principios de control digital
DESCRIPTION
ejercicio de Control DigitalTRANSCRIPT
Ejercicio: primer parcial control digital
𝑦!! − 6𝑦! + 8𝑦 = 2𝑈! + 4𝑈 condiciones iniciales = 0
𝑆! 𝑦(!) − 6𝑆 𝑦(!) + 8 𝑦(!) = 2𝑆𝑈(!) + 4𝑈(!)
𝑦(!) 𝑆! − 6𝑆 + 8 = 𝑈(!) (2𝑆 + 4)
𝐺(!) =𝑦(!)𝑈(!)
=2𝑆 + 4
𝑆! − 6𝑆 + 8
𝐺(!) = 1− 𝑧!! 𝓏 𝐺𝑝(!)𝑆
𝐺 ! = 1− 𝑧!! 𝓏 2𝑆 + 4
𝑆 (𝑆! − 6𝑆 + 8)
>> [r,p,k]=residue(num,den) r =
1.5000 -‐2.0000 0.5000
p =
4 2 0 k = []
𝐺(!) = 1− 𝑧!! 𝓏 𝐴
𝑆 − 4+𝐵
𝑆 − 2+𝐶
𝑆 − 0
𝐴 !!!! =𝑆 + 3
(𝑆 − 4)(𝑆) = 1.5
𝐵 !!!! =𝑆 + 3
(𝑆 − 2)(𝑆) = −2
𝐶 !!! =𝑆 + 3
(𝑆 − 4)(𝑆 − 2) = 0.5
𝐺(!) = 1− 𝑧!! 𝓏 1.5𝑆 − 4−
2𝑆 − 2+
0.5𝑆
𝐺(!) = 1− 𝑧!! 1
(1− 𝑒!!∗!!)−1
(1− 𝑒!!∗!!)+1
(1− 𝑧!!)
𝐺(!) = 1− 𝑧!! 1.5
(1− 𝑒!!∗!!𝑧!!)−2
(1− 𝑒!!∗!! ∗ 𝑧!!)+0.5
(1− 𝑧!!) 𝑇! = 0.1
𝐺(!) = 1− 𝑧!! 1.5
(1− 𝑒! !! ∗ !.! ∗ 𝑧!!)−
2(1− 𝑒! !! ∗ !.! ∗ 𝑧!!)
+0.5
(1− 𝑧!!)
𝐺(!) = 1− 𝑧!! 1.5
(1− 1.4918 ∗ 𝑧!!) –2
(1− 1.2214 ∗ 𝑧!!)+0.5
(1− 𝑧!!)
𝐺(!)
= 𝟏 − 𝒛!𝟏 1.5 1 − 1.2214 ∗ 𝑧!! ∗ 1 − 𝑧!! − 2 1 − 1.4918 ∗ 𝑧!! ∗ 1 − 𝑧!! + 0.5( 1 − 1.4918 ∗ 𝑧!! ∗ ((1 − 1.2214 ∗ 𝑧!!)))
(1 − 1.4918 ∗ 𝑧!!)(1 − 1.2214 ∗ 𝑧!!)(𝟏 − 𝒛!𝟏)
𝐺(!) =
1.5 1 − 𝑧!! − 1.2214𝑧!! + 1.2214𝑧!! − 2 1 − 𝑧!! − 1.4918𝑧!! + 1.4918𝑧!! + 0.5(1 − 1.2214𝑧!! − 1.4918𝑧!! + 1.8221𝑧!!)(1 − 1.4918 ∗ 𝑧!!)(1 − 1.2214 ∗ 𝑧!!)
𝐺(!) =
1.5 − 1.5𝑧!! − 1.8321𝑧!! + 1.8321𝑧!! − 2 + 2𝑧!! + 2.9836𝑧!! − 2.9836𝑧!! + 0.5 − 0.6107𝑧!! − 0.7459𝑧!! + 0.9111𝑧!!
