=

=

+)0(f)1(fn

0111

)n(f)1n(f )4(.

)0(f)1(f

251

51

5251

51n

2510

02

51

11

251

251

−−

−−

−

+

−+

−−

−−

−

+

−+=

251

51

5251

51

2510

02

51

112

512

51

0111

−+=

112

512

51P

=

0111

A

=

+=

−

11

)0()1(

,)(

)1()1(

)(0111

ff

ondenf

nfnf

nf

DETERMINAÇÃO DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ATRAVÉS DE

MÉTODOS MATRICIAIS

Alessandra F. Sostisso Eliete Biasotto HauserPontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – Departamento de Matemática

Porto Alegre, RS.

E-mail: alesostisso@gmail, E-mail: eliete@pucrs.br

RESUMO

O principal objetivo desse trabalho é determinar o n-ésimo termo da seqüência de Fibonacci utilizando dois algoritmos que exigem aplicar conceitos e teoremas da Álgebra Linear. Primeiramente, a equação de diferenças que representa a seqüência a seqüência de Fibonacci é representada matricialmente. A solução, conhecida como Fórmula de Binet, é obtida via determinação de autovalores, autovetores, diagonalização e cálculo das iteradas de matrizes. No segundo método, definimos a Matriz de Fibonacci Fn, o determinante de Fn det (Fn). Com auxílio do software Matlab simularemos det (Fn+1). = det (Fn-1) + det (Fn), para elevados valores de n, como uma nova maneira de gerar a sequência de Fibonacci.

Introdução

Leonardo de Pisa, assim chamado por ser natural da cidade de Pisa, também conhecido como Leonardo Fibonacci (1175 – 1250), talvez tenha sido um dos mais importantes matemáticos do século XIII. Fibonacci obteve sua educação fora de Pisa. Em 1202, quando retornou, publicou a obra Liber Abaci (Livro do Ábaco), que trata da álgebra e da aritmética através de problemas elementares. Neste livro, um problema sobre coelhos, ficou conhecido por gerar uma seqüência. A ela deu-se o nome de seqüência de Fibonacci.

A seqüência onde a soma dos termos adjacentes equivale ao termo seguinte é chamada de seqüência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 45,79, representada pela equação de diferenças:

f(n+1)= f(n)+f(n-1), onde f(0) = 1 e f(1)= 1 (1) Nosso objetivo é explorar como podemos encontrar um certo número n de Fibonacci, sem começar

por f(0) = 1 e f(1)= 1, trabalhando para todo o processo a partir de f(n).

Método1 : Equação de Diferenças em Forma Matricial e Análise Espectral

Consideremos a representação matricial da equação de diferenças (1):

(2)

Obtemos 2

511

+=λ e 2

512

−=λ ,os autovalores da matriz diagonalizável, A = P D P-1,

onde as colunas da matriz são os autovetores de A. Assim:

(3)

Como An = P Dn P–1, temos:

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ISSN 1984-8218

nnnnf

+≅

−−

+=2

515

12

512

515

1)(

+≠+≠≠+=−

+==

=

1 ,1 , ,01 ,1

1 ,1 ,1

),(

ijjijisejise

ijsejise

jiFn

Da equação (4). obtemos o n-ésimo termo da seqüência de Fibonacci.

(5)

A fórmula (5) é notável por ser definida em termos do número irracional raiz de cinco, apesar de os números de Fibonacci serem todos números inteiros. Ao substituirmos alguns valores de n podemos constatar como os termos com raiz de cinco se cancelam e o resultado final f(n) é um número inteiro. Essa fórmula apresentada é conhecida com Fórmula de Binet.

O segundo termo da fórmula de Binet tende para zero quando n tende ao infinito e portando o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci é o número inteiro mais próximo do primeiro termo da Fórmula de Binet, pois raiz de cinco é irracional.

Método 2: Números de Fibonacci Gerados por Determinantes da Matriz de Fibonacci

Consideremos a matriz de Fibonacci Fn, de ordem nxn, com elemento genérico definido por:

Com o auxílio do software Matlab. geramos os números de Fibonacci, apartir da seqûencia de determinantes, det(Fn), cujos resultados constam na tabela 1.

Tabela1: de Fibonacci Gerados por Determinantes da Matriz de Fibonacci

n det(Fn) 0 11 12 23 3

20 1094621 17711

598 6,8251 e+124599 1,1043 e+125

998 2.6863 e+208999 4.3466 e+208

1203 1,8691 e+2511204 3,0243 e+251

Os resultados da tabela 1 condizem com os fundamentos teóricos e percebemos que, para n=1, 2, 3, ... )nFdet()1nFdet()1nFdet( +−=+ .

Como sequência do presente estudo, pretendemos aplicar propriedades da sequência de Fibonacci em análise de tendência, explorando o comportamento de ações no mercado monetário. Por exemplo, a partir

dos resultados da tabela 1 , obtemos o número de ouro assim: 618,1)1kFdet(

)kFdet(

klim =

−∞→.

Referências

[1] M. D. Carl, “ Matrix Analysis and Applied Linear Álgebra”, SIAM, Philadelphia, 2000.

[2] P. David, “Álgebra Linear” , Editora Thomson, São Paulo, 2004.

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ISSN 1984-8218