dinamica il corpo rigidopolysense.poliba.it/wp-content/uploads/2020/02/lezione... · 2020-02-21 ·...
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Il corpo rigido
Corpo rigido: Insieme di punti materiali sottoposti ad una interazione mutua
tali da mantenerli in posizione fissa l’uno rispetto all’altro
Definisce la posizione del corpo
Definisce l’orientazione rispetto P1
In totale 6 parametri per determinare la
posizione nello spazio
6 gradi di libertà
),,(
),,(
2222
1111
zyxP
zyxP
Inoltre:
Corpo rigido discreto o continuo
P1
P2
m
m2
m1
Dinamica Dinamica
Determinazione del CM
Per ogni elementino dV
densità dV
dm
V
dVdmm
VdVdVmVV
Vm
Attenzione nel caso più generale:
Se il corpo è omogeneo : ρ è sempre lo stesso per ogni elementino
zyx ,,
dV
In ogni elementino dm
Dinamica Dinamica
Determinazione del CM
i
ii
CMm
rmr
m
dVr
dm
dmrrCM
Se = costante
dVrV
dVrm
rCM
1
Come al solito:
dVzV
zdVyV
ydVxV
x CMCMCM
1;
1;
1
Dinamica Dinamica
Determinazione del CM
l
m
dl
dm
S
m
dS
dm
dxxl
xCM
1
Densità lineare
corpi omogenei
Densità superficiale
corpi omogenei
Ad esempio, per un corpo a densità lineare
dl
l
dSS
Dinamica Dinamica
Determinazione del CM
dxxl
xCM
1
dxx
lm
dxx
dm
dxxxCM
1
l
CM
ldxx
lx
0 2
1
dx
l
dm
In generale: se un corpo omogeneo è simmetrico rispetto ad un
punto, il CM coincide con il centro di simmetria
x
Infatti
!!!
CM CM CM
Dinamica Dinamica
Il corpo rigido
Un corpo rigido può traslare:
o ruotare:
o fare un moto di rototraslazione:
Dinamica Dinamica
Moto di traslazione
Il moto è caratterizzato dalla forza esterna CMest aMF
Le forze sono applicate al applicate al CM
m1
m2
CM
F1
F2 F1
F2
F
m1 m1 m1
m2 m2 m2
CM CM CM
2
2
1CMK
CMtot
vME
vMP
Dalla (1) si determina !
(1)
CMa
Dinamica Dinamica
Moto di rototraslazione
CMest aMFLe forze NON sono applicate al applicate al CM, ma il
moto del CM resta uguale
m1
m2
CM
F1
F2
F1
F2
F
m1 m1
m1
m2 m2 m2
CM CM CM
(1)
Dinamica Dinamica
Inoltre nel sistema del CM, moto di pura rotazione
CM
Si può determinate la velocità di
rotazione intorno al CM
Moto Rotatorio: Cinetica
Moto Traslatorio
Moto Rotatorio
Traiettoria dello stesso tipo (circonferenza) per tutti i punti del corpo
Centro della traiettoria uguale per tutti i punti
Rem: CORPO RIGIDO: Insieme di particelle elementari (dm) pensati come puntiformi
Le distanze reciproche tra i vari punti non variano
Asse di rotazione Fisso
ASSE: Luogo dei punti equidistanti
dalle circonferenze
L’angolo si misura come: r
S Verso Antiorario 0
In RADIANTI 1803,571 radrad
Ogni traiettoria è circolare: variabile curvilinea S
S
s
Si introduce anche un’accelerazione angolare
2
2
0 dt
d
dt
d
tlim
t
avx
,, ,,TRASLAZIONE ROTAZIONE
… ma sono dei vettori ?
1. e non sono vettori (non verificano le leggi di somma vettoriale)
2. ed sono vettori
Che legame esiste tra (v, a) in un punto e (, ) del corpo rigido ?
P
R
Q
r
1 giro/min
(2/60 sec.)
