CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES

INTRODUCCINUn proceso de control es aquel cuyo comportamiento con respecto a variaciones es estable en el tiempo. Las grficas de control se utilizan en la industria como tcnica de diagnsticos para supervisar procesos de produccin e identificar inestabilidad y circunstancias anormales. Una grfica de control es una comparacin grfica de los datos de desempeo de proceso con los lmites de control estadstico calculados, dibujados como rectas limitantes sobre la grfica.

Los grficos de control por variables se utilizan para aquellas caractersticas de calidad que permiten ser medidas y, por lo tanto, son cuantificables.

A lo largo de este trabajo se desarrollarn los modelos de grficos de control por variables ms utilizados, comprendiendo su base terica mediante aplicaciones prcticas as como sus ventajas y usos.OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL.

* Adquirir las competencias necesarias para conocer y comprender los usos y aplicaciones de los grficos de control por variables en el control de procesos.

OBJETIVOS ESPECFICOS.

* Conocer sobre el uso de las mediciones individuales para grficos de control.* Aplicar el grfico de control en ejemplos de produccin.MARCO TEORICOEn un grfico de control se representa grficamente una caracterstica de calidad T, medida o calculada a partir de muestras del producto, en funcin de las diferentes muestras. La grfica tiene una lnea central que simboliza el valor medio de la caracterstica de calidad. Finalmente, otras dos lneas (los lmites superior e inferior de control) flanquean a la anterior a una distancia determinada. Estos lmites son escogidos de manera que si el proceso est bajo control, casi la totalidad de los puntos mustrales se halle entre ellos. As, un punto que se encuentra fuera de los lmites de control se interpreta como una evidencia de que el proceso est fuera de control. Adems, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los lmites de control, pero se comportan de manera sistemtica o no aleatoria, tambin tendramos un proceso fuera de control (veremos cmo estudiar la existencia de tales patrones no aleatorios mediante los llamados test para causas especiales).Ventajas

Son muchas las ventajas que existen con el uso de los grficos de control por variables.

Ofrecen un uso muy amplio.

Proporcionan informacin til respecto al funcionamiento del proceso:

Ofrecen un uso muy amplio.

Proporcionan informacin til respecto al funcionamiento del proceso:

- Se obtiene directamente informacin especfica acerca de la media del proceso y su variabilidad.- Cuando hay puntos que caen fuera de control se puede extraer mucha informacin sobre la causa especial que provoc esta seal fuera de control.

- Incluso con todos los valores individuales dentro de las especificaciones, se puede analizar el proceso, lo que facilita su mejora.- Ayudan en el estudio de la capacidad de un proceso.Proporciona una indicacin de problemas inminentes y permiten al personal operativo tomar acciones correctivas antes de que ocurra la produccin real de artculos defectuosos.

Los grficos de control son indicadores anticipados de problemas.

Los grficos de control por variables necesitan un tamao muestral ms pequeo que los grficos por atributos. De esta manera, se tendrn que controlar menos unidades y el tiempo para la toma de decisiones es menor. Esta es una consideracin muy importante, tambin, por ejemplo, en los casos en los que la inspeccin es destructiva.Usos de los Grficos de Control por VariablesLos grficos de control por variables son apropiados, entre otros, en los siguientes casos:PROCESOS Cuando se introduce un nuevo proceso, o se fabrica un nuevo producto mediante un proceso ya existente.

Para demostrar de forma contina la estabilidad y capacidad del proceso.

PROBLEMAS EN

PROCESOS Cuando el proceso ya funciona pero tiene problemas crnicos.

Cuando existen problemas en el proceso y el grfico de control por variables puede ser una herramienta de utilidad para diagnosticar el problema, como, por ejemplo, para la localizacin de una avera.

Para casos en que se han utilizado grficos de control por atributos, pero el proceso se encuentra fuera de control o bajo control pero con produccin inaceptable.

Situaciones en las que el operario debe decidir si ajusta o no el proceso.

ESPECIFICACIONES Procesos con especificaciones muy estrechas, o que no las cumplen u otros problemas de manufactura difciles.

Cuando se requiere un cambio en las especificaciones del proceso.

OTROS Para casos en que se requieren pruebas destructivas.

Cuando es conveniente reducir al mnimo el muestreo para aceptacin u otras pruebas, siempre que el proceso se pueda manejar bajo control.

