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7/25/2019 Correspondencia Matemtica - Wikipedia, La Enciclopedia Libre

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Correspondencia matemticaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Dados dos conjuntos: X e Y, y una funcin f, quedetermina alguna relacin binaria entre algn elemento deX con algn elemento de Y, diremos que esa funcin: f,

define una correspondencia1 entre X e Y, querepresentaremos:

cuando al menos un elemento de X est relacionado conal menos un elemento de Y.

ndice

1 Un ejemplo2 Definiciones3 Correspondencia definida a partir del productocartesiano

3.1 ejemplo 13.2 ejemplo 2

4 Correspondencia inversa5 Tipos de correspondencias

5.1 Clasificacin segn la unicidad

5.1.1 Correspondencia no unvoca5.1.2 Correspondencia unvoca5.1.3 Correspondencia unvoca, no

biunvoca5.1.4 Correspondencia biunvoca

6 Aplicacin matemtica6.1 Tipos de Aplicacin matemtica

6.1.1 Aplicacin inyectiva y nosobreyectiva

6.1.1.1 Ejemplo6.1.1.2 Segundo ejemplo

6.1.2 Aplicacin no inyectiva ysobreyectiva


6.1.3 Aplicacin inyectiva ysobreyectiva (biyectiva)


6.1.4 Aplicacin no inyectiva y nosobreyectiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:ClasiBinaEs_003.svg


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7 Vase tambin8 Bibliografa9 Referencia10 Enlaces externos

Un ejemploSi tenemos una serie de objetos, como los tubos de pintura y los pinceles, ydiferenciamos por un lado los tubosy por otro los pinceles, y asociamos a cadatubo con el pincel que tiene el mismo color de pintura, tenemos una relacincolor de la pintura entre cada tubo y cada pincel que tenga el mismo color.

En este ejemplo, podemos definir un conjunto T detubos de pintura y otro P de pinceles y asociar a cadatubo del conjunto T, el pincel del conjunto Pque tenga

su mismo color, esta asociacin la representaremos conuna flecha del tubo al pincel correspondiente.

Puede darse el caso que tengamos un tubo de un color pero no un pincel con mismo color de pintura, como en el ejemplo hay un tubo de color rojo pero no haningn pincel con pintura de color rojo, por lo tanto del tubo rojo no sale ningunflecha.

Puede que tengamos un tubo de un color y varios pinceles con pintura de esmismo color, as en el ejemplo hay un tubo verde y dos pinceles con pintur

verde, del tubo de color verde salen dos flechas una hasta cada pincel con pinturverde.

Tambin puede ser que tengamos msde un tubo de un mismo color y un solo

pincel con esa pintura, en este caso,como en el ejemplo, de los dos tubos

azules salen las dos flechas hasta el nico pincel con pintura azul,llegando dos flechas al pincel azul, una de cada uno de los tubosde color azul, como se ve en la figura.

En la figura del ejemplo se ve un pincel con pintura amarilla,pero no hay ningn tubo de pintura amarilla, por tanto a estepincel no llega ninguna flecha.

En resumen la correspondencia mismo color de la pinturaentreun conjunto Tde tubos de pintura, y otro conjunto Pde pinceles,existe en tanto en cuanto al menos un tubo de pintura tiene elmismo color que uno de los pinceles, pudiendo ser esa relacin tan sencilla o tan compleja como se quiera.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_01.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_24.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_20.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_0101.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_21.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_04.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_00.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_02.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_23.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_25.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_22.svg


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n una correspon enc a ma em ca os con un os no enen que ser necesar amen e num r cos, n relacin entre sus elementos operaciones aritmticas, sin que por ello deje de ser matemtica.

efiniciones

En una correspondencia podemos distinguir distintos conjuntos:

Conjunto inicial: es el primero de la correspondencia, eseste caso X, lo representaremos: in(f), segn el ejemplo:

En el segundo ejemplo, tenemos una correspondencia entre unconjunto de pinceles P y un conjunto de caras C que hemos

pintado con esos pinceles, la correspondencia asocia a cadapincel la cara del mismo color, en este ejemplo el conjuntoinicial ser:

, , ,

Conjunto final: es el segundo de la correspondencia eneste caso Y, lo representaremos como fin(f), segn elejemplo:

