desarrollo de estrategias cognitivas en cálculo y...

Desarrollo de estrategias

cognitivas en cálculo y

estimación numérica

Facultad Ciencias de la Educación

Máster Intervención Psicológica en Contextos de Riesgo Departamento de Psicología

Coordinador TFM: Manuel Aguilar Villagrán

Alumna: Milagrosa Domínguez Suraña

Año: 2012/13

Desarrollo de estrategias cognitivas en cálculo y estimación numérica

1

Índice

Introducción 3

Método 12

Participantes 12

Materiales 12

Procedimiento 13

Resultados y discusión 14

Conclusiones 22

Referencias bibliográficas 25


2

Desarrollo de estrategias cognitivas en cálculo y estimación

numérica

Milagrosa Domínguez Suraña

Universidad de Cádiz

En este estudio se pretende conocer el rendimiento de los alumnos de 4º y 5º de

Educación Primaria de la provincia de Cádiz en cálculo mental, cálculo escrito y

estimación numérica observando la relación existente entre el cálculo y la estimación

en la recta numérica, estableciendo diferencias entre ambos grupos. Se hará a través

de tres pruebas: dos pruebas colectivas, una de cálculo mental y otra de cálculo

escrito, donde se presentarán veinte ítems que los alumnos tendrán que contestar y,

una tercera prueba individual, de estimación, donde los alumnos tendrán que señalar

en una línea numérica, que va de 0 a 1000, veintidós números que se les da de forma

aleatoria. Obteniendo diferencias significativas entre los grupos estudiados y

existiendo una relación visible entre el cálculo y la estimación en la línea numérica.

Palabras claves: cálculo mental, cálculo escrito, estimación, línea numérica

Introducción

Las matemáticas juegan un papel primordial en nuestras vidas, en nuestra

sociedad. El día a día está marcado por elementos matemáticos (números, formas,

operaciones, lógica…) por lo que es muy necesaria para comprender y analizar toda la

información que nos llega y nos rodea.

Es muy importante que los docentes, en las aulas de las escuelas, estimulen a los

alumnos para que crezca en ellos gran motivación e ilusión por aprender cosas nuevas,

respeto, educación, responsabilidad. Para poder llegar a formar personas reflexivas,

autónomas, críticas.

Los alumnos deben adquirir las destrezas en el cálculo haciéndolo exacto y

rápido. Cuando hablamos de cálculo, se nos viene a la cabeza infinidad de términos

relacionados (operaciones, relaciones, algoritmos, resolver, dígitos, lógica, etc.) por lo

que debemos tener en cuenta que, el cálculo, es una actividad cognitiva que realizamos

para relacionar cosas. Esta es una actividad que está presente en nuestra cultura desde

hace siglos, ya que los seres humanos hemos tenido la necesidad de hacer cálculos con

todo lo que encontrabamos a nuestro alrededor.


3

El dominio de las matemáticas y de los algoritmos, como nos dice Jacuvobich

(2006) siempre ha generado gran interés entre la población, pero ha pasado a un

segundo plano. Es verdad que existen personas que, aún sin tener conocimiento sobre

esto, es decir, sin tener dominio de los algoritmos, utilizan algún tipo de estrategia en su

vida diaria sin que nadie se lo haya enseñado para poder desenvolverse en su día a día.

La vida está llena de algoritmos, en la compra, en las recetas, etc. Fernández

Bravo (2005) comenta que sin razonar de forma lógica no es posible crear algoritmos,

nuestra mente acepta lo que estamos haciendo sin entender por qué lo hacemos, sin

embargo, es fundamental que sepamos aplicarlo a través de la elección de una buena

estrategia, de una decisión propia, que nos ahorre tiempo y nos haga entender lo que

hacemos y su posterior aplicación. Es por ello que, en el ámbito de las matemáticas, no

es tan importante la aplicación reiterada de movimientos u operaciones sino la cantidad

de ideas que relacionamos para su posterior resolución.

Como se puede apreciar en la orden del Ministerio de Educación, en la que se

establece el currículo y se regula la ordenación de la Educación Primaria (MEC, 2007),

se contempla la competencia matemática, que consiste en “la habilidad para utilizar y

relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión

y razonamiento matemático” y el desarrollo e implementación de diferentes estrategias

de cálculo, tanto escrito como pensado, a través de situaciones de resolución de

problemas. Por lo que, conocer y aprender son dos conceptos que llevamos adheridos a

nosotros y tiene una estrecha relación con las experiencias que vivimos en nuestro día a

día.

Según Rodríguez (2010), los docentes, en el ámbito de las matemáticas, deben

ser capaces de proporcionar a los alumnos numerosos instrumentos intelectuales como

estrategias y métodos para el desarrollo integral de estos, para que sean capaces de

llevarlos a situaciones puntuales, a su realidad o vida cotidiana.

Una de las herramientas más importantes dentro de las matemáticas es el cálculo

mental, ya que a través de esta se pueden adquirir distintas destrezas. Podemos verlo

como una habilidad que nos permite desarrollar el conocimiento y nos facilita la

resolución de distintos problemas que suceden a nuestro alrededor.


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Gómez Alfonso (2005) señala que en el cálculo mental se trabaja con datos

exactos que son el resultado de un juicio y está caracterizado por el uso de distintos

métodos de cálculo alternativos a los que estamos acostumbrados a ver, como la

disposición de los dígitos en columnas y filas y, además, requiere adiestramiento. El

cálculo mental es una forma de calcular pero que no requiere ayuda externa ya que solo

trabaja la mente. Por otro lado, en el cálculo estimado no se trabaja con datos exactos y

estos son el resultado de un juicio o valoración. Y, por último, en el cálculo aproximado

tampoco se trabaja con datos exactos pero estos proceden de la medición con

instrumentos de medida. Este tipo facilita el cálculo aunque pierde precisión. Se

reformulan los datos con unas técnicas determinadas.

Existen dos modalidades de cálculo mental, el cálculo mecánico o de estímulo-

respuesta y el cálculo reflexivo o pensado. En el primero, se emplean técnicas

automáticas, mientras que en el segundo, se utilizan estrategias que requieren

reflexionar y tomar decisiones.

