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PREFACE

Cet ouvrage est issu dun cours polycopie utilise depuis quelques annees par les ele`vesde la classe de Speciales MP* du Lycee FAIDHERBE de LILLE. Il suit en consequencedassez pre`s le programme de Mathematiques des classes preparatoires MP/MP* et estaussi destine aux etudiants de premier cycle universitaire.

Il peut etre utilise comme outil de reference, puisquil contient toutes les denitions, lestheore`mes du cours et leurs demonstrations. A ce titre, il pourra egalement etre utile auxcandidats au CAPES ou a` lAgregation.

De nombreux exercices, illustrant les notions de base du cours, sont aussi traites a` titredexemple. En outre, beaucoup de complements sont donnes sous forme dexercices pro-gressifs (par exemple, ce qui touche aux transformations de Fourier et Laplace, aux fonc-tions dune variable complexe) pour ne pas alourdir le cours mais donner cependant unelargissement vers des notions importantes utilisant directement les theore`mes du pro-gramme. Il y a ainsi, dans cet ouvrage, un peu plus que ce qui peut etre enseigne en unan a` un etudiant de classe preparatoire ou de DEUG. A la n de chaque chapitre, ontrouvera egalement une liste dexercices tout a` fait abordables lorsque le cours est connu.

Je tiens a` remercier particulie`rement mon colle`gue et ami Philippe Royer pour le soin quila apporte a` la lecture du manuscrit et pour ses nombreuses remarques qui mont permisdameliorer le contenu de cet ouvrage. Mes pensees vont egalement vers les ele`ves de laclasse de MP* ou` jai la chance denseigner. Grace a` leur lecture attentive du polycopie,de nombreuses erreurs ont pu etre rectiees. Quils en soient ici since`rement remercies.Enn, je noublierai pas mes lles Nadia et Sophia, qui ont sans doute trop vu leur papasinitier, devant lordinateur, aux merveilles de LaTeX. Un grand, grand merci pour leurcomprehension et la patience de leur maman !

Jean VOEDTS

Table des matie`res

1 Espaces vectoriels 11-1 Structure despace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1-1.1 Notion de K-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1.2 Re`gles de calcul dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 21-1.3 Combinaison lineaire dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . 31-1.4 Produit dun nombre ni despaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 4

1-2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51-2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51-2.2 Intersection de s.e.v. Sous-espace engendre par une famille . . . . . 51-2.3 Familles equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71-2.4 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1-3 Dependance et independance lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81-3.1 Famille libre, famille liee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81-3.2 Relations de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91-3.3 Independance lineaire dans des espaces fonctionnels . . . . . . . . . 101-3.4 Base dun espace. Coordonnees dun vecteur . . . . . . . . . . . . . 101-3.5 Exemple : Fonctions polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121-3.6 Sous-espaces independants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131-3.7 Sous-espaces supplementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161-3.8 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1-4 Espaces vectoriels de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181-4.1 Resultat preliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191-4.2 Existence de bases, dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191-4.3 Dimension dun s.e.v, rang dun syste`me de vecteurs . . . . . . . . . 211-4.4 Application aux sous-espaces supplementaires . . . . . . . . . . . . 231-4.5 Dimension dune somme, dun produit . . . . . . . . . . . . . . . . 231-4.6 Restriction du corps des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1-5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Applications lineaires 272-1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2-1.1 Denition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272-1.2 Espaces isomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282-1.3 Denition dun morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292-1.4 Recollement lineaire dapplications lineaires . . . . . . . . . . . . 302-1.5 Images directes et reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302-1.6 Codimension dun sous-espace. Hyperplan . . . . . . . . . . . . . . 332-1.7 Equation lineaire. Sous-espace ane . . . . . . . . . . . . . . . . . 332-1.8 Theore`me fondamental disomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2-2 Calculs sur les morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352-2.1 Structure despace vectoriel de LK (E,F) . . . . . . . . . . . . . . . 35

vi TABLE DES MATIE`RES

2-2.2 Proprietes de la composition des morphismes . . . . . . . . . . . . . 362-2.3 Structure dalge`bre de LK (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362-2.4 Exercice : centre de lalge`bre L (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382-2.5 Groupe lineaire GL (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382-2.6 Projecteurs et involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392-2.7 Exercices : theore`mes de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2-3 Morphismes et dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422-3.1 Rang dun morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422-3.2 Theore`me du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442-3.3 Dimension de L (E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452-3.4 Cas particulier de lespace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2-4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Dualite 493-1 Espace dual, formes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3-1.1 Crochet de dualite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493-1.2 Equation dun hyperplan vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3-2 Etude du rang dune famille nie de formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523-2.1 Condition dindependance de p formes lineaires . . . . . . . . . . . 533-2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543-2.3 Rang dune famille nie de formes lineaires . . . . . . . . . . . . . . 553-2.4 Intersection dune famille nie dhyperplans . . . . . . . . . . . . . 563-2.5 Faisceau (lineaires) dhyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573-2.6 Bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3-3 Dimension nie : Rang dune famille et equations dun s.e.v . . . . . . . . . 613-3.1 Rang dun syste`me ni de vecteurs et dualite . . . . . . . . . . . . . 613-3.2 Equations dun s.e.v., dun sous-espace ane . . . . . . . . . . . . . 63

3-4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Calcul matriciel 674-1 Operations sur les matrices. Matrice dun morphisme . . . . . . . . . . . . 67

4-1.1 Espace Mp,n (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674-1.2 Matrice associee a` un morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684-1.3 Coordonnees de limage dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 694-1.4 Morphisme canoniquement associe a` une matrice . . . . . . . . . . 704-1.5 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704-1.6 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724-1.7 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734-1.8 Alge`bre des matrices carrees Mn (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4-2 Changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784-2.1 Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784-2.2 Changement de coordonnees dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . 794-2.3 Changement de la matrice dun morphisme. Matrices equivalentes . 804-2.4 Changement de la matrice dun endomorphisme. Matrices semblables 81

4-3 Calcul matriciel par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844-3.1 Matrice dapplications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844-3.2 Matrice dapplications lineaires associee a` un compose de morphismes 854-3.3 Exemple dutilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4-4 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864-4.1 Applications multilineaires symetriques et antisymetriques . . . . . 864-4.2 Denition et proprietes des determinants . . . . . . . . . . . . . . . 90

TABLE DES MATIE`RES vii

4-4.3 Determinant dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964-4.4 Exemples de calculs de determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . 984-4.5 Applications des determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4-5 Application aux syste`mes dequations lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . 1054-5.1 Trois interpretations possibles dun syste`me . . . . . . . . . . . . . 1054-5.2 Utilisation de determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4-6 Operations elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084-6.1 Matrices elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084-6.2 Operations elementaires sur les lignes ou les colonnes dune matrice 1104-6.3 Lemme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114-6.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124-6.5 Exercice : generateurs de GLn (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4-7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 Polynomes, reduction des endomorphismes 1195-1 Arithmetique des polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5-1.1 Ideal dun anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195-1.2 Arithmetique dans Z et K [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5-2 Calculs polynomiaux dans une alge`bre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305-2.1 Morphisme P P (a). Alge`bre K [a] . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305-2.2 Ideal annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315-2.3 Polynomes dendomorphismes et matrices . . . . . . . . . . . . . . 1345-2.4 Cas dune alge`bre inte`gre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5-3 Sous-espace stable par un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355-3.1 Endomorphisme induit sur un sous-espace vectoriel stable . . . . . . 1355-3.2 Theore`me de decomposition des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5-4 Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385-4.1 Valeur propre, sous-espace propre associe . . . . . . . . . . . . . . . 1395-4.2 Cas de la dimension nie : polynome caracteristique . . . . . . . . . 142

5-5 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485-5.1 Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . 1485-5.2 Applications de la notion de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . 154

5-6 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575-6.1 Endomorphismes, matrices trigonalisables . . . . . . . . . . . . . . 1575-6.2 Pratique de la trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595-6.3 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5-7 Etude des suites recurrentes lineaires a` coecients constants . . . . . . . . 1665-7.1 Suites recurrentes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665-7.2 Ecriture matricielle. Suites geometriques solutions . . . . . . . . . . 1675-7.3 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685-7.4 Cas ou` K = R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5-8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6 Espaces normes : suites et topologie 1756-1 Suites reelles et complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6-1.1 Borne superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756-1.2 Convergence dune suite reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766-1.3 Valeur dadherence dune suite reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776-1.4 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796-1.5 Extension aux suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6-2 Norme sur un espace vectoriel. Distance associee . . . . . . . . . . . . . . . 181

viii TABLE DES MATIE`RES

6-2.1 Norme et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816-2.2 Boules et sphe`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836-2.3 Parties bornees, diame`tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846-2.4 Distance dun point a` une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856-2.5 Norme induite sur un sev. Distance induite sur une partie . . . . . 1856-2.6 Produit dune famille nie despaces normes . . . . . . . . . . . . . 186

