บทที่ 1

บทน ำ

นิยำม 1 สมกำรเชิงอนุพันธ์ (Differential equation)

สมกำรเชิงอนุพันธ์ (Differential equation) คือ สมการซึ่งมีอนพุันธ์ (derivative) หรือ

ผลต่างอนุพันธ์ (differential) ของตัวแปรตาม (dependent variable) หนึ่งตัวหรือ

มากกว่าเทียบกับตัวแปรอิสระ (independent variable) หนึ่งตัวหรือมากกว่า ปรากฏอยู่

ในสมการ

ตัวอย่าง

𝑑2𝑦𝑑𝑥2 + 𝑥𝑦 (𝑑𝑦

𝑑𝑥)

2= 0, (𝑑4𝑠

𝑑𝑡4)2

+ (𝑑2𝑠𝑑𝑡2)

5+ (𝑑𝑠

𝑑𝑡)

2= 0

𝑦′′ + 𝑦 = 𝑒𝑥, 𝜕𝑉𝜕𝑠

+ 𝜕𝑉𝜕𝑡

= 𝑉

𝑑4𝑥𝑑𝑥4 + 5 𝑑2𝑥

𝑑𝑥2 + 3𝑥 = sin 𝑡, 𝜕2𝑉𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑉

𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑉𝜕𝑧2 = 0

นิยำม 2 สมกำรเชิงอนพุันธ์สำมัญ (Ordinary differential equation) และ สมกำร

เชิงอนุพันธ์ย่อย (Partial differential equation)

สมการเชิงอนพุันธ์ทีม่ีอนุพันธ์ปรากฏอยู่ในสมการเป็นอนุพันธ์สำมัญ (Ordinary

derivative) ของตัวแปรตามหนึ่งตัวหรือมากกว่าเทียบกับตัวแปรอิสระเพยีงหนึ่งตัวเทา่นั้น

เรียกว่า สมกำรเชิงอนุพันธ์สำมัญ (Ordinary differential equation)

แต่ถ้าอนุพันธ์ปรากฏอยูใ่นสมการเป็นอนพุันธ์ยอ่ย (Partial derivative) ของตัวแปรตาม

หนึ่งตัวหรือมากกว่าเทยีบกับตัวแปรอิสระมากกว่าหน่ึงตัว เรียกว่า สมกำรเชิงอนุพันธ์ย่อย

(Partial differential equation)

นิยำม 3 อันดับ (Order)

อันดับ (Order) ของสมการเชิงอนุพันธ์ คือ อันดับของอนุพันธอ์ันดับสงูสุดที่ปรากฏใน

สมการ

นิยำม 4 ระดับข้ัน (Degree)

ระดับขั้น (Degree) ของสมการเชิงอนพุันธ์ คือ ตัวเลขช้ีก าลังของอนุพนัธ์อันดับสูงสุดที่

ปรากฏในสมการ เมือ่ตวัเลขช้ีก าลังของอนุพันธใ์นสมการเป็นจ านวนเตม็บวก

สมการเชิงอนพุันธ ์ ชนิด order Degree ตัวแปรอิสระ ตัวแปรตาม

𝑑2𝑦𝑑𝑥2 + 𝑥𝑦 (

𝑑𝑦𝑑𝑥

)2

= 0

𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 − cos 𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝑦′′′ + 𝑥𝑦′′ + 2𝑦(𝑦′)2 + 𝑥𝑦 = 0

(𝑦′′)23 = 2 + 𝑦′

𝑑2𝑠𝑑𝜃2 = √𝑠 + (

𝑑𝑠𝑑𝜃

)24

𝑦′ + 𝑥 = (𝑦 − 𝑥𝑦′)−3

𝜕𝑉𝜕𝑠

+𝜕𝑉𝜕𝑡

= 𝑉

𝜕2𝑉𝜕𝑥2 +

𝜕2𝑉𝜕𝑦2 +

𝜕2𝑉𝜕𝑧2 = 0

mum

① 21 x y

y -- fix )

2 I X y3

นิยำม 5 สมกำรเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น (Linear differential equation)

