Csavarokról és rokon témákról

A Gépészeti alapismeretek tantárgy tanítása / tanulása során megbeszéljük a csavar-vonal és a csavarmenet származtatását, például mozgásgeometriai alapon. Azonban ez talán még kevés, egy amúgy térgeometriai alapokkal már rendelkező, érdeklődő közép-iskolás tanulónak. Most – egyebek mellett – összeállítjuk néhány fontos és egyszerűbb csavarmenet - felület matematikai megadásának egyenleteit. Ebben lényegesen támasz-kodunk a szakirodalomra. A felsoroltak közül [ 1 ] ajánlható szakközépiskolásoknak is.

A közönséges csavarvonal és vetületei Az egyenes körhengerre írt, más néven: közönséges csavarvonal egy térgörbe, melynek származtatása az alábbi – [ 2 ]. Ha egy P pont úgy mozog, hogy a t egyenessel párhuzamos eltolódása a t tengely körüli elfordulás szögével arányos és mindig ugyanolyan irányú, akkor a P pont pályája: közönséges csavarvonal – 1. ábra. Az imént leírt mozgás: a csavarmozgás, amely ezek szerint egy állandó szögsebességű forgómozgás, és egy a kör síkjára merőleges egyenes vonalú egyenletes haladó mozgás eredője. Ha a haladó mozgás v || t sebességvektora és a forgómozgás ω || t szögsebesség - vektora egyállásúak, akkor a csavarmozgás jobbos, ellenkező esetben balos. Ennek megfelelően a mozgó P pont jobbmenetű, illetve balme- netű csavarvonalat ír le.

1. ábra A definíció matematikai leírása: s p , ( 1 ) ahol: ~ s: a P pont t tengely menti eltolódása; ~ φ: a P pont t tengely körüli elfordulási szöge; ~ p: arányossági tényező.

2

A közönséges csavarvonal egyenletét egy ( Oxyz ) derékszögű koordináta - rendszerben írjuk fel – 2. ábra.

2. ábra

Legyen a csavarvonal tengelye a z tengely, az x tengely haladjon át a csavarvonal K kezdőpontján, és legyen R az OK szakasz hossza! Az egyenletek független változója a φ szögelfordulás lesz, függő változói pedig a csavarvonalat leíró P pont ( x , y , z )P merő-leges vetületei. A 2. ábra alapján, ( 1 ) - gyel is: x( ) R cos ,y( ) R sin ,z( ) p .

( 2 )

A ( 2 ) egyenlet szerinti koordinátákat tekinthetjük az OPr

helyvektor koordinátáinak, így a megfelelő ( i, j, k ) egységvektorokkal:

( ) x( ) y( ) z( ) , r i j k ( 3 ) majd ( 2 ) és ( 3 ) - mal:

( ) R cos R sin p . r i j k ( 4 )A ( 4 ) egyenlet: a közönséges csavarvonal vektoregyenlete. A p paraméterre fennáll, hogy

hp ,2

( 5 )

ahol: h: a menetmagasság, amellyel ( 1 ) és ( 5 ) szerint:

hs( 2 ) z( 2 ) p 2 2 h ,2

( 6 )

3

vagyis ( 6 ) szerint a menetmagasság: a φ = 2π szögelforduláshoz tartozó eltolódás. Most ( 4 ) és ( 5 ) - tel:

h( ) R cos R sin .2

r i j k ( 7 )

A csavarvonal ( 7 ) egyenlete alapján mondhatjuk, hogy a csavarvonal geometriai paraméterei: ~ R: az alapkör sugara, ~ h: a menetmagasság. Az eddigiek alapján könnyen felírhatjuk a csavarvonalnak a koordináta - síkokra vett vetületi görbéinek egyenleteit is. Az ( xy ) - síkra vett vetület ( felülnézet ):

xy ( ) R cos R sin , r i j ( 8 ) vagyis x( ) R cos ,y( ) R sin ,

( 8 / 1 )

ami egy R sugarú kör egyenlete, hiszen négyzetre emeléssel és összeadással:

2 2 2 2 2 2x y R cos sin R . ( 9 ) Az ( yz ) - síkra vett vetület ( elölnézet ):

yzh( ) R sin ,

2

r j k ( 10 )

vagyis y( ) R sin ,

hz( ) .2

( 10 / 1 )

Hogy ez milyen síkgörbének felel meg, azt kiküszöböléssel állapítjuk meg: 2 z ,h

( 10 / 2 )

amit ( 10 / 1 ) első képletébe helyettesítve: 2y(z) R sin z .h

( 11 )

Tehát a csavarvonal elölnézete szinuszgörbe. Az ( xz ) - síkra vett vetület ( oldalnézet ):

xzh( ) R cos ,

2

r i k ( 12 )

4

vagyis a fentiekhez hasonlóan: x( ) R cos ,

hz( ) .2

( 12 / 1 )

Innen kiküszöböléssel: 2x(z) R cos z .h

( 13 )

Tehát a csavarvonal oldalnézete koszinuszgörbe.

