Continuous Systems 225

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 225

ในการศกษาและวเคราะหการสนทางกล เราจะไดวเคราะหการสนอสระและการสนแบบบงคบโดยระบบทม

ขนล าดบความอสระเทากบหนง ระบบทมขนล าดบความอสระหลายล าดบทงทไมมความหนวงและมความหนวง

มาแลวในบทกอนหนาน หรอไดศกษาถงระบบทมล าดบขนความเปนอสระทจ ากด นนคอแมวาระบบจะมล าดบขน

ความเปนอสระมากหลายล าดบขนแตกมคาทนบได หรอก าหนดล าดบขนความเปนอสระทแนนอนได ส าหรบในบทน

เราจะศกษาการสนของระบบทเปนระบบตอเนอง(Continuous systems) หรอระบบทมล าดบขนความอสระไมจ ากด

ส าหรบการวเคราะหการสนทางกลเพอใหผลการวเคราะหทไดมความถกตอง เราจ าเปนตองก าหนดพกดให

พอเพยงกบสมมตฐานของการเคลอนททเราสนใจ จงเปนไปไดทระบบทสนใจจะเปนระบบทมล าดบขนความอสระไม

จ ากด เนองจากเราสนใจและพจารณาทกๆจดของระบบวามอสระทจะเคลอนทไปมาในทศทางทก าหนดได เชน การ

สนของเสนเชอกนนทกจดบนเสนเชอก สามารถจะเคลอนทไปมาในทศทางตางๆ ไดตลอดเวลา เปนตน เราจะพบวา

ระบบทมล าดบขนความเปนอสระทจ ากดนน สมการการเคลอนทจะอยในรปของสมการอนพนธปกตและเปนเชงเสน

ในการหาผลเฉลยของสมการประเภทนจะไมซบซอนมากนก แตส าหรบระบบตอเนองนนเราจะไดสมการการเคลอนท

ในรปของสมการอนพนธยอย (Partial differential equation) Ffpตวแปรจะเปนฟงกชนของต าแหนงและเวลา ในการ

แกปญหาเพอหาผลเฉลยของสมการดงกลาวนนจะมความยงยากซบซอนมาก อยางไรกตามขอมลทเราไดจะท าใหเรา

เขาใจถงการสนของระบบไดดกวาการประมาณวาระบบมล าดบขนความเปนอสระทจ ากด

ในบทนเราจะศกษาการสนทางกลของระบบตอเนองเบองตน อาทเชน การสนของเชอก การสนของคาน และ

การสนของเพลา เปนตน โดยการประยกตวธการแยกตวแปร (Separation of variables) ส าหรบการแกปญหาสมการ

อนพนธยอย ซงเปนวธการทงายทสดในการแกปญหาสมการอนพนธยอย นอกเหนอจากนนนกศกษายงตองใชทกษะ

การแกปญหาคาเรมตนและคาขอบเขต (Initial and boundary value problems) เพอหาผลการตอบสนองของระบบท

ก าหนดเงอนไขทงสองมาให

6.1 การสนตามขวางของเชอก (Transverse vibration of a string)

พจารณาเสนเชอกทมความยดหยนยาว L ทมแรงกระท าภายนอก f(x,t) กระท าตามขวางเสนเชอก ดงแสดง

ในรปท 6-1(a) การกระจดตามขวางของเสนเชอก w(x,t) ซงสมมตวามขนาดเลก ณ ต าแหนงสมดลแรงในแนวแกน z

ดงแสดงในรป 6-1 (b) ผลรวมของแรงทงหมดทกระท าตอสวนของเสนเชอกทมหนาตดสม าเสมอ คอ

2

2d sin d d sin d

wP P f x P x

t

(6.1)

รปท 6-1. การสนตามขวางของเสนเชอก

Continuous Systems 226

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 226

โดยท P แรงดง(N), ความหนาแนนของเสนเชอก (kg/m3) และ การกระจดเชงมม(rad) ส าหรบสวนความ

ยาวdx

d dP

P xx

(6.2)

sin tanw

x

(6.3)

และ 2

2sin d tan d d

w wx

x x

(6.4)

แทนสมการ 6.2, 6.3 และ 6.4 ลงในสมการ 6.1 เราจะได

2 2

2 2d d d d

P w w w wP x x f x P x

x x x x t

(6.5)