6-3 Suites dun espace norme : convergence, valeurs dadherence . . . . . . . . 1866-3.1 Convergence dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866-3.2 Comparaison de deux normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886-3.3 Valeur dadherence dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6-4 Topologie dun espace norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906-4.1 Voisinages dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906-4.2 Ouverts dun espace norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916-4.3 Fermes dun espace norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926-4.4 Point adherent, adherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936-4.5 Caracterisation sequentielle de ladherence, des parties fermees . . . 1946-4.6 Partie dense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956-4.7 Interieur, frontie`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976-4.8 Topologie induite sur une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6-5 Suites de Cauchy, espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996-5.1 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996-5.2 Espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006-5.3 Partie comple`te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6-6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7 Continuite et Compacite 2057-1 Limite et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7-1.1 Limite et continuite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057-1.2 Generalisation de la denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2067-1.3 Caracterisation sequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077-1.4 Utilisation despaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097-1.5 Continuite globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2107-1.6 Exemple dutilisation de la continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117-1.7 Notion dhomeomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7-2 Continuite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127-2.1 Continuite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127-2.2 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137-2.3 Theore`me du point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147-2.4 Exercice : prolongement dune application uniformement continue . 215

7-3 Convergence uniforme et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157-3.1 Convergence simple, convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . 2167-3.2 Continuite dune limite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177-3.3 Theore`me dinterversion des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7-4 Applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197-4.1 Caracterisation de la continuite dune application lineaire . . . . . . 2197-4.2 Espace Lc(E,F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2207-4.3 Applications bilineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7-5 Compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257-5.1 Compacts dun espace norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257-5.2 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2267-5.3 Compacts de R, de Kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

TABLE DES MATIE`RES ix

7-5.4 Propriete de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277-5.5 Continuite et compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

7-6 Espaces normes de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317-6.1 Equivalence des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327-6.2 Continuite des applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347-6.3 Norme matricielle subordonnee a` des normes sur Kn et Kp . . . . . 2357-6.4 Complement : theore`me de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

7-7 Connexite par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2407-7.1 Theore`me des valeurs intermediaires : fonctions denies sur un in-

tervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2407-7.2 Connexite par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7-8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8 Fonctions dune variable reelle 2498-1 Fonctions monotones sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

8-1.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498-1.2 Proprietes de continuite et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2518-1.3 Homeomorphismes dintervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538-1.4 Rappel : fonctions circulaires reciproques . . . . . . . . . . . . . . . 2538-1.5 Exercice : fonctions hyperboliques reciproques . . . . . . . . . . . . 256

8-2 Approximation uniforme sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2588-2.1 Approximation par des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . 2608-2.2 Approximation par des fonctions anes par morceaux . . . . . . . . 2618-2.3 Approximation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

8-3 Comparaison de fonctions au voisinage dun point . . . . . . . . . . . . . . 2628-3.1 Cas des fonctions numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2638-3.2 Generalisation aux fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . 271

8-4 Derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738-4.1 Denition. Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738-4.2 Calcul des derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758-4.3 Derivee dordre superieur. Fonctions de classe Cp . . . . . . . . . . . 280

8-5 Accroissements nis et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838-5.1 Cas des fonctions reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838-5.2 Cas des fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888-5.3 Applications des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

8-6 Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2938-6.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2938-6.2 Developpement limite et derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958-6.3 Integration dun developpement limite . . . . . . . . . . . . . . . 2968-6.4 Theore`me de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2988-6.5 Operations et developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 2998-6.6 Developpements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3028-6.7 Applications des developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . 304

8-7 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088-7.1 Denition, caracterisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088-7.2 Continuite et derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118-7.3 Inegalites de convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

8-8 Suites reelles denies par une iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3158-8.1 Point xe attractif, point xe repulsif . . . . . . . . . . . . . . . . . 3168-8.2 Application au calcul numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

8-9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

x TABLE DES MATIE`RES

9 Series dans un espace norme 3279-1 Convergence dune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

9-1.1 Serie convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3279-1.2 Condition necessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3309-1.3 Cas dun espace complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3309-1.4 Relation suite serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3319-1.5 Regroupements de termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

9-2 Series a` termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3349-2.1 Resultat de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3349-2.2 Comparaison de series a` termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . 3349-2.3 Comparaison a` une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399-2.4 Sommation des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . 3429-2.5 Developpement decimal dun reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

9-3 Series absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3519-3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3519-3.2 Utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3519-3.3 Majoration des restes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3529-3.4 Exemple : inverse dans une alge`bre de Banach . . . . . . . . . . . . 3539-3.5 Espaces l1 (N) et l2 (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3549-3.6 Exercice prolonge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

9-4 Series semi-convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3569-4.1 Series alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3569-4.2 Methode de decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3589-4.3 Exercice : transformation dAbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3599-4.4 Non commutativite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

9-5 Notions sur les familles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3619-5.1 Ensemble denombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3619-5.2 Famille sommable de reels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3649-5.3 Famille sommable de complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3659-5.4 Suites doubles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

9-6 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3749-6.1 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3749-6.2 Les fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3779-6.3 Exponentielle dans une alge`bre de Banach . . . . . . . . . . . . . . 382

9-7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

10 Integration sur un segment 38910-1 Integrale dune fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . 389

10-1.1 Integrale dune fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38910-1.2 Integrale dune fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . 39210-1.3 Integrale fonction dune de ses bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . 40510-1.4 Calculs dintegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

10-2 Integrales dependant dun parame`tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41610-2.1 Integrales a` parame`tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41610-2.2 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41710-2.3 Derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41710-2.4 Theore`me de Fubini elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

10-3 Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42210-3.1 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42210-3.2 Utilisation de la linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42310-3.3 Integration par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 423

TABLE DES MATIE`RES xi

10-3.4 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42510-3.5 Integration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 42610-3.6 Integrales se ramenant a` des primitives de fractions rationnelles . . 428

10-4 Calculs approches dintegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43610-4.1 Methode des trape`zes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43610-4.2 Methode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43710-4.3 Acceleration de convergence : methode de Romberg . . . . . . . . . 438

10-5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

11 Suites et series de fonctions 44311-1 Rappels : convergence simple et uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

11-1.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44311-1.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44511-1.3 Proprietes de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

11-2 Cas des series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45011-2.1 Convergence uniforme dune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45011-2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

11-3 Series entie`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46011-3.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46011-3.2 Proprietes de la somme dune serie entie`re . . . . . . . . . . . . . . 46811-3.3 Developpements en serie entie`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47511-3.4 Exemples dutilisations des series entie`res . . . . . . . . . . . . . . . 484

11-4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

12 Integration sur un intervalle quelconque 49312-1 Fonctions integrables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

12-1.1 Denition et proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49312-1.2 Caracterisation a` laide dune suite croissante de segments . . . . . 49512-1.3 Additivite par rapport a` lintervalle dintegration . . . . . . . . . . 49612-1.4 Caracterisation de lintegrabilite sur [a,b[ . . . . . . . . . . . . . . . 49812-1.5 Utilisation de crite`res de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . 50012-1.6 Integration des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . 50112-1.7 Theore`me de convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50212-1.8 Exercices dapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50612-1.9 Integration terme a` terme dune serie de fonctions positives . . . . . 507

12-2 Fonctions complexes integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50812-2.1 Integrale dune fonction complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50812-2.2 Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51112-2.3 Integration des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . 51112-2.4 Convergence en moyenne, en moyenne quadratique . . . . . . . . . 512

12-3 Les theore`mes de convergence. Integrales a` parame`tres . . . . . . . . . . . 51412-3.1 Theore`me de convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51412-3.2 Theore`me de convergence dominee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51512-3.3 Integration terme a` terme dune serie de fonctions . . . . . . . . . . 51512-3.4 Integrales dependant dun parame`tre . . . . . . . . . . . . . . . . . 51712-3.5 La fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

12-4 Integrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51912-5 Relation serie-integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

12-5.1 Cas de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52112-5.2 Cas de fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52212-5.3 Utilisation de la relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

xii TABLE DES MATIE`RES

12-6 Complements : transformations de Fourier et Laplace . . . . . . . . . . . . 524

12-6.1 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

12-6.2 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

12-6.3 Produit de convolution : un procede de regularisation . . . . . . . . 527

12-7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

13 Formes quadratiques sur un espace reel 531

13-1 Formes bilineaires et formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

13-1.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

13-1.2 Forme quadratique positive, denie positive . . . . . . . . . . . . . 534

13-2 Formes quadratiques en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

13-2.1 Matrice dune forme bilineaire dans une base . . . . . . . . . . . . . 537

13-2.2 Expression dune forme quadratique dans une base en dimension nie540

13-2.3 Interpretation de la matrice dune forme quadratique . . . . . . . . 541

13-3 Reduction dune forme quadratique et signature . . . . . . . . . . . . . . . 543

13-3.1 Reduction dune forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

13-3.2 Ecriture dune forme quadratique a` laide de carres de formes lineaires545

13-3.3 Methode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

13-3.4 Signature dune forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

13-3.5 Matrices symetriques positives, denies positives . . . . . . . . . . . 551