Para el caso en especial de los grficos de control para observaciones individuales, sern apropiados en que:GRFICOS DE CONTROL DE VALORES INDIVIDUALES Procesos en los que es inconveniente o imposible obtener ms de una medicin por muestra o es costoso obtener valores medios.

Procesos en los que la tecnologa de pruebas de inspeccin automatizadas permite medir todas las unidades producidas.

Situaciones en las que los datos se obtiene muy despacio y no sera prctico esperar una muestra mayor, lo que adems hara el procedimiento de control demasiado lento para reaccionar a los problemas. Esto sucede a menudo en situaciones no industriales, como puede ser el caso de disponer de datos sobre la contabilidad slo una vez al mes.

Existen importantes razones para implantar los grficos de control. Destacamos las siguientes:a) Los grficos de control son una tcnica de eficacia probada para mejorar la productividad. La adecuada implantacin de un programa de C.E.P. reduce la repeticin de las operaciones no conformes y los rechazos por desechos que son uno de los principales enemigos de la productividad. De esta reduccin se deriva una disminucin en los costes y un incremento de produccin de producto correcto.b) Los grficos de control son eficaces en la prevencin de defectos. El objetivo bsico del grfico de control es detectar cualquier cambio en el proceso o en el producto. Siempre es ms barato hacer las cosas bien de entrada que escoger las unidades buenas dentro de un lote de malas y buenas. Si no se posee un control eficaz, se estar pagando por fabricar produccin no conforme.Un grfico de control es un diagrama especialmente preparado donde se van anotando los valores sucesivos de la caracterstica de calidad que se est controlando.

Todo grfico de control est diseado para presentar los siguientes principios:1.- Fcil de entendimiento de los datos.2.- Claridad.3.- Consistencia.4.- Medir variaciones de calidad.Categoras de Grficos de Control por VariablesCategoras de Grficos de Control por VariablesA continuacin se agrupan los grficos de control por variables segn el tipo de datos de que dispongamos:

Hay dos condiciones distintas bajo las que se usan los grficos de control:SIN ESTNDAR DADOLos grficos, como principal utilidad, son usados para investigar el estado de control de un proceso.

Podemos encontrarnos tres situaciones:

Que el proceso no haya sido examinado previamente.

Que se le hayan realizado cambios importantes.

Que se examine para observar el estado de control contino despus de que un anlisis preliminar de distribucin de frecuencias demostr control inicial.

Para estos casos, los valores de los lmites de control y de la tendencia central se calculan como parte del anlisis de las lecturas que se realizan de los datos registrados.

En este caso la condicin se denomina sin estndar dado.

CON ESTNDAR DADOEsta condicin implica que la tendencia central y los valores de dispersin han sido establecidos inicialmente.

Estos son los pasos para tener en cuenta al momento de graficar cualquiera de los controles por variables.

Paso 1: Recoleccin de datos Estos datos debern ser:.- Recientes de un proceso al cual se quiere controlar.Estos pueden ser tomados:.- Diferentes horas del da. .- Diferentes das.Todos tienen que ser de un mismo producto.

Paso 2: Promedio1.- Sumatoria de los datos de cada uno de los subgrupos dividido entre el nmero de datos (n).Formula XX1 + X2 + X3 + Xn nLa frmula debe ser utilizada para cada uno de los subgrupos

Paso3: RangoValor mayor del subgrupo menor el valor menor.FormulaR = x valor mayor x valor menorDetermine el rango para cada uno de los subgrupos

Paso 4: Promedio globalSumatoria de todos los valores medios y se divide entre el nmero de subgrupos (k).Formula XX1 + X2 + X3 ++ Xnk

Paso 5: Valor medio del rangoSumatoria del rango (R) de cada uno de los subgrupos divido entre el nmero de subgrupos (k).Formula RR1 + R2 + R3 + . + Rnk

INTERPRETACIN DE LOS GRFICOS DE CONTROL POR VARIABLES

El objetivo del uso de los grficos de control es ver como a partir de la variacin de la media o el recorrido a lo largo del tiempo, se puede detectar la aparicin de causas asignables.

Para ello existen una serie de patrones, difciles de encontrarse en procesos bajo control, lo cual nos da la idea de poder tratar con una causa asignable que lo provoque.

La forma en la que aparecen anomalas puede ayudar a identificar las causas asignables, pero no existe una regla general, porque cada proceso tiene unas caractersticas particulares y cada patrn de inestabilidad debe personalizarse para el proceso que se trate en cada caso.