Threlfall (2002) nos señala la importancia de la enseñanza del cálculo mental en

las escuelas a través de los siguientes argumentos: a) La mayoría de los cálculos que se

realizan en la vida son mentales. b) El trabajo mental desarrolla el conocimiento dentro

del sistema numérico. c) El trabajo mental desarrolla habilidades para resolver

problemas. d) El trabajo mental proporciona éxito en posterior cálculo escrito.

Es cierto que no se le ha dado, ni se le da, mucha importancia al aprendizaje y

desarrollo del cálculo mental, ya sea porque los docentes no lo consideran importante o

porque no saben cómo trabajarlo en clase. Hace unos años ni si quiera aparecía en los

libros de texto como tal, hoy en día podemos ver que en la mayoría de ellos aparece en

cada tema un apartado para la enseñanza del cálculo mental a través de distintas

estrategias.

Leger et al. (2011) establecen que el cálculo mental de hoy día presenta un rol

cognitivo y otro didáctico más relevante que el rol que se utilizaba hace años. Es decir,

el cálculo mental, su aprendizaje, aparece como algo secundario a la comprensión y

relación de los números y la familiaridad del alumnado con los distintos ámbitos de

estos y sus operaciones. Esto es manifiesto en los estudiantes a través de las estrategias

que utilizan a la hora de resolver una tarea de cálculo mental. Pero, si prestamos

atención especial a estas estrategias, se aprecia la ausencia de presentaciones concretas.


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Esto puede deberse a los docentes, la forma en la que enseñan un procedimiento

estándar único para un tipo de operación donde se van siguiendo paso a paso las pautas

para resolverlo. Esto ocurre cuando se enseña a través de ejemplos en clase, utilizando

un tipo de estrategia, por ejemplo, la línea numérica, muchas veces se queda en ejemplo

sin generalizar a otras situaciones, en lugar de hacerlas conocimiento en sí de tal forma

que incida en el proceso cognitivo del alumnado, ayudándoles así a la construcción del

conocimiento.

El problema existente en la educación matemática según Godino, Font y

Wilhelmi, (2006) radica en la falta de un conocimiento compartido sobre la enseñanza

y la formación de profesores.

También es cierto, que se intentan enseñar medidas eficaces para realizar cálculo

en nuestro día a día sin utilizar instrumentos o medios destinados a ello. Los docentes

enseñan un procedimiento para cada operación, es decir, que se siga los pasos precisos

para resolver un problema. Aunque el uso de la calculadora está generalizado, es

necesario conocer estrategias de cálculo. Es fundamental que todos sepamos calcular

mentalmente y por escrito con facilidad y seguridad. El valor educativo de ejercicios de

cálculo mental está en la forma de llevarlo a cabo y no tanto en su rapidez. Debe estar

centrado más en el análisis de las distintas situaciones numéricas, la comprensión de los

conceptos y su posterior adquisición (Gómez Alfonso, 2005).

Como hemos podido apreciar con el transcurso del tiempo, a medida que la

tecnología se ha ido introduciendo de forma paulatina en nuestras vidas, el cálculo

mental ha ido perdiendo importancia, tal y como hemos dicho anteriormente, debido al

uso de las calculadoras, los ordenadores o los móviles. Pero, a pesar de esto, nos hemos

ido dando cuenta de la gran importancia que tiene esta actividad cognitiva para nosotros

en el proceso de enseñanza-aprendizaje en el área de las matemáticas.

Partimos de la idea de que el cálculo mental es rápido y eficaz, mientras que el

método tradicional de los algoritmos de lápiz y papel es como un pequeño problema en

la enseñanza de las matemáticas, debido a que, no ayuda a los alumnos a realizar

conexiones con experiencias ni generalizaciones. Es más, con la enseñanza de los

métodos tradicionales y la no fomentación del cálculo mental tendemos a “bloquear” la

mente de nuestros alumnos, haciéndoles más complicada la tarea de búsqueda de

estrategias alternativas para la resolución de problemas.


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Los algoritmos verticales se suelen escribir en el papel de manera natural

siguiendo siempre una misma regla pero, si esas operaciones las hacemos mentalmente,

no solo visualizamos el algoritmo escrito, sino que, nos van surgiendo estrategias que

vamos generalizando a otras situaciones como agrupar, añadir, quitar, redondear, etc.

De este modo Gálvez et al. (2011) plantean que en las escuelas no se fomente a los

niños para que actúen de forma mecánica con algoritmos memorizados sino que el

alumno recurra a una visualización del algoritmo que, a su vez, está ligada a una

activación de distintas estrategias que, eso sí, dependen de su experiencia e interacción

con el mundo.

Beishuizen (1997) establece una diferencia entre hacer cálculos mentales en la

cabeza y hacerlos con la cabeza. Cuando hablamos de realizar este tipo de cálculo en la

cabeza, nos estamos refiriendo a la memorización de distintos factores numéricos que se

realizan en la cabeza, mientras que el segundo enunciado hace referencia a las

estrategias mentales que se realizan con la cabeza. De esta manera, el sistema numérico

se desarrolla de forma más efectiva cuando se piensan los números como un todo ya que

así se hace un mejor uso de las distintas técnicas, como pueden ser las de estimación o

aproximación.

Martínez (2011) nos habla de la aplicación de distintos algoritmos a lo largo de

la historia que, en la actualidad, se ven reducidos al uso del cálculo mental y al uso de

las diferentes destrezas de estimación que ayudan a la resolución de problemas desde

edades tempranas. El algoritmo ABN es un método que puede ser utilizado por todos

los alumnos ya que es flexible y se adapta al ritmo de cada estudiante para llegar a

alcanzar una buena competencia matemática a través del manejo o experiencia directa,

el alumno se hace constructor de su propio proceso de enseñanza-aprendizaje. En este

método se siguen los pasos y procesos que constituyen cada operación utilizando

números completos sin hacer divisiones que hagan trabajar a los alumnos con cifras sin

sentido.

Por ello, vemos necesario un método que fomente la elección de distintas

alternativas presentando de forma coherente los procedimientos y las distintas opciones

posibles para que puedan llevarse a cabo de forma organizada y sistémica. Los docentes

deben tener un sistema de clasificación de estrategias que tengan cierto sentido

(Threlfall, 2002)


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Tabla 1. Estrategias de cálculo mental por Hartnett (2007), Heirdsfield (2005); Tabor (2008), Torbeyns, De Smedt, Ghesquiere, Verschaffel (2009) y Torbeyns, De Smedt, Stassens, Ghesquiere, Verschaffel (2009).