13-3.6 Bases orthonormales pour une forme quadratique denie positive . 552

13-4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

14 Espaces prehilbertiens reels. Espaces euclidiens 555

14-1Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

14-1.1 Espace prehilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

14-1.2 Orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

14-1.3 Cas de la dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

14-2 Projection orthogonale sur un s.e.v. de dimension nie . . . . . . . . . . . 564

14-2.1 Meilleure approximation par un element dun sous-espace . . . . . . 564

14-2.2 Cas dun sous-espace de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . 566

14-2.3 Orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

14-2.4 Inegalite de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

14-2.5 Complement : projection sur un convexe complet . . . . . . . . . . . 573

14-3 Endomorphismes dun espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

14-3.1 Adjoint dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

14-3.2 Automorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

14-3.3 Reduction des endomorphismes symetriques . . . . . . . . . . . . . 585

14-3.4 Formes quadratiques sur un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . 588

14-3.5 Endomorphismes symetriques positifs, denis positifs . . . . . . . . 591

14-3.6 Etude des automorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . 594

14-4 Rappels : produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

14-4.1 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

14-4.2 Exercice : determinants de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

14-4.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

14-5 Complement : utilisation de polynomes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . 605

14-6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

TABLE DES MATIE`RES xiii

15 Espaces prehilbertiens complexes et hermitiens 61115-1 Espace prehilbertien complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

15-1.1 Application semilineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61115-1.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61215-1.3 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61415-1.4 Bases orthonormales en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . 615

15-2 Espaces hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61715-2.1 Calculs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61715-2.2 Adjoint dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61915-2.3 Automorphismes et matrices unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . 62115-2.4 Endomorphismes auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

15-3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

16 Series de Fourier 62916-1 Coecients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

16-1.1 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62916-1.2 Coecients de Fourier dune fonction 2-periodique . . . . . . . . . 63116-1.3 Serie de Fourier dune fonction 2-periodique . . . . . . . . . . . . 63316-1.4 Determination pratique des coecients de Fourier . . . . . . . . . . 63416-1.5 Coecients de Fourier dune serie trigonometrique uniformement

convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

16-2 Convergence dune serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63816-2.1 Noyau de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63916-2.2 Theore`me de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63916-2.3 Theore`mes de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64316-2.4 Deux exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64416-2.5 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 64616-2.6 Exercice : convolution des fonctions periodiques . . . . . . . . . . . 64816-2.7 Injectivite de la transformation de Fourier discre`te . . . . . . . . . . 64816-2.8 Cas des fonctions T -periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64916-2.9 Exemple dutilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

16-3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

17 Groupes. Anneau Z/nZ 65517-1 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

17-1.1 Groupe, morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65517-1.2 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65917-1.3 Groupe (Z/nZ,+). Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

17-2Groupe operant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67017-2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67017-2.2 Operations dun groupe sur lui-meme . . . . . . . . . . . . . . . . . 67117-2.3 Orbite dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67317-2.4 Quelques exemples dapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67617-2.5 Rappels sur le groupe symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

17-3 Anneau (Z/nZ, + ,) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68017-3.1 Structure danneau de Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68017-3.2 Groupe des unites de Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68217-3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684

17-4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

xiv TABLE DES MATIE`RES

18 Calcul dierentiel en dimension nie 693

18-1Dierentiabilite. Fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69318-1.1 Derivee selon un vecteur. Derivees partielles dans une base . . . . . 693

18-1.2 Dierentiabilite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

18-1.3 Condition susante de dierentiabilite. Caracterisation des fonc-tions C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

18-2 Calcul des dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

18-2.1 Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

18-2.2 Produit. Inverse dune fonction numerique . . . . . . . . . . . . . . 706

18-2.3 Dierentielle dune composee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707

18-2.4 Dierentielle dune reciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

18-2.5 Fonctions de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71818-3 Applications des dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722

18-3.1 Inegalite des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722

18-3.2 Developpement limite dordre 2 pour une fonction numerique declasse C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724

18-3.3 Notion de Ck-dieomorphisme (k 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 73118-3.4 Theore`me des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

18-3.5 Exercice : caracterisation des fonctions homoge`nes . . . . . . . . . . 746

18-4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747

19 Integrales curvilignes, integrales multiples 751

19-1 Formes dierentielles de degre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

19-1.1 Forme dierentielle, champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 751

19-1.2 Forme exacte, forme fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

19-1.3 Rotationnel, divergence, laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762

19-1.4 Exemples dapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

19-2 Integrale double sur un pave compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767

19-3 Integrale double sur un produit dintervalles quelconques . . . . . . . . . . 769

19-3.1 Integrale dune fonction continue positive . . . . . . . . . . . . . . . 769

19-3.2 Fonctions complexes integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772

19-3.3 Exercice : transformation de Fourier et produit de convolution . . . 778

19-4 Integrale double sur une partie simple du plan . . . . . . . . . . . . . . . 780

19-4.1 Partie elementaire, integrale double dune fonction continue . . . . 780

19-4.2 Extension a` une partie simple du plan . . . . . . . . . . . . . . . 783

19-5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

20 Equations dierentielles 791

20-1 Equations lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

20-1.1 Etude generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

20-1.2 Cas des equations a` coecients constants . . . . . . . . . . . . . . . 806

20-1.3 Equations scalaires dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820

20-2 Equations non lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830

20-2.1 Equations autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830

20-2.2 Cas des equations non-autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847

20-2.3 Exemples detudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849

20-3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

TABLE DES MATIE`RES xv

21 Arcs parametres 86321-1 Etude ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863

21-1.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86421-1.2 Indices fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86621-1.3 Branches innies, asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87721-1.4 Plan detude dun arc en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 88021-1.5 Cas des arcs plans denis en coordonnees polaires . . . . . . . . . . 88421-1.6 Denition dune courbe plane par equation ou par parametrage . . 89721-1.7 Courbes du second degre et coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 899

21-2 Etude metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91321-2.1 Longueur dun arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91321-2.2 Courbure des arcs plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91721-2.3 Calcul pratique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92421-2.4 Cercle de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92821-2.5 Developpee dun arc plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93021-2.6 Courbure en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932

21-3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934

22 Surfaces 93722-1 Nappes parametrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937

22-1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93722-1.2 Plan tangent en un point regulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93822-1.3 Normale, orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94222-1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94322-1.5 Denition par parametrage et par equation . . . . . . . . . . . . . . 947

22-2 Surfaces du second degre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95422-2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95422-2.2 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95522-2.3 Intersection avec un plan ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96022-2.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961

22-3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967

23 Aide-memoire de geometrie analytique 969

xvi TABLE DES MATIE`RES

Chapitre 1

Espaces vectoriels

1-1 Structure despace vectorielDans tout ce qui suit, K designe un corps commutatif quelconque R. Dans la pratique

ce sera un sous-corps de C (et tre`s souvent C, R, ou Q). 0 est son element neutre pourladdition, 1 lest pour la multiplication.

1-1.1 Notion de K-espace vectorielSoit E un ensemble non vide, dont les elements seront appeles vecteurs (par opposition

aux elements de K quon appelle traditionnellement les scalaires). Par commodite, lesvecteurs seront notes (en general) avec des lettres de lalphabet latin, les scalaires etantrepresentes par des lettres grecques.

DEFINITION 1-1.1 Une structure de K-ev sur E est determinee par : Une loi de composition interne (donc une application E E E) notee + telle que

(E,+) soit un groupe commutatif (dont lelement neutre est le vecteur nul note 0E). Une loi de composition externe a` domaine doperateurs egal a` K, cest-a`-dire une ap-

plication K E E, (,x) x, appelee multiplication externe, veriant les proprietes :, K x E ( + ) x = x + x K x, y E (x+ y) = x + y

x E 1x = x, K x E (x) = () x

EXEMPLE 1-1.2 Si L est un corps commutatif dont K est un sous-corps, L est munidune structure naturelle de K-ev, pour laquelle la multiplication externe nest autre quela restriction a` K L de la multiplication interne dans L. Ainsi C peut etre considerecomme un R-ev et comme un Q-ev. Il sagit la` de deux structures totalement dierentes.

2 Chapitre 1 : Espaces vectoriels

EXEMPLE 1-1.3 Si L et K sont comme dans lexemple precedent, tout L-ev peut etremuni dune structure de K-ev, en restreignant le corps des scalaires. Il est donc necessaire,lorsquune confusion est possible, de bien preciser le corps des scalaires.

EXEMPLE 1-1.4 Si K est un corps commutatif, lanneau K [X] des polynomes a` uneindeterminee a` coecients dans K est un K-ev.

EXEMPLE 1-1.5 Si X est un ensemble non vide, lensemble KX des fonctions de X dansK est un K-ev pour les lois naturelles

f,g KX K x X (f + g) (x) = f(x) + g(x) et (f) (x) = f(x)Plus generalement, si E est unK-ev, EX posse`de egalement une structure naturelle despacevectoriel.