เมอdx มคานอยมาก ดงนน 2(d ) 0x และสมการ 6.5หารดวยdx เราเขยนไดใหม คอ

2 2

2 2

( , )( , )

w x t wP f x t

x t

(6.6)

ถา ( , ) 0f x t เราจะไดสมการเคลอนทของการสนอสระ

2 2

2 2

( , )w x t wP

x t

(6.7)

หรอ 2 2

2

2 2

( , )w x t wc

x t

(6.8)

โดยท 1 2

c P , สมการ6.8 เราเรยกวาสมการคลน(Wave equation)

สมการ 6.8 เปนสมการการเคลอนทของการสนอสระส าหรบเชอกทมพนทหนาเทากน(Uniform) และเปนสมการ

อนพนธยอยอนดบสอง ในการหาผลเฉลยของสมการ 6.8 นน เราสามารถประยกตใชวธการแยกตวแปร โดยให

( )W x เปนฟงกชนทขนกบตวแปร x เพยงอยางเดยว และ ( )T t เปนฟงกชนทขนกบตวแปร t ผลเฉลยจะได คอ

( , ) ( ) ( )w x t W x T t (6.9) แทนสมการ 7.9 ลงในสมการ7.8 เราจะได

2 2

2

2 2

d ( ) d ( )( ) ( )

d d

W x T tc T t W x

x t

2 2 2

2 2

d ( ) 1 d ( )

( ) d ( ) d

c W x T t

W x x T t t (6.10)

จากสมการ 6.10 เราพบวาสมการดานซายมอนนจะขนกบตวแปร x เพยงอยางเดยว และดานขวามอจะขนกบตวแปร t

ซงจะเทากบคาคงท (a) ดงนน

Continuous Systems 227

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 227

2 2 2

2 2

d ( ) 1 d ( )

( ) d ( ) d

c W x T ta

W x x T t t (6.11)

สมการ 6.11 เราสามารถเขยนใหมได คอ

2

2

1 d ( )

( ) d

T ta

T t t

หรอ 2

2

d ( )( ) 0

d

T taT t

t (6.12)

และ 2 2

2

d ( )

( ) d

c W xa

W x x

หรอ 2

2 2

d ( )( ) 0

d

W x aW x

x c (6.13)

โดยทวไป คาคงท a จะมคาเปนลบ ดงนนเราก าหนดให 2a เราจะไดสมการ 6.12 และ6.13 ใหมคอ

2

2

2

d ( )( ) 0

d

T tT t

t (6.14)

2 2

2 2

d ( )( ) 0

d

W xW x

x c

(6.15)

ผลเฉลยของสมการทงสอง คอ

( ) cos sinT t A t B t (6.16)

( ) cos sinW x C x D xc c

(6.17)

โดยท ความถของการสน และ , , ,A B C D คาคงท ซงเราสามารถหาไดจากเงอนไขเรมตนและเงอนไขขอบเขต

เงอนไขเรมตนและขอบเขต (Initial and boundary conditions)

สมการ 6.5, 6.6 และสมการ 6.7 เปนสมการอนพนธยอยอนดบสอง โดยอนพนธของ w ทขนกบตวแปรตน x กบ t ซง

ในสมการนมตวแปรตนสองตวแปร ดงนนเราจะตองมคาเงอนไขเรมตนสองคา และเงอนไขขอบเขตสองคาเพอใชหาผล

เฉลย ( , )w x t โดยเงอนไขเรมตนจะถกก าหนดดวยการกระจดเรมตน 0( )w x และความเรวตน

0( )w x ทเวลา t=0 คอ

0( , 0) ( )w x t w x (6.18a)

0( , 0) ( )w

x t w xt

(6.18b)

Continuous Systems 228

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 228

กรณเสนเชอกถกยดทปลายทงสอง(String with both ends fixed) พจาณารปท 6-2 แสดงเสนเชอกถกยดไว

ไมใหเคลอนทตลอดเวลาบรเวณดานหวและปลายเชอกทมความยาว L ซงเราจะไดเงอนไขขอบเขต คอ

(0, ) ( , ) 0w t w L t หรอ

(0) 0

( ) 0

W

W L

(6.19)

ทต าแหนง 0x เราจะได ( 0) 0W x แทนในสมการ 6.17

0 cos 0 sin 0C Dc c

เราจะได 0C

ทต าแหนง x L เราจะได ( ) 0W x L แทนในสมการ 7.17

0 cos sinC L D Lc c

เราจะได 0 sinD L

c

โดยท D ไมสามารถเทากบศนย ส าหรบผลเฉลย nontrivial ดงนน

sin 0Lc

(6.20)

