possède pas de particularités intéressantes: la matrice n'est ni creuse ni symétrique. Les méthodes classiques d'élimination sont souvent utilisées. Note : Les équations BEM que nous avons écrites vérifient la continuité du potentiel et de la composante normale du vecteur déplacement électrique aux nœuds du maillage (collocation) :

∑ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ΣΣj

mj

jii

mjj

mk dsG

nVds

nGVVh α

∂∂

∂∂α

On pourrait également envisager d'effectuer cette vérification "au mieux " sur les frontières et intégrer l'équation multipliée par les fonctions de forme :

∑ ∫∫∫∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

j

mj

mk

jii

mj

mkj

mk

mk dsG

nVds

nGVdsVh αα

∂∂

∂∂ααα

Dans ces conditions, la matrice se symétrise. Cette dernière technique est peu utilisée, car elle rend le volume de calculs numériques encore plus important. 3. MAGNETOSTATIQUE

Le cas de la magnétostatique est formellement très analogue à celui de l’électrostatique. en adoptant la jauge de Coulomb, l’équation différentielle à résoudre est : 0=+∆ iA µ La fonction de Green est la même que celle de l’électrostatique et on obtient aisément pour chaque sous-domaine :

141.

41

4)( 3 ∫∫∫

ΣΣ

−−= dsnr

dsr

dvr

Phi

i

v ∂∂

πππµ ArnAiA

A la frontière entre deux sous-domaines, on exprime la continuité du potentiel vecteur et de la composante tangentielle du champ magnétique.

Remarque : ∂∂

µA

Hn t=

En effet, exprimons que l’intégrale du potentiel vecteur sur un petit contour (figure 5.12) situé dans le plan n, t1 est égal au flux d’induction qui traverse ce contour dans la direction t2 :


dn

at1

t2

n+

-

Figure 5.12

( )

dnd

dnd

dnadnaa

AnH

tnHtA

tnHtHtAAdlA

=Λ⇒

Λ=⇒

Λ==−= −+∫

)(

).(.

).(...

11

121

µ

µ

µµ

INCONNUES ET MISE EN EQUATIONS

A chaque nœud de la frontière d’un domaine, on associe 6 inconnues : zyx

zyx dnd

dnd

dndAAA ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ AAA ,,,,, .

L’équation 141.

41

4)( 3 ∫∫∫

ΣΣ

−−= dsnr

dsr

dvr

Phi

i

v ∂∂

πππµ ArnAiA utilisant les nœuds frontières de

ce domaine fournit 3 équations scalaires. Les trois autres équations scalaires dérivent des conditions de passage d’un domaine à l’autre (continuité ou non du potentiel vecteur et de sa dérivée normale) 4. MAGNETODYNAMIQUE TRANSITOIRE

EQUATIONS

A titre d’exemple, nous traiterons de la méthode A-V. Les autres modélisations sont également utilisables. Nous avons vu qu'en choisissant la jauge de Lorentz :

0=+ Vdiv σµA ,

on obtient les équations suivantes :

0

0

=−∆

=+−∆

tVV

t

∂∂µσ

µ∂∂µσ iAA

FONCTION DE GREEN

La fonction de Green de la magnétodynamique est la solution de l'équation :


0)()(),,,( =−−+−∆ QPttGQtPGP δτδ

∂∂σµτ

où )()( QPt −− δτδ désigne une impulsion de Dirac apparaissant au point Q à l'instant τ. Son expression à n dimensions s'écrit :

)()(2

11),,,( )(4

2

ττπ

σµσµ

τ τσµ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= −−

tuet

QtPG tRn

Figure 5.13

La figure 5.13 représente cette fonction de Green. INVERSION DES OPERATEURS DIFFERENTIELS

Considérons l'identité suivante :

( )∂τ

∂σµ∂τ∂σµ

∂τ∂σµ x

xxQQxx

xQAGGgradAgradAGdivGGAAAG −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∆−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∆

Etant donné que :

),,,(),,,( ττ QtPGQtPG PQ ∆=∆

),,,(),,,( dtQtPGQdttPGcartGG

−=+−= ττ∂∂

∂τ∂ ,

on obtient :

)()(),,,(),,,( QPttGQtPGGQtPG PQ −−−=−∆=+∆ δτδ

∂∂σµτ

∂τ∂σµτ

et

( ) xQx

xxQx iGAGGgradAgradAGdivQPtA µ∂τ

∂σµδτδ −−−=−− )()(


Intégrons cette dernière équation sur un domaine où σµ est constant et de t0 jusqu'à t+ de telle sorte que )( τδ −t se trouve à l’intérieur de l’intervalle et que ),,,( +tQtPG soit nul en application du principe de causalité :

∫∫ ∫∫ ∫ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

Σ Vx

t

t i

x

ix

v

t

txx dvtQAtQtPGdds

nAG

nGAddviGtPAh ),(),,,(),( 00

00

σµτ∂∂

∂∂τµ

En regroupant les 3 composantes, on a :

∫∫ ∫∫ ∫ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

Σ V

t

t iiV

t

t

dvtQtQtPGddsn

GnGddvGtPh ),(),,,(),( 00

00

AAAiA σµτ∂∂

∂∂τµ

Remarques : • Les formules précédentes ne sont valables que dans des domaines où le produit σµ est

constant • Le calcul du potentiel à un instant t nécessite la connaissance :

• du potentiel en tout point du domaine à un instant initial t0 • des valeurs des inconnues sur les frontières à tout instant compris entre t0 et t



zyx dnd

dnd

dndAAA ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ AAA ,,,,, .

L’équation ∫∫ ∫∫ ∫ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

Σ V

t

t iiV

t

t

dvtQtQtPGddsn

GnGddvGtPh ),(),,,(),( 00

00

AAAiA σµτ∂∂

∂∂τµ

utilisant les nœuds frontières de ce domaine fournit 3 équations scalaires. Les trois autres équations scalaires dérivent des conditions de passage d’un domaine à l’autre (continuité ou non du potentiel vecteur et de sa dérivée normale) 5. MAGNETODYNAMIQUE SINUSOÏDALE

EQUATIONS

En régime sinusoïdal, les équations du paragraphe précédent deviennent, en utilisant les nombres complexes :

0=+ Vdiv σµA ,

0

0 =−∆

=+−∆VjV

jµσω

µµσω iAA

FONCTION DE GREEN

La fonction de Green des équations précédentes est la solution de l'équation :


0)( ),( * =−+−∆ QPGjQPGP δµσω où )(* QP −δ désigne une impulsion de Dirac apparaissant au point Q et d’amplitude variant de manière sinusoïdale dans le temps. La fonction de Green tridimensionnelle est :

Rj

eR

G δ

π

+−

=1

41

où µσω

δ

2= s’appelle la profondeur de pénétration.

INVERSION DES OPERATEURS DIFFERENTIELS

L'identité ) () () ( gradGAgradAGdivGjGAAjAG xxQQxxxQ −=−∆−−∆ ωσµωσµ

intégrée sur le domaine considéré fournit le résultat suivant :

dsn

GnGdvGPh

iiV

)()(∂∂

∂∂µ AAiA −+= ∫∫

Σ

.



zyx dnd

dnd

dndAAA ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ AAA ,,,,, .

L’équation dsn

GnGdvGPh

iiV

)()(∂∂

∂∂µ AAiA −+= ∫∫

Σ

utilisant les nœuds frontières de ce

domaine fournit 3 équations scalaires. Les trois autres équations scalaires dérivent des conditions de passage d’un domaine à l’autre (continuité ou non du potentiel vecteur et de sa dérivée normale) 6. ELECTROMAGNETISME

Considérons le cas de matériaux linéaires non conducteurs (ε et µ peuvent être tensoriels et complexes). Dans ce cas, les équations de Maxwell deviennent :


0

0

=

−=

=

=

E

HE

H

EH

divt

rot

divt

rot

∂∂µ

∂∂ε

Dès lors,

t

rotdivgradrotrot∂

∂ε EHHH =∆−=

t

rotdivgradrotrot∂

∂µ HEEE −=∆−=

et 02

2

=−∆t∂

∂εµ HH

02

2

=−∆t∂

∂εµ EE

CAS DU REGIME SINUSOÏDAL

Les équations deviennent : 02 =+∆ EE εµω

02 =+∆ HH εµω La fonction de Green des équations précédentes est la solution de l'équation

0)(),( *2

2

=−++∆ QPGc

QPGP δω

où )(* QP −δ désigne une impulsion de Dirac sinusoïdale apparaissant au point Q et sinusoïdale dans le temps et

c =1εµ

est la vitesse de propagation de la lumière dans le milieu considéré. La fonction de Green tridimensionnelle s'écrit :

R

eGR

cj

π

ω

4=


Exercice : poursuivre les calculs …

CHAPITRE 6 COUPLAGE ENTRE METHODES

COUPLAGE ENTRE METHODES DE CALCUL DE CHAMP

COUPLAGE ENTRE ELEMENTS FINIS ET METHODES INTEGRALES.

On a vu que dans les méthodes intégrales, il y a toujours 2 types d’inconnues par nœud et que ces inconnues sont toujours reliées aux champs normal et tangentiel. Dans les équations d’éléments finis, on peut également faire apparaître ces deux types d’inconnues à la frontière d’un domaine, si on suppose que 2Γ=Γ (frontière de Neumann) . Dès lors, les équations du couplage exprimeront :

• la continuité ou la discontinuité de la composante normale de l’induction magnétique et du déplacement électrique au travers de la surface de séparation des domaines concernés :

(B1 - B2) . n = 0 (D1 - D2) . n = σ

• la continuité de la composante tangentielle du champ magnétique (et du champ électrique) au travers de la surface

(H1 - H2) Λ n = 0 (E1 - E2) Λ n = 0

EXEMPLE en magnétostatique

Dans le domaine traité par éléments finis, on écrira pour le nœud i (inconnues iA et tiH :

( ) 02

=−−ΛΛ ∫∫∑∫ΓΩΩ

dsdvdvgradgrad itij

ijj ββββν HjA

2Γ désigne la frontière commune entre les domaines FEM et BEM (+ éventuellement les frontières de Neumann) Dans le domaine traité par éléments frontières, on aura pour le nœud k (frontières lisses, inconnues iA et ( )iin∂∂ /A ) :

1.41

42 3∑ ∫∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

ΣΣj jij

ijj

v

i dsnr

dsr

dvr ∂

∂ααππ

µ ArnAiA

A la frontière entre les deux domaines, on exprimera les conditions de passage :

CAO des systèmes électriques Chapitre 6 : Couplage 112

iBEMiEF AA = (continuité de la composante normale de B)

iBEMFEMti dn

d⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

AHµ1 (continuité de la composante tangentielle de H)

COUPLAGE ENTRE MODELES D’ELEMENTS FINIS.

Pour coupler deux modèles d’éléments finis, on fait apparaître sur la frontière de séparation les deux types d’inconnues dont il est question au paragraphe précédent. Le couplage est effectué en écrivant les mêmes équations exprimant le comportement des champs au passage de la frontière. EXEMPLE en magnétostatique A : domaine traité par potentiel scalaire total :

Φ−= gradH En tout nœud du domaine :

0.2

=+Φ ∫∑∫ΓΩ

dsBdvgradgrad inj

jij βββµ

B : domaine traité par potentiel scalaire partiel : rs gradΦ−= HH En tout nœud du domaine : 0 . .

2, =+−Φ ∫∫∑∫

ΓΩΩ

dsBdvgraddvgradgrad inisj

jrij ββµββµ H .

A la limite entre les deux domaines, on exprime en chaque nœud : - la continuité de la composante normale de l’induction :

21 nnn BBB =⇒ - la continuité de la composante tangentielle du champ :

rjri

j

i sji

j

iΦ−Φ+=Φ−Φ= ∫∫ dlHdlH ..

COUPLAGE AVEC D’AUTRES PHENOMENES PHYSIQUES

INTRODUCTION

Les phénomènes électriques sont généralement accompagnés d’autres phénomènes physiques, comme des échauffements, des mouvements, des déformations mécaniques, des écoulements, ... . Bien souvent, les phénomènes en question ne sont pas indépendants et ils s’influencent mutuellement, si bien qu’une approche réaliste nécessite de tenir compte de ces interactions. Le couplage entre les différents modèles physiques peut être envisagé de deux manières :

• couplage fort : les différents phénomènes sont étudiés simultanément, ce qui nécessite que le logiciel soit conçu de telle sorte à permettre cette résolution globale du problème ;

• couplage faible : dans un processus itératif, les différents phénomènes sont étudiés tour à tour ; les résultats obtenus lors d’une itération permettent de modifier les données relatives à l’itération suivante. Cette technique permet d’utiliser des logiciels non intégrés.

CAO des systèmes électriques Chapitre 6 : Couplage 113

COUPLAGE AVEC LA MECANIQUE

Souvent, les dispositifs électrotechniques sont utilisés pour effectuer une conversion électromécanique. Pour simuler complètement ces dispositifs, il est généralement nécessaire d’adjoindre aux équations électriques les équations mécaniques du mouvement. A ce niveau apparaissent deux difficultés :

• le mouvement déforme la géométrie. Le maillage doit donc être conçu de telle sorte qu’il permette ces déformations sans nécessiter un remaillage total à chaque pas de calcul. Une solution consiste à définir l’entrefer, ou une partie de celui-ci comme étant un domaine BEM qui ne sera maillé qu’aux frontières. Une autre solution, applicable dans le cas des entrefers des machines électriques tournantes consiste à définir dans l’entrefer une zone cylindrique maillée de manière régulière. Le pas de calcul est alors choisi de telle sorte qu’au bout de celui-ci, le maillage ait retrouvé la même forme qu’au début.

• le couplage avec la mécanique nécessite l’évaluation des forces mécaniques liées aux phénomènes électriques. Ces forces sont des fonctions quadratiques des inconnues qui compliquent la résolution du système d’équations.