EXEMPLE 1-1.6 En particulier, pour n N, Kn est un K-ev pour les operations(x1, . . . ,xn) + (y1, . . . ,yn) = (x1 + y1, . . . ,xn + yn)

(x1, . . . ,xn) = (x1, . . . ,xn)

EXERCICE 1-1.7 En developpant de deux manie`res dierentes (1 + 1) (x+ y) montrer que lacommutativite de laddition est consequence des autres axiomes de denition de la structuredespace vectoriel.

1-1.2 Re`gles de calcul dans un espace vectorielEn developpant (1 + 0)x, (x + 0E), ( + ())x et (x + (x)), et en utilisant les

re`gles de simplication dans le groupe additif (E,+), on obtient

0.x = .0E = 0E ()(x) = ()x = (x)

La propriete () posse`de la reciproque suivantePROPOSITION 1-1.8 Si K et x E x = 0E = = 0 ou x = 0E

Demonstration : Si = 0 il sut de calculer1 (x) =

(1

)x = x = 0E

REMARQUE 1-1.9 Le fait que K soit un corps est ici utilise pour etre assure de lin-versibilite (pour la multiplication) de tout scalaire non nul. La notion despace vectorielpeut etre generalisee en remplacant le corps K par un anneau commutatif A. On parlealors de A-module. Dans ce cas, la proposition (1-1.8) nest plus valable en general. Ilen resulte que les notions de dependance et dindependance lineaires sont plus delicatesa` manipuler dans le cadre des modules. Par exemple, un groupe commutatif (G,+) peutetre muni dune structure de Z-module, en posant comme dhabitude

Pour n Z et g G n.g ={

g + + g (n fois) si n > 0(g) + + (g) (n fois) si n < 0

On sait alors que ng = 0G signie que n est un multiple de lordre de g dans le groupe1

G, et nentrane pas necessairement n = 0 si g = 0G.EXERCICE 1-1.10 Que peut-on deduire de legalite x = x? de x = y?

1. Voir section 17-1.3.3.

1-1 Structure despace vectoriel 3

1-1.3 Combinaison lineaire dune famille de vecteurs

1-1.3.1 Cas dune famille nie

Si I est un ensemble (dindices) ni, on appelle famille de vecteurs de E indexeepar I toute application I E denie par i xi, quon notera

F = (xi)iIOn appelle cardinal de cette famille le cardinal de lensemble I. Ce cardinal peutetre strictement superieur au cardinal de la partie {xi | i I}, si lapplication i xi estnon injective. Lorsque I est de cardinal n, lexistence dune bijection entre I et {1, . . . ,n}fait quon utilisera le plus souvent {1, . . . ,n} comme ensemble dindices.

Si (xi)1in est une famille de vecteurs de E (n est un entier naturel non nul), unvecteur x E est dit combinaison lineaire de la famille (xi)1in sil existe unefamille de scalaires (i)1in tels que

x =

ni=1

ixi

Les re`gles de calcul dans un espace vectoriel montrent immediatement le resultat suivant :

PROPOSITION 1-1.11 Si p vecteurs y1, . . . ,yp de E sont combinaisons lineaires dunefamille (xi)1in, toute combinaison lineaire de (yi)1ip est combinaison lineaire de(xi)1in.

1-1.3.2 Cas dune famille innie

Comme precedemment, si I est un ensemble (dindices) inni, on appelle famille devecteurs de E indexee par I toute application I E denie par i xi, quon noteraF = (xi)iI . Il ne faut pas confondre cette famille avec limage de lapplication consideree{xi, i I}. En particulier lapplication i xi nest pas injective en general.

DEFINITION 1-1.12 Un vecteur x E est dit combinaison lineaire de la famille F =(xi)iI si et seulement si il existe une partie finie J = {i1, . . . ,ip} I telle que x soitcombinaison lineaire de la famille nie (xik)1kp. Une combinaison lineaire de F ne faitdonc intervenir quun nombre ni de vecteurs de F , elle est combinaison lineaire dunesous-famille finie extraite de F .

EXEMPLE 1-1.13 Dans lespace K [X], tout polynome est combinaison lineaire de lafamille (X i)iN, mais un polynome donne ne fait intervenir quun nombre ni de monomes.

Par abus de notation, si x secrit comme precedemment

x = i1xi1 + + ipxipon notera une telle combinaison lineaire

x =iI

ixi

en considerant que les scalaires (i)iI sont tous nuls, sauf un nombre ni (on dira queces scalaires sont presque tous nuls), et en ne tenant compte dans le calcul que destermes pour lesquels i = 0. Cest assez coherent puisquon ne tient pas compte de 0E,


element neutre pour laddition dans E, mais il sagit quand meme dun abus (commode)decriture puisque les re`gles du jeu dans (E,+) ne permettent dadditionner quun nombreni de vecteurs : 2, 10, 6 1023 si on veut, mais pas une innite 2 ! Bien sur, si tous les isont nuls, on posera x = 0E.

Pour reprendre lexemple 1-1.13, tout polynome de K [X] peut secrire

P =nN

nXn (quon note aussi

+n=0

nXn)

Pour un polynome P donne, la suite des coecients sannule a` partir de lentier n =d(P ) + 1.

Avec labus decriture precedent, un peu de reexion montre quon peut calculer surles combinaisons lineaires comme on le fait dans le cas des familles nies. Si (i)iI et(i)iI sont des familles de scalaires presque tous nuls, il en est de meme de (i + i)iIet on a

iIixi +

iI

ixi =iI

(i + i)xi

On a de meme

(iI

ixi

)=iI

(i)xi

Cest bien ainsi par exemple que lon me`ne les calculs dans K [X], en travaillant avec lafamille (Xn)nN.

1-1.4 Produit dun nombre ni despaces vectoriels

Si (Ei)1in est une famille nie despaces vectoriels sur le meme corps commutatifK, le produit cartesien E1 En peut etre muni dune structure naturelle de Kev,les calculs etant menes coordonnee par coordonnee :

(x1, . . . ,xn) + (y1, . . . ,yn) = (x1 + y1, . . . ,xn + yn) (x1, . . . ,xn) = (x1, . . . ,xn)

REMARQUE 1-1.14 Si (Ei)iI est une famille innie de K-ev, le produitiI

Ei est deni

comme etant lensemble des applications i xi de I dansiI

Ei, avec

i I xi EiUne telle application sera notee (xi)iI . Ici encore, en raisonnant coordonnee par coor-

donnee, on peut muniriI

Ei dune structure de K-ev. Les espaces Kn et KX donnes en

exemple au debut de cette section sont des produits de ce type (respectivement

1inK

etxX

K).

2. En analyse, lorsquon conside`rera une serie convergente (de nombres reels par exemple) de terme

general un, on notera sa somme+n=0

un, mais il sagit dune notation qui represente, a` proprement parler,

non pas une somme dune innite de reels, mais la limite dune suite convergente (celle des sommespartielles de la serie). Le contexte nest pas purement algebrique, mais est lie a` la topologie de R. Onverra dailleurs que lordre dapparition des dierents termes peut avoir son importance !

1-2 Sous-espace vectoriel 5

1-2 Sous-espace vectoriel

1-2.1 Denition

DEFINITION 1-2.1 Une partie F dun espace vectoriel E est dite sous-espace vectoriel deE si et seulement si F est non vide et est stable pour les deux lois de lespace E, cest-a`-dire

x,y F x+ y F et K x F .x F

Il resulte alors immediatement de la denition precedente que (F, + ,) est lui-memeun K-ev. En eet, on a stabilite de F pour laddition et passage a` loppose puisque x F (1).x = x F. (F,+) est donc un sous-groupe de (E,+), et les proprietes de laloi externe, valables sur K E sont valables en restriction sur K F.

Pour montrer quune partie F de E est un sous-espace vectoriel, il faut dabord montrerque F = . Ceci se fait en general en montrant que 0E F, puisque lelement neutre de(E,+) est aussi celui de (F,+). On remarquera que {0E} et E sont toujours des sous-espacesde E. Les autres sous-espaces eventuels de E seront dits non-triviaux.

Plutot que de separer les lois interne et externe, on utilise souvent la caracterisationsuivante :

PROPOSITION 1-2.2 Une partie non vide F dun espace vectoriel est un sous-espace vectoriel si et seulement si

, K x,y F x+ y F

(ou, de manie`re equivalente, x + y F)Par associativite de laddition interne, et comme les combinaisons lineaires ne font

toujours intervenir quun nombre ni de vecteurs, on en deduit le

COROLLAIRE 1-2.3 Une partie non vide F dun espace vectoriel est un sous-espacevectoriel si et seulement si les combinaisons lineaires de toute famille de vecteursde F appartiennent a` F.

Un sous-espace vectoriel est donc une partie fermee pour les operations de combi-naison lineaire.

On se souviendra que, pour montrer quun ensemble muni dune loi interne et duneloi externe a` domaine doperateurs dans un corps commutatif K est un espace vectoriel,il est souvent commode de montrer que cest un sous-espace vectoriel dune structureplus vaste dont il est bien connu quelle est un espace vectoriel. Cela evite desverications lourdes et inutiles sur les lois de composition.