สมการ 6.20 เราเรยกวาสมการความถ (Frequency equation) และคา เรยกวาคาเฉพาะ(eigenvalues)หรอความถ

ธรรมชาต ดงนนเราสามารถหาความถธรรมชาตจ านวน n ความถ โดยเงอนไขทท าให sine เทากบศนย เมอ

, 1,2,n L n nc

หรอ , 1,2,n

n cn

L

(6.21)

ผลเฉลย ( , )nw x t ทมตอความถ n สามารถเขยนแสดงได คอ

รปท 6-2. เชอกทถกยดปลายทงสองขาง

Continuous Systems 229

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 229

( , ) ( ) ( ) cos sin ( )n nn n n n n nw x t W x T t C x D x T t

c c

เมอ 0C และสมการ 6.21 เราจะไดสมการส าหรบกรณ คอ

( , ) sin ( )n n

nw x t x T t

L

(6.22)

โดยท ( ) cos sinn n n

n c n cT t A t B t

L L

ผลเฉลย ( , )nw x t เราเรยกวารปรางการสน n โหมด(nth normal mode) ของเสนเชอก โดยแตละจดของเสนเชอกสนทม

ขนาดการสนแปรผนตรงกบคา ( )W x ทจดนนๆ ซงเราเรยกวารปรางบรรทดฐาน n โหมด(nth normal mode)

รปทวไปของผลเฉลยของสมการ 6.8 ส าหรบกรณน เราจะได

1

( , ) sin cos sinn n n

n

n n c n cw x t x A t B t

L L L

(6.23)

โดยท ,n nA B คาคงท สามารถหาคาไดจากเงอนไขเรมตน คอ

0

0

0

0

2( )sin d

2( )sin d

L

n

L

n

n xA w x x

L L

n xB w x x

nc L

(6.24)

รปรางการสนโหมดท 1 เมอ n=1 หรอเราเรยกวาโหมดพนฐาน(Fundamental mode) และ1 เรยกวาความถพนฐาน

(Fundamental frequency) คอ

1

c

L

(7.25)

รปท 6-3. รปรางการสนโหมดท 1

Continuous Systems 230

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 230

คาบการสนของความถพนฐาน คอ 1

1

2 2L

c

รปท 6-3 แสดงรปรางการสนโหมดท 1 ของเสนเชอกทถกยดไวไมใหเคลอนทตลอดเวลาบรเวณดานหวและปลาย

เชอกและทจด 0nw ตลอดเวลาซงเราเรยกวาโหนด ส าหรบกรณนจะมสองโหนด คอ 0x และ x L

รปรางการสนโหมดท 2 เมอ n=2 เราจะไดสมการความถ คอ

2

2 c

L

(6.26)

รปท 6-4 แสดงรปรางการสนโหมดท 2 ของเสนเชอกและส าหรบกรณนจะมสามโหนด คอ 0x , x L และ

2x L

รปรางการสนโหมดท 3 เมอ n=3 เราจะไดสมการความถ คอ

3

3 c

L

(6.27)

รปท 6-5 แสดงรปรางการสนโหมดท 3 ของเสนเชอกและส าหรบกรณนจะมสโหนด คอ 0x , x L , 3x L และ

2 3x L

รปท 6-4. รปรางการสนโหมดท 2

รปท 6-5. รปรางการสนโหมดท 3

Continuous Systems 231

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 231

ตวอยางท e6.1 พจาณากรณเสนเชอกถกยดไวไมใหเคลอนทตลอดเวลาบรเวณดานหวและปลายเชอกทมความยาว

L= 0.8 m ความหนาแนนของเสนเชอก 5000 kg/m3 และแรงตงของเสนเชอกเทากบ 200 N ซงเราจะไดเงอนไข

ขอบเขต คอ (0, ) ( , ) 0w t w L t จงหาความถพนฐาน และความถโหมดท 2 พรอมต าแหนงโหนด

ก. เราจะไดสมการความถพนฐาน คอ 1 0.785

c

L

rad/sec

โดยท 0.2P

c

ข. ความถโหมดท 2 คอ 2

21.57

c

L

rad/sec

โหนดส าหรบกรณนมสามโหนด คอ 0x , 0.8x m และ 0.4x m

ตวอยางท e6.2 พจาณารปท e6-1 เสาไฟฟาแรงสง ซงมระยะความหางของเสา 1000 m และสายเคเบลมความ

