Página 1

Texto: Diofanto de Alejandría

Diofanto de Alejandría (griego antiguo: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, DióphantoshoAlexandreús), nacido alrededor del 200/214 y fallecido alrededor de 284/298, fue un antiguo matemático griego. Es considerado "el padre del álgebra".

El período que va del año 250 al 350 d.C. se suele considerar como laEdad de Plata de la matemática griega. La vida de Diofanto de Alejandría, elalgebrista griego más importante, se desarrolla a comienzos de este período.

Se conoce muy poco sobre su vida. En una colección de problemas, laAntología, que data de los siglos V o VI ha quedado registrada su edad enla forma siguiente:

Epitafio

¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! La

duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una

duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de

existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo

dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra,

habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la

sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, ¿cuántos

años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte?

El problema consistía en determinar la edad de Diofanto. La solución resultaser 84 años.

Su trabajo destaca por encima del de sus contemporáneos, desgraciadamente nació demasiado tarde para que pudiera tener una gran influenciaen su tiempo, pues una corriente de destrucción estaba acaban-do con lacivilización. Escribió varios libros que se han perdido. Su gran obra es laAritmética. Se conserva la mitad de esta obra en manuscritos del siglo XIIIque son copia de versiones más antiguas. La Aritmética es una colecciónde problemas independientes y, según Diofanto, fue escrita para ayudar auno de sus estu-diantes. Una de sus contribuciones más importantes es laintroducción del simbolismo en el álgebra. Los griegos clásicos no consideraron productos con más de tres factores ya que no tenían ningún significadoge-

ométrico para ellos. 2x era el área de un cuadrado y 3

x el volumen deun cubo. Diofanto consideró poten-

cias como 4x ; 5

x , etc. Desde el punto devista de una aritmética no condicionada por la geometría, tales productostienen un significado. Diofanto utiliza la letra griega para nuestra x (estaletra no representaba

ningúnnúmero en el sistema griego de servirse de letras para designar números). Por el uso de símbolos para la igualdad y paralas operaciones suma y producto, el álgebra de Diofanto se llama sincopada.El álge-bra anterior a Diofanto indica las operaciones y la igualdad en ellenguaje escrito usual; estaálgebra se llama retórica.

Una rama actual del álgebra se llama análisis diofántico. Para entender de qué se ocupa esta rama, pen-semos en la ecuación con dos incógnitas 2 5 0x y . Se desea encontrar todas las soluciones enteras de

estaecuación. Diofanto se ocupaba de problemas de este tipo, incluso con ecuaciones de mayor grado y un número mayor de incógnitas. Demuestra unagran habilidad para reducir las ecuaciones de los diferentes tipos a formasque puede manejar más fácilmente. Este tipo de ecuaciones indeterminadas(ecuaciones en las que existe más de una solución) no fueron consideradaspor los griegos anteriores a Diofanto.

Hay indicios de influencia babilónica, pero no hay prueba alguna deque haya una conexión directa entre los trabajos de Diofanto y el álgebrababilónica. Pero sus números son completamente abstractos y no se refierena medidas de granos o unidades monetarias como era el caso de egipcios ybabilonios. Otra diferen-cia es que Diofanto estaba interesado únicamenteen soluciones racionales exactas, mientras que los babi-lonios estaban siempre dispuestos a aceptar como soluciones aproximaciones de números irracionales.

Página 2

La Aritmética de Diofanto es sorprendentemente original, pero es posible que ello se deba a que puedan haberse perdido otras colecciones deproblemas rivales. No obstante, lo cierto es que Diofanto ha tenido unainfluencia sobre la teoría de números moderna mucho mayor que cualquierotro algebrista griego. Por ejemplo, Fermat se vio conducido a su célebregran Teorema cuando intentaba generalizar un problema de la Aritméticade Diofanto.

No tenía ningún método general, cada uno de los 189 problemas de laAritmética se resuelve de un mo-do distinto. No hace ningún intento porclasificarlos. Parece que no buscaba ideas generales, sino que se contentabacon encontrar soluciones correctas. No encuentra todas las soluciones de lasecuaciones inde-terminadas, sólo se limita a dar una solución. Pero esto escomprensible si tenemos en cuenta que lo que quería era resolver un problemay no resolver una ecuación. De cualquier modo, su obra contemplada en suconjunto es un monumento algebraico.

Actividades (A) Antes de la lectura. Vamos a revisar someramente la vida y obra de un Matemático del que poco se

sabe, pero que, sin embargo, es reconocido como el “padre del álgebra”. Para poder establecer con mayor detalle el porqué de esta afirmación, haremos previamente algunas actividades introductorias.

a. Busca en un diccionario el significado de la palabra álgebra. ¿Cuál es el origen de esta palabra?

b. ¿Qué relación tiene lo que estamos estudiando en el tema de expresiones algebraicas, con la definición de álgebra que has encontrado?

c. Escribe la referencia bibliográfica de la obra en la que has buscado el significado de la palabra álgebra.

(B) Lectura del documento. A continuación vamos a leer con cierto detenimiento el texto adjunto. Haremos dos lecturas. La primera será individualizada, y en silencio. Una vez que todos/as hayamos terminado, haremos una segunda lectura. Seleccionaremos al azar a dos compañeros/as que leerán el texto adjunto. Una vez leído todo el documento, responderemos por escrito a las siguientes cuestiones:

a. ¿Crees que la biografía anterior es suficientemente informativa sobre la vida y obra de Diofanto? ¿Echas en falta algo en ella?

Página 3

b. Durante el documento se habla de otro ilustre matemático, Pierre de Fermat, y de su célebre gran Teorema. Busca el significado de la palabra Teorema, y busca igualmente información sobre el teorema de Fermat, y explica qué afirma dicho resultado.

c. Indaga sobre el significado de álgebra retórica.

(C) Después de la lectura. No está del todo claro que el “epitafio” de Diofanto que aparece en el texto sea el verdadero epitafio de este ilustre matemático. Sin embargo, vamos a ver que de él se obtiene bastante información.

a. Escribe en lenguaje algebraico los elementos que aparecen en dicho epitafio:

Edad de Diofanto:

Periodo de Infancia:

Periodo hasta tener barba:

Periodo de matrimonio:

Tiempo que vivió su hijo:

b. Encuentra una ecuación que relacione los datos del epitafio y resuélvela, comprobando la afirmación que se da en el documento de que Diofanto llegó a vivir 84 años:

Página 4

(D) En la dirección web:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Diophantus.html

podemos encontrar la siguiente información, que traducimos del inglés convenientemente:

… Diofanto estaba preocupado con los problemas particulares más a menudo que con los métodos generales. La razón de esto es que a pesar de que hizo importantes avances en el simbolismo, aún le faltaba la notación necesaria para expresar métodos más generales. Por ejemplo, él únicamente tenía notación para una incógnita y cuando los problemas involucraban más de una simple incógnita, Diofanto se veía limitado a expresar 'prime-ra incógnita', 'segunda incógnita', etc., en palabras. Tampoco tenía un símbolo para un número general n. En

donde nosotros escribiríamos12 6

23

n

n

, Diofanto tenía que escribirlocon palabras:

... un número por un factor de seis aumentado más doce, el cual se divide por la diferencia

entre el cuadrado del número menos tres.

a. Describe qué hacemos en la actualidad para expresar varias incógnitas. ¿Es contradictoria la afirmación de que Diofanto “Tampoco tenía un símbolo para un número general n” con el hecho de que utilizaba un símbolo para representar a una incógnita? ¿Por qué?

b. Expresa en lenguaje ordinario las siguientes expresiones:

3 2

2

n

2 1n

2( 1)n