1-2.2 Intersection de s.e.v. Sous-espace engendre par unefamille

Le theore`me suivant resulte immediatement de la caracterisation des s.e.v. :

THEORE`ME 1-2.4 Si (Fi)iI est une famille (non vide) de sous-espaces vectorielsde E,

iI

Fi est un sous-espace vectoriel de E.


Ce theore`me est a` la base de la notion de s.e.v engendre par une famille de vecteurs(il en sera de meme lorsque, dans un groupe, il sagira de denir le sous-groupe engendrepar une famille ; on verra ulterieurement dans le cours la notion dideal engendre par unefamille, dans un anneau commutatif).

THEORE`ME 1-2.5 (et denition ) Si F = (xi)iI est une famille de vecteurs dunespace vectoriel E, il existe un plus petit (au sens de linclusion) sous-espace vectorielde E contenant tous les vecteurs de F . On lappelle sous-espace vectoriel engendrepar F et on le note vect(F).

Demonstration : La famille X des sous-espaces de E contenant F est nonvide (puisquelle contient E). On conside`re

F =GX

G

Cest un sous-espace de E dapre`s le theore`me (1-2.4). Par construction, ilcontient tous les vecteurs de F . Etant inclus dans tous les elements de X, ilest evidemment le plus petit (au sens de linclusion) possedant cette propriete.

Il sagit la` dune construction par lexterieur de vect(F). La notion de combinaisonlineaire permet de caracteriser les elements de vect(F), et donc den donner une construc-tion par linterieur:

THEORE`ME 1-2.6 Si F = (xi)iI est une famille non vide de vecteurs dun espacevectoriel E, vect(F) est lensemble des combinaisons lineaires des vecteurs de F .

Demonstration : On verie aisement que

A = {x E | x est combinaison lineaire de F}

est un sous-espace de E contenant F . Comme tout sous-espace est stable parcombinaisons lineaires, tout sous-espace de E contenant F contient A, qui estdonc bien le plus petit (au sens de linclusion) possedant cette propriete.

REMARQUE 1-2.7 Un ensemble X peut toujours etre considere, par abus de langage,comme une famille indexee par lui-meme :

X (x)xX(lindexation est ici injective). Cest dailleurs cette identication qui a ete implicite dansla demonstration du theore`me (1-2.5). On pourra donc parler egalement de combinaisonslineaires de vecteurs dune partie de E, et du s.e.v. engendre par une partie de E. Enparticulier, le plus petit s.e.v. de E etant {0E}, on a

vect () = {0E}

De meme

A B vect (A) vect (B)

EXERCICE 1-2.8 Montrer que la reunion de deux s.e.v. nest un sous-espace vectoriel que silun des deux sous-espaces contient lautre.

1-2 Sous-espace vectoriel 7

EXERCICE 1-2.9 Si K est un corps inni, montrer quune union nie de sous-espaces nest unsous-espace que si lun des s.e.v. contient tous les autres. (Indication : raisonner par recurrencesur le nombre de sous-espaces. Si la propriete est demontree au rang n 1, et si on suppose queF1 Fn est un s.e.v., considerer des vecteurs x FnF1 Fn1 et y F1 Fn1Fnet des combinaisons de la forme x + y). Quel enonce peut-on obtenir lorsque K est un corpsni?

DEFINITION 1-2.10 (Famille generatrice) Une famille F de vecteurs dun e.v. E estdite generatrice de E si et seulement si

E = vect (F)

En particulier, une famille G non vide dun espace vectoriel E est generatrice duns.e.v. F si et seulement si tout vecteur de G appartient a` F et si tout vecteur de F estcombinaison lineaire de G.

1-2.3 Familles equivalentes

DEFINITION 1-2.11 Deux familles (non vides) F = (xi)iI et G = (yj)jJ de vecteursde E sont dites equivalentes si et seulement elles engendrent le meme sous-espace vectorielde E, soit

vect (F) = vect (G)Il est clair que cette relation est reexive, symetrique et transitive. La caracterisation

des vecteurs de vect(F) comme combinaisons lineaires des vecteurs de F et la proposition1-1.11 donnent immediatement :

THEORE`ME 1-2.12 Deux familles (non vides) F = (xi)iI et G = (yj)jJ de vecteursde E sont equivalentes si et seulement tout vecteur de F est combinaison lineairede G et reciproquement.

En particulier, on transforme une famille F = (xi)iI en une famille equivalente enoperant une des manipulations elementaires :

Ajouter a` un des vecteurs une combinaison lineaire des autres, ce quon symbolisepar

xk xk +i=k

ixi

(ou` les i sont presque tous nuls si I est inni)

Multiplier un des vecteurs par un scalaire non nul

xk xk

Permuter deux vecteurs de la famille

xk xl

ce qui revient formellement a` composer lapplication i xi avec la transpositiondindices (k,l).


1-2.4 Somme de sous-espaces vectoriels

DEFINITION 1-2.13 Si F1, . . . ,Fp sont p sous-espaces vectoriels dun e.v. E, on appelle

somme des sous-espaces (Fi)1ip le sous-espace engendre parp

i=1

Fi. Cest donc le plus

petit sous-espace de E (pour linclusion) contenant tous les Fi. On note

F1 + + Fp =p

i=1

Fi = vect

(p

i=1

Fi

)

Comme pour le theore`me 1-2.6 (la demonstration est analogue), on a la caracterisationdes vecteurs de la somme F1+ + Fp :

PROPOSITION 1-2.14 La somme F1 + +Fp est exactement lensemble des vec-teurs x de E admettant (au moins) une ecriture sous la forme

x = x1 + + xp avec i xi FiEXERCICE 1-2.15 Montrer que si A1, . . . ,Ap sont des familles de vecteurs engendrant respec-tivement F1, . . . ,Fp, A1 . . . Ap engendre F1 + + Fp.

REMARQUE 1-2.16 Si (Fi)iI est une famille innie de s.e.v. de E, on peut encore denir

iI

Fi = vect

(iI

Fi

)

Il est alors facile de montrer que les elements de

iI Fi sont exactement les vecteursadmettant une decomposition sous la forme

iI xi ou` les xi Fi sont presque tous nuls.

On va maintenant sinteresser a` lunicite de la decomposition obtenue par la proposi-tion 1-2.14, en etudiant dabord le cas des droites vectorielles. Cest la notion de famillelibre ou liee, et plus generalement de sous-espaces independants.

1-3 Dependance et independance lineaire

1-3.1 Famille libre, famille liee

Soit A = (xi)iI une famille non vide de vecteurs dun e.v. E. Si j I, on noteAj = (xi)iI{j} la famille obtenue en retirant le vecteur xj de la famille A (attention : onpeut cependant peut-etre retrouver ce vecteur dans Aj si lapplication i xi nest pasinjective). On note F =vect(A) et Fj=vect(Aj). On a evidemment

Fj F

Deux possibilites sexcluent mutuellement :

1. Pour tout j I, Fj est strictement inclus dans F. Il est alors clair que toute sous-famille (stricte) de A engendre un sous-espace strictement inclus dans F (puisquunetelle sous-famille est incluse dans une des Aj) : A est famille generatrice mini-male de F =vect(A). On dit alors que A est une famille libre, ou que les vecteursde A sont (lineairement) independants.

1-3 Dependance et independance lineaire 9

2. Il existe j I avec Fj= F. Si I est de cardinal au moins egal a` 2, ceci equivaut a` direque xj est combinaison lineaire des vecteurs de la famille (xi)iI{j} = Aj. En eet,si Fj= F, le vecteur xj , qui est dans F, est dans Fj et est donc combinaison lineairede Aj. Reciproquement, si le vecteur xj vect(Aj) = Fj , Fj est un sous-espace deE qui contient tous les vecteurs de A, donc qui contient vect(A) = F.

A non generatrice minimale de vect(A) il existe (au moins) un vecteur de A combinaison lineaire des autres.

On dit alors que A est une famille liee, les vecteurs de A sont dependants.(Si A = (x) ne contient quun vecteur, vect(A) =vect() = {0E} si et seulement six = 0E).

Resumons la discussion precedente par la denition :

DEFINITION 1-3.1 Une famille A = (xi)iI de vecteurs est liee si et seulement si elleest reduite au vecteur nul ou si lun des vecteurs est combinaison lineaire des autres. Dansce cas, il existe une sous-famille stricte de A qui engendre vect(A). A est libre dans le cascontraire, donc si elle est generatrice minimale de vect(A).REMARQUE 1-3.2 Il est clair quune famille non injective est liee.

Attention ! Si A est liee, on ne peut choisir au hasard un vecteur qui serait com-binaison lineaire des autres. Par exemple, si x et y sont deux vecteurs independants, lafamille (xi)1i3 avec x1 = x, x2 = x et x3 = y est liee, mais x3 nest pas combinaisonlineaire de x1 et x2.