หนาแนนเทากบ 8000 kg/m3 จงหาแรงดงของเสนเคเบลทท าใหมความถโหมดท 1-3 มคานอยกวา 15 Hz

สายเคเบลถกยดไมใหเคลอนททงสองดาน ซงเราจะไดเงอนไขขอบเขต คอ (0, ) ( , ) 0w t w L t

และ 3 15 Hz หรอ

3 30 rad/sec ส าหรบกรณน , 1,2,n

n cn

L

ดงนน 3

330

c

L

โดยท

8000

P Pc

, 1000 mL

แรงดงจะได 11308 10

8000 3

P LP

N

รปท e6-1. เสาไฟฟาแรงสง

Continuous Systems 232

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 232

6.2 การสนตามยาวของเพลา (Longitudinal vibration of a rod)

พจารณาเพลาทมความยดหยนยาว L ทมพนทหนาตด A(x) และมแรงกระท าภายนอก f(x,t) กระท าตามยาว

ของเพลา ดงแสดงในรปท 6-6(a) แรงกระท าตอพนทหนาตดเลกๆ ของเพลา โดยแรงดง P คอ

u

P A EAx

(6.28)

โดยท P แรงดง, ความเคนตามแนวแกน x, u การกระจดตามแนวแกน x, u

x

ความเครยดตามแนวแกน x

และE Young’s modulus

จากรป 6-7 (b) ผลรวมของแรงทงหมดทกระท าตอสวนยอยของเพลาในแนวแกน x คอ

2

2

( , )d ( , )d d

u x tP P f x t x P A x

t

(6.29)

โดยท ความหนาแนนของเพลา และใชความสมพนธของสมการท 6.28 แทนลงในสมการ 6.29 ส าหรบเพลาทม

พนทหนาตดไมเทากน เราจะได

2

2

( , ) ( , )( ) ( , ) ( ) ( )

u x t u x tEA x f x t P x A x

x x t

(6.30)

ส าหรบเพลาทมพนทหนาตดเทากน เราจะได

2 2

2 2

( , ) ( , )( , )

u x t u x tEA f x t P A

x t

(6.31)

ถา ( , ) 0f x t เราจะไดสมการเคลอนทของการสนอสระ

2 2

2

2 2

( , ) ( , )u x t u x tc

x t

(6.32)

โดยท 1 2

c E ,

รปท 6-6. การสนตามยาวของเพลา

Continuous Systems 233

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 233

เราพบวาสมการ6.32 เปนสมการอนพนธยอยอนดบสอง หรอสมการคลอนเชนเดยวกบสมการ 6.8 ในการหาผลเฉลย

ของสมการ 6.32 นน เราสามารถใชวธการแยกตวแปรเชนเดยวกน โดยให ( )U x เปนฟงกชนทขนกบตวแปร x เพยง

อยางเดยว และ ( )T t เปนฟงกชนทขนกบตวแปร t ผลเฉลยจะได คอ

( , ) ( ) ( )u x t U x T t (6.33)

โดยท ( ) cos sinT t A t B t และ ( ) cos sinU x C x D xc c

เงอนไขเรมตนจะถกก าหนดดวยการกระจดเรมตน 0( )u x และความเรวตน

0( )u x ทเวลา t=0 คอ

0( , 0) ( )u x t u x (6.34a)

0( , 0) ( )u

x t u xt

(6.34b)

Continuous Systems 234

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 234

กรณเพลาถกยดหนงดานอกดานปลอยอสระ(Rod with a fixed-free) พจาณารปท 6-7 แสดงรปเพลาทถกยด

ไวดานหนงไมใหเคลอนทตลอดเวลาและมความยาว L

ซงเราจะไดเงอนไขขอบเขต คอ (0, ) ( , ) 0u

u t L tx

ทต าแหนง 0x เราจะได ( 0) 0U x ดงนน

0 cos 0 sin 0C Dc c

เราจะได 0C

ทต าแหนง x L เราจะได

( , ) cos sinU L t C L D Lc c

และ ( , ) sin cosU

L t C L D Lx c c c c

(6.35)

