dirac-tétel. haaz n 3) pontú g egyszerűgráfbanminden n=2 ...ngaba/tkomb_ea/dirac.pdf ·...

Dirac-tétel. Ha az n(≥ 3) pontú G egyszerű gráfban mindenpont foka legalább n/2, akkor G tartalmaz Hamilton-kört.


Megjegyzések.1. Ez NEM „akkor és csak akkor” állítás! Például a Cn kör-gráfmutatja (nagy n-re), hogy akkor is lehet Hamilton-kör egy gráf-ban, ha a fokok jóval kisebbek n/2-nél.


Megjegyzések.1. Ez NEM „akkor és csak akkor” állítás! Például a Cn kör-gráfmutatja (nagy n-re), hogy akkor is lehet Hamilton-kör egy gráf-ban, ha a fokok jóval kisebbek n/2-nél.2/a. Nyilván nem lenne igaz a tétel, ha nem követelnénk meg G-ről, hogy egyszerű legyen. Ha megengedünk hurokéleket / párhu-zamos éleket, akkor még az összefüggőség sem következik „óriási”fokszámokból sem.


Megjegyzések.1. Ez NEM „akkor és csak akkor” állítás! Például a Cn kör-gráfmutatja (nagy n-re), hogy akkor is lehet Hamilton-kör egy gráf-ban, ha a fokok jóval kisebbek n/2-nél.2/a. Nyilván nem lenne igaz a tétel, ha nem követelnénk meg G-ről, hogy egyszerű legyen. Ha megengedünk hurokéleket / párhu-zamos éleket, akkor még az összefüggőség sem következik „óriási”fokszámokból sem.2/b. A |V | ≥ 3 feltétel sem hagyható el: K2-ben minden pontfoka legalább |V |/2, de nincs a gráfban Hamilton-kör.

K2


Megjegyzések.1. Ez NEM „akkor és csak akkor” állítás! Például a Cn kör-gráfmutatja (nagy n-re), hogy akkor is lehet Hamilton-kör egy gráf-ban, ha a fokok jóval kisebbek n/2-nél.2/a. Nyilván nem lenne igaz a tétel, ha nem követelnénk meg G-ről, hogy egyszerű legyen. Ha megengedünk hurokéleket / párhu-zamos éleket, akkor még az összefüggőség sem következik „óriási”fokszámokból sem.2/b. A |V | ≥ 3 feltétel sem hagyható el: K2-ben minden pontfoka legalább |V |/2, de nincs a gráfban Hamilton-kör.2/c. Az n/2 korlát nem javítható (csökkenthető) a tételben, eztpéldául a Kn/2 ∪̇Kn/2 gráf mutatja (páros n-re).

G egyszerű, |V |≥3, minden fok ≥ |V |2 =⇒ G-ben van Ham.-kör.

Bizonyítás. Legyen |V (G)| = n.1. Először belátjuk, hogy G-ben van Hamilton-út:


Bizonyítás. Legyen |V (G)| = n.1. Először belátjuk, hogy G-ben van Hamilton-út:Megmutatjuk, hogy G minden olyan útja, ami nem Hamilton-út,„növelhető” (található nála 1 éllel hosszabb út). Így egy tetsző-leges útból – például egy élből – kiindulva ezen „növelésekkel”előbb-utóbb Hamilton-úthoz jutunk.2 pontú út 3 pontú út 4 pontú út · · · n pontú út (= Ham.-út)


Bizonyítás. Legyen |V (G)| = n.1. Először belátjuk, hogy G-ben van Hamilton-út:Megmutatjuk, hogy G minden olyan útja, ami nem Hamilton-út,„növelhető” (található nála 1 éllel hosszabb út). Így egy tetsző-leges útból – például egy élből – kiindulva ezen „növelésekkel”előbb-utóbb Hamilton-úthoz jutunk.Vegyünk G-ben egy tetszőleges P utat, ami nem Hamilton-út.