1-3.2 Relations de liaison

On obtient la caracterisation commode de la dependance lineaire :

PROPOSITION 1-3.3 La famille A = (xi)iI est liee sil existe une famille de sca-laires (i)iI non tous nuls (mais bien entendu presque tous nuls si I est inni) telsque

iIixi = 0E

Une telle egalite sera dite relation de liaison entre les vecteurs (xi)iI .

Demonstration : Si une telle relation existe, on choisit un indice i0 aveci0 = 0 et on obtient

xi0 =i=i0

ii0

xi

ce qui montre queA est liee (on notera que le fait queK soit un corps intervientdans cette demonstration : i0 est non nul, donc inversible pour la multipli-cation). Reciproquement, sil existe un vecteur xi0 combinaison lineaire desautres, soit

xi0 =i=i0

ixi

on a immediatement une relation de liaison (a` coecients non tous nuls)iI

ixi = 0E

avec i = i pour i = i0 et i0 = 1.


Comme une relation de liaison ne fait intervenir quun nombre ni de vecteurs, on endeduit immediatement le corollaire :

COROLLAIRE 1-3.4 Une famille innie de vecteurs est liee ssi il en existe une sous-famille nie qui est liee. Une famille est libre ssi toutes ses sous familles nies lesont.

COROLLAIRE 1-3.5 Toute sous-famille dune famille libre est libre. Toute famillecontenant une famille liee est liee.

EXERCICE 1-3.6 Si (Pi)iI est une famille de polynomes non nuls de K [X] avec pour i = j,dPi =dPj , cette famille est libre.

1-3.3 Independance lineaire dans des espaces fonction-nels

On est souvent amene a` etudier lindependance lineaire de familles de fonctions dansdes espaces tels que RR, R[a,b], C[a,b] etc... Il faut alors penser a` utiliser des techniquesdanalyse (etude du comportement au voisinage dun point, developpements limites, com-portement a` linni, derivation, ... si les fonctions considerees le permettent).

EXEMPLE 1-3.7 Etudier la dependance lineaire dans RR de la famille de fonctions(fn,)nN, R denies par

fn,(x) = xnex

(Indication : on conside`re une sous-famille nie (fni,i)1ip extraite de cette famille, eton suppose lexistence dune relation de liaison entre ces fonctions

pi=1

ifni,i = 0

soit

x Rp

i=1

ixnieix = 0

Ce qui dierencie nettement les fonctions fni,i, cest le comportement a` linni. On peut(par exemple) multiplier par la fonction x ex ou` est le plus grand des i et regarderle comportement pour x +).EXERCICE 1-3.8 Etudier de meme la dependance des (fn,)nN,R dansR

[0,1], des (fn,)nN,Cdans CR.

EXERCICE 1-3.9 Etudier la famille (fa)aR avec fa(x) = |x a| dans RR, dans R[1,1]. (Ici, onpeut utiliser la non derivabilite de fa en a).

1-3.4 Base dun espace. Coordonnees dun vecteur

DEFINITION 1-3.10 Une famille non vide B = (ui)iI de vecteurs dun espace vectorielE est dite base de E ssi B est libre et engendre E.THEORE`ME 1-3.11 Une famille non vide B = (ui)iI de vecteurs de E est une basede E si et seulement si B est une famille libre maximale de E (ou, ce qui revient aumeme, est une famille generatrice minimale de E).


Demonstration : Si B est une base, elle est libre. Tout vecteur x de E etantcombinaison lineaire des vecteurs de B (generatrice), la famille obtenue enajoutant x a` B est liee, donc B est maximale parmi les familles libres de E.Reciproquement, si B est libre maximale, la famille obtenue en ajoutant xquelconque de E a` B est liee, ce qui assure lexistence dune relation de liaison(a` coecients non tous nuls) de la forme

x+iI

iui = 0E

On a forcement = 0 (car on aurait sinon une relation de liaison non trivialeentre les vecteurs de la famille libre B), et on obtient x comme combinaisonlineaire de B

x = iI

iui

ce qui montre que B est aussi generatrice de E. COROLLAIRE 1-3.12 Une famille B = (ui)iI de vecteurs de E est une base de E siet seulement si tout vecteur x de E secrit de manie`re unique comme combinaisonlineaire des vecteurs de B

x E ! (i)iI KI (presque tous nuls) x =iI

iui

La famille (i)iI est appelee famille des coordonnees du vecteur x dans la base B.Demonstration : Si B posse`de cette propriete, elle est evidemment generatrice.

Une relation de liaison entre les vecteurs de B est en fait une ecriture de0E comme combinaison lineaire de B. Comme cette ecriture est unique, cestforcement la relation triviale ou` tous les coecients sont nuls : B est aussilibre. Reciproquement, si B est une base, tout vecteur de E est combinaisonlineaire de B (generatrice). Si un vecteur x admet deux ecritures

x =iI

iui =iI

iui

on obtient la relation de liaisoniI

(i i)ui = 0E

et comme B est libre, on a i I i = i

La decomposition de x est donc unique.

COROLLAIRE 1-3.13 Si un espace vectoriel E posse`de une base B = (ui)iI , onnote K(I) lensemble des familles indexees par I de scalaires presque tous nuls.Lapplication

K(I) E (i)iI iI

iui

est une bijection. K(I) peut evidemment etre muni dune structure despace vectoriel(sous-espace vectoriel de KI) et lapplication precedente est lineaire (voir plus loin).Cest un isomorphisme despaces vectoriels.

EXEMPLE 1-3.14 La famille (Xn)nN est une base de K [X], appelee base canoniquede K [X].


1-3.5 Exemple : Fonctions polynomes

DEFINITION 1-3.15 Si K est un corps commutatif et p est un entier naturel, une ap-plication

m : Kp Kest dite monomiale (a` p variables) sil existe un multi-indice

= (1, . . . ,p) Np

tel quex = (x1, . . . ,xp) Kp m(x) = x11 xpp =

def.x

Une fonction P : Kp K est dite polynomiale (a` p variables) ssi elle est combinaisonlineaire de fonctions monomes (a` p variables). Lensemble des fonctions polynomes a` pvariables est donc le sous-espace vectoriel de KKp engendre par les fonctions monomes. Si = (1, . . . ,p) Np est un multi-indice, on note || = 1 + +p (longueur de ).Comme une fonction polynome ne fait intervenir quun nombre ni de monomes, pourtoute telle fonction P il existera un entier m (dependant de P ) tel que

x Kp P (x) =Np||m

x

ou` les sont des scalaires.

THEORE`ME 1-3.16 Si K est un corps inni (ceci est donc valable dans les cas usuelsK = R ou C ), les fonctions monomes forment une base de lespace des fonctionspolynomes a` p variables sur K, base quon appelle base canonique de cet espacevectoriel.

Demonstration : La demonstration se fait par recurrence sur p. Remar-quons dabord que, par denition, les fonctions monomes engendrent lespaceconsidere. Pour p = 1, lindependance lineaire des fonctions monomes traduitexactement le fait quun polynome fonctionnellement nul est formellement nul(car un polynome de degre m sannule au maximum en m points distincts deK). Si on suppose quau rang p les fonctions monomes sont independantes,considerons une relation de liaison entre fonctions monomes a` p+ 1 variables.On obtient un entier m et des scalaires tels que

x Kp+1

Np+1||m

x = 0

En identiant le p + 1-uplet (1, . . . ,p,p+1) avec le couple (,p+1) ou` =(1, . . . ,p) Kp, ceci peut secrire egalement

y Kp z Kmi=0

Np||mi

(,i)y

zi = 0En prenant y arbitraire et en utilisant le resultat pour p = 1, on obtient

y Kp i [0,m]Np||mi

(,i)y = 0

Il sut alors dappliquer lhypothe`se de recurrence pour montrer que tous lescoecients sont nuls.


REMARQUE 1-3.17 Lorsque K est un corps ni de cardinal k, le resultat precedentnest plus valable. Deja` avec p = 1, si K = {x1, . . . ,xk}, le polynome

P (X) =

ki=1

(X xi)

nest pas formellement nul (il est de degre k et de coecient dominant egal a` 1), mais lafonction polynome associee est identiquement nulle. On peut voir (cf. chapitre 17) quona en fait

P (X) = Xk XEXERCICE 1-3.18 Montrer que, si K est un corps ni, toute fonction Kp K est polynomiale(on conside`rera dabord le cas p = 1, et on pourra utiliser, mais ce nest nullement indispensable,les polynomes interpolateurs de Lagrange : voir chapitre sur la dualite).

1-3.6 Sous-espaces independantsOn se limite ici aux familles nies de sous-espaces vectoriels dun espace E.

1-3.6.1 Denition

DEFINITION 1-3.19 Si F1,. . . ,Fp sont p sous-espaces vectoriels dun espace E, ils sontdits (lineairement) independants ssi lapplication

pi=1

Fi

pi=1

Fi (x1, . . . ,xp) x1 + + xp

est bijective (elle est evidemment toujours surjective). Ceci equivaut a` dire que tout vecteur

x de

pi=1

Fi admet une decomposition unique sous la forme

x = x1 + + xp avec i xi FiOn dit alors aussi que la somme des sous-espaces Fi est une somme directe, et on lanote

pi=1

Fi =p

i=1

Fi

Si x p

i=1

Fi se decompose comme precedemment, xj est appele composante de x p

i=1

Fi selon le sous-espace Fj.