เนองดวย 0C และเงอนไขขอบเขต ( , ) 0u

L tx

ดงนนสมการ 6.35 เขยนใหมได

0 cosD Lc c

โดยท Dc

ไมสามารถเทากบศนย ส าหรบผลเฉลย nontrivial ดงนน

cos 0Lc

(6.36)

สมการ 6.36 เปนสมการความถของกรณน ดงนนเราสามารถหาความถธรรมชาตจ านวน n ความถ โดยเงอนไขทท า

ให cosine เทากบศนย เมอ

2 1 , 1,2,2

n L n nc

รปท 6-7. เชอกทถกยดหนงดานและปลอยอสระอกดานหนง

Continuous Systems 235

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 235

หรอ 2 1 , 1,2,2

n

cn n

L

(6.37)

ผลเฉลย ( , )nu x t ทมตอความถ n สามารถเขยนแสดงได คอ

( , ) sin 2 1 ( )2

n nu x t n x T tL

(6.38)

โดยท ( ) cos 2 1 sin 2 12 2

n n n

c cT t A n t B n t

L L

รปทวไปของผลเฉลยของสมการ 6.32 ส าหรบกรณน เราจะได

1

( , ) sin 2 1 cos 2 1 sin 2 12 2 2

n n n

n

c cu x t n x A n t B n t

L L L

(6.39)

โดยท ,n nA B คาคงท สามารถหาคาไดจากเงอนไขเรมตน

ตารางท T6-1 แสดงคาความถธรรมชาตและรปรางการสนส าหรบกรณตางๆ

การตงฉากของฟงกชนรปรางโหมดบรรทดฐาน ฟงกชนรปรางโหมดบรรทดฐานส าหรบการสนตามยาวของเพลาม

ความสมพนธการตงฉาก คอ

0

( ) ( ) 0

L

i jU x U x dx (6.40)

โดยท ( )iU x เปนฟงกชนรปรางโหมดบรรทดฐานของโหมด i และ ( )jU x เปนฟงกชนรปรางโหมดบรรทดฐานของโหมด j

ทมตอความถธรรมชาต i และ

j ดงนน

22 2

2

( )( ) 0i

i i

U xc U x

x

(6.41a)

2

2 2

2

( )( ) 0

j

j j

U xc U x

x

(6.41b)

คณสมการ 6.41a ดวย ( )jU x และคณสมการ 6.41b ดวย ( )iU x

22 2

2

( )( ) ( ) ( ) 0i

j i i j

U xc U x U x U x

x

(6.42a)

2

2 2

2

( )( ) ( ) ( ) 0

j

i j j i

U xc U x U x U x

x

(6.42b)

Continuous Systems 236

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 236

สมการ 6.42a ลบดวยสมการ 6.42b และอนตเกรทจาก 0 ถง L เราจะได

22 2

2 2 2 2

0 0

2

2 2

0

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) = ( ) ( )

L L

jii j j i

i j

L

jij i

i j

U xc U xU x U x dx U x U x dx

x x

U xc U xU x U x

x x

(6.43)

ดานขวามอของสมการ 6.43 เราสามรถพสจนไดวามคาเทากบศนยส าหรบเงอนไขขอบเขตทกกรณ เชนตวอยาง เมอ

เรายดดาน 0x ไว เงอนไขขอบเขตคอ (0, ) 0u t และเราปลายอสระดาน x L เงอนไขขอบเขตคอ ( , ) 0u

L tt

ดงนนฟงกชนรปรางโหมดบรรทดฐานมคณสมบตการตงฉากกน

ตวอยางท e6.3 จงหาความถพนฐานของการสนอสระตามยาวของเพลา ซงมเงอนไขขอบเขตทปลายทงสองขาง

ปลอยอสระและเงอนไขเรมตนเทากบศนย โดยสมมตวาเพลามความยาว 5 เมตร,ความหนาแนนเทากบ 5000 kg/m3

และมคา E= 10x1010 N/m2

เราจะไดเงอนไขขอบเขตคอ (0, ) ( , ) 0u u

t L tx x

และ 1 2

1414.21c E

ผลเฉลยส าหรบกรณน พจารณาไดจากตาราง T6-1 เราจะได

1

( , ) sin 2 1 cos 2 1 sin 2 12 2 2

n n n

n

c cu x t n x A n t B n t

L L L

และสมการความถ 2 1 , 1,2,2

n

cn n

L

เราจะไดความถพนฐาน 1 444.287 rad/sec

Continuous Systems 236

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 236

6.3 การสนแบบบดของเพลา (Torsional vibration of a rod)