COUPLAGE AVEC LA THERMIQUE

Qu’ils soient souhaités (chauffage par induction par exemple) ou parasites (pertes dans les moteurs par exemple), des phénomènes thermiques sont toujours associés aux phénomènes électriques. La simulation complète des dispositifs électrotechniques nécessite donc de tenir compte de ces phénomènes. Les sources de chaleurs à considérer sont :

• les pertes Joule apparaissant dans les matériaux conducteurs parcourus par des courants (sources volumiques) ;

• les pertes par courants de Foucault apparaissant dans des matériaux conducteurs soumis à un champ magnétique variable ;

• les pertes par hystérésis apparaissant dans le matériaux magnétiques soumis à un champ magnétique variable ;

• les pertes diélectriques apparaissant dans les diélectriques soumis à un champ électrique variable.

Les modes d’évacuation de la chaleur sont bien connus :

• la conduction thermique dans les matériaux ; • la convection naturelle au contact des matériaux avec un milieu gazeux ou liquide ; • la convection forcée là où une ventilation forcée a été mise en place ; • le rayonnement.

Les constantes de temps thermiques et électriques ne sont généralement pas du même ordre de grandeur. Dans les systèmes alimentés par des courants sinusoïdaux, il est souvent acceptable d’admettre que les constantes de temps thermiques sont beaucoup plus longues que les constantes de temps électriques. On peut dès lors admettre qu’au point de vue électrique, le système est en régime harmonique (résolution par nombres complexes), tandis qu’au point de vue thermique, on est en régime transitoire.

CHAPITRE 7 ANALYSE DES RESULTATS

1. REPRESENTATION GRAPHIQUE DES RESULTATS

Evolution temporelle de l’induction magnétique source.

Variation de l’induction le long de la coupe OX.

CAO des systèmes électriques Chapitre 7 : Analyse des résultats 115

Champ d’induction b en x = 0 et y = 0 (t = 20 ms et maillage Mh3) ;

(bmin = 0.00604 T, bmax = 0.0563 T).

Champ d’induction b en z = 0.0254 m (t = 20 ms et maillage Mh3) ;

(bmin = 0.0154 T, bmax = 0.0500 T).


Lignes d’isovaleurs de la densité de courant à la surface de la brique (t = 20 ms et maillage Mh3) ;

(jmin = 0, jmax = 2.46 106 A/m2, nombre de niveaux = 12, niveau 1 = 1.89 105 A/m2, niveau 12 = 2.27 106 A/m2, écart entre niveaux = 1.89 105 A/m2).

Champ de densité de courant j en z = 0.0230 m (t = 20 ms et maillage Mh3) ;

(jmin = 3.44 105 A/m2, jmax = 2.28 106 A/m2).

2. EVALUATION DE GRANDEURS GLOBALES

2.1. CALCUL DES COURANTS

... à partir de la densité de courant :

∫ += dsI . )( nji

... à partir de la loi d’Ampère :

∫= dlH . I


Cette formulation est très efficace lorsque le champ magnétique tangentiel a été calculé. C’est par exemple le cas sur les frontières séparant deux domaines couplés. C’est également le cas en éléments frontières et en éléments d’arête en H. 2.2. CALCUL DES PERTES JOULE

... à partir de la densité de courant :

∫ += dsPJ 2jiρ

... à partir du vecteur de Poynting

Le flux du vecteur de Poynting R = E Λ H au travers d’une surface fermée est égal à la puissance électromagnétique qui traverse cette surface dans le sens de la normale positive. Cette propriété peut être utilisée pour calculer dans certaines conditions (pas de conversion électromécanique à l’intérieur de la surface, régime permanent) la puissance dissipée par effet Joule à l’intérieur d’un domaine. On a

nHEnHHEEnHEnR ).()).()(().(. ttntnt Λ=+Λ+=Λ= En notations complexes, on aura

HER Λ= * et le flux de ce vecteur au travers d'une surface fermée représente la puissance complexe qui traverse cette surface dans le sens de la normale positive. 2.3. CALCUL DE L’ENERGIE MAGNETIQUE

... à partir du champ :

dvWv

B

m ) . (0∫ ∫∞

= dbH

Cette intégrale doit s’étendre en principe jusqu’à l’infini. ... à partir des courants et du potentiel vecteur

dvWsconducteur

A

m ) . )((0∫ ∫ += daji

Cette intégrale s’étend à tous les volumes conducteurs. Notons que l’énergie magnétique emmagasinée dans les aimants permanents n’est pas prise en compte par cette formulation. 2.4. CALCUL DES INDUCTANCES

... à partir du flux embrassé : Le flux total embrassé par un conducteur peut s’évaluer par

∫∑ ∫ ==Φ dlAdsB . . __

_spireslestoutes

spirechaquet

Pour calculer le coefficient de self-inductance d’une bobine i, on alimente cette bobine par un courant Ii et on détermine le flux total embrassé par la bobine. On a donc :

iiit IL =Φ


Pour calculer le coefficient d’inductance mutuelle entre les bobines i et j, on alimente la bobine j par un courant Ij et on détermine le flux total embrassé par la bobine i. On a donc :

jijti IL =Φ

Rappelons que jiij LL = .

... à partir de l’énergie magnétique Dans le cas d’une bobine seule, on a

2 21

iiim ILW = 2

2

i

mii I

WL =

Dans le cas de 2 bobines couplées, on obtient

jiijjjjiiim IILILILW 21

21 22 ++=

En inversant le sens du courant dans une des bobines, on a

jiijjjjiiim IILILILW 21

21 22' −+=

Dès lors :

ji

mmij II

WWL2

'−=

2.5. CALCUL DES CAPACITES

Lorsqu'on a un système de conducteurs chargés, on peut écrire pour le conducteur i :

∑=

=N

jjiji VCQ

1

La charge s'évalue en intégrant sur la surface extérieure du conducteur la composante normale du déplacement :

∫=iS

i dsQ D.n

La matrice des capacitances s'évalue en calculant : )1 ; 0( =≠∀== jkiij VjkVQC .

2.6. CALCUL DES FORCES

... à partir de la loi de Laplace La force qui s’exerce sur un conducteur parcouru par un courant s’exprime par :

∫ Λ+=v

dv )( BjiF

Cette formule ne permet pas de calculer les forces dues aux aimants permanents ni à la variation de perméabilité. La formule complète est en fait :

∫∫ −Λ=vv

dvgradHdvrot µ2

2

BHF


... à partir des travaux virtuels On suppose les courants constants et une faible variation de la géométrie dans la direction où on souhaite évaluer la force.

F, dli=cst

e

On peut écrire : dlF . +=+= magmécmag dWdWdWdtie .

Comme dtde Ψ

=

et ( ) ( )),()(),()( Ψ−Ψ−Ψ+Ψ−Ψ+Ψ=−= iWidiWdiDCEABEdW ccmag

soit cmag dWdidW −Ψ=

i

Ψ

Ψ+δΨ

FE

DC

BA

d’où csti

cdW=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dlF

où Wc désigne la coénergie du système. Notons qu’en régime linéaire, l’énergie et la coénergie ont la même valeur :

2 21 ILWW cmag ==

... à partir du tenseur de Maxwell Nous avons vu que la force magnétique totale s'exerçant sur un volume v a pour expression :

∫∫ −Λ=vv

dvgradHdvrot µ2

2

BHF .


On montre que cette force peut également se mettre sous la forme d'une intégrale de surface :

∫=s

ds . nTF

avec

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

2

2

2

21

21

21

HHHHHHH

HHHHHHH

HHHHHHH

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

µT

Les densités normale et tangentielles de force valent donc

)21( 22

tnt

nn

H

HH

HF

nF

µ

µ

=

−=

Notons que l’intégrale de la force ne fournit pas d’information sur le point d’application de celle-ci

CHAPITRE 8 CONCEPTION DES DISPOSITIFS

ELECTROTECHNIQUES STATIQUES.

1. BOBINE D’INDUCTANCE A AIR

L’inductance d’une bobine de rayon moyen a et de longueur l comportant n spires par mètre est donnée par la formule suivante :

Figure 8.1

)2( 220

ll

aanL Φ= πµ

où

)(1)(12234)2( 3

2

3

2

kKk

kkEk

kaa −+

−=Φ

ll π (figure 8.1)

( )( )2

2

/21/2

l

l

aak

+=

)(et )( kEkK sont des fonctions elliptiques de première et de seconde espèce :

CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 122

∫

∫

−=

−=

2/

0

22

2/

0 22

sin1()(

sin1()(

π

π

φφ

φφ

dkkE

kdkK

Cette formule donne des résultats précis. Lorsque plusieurs couches de conducteurs sont superposées et/ou lorsque les conducteurs ont une section importante, se pose la question de définir correctement le rayon a et de tenir compte de l’effet pelliculaire. Dans ces conditions, la formule précédente constitue un bon point de départ et la modélisation permet d’affiner le modèle. La section du conducteur est déterminée en se basant sur les 2 critères suivants :

• Le facteur de qualité Q désiré : sl

QLR ρω

==

• Les échauffements admissible : La chaleur produite par les pertes Joule sljIRP 22 ρ== doit pouvoir être évacuée. Dans le cas de convection naturelle et en

régime permanent, on peut écrire )( ace TTShP −=

où Se est la surface d’échange, Tc la température du conducteur, Ta la température ambiante et h le coefficient d’échange (souvent voisin de 5 watts/m2°K)

Remarques:

• Lors du dimensionnement, il faut prévoir l’isolation entre spires ; • Les efforts doivent également être pris en compte. Le cas échéant; il faut prévoir un

calage efficace des conducteurs. L’effort tendant à allonger la bobine a pour expression :

lddLIF

2

2

=

et l’effort tendant à augmenter le diamètre de la bobine vaut

dadLIF

2

2

= ;

• Si les dimensions des conducteurs sont du même ordre de grandeur ou supérieures à la profondeur de pénétration, l’effet pelliculaire doit être pris en considération.


2. BOBINE COMPORTANT UN CIRCUIT MAGNETIQUE

Dans ce cas, les formules du paragraphe précédent ne sont plus valables. Si la bobine est destinée à être utilisée en régime variable, il faut penser aux pertes dans le circuit magnétique. • Les pertes par hystérésis (par unité de masse) sont données par les fabricants. On peut

approximativement les écrire sous la forme : pH = kH f Bν

où f désigne la fréquence et ν est le coefficient de Steinmetz compris entre 1,4 et 1,7. • Les pertes par courants de Foucault (par unité de volume) dans les matériaux

ferromagnétiques feuilletés sont données par la formule :

)( 2

2max

222

δρπ eFBefpF = avec

µπρδ

f=

si f désigne la fréquence, e l’épaisseur des tôles, δ la profondeur de pénétration et ρ la résistivité du matériau et

)/(cos)/()/(sin)/()(

δδδδδ

δ eecheesh

eeF

−

−=

NOTE : 1 31)( <≈

δδepoureF

4 )( >≈δ

δδ

epoure

eF

00,05

0,10,15

0,2

0,250,3

0,350,4

0 2 4 6 8

e/delta

F(e/

delta

)

Figure 8.2

Les courants de Foucault sont également responsables d’une réduction de la valeur de l’induction magnétique qui peut être évaluée par :

)/(cos)/()/(c)/( 2

)0()(

δδδδδ

eecheosech

eeBeB

+

−=

=


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6

e/delta

B(e

)/B(0

)

Figure 8.3

Pour les ferrites (3C90) :

soit pour Bmax = 0,3 T : 20 W/kg à 10 kHz et 1kW/kg à 100 kHz 2.1. BOBINE COMPORTANT UN CIRCUIT MAGNETIQUE A PETIT ENTREFER OU SANS ENTREFER

Dans ces conditions, on évalue la réluctance ℜ du circuit magnétique vue depuis la bobine et on réalise un premier dimensionnement sur base de la formule suivante :

ℜ=

2NL

où N désigne le nombre de spires. La section du conducteur s’évaluera selon les mêmes critères que dans le cas précédent.

δ


Figure 8.4

Notes • On se rappellera que la réluctance de circuits magnétiques comprenant des matériaux

ferromagnétiques dépend du niveau de saturation atteint; • En première approximation, on peut négliger le flux de fuite qui est en principe beaucoup

plus faible que le flux principal; • La section du fil à utiliser se calculera comme pour une bobine à air en tenant compte des

conditions particulières d’évacuation de la chaleur; • Il ne faut pas oublier les entrefers « parasites » (d’air à la jointure entre pièces différentes

du circuit magnétique). Retenons qu’un entrefer de 0,1 mm présente la même réluctance qu’un mètre de matériau magnétique (µ=10000). Pour réduire l’entrefer effectif, on utilise des techniques spéciales pour réaliser les joints entre les tôles (voir figure 8.5)


Figure 8.5

2.2. BOBINE COMPORTANT UN CIRCUIT MAGNETIQUE A GRAND ENTREFER

Dans le cas d’un grand entrefer, la difficulté consiste à évaluer l’allure des lignes d’induction dans cet entrefer. Si on y parvient, on peut calculer la réluctance des différents tubes d’induction obtenus par la formule suivante :

sl

0

1µ

=ℜ

et tenir compte du fait qu’ils sont en parallèle. Si cette évaluation n’est pas réalisable, quelques calculs de champ exploratoires ou l’expérience peuvent guider le concepteur pour un premier dimensionnement. 3. INDUCTANCES SATURABLE

Ces bobines sont dimensionnées de telle sorte qu’elles présentent une grande impédance lorsque le courant qui les traverse est faible (matériau magnétique non saturé) et une impédance faible pour de grands courants (matériau magnétique saturé). 4. TRANSFORMATEUR

D’une manière générale, le transformateur sera dimensionné de telle sorte qu’il ait une impédance suffisamment élevée à vide (impédance magnétisante) et une impédance de court-circuit (due aux flux de fuite principalement) donnée, généralement (mais pas toujours) faible. En général, les données de base d’un transformateur sont sa fréquence, ses tensions nominales et sa puissance apparente. Les courants nominaux sont ainsi connus car :


2211 NNNNN IUIUP ==

4.1. SCHEMA EQUIVALENT

4.2. CIRCUITS MAGNETIQUES MONOPHASES

4.2.1 Transformateurs basse fréquence

4.2.1 Transformateurs haute fréquence Le matériau magnétique est généralement de la ferrite. Le circuit magnétique peut avoir différentes formes.