Cuando se encuentra alguno de los siguientes patrones, debe interpretarse que el proceso est afectado por alguna causa asignable, de forma que ha de buscarse cual es sta y eliminarla.PATRONES

Puntos Fuera de

Control en Grfico

de MediasUn desplazamiento de la media del proceso producir valores extremos en el grfico de medias, pero no afectar a la dispersin del proceso, de forma que el grfico R seguir reflejando estar bajo control.

Puntos Fuera de

Control en Grfico

de RangosUn cambio en la variabilidad producir valores anormales en el grfico de dispersin que tambin pueden reflejarse en el de las medias.

Periodicidades Repeticin de agrupamientos mediante la sucesin de ciclos o valles. Indican la presencia de efectos peridicos.

Por ejemplo:

Grfico X: cambios de temperatura, oscilaciones de corriente.

Grfico R: turnos, acciones de mantenimiento.

Inestabilidad Se denota por grandes fluctuaciones que pueden producir uno o ms puntos fuera de los lmites de control.

Este comportamiento puede ser debido a un sobreajuste de la mquina, diferentes materiales mezclados en el almacn o a la falta de entrenamiento de operario de la mquina.

RachasCuando se observe que siete o ms puntos consecutivos se encuentran por encima o por debajo de la media, se supondr que

ocurre algo anormal.

Puede indicar, por ejemplo, si R est bajo control, cambios en la media debido a cambios de materia prima, de servicio de mantenimiento, etc.

TendenciasSi el desplazamiento de la media o la desviacin tpica es paulatino a lo largo del tiempo, este efecto se detectar por alineamiento de los puntos.

As, en general, 6 o ms puntos seguidos en sentido creciente o decreciente, indica la presencia de algn valor que influye gradualmente en el proceso indicando anormalidad.

Por ejemplo:

Grfico X: desgaste de la maquinaria, cambios de temperatura, fatiga de operarios.

R en sentido ascendente: envejecimiento de la mquina, mezclas.

R en sentido descendente: mejora de operarios y mantenimiento.

Sobreestabilidad La variabilidad de las muestras es menor que la esperada de forma que los puntos se acumulan en la lnea central.

Esta acumulacin de puntos puede indicar que:

Los lmites de control estn mal calculados o no actualizados.

Los datos se han tomado incorrectamente.

Se ha producido un cambio positivo temporal en el proceso.

Es importante investigar la causa que produce esta situacin ya que el anlisis de las causas que la producen supone una oportunidad para reducir la variabilidad del proceso y aumentar su capacidad.

TABLA No. 1 tomada: www.bvbusiness-school.com

TABLA DE FACTORES PARA CONSTRUIR GRFICOS DE CONTROLMUESTRA CONnGRFICO DE MEDIASGRFICO DE RANGOS O RECORRIDOS

Factores para Lmites de Control Factores para Lnea Central Factores para Lmites de Control

A A2d2 E2d3 D1 D2 D3 D4

2

345 67 89

102,121 1,880

1,732 1,023

1,500 0,729

1,342 0,5771,225 0,4831,134 0,419

1,061 0,3731,000 0,3370,949 0,3081,128 2,660

1,693 1,772 2,059 1,457 2,326 1,290 2,534 1,184 2,704 1,110 2,847 1,054

2,970 1,010 3,078 0,9750,853 0 3,686 0 3,267

0,888 0 4,358 0 2,574

0,880 0 4,698 0 2,282

0,864 0 4,918 0 2,114 0,848 0 5,078 0 2,004

0,833 0,204 5,204 0,076 1,924

0,820 0,388 5,306 0,136 1,864

0,808 0,547 5,393 0,184 1,8160,797 0,687 5,469 0,223 1,777

TABLA No. 2 tomada: www.bvbusiness-school.com

GRFICO DE MEDIAS Y RANGOS CON ESTNDAR DADOLa medida de tendencia central, es decir, la media muestral, X , est controlada mediante el grfico de la media, mientras que la variabilidad se controla mediante el recorrido, R, que constituye el grfico de rango o recorrido.

La caracterstica de estudio se puede aproximar a una distribucin Normal donde, al tratarse de muestras, la media coincide con la poblacional, , y la desviacin tpica ser

(n.