เราเรยีก สมการเชิงอนพุันธ์ ว่า สมกำรเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น (Linear differential

equation) ถ้า

1) ทุกตัวแปรตามและ ทุกอนุพันธ์ของตัวแปรตามที่ปรากฏในสมการมีเลขชี้ก าลังเป็น 1

เท่านั้น

2) ไม่มีพจน์ในรูปตัวแปรตาม คณูกับ อนุพันธ์ของตัวแปรตามในสมการ

3) ไม่มีพจน์ในรูปฟังก์ชันอดิสัย (transcendental function) ของตัวแปรตาม หรือ

ของอนุพันธ์ของตัวแปรตามในสมการ

และ สมการที่ไม่ใช่สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น เรียกว่า สมกำรเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น (non-

linear differential equation)

เช่น

𝑑2𝑦𝑑𝑥2 + 8

𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 5𝑦 = 0

𝑑4𝑦𝑑𝑥4 + 𝑥2 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 + 𝑥3 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑥𝑒𝑥

-

a✓

✓

𝑑2𝑦𝑑𝑥2 + 6

𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 9𝑦2 = 0

𝑑2𝑦𝑑𝑥2 + 6 (

𝑑𝑦𝑑𝑥

)2

+ 9𝑦 = 0

𝑑2𝑦𝑑𝑥2 + 6𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 9𝑦 = 0

𝜕𝑦𝜕𝑡

=𝜕2𝑦𝜕𝑥2

(𝜕𝑦𝜕𝑡

)2

=𝜕2𝑦𝜕𝑥2

c x

x

C x

✓

Cx

โดยทั่วไป เราเขยีนสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับ 𝑛 ในรูป

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦(𝑛)) = 0

โดยที่ 𝐹 เป็นฟังก์ชันที่มี 𝑛 + 2 ตัวแปร คือ

ถ้าสมการเชิงอนุพันธอ์นัดับ 𝑛 เป็นสมการเชิงเสน้ จะเขียนในรูป

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝐺(𝑥)

เมื่อ 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 และ 𝐺 เป็นฟังก์ชันที่นิยามบนช่วงใดช่วงหนึ่งของจ านวนจริง

นิยำม 6 ผลเฉลยชัดแจ้ง (explicit solution) และ ผลเฉลยปริยำย (implicit solution)

ฟังก์ชัน 𝑦 = 𝑓(𝑥) เป็นผลเฉลยชดัแจ้ง (explicit solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦(𝑛)) = 0

ถ้า 𝑦 = 𝑓(𝑥) สอดคลอ้งสมการเชงิอนุพันธ์นี้

และ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 เป็นผลเฉลยปริยำย (implicit solution) ของสมการเชิงอนุพนัธ์

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦(𝑛)) = 0

ถ้า 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 สอดคลอ้งสมการเชงิอนุพันธ์นี้

x. y , y'

, y"

,. . .

, y' "

ตัวอย่าง 1 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนพุันธ ์𝑦′ + 𝑦 = 0

วิธีท า

mum

- X

y = e

- X

y'

= - e

unwon y'

+ y=

-e-

''

+e-

×

= o Noor,

.

'

. y =I

×safer woman

atavism Raimondo

ตัวอย่าง 2 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพนัธ์ 𝑦𝑦′ + 𝑥 = 0

วิธีท า

b

No v

gcx, y ) = xdtyd - 16=0 - i )

day,

( x 't y'

-16 ) =

dado)

2X -1299"

= o

yy'

tx .

- o

runners

on Ny =I16-x[

y,

= fix ) = M¥2 outro L - 4,4 ]

In

yz .