พจารณาเพลาทมความยดหยนยาว L ทมพนทหนาตด A(x) และมแรงกระท าภายนอก f(x,t) กระท าตามยาว

ของเพลา ดงแสดงในรปท 6-8(a) ถา ( , )x t คอมมบดของพนทหนาตดเลกๆ ของเพลา ความสมพนธระหวางระยะ

บด(Torsional deflection)กบโมเมนตแบบบดเกลยว(Twisting moment) คอ

( , ) ( ) ( , )tM x t GJ x x tx

(6.44)

โดยท G Shear moment, ( )GJ x คาคงทของสปรงแบบบด(Torsional striffness), ( )J x โมเมนตโพลารความ

เฉอยของพนทหนาตดเลกๆ ของเพลา ถาโมเมนตโพลารความเฉอยของพนทหนาตดเลกๆ ของเพลาตอความยาวหนง

หนวยคอ 0I , แรงบดเฉอยทกระท าตอความยาวdx จะได

2

0 2dI x

t

(6.45)

จากรป 6-8 (b) ผลรวมของแรงบดทงหมดทกระท าตอสวนยอยของเพลา คอ

2

0 2d ( , )d dt t tM M f x t x M I x

t

(6.46)

ใชสมการท 6.44 และ dtMx

x

แทนลงในสมการ 6.46 ส าหรบเพลาทมพนทหนาตดไมเทากน เราจะได

2

0 2( ) ( , ) ( , ) ( )GJ x x t f x t I x

x x t

(6.47)

ส าหรบเพลาทมพนทหนาตดเทากน เราจะได

2 2

02 2( , ) ( , )GJ x t f x t I

x t

(6.48)

ถา ( , ) 0f x t เราจะไดสมการเคลอนทของการสนอสระ

รปท 6-8. การสนแบบบดของเพลา

Continuous Systems 237

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 237

2 2

2

2 2

( , ) ( , )x t x tc

x t

(6.49)

โดยท 1 2

0c GJ I ส าหรบเพลาทมพนทหนาตดไมเทากน และเพลาทมพนทหนาตดเทากน 0I J ดงนน

1 2

c G (6.50)

เราพบวาสมการ6.49 เปนสมการอนพนธยอยอนดบสอง หรอสมการคลนเชนเดยวกบสมการ 6.8 ในการหาผลเฉลย

ของสมการ 6.49 นน เราสามารถใชวธการแยกตวแปรเชนเดยวกน โดยให ( )x เปนฟงกชนทขนกบตวแปร x เพยง

อยางเดยว และ ( )T t เปนฟงกชนทขนกบตวแปร t ผลเฉลยจะได คอ

( , ) ( ) ( )x t x T t (6.51)

โดยท ( ) cos sinT t A t B t และ ( ) cos sinx C x D xc c

เงอนไขเรมตนจะถกก าหนดดวยการกระจดเรมตน 0( )x และความเรวตน

0( )x ทเวลา t=0 คอ

0( , 0) ( )x t x (6.52a)

0( , 0) ( )x t xt

(6.53b)

กรณเพลาถกปลอยอสระทงสองดาน(Rod with a free-free) พจาณารปท 6-9 แสดงรปเพลาทถกยดไวดานหนง

ไมใหเคลอนทตลอดเวลาและมความยาว L

ซงเราจะไดเงอนไขขอบเขต คอ (0, ) ( , ) 0t L tx x

ทต าแหนง 0x เราจะได

( , ) cos 0 sin 0x t C Dc c

รปท 6-9. เพลาทถกปลอยอสระทงสองดาน

Continuous Systems 238

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 238

(0, ) sin 0 cos 0t C Dx c c c c

(6.54)

แทนเงอนไขขอบเขตทต าแหนง 0x ลงในสมการ 6.54 เราจะได 0D

ทต าแหนง x L เราจะได

( , ) cos sinL t C L D Lc c

และ ( , ) sin cosL t C L D Lx c c c c

(6.55)

เนองดวย 0D และเงอนไขขอบเขต ( , ) 0L tx

ดงนนสมการ 6.55 เขยนใหมได

0 sinC Lc c

โดยท Cc

ไมสามารถเทากบศนย ส าหรบผลเฉลย nontrivial ดงนน

sin 0Lc

(6.56)