A csavarokról A csavarok – melyek fizikailag mint kötőelemek, gépelemek, stb. jelennek meg – olyan testek, vagy azok részei, melyek határoló felületei között csavarfelületek is szerepelnek. A csavarfelületek adott vonal csavarmozgásából származtatott felületek. Egyes csavarok mozgásgeometriai származtatása: ~ laposmenetű csavar: egy derékszögű négyszög csavarmozgásából származik; ~ élesmenetű csavar: egy egyenlőszárú háromszög csavarmozgásából származik – lásd 3. ábra! A téglalap, illetve a háromszög által súrolt térrész a csavarmenet.

3. ábra A 4. ábrán már nemcsak a csavarorsók, hanem a csavaranyák felületei is szemlélhetők.

5

4. ábra Az ábrák szerint e csavarokat csavar ~ és hengerfelület - darabok határolják. A csavarfelület definíciójának megfelel a henger is: a csavarmozgást végző vonal ekkor a henger egyenes alkotója, amely a csavar tengelyével párhuzamos helyzetű. A minket érdeklő esetek nem ennyire egyszerűek: a két legfontosabb csavarfelület esetén a csavarmozgást végző vonal – az alkotó – egy egyenes, amely valamilyen szögben metszi a csavartengelyt. Ennek megfelelően beszélünk: ~ laposmenetű egyenes vonalú csavarfelületekről – derékszögű a metsződés, és ~ élesmenetű egyenes vonalú csavarfelületekről – nem derékszögű a metsződés. Mindkettő gyakorlatilag is nagyon fontos, a gépészet, az építészet, stb. számára is.

A lapos - és az élesmenetű csavarfelületek leírása Ehhez tekintsük az 5. ábrát! Itt a csavartengellyel ε hegyesszöget bezáró egyenes alkotó egy b hosszúságú szakaszát rajzoltuk meg, a „0” és az „1” helyzetekben. A csavarfelület tetszőleges P pontját az u és φ változókkal adjuk meg, ahol:

b u b ,0 2 .

( 14 )

A P élesmenetű csavarfelületi pont koordinátái az 5. ábra szerint:

x(u, ) u sin cos ,y(u, ) u sin sin ,

hz(u, ) u cos .2

( 15 )

A P laposmenetű csavarfelületi pont koordinátái, az

6

5. ábra

, b R2

( 16 )

specializációval ( 15 ) - ből:

x(u, ) u cos ,y(u, ) u sin ,

hz(u, ) .2

( 17 )

Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. Érdekes lehet még néhány további, könnyen megkapható eredmény tanulmányozása is. Ezek: a t = z tengelyű csavarfelület ~ meridiánmetszete, melyre φ = φ1 = konst. , ~ normálmetszete / keresztmetszete, melyre z = z1 = konst. A meridiánmetszetek az 5. ábráról közvetlenül leolvashatóan 2b hosszúságú egyenes szakaszok; az ábrán ennek csak a fele lett megrajzolva. A vetületi egyenesek egyenleteinek a felírását az Olvasóra bízzuk, mindkét felületre. A normálmetszetek egyenletéhez: ( 15 ) harmadik egyenletéből, z = z1 - gyel:

1 1hz u cos ,

2

innen:

7

1 11 hu z ;

cos 2 ( 18 )

továbbá ( 15 ) első egyenletével:

1 1 1sin hx(u , ) u sin cos z cos ,cos 2

azaz:

1 1hx(u , ) tg z cos ;

2

( 19 )

hasonlóképpen ( 15 ) második egyenletével:

1 1 1sin hy(u , ) u sin sin z sin ,cos 2

azaz:

1 1hy(u , ) tg z sin .

2

( 20 )

Most bevezetjük az

1 1 1hr ( ) r(z , ) tg z

2 ( 21 )

képlettel értelmezett vezérsugarat; ezzel ( 19 ) és ( 21 ) így alakul:

1 1

1 1

x ( ) r ( ) cos ;y ( ) r ( ) sin .