REMARQUE 1-3.20 Lapplication consideree plus haut est toujours lineaire. Si les Fisont independants, cest un isomorphisme despaces vectoriels.

REMARQUE 1-3.21 Il est facile de voir que p vecteurs e1, . . . ,ep sont independants ssiles droites vectorielles Di =vect(ei) sont independantes, puisque lindependance de cesvecteurs signie que (ei)1ip est une base de

vect (e1, . . . ,ep) =

pi=1

Di

donc que tout vecteur de la somme se decompose de manie`re unique dans la somme desDi.


1-3.6.2 Caracterisation

THEORE`ME 1-3.22 Deux sous-espaces F1 et F2 sont independants ssi

F1 F2 = {0E}Plus generalement p sous-espaces F1, . . . ,Fp sont independants ssi

j {1, . . . ,p} Fj (

i=jFi

)= {0E}

Demonstration : Supposons les p sous-espaces F1, . . . ,Fp independants etdemontrons la propriete. Comme laddition est commutative dans E, il nestpas restrictif de nenvisager que le cas j = p, pour des raisons de commodite

decriture. Soit x Fp (

p1i=1

Fi

). Il admet alors une ecriture sous la forme

x = x1 + + xp1 avec xi Fiet peut aussi secrire

x = x1 + + xp1 + 0E = 0E + + 0E + xPar independance des sous-espaces Fi, cette ecriture est unique, ce qui donnebien x = 0E. Reciproquement, supposons la propriete

j {1, . . . ,p} Fj (

i=jFi

)= {0E}

et supposons quun vecteur x de la somme des Fi admette deux decompositionsde la forme

x =

pi=1

xi =

pi=1

yi avec pour tout i, xi et yi Fi

On a alors

j {1, . . . ,p} yj xj =i=j

(xi yi) Fj (

i=jFi

)= {0E}

ce qui donne xj = yj et prouve lindependance des sous-espaces. ATTENTION! Deux erreurs frequentes a` ne pas commettre :

Si p 3, la condition demontree plus haut entrane bienPour i = j Fj Fi = {0E}

(puisque Fi k =j

Fk) : lindependance dune famille de sous-espaces entrane lindependance

2 a` 2 et plus generalement lindependance de toute famille extraite de la famille :cest une consequence immediate de la denition, la restriction dune injection a`une partie de lensemble de depart est encore une injection. Mais la reciproqueest evidemment fausse ! Cest la meme chose que pour les syste`mes de vecteurs ou`lindependance 2 a` 2 nentrane pas la liberte du syste`me total . Si e1 et e2 sont deuxvecteurs libres, les sous-espaces

F1 = vect (e1) , F2 = vect (e2) et F3 = vect (e1 + e2)

sont deux a` deux independants, mais ne sont pas independants.


La caracterisation precedente nest pas tre`s commode dutilisation, car elle obligea` faire la verication pour tous les indices j. Une verication avec un indiceparticulier est insusante, comme le montre lexemple

F1 = vect (e1) , F2 = vect (e1) et F3 = vect (e1 + e2)

(avec toujours e1 et e2 independants). Ces sev ne sont evidemment pas independantsbien que

F3 (F1 + F2) = {0E}On peut cependant parfois utiliser le resultat suivant, ou` lon prouve une espe`cedassociativite :

PROPOSITION 1-3.23 Si p 3 et F1, . . . ,Fp sont p sous-espaces vectoriels, ils sontindependants ssi F1, . . . ,Fp1 le sont et

Fp p1i=1

Fi = {0E}

Demonstration : Ces conditions sont evidemment necessaires dapre`s ce qui

prece`de. Supposons a` present quelles soient veriees. Si x p

i=1

Fi admet deux

ecritures

x =

pi=1

xi =

pi=1

yi avec pour tout i, xi et yi Fi

on a comme precedemment

yp xp =p1i=1

(xi yi) Fp (

p1i=1

Fi

)= {0E}

donc xp = yp, puis, puisque F1,. . . ,Fp1 sont independants

p1i=1

(xi yi) = 0E i xi = yi

ce qui prouve bien lindependance de F1, . . . ,Fp.

1-3.6.3 Cas de sous-espaces dont on connat des bases

Commencons par denir la concatenation de deux familles : il sagit tout simplementde juxtaposer deux familles (xi)iI et (yj)jJ . On pourrait penser indexer cette juxta-position par I J , mais il y a une diculte si les ensembles I et J ne sont pas disjoints.Cest pour cela quon est amene a` la denition plus formelle :

DEFINITION 1-3.24 (Concatenation de familles) Soient deux familles de E F = (xi)iIet G = (yj)jJ . On appelle concatenee de ces deux familles et on note F

+ G la famille

indexee par K = (I {1}) (J {2})

F + G = (zk)kKavec, pour i I, z(i,1) = xi et, pour j J , z(j,2) = yj.


On denirait de meme la concatenation de p familles indexees par les ensemblesI1, . . . ,Ip, en travaillant avec les ensembles dindices

I1 {1} , . . . , Ip {p}THEORE`ME 1-3.25 Si F1, . . . ,Fp est une famille de p sous-espaces vectoriels possedantdes bases respectives B1, . . . ,Bp, ces sous-espaces sont independants ssi la familleobtenue par concatenation de ces bases est libre. Si cette propriete est veriee,cette reunion est alors une base de la somme (directe) des Fi.

Demonstration : On sait deja` que, dans tous les cas, la famille B1+ + Bp

engendre

Fi. Un vecteur de la somme des Fi secrit

x =

pi=1

xi

avec xi Fi, xi secrivant de manie`re unique comme combinaison lineaire desvecteurs de Bi. Pour que la decomposition de x soit unique dans

Fi, il est

clair quil est necessaire et susant que x admette une decomposition unique

comme combinaison lineaire de B1+ + Bp, ce qui traduit exactement la

liberte de cette famille.

REMARQUE 1-3.26 Il nous arrivera souvent decrire B1 B2 pour B1+ B2. Il faut

cependant garder a` lesprit quil ne sagit pas dune union ensembliste, et que, si unvecteur apparat a` la fois dans B1 et B2, il apparat deux fois dans cette union.

1-3.7 Sous-espaces supplementaires

DEFINITION 1-3.27 Deux sous-espaces F1 et F2 dun espace vectoriel E sont dits supplementaires(dans E ) si et seulement si

F1 F2 = ECeci equivaut evidemment a` dire que F1 + F2= E et F1 F2 = {0E}, ou encore que

tout vecteur de E admet une decomposition unique sous la forme x1 + x2 avec xi Fi.Lorsquil risque dy avoir une confusion, il faut preciser lespace ambiant. Par exemple,si F1 et F2 sont deux sev independants de E, F2 est un supplementaire de F1 dans F1F2.

Il est tre`s important davoir a` lesprit une representation geometrique de cette situation :penser, dans lespace ou` nous evoluons, a` un plan dont un point O a ete choisi commeorigine (le vecteur nul) pour se representer F1. Pour se representer F2, on conside`reranimporte quelle droite passant par O et non contenue dans F1. Tout point M de les-pace admet une projection M1 sur F1 paralle`lement a` F2 et une projection M2 sur F2paralle`lement a` F1, ce qui correspond a` une decomposition (unique)

OM =

OM1 +

OM2

ou`OMi est dans (la direction de) Fi(gure 1.1). Cette vision geometrique elementaire

permettra deviter des erreurs, notamment de parler du supplementaire dun sous-espaceF de E. Si un supplementaire existe, il est fort rare quil soit unique. Cela evitera ausside confondre supplementaire et complementaire ! Le complementaire dun sev de Enest pas un sev (il ne contient deja` pas le vecteur nul). Si

F1 F2= E


Fig. 1.1 Sous-espaces supplementaires

cela ne signie nullement E =F1 F2. Lespace ou` nous evoluons ne se reduit pas a` unplan et une droite ! Ce qui est fondamental, cest que lon puisse geometriquement, et sansambigute reconstituer E a` partir de F1 et F2.

Le resultat suivant nest que la traduction dans un cas particulier du theore`me 1-3.25 :

THEORE`ME 1-3.28 Deux sous-espaces F1 et F2 de E sont supplementaires ssi lareunion dune base de F1 et dune base de F2 est une base de E.

Il nous arrivera dutiliser le theore`me (admis), que nous demontrerons dans le cadredes espaces de dimension nie :

THEORE`ME 1-3.29 Dans un espace vectoriel E, tout sous-espace F posse`de aumoins un supplementaire.

EXERCICE 1-3.30 En utilisant ce theore`me, montrer que, si F est un sev de E ne contenant pasun vecteur x, F posse`de un supplementaire contenant x. (Une petite reexion en dimension 3peut amener a` considerer le sev G = F+vect(x) ).