Grfico de la MediaPara el grfico de la media, los lmites de control, que se establecen a 3 veces la desviacin tpica de la muestra, y la lnea central sern: LSC = 3 (n o LSC = A

LC = LIC = 3 (n o LIC = ACon un valor de A:A= 3(nDonde el valor de A se puede encontrar tabulado, para distintos tamaos de muestra, n, en la Tabla de Factores para construir grficos de control que figura al final de esta Unidad de Competencia.Grfico del RangoEl rango es un parmetro de variabilidad.El rango o recorrido es la diferencia entre el mayor y el menor dato de cada grupo de observaciones tomadas de forma consecutiva.

Si un proceso se encuentra bajo control, es posible obtener una relacin entre el rango muestral para muestras de tamao n y la desviacin tpica de la poblacin que tendremos como estndar dado. Esta relacin ser a travs de la expresin:

Donde:

s es la desviacin tpica de la muestra.

es la desviacin tpica de la poblacin.Pudiendo encontrar el valor de d2 para muestras de distinto tamao en la Tabla de Factores para construir grficos de control.La desviacin estndar del rango muestral se representa por: R d3 Los valores de d3, tambin en funcin del tamao de n, se encuentran tabulados.

Los lmites de control del rango vendrn dados por:

R 3RComo R d 2* y R3 d* , la expresin pasara a ser:

d2 3d3Si llamamos a: D2 = d2 + 3d3

D1 = d2 3d3Los lmites de control y la lnea central resultan ser:

LSCD2

LC = d2

LIC = D1 Donde los valores de D1 y D2 se encuentran tabulados en la Tabla de Factores para construir grficos de control que se adjunta, para distintos tamaos de muestra, n.GRFICO DE MEDIAS Y RANGOS SIN ESTNDAR DADOEn la mayora de los casos, los parmetros poblacionales y son desconocidos, con lo cual deben obtenerse estimadores de estos parmetros.stos se consiguen a travs de los datos obtenidos por los subgrupos de muestras de n observaciones recogidas mientras el proceso se encuentra bajo control.Las muestras deben contener unidades homogneas, producidas bajo las mismas

condiciones de forma que los estadsticos que se obtienen de ellos sean buenos estimadores de los parmetros del proceso.La caracterstica de estudio se puede aproximar a una distribucin Normal para una muestra de la poblacin donde, la media muestral ser la media de las medias de los subgrupos de muestra recogidas, x , y la desviacin tpica ser s / ( n.La relacin entre el rango muestral y la desviacin tpica poblacional seguir estando definida a travs de la expresin:

Donde R es la media de los rangos de los distintos grupos de observaciones recogidas en el proceso.Grfico del RangoComo en el caso del grfico de medias, para el grfico de rangos, los lmites de control se establecen a 3, que implica 3 veces la desviacin del rango R .R 3R

R= d3 De la expresin R = d2 se deduce que:

Nombrando:

Para el grfico de rangos o recorridos, los lmites se quedan establecidos como: LSC = D4 R LC = R

LIC = D3 RLos valores de D3 y D4 se recogen, para distintos tamaos de muestra, n, en la Tabla de Factores para construir grficos de control.

EJEMPLO:Una empresa alimentaria se dedica, en una de sus plantas, a la fabricacin de pat de finas hierbas. El pat se vende en tarrinas de 200 g. El equipo de control de calidad decide comenzar un estudio para ver el estado de control del proceso, para ello, se extraen cuatro tarrinas de la lnea de produccin en intervalos de 10 minutos registrando el peso. Los datos figuran a continuacin:

TABLA No. 3 tomada: www.bvbusiness-school.com

En la tabla figuran las columnas:

N de grupo: corresponde a cada una de las muestras de cuatro tarrinas recogidas a intervalos de 10 minutos.

Tarrina 1, 2, 3, 4: corresponde al peso de las tarrinas en gramos.

x : media del peso de las cuatro tarrinas de cada grupo, que ser los datos que se representarn en el grfico de medias.