1 − 1.2214𝑧!! − 1.4918𝑧!! + 1.8221𝑧!!
𝐺(!) =0.2949𝑧!! − 0.2404𝑧!!
1− 2.7132𝑧!! + 1.8221𝑧!! ∗𝑧!
𝑧!
𝐺(!) =0.2949𝑧 − 0.2404
𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221
𝐺(!) =0.2949(𝑧 − 0.8152)
(𝑧 − 1.492)(𝑧 − 1.221)
por Matlab:
2. R.V.E
𝐺(!) =0.2949𝑧!! − 0.2404𝑧!!
1− 2.7132𝑧!! + 1.8221𝑧!!
𝑏0 = 0 ; 𝑏1 = 0.2949 ; 𝑏2 = −0.2404
𝑎1 = −2.7132 ; 𝑎2 = 1.8221
Forma Canónica Cont.
𝑥!(𝑘 + 1)𝑥!(𝑘 + 1)
= 0 −𝑎21 −𝑎1
𝑥! 𝑘𝑥! 𝑘
+ 𝑏2𝑏1 𝑈 !
𝑦 𝑘 = 0 1𝑥!(𝑘)𝑥!(𝑘)
+ 0 𝑈(!)
𝑥!(𝑘 + 1)𝑥!(𝑘 + 1)
= 0 −1.82211 2.7132
𝑥! 𝑘𝑥! 𝑘
+ −0.24040.2949 𝑈 !
𝑦 𝑘 = 0 1𝑥!(𝑘)𝑥!(𝑘)
+ 0 𝑈(!)
Forma Canónica Obs.
𝑥!(𝑘 + 1)𝑥!(𝑘 + 1)
= 0 1−𝑎2 −𝑎1
𝑥! 𝑘𝑥! 𝑘
+ 01 𝑈 !
𝑦 𝑘 = 𝑏2 𝑏1𝑥!(𝑘)𝑥!(𝑘)
+ 0 𝑈(!)
𝑥! 𝑘 + 1𝑥! 𝑘 + 1
=𝐺
0 1−1.8221 2.7132
𝑥! 𝑘𝑥! 𝑘
+𝐻01𝑈 !
𝑦 𝑘 =𝐶
−0.2404 0.2949𝑥! 𝑘𝑥! 𝑘
+ 0 𝑈(!)
3. Obtenga la matriz de transición de estado del siguiente sistema en tiempo discreto:
𝑥 𝑘 + 1 = 𝐺𝑥 𝑘 + 𝐻𝑢(𝑘) 𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥(𝑘)
Obtener la salida: 𝑦(!) =? si la entrada es un escalón 𝑈(!)
y las condiciones iniciales: 𝑥(!) =𝑥!(0)𝑥!(0)
= 1−1
Utilizamos las variables de estado de la forma canónica observable:
𝐺 = 0 1−1.8221 2.7132 ; 𝐻 = 0
1 ; 𝐶 = −0.2404 0.2949
matriz de transición de estado Ψ(𝑘) = 𝐺! = 𝓏!![ 𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! ∗ 𝑧]
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! = 𝑧 ∗ 1 00 1 − 0 1
−1.8221 2.7132!!
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! = 𝑧 00 𝑧 − 0 1
−1.8221 2.7132!!
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! = 𝑧 −11.8221 𝑧 − 2.7132
!!
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! =
𝑧𝑑𝑒𝑡
−1𝑑𝑒𝑡
1.8221𝑑𝑒𝑡
𝑧 − 2.7132𝑑𝑒𝑡
!!
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! =
𝑧(𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221)
−1(𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221)
1.8221(𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221)
𝑧 − 2.7132(𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221)
!!