4.3. CIRCUITS MAGNETIQUES TRIPHASES

4.4. FORMULES ET REGLES DE BONNE PRATIQUE :

• Force électromotrice

maxmax BABSknE

nE

nU

nU

enn 2

2

2

2

1

1

2

2

1

1 ωω≈≈≈≈≈

avec 2 fπω = Sn section brute du noyau

kn coefficient d’utilisation du noyau (+/- 0,9)


Ae section nette Bmax induction maximum dans le noyau, limitée par la saturation

(1,1 à 1,9 Tesla selon la qualité des tôles et les performances désirées ; 0,3 à 0.4 tesla pour les ferrites)

• Pertes magnétiques (hystérésis et courants de Foucault)

Pfer = Vfer δ fer pfer avec Vfer volume de l’acier constituant le circuit magnétique

δfer masse spécifique des tôles magnétiques (7.500 kg/m3) pfer pertes fer spécifiques (0,6 à 1,3 W/kg selon la qualité des tôles)

En réalité cette valeur dépend de l’induction dans le noyau Pour les ferrites (voir plus haut)

• Pertes Joule : ( )222111 InInqP mmJ ll += δρ

avec ρ résistivité du cuivre (1,785 10-8 Ωm à 20 °C, avec un coefficient de température égal à 3,8 10-3).

δ densité de courant dans les conducteurs (1.5 A/mm² si pas de ventilation à 3 A/mm² si refroidissement forcé)

q nombre de phases lm1, lm2 longueur moyenne d’une spire primaire, secondaire 21, ss section des conducteurs primaires, secondaires

• Lorsque le rendement du transformateur est maximum, les pertes joules et

magnétiques sont égales.

• L’élancement du noyau n

n

Sh

=λ est généralement compris entre 2 et 4 (hn est la

hauteur du noyau et Sn sa section). • La résistance des bobinages est souvent référencée par rapport à l’impédance du base

du transformateur :

1

111

N

NR I

UkR =

2

222

N

NR I

UkR =

1Rk et 2Rk sont généralement compris entre 0.5 et 2%

1NU , 1NI , 2NU , 2NI sont les tension et courants nominaux

• Le bobinage basse tension sera placé près du noyau. Les bobinages seront isolés par rapport au noyau ainsi qu’entre eux au moyen d’isolants (cartons, films plastiques ...). En première approximation , on pourra adopter pour l’épaisseur d’isolant la formule suivante :

eis = (2 + U is / 5000)mm où U is est le niveau d’isolement souhaité.


• Les conducteurs d’un même bobinage devront également être isolés entre eux (émaillage, ...). Il ne faut pas oublier de tenir compte du facteur de remplissage des bobinages ( de l’ordre de 0,6 en tenant compte de l’isolant pour des bobinages en fil rond).

• Self de magnétisation :

LAnnL 22

=ℜ

=µ

4.5. CALCUL ET OPTIMISATION

Pour fixer les idées, on va raisonner sur un transformateur monophasé cuirassé à section de noyau carrée. On suppose connus a priori :

• La tension, le courant et la puissance apparente nominaux primaires ( 11111 *,, NNNNN IUSIU = )

• La tension nominale secondaire 2NU

• La fréquence Mode opératoire

• On s’impose la valeur de la densité de courant δ (1.5 à 3 A/mm²), ce qui permet de calculer les sections de cuivre :

δ1

1nIs =

• On se fixe la valeur moyenne de Rk (0.01 par exemple, ce qui fixe l’importance des pertes joules) et on évalue la longueur moyenne des conducteurs du primaire à l’aide de la relation suivante :

1

1,

1

11 sI

UkR Cu

N

NR

lρ== on déduit 1,Cul

Dès lors : ( ) 1,14 CuFn lcn l=+ (1)

NOTE : A ce stade, la quantité de cuivre du transfo est fixée car 11, **2 sV CuCu l=

• D’autre part, si Cuk est le coefficient de remplissage de la fenêtre (0.6 par exemple) et λ l’élancement du noyau (entre 2 et 4), on aura :

CunFnF k

snclhl 112== λ

Cu

nF

ks

ncl

λ1

1

2= (2)

• Par ailleurs, à partir de la relation donnant la force électromotrice, on obtient


maxBkUcn

n

Nn

2

121 ω

= (3)

• Les relations (1) à (3) permettent de déterminer les valeurs de ncn ,1 et Fl

• On détermine ensuite 11

22 n

UUn

N

N= et 12

12 s

nns =

• A ce moment, on peut recalculer avec plus de précision les valeurs de 1R et de 2R • On vérifiera :

o La valeur coefficient de remplissage de la fenêtre Cuk o L’échauffement du bobinage o L’échauffement du matériau magnétique

• En modifiant la valeur de l’élancement du noyau, il est possible d’optimiser la quantité de matériau magnétique utilisée.

4.6. EVALUATION DE LA REACTANCE MAGNETISANTE

La réactance magnétisante (vue du côté 1) vaut ℜ

=21nX ωµ où ℜ désigne la réluctance du

circuit magnétique. Par ailleurs, on a :

20

215.2221

nn

nFn

ccclh ε

µµ+

++=ℜ

où µ est la perméabilité magnétique du matériau magnétique ε est la longueur cumulée des entrefers parasites

Notes : • la contribution des entrefers parasites n’est en général pas négligeable • dans un transformateur bien dimensionné, la réactance magnétisante vaut entre 20

et 40 fois l’impédance de base du transformateur :

1

1

1

1 4020I

UXI

U≤≤ µ

4.7. EVALUATION DE LA REACTANCE DE FUITE

Supposons que les enroulements soient concentriques (l’extension à d’autres types d’enroulements est aisée). hypothèses :

• l’énergie du champ est confinée dans les bobinages et dans l’espace qui les sépare ; • géométrie plane 2D • densité de courant uniforme dans les bobinages

Soit • 1ml longueur moyenne des spires de la bobine 1

• 2ml longueur moyenne des spires de la bobine 2

• l0 longueur moyenne de l’espace situé entre les bobines • h hauteur des bobines


•

H

a1 e1 a2 e2

h

nI/h

On aura

1

11

ehIn

drdH

= à l’intérieur du conducteur intérieur et

2

22

ehIn

drdH

−= à l’intérieur du conducteur extérieur.

∫== dxHhILW 2

21 202 l

µ

soit

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+= 2 0

2 21 1210

3 aeehnL mm l

llµ

4.8. PARAMETRES SUPPLEMENTAIRES A CONSIDERER

• Résistance: lorsque les dimensions des conducteurs sont importantes, il faut tenir compte de l’effet pelliculaire. En première approximation, on calcule les pertes supplémentaires comme si les conducteurs se trouvaient dans une encoche ouverte (voir plus loin);

• Echauffement: le calcul se fera comme pour les bobines.


• Efforts électrodynamiques: pour limiter les efforts électrodynamiques, les différentes bobines placées sur une même colonne ont généralement la même longueur et sont centrées sur la hauteur de la colonne. Les efforts électrodynamiques peuvent être importants lors de la mise sous tension et il importe de les calculer et d’assurer un calage convenable des bobines .

4.9. SUITE DES OPERATIONS

Le recours au calcul de champ permet de préciser les différents paramètres importants : • courant magnétisant (amplitude et harmoniques) ; • impédance de court-circuit ; • pertes joules et magnétiques ; • forces électrodynamiques

et d’affiner le dimensionnement du transformateur. 5. AUTOTRANSFORMATEUR

I 1

U1

U2

I 2

I 1 I 2

I 1- I 2

I 1

Pour une densité de courant δ donnée, la section totale de cuivre d’un transformateur (courant nominal I1; rapport de transformation n1/n2 et 21 nn > ) est donnée par

Str = n1I1δ

+ n2I2δ

= 2 n1I1δ

Pour un autotransformateur, on aura

Satr = (n1 − n2)I1δ

+ n2I2 − I1

δ= 2 n1

I1δ

(1 −n2n1

)

Le gain sera donc d’autant plus important que le rapport de transformation sera proche de 1. Par ailleurs, l’inductance de fuite de l’autotransformateur sera plus faible. On trouve aisément que :

L =

µ0 l (n1 − n2 )2

3 h (e1 + e2 )

où l est la longueur moyenne d’un spire ; h est la hauteur commune des 2 bobines ;


e1 et e2 sont les épaisseurs des 2 bobinages accolés.

CHAPITRE 9 CONCEPTION DE DISPOSITIFS COMPORTANT DES AIMANTS

PERMANENTS

1. INTRODUCTION

Fig 1

Un aimant permanent est constitué d'un matériau ferromagnétique à large cycle d'hystérésis. Si la plupart des alliages de fer, de cobalt et de nickel présentent un cycle d'hystérésis, les matériaux à large cycle sont beaucoup plus rares. Un aimant permanent doit être stable (insensibilité aux chocs, aux cycles thermiques et au viellissement) et présenter de bonnes caractéristiques mécaniques. La physique des matériaux permet de lier les caractéristiques des aimants permanents aux phénomènes atomiques et corpusculaires. Si la notion de dipôle magnétique est associée au spin de l'électron, celle de ferromagnétisme est liée à la création de domaines magnétiques d'un seul tenant, dans lesquels les moments magnétiques atomiques sont alignés parallèlement les uns aux autres, les domaines de Weiss. Ces domaines sont séparés entre eux par des zones

CAO des systèmes électriques Chapitre 9 : Dispositifs à aimants permanents 136

de transition, dites parois de Bloch. C'est le comportement de celles-ci qui est responsable du phénomène de rémanence.

fig 2

2. CARACTERISTIQUE MAGNETIQUE

La caractéristique magnétique d’un aimant permanent est représentée dans le second quadrant du plan B-H (fig 2). Le cycle magnétique de l’aimant permanent est caractérisé par : • l'induction rémanente Br qui correspondant à H = 0, • le champ coercitif Hc , qui correspond à une induction B = 0 . • la perméabilité ( )HB ∆∆ / qui a une valeur proche de 1. La caractéristique magnétique principale ou de désexcitation (fig 2) est obtenue à la suite d’une forte magnétisation du matériau (B et H positifs dans le 1er quadrant). 3. LA DROITE DE RECUL

Partant d'un point de la caractéristique principale (Q sur la figure 3), on constate qu'on quitte celle-ci lorsque l'induction augmente. Le chemin suivi peut être approché par une droite qui est approximativement parallèle à la tangente de la caractéristique de désexcitation au point (O, Br). Cette droite, appelée droite de recul, est également parcourue lors d’une diminution de l'induction, jusqu'à ce que le point de fonctionnement rejoigne la caractéristique principale. Si, partant du point Q l’induction diminue, l’état magnétique suit la caractéristique principale. Le point de fonctionnement d’un aimant permanent dépend donc de la valeur minimale atteinte par l’induction dans l’aimant après sa magnétisation initiale. Note : dans la réalité, la droite de retour présente également un phénomène d'hystérésis (figure 3b). Pour des fréquences importantes, ce phénomène doit être pris en considération.


fig 3

4. POINT DE FONCTIONNEMENT

Considérons le dispositif de la figure suivante, supposé sans flux de fuites. a est un aimant permanent, f sont des structures en matériau magnétique à haute perméabilité et e est un entrefer.

a

f f

e

droitede recul

H0 Hc

Br

point de fonctionnement fig 4

Loi d’Ampère : Hala + Hf lf + Hele = 0 Conservation du flux : BaSa = µ0HeSe = µ f HfSf ,

Dès lors : ( )efa

aa

e

e

ff

f

a

aaa

SBSS

SBH ℜ+ℜ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

l

ll

l 0µµ

ou ( )efa

aaa S

HBℜ+ℜ

−=l .

ℜ désigne la réluctance d’un élément de circuit magnétique. La droite )( aa HfB = que nous venons de définir possède une pente inversement proportionnelle à la réluctance du circuit magnétique vu de l’aimant. Le point de fonctionnement aa HB , de l’aimant se trouve donc à l’intersection de cette droite et de la droite de recul : Ba = µ a H a − H0( ) (H 0 ≤ 0) Certains aimants, de type ferrite ou samarium-cobalt (voir figure) présentent une caractéristique principale linéaire. Elle est alors confondue avec l’ensemble des droites de recul.


5. SCHEMA EQUIVALENT D’UN CIRCUIT MAGNETIQUE COMPORTANT UN AIMANT PERMANENT

Comme Hala + Hf lf + Hele = 0 Φ=== fffeeaa SHSHSB µµ0

et Ba = µ a H a − H0( ),

on peut écrire : 00

0 =+++e

eee

ff

fffa

aa

aaaa S

SBS

SBS

SBHµµµll

ll

l

ou aefaF ℜΦ+ℜΦ+ℜΦ=

où aa HF l0−= désigne la force magnétomotrice. On en déduit le schéma équivalent suivant :

fig 5

6. FORCE PORTANTE

Supposons que l’on écarte légèrement les deux extrémités de l’entrefer d’un dispositif comprenant un aimant permanent. L’énergie mécanique fournie servira :

• à augmenter l’énergie magnétique contenue dans l’entrefer ( ( )2

eeeee

BHSW l= ) de

dWe :

2

eeeeeeeee

BHdSdBHSdW ll +=

• à augmenter l’énergie magnétique contenue dans le matériau magnétique de dWf : fffff dBHSdW l=

• à augmenter l’énergie magnétique de l’aimant de dWa : aaaaa dBHSdW l=

D’où aaaaffffee

eeeeee dBHSdBHSBHdSdBHS llll +++=2

.dlF .