Estrategias Descripción

Reconocimiento conjunto con dibujos Identificar conjunto de números

Relación Parte-Todo Reconocer las partes del todo. Los números

se descomponen en partes

Contar hacia adelante y hacia atrás Contar hacia adelante y hacia atrás a partir de

un número dado

Siguiente número Establecer de inmediato el número que viene

después del número dado

Visualización de números en una franja Visualizar en la representación los números y

responder a preguntas

Relación uno más/menos, dos más/menos Responder el número que es una o dos veces

mayor que el número dado

Sumas del uno al diez

Dobles

Más uno

Más dos

Más tres

Dobles creados como imágenes visuales

Decir el siguiente número

Omitir un número y decir el siguiente

Omitir dos números y decir el siguiente

En restas del uno al diez

Pensar en suma

Visualización

Contar hacia atrás

Para 9 – 3 pensar ¿Cuánto le tengo que

sumar a tres para que me de nueve?

Visualizar el minuendo y quitar el sustraendo

Para operaciones de -1,, -2, -3

Sumar diez a un número Para números de 11 a 20

Sumas

Dobles cercanos

Dos aparte

Más cero

Hacer diez

Doble del número más pequeño y suma uno

Doble del número que está en medio

No cambia

Para operaciones con ocho o nueve en el

sumando

Resta

A través de diez

Hacia abajo a través de diez

13 – 8 (de 8 a 10 van 2 y 3 más son 5)

14 – 6 (14 – 4 = 10 y 2 menos me da 8)

Sumas para las decenas 3 + 5 = doble de 4

Encontrando compatibles Buscar pares de números que sumen diez

Compensación Uno o ambos números son combinados para

hacer la suma más fácil y la respuesta se

ajusta para compensar el cambio

Multiplicación


8

Por dos

Cincos

Unos

Truco del cero

Cuatros

Tres

Como dobles

Patrones de cinco en cinco

Se queda igual

Se aparta el cero, se multiplica y se vuelve a

añadir el cero

Dos dobles

Doble más un conjunto

Hacer decenas, centenas… 48 + 36 es igual que 50 + 34

Divisiones

Pensar en multiplicar

36 / 6 pensar en ¿cuántas veces tengo que

multiplicar seis para que me de 36?

Equilibrar una diferencia constante Implica sumar en ambos números la misma

cantidad para que la diferencia sea la misma

Propiedad distributiva Implica dejar el número mayor redondeado y

multiplicarlo por el otro dígito. Luego

multiplicamos el número que hemos quitado

Reducir a la mitad y doblar Un factor se reduce a la mitad y el siguiente

se dobla

500 x 88 = 1000 x 44

Dividir entre decenas, centenas Dividir los números sin ceros, una vez dividido

añadimos los ceros

En el cálculo, observamos cómo se ordenan diferentes cifras que luego se

combinan entre sí a través de diferentes cálculos o algoritmos básicos que dan lugar a

nuevas cifras o nos ayudan a la resolución de problemas. Jocuvobich (2006) nos indica

que para llegar a la resolución de dichos problemas es necesaria una adecuada función

ejecutiva, diferentes tipos de recursos (atención, estrategias, etc.) y la conservación de la

memoria de trabajo.

Estas y otras estrategias son muy útiles para la realización de operaciones

matemáticas, cálculo mental, estimación…

Según Campbell (2005) la estimación es una parte importante del conocimiento

matemático ya que está presente en la escuela y en nuestras vidas. Se sabe que también

está relacionada con otros aspectos específicos de la capacidad matemática como las

habilidades aritméticas o los resultados de pruebas de rendimiento.


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La estimación es un proceso de traslado entre representaciones cuantitativas

alternativas. Estas pueden ser de dos clases: numéricas o no numéricas. La estimación

numérica corresponde al subconjunto de tareas de estimación en el que uno o ambos

lados implican números, se incluyen la mayoría de las formas prototípicas de

estimación. Mientras que la estimación no numérica implica tareas en la que la

representación cuantitativa es numérica. Esta categoría incluye tareas utilizadas en

experimentos psicofísicos que requieren dos representaciones cuantitativas no

numéricas. Algunas estimaciones implican traslado de representaciones no numéricas a

otras no numéricas (trasladar el brillo percibido a líneas longitudinales), otras van de

estimaciones numéricas a no numéricas (presentarle a los niños un número y

preguntarles por la posición de éste en la línea numérica).

La estimación es un proceso que la mayoría de los niños y, también adultos,

encuentran difícil (estimar la distancia de un lugar a otro, cuántas personas hay en una

ciudad, cuánto tiempo tardaré en llegar a casa, cuánto dinero me sobrará después de

hacer la compra…) sin esta capacidad de estimar con precisión el día a día en nuestras

vidas sería más difícil. Pero con la edad y la experiencia vamos progresando en muchas

tareas de estimación (Siegler y Booth, 2004; Booth y Siegler, 2008; Opfer y Siegler,

2007).

Con este proceso se pretende la aproximación a un valor cuantitativo, que utiliza

números y que no requiere un conocimiento real de las propiedades que se estiman o de

la unidad de medida convencional. Esto es fundamental para la estimación ya que

elimina el conocimiento no matemático y determinadas unidades de medida. Y, como

en una tarea de estimación numérica, se puede ver el cambio en el desarrollo de la

comprensión de las magnitudes numéricas que influyen en la estimación numérica

(Campbell, 2005).