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! =
𝑧 − 2.7132(𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221)
1(𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221)
−1.8221(𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221)
𝑧(𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221)
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! =
𝑧 − 2.7132(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)
1(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)
−1.8221(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)
𝑧(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! =
𝑧 − 2.7132(𝑧 − 1.4917)
+𝑧 − 2.7132(𝑧 − 1.2215)
1(𝑧 − 1.4917)
+1
(𝑧 − 1.2215)−1.8221
(𝑧 − 1.4917)+
−1.8221(𝑧 − 1.2215)
𝑧(𝑧 − 1.4917)
+𝑧
(𝑧 − 1.2215)
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! =
𝐴(𝑧 − 1.4917)
+𝐵
(𝑧 − 1.2215)𝐴
(𝑧 − 1.4917)+
𝐵(𝑧 − 1.2215)
𝐴(𝑧 − 1.4917)
+𝐵
(𝑧 − 1.2215)𝐴
(𝑧 − 1.4917)+
𝐵(𝑧 − 1.2215)
a continuación realizamos fracciones parciales:
-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐
𝑦 !,! =𝑧 − 2.7132
(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)
=𝐴
(𝑧 − 1.4917)+
𝐵(𝑧 − 1.2215)
𝐴 !!!.!"#$ =𝑧 − 2.7132(𝑧 − 1.2215)
=(1.4917) − 2.7132(1.4917) − 1.2215
=−1.22150.2702
= −4.5207
𝐵 !!!.!!"# =𝑧 − 2.7132(𝑧 − 1.4917)
=(1.2215) − 2.7132(1.2215) − 1.4917
=−1.4917−0.2702
= 5.5207
-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐
𝑦 !,! =1
(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)
=𝐴
(𝑧 − 1.4917)+
𝐵(𝑧 − 1.2215)
𝐴 !!!.!"#$ =1
(𝑧 − 1.2215)=
1(1.4917) − 1.2215
=1
0.2702= 3.7010
𝐵 !!!.!!"# =1
(𝑧 − 1.4917)=
1(1.2215) − 1.4917
=1
−0.2702= −3.7010
-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐
𝑦 !,! =−1.8221
(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)
=𝐴
(𝑧 − 1.4917)+
𝐵(𝑧 − 1.2215)
𝐴 !!!.!"#$ =−1.8221
(𝑧 − 1.2215)=
−1.8221(1.4917) − 1.2215
=−1.82210.2702
= −6.7435
𝐵 !!!.!!"# =−1.8221
(𝑧 − 1.4917)=
−1.8221(1.2215) − 1.4917
=−1.8221−0.2702
= 6.7435
-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐
𝑦 !,! =𝑧
(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)
=𝐴
(𝑧 − 1.4917)+
𝐵(𝑧 − 1.2215)
𝐴 !!!.!"#$ =𝑧
(𝑧 − 1.2215)=
1.4917(1.4917) − 1.2215
=1.49170.2702
= 5.5207
𝐵 !!!.!!"# =𝑧
(𝑧 − 1.4917)=
1.2215(1.2215) − 1.4917
=1.2215−0.2702
= −4.5191
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! =
−4.5207(𝑧 − 1.4917)
+5.5207
(𝑧 − 1.2215)3.7010
(𝑧 − 1.4917)+
−3.7010(𝑧 − 1.2215)
−6.7435(𝑧 − 1.4917)
+6.7435
(𝑧 − 1.2215)5.5207
(𝑧 − 1.4917)+
−4.5191(𝑧 − 1.2215)
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! =
−4.5207𝑧(𝑧 − 1.4917)
+5.5207𝑧
(𝑧 − 1.2215)3.7010𝑧
(𝑧 − 1.4917)+
−3.7010𝑧(𝑧 − 1.2215)
−6.7435𝑧(𝑧 − 1.4917)
+6.7435𝑧
(𝑧 − 1.2215)5.5207𝑧
(𝑧 − 1.4917)+
−4.5191𝑧(𝑧 − 1.2215)
𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺 !! =−4.5207(1.4917)! + 5.5207(1.2215)! 3.7010(1.4917)! − 3.7010(1.2215)!