En el ejemplo de los pinceles y las caras el conjunto final estformado por:

, , ,

Conjunto origen: es el formado por los elementos del conjunto inicial, que estn relacionados coalgn elemento del conjunto final, lo representaremos or(f), en el ejemplo ser:

Los pinceles de los que hay una cara pintada es el conjunto origen, de la correspondencia mismo color:

, ,

Conjunto imagen: es el formado por los elementos del conjunto final con los que estn relacionadolos elementos del conjunto origen, lo representaremosIm(f), en el ejemplo:

Las caras para las que hay un pincel de su color es el conjunto imagen:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_0602.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P1.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C5.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspondencia_01.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C0.svg


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, ,

Elementos homlogos: dos elementos, uno del conjunto origen y otro del conjunto imagen, se dicque son homlogos, si estn relacionados segn la correspondencia f, en el ejemplo los siguiente

pares ordenadas son homlogos:

Los pares ordenados formados por un pincel y una cara del mismo color son:

, , ,

Imagen de un elemento: dado un elemento x del conjunto origen, y otro elemento y del conjuntimagen, se dice que yes imagen de xy se representa:

si el elemento xest relacionado con el elemento ysegn la correspondencia f. en el ejemplo tenemos que:

La correspondencia color por la que a cada pincel se le asocia la cara pintada del mismo color es:

Correspondencia definida a partir del producto cartesiano

Dados los conjuntos X (Conjunto inicial) e Y (Conjunto final) y definido el producto cartesiano de estos dos conjuntos, como el conjunto de pares ordenados (x, y), donde e , dado conjunto F que contiene a los pares homnimos de la correspondencia f, y define escorrespondencia en su totalidad.

Por lo tanto podemos decir que una correspondencia entre dos conjuntos X e Y, es un subconjunto F d

producto cartesiano , que recoge los pares ordenados (x, y), que forman la correspondencia.

ejemplo 1

en la diagrama anterior, tenemos los conjuntos:

el producto es:
http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Codominiohttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C4.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenadohttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C2.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svg


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d (1,d) (2,d) (3,d) (4,d

c (1,c) (2,c) (3,c) (4,c

b (1,b) (2,b) (3,b) (4,b

a (1,a) (2,a) (3,a) (4,a

XY 1 2 3 4el conjunto Fes el siguiente:

se puede apreciar que y que Fdefine la correspondencia en su totalidad.

ejemplo 2

Partiendo de la correspondencia entre los tubos de pintura T, ylos pinceles P, asociando a cada tubo el pincel que tiene pinturadel mismo color.

La correspondencia vendr definida por los pares ordenados:

, , ,

Vemos que el conjunto inicial es:

, , ,

el conjunto final:

, , ,

el producto cartesiano de Tpor Pes el conjunto de pares ordenados de cada uno de los tubos de Tcon caduno de los pinceles de P, en la cuadrcula podemos ver en la fila inferior cada uno de los tubos del conjuntT, y en la columna da la izquierda cada uno de los pinceles del conjunto P, donde se cortan una fila y uncolumna estn el tubo y el pincel correspondientes, se ha destacado el fondo de las pares que forman partde la correspondencia.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T5.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P1.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_0601.svg


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Correspondencia inversa

Dada una correspondencia entre los conjuntos Ay B, representada:

se define como correspondencia inversa de f, que llamaremos :

a la que asocia la imagen de la funcin fcon su origen.

Definida una correspondencia F, como un subconjunto del productocartesiano de , donde los pares ordenados (a, b) son los asociados

por la correspondencia, la correspondencia inversa , es elsubconjunto del producto cartesiano , formado por los paresordenados (b, a) obtenidos de cambiar el orden de la correspondencia F.