R: rango de las cuatro tarrinas de cada grupo, que se corresponde con la diferencia entre el mayor y el menor valor de cada grupo de cuatro tarrinas y se corresponden con los datos que se presentarn en el grfico de recorridos.El grfico que debe elaborarse para realizar el estudio del estado de control del proceso ser sin estndar dado, ya que no existen datos anteriores, y queremos estudiar el proceso por primera vez.Primero se realizar el grfico de medias. Para ello, deben calcularse los lmites de control y la lnea central.Los lmites de control y la lnea central vienen definidos por las expresiones:

Donde:

x es la media de las medias de las cuatro tarrinas de cada grupo. Su valor se obtendr del clculo de la media de la columna designada con x :

A2 es un valor tabulado con respecto al tamao de muestra. En este caso, el tamao de muestra es n = 4 y el valor de A2 recogido en la Tabla de Factores para construir grficos de control, es de:A2 = 0,729

R es la media de los valores de los rangos para cada grupo. Su valor es:

De esta forma, los lmites de control y lnea central para el grfico de medias quedan definidos como:

LSC = x A R 2 + = 203,27 + 0,7294,75 =206,73

LC = x = 203,27

LIC = x A R 2 - = 203,27 0,7294,75 = 199,81

Para el grfico de rangos o recorridos, los lmites de control y la lnea central se definen con las expresiones: LSC = D4 R LC = R

LIC = D3 RLos valores de D3 y D4 se encuentran en la Tabla de Factores para construir grficos de control.

Para un tamao de muestra 4:D3 = 0

D4 = 2,282As, los lmites y la lnea central toman los valores: LSC = D R 4 = 2,2824,75 = 10,84

LC = R = 4,75

LIC = D3 R = 0

Anlisis del grfico:En el grfico de medias se observa que dos valores se encuentran fuera de los lmites de control, uno por encima del lmite superior y el otro por debajo del inferior, que se corresponden con los grupos de muestras 14 y 15.En este caso indica que, para estos grupos de datos, el proceso no se encuentra bajo control, de forma que se procedera a buscar las causas especiales que generan estos dos datos y si se encuentran, se volveran a realizar los clculos de los lmites y la lnea central sin contar con estos dos puntos para ver si, al eliminar estas causas asignables, el proceso se encuentra bajo control.El grfico de rangos representa que la variabilidad de los datos permanece estable ya que ninguno de ellos supera los lmites de control.Si se recalculan los parmetros involucrados en el grfico de control de medias, eliminando los datos de los grupos 14 y 15, los resultados quedaran: LSC = x = 203,23

LSC = x +A2 R2 = 203,23 + 0,7294,36 = 206,40

LIC = x- A2 R2 = 203,23 0,7294,36 = 200,05

Si para el grfico de rangos se hace el mismo procedimiento: LSC = D4 R4 = 2,2824,36 = 9,95

LC = R = 4,36

LIC = D3 R3 = 0

Tras eliminar las causas asignables se puede concluir diciendo que el proceso se encuentra bajo control.GRFICO DE VALORES INDIVIDUALES Y RANGOS MVILESComo ya hemos visto, en ocasiones no resulta prctico tomar muestras de varios elementos.Cuando un grfico de control se basa en observaciones individuales, se denomina grfico de valores individuales o grfico X.Se utiliza cuando es costoso obtener valores medios o se desea una accin rpida de forma que se prefieren los datos medidos individualmente ms que conjuntos de muestras, as como casos en que slo tiene sentido realizar una observacin como son estudios de contabilidad, ventas, costes, etc.La estimacin de la variabilidad se realiza mediante el uso de rangos o recorridos mviles, es decir, calcular la diferencia entre dos observaciones sucesivas.La caracterstica de estudio se puede aproximar a una distribucin Normal para una muestra de la poblacin donde, la media muestral ser la media de las observaciones individuales, x , y la desviacin tpica ser s/( n.

Grfico de Valores IndividualesLa lnea central vendr dada por el valor de la media de los valores tomados individualmente:

Donde:

x es cada una de las observaciones que se tiene como datos.

n es el nmero total de observaciones.La desviacin tpica se estima a partir de los recorridos mviles. El recorrido mvil es la diferencia entre el mayor y el menor de dos observaciones consecutivas, de forma que, para n observaciones se obtendrn n-1 recorridos mviles, y su promedio dar el recorrido mvil medio R .

Como ya hemos visto, la relacin con la desviacin tpica se define a travs de la expresin:

Los lmites de control y la lnea central se expresarn como:

Donde:El valor de E2= 3/d2 y su valor, para cada tamao de muestra n, se encuentra en la Tabla de Factores para construir diagramas de control.Grfico de Rangos MvilesLos lmites de control y la lnea central para el grfico de rangos mviles vendrn dados por las mismas expresiones que el grfico de rangos sin estndar dado, es decir: LSC = D 4R LC = R

LIC = D3 RDonde los valores de D3 y D4 se recogen, para distintos tamaos de muestra, n, en la Tabla de Factores para construir grficos de control.