Comme Ba = µ a H a − H0( ) BaSa = BeSe = BfSf = Φ Sa dBa = Se dBe = Sf dBf = dΦ ,


on a Φ+ΦΦ+ΦΦ+Φ

+ΦΦ= dHdS

dSS

ddS a

aa

a

ff

f

ee

e

ee

e0

2

2. l

llll

µµµµdlF

soit ( ) Φ−ℜΦ

+ΦΦℜ+ℜ+ℜ= ddd aeafe F 2

.2

dlF

Puisque ( )Φℜℜℜ= afeaF ++ (cfr schéma équivalent),

on peut écrire eee

e dSBd l0

22

22.

µ=ℜ

Φ=dlF .

L’énergie fournie pour augmenter la taille de l’entrefer de l’aimant est égale à l’énergie magnétique contenue dans le supplément d’entrefer.

Comme afe

aa FFℜℜℜ

=ℜ

=Φ++

( ) eafe

a dFd ℜℜℜℜ

−=Φ 2++,

on a aussi ( ) 221. 0

2a

aaeafe

dBHvdFdF=Φ−=ℜ

ℜℜℜ=

++2

2adlF

d’où 2

. 0 aa

dBHv=dlF

La force portante d’un aimant est donc proportionnelle au volume de l’aimant ainsi qu’au champ coercitif. 7. MODELISATION DES AIMANTS.

Considérons l’aimant représenté que la figure 6. On lui associe le coefficient de fuite σ tel que

1utileflux

aimantl' danscirculant flux ≥=

ΦΦ

=u

aσ

En pratique, ce coefficient est généralement compris entre 1,1 et 3. S’il est relativement facile de déterminer les flux de fuite associés aux parties du circuit magnétique ayant une grande perméabilité, les flux de fuite directement associés à l'aimant sont plus délicats à évaluer. En effet, d’une part la perméabilité de l’aimant est faible et d’autre part la distribution locale des domaines de Weiss sur les bords des aimants est déterminante quant à la répartition spatiale des lignes de fuite.


fig 6

RELATIONS APPROCHEES

Les expressions du facteur de fuite qui suivent sont connues sous le nom de relations de Maynard et Tenzer. Elles concordent avec une précision de ± 10% avec les valeurs réelles dans la plupart des cas pratiques. Les pa pb et pc désignent les périmètres de la section droite des éléments de longueur a, b, c. Aδ représente la section de l’entrefer. Les autres paramètres sont définis sur les figures.

fig 7


fig 8

fig 9

fig 10


fig 11

8. OPTIMISATION DU VOLUME DE L’AIMANT

fig 12

En négligeant le flux de fuite de l’aimant, on a : ffeeaa SBSBSB == et 0=++ aaffee HHH lll

Dès lors =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

22ff

fee

e

BHvBHv

22ee

eaa

aBHvBHv ≈− .

Le volume minimum d’aimant nécessaire pour accumuler une certaine énergie magnétique dans l’entrefer s’obtient pour le maximum du module du produit Ha Ba . 9. CIRCUITS MAGNETIQUES DEFORMABLES

Dans beaucoup d’applications, l’aimant fonctionne avec un circuit magnétique déformable. C’est le cas des fermetures magnétiques de porte, des moteurs pas à pas, ....


aimant

acier

fig 13 fig 14

Considérons par exemple le cas d’une fermeture magnétique (figure 13). Le point de fonctionnement se situe sur la droite de recul SB0 (figure 14). Le point N correspond à l’entrefer maximum et le point M à l’entrefer minimum. Le point S correspond au niveau d’induction minimum atteint lors des opérations antérieures (montage par exemple). L’énergie mécanique développée pour passer du point M au point N peut se calculer à partir de l’expression vue plus haut (§ 6)

aamec dBHvdW 021. == dlF

d’où ( )

aMN

mec vHBBW2

0−= .

CHAPITRE 10 CONCEPTION DES MACHINES ELECTRIQUES TOURNANTES

1. CALCUL DU STATOR D’UNE MACHINE TRIPHASEE

En général, on dispose a priori des données suivantes : • puissance utile Pu; • tension nominale par phase UV = (couplage triangle) ou 3/UV = (couplage

étoile); • fréquence d’alimentation f ; • vitesse synchrone pfps /2/ πωω == .

1.1. BOBINAGE ET FORCE ELECTROMOTRICE

Les conducteurs sont logés dans des encoches (figure 1). Lors de la conception, il faut songer que les dents situées entre les encoches doivent véhiculer tout le flux traversant l’entrefer. Par ailleurs, ces encoches sont soumises à des efforts non négligeables. Par définition, le pas polaire τ est la distance, mesurée à la périphérie de l'entrefer, séparant les axes de deux pôles magnétiques successifs de polarité différente. Par conséquent, si ρI désigne le rayon de la machine et si celle-ci comporte 2p pôles, on a :

τ =2 π ρI

2 p=

π ρI

p.

Soit q le nombre de phases et m le nombre d'encoches par pôle et par phase. Le bobinage comporte alors 2 pm q encoches identiques réparties uniformément à la périphérie de l'entrefer. La distance τd séparant les axes de deux encoches successives est appelée pas de denture et vaut :

τd =2 πρI

2p q m=

τq m

.

Dans chaque encoche sont logés na conducteurs identiques. La figure 1 montre la disposition des conducteurs d'un bobinage statorique triphasé tétrapolaire comportant deux encoches par pôle et par phase (p = 2, q = 3, m = 2). Afin de ne pas surcharger le dessin, un seul conducteur a été dessiné dans chaque encoche. La figure 2 représente une vue développée de cet enroulement.

CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 146

τ

τ

m=2p=2q=3

µ >>

µ = µ0

µ >>rotor

stator

dent

entrefer

fig 1

τ

m=2p=2q=32 τ / 3

1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'

2 τ / 3

τ τ τ

µ >>

µ = µ0

1

τd

Fig 2.

Le nombre total de conducteurs logés dans les encoches est égal à : anmqpn 2= Supposons que l'encoche située à l'extrême gauche de la figure 2 constitue le départ de la première phase et qu’en suivant le bobinage, cette encoche soit parcourue dans le sens indiqué sur la figure (du recto vers le verso de la feuille). Comme la première encoche, les (m-1) encoches suivantes font partie de la première phase et sont parcourues dans le même sens que la première. L’encoche distante d’un pas polaire τ de la première encoche, ainsi que les (m-1) encoches suivantes, font également partie de la première phase, mais elles sont parcourues dans le sens contraire de l’encoche de départ. S'il y a plusieurs paires de pôles, la disposition précédente (m encoches parcourues dans un sens, m encoches parcourues en sens contraire) est répétée à des distances 2τ , 4τ ,... 2(p −1)τ de la première encoche. L'ensemble de ces conducteurs ainsi que leurs interconnexions constituent la première phase du bobinage. La seconde phase est identique à la première, mais elle est décalée spatialement de 2τ / q par rapport à la première. La troisième phase, également identique à la première, est décalée spatialement de 2τ / q par rapport à la seconde et ainsi de suite...


Tous les bobinages polyphasés à un étage sont réalisés de cette manière. Ils se distinguent néanmoins par la manière dont les conducteurs sont reliés entre eux en dehors des encoches, c’est-à-dire au niveau des têtes de bobines. La figure 3 montre une vue développée d’un tel bobinage. Sur cette figure, les parties de conducteurs situées dans les encoches sont représentées en traits épais. D’autres types de bobinages sont présentés dans l’annexe A de ce chapitre.

m=2p=2q=3

1 2 3 3' 1' 2'

P

Q

1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'

Fig 3.

π

fig 4

D’une manière générale, la force électromotrice totale développée aux bornes d’un enroulement vaut (figure 4):

Φ= ed KKdq

nE 22

ω

mq

qKd

2 sin m

2 sin

π

π

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

τπ 1

2sin yKe

• ω est la pulsation; • d est le nombre de dérivations d’une phase (conducteurs en parallèle); • Kd est le facteur de bobinage;


• Φ est le flux d’induction magnétique par pôle • τ est le pas polaire • τ/1y est l’embrassement relatif des sections du bobinage, égal à 1 dans le cas des

bobinages à un étage. 1.2. DIMENSIONS PRINCIPALES : RELATION DE FISHER-HINNEN

Ce sont le diamètre D et la longueur L du stator. On les déduit des considérations suivantes : Puissance utile : ηϕ cos IVqPu =

• Pu : puissance utile ou puissance mécanique (watt) • q : nombre de phases • V : tension aux bornes d’une bobine • I : courant dans une bobine • cos ϕ : cosinus phi • η : rendement

Tension aux bornes d’une phase Φ=≅ 22 ed KKdq

nEV ω

• n : nombre total de conducteurs périphériques du stator • d : nombre de dérivations d’une phase • Φ : flux par pôle dans l’entrefer

•

mq

qKd

2 sin m

2 sin

π

π

=

• τ

π 1

2 sin yKe =

• m : nombre d’encoches par pôle et par phase • y1 : largeur des sections (distance séparant des conducteurs aller des conducteurs

retour) • τ : pas polaire

Si l’induction était répartie sinusoïdalement le long de l’entrefer, le flux par pôle serait égal à

LBdxLxB eet 2sin max0

max τπτ

πτ

∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ

En réalité, on a

LBe 2max τ

πα=Φ avec 1≤α

En introduisant le coefficient d’élancement du stator τ

λL

= , on obtient :

Φ = α2π

Be max τ 2 λ

Par ailleurs, définissons la densité linéique (efficace) de courant :


dpInA 2

τ

=

La densité linéique de courant est une grandeur importante, car elle conditionne l’échauffement du stator : en effet, le rapport entre l’effet joule dissipé dans les encoches et la surface de l’entrefer vaut ρ A δ (ρ résistivité des conducteurs; δ : densité de courant dans les conducteurs). En effet, si on

désigne par ds

I

c

=δ la densité de courant dans les conducteurs ( cs est la

section d’un conducteur) et par pL 2Se τ= la surface de l’entrefer, le rapport entre les pertes Joule et la surface de l’entrefer vaut :

δρδτ

ρτ

ρρ Adp

InpLsd

LIndI

sLn

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

2SSP

2

22

ee

J

A partir des formules (encadrées) précédentes, on obtient aisément la relation de Fischer-Hinnen :

τ3 =24

1α λ η cos ϕ Kd Ke A Be max

Pu

p f

On en déduit :

λτ

πτ==

LpD /2

Remarque

Le volume du rotor de la machine vaut λτπ

τππ 22 2

44⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

pLDV , soit

V =

24 π

1α η cos ϕ K dKe A Be max

p Pu

f

Ordres de grandeur

• α est compris entre 0,7 (grosses machines) et 0,9 (petites machines) • λ est compris entre 1 à 1,5 (p=1) et 2,5 (p=10) • η et cos ϕ sont donnés en première approximation par le tableau suivant

Pu 100 W 1 kW 10 kW 2000 kW η 55% 75% 87% 96% cos ϕ

(1500 tr/min) 0,7 0,75 0,84 0,87

Le cos ϕ décroît si la vitesse diminue : pour une machine de 10 kW, il varie de 0.88 (3000 tr/min) à 0.82 (750 tr/min)

• KdKe ≅ 0, 9


• A varie entre 250 et 400 A/cm pour des puissances croissantes (plus A est élevé, plus la réactance de fuite est importante)

• Be max est compris entre 0,65 et 1 Wb/m2 (limité par la nécessité de limiter la saturation dans les dentures)

• τ doit être supérieur à 6 cm (pour avoir des dents suffisamment larges) et inférieur à 80 cm (pour limiter les forces centrifuges car la vitesse périphérique vaut v=2 f τ )

Algorithme :

soient α, λ, η, cos φ, K, A, Bemax, q, p, f, Pu calculer le pas polaire : τ la longueur du stator L= τ λ le diamètre intérieur du stator D=2pτ/π

1.3. ENCOCHES

Il y a intérêt à choisir un nombre d’encoches par pôle et par phase m élevé afin de réduire la réactance de fuite X1. Néanmoins, le pas de denture τd ne peut être trop faible

• 8 à 25 mm en BT < τd < 40 à 50 mm en HT La largeur minimale de dent ld sera choisie de telle sorte que l’induction maximum dans les dents Bdmax ne soit pas trop élevée (1,5-1,8 Tesla). On a donc

dedd BlB τmaxmax = Le type d’encoche sera choisi correspondra à un des modèles représentés sur la figure 5.

Notons o les types a et b sont des encoches rectangulaires pour des bobinages à un ou

deux étages (machines de grosse puissance) o les types c et d sont utilisés pour les rotors à cages o les types e et f sont dimensionnées de telle sorte que la largeur de la denture

est constante (machines de faible puissance) o l’ouverture de l’encoche c et la valeur de h4 doivent être choisis pour limiter le

flux de fuite d’encoche (c > 1,5 mm; h4 < 0,75 mm) Le nombre de conducteurs par encoche se déduit de la formule

nceId

= A τd

La section des conducteurs sc dépend de la densité de courant admissible, laquelle est en corrélation avec A, car l’échauffement du stator dépend de A δ.

• En unités MKSA, le produit A δ est compris entre 10 1010 et 20 1010 selon l’efficacité de la ventilation.