As si tenemos un conjunto T de tubos de pintura y otro conjunto Pdepinceles y asociamos por una relacin f a cada tubo de T el pincel conpintura del mismo color:

esta funcin est definida por los pares ordenados:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_04.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_0601.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_12.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_25.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_05.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P1.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_40.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_20.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_10.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_0600.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_24.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T5.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_14.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_45.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_15.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_00.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_22.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_42.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_44.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:CorresCartesi_02.svg


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La correspondencia inversa ser la que partiendo del conjunto de pinceles Pasocia a cada pincel el tubo dconjunto Tde pintura del mismo color:

que estar definida por los pares ordenados:

, , ,

Tipos de correspondencias

Clasificacin segn la unicidad

Partiendo de dos conjuntos, uno inicial X, y otro final Y,todas las posibles correspondencias que se pueden hacer

entre estos dos conjuntos, por su inters podemosdiferenciar las correspondencias unvocasy biunvocas.

Una correspondencia es unvoca si cada elementoinicial solo tienen una imagen.

Informalmente: "si slo sale una flecha decada elemento del conjunto inicial que tengaimagen"

Una correspondencia es biunvoca si cada

elemento inicial solo tienen una imagen, y cada elemento imagen solo tiene un origen.Informalmente: "si slo sale una flecha de cada elemento del conjunto inicial que tenga imagey a cada elemento del conjunto final con origen slo le llegue una flecha"

No es necesario en ninguno de los dos casos, que todos los elementos de Xtengan una imagen, ni que todolos elementos de Ytengan un origen, claramente una correspondencia tiene que ser unvoca para poder se

biunvoca.

Si representamos con un rectngulo todas las posibles correspondencias entre los conjuntos X e Y, si conjunto Bes el de las correspondencias unvocas, y al Ael de las biunvocas, en un Diagrama de Venn, s

ve claramente que el conjunto de las correspondencias biunvocas es un subconjunto de lacorrespondencias unvocas.

Correspondencia no unvoca

Es la correspondencia en la que al menos uno de los elementos origen tiene dos o ms imgenes. Eel diagrama de Venn, son las correspondencias que no pertenecen a B: B

Si el conjunto inicial es el de los alumnos de un centro escolar, y
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conjuntos_04.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_T2.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Vennhttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svg


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el conjunto final el de las asignaturas que se imparten en esecentro, la correspondencia de alumnos con asignaturas, no serunvoca cuando al menos un alumno estudia dos o msasignaturas.

En el diagrama de la figura el elemento 3tiene dos imgenes byc, esto hace que la correspondencia no sea unvoca,independientemente de la relacin que tengan el resto de los

elementos. Esta doble imagen para un nico origen da lugar a quepodamos decir:

Siendo las dos expresiones ciertas.

Correspondencia unvoca

Es una correspondencia donde cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo uelemento del conjunto imagen.

En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a B.

Correspondencia unvoca, no biunvoca

Es la que a cada origen le corresponde una nica imagen,pero no todas las imgenes tienen un nico origen. En eldiagrama de Venn, son las correspondencias que

pertenecen a Bpero no a A: B-A.Si el conjunto inicial es el de las personas de una poblacin, y elconjunto final el de los domicilios de esa poblacin, lacorrespondencia de personas con domicilios, ser unvoca perono biunvoca cuando, cada persona viva en un nico domicilio yen algn domicilio vivan varias personas.

La correspondencia representada en este diagrama es unvoca,pero no es biunvoca porque el elemento d, tiene dos orgenes: 1

2. As tenemos que:

esto hace que no sea una correspondencia biunvoca, aunque por el resto de las relaciones si pueda serlo.

Correspondencia biunvoca

Es una correspondencia unvoca cuya correspondencia inversa tambin es unvoca.Es decir: cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen,
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspondencia_03.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspondencia_02.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_inversa


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ca a e emento e con unto magen se correspon e con so o un e emento e con unto or gen.

En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a A.

Ejemplos

En el diagrama de la figura se ve que:

siendo estas todas las relaciones de esta correspondencia. Loselementos origen tienen una nica imagen, y los elementosimagen tienen un nico origen, puede haber elementos sinimagen como el 1, y elementos sin origen como la c, pero esto noinfluye en la definicin de biunicidad.

Si consideramos como conjunto origen el de personas, y por conjunto imagen el de automviles, es

correspondencia ser biunvoca cuando las personas que tienen automvil tienen un solo automvil, cada automvil tenga un solo propietario.Se puede establecer una correspondencia biunvoca entre cada nmero natural con su cuadrado.Otro ejemplo podra ser una correspondencia biunvoca entre cada estudiante con su nmero dlegajo.Una relacin biunvoca muy utilizada e independiente de otros valores es la existente entre el valor dla propiedad termomtrica utilizada y el valor numrico de la temperatura asignada. Esto es que cadvalor de temperatura se corresponde nicamente con un valor de la escala del termometro y cadvalor de la escala del termometro se corresponde nicamente con un valor de temperatura.