( 22 )

A ( 22 ) képlet a metszeti síkgörbe polárkoordinátás és derékszögű koordinátás egyenletei közti átszámítást tartalmazza, így a metszeti görbe polárkoordinátás kifejezése, ( 21 ) - ből:

1 1 1 1h h 2 hr ( ) tg z tg z tg ,

2 2 h 2 ( 23 )

ahol bevezettük a 1

1z2h

( 24 )

jelölést is. Tovább alakítjuk ( 23 ) - at, a

1 1

hk tg ,2

*

( 25 )

újabb jelölések bevezetésével. Most ( 23 ) és ( 25 ) - tel:

8

1 1 1r ( *) k *. ( 26 ) A ( 26 ) képlet az Arkhimédész - féle spirális polárkoordinátás kifejezése – [ 5 ]; ezek szerint a laposmenetű csavarfelület keresztmetszeti görbéje egy Arkhimédész - féle spirális. Most nézzük meg, hogyan alakul a keresztmetszeti görbe ( 16 ) esetén! ( 17 ) harmadik egyenletéből:

1 1hz ,

2

innen:

11

z2h

. ( a )

Majd ( 17 ) első két egyenletével is:

11 1

11 1

zx (u) u cos u cos 2 ,h

zy (u) u sin u sin 2 ;h

( b )

Képezve az utóbbiak hányadosát:

1 1

1

y ztg 2 ,x h

( c )

vagyis:

11 1 1

zy (x ) tg 2 x .h

( d )

Ez egyenes egyenlete, vagyis a spirális egyenessé fajul el ( 16 ) fennállása esetén. Összefoglalva: ~ a laposmenetű ( zárt ) csavarfelület meridiánmetszetei és keresztmetszetei is egyenesek: a felület alkotói; ~ az élesmenetű ( zárt ) csavarfelület meridiánmetszetei egyenesek, keresztmetszetei pedig Arkhimédész - féle spirálisok. Az eddigiekben talált síkgörbék – kör, szinuszhullám, koszinuszhullám, spirális – szemléltetéséhez – 6., 7., 8., 9. ábra – az alábbi adatokat vettük fel: R = 3 cm; h = 2cm ; ε = 45°; z1 = 0. ( Az egyeneseket nem szemléltetjük. ) Az ábrák a Graph függvényrajzoló program „paraméteres” és „polárfüggvény” függvénytípusai alkalmazásával készültek.

9

x(t)=3*cos(t) , y(t )=3*sin(t)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

6. ábra

x(t)=3*sin(t) , y(t)=t/pi

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y

z

7. ábra

10

x(t)=3*cos(t) , y(t)=t/pi

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

z

8. ábra

r(t )=t/pi

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

x

y

9. ábra

11

Meridiánkör - csavarfelület leírása Ez a felület akkor keletkezik, ha az alkotókör síkja tartalmazza a csavartengelyt. Egy ilyen felület egyenleteinek felírásához tekintsük a 10. ábrát!

10. ábra A meridiánkör egy P0 pontjának koordinátái – a 10. ábrán 0 u − :

x(u) R r cos u ,y(u) 0 ,z(u) r sin u .

( 27 )

A φ szöggel elforgatott és ezzel egyidejűleg s úton eltolt meridiánkör, illetve az általa súrolt csavarfelület P1 pontjának koordinátái:

x(u, ) R r cos u cos ,

y(u, ) R r cos u sin ,hz(u, ) r sin u .

2

( 28 )

12

A ( 28 ) egyenletek lehetnek például egy csigalépcső feletti félkörboltozat felületének egyenletei. Egy másik lehetséges felületfajta a zsinórmeneté, melynek profilja a 11. ábrán szemlél-hető.

11. ábra Megjegyezzük, hogy h = 0 esetén a ( 28 ) - ból kapott forgásfelület neve: körgyűrűfelület ( tórusz; a 10. ábra esetében a gyűrű hosszában meg lett felezve ). Ezzel a feladatot megoldottuk. Javasoljuk, hogy az Olvasó írja fel a zsinórmenet felüle-tének egyenleteit, az előzőek alapján. Irodalom: [ 1 ] – Karl Lichtensteiner: Műszaki ábrázoló geometria B+V Lap és Könyvkiadó Kft., Budapest, 1994 [ 2 ] – Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995. [ 3 ] – Strommer Gyula: Ábrázoló geometria 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. [ 4 ] – Romsauer Lajos – Ábrázoló geometria Franklin - Társulat, Budapest, 1929. [ 5 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. december 21.