Según el trabajo de Siegler y Booth (2004), existen cambios en el desarrollo de

los niños en la representación en la línea numérica de 0 a 100 entre los prescolares y los

alumnos de segundo grado. Al igual que entre los alumnos de segundo y sexto grado en

la estimación en la línea numérica de 0 a 1000 (Siegler y Opfer, 2003). De esta forma,

cuando preguntamos por la localización de una estimación en la línea numérica de 0 a

100, sin presentar ninguna marca entre ambos dígitos, los prescolares, presentan en su

análisis una función logarítmica y, la mayoría de los alumnos de segundo una función


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lineal. Sin embargo, la mitad de los alumnos de primer grado presentan una distribución

logarítmica y, la otra mitad, lineal (Siegler y Booth, 2004). Algo parecido les ocurre a

los alumnos de segundo y sexto con la línea numérica de 0 a 1000, los primeros

presentan una función logarítmica, mientras que los de segundo lineal. Booth y Siegler

(2006) encontraron en su estudio que los alumnos desde segundo hasta cuarto grado van

aumentando su estimación en la línea numérica pasando de una función logarítmica a

una lineal. Probablemente esto ocurra debido a que los niños presentan una mayor

familiaridad con los números (Dehaene, 1997).

Como se ha podido observar, a medida que los alumnos se van familiarizando

con los números en el transcurso de los cursos, su representación va siendo más exacta,

es decir, su representación pasa de ser logarítmica en los cursos más bajos a una lineal

en la línea numérica que va de 0, en uno de los extremos, a 1000, en el otro.

En el presente trabajo nos propusimos varios objetivos: 1) evaluar el desarrollo

de estrategias de cálculo aritmético escrito y mental en una muestra de alumnos de

Educación Primaria, 2) comprobar si existen diferencias entre el cálculo escrito y

mental en los diferentes cursos, 3) estimar las dificultades de las operaciones aritméticas

en relación al curso de escolarización, 4) evaluar la capacidad de estimación numérica

entre 0 y 1000 en una muestra de Educación Primaria, 5) comprobar si existen

relaciones entre el rendimiento de cálculo escrito y mental y la estimación de

magnitudes numéricas en la línea numérica de 0 a 1000 y, 6) comprobar que tipo de

distribución (logarítmica o lineal) presentan los alumnos en la estimación de la línea

numérica.

Por lo que los alumnos de los cursos más avanzados desarrollarán estrategias de

cálculo escrito y mental más eficaces que los alumnos de curso inferior, no habrá

diferencias de rendimiento entre el cálculo escrito y cálculo mental en los alumnos

evaluados, no habrá diferencias en el desarrollo de estrategias de cálculo mental entre

los participantes de Educación Primaria, no habrá diferencias entre los participantes en

las tareas de estimación numérica, no habrá relación entre la capacidad de estimación

numérica y cálculo escrito y mental y, por último, los alumnos de cuarto presentarán

una distribución logarítmica mientras que en los de quinto será lineal.

Para ello se seleccionó una muestra de alumnos que cursan cuarto y quinto de

Educación Primaria en el ámbito de las matemáticas, especialmente en cálculo escrito,


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cálculo mental y estimación numérica. En las pruebas de cálculo escrito y cálculo

mental se les propuso veinte operaciones aritméticas de forma escrita, y tras un intervalo

de tiempo, se les volvieron a presentar las mismas operaciones pero de forma mental.

Una vez realizas dichas pruebas se les pasó las pruebas de estimación compuestas de

veintidós ítems (véase más adelante).

Método

Participantes:

En este estudio han participado una muestra no probabilística de 165 estudiantes,

de estos, 91 alumnos pertenecen a cuarto curso de Educación Primaria (edad

media=9,98 años, desviación típica=0,38) y 74 alumnos pertenecientes a quinto curso

de Educación Primaria (edad media=10,5 años, desviación típica=0,32). Entre ambos

grupos nos encontramos con 86 chicos (52,12%) y 79 chicas (47,88%) pertenecientes a

dos centros de la provincia de Cádiz, 58 alumnos del colegio La Constitución (35,15%)

y 107 del colegio Compañía de María (68,85%). Ambos centros escolarizan alumnos de

procedencia socioeconómica media. Los alumnos participaron de forma voluntaria en el

estudio.

Materiales:

En este estudio hemos usado tres pruebas. La primera de ellas, la de cálculo

mental (Ineson, 2007), está compuesta por 20 ítems de operaciones aritméticas (4

operaciones de suma, 6 operaciones de resta, 6 operaciones de multiplicación y 4

operaciones de división). Los ítems fueron elegidos debido a que su solución sería

complicada utilizando un algoritmo escrito estándar, pero relativamente fácil si se

utiliza un método o estrategia de cálculo mental como el redondeo y el ajuste,

operaciones con números cercanos a 100, multiplicaciones con múltiplos de 10,

reducciones a la mitad en las divisiones, etc. La segunda prueba, la de cálculo escrito, se

pasó tras un intervalo de dos semanas, y está constituido por las mismas operaciones de

la prueba anterior. En la hoja de respuesta de esta prueba se le proporcionaba espacio

suficiente para la realización del cálculo con algoritmos escritos (en la tabla 2 se

detallan las operaciones).


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Tabla 2. Operaciones cálculo mental y escrito (Ineson, 2007)

Operaciones

Sumas Restas Multiplicaciones Divisiones

99 + 54 100 – 25 30 x 5 100 : 2

101 + 54 133 – 36 99 x 2 102 : 2

49 + 51 90 – 25 30 x 70 500 : 2

190 + 45 1000 – 99 29 x 3 500 : 50

10000 – 101 2001 x 4

1000 – 89 599 x 2

En la última prueba, la estimación en la línea numérica (Opfer y Siegler, 2007),

se le presenta a los alumnos cada tarea en una línea numérica de 25 cm, en el extremo

izquierdo aparece el número 0 mientras que en el extremo derecho aparece el 1000. Los

números a estimar son: 2, 5, 18, 34, 56, 78, 100, 122, 147, 150, 163, 179, 246, 366, 486,

606, 722, 725, 738, 754, 818 y 938 que aparecen a una distancia de dos cm por encima

de la línea numérica en el centro de la misma. Estos números han sido seleccionados

para maximizar la distinción de la función logarítmica y lineal, minimizar la influencia

de algún conocimiento específico (como que 500 es la mitad entre 0 y 1000) y predecir

las diferencias en estimación en los dos grupos.

Procedimiento:

A los participantes se les administraron las dos primeras pruebas de forma

colectiva. En la prueba de cálculo mental, aparecían todos los espacios para escribir las

respuestas en una misma página. Se iba leyendo en voz alta cada ítem dos veces (por

ejemplo, noventa y nueve más cincuenta y cuatro; repetimos, a noventa y nueve le

sumamos cincuenta y cuatro) de esta manera minimizábamos el error en los alumnos.

