differential equation

Differential Equation

Prof. Seewhy Lee

학습목표 : 미분방정식이란게 뭐냐 ??

아… 방정식도 미분도 어려운데ㅜ . ㅜ ;

ㅠ

Prerequisite

yxxey x ln)exp(

)1(1

1 1

axa

dxx aa

)ln(1

baxabax

dx

방정식의 Setup 과 풀이

방정식의 풀이는 매우 다양하게 패키지로 나와 있다 .

방정식의 설정은 우리의 몫

패키지의 사용 또는 해석적 풀이에는 어느 정도의 기본적 지식이 필요

미분방정식

대수방정식

Equation & Solution

편미분방정식

상미분방정식방정식

해석적 (Analytical)

수치적 (Numerical)

방정식의 풀이


편미분방정식 : 둘 이상의 변수를 포함하고 , 그에대한 편미분을 포함하는 방정식

상미분방정식 : 단일 변수만 있는 미분방정식

우리는 상미분방정식만 배운다 .

Order

Order: 방정식에서 가장 많이 미분한 횟수

주로 등장하는 것은 1 계 또는 2 계 미분방정식

1 계 미분방정식의 일반해와 특수해

1 계 미분방정식의 일반해는 1 개의 상수를

포함

1 개 의 초 기 조 건 이 주 어 지 면 그 상 수가

결정됨

일반해 : 상수를 포함하는 해

특수해 : 초기조건에 의해 상수가 결정된 해

1 계 미방 예

cxy


General Solution

Initial Condition

Special Solution

1'y

1)0( y

1xy

2 계 미방 예


General Solution

Initial Condition

Special Solution

0"y

1)0(',2)0( yy

2xy

21 cxcy

변수분리형 (p.286)

),( yxFdx

dy1 계 미분방정식의 일반적 형태

)(

)(

yg

xf

dx

dy변수분리형 1 계 미분방정식

dxxfdyyg )()(풀이 : 적분 문제와 동일

Example ( 표지 )

kGdt

dG물질의 증가율이 현재 양에 비례

dtkG

dG변수분리

cktG ln적분

초기조건 적용하고 정리 kteGG 0

1 계 선형 미분방정식 (p.288)

First Order Linear Differential Eq. #1/2 (p.288~289)

)()(' xQyxPy

)()()()(')( xQxHyxPxHyxH

)(')()( xHxPxH

)()()('')( xQxHyxHyxH

)()()')(( xQxHyxH

dxxQxHyxH )()()(

만약 라면

dxxQxHxH

y )()()(

1Solution

First Order Linear Differential Eq. #2/2 (p.288~289)

)(')()( xHxPxH

dxPH

dH

dxPH )ln(

dxPH exp Integrating Factor

HPdx

dH

An Example

1' yy

cedxeye xxx

)exp(1exp)( xdxxH

1 xcey

xxx eyeye '

xx eye )'(

Another Example

)exp(2' 2xxyy

cxyx )exp( 2

2exp2exp)( xdxxxH

2

)ln(

x

cxy

1)exp()2(')exp( 22 yxxyx

1]')[exp( 2 yx

예제 1.4 (p.289)

32' xyx

y

cxyx

22 2

11

2

1)ln(2exp

2exp)(

xxdx

xxH

xyx

yx

32

2'

1

24

2

1cxxy

추가문제 1

0' ayy

1)2(,2)1( yy

y(0) = ?

추가문제 2

0' xyy

2. 적분인자 방법으로 풀이하시오 .

1. 변수분리 방법으로 풀이하시오 .

추가문제 3

1)0(,2' yxxyy

)1(2

1:Ans

2xey

추가문제 4

04.0)1(,6' 2 yxyy

2328

1:Ans

xy

추가문제 5

0)5(,)42(' yxey y

)44ln(:Ans 2 xxy

추가문제 6

2)1(,'2

yx

yy

xy

ln5.0

1:Ans

추가문제 7

yyx 2'2

)/2exp(:Ans xcy

추가문제 8

yxy 4'

4:Ans cxy

Professor Seewhy Lee

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