EXERCICE 1-3.31 Si F et G sont deux sev de E, si F1 est un supplementaire de F G dans Fet G1 est un supplementaire de F G dans G, montrer que

F+G = F1 (F G)G1

(On obtient ainsi une decomposition geometrique de F+G interessante pour etudier des proble`mesfaisant intervenir lintersection F G).

EXERCICE 1-3.32 Soit P un polynome de K [X] de degre p > 0. On note (P ) lensemble desmultiples de P dans K [X] (cest lideal engendre par P ). Montrer que (P ) est un sev de K [X]et que

K [X] = (P )Kp1 [X]


1-3.8 Projecteurs

1-3.8.1 Denition

DEFINITION 1-3.33 Si E = F1F2 est une decomposition dun ev en deux sous-espacessupplementaires, tout vecteur x de E posse`de une unique decomposition sous la forme

x = x1 + x2 avec xi FiOn appelle projecteur sur F1 paralle`lement a` F2 lapplication

p1 : E E x p1 (x) = x1x1 est la projection de x sur F1 paralle`lement a` F2. On denit de manie`re symetrique leprojecteur p2 sur F2 paralle`lement a` F1.

On verra ulterieurement quil sagit dendomorphismes de E qui verient evidemment

p1 p1 = p1, p2 p2 = p2 etp2 p1 = p1 p2 = 0 (application identiquement nulle)

1-3.8.2 Famille de projecteurs associes a` une decomposition de les-pace

On generalise ici la denition precedente au cas ou` lon a une decomposition de lespaceen somme de sous-espaces independants :

E =p

i=1

Fi

On sait alors (cf. proposition 1-3.23) que pour i {1, . . . ,p}Fi et

j =i

Fj sont supplementaires

DEFINITION 1-3.34 On appelle famille de projecteurs associes a` la decomposition E =p

i=1

Fi

la famille de projecteurs (pi)1ip ou` pi est le projecteur sur Fi paralle`lement a`j =i

Fj.

pi est donc lapplication E E qui a` un vecteur x quelconque qui admet la decomposition

x =

pj=1

xj avec xj Fj

associe sa composante pi(x) = xi selon Fi. On a encore evidemment

pi pj = 0 si i = j et pi pi = pi

1-4 Espaces vectoriels de dimension nieOn dit quun espace vectoriel E est de dimension nie sil posse`de au moins une

famille generatrice nie. Le resultat fondamental est alors lexistence de bases qui sonttoutes nies et de meme cardinal. Ce cardinal commun est appele dimension de lespacevectoriel E.

1-4 Espaces vectoriels de dimension nie 19

1-4.1 Resultat preliminaire

Le theore`me qui suit est a` la base de la theorie de la dimension (intuitivement : lenombre de parame`tres independants necessaires pour reperer un vecteur).

THEORE`ME 1-4.1 Dans un espace vectoriel engendre par une famille de cardinalp, toute famille de cardinal strictement superieur a` p est liee.

Demonstration : Il sut evidemment de demontrer que toute famille dep + 1 vecteurs est liee. La demonstration se fait par recurrence sur p. PourE1=vect(e1) et A1 = {u1,u2}, on a lexistence de scalaires et tels queu1 = e1 et u2 = e1. Si et sont tous deux nuls, A est liee. Sinon, on a larelation de liaison non triviale

u1 u2 = 0Equi montre que, dans ce cas aussi,A est liee. Si on suppose le resultat demontreau rang p, on se place au rang p+1 en considerant Ep+1=vect (e1, . . . ,ep+1) etAp+1 = {u1, . . . ,up+2}. Par hypothe`se, il existe des scalaires (i,j) 1ip+1

1jp+2tels

que

j {1, . . . ,p + 2} uj =p+1i=1

i,jei

Si tous ces scalaires sont nuls, la famille A est evidemment liee. Sinon, enrenumerotant les vecteurs des deux familles, on peut supposer p+1,1 = 0. Onse rame`ne alors a` considerer p+1 vecteurs dans Ep =vect(e1, . . . ,ep) en posant

Pour j {2, . . . ,p + 2} vj = p+1,1uj p+1,ju1(le vecteur ep+1 napparat plus dans cette combinaison lineaire). Par hy-pothe`se de recurrence, il existe une relation de liaison non triviale entre cesvecteurs de la forme

p+2j=2

jvj = 0E

relation qui secrit aussi

p+2j=2

jp+1,1uj (

p+2j=2

jp+1

)u1 = 0E

ce qui prouve que la famille Ap+1 est liee puisquau moins un des coecientsjp+1,1 est non nul.

1-4.2 Existence de bases, dimensionTHEORE`ME 1-4.2 (de la base incomple`te) Si G est une famille generatrice dunespace vectoriel E de dimension nie non reduit a` {0E} , et si L est une famille librede E, il est possible de completer L a` laide de vecteurs (bien choisis !) de G pourobtenir une base de E.

Demonstration : Remarquons dabord que, dans ces hypothe`ses, G nestpas necessairement nie, mais le cardinal de L est inferieur ou egal a` celuidune famille generatrice nie de E. La demonstration est basee sur le resultat


suivant : si F est une famille libre et si x est un vecteur qui nest pas combi-naison lineaire de F , la famille obtenue en rajoutant x a` F est encore libre.Les espaces vect(F) et vect(x) sont en eet independants et cest le theore`me1-3.25.

Si L engendre E, cest une base et il ny a rien a` faire. Sinon il existe aumoins un vecteur x1 de G qui nest pas combinaison lineaire des vecteurs deL : dans le cas contraire, on aurait

E =vect (G) vect (L) E

et L serait generatrice. On remplace alors la famille L par la famille (libredapre`s la remarque precedente) L1 = L (x) et on recommence le raison-nement... Au bout dun nombre ni detapes, on arrive a` une famille librequi engendre E (puisque le cardinal dune famille libre de E est majore, leprocessus ne peut durer indeniment).

COROLLAIRE 1-4.3 Soit E un espace vectoriel de dimension nie non reduit a`{0E}. De toute famille generatrice G de E on peut extraire une base (qui contientun nombre ni delements).

Demonstration : Il sut dappliquer le theore`me precedent en partant deL = (x) ou` x est un vecteur non nul arbitraire extrait de G.

COROLLAIRE 1-4.4 (dimension) Un espace vectoriel E de dimension nie non reduita` {0E} posse`de des bases qui sont toutes nies de meme cardinal. Ce cardinal estappele dimension de E. Par convention, si E est reduit au vecteur nul, on dit que ladimension de E est nulle.

Demonstration : Lexistence de bases, le fait que ces bases ont moins delementsquune famille generatrice nie de E ont deja` ete vus. Si B1 et B2 sont deuxbases de cardinaux respectifs n1 et n2, comme B1 est generatrice et B2 libre, ona dapre`s le resultat preliminaire n2 n1 et linegalite inverse est symetrique.

Dans un espace de dimension p, les familles libres ont au plus p elements (resultatpreliminaire), les familles generatrices ont au moins p elements (sil existait une famillegeneratrice de moins de p vecteurs, il ne pourrait y avoir de famille libre a` p vecteurs).

EXERCICE 1-4.5 Montrer quun espace vectoriel E est de dimension nie ssi le cardinal dunefamille libre arbitraire de E est majore.

Le theore`me suivant est tre`s souvent utilise pour prouver quune famille est une basedun espace vectoriel de dimension nie (dont on connat la dimension) :

THEORE`ME 1-4.6 Si E est un espace vectoriel de dimension nie p > 0, une familleB de E est une base ssi elle est libre de cardinal p, ce qui equivaut aussi a` dire queB est generatrice de cardinal p.

Demonstration : Ces conditions sont evidemment necessaires pour que Bsoit une base (cest la denition de la dimension). Si B est libre de cardinalp, toute sur-famille stricte de B est liee (car elle contient plus de p vecteurs).B est libre maximale, cest donc une base. De meme si B est generatrice decardinal p, elle est generatrice minimale et est donc une base.

1-4 Espaces vectoriels de dimension nie 21

Rappelons pour terminer ce paragraphe que, si E posse`de une base

B = (ei)1iple choix de cette base induit une bijection

B : EKp x =p

i=1

iei B (x) = (1, . . . ,p)

qui est en fait un isomorphisme despaces vectoriels. Cest un cas particulier ducorollaire 1-3.13.

1-4.3 Dimension dun s.e.v, rang dun syste`me de vec-teurs

THEORE`ME 1-4.7 Si F est un sous-espace vectoriel dun espace de dimension nieE, F est de dimension nie avec dimF dimE. Il y a egalite ssi F = E.

Demonstration : Si F est reduit a` {0E} il ny a rien a` faire. Sinon onconside`re dans F une famille libre de cardinal maximal. Une telle famille existecar une famille libre de F est aussi libre dans E, donc est de cardinal inferieurou egal a` dimE. Cette famille est libre maximale dans F. Cest donc une basede F, qui est de dimension nie. On a bien dimF dimE. Sil y a egalite, unebase de F est libre dans E et de cardinal egal a` dimE. Cest donc une base deE et E = F.

DEFINITION 1-4.8 Si A est une famille de vecteurs dun espace vectoriel E (pas necessairementd

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