Tras cada ítem se les dejaba diez segundos a los alumnos de cuarto, y siete segundos, a

los de quinto como intervalo de un ítem a otro. Aquí no se les permitió utilizar

algoritmos escritos en ninguna de las operaciones. La prueba de cálculo escrito se les

administró pasadas dos semanas de la prueba anterior. Los ítems presentaban un espacio

suficiente para que los alumnos lo usaran si querían realizar los algoritmos pertinentes.

No se hizo énfasis en si tenían el deber de utilizar ese espacio o no. El orden de


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presentación de las operaciones fue aleatorio tanto en la versión escrita como en la

prueba mental.

La última prueba, la de estimación numérica, se pasó de forma individual. Los

ítems se les presentaban de manera desordenada, uno por página, para que no tuvieran la

posibilidad de ver cuál sería el siguiente ítem. Al comienzo de la prueba se le decía:

“Hoy vamos a jugar a un juego con la línea numérica. Te voy a decir que me enseñes en

la línea numérica dónde van una serie de números. Tú decides dónde van situados esos

números, solo quiero que traces una línea en la recta numérica como esta (hacemos una

línea)” después de cada ítem le decimos “Esta línea numérica va desde el 0, en el

principio, hasta el 1000, en el final. Si el 0 está aquí y el 1000 está aquí, ¿dónde

pondrías el N?”

Resultados y discusión

Resultados pruebas de cálculo escrito y cálculo mental. Los resultados de las

pruebas mental y escrita fueron computados concediendo un punto por operación

correctamente resuelta y cero en el caso de una solución incorrecta. Además, en las

hojas de respuesta se analizaba si el alumno utilizaba algoritmo escrito o realizaba la

operación mentalmente.

En la tabla 3 se muestra la media y la desviación típica hallada en cálculo

escrito, cálculo mental y cálculo escrito realizado mentalmente. Como se puede

observar y, como era de esperar, en el cálculo escrito apenas existen diferencias, sin

embargo, en el cálculo mental y calculo escrito realizado mentalmente, los alumnos de

cuarto curso presentan una media inferior a los de quinto curso, esta diferencia es aún

más señalada en aquellas operaciones de cálculo escrito efectuadas mentalmente. Las

tareas de cálculo escrito presentan menor dificultad para ambos cursos que las

realizadas con cálculo mental (véase tabla 4).

Tabla 3. Media y Desviación típica en cálculo mental, cálculo escrito y cálculo escrito realizado mentalmente

4º 5º

Media Desviación Típ. Media Desviación Típ.

Cálculo escrito 17,34 2,96 17,84 1,60

Cálculo mental 12,26 4,61 14,65 3,96

Cálculo escrito

mentalmente

5,86 7,42 12,61 7,02


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La tabla 4 muestra los porcentajes de aciertos obtenidos en cada una de las

operaciones aritméticas propuestas y el número de alumnos que han superado cada ítem.

Como vemos en la tabla, las operaciones (2001 x 4) para cuarto curso y (30 x 5) para

quinto curso con un porcentaje de 98,8% y 100% respectivamente, son las que mejor

puntuaciones han obtenido. Mientras que la operación (10000 – 101) es la que mayor

dificultad ha presentado para ambos cursos con un porcentaje del 54,9% y 58,1% para

cuarto y quinto curso respectivamente.

También podemos ver los porcentajes de aciertos en las distintas operaciones

aritméticas que se les han presentado a los alumnos. Si la analizamos podemos observar

la dificultad que encuentran los alumnos en cada tarea, aun teniendo en cuenta que estas

operaciones son fáciles para alumnos de cuarto y quinto de primaria. La operación que,

por excelencia, ha resultado más complicada en cualquiera de las formas presentadas, ha

sido (10000 – 101) obteniendo los siguientes porcentajes para cuarto curso de cálculo

escrito, cálculo mental y cálculo escrito resulto a través de estrategias de cálculo mental

(54,9; 13,2 y 6,6 respectivamente). Sin embargo, como era de esperar, en quinto curso,

los resultados son un poco mejores pero siguen siendo los de menor valor (58,1%;

39,2% y 29,7% respectivamente).

Comparando dichos resultados, se ve como el cálculo escrito presenta mejores

resultados que las mismas operaciones presentadas en cálculo mental. Esto se debe a

que el alumnado aún es dependiente de su realización sobre el papel a través de

logaritmos escritos verticalmente. A estas edades los alumnos deberían tener adquiridas

estrategias de cálculo mental como el redondeo, doblar y reducir a la mitad, el ajuste…

En relación a las operaciones realizadas en las tareas de sumas se aprecia que la

mayoría realiza bien estos cálculos. Si nos centramos en las restas observamos que las

que presentan mayor dificultad es la operación citada anteriormente, esto quiere decir

que los alumnos intentan seguir, ya sea, en papel o en su cabeza, el algoritmo vertical

tradicional. En las multiplicaciones, se obtienen buenos resultados, a excepción de la

operación (30x70) que los alumnos olvidan multiplicar por uno de los ceros, ya que las

soluciones que se aprecian en la hoja de respuestas son 210 y no 2100. Por último, en

las tareas de división, los alumnos parecen no tener tanta dificultad pero sí que se

aprecia como utilizan estrategias como la de doblar y reducir a la mitad y como son

capaces de transferirla a distintas situaciones.


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Si analizamos estos resultados por operaciones observamos que dentro del

apartado de las sumas hay varios ítems que fomentan las estrategias de estimación y

aproximación. Los resultados obtenidos en estas operaciones fueron altos en ambos

cursos a excepción de la operación (190 + 45) que presenta un porcentaje de aciertos

más bajo que el resto de operaciones de este grupo. Tal y como era de esperar tras ver

los resultados obtenidos en las pruebas realizadas en el artículo realizado por Ineson

(2007). Se observa que los alumnos se sienten más confiados al realizar las operaciones

de forma escrita, el porcentaje baja cuando estas mismas operaciones se realizan

mentalmente. Aquí el porcentaje es algo mayor en quinto curso.