• δ est généralement compris entre 4 et 8 A/mm2.


fig 5

L’intérieur de l’encoche doit être tapissé d’un isolant afin de protéger électriquement et mécaniquement les conducteurs. L’épaisseur indicative de cet isolant est donnée par le tableau suivant U (volts) <500 500 1000 2000 4000 6000 e (mm) 0,3 0,7 1,3 1,3 1,7 2,3 Pour le dimensionnement de l’encoche, il faut également tenir compte de l’isolant qui doit entourer chaque conducteur et du coefficient de remplissage. Les conducteurs sont maintenus dans l’encoche grâce à une cale en bakélite de 2 à 5 mm d’épaisseur (selon la largeur de l’encoche). Algorithme :

• sachant que τ=q m τd, • déterminer m de telle sorte que τd soit acceptable • choisir le type d’encoche • choisir la largeur des dents ld • calculer nce • fixer δ de telle sorte que Aδ soit acceptable • calculer sc • en tenant compte des encombrements, dimensionner l’encoche


1.4. NOYAU

Le flux produit se referme sous les encoches et vaut Φ/2. L’induction maximum dans le noyau Bnmax sera limitée à 1,2 à 1,4 T. 1.5. ENTREFER

Pour les moteurs asynchrones, l’épaisseur de l’entrefer sera choisie le plus faible possible, en tenant compte que le stator et le rotor ne peuvent entrer en contact . En pratique, on peut adopter comme première approximation :

δ entrefer = (0,2 + D.L ) 10−3 (longueurs exprimées en m)

1.6. EVALUATION DE LA RESISTANCE DES BOBINAGES

Pour calculer la résistance d’une phase, il faut évaluer la longueur des conducteurs en tenant compte des têtes de bobine. Si les dimensions des conducteurs ne sont pas négligeables vis-à-vis de la profondeur de pénétration, il faut tenir compte de l’effet pelliculaire (voir annexe B de ce chapitre). 1.7. EVALUATION DE L’INDUCTANCE DE FUITE DES BOBINAGES

L’inductance de fuite d’un bobinage représente la partie du flux produit par ce bobinage et qui n’influence pas les bobinages situés de l’autre côté de l’entrefer. On distingue :

• l’inductance de fuite d’encoche : elle résulte du fait qu’une partie du flux produit par les conducteurs situés dans une encoche n’entre pas dans l’entrefer (voir annexe). Cette inductance de fuite est influencée par l’effet pelliculaire qui peut naître dans les conducteurs de l’encoche.

• l’inductance de fuite des têtes de dents : représente la partie du flux produit par les conducteurs qui se referme dans l’entrefer sans atteindre l’autre côté de celui-ci. Elle est souvent négligeable .

• l’inductance de fuite des têtes de bobines : elle représente le flux entourant les conducteurs situés aux extrémités du bobinage et servant à relier les encoches entre elles (voir annexe)

• l’inductance de fuite de dispersion différentielle : le flux produit par un bobinage n’est pas sinusoïdal et il comporte des harmoniques spatiaux; il en résulte qu’une partie de ce flux traverse l’entrefer mais ne produit pas de force électromotrice dans les bobinages situés de l’autre côté de l’entrefer

L’inductance de fuite totale est la somme de ces quatre termes :

dtbtd λλλλ ++= L’annexe C de ce chapitre fournit des indications relatives à l’évaluation des inductances de fuite.


2. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR ASYNCHRONE A ROTOR BOBINE

Le calcul du rotor s’effectue comme celui du stator en tenant compte des remarques suivantes :

• le nombre de pôles et de phases rotoriques sont identiques à ceux du stator; • le rotor est couplé en étoile (pour éviter les courants homopolaires); • la tension rotorique est choisie inférieure à 220 V pour les petites et moyennes

puissances afin de faciliter l’isolement; • pour éviter des points morts au démarrage, m2 est choisi premier avec m1 et le plus

grand possible en maintenant τd compris entre 15 et 30 mm; • à vide : U2I2 ≈ 0,9 U1I1; • les résistance R2 et la réactance de fuite X2 se calculent comme pour le stator;

• R’2 = R2 / τ2 X’2 = X2 / τ2 I’2 = τ I2 211

122

1

2

dnKdnK

EE

==τ .

3. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR ASYNCHRONE A SIMPLE CAGE

Les encoches sont généralement de forme circulaire ou telles que la denture soit de section constante: Le nombre de barres N2 sera choisi de telle sorte qu’il n’y ait pas de points morts dans le couple. En pratique, on choisit N2 pair et N 2 ≅ 0, 9 N1 ( N1 = 2p m1 q1 est le nombre d’encoches statoriques); Les barres de cuivre ou d’aluminium sont logées dans des encoches sans isolation intermédiaire. La densité de courant admissible est de l’ordre de 3 à 6 A/mm2; Aux deux extrémités, les barres sont court-circuitées par des anneaux de court-circuit. Evaluation du courant dans une barre Sachant que 111222 9,0 IEqIEN ≅

avec Φ= 22 1

11

11 K

dqnE ω

et Φ= 222

ωE ,

on obtient : τ

12 9,0 II =

avec 11

21

KnNd

=τ

Dans l’anneau, le courant vaut

2

2

sin 2N

pII a π

=


car ( )2/2

2 /sin22 NpIeIII aNpj

aa ππ =−= (voir figure 6)

π

fig 6

4. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR ASYNCHRONE A ENCOCHES PROFONDES

Dans ces moteurs, les encoches rotoriques sont allongées (type c voir figure 5). Pour le calcul, on peut admettre en première approximation qu’entre la vitesse de synchronisme et le glissement correspondant au couple maximum, le courant est quasiment réparti uniformément dans la barre. Au démarrage (g=1), on peut considérer que la résistance est celle d’une barre de même largeur et de hauteur égale à 1 cm (pour 50 Hz). Dans les mêmes conditions, l’inductance de fuite d’encoche est approximativement celle d’une barre de 1,5 cm de hauteur (50 Hz) parcourue par un courant uniforme. 5. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR ASYNCHRONE A DOUBLE CAGE

La figure 7 montre les configurations les plus fréquentes. La réactance de fuite de la cage intérieure est élevée et sa résistance faible, de telle sorte que c’est elle qui prédomine lorsque le glissement est faible. La cage extérieure, dont la résistance est élevée et la réactance faible intervient au démarrage. Les calculs s’effectuent de la manière suivante :

• On effectue un premier calcul de N2 et de la section des barres sb et de l’anneau sa comme pour une simple cage.

• Ensuite, on répartit la résistance de barre et d’anneau entre les 2 cages de la manière suivante : 80 % pour la cage extérieure et 20 % pour la cage intérieure. Les 2 cages sont distantes de 10 à 20 mm.

• Au démarrage, la cage extérieure intervient pratiquement seule, tandis qu’à la vitesse de synchronisme, c’est principalement la cage intérieure qui travaille.


fig 7

6. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR A RELUCTANCE VARIABLE

La figure 8 représente un tel moteur comportant 4 pôles.

Fig 8

L’expression générale du couple est :

int

2

2sin2

δω dq

qd

LLLLUpqC

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

avec q nombre de phases statoriques p nombre de paires de pôles U tension d’alimentation du stator dL inductance directe de la machine

qL inductance transversale de la machine

δ int angle interne de la machine (angle entre l’axe du champ statorique et l’axe magnétique du rotor divisé par la nombre de paires de pôles)


Fig 9

Dans le cas d’un bobinage triphasé, on pourra évaluer les valeurs de dL et qL à partir du calcul de l’énergie magnétique emmagasinée dans le cas où l’axe magnétique correspond à celui du flux (fig 9.a pour une machine bipolaire) et dans le cas où l’axe magnétique est orthogonal à celui du flux (fig 9.b)

(a) dvBIL Md ∫=

0

22

24 µ

(b) dvBIL Mq ∫=

0

22

24 µ

• MI est la valeur de crête des courants triphasés circulant dans les bobinages • l’intégrale de la densité d’énergie magnétique s’effectue en principe sur tout

l’espace, mais les contributions des éléments suivants sont généralement négligeables :

o l’espace extérieur au moteur o les circuits magnétiques.

7. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR A AIMANTS PERMANENTS

L’expression générale du couple est :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= int

2

int2 2sin21sin1 δ

ωδ

ω dq

qd

d

v

LLLLU

LUEpqC

avec q nombre de phases statoriques p nombre de paires de pôles U tension d’alimentation du stator dL inductance directe de la machine

qL inductance transversale de la machine

Ev force électromotrice induite par les aimants


δ int angle interne de la machine (angle entre l’axe du champ statorique et l’axe magnétique du rotor divisé par le nombre de paires de pôles)

SN

SN

S N

SN

SN

S N

SN

SN

SN

SN

S N SN

(c)(b)(a) Fig 10

Le bobinage rotorique des moteurs synchrones peut être remplacé par des aimants permanents. Il en résulte un meilleur rendement du moteur vu l’absence de pertes joules rotoriques. Différentes possibilités existent quant à la disposition des aimants sur le rotor (voir figure 10). Selon le matériau utilisé pour réaliser les aimants, la valeur moyenne de l’induction dans l’entrefer varie de 0.3 à 0.7 Tesla. Du fait de la très faible perméabilité des aimants permanents, il résulte que la largeur de l’entrefer est augmentée fictivement de ah µ/ ou h est l’épaisseur de l’aimant et aµ sa perméabilité relative. Dans certains cas, l’entrefer effectif selon l’axe d peut être supérieur à celui de l’axe q. Alors

qd XX < et le couple a l’allure indiquée sur la figure 10. Dans ce cas, la machine ne possède pas de point de fonctionnement stable au voisinage de 0int =δ . Les moteurs synchrones à aimants permanents possèdent généralement une cage rotorique. Cette cage permet d’une part le démarrage autonome de la machine et d’autre part elle protège les aimants permanents contre la désaimantation pendant la phase de démarrage, du moins lorsque les aimants se trouvent à l’intérieur de la cage. A faible vitesse, à côté du couple asynchrone engendré par la cage, le moteur possède un couple de freinage, dû au fait que les bobinages statoriques court-circuitent la force électromotrice engendrée par la rotation des aimants permanents. Ce phénomène détériore les performances de ce type de moteur au démarrage. Lors du dimensionnement du moteur, il faut s’assurer que dans tous les cas de fonctionnement, l’état magnétique de l’aimant demeure sur la droite de recul (figure 12).


Fig 11

Fig 12

Le tableau suivant indique quelques caractéristiques d’aimants permanents :

(BH)max (kJ/m3)

Br (T)

Hc (kA/m)

Alnico 40 1,2 52 Ferrite 26 0,37 240 SmCo5 160 0,9 660 Sm(0.5)Pr(0,5)Co5 200 1,0 800 Sm2Co17 200 1,025 730 Nd2Fe14B 250 1,12 775 Re2Fe14 238 1,13 835

Si les aimants comprenant des terres rares paraissent plus intéressants que ceux au Samarium-Cobalt, il faut cependant tenir compte de leur prix plus élevé et du fait que leurs propriétés magnétiques se dégradent plus rapidement lorsque la température de fonctionnement augmente (voir tableau suivant).


Coefficient de température de Br (%/K) de Hc (%/K) SmCo -0,03 -0,3 Nd2Fe14B -0,126 -0,6

8. MOTEURS PAS A PAS

Les moteurs pas à pas font partie de la famille des moteurs à réluctance variable et/ou à aimants permanents. L’expression générale du couple est :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

pdq

qd

pd

v

LLLLU

LUEKC

βδ

ωαδ

ω2sin

21sin1 2

2

avec U tension d’alimentation du stator Ev force électromotrice induite par les aimants éventuels dL inductance directe de la machine (réluctance minimale)

qL inductance transversale de la machine (réluctance maximale)

δ angle interne de la machine (angle entre l’axe du champ statorique et la position de réluctance minimale la plus proche)

pα pas angulaire du moteur

Note : les lignes et les illustrations qui suivent sont inspirées de JUFER « Electromécanique » publié chez Dunod 8.1. MOTEUR RELUCTANT MULTICIRCUITS

Ces moteurs comportent plusieurs circuits statoriques indépendants (un par phase) ; les circuits rotoriques sont communs ou indépendants. Les nombres de dents du stator et du rotor sont égaux ( sr ZZ = ).

Fig 13

La figure 13 représente un tel moteur triphasé. Si rZ est le nombre de dents rotoriques, le pas dentaire angulaire du rotor vaut rr Z/2πα = . Les trois parties du stator sont décalées l’une par rapport à l’autre d’un angle qrp /αα = où q désigne le nombre de phases. Le nombre de

pas par tour vaut par conséquent rpp qZN == απ /2 .

Propriétés :


• moteur relativement volumineux. • nécessite un minimum de 3 phases • inductance mutuelle nulle entre les phases statoriques. • pas de couple à courant nul

8.2. MOTEUR RELUCTANT A SIMPLE CIRCUIT

Fig 14

Un tel moteur est représenté sur la figure 14. Le stator de ce moteur est triphasé et possède un pas dentaire ss Z/2πα = . Le pas dentaire du rotor est égale à rr Z/2πα = . Le pas angulaire du moteur vaut rssrsrp ZZZZ /2 −=−= πααα .

Le nombre de pas par tour vaut par conséquent

srsrpp ZZZZN −== //2 απ

Une période électrique correspond à q (nombre de phases) impulsions, soit à une rotation d’un angle égal à pr qαα = . Dès lors,

srs ZZZq −= / .

Le nombre de phases est généralement compris entre 3 et 8. Le tableau suivant donne quelques exemples :

pN pα qsZ rZ

6 60° 3 3 2 12 30° 3 6 4

120 3° 3 60 40 24 15° 4 8 6 60 6° 4 20 15

120 3° 4 24 30 La figure 15 présente un autre type de moteur réluctant à simple circuit comportant le même pas dentaire au stator et au rotor. Dans ce cas-ci, les pôles du stator sont décalés l’un par rapport à l’autre d’un angle qrp /αα = . Alors, le nombre de pas par tour est égal à


rpp qZN == απ /2

Cette disposition permet d’obtenir un nombre de pas par tour est élevé avec une nombre de bobines statoriques faible. Le moteur représenté sur la figure 15 comporte 4 phases et il effectue 72 pas par tour.