−6.7435(1.4917)! + 6.7435(1.2215)! 5.5207(1.4917)! − 4.5191(1.2215)!
si la entrada es un escalón 𝑈(!) y las condiciones iniciales: 𝑥(!) =𝑥!(0)𝑥!(0)
= 1−1
𝓏 𝑥(!) = 𝑥(!) = (𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺)!! 𝑧 ∗ 𝑥 ! + (𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺)!!𝐻 ∗ 𝑈(!)
𝓏 𝑥(!) = 𝑥(!) = (𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺)!! 𝑧 ∗ 𝑥 ! + 𝐻 ∗ 𝑈(!)
𝑈(!) =1
1− 𝑧!! =𝑧
𝑧 − 1
𝑧 ∗ 𝑥 ! + 𝐻 ∗ 𝑈 ! = 𝑧 ∗ 1−1 + 0
1𝑧
𝑧 − 1
𝑧 ∗ 𝑥 ! + 𝐻 ∗ 𝑈 ! = 𝑧−𝑧 +
0𝑧
𝑧 − 1
𝑧 ∗ 𝑥 ! + 𝐻 ∗ 𝑈 ! =𝑧
−𝑧! + 2𝑧𝑧 − 1
Se calcula 𝑥(!)
𝑥(!) = (𝑧 ∗ 𝐼 − 𝐺)!! 𝒛 ∗ 𝑥 ! + 𝐻 ∗ 𝑈(!)
𝑥(!) =𝑧 −1
1.8221 𝑧 − 2.7132!!∗
𝑧−𝑧! + 2𝑧𝑧 − 1
𝑥(!) =𝑧 − 2.7132 1−1.8221 𝑧 ∗
𝑧−𝑧! + 2𝑧𝑧 − 1
𝑧 − 2.7132 ∗ (𝑧)+ (1) ∗−𝑧! + 2𝑧𝑧 − 1 = (𝑧! − 2.7132𝑧)+
−𝑧! + 2𝑧𝑧 − 1
=(𝑧! − 2.7132𝑧) ∗ (𝑧 − 1)+ (−𝑧! + 2𝑧)
𝑧 − 1 = (𝑧! − 2.7132𝑧! − 𝑧! + 2.7132𝑧 − 𝑧! + 2𝑧)
=𝑧! − 4.7132𝑧! + 4.7132𝑧
𝑧 − 1
(−1.8221) ∗ 𝑧 + 𝑧 ∗−𝑧! + 2𝑧𝑧 − 1 = (−1.8221𝑧)+
−𝑧! + 2𝑧!
𝑧 − 1
−1.8221 ∗ 𝑧 − 1 + (−𝑧! + 2𝑧!)
𝑧 − 1 =−1.8221𝑧! + 1.8221𝑧 − 𝑧! + 2𝑧!
𝑧 − 1
=−𝑧! + 0.1779𝑧! + 1.8221𝑧
𝑧 − 1
𝑥(!) =
𝑧! − 4.7132𝑧! + 2.7132𝑧(𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221)(𝑧 − 1)−𝑧! + 0.1779𝑧! + 1.8221𝑧
(𝑧! − 2.7132𝑧 + 1.8221)(𝑧 − 1)
𝑥(!) =
𝑧! − 4.7132𝑧! + 2.7132𝑧(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)(𝑧 − 1)−𝑧! + 0.1779𝑧! + 1.8221𝑧
(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)(𝑧 − 1)
realizamos fracciones parciales
𝑦 !,! =𝑧! − 4.7132𝑧! + 2.7132𝑧
(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)(𝑧 − 1)
=𝐴
(𝑧 − 1.4917)+𝐵
(𝑧 − 1.2215)+𝐶
(𝑧 − 1)
𝐴 !!!.!"#$ =𝑧! − 4.7132𝑧! + 2.7132𝑧
𝑧 − 1.2215 (𝑧 − 1)=(1.4917)! − 4.7132 ∗ 1.4917 ! + 2.7132 ∗ (1.4917)
1.4917 − 1.2215 (1.4917 − 1)
=−3.12110.13286 = −23.4921