- fix ) =-116 - X

- n

:. y ,

no : yzsdvwobaowfabbisvoidwwovoh.SI . 4,4 ]#

nerd H

y'

-12 Xy - X

'd=C

bdvwoboovdfnvvoiyte-2x-2yowmdalystzxy-x3-dq.cc,39

" "

-

zy4'

+ 2x y'

-12g- 2x -

- O

y

'

fgydtzx ) -- 2x -

zy

y'

= 2×-24 r

344 2X

- โดยทั่วไปแล้ว การนยิามผลเฉลยชัดแจ้งจากผลเฉลยปรยิาย ไม่อำจท ำได้เสมอไป

*การทดสอบว่า ฟังก์ชันปริยายนั้นๆ จะเป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนพุนัธ์ที่ก าหนดให้

หรือไม่ ท าไดโ้ดย

Æ หาอนพุันธ์เทียบกับตัวแปรอิสระของฟังก์ชันปริยายนั้น

Æ แลว้ดูว่าได้เป็นสมการเดียวกันกับสมการเชิงอนุพันธ์หรือไม ่

เช่น

𝑦3 + 2𝑥𝑦 − 𝑥2 = 𝐶 เป็นผลเฉลยปรยิายของสมการเชิงอนพุันธ์

𝑦′ =2𝑥 − 2𝑦

3𝑦2 + 2𝑥

Î จะตรวจสอบโดย

พิจารณาสมการเชิงอนพุันธ์สามัญอันดับ 1

𝑑𝑦𝑑𝑥

= 2𝑥 ---------------------------------(1)

มีผลเฉลย คอื

โดยทั่วไป

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝐶 เมื่อ 𝐶 เป็นค่าคงตัวค่าจรงิใดๆ

เป็นผลเฉลยของ (1)

ซึ่ง 𝐶 เรียกว่า ค่าคงตัวไมเ่จาะจง (arbitrary constant) มี 1 ตัวในผลเฉลย

เรียกผลเฉลย 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝐶 ซึ่งมีค่าคงตัวไม่เจาะจงวา่ ผลเฉลยท่ัวไป (general

solution)

- เมื่อก าหนดค่าแน่นอนให้ค่าคงตัวไม่เจาะจง เช่น ให้ 𝐶 = 1 หรือ 𝐶 = 2 ตัวใด

ตัวหนึ่งเพียงตัวเดียว

ผลเฉลยที่ได้จะเรียกว่า ผลเฉลยเฉพำะ (particular solution)

y ,Ix ) = x

2

421×7=

xdt I

y,

1×7 = 442

Tpinmotifs 107 : 07

พิจารณา

สมการเชิงอนพุันธส์ามญัอันดับหนึ่ง

(𝑦′)2 − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0

มีผลเฉลยทั่วไปในรูป

𝑦 =

ซึ่งเป็น วงศ์ของเส้นตรง (family of lines)

คือ หน่ึงคา่ของ 𝐶 ที่ก าหนดให้ 𝑦 = 𝐶𝑥 − 𝐶2 จะเป็นเส้นตรง 1 เส้น

โดยการทดสอบ จะเห็นว่า 𝑦 = 𝑥2

4 เป็นผลเฉลยของสมการ

(𝑦′)2 − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0

เรียกผลเฉลยนี้ว่า ผลเฉลยซิงกูลำร์ (singular solution)

*ผลเฉลยนี้ไมอ่าจหาได้จากการก าหนดค่าของ 𝐶 ในผลเฉลยทั่วไป 𝑦 = 𝐶𝑥 − 𝐶2

Æ โดยทั่วไป ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนพุันธ์สามัญอันดับ 𝑛 จะมคี่าคงตัวไม่เจาะจง

จ านวน 𝑛 ค่า

ในการหาผลเฉลยเฉพาะจากผลเฉลยทั่วไป ต้องมีเงื่อนไขก าหนดมาให้ ซึ่งกำรก ำหนด

เงื่อนไข ท ำได้ 2 แบบ ดังนี้

1. ก าหนดเงื่อนไข ณ จุดใดจุดหนึ่งเพียงจุดเดียว เรียก เงื่อนไขเริม่ต้น (initial

condition) หรอื เงือ่นไขขอบเขต ณ จุดเดยีว (one point boundary

condition) เช่น

ก าหนด 𝑦(1) = 2, 𝑦′(1) = 3 คือ การก าหนดค่าที่ 𝑥 = 1 เพียงจุด

เดียว

2. ก าหนดเงื่อนไขมากกว่า 1 จุด เรียก เงื่อนไขขอบเขต (boundary condition) เช่น

𝑦(1) = 2, 𝑦(3) = 10 คือ การก าหนดคา่ที่ 𝑥 = 1 และที่ 𝑥 = 3