Fig 15

Propriétés : • moteur compact • nécessite un minimum de 3 phases • pas de couple à courant nul • possibilité d’obtenir un grand nombre de pas par tour avec peu de bobinages

statoriques 8.3. MOTEUR ELECTROMAGNETIQUE

Ce type de moteur comporte un aimant permanent (figure 16 et 17). En l’absence de courant : • le rotor n’est pas libre de tourner comme dans le cas des moteurs réluctants. • ce moteur possède un nombre de positions d’équilibre stable égal au nombre de pas.

Contrairement au moteur réluctant qui nécessite un minimum de 3 phases, le moteur électromagnétique peut ne comporter que deux phases pour autant que l’on puisse inverser le courant dans ces phases. Le moteur représenté sur la figure 15 comporte deux phases. En les alimentant dans l’ordre +A, +B, -A, -B, on fait tourner le moteur dans le sens antihoraire.

Fig 15 Fig 16


Le moteur de la figure 16 comporte 8 pas par tour. Propriétés :

• moteur compacts. • possibilité de réaliser des version biphasées • couple non nul à courant nul • moteur comportant peu de pas par tour

8.4. MOTEUR RELUCTANT POLARISE

Le moteur réluctant polarisé est un moteur réluctant auquel on a ajouté un aimant permanent afin de lui permettre de développer un couple à courant nul. La figure 18 montre le principe d’un tel moteur à 4 phases et 72 pas par tour. Le rotor comporte deux parties, reliées par un aimant permanent à aimantation axiale. Le circuit magnétique de l’aimant se referme par les entrefers et le stator. Les positions d’équilibre stable au repos sont celles correspondant à la réluctance minimale de ce circuit magnétique (en nombre égal au nombre de pas par tour). Propriétés :

• moteur compact • nécessite un minimum de 3 phases • couple non nul à courant nul • possibilité d’obtenir un grand nombre de pas par tour avec peu de bobinages

statoriques

Fig 18

CHAPITRE 10 - ANNEXE A BOBINAGES POLYPHASES

1. INTRODUCTION

Les machines tournantes à courants alternatifs sont composées d’un stator et d’un rotor séparés par un entrefer. Le stator et le rotor comportent des enroulements parcourus par des courants continus ou alternatifs qui produisent dans l'entrefer des champs magnétiques glissants. L'interaction entre les champs glissants produits par le stator et par le rotor engendre le couple mécanique dans la machine. 2. CONSTITUTION DES BOBINAGES POLYPHASES.

2.1. ENROULEMENT A UN ETAGE A M ENCOCHES PAR POLE ET PAR PHASE.

2.1.1. Disposition des conducteurs dans les encoches. Par définition, le pas polaire τ est la distance, mesurée à la périphérie de l'entrefer, séparant les axes de deux pôles magnétiques successifs de polarité différente. Par conséquent, si ρI désigne le rayon de la machine et si celle-ci comporte 2p pôles, on a :

τ =2 π ρI

2 p=

π ρI

p.

Soit q le nombre de phases et m le nombre d'encoches par pôle et par phase. Le bobinage comporte alors 2 pm q encoches identiques réparties uniformément à la périphérie de l'entrefer. La distance τd séparant les axes de deux encoches successives est appelée pas de denture et vaut :

τd =2 πρI

2p q m=

τq m

.

Dans chaque encoche sont logés na conducteurs identiques. La figure 1 montre la disposition des conducteurs d'un bobinage statorique triphasé tétrapolaire comportant deux encoches par pôle et par phase (p = 2, q = 3, m = 2). Afin de ne pas surcharger le dessin, un seul conducteur a été dessiné dans chaque encoche et on a supposé que les encoches enveloppent complètement les conducteurs. La figure 2 représente une vue développée de cet enroulement.

CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 166

1

2'

2'

3

3

1'

1'

2

2

3'

3'

1

1

2'

2'

3

3

1'

1'

2

2

3'

3'

1

τ

τ

m=2p=2q=3

µ >>

µ = µ0

µ >>rotor

stator

entrefer

Fig 1.

τ

m=2p=2q=32 τ / 3

1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'

2 τ / 3

τ τ τ

µ >>

µ = µ0

1

τd

Fig 2.

Le nombre total de conducteurs logés dans les encoches est égal à : anmqpn 2= Supposons que l'encoche située à l'extrême gauche de la figure 2 constitue le départ de la première phase et qu’en suivant le bobinage, cette encoche soit parcourue dans le sens indiqué sur la figure (du recto vers le verso de la feuille). Comme la première encoche, les (m-1) encoches suivantes font partie de la première phase et sont parcourues dans le même sens que la première. L’encoche distante d’un pas polaire τ de la première encoche, ainsi que les (m-1) encoches suivantes, font également partie de la première phase, mais elles sont parcourues dans le sens contraire de l’encoche de départ. S'il y a plusieurs paires de pôles, la disposition précédente (m encoches parcourues dans un sens, m encoches parcourues en sens contraire) est répétée à des distances 2τ , 4τ ,... 2(p −1)τ de la première encoche. L'ensemble de ces conducteurs ainsi que leurs interconnexions constituent la première phase du bobinage. La seconde phase est identique à la première, mais elle est décalée spatialement de 2τ / q par rapport à la première. La troisième phase, également identique à la première, est décalée spatialement de 2τ / q par rapport à la seconde et ainsi de suite...


Tous les bobinages polyphasés à un étage sont réalisés de cette manière. Ils se distinguent néanmoins par la manière dont les conducteurs sont reliés entre eux en dehors des encoches, c’est-à-dire au niveau des têtes de bobines. 2.1.2. Disposition des têtes de bobines. Enroulement concentrique avec têtes de bobines sur trois rangs. La figure 3 montre une vue développée d’un tel bobinage. Sur cette figure, les parties de conducteurs situées dans les encoches sont représentées en traits épais. Ce type de bobinage peut être fractionné en plusieurs parties en ne sectionnant que des raccords monofilaires entre bobines (section PQ sur la figure). Il est utilisé pour la réalisation du stator des très grosses machines qui doivent être démontées pour le transport.

m=2p=2q=3

1 2 3 3' 1' 2'

P

Q

1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'

Fig 3.

Enroulement concentrique avec têtes de bobines sur deux rangs. La figure 4 représente un tel bobinage. Il est plus compact que le précédent, mais il n'est pas fractionnable.


m=2p=2q=3

1 3' 2 1'3 2'

1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'

Fig 4.

Bobinage Alioth. Comme indiqué sur la figure 5, les sections de ce type de bobinage sont de forme trapézoïdale. Le bobinage Alioth est compact, mais il ne convient qu'en basse tension, car les têtes de bobines des différentes phases sont accolées.

m=3p=2q=3

1 1'

1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'1 3' 2 1' 3 2' 1 3' 2 1' 3 2'

Fig 5.

2.1.3. Force électromotrice induite dans les enroulements à un étage

Φ= 22 dKdq

nE ω

mq

qKd

2 sin m

2 sin

π

π

=

• ω est la pulsation;


• d est le nombre de dérivations d’une phase (conducteurs en parallèle); • Kd est le facteur de bobinage; • Φ est le flux d’induction magnétique par pôle

2.2. ENROULEMENT A DEUX ETAGES.

Dans les enroulements à deux étages, également appelés enroulements à deux couches, chaque encoche comporte deux groupes de conducteurs identiques (de même section et en même nombre) qui sont disposés l’un au-dessus de l’autre (voir figure 6).

étage 2

étage 1

Fig 6.

2.2.1. Enroulement imbriqué diamétral. Dans l’enroulement imbriqué diamétral, la disposition des conducteurs dans les encoches est identique à celle des bobinages en une seule couche, sauf qu'il y a deux groupes de conducteurs dans chaque encoche. La figure 7 montre le schéma des connexions de ce type d’enroulement. Pour faciliter la lisibilité de la figure, les conducteurs situés dans le haut de l’encoche sont représentés en trait plein tandis que ceux situés dans le bas de l’encoche sont dessinés en pointillés et légèrement décalés par rapport aux premiers. Les têtes de bobines sont, comme dans les machines à courant continu, de forme hélicoïdale.

m=2p=2q=3

1 1' Fig 7.

2.2.2. Enroulement imbriqué à pas raccourcis. Dans l'enroulement imbriqué à pas raccourcis (voir figure 8), la partie du bobinage située au fond des encoches est décalée par rapport à la partie supérieure d'un nombre entier d'encoches


de telle sorte que l'ouverture des sections est inférieure au pas polaire. Nous verrons plus loin l'avantage que l'on peut retirer d'une telle disposition. La figure 8 montre le schéma des connexions d'un tel enroulement lorsque le raccourcissement de pas est d’une encoche.

m=2p=2q=3

1 1' Fig 8.

2.2.3. Enroulement ondulé. La figure 9 représente un tel enroulement qui peut être, soit diamétral, soit à pas raccourcis.

m=2p=2q=3

1 1' Fig 9.

2.2.4. Force électromotrice induite dans les enroulements à deux étages

Φ= ed KKdq

nE 22

ω


mq

qKd

2 sin m

2 sin

π

π

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

τπ 1

2sin yKe

• ω est la pulsation; • d est le nombre de dérivations d’une phase (conducteurs en parallèle); • Kd est le facteur de bobinage; • Ke est le facteur d’embrassement • Φ est le flux d’induction magnétique par pôle • τ est le pas polaire • τ/1y est l’embrassement relatif des sections du bobinage.

3. INTERET DE MULTIPLIER LE NOMBRE D'ENCOCHES PAR POLE ET PAR PHASE

La répartition des conducteurs d'un bobinage dans plusieurs encoches a pour effet de réduire l'amplitude de la composante fondamentale du champ magnétique produit par un bobinage ainsi que celle de la composante fondamentale de la force électromotrice produite aux bornes de ce bobinage. Le tableau suivant, qui indique la valeur du facteur de distribution pour des enroulements triphasés, montre que le facteur de distribution relatif au fondamental reste élevé lorsque le nombre d'encoches par pôle et par phase augmente. Dans ce même tableau, on peut voir que la multiplication du nombre d'encoches par pôle et par phase produit par contre une réduction importante de l'amplitude des harmoniques. En multipliant le nombre d'encoches, l'allure du champ magnétique se rapproche de la sinusoïde idéale. Cette remarque est également valable pour les forces électromotrices que nous évaluerons au paragraphe suivant. Nous avons vu que le champ magnétique produit par un enroulement comporte une composante fondamentale et des harmoniques. La composante fondamentale étant la seule recherchée, le reste du flux produit par le bobinage (celui relatif aux harmoniques) constitue un flux de fuite, dénommé flux de dispersion différentielle. On peut montrer que l'inductance associée à ce flux de fuite (voir annexe C) est proportionnelle à

Σ =K d,2 j+1

2j +1⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

2

j=1

∞

∑ .

La dernière colonne du tableau précédent indique la valeur de ce dernier coefficient.


valeur de Kd pour un bobinage triphasé

m fondamental harmonique 5

harmonique 7

harmonique 11

harmonique 13

harmonique 17

harmonique 19 1000 Σ

1 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 96.6 2 0.966 0.259 0.259 0.966 0.966 0.259 0.259 26.5 3 0.960 0.218 0.177 0.177 0.218 0.960 0.960 13.0 4 0.958 0.205 0.158 0.126 0.126 0.158 0.205 8.2 5 0.957 0.200 0.149 0.109 0.102 0.102 0.109 5.9 6 0.956 0.197 0.145 0.102 0.092 0.084 0.084 4.7 7 0.956 0.196 0.143 0.097 0.086 0.075 0.072 4.0 8 0.956 0.194 0.141 0.095 0.083 0.070 0.066 3.5 9 0.955 0.194 0.140 0.093 0.081 0.066 0.062 3.2 10 0.955 0.193 0.140 0.092 0.079 0.064 0.060 3.0 11 0.955 0.193 0.139 0.091 0.078 0.063 0.058 2.8 12 0.955 0.193 0.139 0.090 0.078 0.062 0.057 2.7 13 0.955 0.192 0.138 0.090 0.077 0.061 0.056 2.5 14 0.955 0.192 0.138 0.089 0.076 0.060 0.055 2.5 15 0.955 0.192 0.138 0.089 0.076 0.060 0.054 2.4

4. INTERET DU RACCOURCISSEMENT DE PAS

Le raccourcissement du pas a un effet analogue à celui de la multiplication du nombre d'encoches par pôle et par phase. Le tableau suivant indique la valeur du coefficient de bobinage (produit du facteur de distribution et du facteur d'embrassement) ainsi qu'en dernière colonne, le coefficient de flux de fuite de dispersion différentielle

Σ =K d,2 j+1 Kd,2 j+1

2j +1⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

2

j=1

∞

∑ .