สมการ 6.56 เปนสมการความถส าหรบกรณน ดงนนเราสามารถหาความถธรรมชาตจ านวน n ความถ โดยเงอนไขท

ท าให sine เทากบศนย เมอ

, 0,1,2,n L n nc

หรอ , 0,1,2,n

n cn

L

(6.57)

ผลเฉลย ( , )n x t ทมตอความถ n สามารถเขยนแสดงได คอ

( , ) ( ) ( ) cos sin ( )n nn n n n n nx t x T t C x D x T t

c c

เมอ 0D และแทนสมการ 6.57 เราจะไดสมการส าหรบกรณ คอ

( , ) cos ( )n n

nx t x T t

L

(6.58)

โดยท ( ) cos sinn n n

n c n cT t A t B t

L L

Continuous Systems 239

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 239

ผลเฉลย ( , )n x t เราเรยกวารปรางการสน n โหมด(nth normal mode) ของเสนเชอก โดยแตละจดของเสนเชอกสนทม

ขนาดการสนแปรผนตรงกบคา ( )x ทจดนนๆ ซงเราเรยกวารปรางบรรทดฐาน n โหมด(nth normal mode)

รปทวไปของผลเฉลยของสมการ 6.49 ส าหรบกรณน เราจะได

1

( , ) cos cos sinn n n

n

n n c n cx t x A t B t

L L L

(6.59)

ความถธรรมชาตและรปรางการสนของระบบแบบบดทมเงอนไขขอบเขตแตกตางจะไดดงแสดงในตาราง T6-2

Continuous Systems 240

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 240

Continuous Systems 240

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 240

6.4 การสนดานขางของคาน (Lateral vibration of a beam)

พจารณาคานทมความยดหยนยาว L ทมพนทหนาตด A(x) และมแรงเฉอน V(x,t) และ f(x,t) แรงกระท า

ภายนอกตอหนงหนวยความยาวของคาน ดงแสดงในรปท 6-10(a) ขณะทแรงเฉอยกระท าตอพนทหนาตดเลกๆ ของ

คานคอ

2

2( )d ( , )

wA x x x t

t

(6.60)

โดยท ความหนาแนนของคาน

จากรป 6-10 (b) ผลรวมของแรงทกระท าตอสวนยอยของเพลาในแนวแกน z คอ

2

2

( , )d ( , )d d

w x tV V f x t x V A x

t

(6.61)

สมการการเคลอนทของโมเมนตในแนวแกน y รอบจด 0 เราจะได

d

d d d ( , )d 02

xM M V V x f x t x M (6.62)

โดยท d dV

V xx

, d dM

M xx

และ dxมคานอยมาก ดงนนสมการ 6.61, 6.62 เขยนใหมได

2 2

2 2( , ) ( , ) ( ) ( , )

V wx t f x t A x x t

x t

(6.63)

2

2( , ) ( , ) 0

Mx t V x t

x

(6.64)

เราใชความสมพนธ2

2

MV

x

จากสมการ 6.63 และ6.64 ดงนน

รปท 6-10. การสนดานขางของคาน

Continuous Systems 241

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 241

2 2

2 2( , ) ( , ) ( ) ( , )

M wx t f x t A x x t

x t

(6.65)

จากทฤษฎการบดโคงของคาน(Euler-Bernoulli thin beam theory) ความสมพนธระหวางโมเมนตบดโคงกบระยะบด

โคง สามารถเขยนแสดงไดดงน

2

2( , ) ( ) ( , )

wM x t EI x x t

x

(6.66)

โดยท E Young’s modulus และ ( )I x โมเมนตเฉอยของพนทหนาตดคานในแกน y และใชสมการ 6.66 แทนใน

สมการ 6.65 เราจะไดสมการการเคลอนทส าหรบแรงการสนดานขางชองคานทพนทหนาตดไมเทากน คอ

2 2 2

2 2 2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )

w wEI x x t A x x t f x t

x x t

(6.67)

ส าหรบคานทมพนทหนาตดเทากน คอ

4 2

4 2( , ) ( , ) ( , )

w wEI x t A x t f x t

x t

(6.68)

ถา ( , ) 0f x t เราจะไดสมการเคลอนทของการสนอสระ

4 2

4 2( , ) ( , ) 0

w wEI x t A x t

x t

(6.69)

โดยท 1 2

c EI A ,

ขณะทสมการการเคลอนทเปนอนพนธอนดบสองขนกบเวลาและสมการอนพนธอนดบสขนกบต าแหนงของคาน(x)