Centrándonos en las operaciones de sustracción apreciamos que todas usan

números cercanos a un múltiplo de 10. Por lo general, tanto en la parte escrita como en

la mental, se observan altos porcentajes a excepción de la operación (10000-101) como

mencionamos anteriormente. Los alumnos tienen adquiridas ciertas estrategias que no

son capaces de generalizar a situaciones semejantes por lo que el procedimiento a seguir

es la realización de algoritmos verticales dificultando su resolución en vez de utilizar

estrategias que simplifiquen el trabajo (a 10000 le restamos 100 y luego volvemos a

restar uno).

En las multiplicaciones vemos altos porcentajes de aciertos en cuarto y quinto

curso, pero nos llama la atención como dos ítems (30x5 y 30x70) que son tan

semejantes pueden presentar tanta diferencia en el porcentaje de aciertos ya sea de

forma escrita o mentalmente, que en este último se acentúan más aún. Para estos

alumnos la operación 30x5 es mucho más sencilla de realizar que 30x70. Aquí se

observa claramente que no son capaces de generalizar estrategias a otras situaciones tal

y como nos comenta Ineson (2007).

Por último, en las divisiones, hay operaciones que requieren estrategias de

duplicación y reducción a la mitad. Parece ser que para estos estudiantes no existe gran

dificultad a la hora de resolverlos pero la operación 500:50 presenta un porcentaje

menor que el resto del grupo y presenta una diferencia acentuada cuando tienen que

resolverlo mentalmente, en este caso, el porcentaje de aciertos baja considerablemente

en ambos cursos.


16

Tabla 4. Porcentajes de aciertos en las operaciones aritméticas

Operaciones

4º 5º

Escrito Mental Escrito

mental

Escrito Mental Escrito

Mental

Sumas 99+54 93,4 68,1 28,6 94,6 64,9 62,2

101+54 92,3 81,3 38,5 97,3 95,9 79,7

49+51 94,5 78 35,2 95,9 90,5 75,7

190+45 89 52,7 29,7 93,2 71,6 66,2

Restas 100-25 90,1 68,1 31,9 93,2 83,8 70,3

133-36 87,9 42,9 24,2 89,2 64,9 56,8

90-25 89 68,1 34,1 87,8 81,1 64,9

1000-99 63,7 49,5 23,1 70,3 59,5 45,9

10000-101 54,9 13,2 6,6 58,1 39,2 29,7

1000-89 73,6 37,4 29,8 86,5 51,4 48,6

Multiplicación 30x5 96,7 96,7 38,5 100 91,9 77

99x2 96,7 80,2 31,9 89,2 81,1 60,8

30x70 82,4 54,9 23,1 87,8 73 55,4

29x3 89 63,7 28,6 94,6 52,7 63,5

2001x4 98,9 68,1 34,1 97,3 83,8 67,6

599x2 95,6 57,1 27,5 89,2 60,8 58,1

Divisiones 100:2 90,1 81,3 39,6 97,3 94,6 78,4

102:2 90,1 71,4 31,9 97,3 82,4 74,3

500:2 84,6 45,1 29,7 90,5 74,3 71,6

500:50 79,1 47,3 26,4 74,3 63,5 55,4

Resultados prueba de estimación. En la tercera prueba se computaban los ítems

que cada alumno estimaba y su porcentaje de error obtenido a través de la siguiente

operación:

ǀ

Si a un alumno se le preguntaba por la localización del número 78, en la línea

numérica de 0 a 1000, y el marcaba un punto correspondiente al número 89, el

porcentaje de error es del 1,7%, [(89-78)/1000] x100.

Si analizamos la tabla 5 vemos como a los alumnos, ya sean de cuarto curso o de

quinto, presentan mayor dificultad en la realización de la tarea de estimación. Lo que sí


17

es cierto que a medida que el número se va haciendo más grande, a medida que se va

acercando al extremo donde aparece el 1000, los datos van siendo más exactos o menor

es el error de estimación. La dificultad está en los dígitos que se encuentran cercanos al

0 o números menores a 500.

Tabla 5. Datos descriptivos de la prueba de estimación en la línea numérica

Estimación

4º 5º

Números

estimados

Mínimo Máximo Media Des.Típ. Mínimo Máximo Media Des.Típ.

2 5 500 71,13 66,22 6 122 42,74 28,69

5 10 512,5 127,66 85,97 12,5 309 96,82 67,05

18 18 800 209,39 121,52 15,5 431 158,14 94,1

34 34 507 239,62 110,96 31 512,5 195,8 105,12

56 62,5 804 278,01 127,43 37,5 600 231,49 132,84

78 87,5 596 281,05 114,71 56 681 239,62 127,46

100 75 800 305,33 114,01 69 552 263,72 112,52

122 81 818 314,31 121,54 90,5 639 279,66 119,72

147 100 806 299,98 119,33 65 550 267,6 103,62

150 78 821 296,77 109,75 87 510 260,36 90,76

163 100 779 281,12 110,98 90 591 254,62 97,66

179 95 672 294,32 104,43 87,5 560 273,26 100,32

246 162,5 794 332,42 104,45 144 633 326,53 97,81

366 212,5 725 343,74 76,46 231 625 342,72 74,51

486 292 737 423,81 65,07 347 550 431,43 43,02

606 410 735 594,79 42,09 380 847 587,61 69,98

722 116 854 664,38 86,80 498 852 672,14 79,96

725 81 850 665,44 90,16 444 857 679,76 87,1

738 490 878 676,28 72,45 462,5 881 682,49 85,62

754 87,5 875 666,03 91,89 495 840 671,2 79,21

818 510 935 721,08 82,79 515 925 735,8 88,5

938 497 962,5 795,2 99,39 162,5 968 820,78 117,75

Como comentan Siegler y Opfer (2003) en su trabajo, la función de la

estimación de los estudiantes cambia a medida que van avanzando en edad empezando

con una función logarítmica que poco a poco, a medida que van creciendo en edad u

van adquiriendo conocimiento, destrezas y habilidades, se va convirtiendo, en una

función lineal.


18

En este caso, como era de esperar y como muestran las Figuras 1 y 2, los

alumnos de cuarto y quinto curso presentan una distribución lineal, lo que quiere decir

que a la hora de estimar ciertas cantidades los alumnos son más precisos y, si estas

cantidades son mayores, es decir, cercanas a 500 o más, la estimación será más exacta.