Ce tableau montre que le raccourcissement du pas d'enroulement permet de réduire, voire d'annuler les harmoniques 5 et 7 qui sont les plus gênants. Dans les moteurs asynchrones, l'harmonique 7 du champ magnétique est le plus gênant, car il se déplace dans le même sens que le champ magnétique fondamental. En pratique, afin de ne pas trop réduire l'amplitude du champ magnétique fondamental, on choisit généralement un rapport y1 / τ > 2 / 3. L'optimum se trouve généralement au voisinage de y1 / τ = 0.8, valeur qui conduit à l'annulation de l'harmonique 5.


valeur de Kd Ke pour un bobinage triphasé rang de l'harmonique y1 / τ 1 5 7 11 13 17 19 1000 Σ

m=1 3/3 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 96.62 2/3 0.866 0.866 0.866 0.866 0.866 0.866 0.866 72.47 m=2 6/6 0.966 0.259 0.259 0.966 0.966 0.259 0.259 26.53 5/6 0.933 0.067 0.067 0.933 0.933 0.067 0.067 20.49 4/6 0.837 0.224 0.224 0.837 0.837 0.224 0.224 19.90 m=3 9/9 0.960 0.218 0.177 0.177 0.218 0.960 0.960 12.95 8/9 0.945 0.140 0.061 0.061 0.140 0.945 0.945 10.27 7/9 0.902 0.038 0.136 0.136 0.038 0.902 0.902 9.02 6/9 0.831 0.188 0.154 0.154 0.188 0.831 0.831 9.72 m=4 12/12 0.958 0.205 0.158 0.126 0.126 0.158 0.205 8.16 11/12 0.949 0.163 0.096 0.016 0.016 0.096 0.163 6.65 10/12 0.925 0.053 0.041 0.122 0.122 0.041 0.053 5.34 9/12 0.885 0.079 0.146 0.048 0.048 0.146 0.079 5.39 8/12 0.829 0.178 0.136 0.109 0.109 0.136 0.178 6.12 7/12 0.760 0.204 0.021 0.077 0.077 0.021 0.204 5.34 m=5 15/15 0.957 0.200 0.149 0.109 0.102 0.102 0.109 5.93 14/15 0.951 0.173 0.111 0.045 0.021 0.021 0.045 4.97 13/15 0.936 0.100 0.016 0.073 0.093 0.093 0.073 3.82 12/15 0.910 0.000 0.088 0.104 0.060 0.060 0.104 3.41 11/15 0.874 0.100 0.146 0.011 0.068 0.068 0.011 3.82 10/15 0.829 0.173 0.129 0.095 0.089 0.089 0.095 4.45 m=6 18/18 0.956 0.197 0.145 0.102 0.092 0.084 0.084 4.72 17/18 0.953 0.179 0.119 0.058 0.039 0.007 0.007 4.05 16/18 0.942 0.127 0.050 0.035 0.059 0.082 0.082 3.09 15/18 0.924 0.051 0.038 0.098 0.089 0.022 0.022 2.50 14/18 0.898 0.034 0.111 0.078 0.016 0.079 0.079 2.51 13/18 0.867 0.113 0.145 0.009 0.075 0.035 0.035 3.00 12/18 0.828 0.171 0.126 0.088 0.080 0.072 0.072 3.54

CHAPITRE 10 - ANNEXE B : RESISTANCE DE CONDUCTEURS DE

SECTION IMPORTANTE

EVALUATION DES PERTES JOULES

Dès que les dimensions des conducteurs ne sont plus négligeables vis à vis de la profondeur de pénétration, l’effet pelliculaire se fait sentir et la résistance effective des bobinages est supérieure à leur résistance en courant continu. Soit

RcRaK =

le coefficient de majoration de la résistance. Considérons une encoche comportant des conducteurs rectangulaires (figure 1).

a bcd

l

le

h

x

dx

fig 1

L’application de la loi d’Ampère le long du contour abcd donne immédiatement dxJ(x)aH(x)dx)H(x ee lll =−+


)( )( xJadx

xdH

el

l=

• J(x) est la densité de courant • a est le nombre de conducteurs disposés côte à côte • H(x) est le champ dans l’encoche.

L’application de la loi de Faraday le long d’un contour orthogonal au précédent et situé dans un conducteur donne immédiatement

LdxH(x)jLE(x)Ldx)E(x 0ωµ=−+

σJE =

)( )(0 xHj

dxxdJ µσω=

• ω est la pulsation • σ est la conductivité électrique • µ0 = 4π 10−7 est la perméabilité du vide.

On obtient donc )( )(02

2

xJajdx

xJd

el

lµσω=

Si on pose δ

µσωαγ hahhe

===l

l 2 0

(α est l’inverse de la profondeur de pénétration), la solution générale de l’équation précédente s’écrit :

xjchJxjshJxJ ba αα )1()1()( +++= En poursuivant les calculs, Emde a trouvé que pour une barre donnée, le coefficient de majoration de la résistance est donné par

)( cos)()0()( *

2

γψδγϕω

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+==

JJ

JJK

RR ii

e

ahhl

l 2 0µσωαγ ==

γγγγγγψ

γγγγγγϕ

cos sin 2)(

2 cos2 2 sin2 )(

+−

=

−+

=

chsh

chsh


γ

ϕψ

fig 6

Ji est la valeur efficace du courant total circulant au-dessous du niveau de la barre considérée J est la valeur efficace du courant total circulant dans l’ensemble des barres situées au même niveau que la barre considérée

*δ est le déphasage entre les courants Ji et J Note : dans le cas d’un conducteur unique (moteurs asynchrones à encoches profondes), la formule se simplifie et on a :

RR

( )( )

( )ω

ϕ γ0

=

Dans ce cas, si h / δ est supérieur à 3, on a approximativement :

δρ

δω

lLhRR == )0()(

CHAPITRE 10 - ANNEXE C EVALUATION DES INDUCTANCES DE FUITE

1. INDUCTANCE DE FUITE D’ENCOCHE

Celle-ci résulte du fait qu’une partie du flux produit par les conducteurs situés dans une encoche n’entre pas dans l’entrefer (voir figure 1). Cette inductance de fuite est influencée par l’effet pelliculaire qui peut naître dans les conducteurs de l’encoche.

Fig 1

La figure ci-dessus montre l’allure du champ magnétique. L’énergie magnétique correspondant au flux de fuite d’encoche est essentiellement concentrée dans les conducteurs et le dessus de l’encoche. On pourra donc écrire pour une encoche

CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe C 180

ecece

e

cem

me

Ldn

ch

chL

dn

cdInH

LhchcHdvHI

Σ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +== ∫

3

3

221

21

2

2

012

2

2

01

12

202

02

1

µµλ

µµλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Σ

ch

chavec e 3

12

d’où

eee Ldq

nmp

pm Σ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

22

2

01

µλλ

On trouvera ci-dessous les valeurs de Σe valables pour d’autres types d’encoches.

Fig 2

Note : dans la figure g, l’abscisse représente l’embrassement relatif des sections (= 1 dans le cas d’enroulements à une couche)

encoche a :

ch

cah

ah

ah

e4321 2

3+

+++=Σ

encoche b :

ah

ch

cah

ahk

ahke 4

232 '

4322

'1

1 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++=Σ

(pour k1 et k2, voir graphique g) encoche c :


ch

e4623,0 +=Σ

encoche d :

ch

ah

e41

3623,0 ++=Σ

encoches e et f :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++≅Σ

chk

ahke

42

11 623,0

3

2. INDUCTANCE DE FUITE DES TETES DE BOBINES

L’inductance de fuite des têtes de bobines représente le flux entourant les conducteurs situés aux extrémités du bobinage et servant à relier les encoches entre elles . Elle est très difficile à calculer analytiquement (lignes de champ complexes, interaction avec les autres phases ....) Aussi se contente-t-on généralement d’une approximation semi-empirique:

λ tb ≅µ 0

2 p mn

q d⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

0, 45 Ltb

Ltb est la longueur des têtes de bobines (1,6 à 2,3 τ) 3. INDUCTANCE DE FUITE DE DISPERSION DIFFERENTIELLE

Le flux produit par un bobinage n’est pas sinusoïdal et il comporte des harmoniques spatiaux; il en résulte qu’une partie de ce flux traverse l’entrefer mais ne produit pas de force électromotrice dans les bobinages situés de l’autre côté de l’entrefer. La figure 3 montre l’allure du champ et de sa composante fondamentale pour un bobinage triphasé à 2 encoches par pôle et par phase.

Fig 3

En calculant l’énergie magnétique associée aux champs harmoniques (située essentiellement dans l’entrefer), on obtient l’inductance de dispersion différentielle. Tous calculs faits, on trouve:

λ d =µ 0

2 qn

π d⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 τ Lp δ e

Σd


où Σd est donné par la table qui suit: enroulement diamétral y1/τ idéal m y1/τ 103 Σd y1/τ 103 Σd 2 1 26,5 5/6 20,5 3 1 12,9 7/9 9 4 1 8,16 10/12 5,34 5 1 5,94 12/15 3,41 6 1 4,72 15/18 2,5 7 1 4 17/21 1,84 8 1 3,51 20/24 1,5 9 1 3,19 22/27 1,19 10 1 2,96 24/30 1,01 11 1 2,78 27/33 0,86 12 1 2,65 29/36 0,76 13 1 2,13 34/39 0,76 On remarquera que l’inductance de dispersion différentielle décroît si le nombre d’encoches par pôle et par phase m augmente (c’est normal, car le champ dans l’entrefer devient de plus en plus sinusoïdal). Pour m donné, il y a une valeur optimale du raccourcissement de pas qui conduit à un minimum de cette inductance.

RAPPELS D'ANALYSE VECTORIELLE FORMULES

grad a b grad a grad bdiv div divrot rot rot

div a grad a a divrot a grad a a rotdiv rot rot

div rotrot grad arot rot grad div

( ) ( ) ( )

( ) . ( ) ( ) . .

( ) ( )

( ) . (

+ = ++ = ++ = +

= += +

= −

==

= −

=

a b a ba b a b

b b bb b b

a b b a a b

a

a a a

a b c c

ΛΛ

∆

Λ Λ

00

a b b c a) . ( ) . = Λ

THEOREMES

div dv dsV

. a a n∫ ∫=Σ

(Théorème d'Ostrogradski)

rot advV∫ = nΛ a ds

Σ∫

rot a . n dsΣ∫ = a . dl∫ (Théorème de Stokes)

grad a dvV∫ = a n ds

Σ∫

IDENTITES DE GREEN

(a ∆ b − b∆ a)dvV∫ = (a grad b − bgrad a).ne ds

Σ∫

(a . ∆b − b.∆ a) dv

V∫ = (a divb+ aΛ rot b −bdiv a − bΛ rot a).ne ds

Σ∫

car a .∆ b = a .grad(div b) − a .rot(rot b)

= div(adiv b)− div adiv b + div(aΛ rot b) − rot a .rot b

TABLE DES MATIERES

Références............................................................................................................................... 2 CHAPITRE 1 : INTRODUCTION............................................................................................ 3

1. Schéma général de conception............................................................................................ 3 2. Méthodes numériques ......................................................................................................... 4

2.1. La méthode des différences finies ................................................................................ 4 2.2. La méthode des éléments finis...................................................................................... 4 2.3. La méthode des éléments de frontières......................................................................... 5

3. Modélisations...................................................................................................................... 5 CHAPITRE 2 EQUATIONS DE MAXWELL. FORMULATIONS POTENTIELLES.......... 7

1. Equations de Maxwell......................................................................................................... 7 2. Formulation électrostatique ................................................................................................ 9

2.1. Electrostatique : Potentiel scalaire................................................................................ 9 Formulation générale...................................................................................................... 9 Condition d’unicité....................................................................................................... 10

3. Formulations magnétostatiques ........................................................................................ 11 3.1. Magnétostatique : Potentiel vecteur ........................................................................... 11

Formulation générale.................................................................................................... 11 Conditions d'unicité...................................................................................................... 12

3.2. Magnétostatique : Potentiel scalaire total ................................................................... 13 Formulation générale.................................................................................................... 13 Unicité de la solution.................................................................................................... 15

3.3. Magnétostatique : Potentiel scalaire partiel................................................................ 15 4. Formulation électrocinétique ............................................................................................ 17 5. Formulation magnétodynamique ...................................................................................... 18

5.1. Magnétodynamique : Formulation A-V ..................................................................... 18 Formulation générale.................................................................................................... 18 Unicité de la solution.................................................................................................... 19 Cas du régime sinusoïdal.............................................................................................. 21

5.2. Magnétodynamique : Formulation T-Ω ..................................................................... 22 Formulation générale.................................................................................................... 22 Cas du régime sinusoïdal.............................................................................................. 23

5.3. Magnétodynamique : Formulation A*. ....................................................................... 24 6. Formulations électromagnétiques ..................................................................................... 25

6.1. Electromagnétisme : Formulation A-V ...................................................................... 25 Formulation générale.................................................................................................... 25

CAO des systèmes électriques Table des matières 186

Cas du régime sinusoïdal.............................................................................................. 26 6.3. Electromagnétisme: Potentiel de Hertz ...................................................................... 27

Formulation générale.................................................................................................... 27 Cas du régime sinusoïdal : ........................................................................................... 28

CHAPITRE 3 : METHODE DES ELEMENTS FINIS ........................................................... 29 1. Principes généraux ............................................................................................................ 29

1.1. Avertissement ............................................................................................................. 29 1.2. Notion d’élément fini.................................................................................................. 29 1.4. Eléments finis nodaux triangulaires du premier ordre................................................ 29

Définition ..................................................................................................................... 29 Espace réel et espace de référence ............................................................................... 31 Formule de transformation pour les dérivées............................................................... 32 Formule de transformation pour les intégrales............................................................. 33

1.5. Eléments finis d’arête du premier ordre ..................................................................... 34 1.6. Eléments finis de facette............................................................................................. 35 1.7. Eléments finis de volume ........................................................................................... 37 1.8. Espaces fonctionnels................................................................................................... 38 1.9. Diagramme de TONTI................................................................................................ 38 1.10. Autres types d’éléments finis ................................................................................... 39 1.11. Conclusion ................................................................................................................ 39

2. Electrostatique................................................................................................................... 40 2.1. Méthode variationnelle de Ritz-Rayleigh................................................................... 40

2.1.1. Principe............................................................................................................... 40 2.1.2. Démonstration .................................................................................................... 41 2.1.3. Interprétation physique....................................................................................... 42 2.1.4. Construction du système d’équations à résoudre ............................................... 42

2.2. Méthode des résidus pondérés.................................................................................... 43 2.3. Aspects particuliers..................................................................................................... 44

2.3.1. Symétries............................................................................................................ 44 Symétrie plane.......................................................................................................... 45 Symétrie axiale......................................................................................................... 45 Plan de symétrie/ d’antisymétrie .............................................................................. 45 Symétries et antisymétries cycliques........................................................................ 46