Normalmente, el valor de n = 2, ya que los rangos mviles suelen calcularse sobre dos observaciones sucesivas.EJEMPLO:

Un fabricante de botellas de PVC realiza una inspeccin del peso, en gramos, de 25 botellas, obteniendo los siguientes datos, recogidos de columna en columna de izquierda a derecha.33,0 32,7 33,0 33,2 33,1

32,6 32,9 32,8 33,4 33,0

33,0 32,8 33,0 33,4 33,0

32,8 33,4 33,5 32,6 32,7

32,6 33,3 33,0 33,1 32,9 TABLA No. 5 tomada: www.bvbusiness-school.com

Lo que representa la tabla son los valores del peso de 25 botellas, datos tomados de forma individual. Para realizar un grfico de valores individuales lo primero que necesitamos es calcular los rangos mviles.Para ello: Seleccionamos dos observaciones consecutivas.

Calculamos la diferencia del valor mayor menos el menor y as de forma sucesiva hasta obtener n-1 rangos mviles, suponiendo que n es el nmero de unidades que hemos inspeccionado.

A continuacin se recoge, en una tabla, una primera columna con los datos de las 25 unidades inspeccionadas y otra columna con el clculo de los rangos mviles realizado por el procedimiento descrito.Observar que el nmero de datos de rangos mviles es de n-1 = 24.Peso botella PVC

(g)

Rango Mvil

33,0

32,6

33,0

32,8

32,6

32,7

32,9

32,8

33,4

33,3

33,0

32,8

33,0

33,5

33,0

33,2

33,4

33,4

32,6

33,1

33,1

33,0

33,0

32,7

32,90,4

0,4

0,2

0,2

0,1

0,2

0,1

0,6

0,1

0,3

0,2

0,2

0,5

0,5

0,2

0,2

0

0,8

0,5

0

0,1

0

0,3

0,2

TABLA No. 6 tomada: www.bvbusiness-school.com

Una vez calculados los rangos, se calcula la media de las observaciones:

Los lmites de control y la lnea central para el grfico de valores individuales vienen definidos por:

Tomando como valor de E2= 2,66 para una muestra de tamao n=2, ya que los rangos mviles los hemos calculado para cada 2 observaciones consecutivas.

Para el grfico de rangos mviles, los lmites de control y la lnea central quedan definidos como: LSC = D4 R =3,267 0,26 = 0,85 LC = R = 0,26

LIC = D3 R = 0Tomando como valores de D3 y D4 para un tamao de muestra n=2:

D3= 0

D4= 3,267

Anlisis de la grfica:El grfico de valores individuales muestra que el proceso se encuentra bajo control ya que ninguno de los datos supera los lmites de control establecidos.El grfico de rangos mviles representa que la variabilidad de los datos permanece estable ya que ninguno de ellos supera los lmites de control.CONCLUSIN

En los grficos de medidas individuales, y de ellos en el grfico de la media, se representan los valores de las medidas individuales. Lgicamente se trata de medias procedentes de muestras de tamao 1. El problema radica en que con una nica medida no es posible estimar la desviacin tpica de la poblacin no es nula pero el tamao unitario de la muestra no permite efectuar su estimacin. Si la produccin es totalmente homognea (como ocurre en una disolucin) es suficiente tomar una medida, pero la desviacin tpica es nula pues no hay variacin dentro de cada lote (aunque si hay entre lotes).

Si durante el proceso de investigacin se presentan ciertas causas de variacin que, aunque identificadas por los grficos de control como causas especiales, y en calidad de tales son asignables, son consideradas una caracterstica integral del proceso. Tal vez no resulte prctico eliminar estos cambios de nivel completamente, por lo que habr de tenerse esto en cuenta en el trazado del grfico de control para un proceso que demuestre dicha tendencia.BIBLIOGRAFIA

https://optyestadistica.wordpress.com/2008/09/28/grficos-de-control-de-datos-individuales-y-rangos-moviles-x-rm/ http://www.buenastareas.com/ensayos/Grficos-De-Control-Para-Datos-Individuales/6231584.html Carot Alonzo, Vicente, Control Estadstico de la calidad, Universidad Politcnica de Valencia, Reproval, Ao 1998. Douglas C. Montgomery, Control estadstico de la calidad, 3 Edicin, Editorial Limusa Wiley, Ao 2004. www.bvbusiness-school.com