C
Per il punto P
Per il punto Q
s
Rv
P60
2
s
rv
Q60
2
QPvv
Siccome per traiettorie circolari
trtS
Vale trdt
dr
dt
dStv
e di conseguenza
r
dt
dr
dt
rda
MODULO !
MODULO !
ATTENZIONE !!
Ricordiamo che dal Moto Circolare Uniforme
rar
2 Centripeta
C A
Ta
ra
av
rTaaa
raT
Diretta come v(tang.)
In generale
Energia Cinetica
Traslazionale 2
2
2 :2
1
t
lmmvv
P: mP ; vP = r
KP = ½ mP v2P
Considerando tutte le particelle
EK = ½ m1 v21+ ½ m2 v
22+ ………+ ½ mN v2
N
ma per ciascuna ii
rv La STESSA !!
2
2 1?:?
2
1
t Rotazionale
2? lm
I1
I2
I1< I2
Massa e Geometria
222
22
2
11 .........2
1 NNK rmrmrmE
Quindi
Possiamo allora introdurre il
MOMENTO DI INERZIA
dmrrmIN
iii
2
1
2
2
2
1 IEK
2
2
1: vMEitraslazionper K
2
1
2
2
1
N
i
iiK rmE
Inerzia di un corpo a variazione del suo
stato di rotazione Domanda d’esame !
b
Teorema di Huygens-Stainer (degli assi paralleli)
2hMIICMP
Massa totale del Corpo
Distanza tra i
due assi Momento di Inerzia per
rotazioni rispetto ad un
asse passante per P e //
a quello passante per il CdM
Momento di Inerzia NOTO
per rotazioni rispetto ad un
asse passante per per il CdM
h2 = a2 + b2 dm (x, y)
dmrIP
2
dmbyax 22
dmybdmxadmbadmyxIP
222222
2 3 4 1
1
dmrICMCM
2
Che equivale ad
2 2222222 hMbaMdmbadmba
3 4 e Ricordiamo che
M
dmxx
CMdunque CM
Mxdmx
Siccome il CdM ≡ Origine (asse di rotazione) 00 dmxxCM
00 dmyyCM2hMII
CMP
222 yxrCM
x
y
O r
F F4
F5
Inoltre: se applico F4 o F5 (parallele al piano della porta)
la porta non si muove.
Cause del moto rotatorio sono
1)Forza
2)Dove è applicata
3)Direzione di applicazione
Asse di rotazione Vista dall’alto
F1 alla maniglia basta una Forza piccola
F2 vicino ai cardini serve una forza maggiore di F1
F3 se spingo sui cardini (asse di rotazione) la porta
non si muove qualunque sia F3
F3 F2
F1
rF
Si può anche scrivere che
in modulo:
Momento di una Forza
II° Legge di Newton per il Moto Rotatorio Domanda d’esame
IRisultante
Dei Momenti
Momento
di Inerzia
accelerazione
angolare
amF accelerazione
Opposizione alla
variazione dello
stato di moto
traslazionale
rF
Sappiamo che: Dalla 2° Legge di newton
amF
e nella cinematica rotazionale valeva: ra
( qui vuol dire tangente
alla traiettoria)
Dunque
2mrrrmrF I
Se ci sono
più forze IrmrF
iiiii
2
Corpo rigido Idmri
2
Lavoro-Energia nella dinamica rotazionale
Sappiamo che: LvmvmEinfinK 22
2
1
2
1
per ciascun punto di un CORPO RIGIDO in rotazione
dxFL rF
Ma ora vale: rigidocorpodelmrviii
Sostituendo ed integrando su tutto il Corpo Rigido
LdxFIIEifTotK
22
2
1
2
1
If
= Ii
No deformazioni
No perdita di massa
Caso 1-dimensionale
e intendendo
F
F ds è al vettore r
ds = r d in modulo
ddrFsdFdL
Quindi dL [ se = costante ] if
E infine ricordando che
dt
dLP
Abbiamo che
dt
d
dt
dP