Figura 1. Función para la estimación en alumnos de cuarto de Educación Primaria

Figura 2. Función para la estimación en alumnos de quinto de Educación Primaria


19

Cada alumno evoluciona según sus experiencias vividas, va aprendiendo de todo

aquello que sucede a su alrededor, pues lo mismo ocurre con la estimación en la línea

numérica. Los alumnos de forma individual van aumentando su conocimiento y

usándolo en todas las ocasiones que lo requieren haciendo uso de él y generalizando a

otras situaciones cuando es necesario. En el caso de la estimación y su representación,

como hemos dicho, va aumentando la exactitud en cada ítem ya que va creciendo la

confianza en sí mismo.

La Tabla 6 muestra la correlación existente entre los distintos elementos

estudiados en cuarto de Educación Primaria, como son la puntuación total de la prueba

escrita, la puntuación total de la prueba mental, la puntuación total de la prueba escrita

realizada mentalmente y el porcentaje de errores en estimación en la línea numérica.

Como era de esperar, existe una correlación significativa positiva entre el cálculo

mental y el cálculo escrito, a medida que obtenemos mayor puntuación en la prueba de

cálculo escrito, mayor será la puntuación en el cálculo mental. Lo mismo ocurre con la

prueba escrita realizada mentalmente, a medida que vamos obteniendo mejores

resultados en la prueba mental, mejor puntuación sacaremos en la prueba escrita

realizada mentalmente. Y, si nos centramos en el porcentaje de errores, apreciamos una

correlación significativa negativa entre esta y la prueba de cálculo escrito y cálculo

mental. Es lógico que a mayor puntuación en estas pruebas, el porcentaje de errores será

menor.

Tabla 6. Correlación puntuación total de prueba escrita, prueba mental, prueba escrita realizada mentalmente y porcentaje de error de estimación en línea numérica en cuarto de Educación Primaria

Si seguimos con el análisis, en la Tabla 7 aparecen las correlaciones que existen

en quinto de Educación Primaria entre la puntuación total de la prueba escrita, la

puntuación total de la prueba mental, la puntuación total de la prueba escrita realizada

mentalmente y el porcentaje de errores en estimación en la línea numérica. En este caso,

la correlación existente entre la puntuación de cálculo escrito y mental es menor que en

cuarto, sin embargo, la correlación entre la prueba de cálculo escrito realizado


20

mentalmente y la de cálculo mental es significativamente mayor que en curso inferior.

Y, sigue siendo significativa la relación entre la prueba mental con el porcentaje medio

de estimación, sin embargo, es poco significativa esta relación con la puntuación total

de la prueba escrita realizada mentalmente.

Tabla 7. Correlación puntuación total de prueba escrita, prueba mental, prueba escrita realizada

mentalmente y porcentaje de error de estimación en línea numérica en quinto de Educación Primaria

A través de este estudio hemos podido conocer las diferencias en el rendimiento

entre el cálculo escrito y cálculo mental, pudiendo identificar a través de las pruebas

realizadas las dificultades que presentan estos alumnos en las tareas, para así poder

presentar propuestas de mejora en ejercicios de cálculo escrito y cálculo mental y para

llevar a todos los ámbitos de nuestro día a día los conocimientos sobre las diferentes

estrategias de cálculo mental. De esta manera puede dejarse a un lado la gran

dependencia existente de realizar los cálculos de la forma tradicional, con algoritmos

verticales tradicionales.

Como se ha podido comprobar existen diferencias entre ambos grupos, los

alumnos de cuarto curso y los de quinto, esto probablemente se deba a la interiorización

de las diferentes estrategias y su transferencia al resto de tareas. Por ello, debemos

incidir en el aprendizaje de estos métodos para la resolución de problemas. Tal y como

señalan Gómez Alfonso (1995) e Ineson (2008) un elemento primordial para que los

alumnos adquieran dichas estrategias es la formación continua de los docentes.

Respecto a la estimación se puede decir que es una tarea que va en consonancia

con el cálculo mental ya que se requieren de estrategias para realizar una buena

estimación. Esta tarea va evolucionando con los años y la experiencia, tal y como

comentamos anteriormente, las estrategias pueden ser aprendidas a través de alguien o

pueden ser descubiertas por el propio sujeto. Es por ello que los docentes deben hacer

hincapié en estas estrategias para desarrollar el conocimiento matemáticos de los


21

alumnos. Si en los libros de texto no aparecen apartados para trabajar esta parte de las

matemáticas, será el docente junto con las familias los que se formarán para desarrollar

en ellos este aspecto.

Como hemos visto, las matemáticas forman una parte fundamental en nuestras

vidas por lo que debemos desarrollar en las escuelas y en casa el conocimiento

matemático para que nuestros alumnos sepan desenvolverse de la mejor forma posible

en diversas situaciones.

Conclusiones

Los alumnos evaluados pertenecen a los cursos de cuarto y quinto de Educación

Primaria por lo que, en general, presentan un escaso repertorio de estrategias para el

desarrollo de las operaciones. Esto puede ser observado directamente en los resultados

de las pruebas realizadas, por un lado, en las pruebas de cálculo mental y cálculo

escrito, vemos como las operaciones están divididas en cuatro grupos (sumas, restas,

multiplicaciones y divisiones). En el primer grupo, existen tres ítems que hacen

referencia a estrategias de estimación y aproximación ya que se nos presentan dígitos

cercanos a 100. En las operaciones de sustracción, aparecen números cercanos a

múltiplos de 10, por lo que sería conveniente el uso de estrategias de reducción, ajuste,

redondeo, etc. En los ítems del grupo de las multiplicaciones, aparecen operaciones que

requieren, por ejemplo, el redondeo o el ajuste. Y, en las divisiones, aparecen también

operaciones que para su resolución sería necesario el empleo de estrategias de

duplicación y reducción a la mitad. A la vista de los resultados obtenidos, se puede decir

que, los alumnos de quinto, presentan un porcentaje más alto en el uso de estrategias

que los alumnos de cuarto curso, ya que el tipo de operaciones que presentan las

pruebas de cálculo mental y cálculo escrito presentan poca dificultad si se realizan

mentalmente a través de estrategias como las que hemos mencionado anteriormente, sin

embargo, presentan mayor dificultad si se resuelven de forma tradicional a través de

algoritmos verticales.