𝐵 !!!.!!"# =𝑧3 − 4.7132𝑧2 + 2.7132𝑧𝑧 − 1.4917 𝑧 − 1 =
(1.2215)3 − 4.7132 ∗ 1.2215 2 + 2.7132 ∗ (1.2215)1.2215− 1.4917 1.2215− 1
=−1.89566−0.05985 = 31.67389
𝐶 !!! =𝑧3 − 4.7132𝑧2 + 2.7132𝑧𝑧 − 1.4917 𝑧 − 1.2215 =
1 3 − 4.7132 ∗ 1 2 + 2.7132 ∗ 11− 1.4917 1− 1.2215
=−1
0.1089 = −9.18176
-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐
𝑦 !,! =−𝑧! + 0.1779𝑧! + 1.8221𝑧
(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1.2215)(𝑧 − 1)
=𝐴
(𝑧 − 1.4917)+𝐵
(𝑧 − 1.2215)+𝐶
(𝑧 − 1)
𝐴 !!!.!"#$ =−𝑧! + 0.1779𝑧! + 1.8221𝑧
(𝑧 − 1.2215)(𝑧 − 1)=− 1.4917 ! + 0.1779 ∗ (1.4917)! + 1.8221 ∗ (1.4917)
(1.4917 − 1.2215)(1.4917 − 1)
=−0.20540.13286 = −1.54599
𝐵 !!!.!!"# =−𝑧! + 0.1779𝑧! + 1.8221𝑧
(𝑧 − 1.4917)(𝑧 − 1)=− 1.2215 ! + 0.1779 ∗ (1.2215)! + 1.8221 ∗ (1.2215)
(1.2215 − 1.4917)(1.2215 − 1)
=0.66858−0.05985 = −11.1709
𝐶 !!! =−𝑧! + 0.1779𝑧! + 1.8221𝑧𝑧 − 1.4917 𝑧 − 1.2215
=− 1 ! + 0.1779 ∗ (1)! + 1.8221 ∗ (1)
1 − 1.4917 1 − 1.2215
=1
0.1089 = 9.18176
𝑥(!) =
−23.4921(𝑧 − 1.4917)
+31.67389(𝑧 − 1.2215)
+−9.18176(𝑧 − 1)
−1.54599(𝑧 − 1.4917)
+−11.1709(𝑧 − 1.2215)
+9.18176(𝑧 − 1)
∗ 𝑧
𝑥(!) =
−23.4921𝑧(𝑧 − 1.4917)
+31.67389𝑧(𝑧 − 1.2215)
+−9.18176𝑧(𝑧 − 1)
−1.54599𝑧(𝑧 − 1.4917)
+−11.1709𝑧(𝑧 − 1.2215)
+9.18176𝑧(𝑧 − 1)
𝑥(!) = 𝓏 !! 𝑋(!) =−23.4921(1.4917)𝑘 + 31.67389(1.2215)𝑘 − 9.18176−1.54599 1.4917 𝑘 − 11.1709 1.2215 𝑘 + 9.18176
Finalmente, la salida 𝑦(!) se obtiene:
𝑦(!) = 𝐶𝑥(!) = −0.2404 0.2949 −23.4921(1.4917)𝑘 + 31.67389(1.2215)𝑘 − 9.18176−1.54599 1.4917 𝑘 − 11.1709 1.2215 𝑘 + 9.18176
𝑦(!) = −0.2404 −23.4921(1.4917)! + 31.67389(1.2215)! − 9.18176 + 0.2949(−1.54599 1.4917 ! − 11.1709 1.2215 ! + 9.18176)
𝑦(!) = 5.6475 1.4917 ! − 7.6144 1.2215 ! + 2.2073 − 0.4559 1.4917 ! − 3.2943 1.2215 ! + 2.7077
𝑦 ! = 5.1916 1.4917 𝑘 − 10.9087 1.2215 𝑘 + 4.915