ดงนนจะไดสเงอนไขขอบเขตและสองเงอนไขเรมตนคอการกระจดเรมตน0( )w x และความเรวตน

0( )w x ทเวลา t=0

คอ

0( , 0) ( )w x t w x (6.70a)

0( , 0) ( )w

x t w xt

(6.70b)

ผลเฉลยการสนอสระของสมการ6.69 เราสามารถใชวธการแยกตวแปรเชนเดยวกน โดยให ( )W x เปนฟงกชนทขนกบ

ตวแปร x เพยงอยางเดยว และ ( )T t เปนฟงกชนทขนกบตวแปร t ผลเฉลยจะได คอ

( , ) ( ) ( )w x t W x T t (6.71)

Continuous Systems 242

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 242

แทนสมการ6.71 ในสมการ6.69 และเทากบคาคงท(a) เราจะได

2 4 2

2

4 2

( ) 1 ( )

( ) ( )

c W x T ta

W x x T t t

(6.72)

โดยท 2a คาคงทบวก, สมการ6.72 เราสามารถแยกไดสองสมการ คอ

2 4

2

4

( )

( )

c W x

W x x

หรอ 4

4

4

( )( ) 0

W xW x

x

(6.73a)

โดยท 2 2

4

2

A

c EI

22

2

1 ( )

( )

T t

T t t

หรอ 2

2

2

( )( ) 0

T tT t

t

(6.73b)

ผลเฉลยของสมการ 6.73b เราจะได

( ) cos sinT t A t B t (6.74)

โดยท ,A B คาคงท สามารถหาไดจากเงอนไขเรมตน ส าหรบผลเฉลยของสมการ 6.73a เราสมมตให

( ) sxW x Ce (6.75)

โดยท ,C s คาคงท และเราจะไดสมการชวยคอ

4 4 0s (6.76)

รากสมการ 7.76 คอ

1,2 ,s 3,4 ,s i (6.77)

ดงนนผลเฉลยของสมการ 6.73a เราจะได

1 2 3 4( ) x x i x i xW x C e C e C e C e (6.78)

หรอ

1 2

3 4

( ) cos cosh cos cosh

sin sinh sin sinh

W x C x x C x x

C x x C x x

(6.79)

โดยท 1 2 3 4, , ,C C C C คาคงท สามารถหาไดจากเงอนไขขอบเขต ความถธรรมชาตของคานสามารถหาได จาก

Continuous Systems 243

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 243

22

4

EI EIL

A AL

(6.80)

เราทราบวาฟงกชน ( )W x คอรปรางโหมดบรรทดฐานของคาน และ ความถธรรมชาตของการสน

เงอนไขขอบเขตส าหรบกรณการสนแบบบดโคงของคาน

1. ปลายอสระ(Free end) เราจะได

โมเมนตแบบบดโคง (Bending moment) 2

20

wEI

x

แรงเฉอน(Shear force) 2

20

wEI

x x

2. ปลายจบยดแบบงาย(Simply supported end)

โมเมนตแบบบดโคง (Bending moment) 2

20

wEI

x

ระยะโคง (w)=0

3. ปลายถกยดตดแนน(Fixed end)

ระยะโคง (w)=0 และ 0w

x

4. ปลายยดตดกบสปรง ตวหนวงและมวลเชงเสน ดงแสดงในรปท 6-11.

แรงเฉอน(Shear force) 2 2

2 2

w w wEI a kw c m

x x t t

รปท 6-11. คานทปลายยดกบสปรง ตวหนวงและมวลเชงเสน

Continuous Systems 244

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 244

โดยท 1a ส าหรบปลายดานซายของคาน และ 1a ส าหรบปลายดานขวาของคาน

โมเมนตแบบบดโคง (Bending moment) 2

20

wEI

x

5. ปลายยดตดกบสปรง ตวหนวงและมวลแบบบด ส าหรบกรณนเงอนไขขอบเขต

โมเมนตแบบบดโคง (Bending moment) 2 2 3

02 2t t

w w w wEI a k c I

x x x t x t

โดยท 1a ส าหรบปลายดานซายของคาน และ 1a ส าหรบปลายดานขวาของคาน

แรงเฉอน(Shear force) 2

20

wEI

x x

รปท 6-12. คานทปลายยดกบสปรง ตวหนวงและมวลแบบบด