2.3.2. Points anguleux .................................................................................................. 46 2.3.3. Conducteurs à potentiel flottant ......................................................................... 46 2.3.4. Espaces non confinés ......................................................................................... 47

3. Magnétostatique................................................................................................................ 50 3.1. Modélisation nodale utilisant le potentiel vecteur...................................................... 50

3.1.1. Méthode variationnelle de Ritz-Rayleigh .......................................................... 50 3.1.2. Méthode des résidus pondérés............................................................................ 51

3.2. Modélisation nodale utilisant le potentiel scalaire ..................................................... 52 3.3. Modélisation nodale utilisant le potentiel scalaire partiel .......................................... 53 3.4. Eléments d’arête - formulation en A .......................................................................... 53 3.5. Aspects particuliers..................................................................................................... 55

Symétries...................................................................................................................... 55 Espaces non confinés ................................................................................................... 55 Couplage entre méthodes ............................................................................................. 55

Exemple : modélisations par potentiel scalaire partiel et potentiel scalaire total..... 55 4. Magnétodynamique........................................................................................................... 56

4.1. Méthode nodale A-V .................................................................................................. 56


4.2. Méthode nodale T-Ω .................................................................................................. 58 4.3. Méthode des éléments d'arête - formulation en H. ..................................................... 59

4.3.1. Zones sans courants............................................................................................ 59 4.3.2. Zones à courants induits (et forcés).................................................................... 59

4.4. Méthode des éléments d'arête - formulation en A*..................................................... 60 4.4.1. Zones sans courants (ou à courants imposés)..................................................... 60 4.4.2. Zones à courants induits..................................................................................... 61

5. Résumé des méthodes (magnétostatique et magnétodynamique)..................................... 62 6. Encadrement de la solution par des méthodes duales dans les cas statiques .................... 62

ANNEXE AU CHAPITRE 3 ................................................................................................... 65 Note....................................................................................................................................... 65 Eléments de référence tridimensionnels ............................................................................... 65

Tétraèdre de référence de type I ........................................................................................ 65 Hexaèdre de référence de type I ........................................................................................ 67 Prisme à base triangulaire de référence de type I .............................................................. 69

Fonctions de base d’arête dans les éléments réels ................................................................ 72 CHAPITRE 4 METHODES NUMERIQUES ......................................................................... 73

1. Intégration numérique....................................................................................................... 73 1.1. Intégration à une dimension. ...................................................................................... 73

1.1.1. Méthode de Gauss. ............................................................................................. 73 1.1.2. Méthode de Newton-Cotes................................................................................. 74 1.1.3. Méthode de Patterson ......................................................................................... 74

1.2. Intégration à 2 et 3 dimensions................................................................................... 75 1.2.1. Utilisation de formules produit .......................................................................... 75 1.2.2. Formules directes ............................................................................................... 75

2. Intégration temporelle....................................................................................................... 75 2.1. Méthodes en "théta".................................................................................................... 75

Stabilité de la méthode ................................................................................................. 76 2.2. Méthodes de Runge-Kutta .......................................................................................... 77

3. Résolution de systèmes non linéaires : Méthode de Newton-Raphson ............................ 79 4. Résolution de systèmes linéaires ...................................................................................... 80

4.1. Méthodes directes ....................................................................................................... 81 4.1.1. Réalisation de la LU décomposition .................................................................. 81 4.1.2. Stratégie de pivotage .......................................................................................... 82 4.1.3. Raffinement itératif de la solution...................................................................... 82 4.1.4. Autres méthodes (pour mémoire)....................................................................... 82

Méthode frontale ...................................................................................................... 82 Méthode « ligne du ciel » (skyline).......................................................................... 82

4.2. Méthodes itératives..................................................................................................... 83 4.2.1. Cas des matrices symétriques définies positives................................................ 83

Principe des méthodes de pente. .............................................................................. 83 Méthode du gradient................................................................................................. 86 Méthode du gradient conjugué................................................................................. 86 Préconditionnement.................................................................................................. 88

4.2.2. Extension de la méthode du gradient conjugué à des matrices quelconques ..... 90 Méthode de l’équation normale................................................................................ 90 Méthode du résidu minimal (MINRES)................................................................... 91 Méthode généralisée du résidu minimal (GMRES) ................................................. 91

CHAPITRE 5 METHODE DES ELEMENTS FRONTIERES .............................................. 93


1. Introduction....................................................................................................................... 93 2. Cas de l’électrostatique ..................................................................................................... 93

2.1. Position du problème .................................................................................................. 93 2.2. Fonction de Green ...................................................................................................... 94

Cas bidimensionnel plan .............................................................................................. 94 Cas axisymétrique ........................................................................................................ 95

2.3 Propriété fondamentale de la fonction de Green ......................................................... 96 2.4. Inversion des opérateurs différentiels......................................................................... 97

Interprétation physique................................................................................................. 98 Remarque ..................................................................................................................... 98

2.5. Méthode directe .......................................................................................................... 99 2.5.1. Principe............................................................................................................... 99

Exemple en 3D....................................................................................................... 100 2.5.2. Etablissement du système d’équations............................................................. 100

Discrétisation des frontières ................................................................................... 100 Conducteur à potentiel fixe .................................................................................... 101 Conducteur à potentiel flottant ............................................................................... 101 Frontière entre deux diélectriques .......................................................................... 101

2.6. Prise en compte des symétries au moyen de fonctions de Green modifiées ............ 102 Cas d'un plan d'(anti)symétrie ................................................................................ 102 Cas d'une géométrie cyclique................................................................................. 102

2.7. Difficultés numériques ............................................................................................. 102 Premier type de singularité :....................................................................................... 102 Second type de singularité : ....................................................................................... 103

2.8. Résolution du système d'équations ........................................................................... 104 3. Magnétostatique.............................................................................................................. 104

Inconnues et mise en équations ....................................................................................... 105 4. Magnétodynamique transitoire ....................................................................................... 105

Equations ......................................................................................................................... 105 Fonction de Green ........................................................................................................... 105 Inversion des opérateurs différentiels.............................................................................. 106 Inconnues et mise en équations ....................................................................................... 107

5. Magnétodynamique sinusoïdale...................................................................................... 107 Equations ......................................................................................................................... 107 Fonction de Green ........................................................................................................... 107 Inversion des opérateurs différentiels.............................................................................. 108 Inconnues et mise en équations ....................................................................................... 108

6. Electromagnétisme.......................................................................................................... 108 Cas du régime sinusoïdal ................................................................................................. 109

CHAPITRE 6 COUPLAGE ENTRE METHODES ............................................................. 111 Couplage entre méthodes de calcul de champ .................................................................... 111

Couplage entre éléments finis et méthodes intégrales..................................................... 111 EXEMPLE en magnétostatique ................................................................................. 111

Couplage entre modèles d’éléments finis. ....................................................................... 112 EXEMPLE en magnétostatique ................................................................................. 112

Couplage avec d’autres phénomènes physiques ................................................................. 112 Introduction ..................................................................................................................... 112 Couplage avec la mécanique ........................................................................................... 113 Couplage avec la thermique ............................................................................................ 113

CHAPITRE 7 ANALYSE DES RESULTATS ................................................................... 114


1. Représentation graphique des résultats........................................................................... 114 2. Evaluation de grandeurs globales ................................................................................... 116

2.1. Calcul des courants................................................................................................... 116 ... à partir de la densité de courant :............................................................................ 116 ... à partir de la loi d’Ampère : ................................................................................... 116

2.2. Calcul des pertes Joule ............................................................................................. 117 ... à partir de la densité de courant :............................................................................ 117 ... à partir du vecteur de Poynting .............................................................................. 117

2.3. Calcul de l’énergie magnétique ................................................................................ 117 ... à partir du champ :.................................................................................................. 117 ... à partir des courants et du potentiel vecteur........................................................... 117

2.4. Calcul des inductances.............................................................................................. 117 ... à partir du flux embrassé : ...................................................................................... 117 ... à partir de l’énergie magnétique............................................................................. 118

2.5. Calcul des capacités.................................................................................................. 118 2.6. Calcul des forces....................................................................................................... 118

... à partir de la loi de Laplace .................................................................................... 118

... à partir des travaux virtuels .................................................................................... 119

... à partir du tenseur de Maxwell ............................................................................... 119 CHAPITRE 8 CONCEPTION DES DISPOSITIFS ELECTROTECHNIQUES STATIQUES................................................................................................................................................. 121

1. Bobine d’inductance à air ............................................................................................... 121 2. Bobine comportant un circuit magnétique...................................................................... 123

2.1. Bobine comportant un circuit magnétique à petit entrefer ou sans entrefer ............. 124 2.2. Bobine comportant un circuit magnétique à grand entrefer ..................................... 126

3. Inductances saturable ...................................................................................................... 126 4. Transformateur................................................................................................................ 126

4.1. Schéma équivalent.................................................................................................... 127 4.2. Circuits magnétiques monophasés............................................................................ 127

4.2.1 Transformateurs basse fréquence ...................................................................... 127 4.2.1 Transformateurs haute fréquence ...................................................................... 127

4.3. Circuits magnétiques triphases ................................................................................. 128 4.4. Formules et règles de bonne pratique : ..................................................................... 128 4.5. Calcul et optimisation............................................................................................... 130 4.6. Evaluation de la réactance Magnétisante.................................................................. 131 4.7. Evaluation de la réactance de fuite ........................................................................... 131 4.8. Paramètres supplémentaires à considérer ................................................................. 132 4.9. Suite des opérations .................................................................................................. 133

5. Autotransformateur ......................................................................................................... 133 CHAPITRE 9 CONCEPTION DE DISPOSITIFS COMPORTANT DES AIMANTS PERMANENTS ..................................................................................................................... 135

1. Introduction..................................................................................................................... 135 2. Caractéristique magnétique............................................................................................. 136 3. La droite de recul ............................................................................................................ 136 4. Point de fonctionnement ................................................................................................. 137 5. Schéma équivalent d’un circuit magnétique comportant un aimant permanent ............. 138 6. Force portante ................................................................................................................. 138 7. Modélisation des aimants................................................................................................ 139

Relations approchées ....................................................................................................... 140 8. Optimisation du volume de l’aimant............................................................................... 142


9. Circuits magnetiques deformables.................................................................................. 142 CHAPITRE 10 CONCEPTION DES MACHINES ELECTRIQUES TOURNANTES....... 145

1. Calcul du stator d’une machine triphasée ....................................................................... 145 1.1. Bobinage et force électromotrice.............................................................................. 145 1.2. Dimensions principales : relation de Fisher-Hinnen ................................................ 148 1.3. Encoches................................................................................................................... 150 1.4. Noyau........................................................................................................................ 152 1.5. Entrefer ..................................................................................................................... 152 1.6. Evaluation de la résistance des bobinages................................................................ 152 1.7. Evaluation de l’inductance de fuite des bobinages................................................... 152

2. Calcul du rotor d’un Moteur asynchrone à rotor bobiné................................................. 153 3. Calcul du rotor d’un Moteur asynchrone à simple cage ................................................. 153 4. Calcul du rotor d’un Moteur asynchrone à encoches profondes..................................... 154 5. Calcul du rotor d’un Moteur asynchrone à double cage ................................................. 154 6. Calcul du rotor d’un Moteur à réluctance variable ......................................................... 155 7. Calcul du rotor d’un Moteur à aimants permanents........................................................ 156 8. moteurs pas à pas ............................................................................................................ 159

8.1. Moteur réluctant multicircuits .................................................................................. 159 8.2. Moteur réluctant à simple circuit.............................................................................. 160 8.3. Moteur électromagnétique........................................................................................ 161 8.4. Moteur réluctant polarisé.......................................................................................... 162

CHAPITRE 10 - ANNEXE A BOBINAGES POLYPHASES ............................................ 165 1. Introduction..................................................................................................................... 165 2. Constitution des bobinages polyphasés. ......................................................................... 165

2.1. Enroulement à un étage à m encoches par pôle et par phase.................................... 165 2.1.1. Disposition des conducteurs dans les encoches. .............................................. 165 2.1.2. Disposition des têtes de bobines....................................................................... 167

Enroulement concentrique avec têtes de bobines sur trois rangs. .......................... 167 Enroulement concentrique avec têtes de bobines sur deux rangs. ......................... 167 Bobinage Alioth. .................................................................................................... 168

2.1.3. Force électromotrice induite dans les enroulements à un étage ....................... 168 2.2. Enroulement à deux étages. ...................................................................................... 169

2.2.1. Enroulement imbriqué diamétral...................................................................... 169 2.2.2. Enroulement imbriqué à pas raccourcis. .......................................................... 169 2.2.3. Enroulement ondulé. ........................................................................................ 170 2.2.4. Force électromotrice induite dans les enroulements à deux étages.................. 170

3. Intérêt de multiplier le nombre d'encoches par pôle et par phase ................................... 171 4. Intérêt du raccourcissement de pas ................................................................................. 172

CHAPITRE 10 - ANNEXE B : RESISTANCE DE CONDUCTEURS DE SECTION IMPORTANTE ...................................................................................................................... 175

Evaluation des pertes joules................................................................................................ 175 CHAPITRE 10 - ANNEXE C EVALUATION DES INDUCTANCES DE FUITE ............ 179

1. Inductance de fuite d’encoche ........................................................................................ 179 2. Inductance de fuite des têtes de bobines ......................................................................... 181 3. Inductance de fuite de dispersion différentielle .............................................................. 181

RAPPELS D'ANALYSE VECTORIELLE ........................................................................... 183 Formules ............................................................................................................................. 183 Théorèmes........................................................................................................................... 183 Identités de Green ............................................................................................................... 183


TABLE DES MATIERES ..................................................................................................... 185

conception assistee par ordinateur du …geuzaine/elec041/cao.pdf · la loi de faraday assure la...

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