Los alumnos pertenecientes a nuestra muestra presentan diferencias entre cálculo

mental y cálculo escrito obteniendo mayor puntuación las operaciones de cálculo escrito

alcanzando el 80% y 90% de aciertos, mientras que las operaciones que se resolvieron

mentalmente oscilan desde el 40% al 80%. Teniendo en cuenta que los alumnos que

cursan quinto curso obtienen unos porcentajes algo más elevados que los de cuarto. Si


22

hacemos referencia a las operaciones de cálculo escrito que se han resuelto

mentalmente, hemos de decir que, los porcentajes son inferiores y oscilan entre el 20%

y el 40% en cuarto y de 45% a 70% en quinto, aproximadamente. Los alumnos se

sienten más cómodos y seguros realizando los algoritmos de forma vertical con lápiz y

papel.

Haciendo referencia a las operaciones aritméticas según el curso en el que se

encuentre el alumnado, podemos decir que, para los alumnos de cuarto, las operaciones

de multiplicación presentan menor dificultad. Dentro de este grupo, la operación de

menor complicación es 2001x4 y, la más compleja, 30x70. A continuación, le sigue las

operaciones de adición donde el ítem 49+51 manifiesta un mayor índice de aciertos

mientras que la operación 190+45, por el contrario, obtiene resultados más bajos. En

tercer lugar, analizando las divisiones propuestas vemos que las operaciones 100:2 y

102:2 son las más sencillas de resolver, sin embargo, el ítem 500:50 presenta mayor

dificultad para su resolución. En último lugar, las sustracciones parecen ser las que

mayor dificultad presentan para estos estudiantes obteniendo la operación 100-25 mayor

puntuación y, en el extremo contrario, la operación 10000-101 la operación más

compleja por excelencia.

Atendiendo a los alumnos que pertenecen a quinto curso de Educación Primaria

encontramos resultados similares pero, en estos participantes, encontramos una

diferencia, para ellos, las operaciones de adición requieren menor trabajo cognitivo,

siendo éstas las operaciones más sencillas de resolver estando la operación 101+54 en

cabeza con la más alta de las puntuaciones dentro de este grupo, le sigue las

multiplicaciones encontrando el ítem 30x5 como el más sencillo de resolver, ya que

todos los alumnos lo han resuelto sin equivocación alguna pero, en este caso, al igual

que los alumnos pertenecientes a cuarto, 30x70 ha sido la operación con mayor

dificultad a la hora de resolverlo. En tercer lugar, aparecen las divisiones que, al igual

que en el caso del anterior grupo, los ítems 100:2 y 102:2 presentan altas puntuaciones y

500:50 es la operación que presenta mayor dificultad. En este caso coinciden ambos

cursos en las operaciones que requieren menor trabajo cognitivo y en aquellas que

presentan alta dificultad de resolución. Por último, las operaciones de sustracción son

las más complicadas para nuestra muestra, dentro de estas 100-25 resulta ser la que

mayor puntuación ha obtenido y 10000-101la que menos, compartiendo resultados con

cuarto curso.


23

Ambos grupos encuentra baja dificultad en la resolución de la prueba escrita

debido a la seguridad que este tipo de ejecución les da al poder resolverlas de forma

tradicional poniendo los algoritmos en un papel de forma vertical y haciendo un uso

escaso del gran repertorio de estrategias que existen para realizar los cálculos de forma

ágil. Como se puede comprobar estos alumnos tienen muy arraigados a ellos el rol

tradicional para la resolución de los algoritmos por lo que deberían de seguir

desarrollando el uso de estrategias y su posterior generalización a otras situaciones

semejantes que lo requieran.

Respecto a la tarea de estimación ambos grupos (cuarto y quinto de Educación

Primaria) presentan resultados similares. Estos alumnos presentan mayor complejidad a

la hora de estimar cantidades pequeñas, aquellas que van desde el inicio (0) hasta la

mitad de la línea numérica (500) y mayor facilidad para estimar aquellos dígitos que se

encuentran en el resto de la línea (de 500 a 1000) como bien se puede apreciar en la

Tabla 5. En este caso, los resultados del grupo de quinto curso, son más precisos que los

alumnos de cuarto.

Si relacionamos las pruebas realizadas para ver la correlación existente entre

ellas (puntuación total obtenida en cálculo escrito, puntuación total obtenida en cálculo

mental, puntuación total obtenida en la prueba de cálculo escrito pero realizado

mentalmente y la media del error en estimación en la línea numérica) podemos ver

como existe una correlación significativa positiva entre cálculo escrito y mental, siendo

mayor la relación con el cálculo mental. En el grupo de cuarto percibimos que la

correlación es significativa entre cálculo mental y escrito pero con puntuaciones más

bajas que el curso anterior, aumentando la puntuación en la correlación existente entre

cálculo mental y escrito realizado mentalmente. Al igual que ocurre con el grupo de

cuarto curso, apreciamos una correlación negativa, como era de esperar, mayor entre

cálculo mental y los errores en estimación.

Para finalizar, tanto los alumnos de cuarto como los de quinto de Educación

Primaria, tras analizar su distribución en estimación, encontramos que ambos grupos

presentan una función lineal debido a que cuanto más mayores van siendo, mayor es su

función cognitiva, más experiencias viven con su alrededor y mayor es su precisión en

estimación, de ahí que presenten una función de este tipo y no logarítmica, que sería


24

más común en grupos inferiores como primero y segundo de primaria (Opfer y Siegler,

2007).

Los resultados obtenidos sugieren la idea de seguir estudiando diferentes

aspectos en el futuro sobre distintos matices que pueden ser aplicados a estos resultados,

como el desarrollo de estrategias específicas que ayuden a mejorar el desarrollo

cognitivo. Otra sugerencia que plantean los resultados a tener en cuenta sería que la

evaluación de la estimación se midiera a través de los aciertos obtenidos por los

alumnos en la prueba en lugar de los errores.

En el presente estudio encontramos ciertas limitaciones a tener en cuenta que

pueden ser consideradas en futuros trabajos como la realización de comparaciones entre

diferentes grupos, ampliación de la muestra o la aplicación a otros ámbitos.


25

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