Aplicacin matemticaDada una correspondencia matemtica entre todos los elementosdel conjunto X con los elementos del conjunto Y, diremos queesta correspondencia: f, es una Aplicacin2345entre Xe Y, quesuele llamarse funcin matemtica6si los conjuntos inicial y finalson numricos y se represente:

Cuando:

1. Todos los elementos de X estn relacionados conelementos de Y.

2. Cada elemento de X, est relacionado con un nicoelemento de Y.

Vulgarmente: todos los elementos del conjunto origen tienen flecha y slo una

Esto es: una correspondencia matemtica es una aplicacin, si todos los elementos del conjunto inici
http://es.wikipedia.org/wiki/Temperaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_num%C3%A9ricohttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aplicaci%C3%B3n_2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspondencia_04.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(%C3%A1lgebra)http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica


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d (1,d) (2,d) (3,d) (4,d

c (1,c) (2,c) (3,c) (4,c

b (1,b) (2,b) (3,b) (4,b

a (1,a) (2,a) (3,a) (4,a

XY 1 2 3 4

.

En el diagrama se pueden ver los conjuntos Xe Y:

Como se puede ver, a cada uno de los elementos de X le corresponde unnico elemento de Y. El elemento a de Y no tiene origen y el elemento btiene dos orgenes (el 1 y el 4), pero esto no afecta a la definicin deaplicacin como tipo de correspondencia.

Tipos de Aplicacin matemtica

Dados dos conjuntos X, Y, y todas las posibles aplicaciones que pueden formarse entre estos dos conjuntose pueden diferenciar los siguientes casos:

Si a cada imagen le corresponde un nico origen,inyectiva.

Vulgarmente: a cada elemento del conjuntofinal que tenga origen, le llega slo unaflecha.

Si la aplicacin es sobre todo el conjunto final,sobreyectiva.

Vulgarmente: si a todos los elementos del

conjunto final les llega una flecha, almenos.

Adems de estos dos casos caractersticos, una aplicacin puede ser inyectiva y sobreyectivsimultneamente, que se denominan biyectiva, o ninguna de ellas en cuyo caso no tiene un nombrespecfico.

Vulgarmente: "en una aplicacin biyectiva todos los elementos origen tienen una flecha y todos los elementos imagen, les llega una sola flecha"

Vamos a representar los tipos de aplicaciones en un Diagrama de Venn, el conjunto universal Urepresentado por un rectngulo, es el de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es el de laaplicaciones inyectivas, y el conjunto Bel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos daplicaciones de un modo grfico.

Aplicacin inyectiva y no sobreyectiva

En una aplicacin inyectiva cada elemento imagen tendr un
http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Vennhttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conjuntos_01.svg


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del conjunto final que no tenga elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones quepertenecen a Ay no pertenecen a B, esto es, las que pertenecen ala diferencia de Ay B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de Xes siempre menor quela de Y, esto es, el conjunto Ytendr mayor nmero de elementosque Xcuando tratamos de compararlos.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un nico origen, esto hace que la aplicacin seinyectivael elemento dde Y, no tiene ningn origen por lo que esta aplicacin no es sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

, ,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

, , ,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su coloresta correspondencia es una aplicacin, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel dsu color, la aplicacin es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningn pincel de este colola aplicacin no es sobreyectiva.

Aplicacin no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicacin no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o ms orgenes y unsobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a Ay si pertenecen a B, esto elas que pertenecen a la diferencia de By A: B-A.

Para esta aplicacin el conjunto Xha de tener mayor nmero de

elementos ue Y la cardinalidad de X ha de ser ma or ue la de
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Y.

Ejemplo


el elemento c de Y, tiene dos orgenes: el 3 y el 4, por loque esta aplicacin no es inyectiva.todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que laaplicacin sea sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto depinceles con pintura de colores:

, , ,

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pesar detener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.

Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

, ,

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos quecada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto

hace que la correspondencia sea una aplicacin, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lque no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicacin es sobreyectiva.

Aplicacin inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicacin es inyectiva y sobreyectiva simultneamente, sedenomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienenorigen tienen un nico origen y por ser sobreyectiva todos loselementos del conjunto final tienen origen.

En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicacionesinyectiva y el conjunto Bel de las aplicaciones sobreyectiva, lasaplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, ser lainterseccin de Ay B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto Xe Ytenganel mismo nmero de elementos, la cardinalidad de Xes la mismaque la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicacin biyectiva entre ellos, podemos afirmar, qulos dos conjuntos tienen el mismo nmero de elementos. La cardinalidad de Xes igual a la de Y.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_1502.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aplicaci%C3%B3n_2_no_inyectiva_sobreyectiva.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aplicaci%C3%B3n_2_inyectiva_sobreyectiva.svg


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Ejemplo


todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen unnico origen, esto hace que la aplicacin sea inyectivatodos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la

aplicacin sea sobreyectiva.

Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los nmerosnaturales:

por conjunto final el de los nmeros naturales pares:

Podemos ver que la relacin

Por el que a cada nmero natural xde X, le asociamos un nmero par 2xde Y, se cumple:

1. f: es una aplicacin, dado que a cada uno de los valores xde Xle corresponde un nico valor 2xde Y2. esta aplicacin es inyectiva dado que a cada nmero par 2xde Y le corresponde un nico valor xd

X.

3. y es sobreyectiva porque todos los nmeros pares tienen un origenEsto nos permite afirmar que hay el mismo nmero de nmeros naturales que de nmeros naturales pares, sda la paradoja de que los nmeros naturales pares en un subconjunto propio de los nmeros naturales, escircunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

Segundo ejemplo

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

, , ,

el de caras como conjunto final:

, , ,

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de sumismo color es una aplicacin porque todos los pinceles tienen
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C1.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P1.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aplicaci%C3%B3n_2_inyectiva_sobreyectiva02.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C4.svg


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una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicacines inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y essobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, alser inyectiva y sobreyectiva simultneamente esta aplicacin es

biyectiva.

Una aplicacin biyectiva hace corresponder los elementos delconjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudindose

decir que hay el mismo nmero de elementos en el conjuntoinicial que en el final.

Aplicacin no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicacin no inyectiva tendr al menos un elemento imagenque tenga dos o ms orgenes y una no sobreyectiva tendr almenos un elemento del conjunto final que no tenga elementoorigen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especfico yquiz sean las que presenten, desde el punto de vista matemtico,

un menor inters.

Para esta aplicacin los conjuntos X e Y no son comparables, yno podemos plantear ningn supuesto sobre su cardinalidad,

partiendo de su comparacin, ni sobre su nmero de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que nopertenecen a Ay no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unin de Ay B.

Ejemplo


el elemento bde Y, tiene dos orgenes: 1y 2, esto hace que esta aplicacin no sea inyectivael elemento ade Y, no tiene ningn origen por lo que esta aplicacin no es sobreyectiva

Segundo ejemplo

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:

, , ,

como conjunto final el de caras coloreadas:

, , ,

Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de sumismo color, luego esta correspondencia es una aplicacin
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aplicaci%C3%B3n_2_no_inyectiva_no_sobreyectiva.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C1.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P0.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_P4.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_1602.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C2.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correspon_C0.svg


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matemtica.

Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicacin noes inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningn pincel deese color no es sobreyectiva, luego esta aplicacin es no inyectiva

no sobreyectiva.

Vase tambin

Relacin matemticaRelacin binariaSucesin matemticaFuncin matemticaFuncin multivaluada

Bibliografa

1. Gutirrez Gmez, Andrs Garca Castro, Fernando (1981). lgebra lineal (1 edicin). EdicionePirmide, S.A. ISBN 978-84-368-0174-3.

Referencia

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Enlaces externos

Correspondencia matemtic

(http://www.diclib.com/correspondencia%20matem%C3%A1tica/show/es/es_wiki_10/18379)Conjuntos, aplicaciones y relaciones binaria(http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf)Aplicaciones matemticas (http://html.rincondelvago.com/aplicaciones-matematicas.html)

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