u

P

v


Bizonyítás. Legyen |V (G)| = n.1. Először belátjuk, hogy G-ben van Hamilton-út:Megmutatjuk, hogy G minden olyan útja, ami nem Hamilton-út,„növelhető” (található nála 1 éllel hosszabb út). Így egy tetsző-leges útból – például egy élből – kiindulva ezen „növelésekkel”előbb-utóbb Hamilton-úthoz jutunk.Vegyünk G-ben egy tetszőleges P utat, ami nem Hamilton-út.1. eset („mohó útnövelés”): Ha a P út v végpontjából vezet élP -n kívüli pontba, akkor ezt a külső pontot (az összekötő éllelegyütt) P -hez hozzávéve hosszabb utat kapunk. X

u

P

v

x


Bizonyítás. Legyen |V (G)| = n.1. Először belátjuk, hogy G-ben van Hamilton-út:Megmutatjuk, hogy G minden olyan útja, ami nem Hamilton-út,„növelhető” (található nála 1 éllel hosszabb út). Így egy tetsző-leges útból – például egy élből – kiindulva ezen „növelésekkel”előbb-utóbb Hamilton-úthoz jutunk.Vegyünk G-ben egy tetszőleges P utat, ami nem Hamilton-út.1. eset („mohó útnövelés”): Ha a P út v végpontjából vezet élP -n kívüli pontba, akkor ezt a külső pontot (az összekötő éllelegyütt) P -hez hozzávéve hosszabb utat kapunk. X

u

P

v

xP'


Bizonyítás. 1. Először belátjuk, hogy G-ben van Hamilton-út:2. eset („csavart útnövelés”): Ha v összes szomszédja P -n van. . .

u

P

vw1 w2 w3 wd



u

P

vw1 w2 w3 wd

Ezen az ábrán több olyan u-ból induló utat is látunk, amelyugyanazokat a pontokat járja be, mint P (így ugyanolyan hosszúis): v minden wi szomszédjára az u P

wi→ vP w′i út ilyen, ahol

w′i a wi után következő pont P -n v irányába (lásd ábra).



u

P

vw1 w3 wdw1'






u

P

vw1 w2 w3 wdw2'






u

P

vw1 w2 w3 wdw3'






u

P

w1 w2 w3 wd wd'






u

P

w1 w2 w3 wd wd'




Ezeket az utakat a későbbiekben úgy fogjuk emlegetni, hogy csa-vart utak. (P maga is egy csavart út.)



u

P

w1 w2 w3' ' ' = vwd'

d(v) darab csavart út van, d(v) különböző végponttal: w′1, . . . , w′d



u

P

w1 w2 w3' ' ' = vwd'


(Ebben a bizonyításban olyankor használjuk G egyszerűségét,amikor megállapítjuk, hogy a „szomszédok száma = fokszám”.Ezt nem hangsúlyozzuk többet.)



u

P

w1 w2 w3' ' ' = vwd'


d(v) ≥ n/2 =⇒ Ez legalább n/2 csavart út, illetve végpont.(Az ábrán ez nem teljesül, ezt nem szemlélteti.)



u

P

w1 w2 w3' ' ' = vwd'


d(v) ≥ n/2 =⇒ Ez legalább n/2 csavart út, illetve végpont.

A lényeg: E sok csavart út közül valamelyik már meghosszabbít-ható egy „külső” pontba az 1. esetben látott módon.



u

P

w1 w2 w3' ' ' = vwd'

x

Ehhez vegyünk egy tetszőleges P -n kívüli x pontot G-ben.(P nem Hamilton-út, így ilyen x van.)Láttuk, hogy a w′i csavart-út-végpontok száma legalább n/2, és feltételeinkből x foka islegalább n/2, ezért x biztosan össze van kötve valamely w′kvégponttal†.



u

P

w1 wk w3' ' ' = vwd'

x

Ehhez vegyünk egy tetszőleges P -n kívüli x pontot G-ben.Láttuk, hogy a w′i csavart-út-végpontok száma legalább n/2, ésfeltételeinkből x foka is legalább n/2, ezért x biztosan össze vankötve valamely w′k végponttal†. A w′k-be vezető csavart utat x-bemeghosszabbítva egy P -nél (1 éllel) hosszabb utat kapunk. X



P

u w1 wk w3' ' ' = vwd'

xP'

Ehhez vegyünk egy tetszőleges P -n kívüli x pontot G-ben.Láttuk, hogy a w′i csavart-út-végpontok száma legalább n/2, ésfeltételeinkből x foka is legalább n/2, ezért x biztosan össze vankötve valamely w′k végponttal†. A w′k-be vezető csavart utat x-bemeghosszabbítva egy P -nél (1 éllel) hosszabb utat kapunk. X† indoklása: Ahhoz, hogy a w′

i végpontok, x szomszédai és x csupa külön-böző pontok legyenek, legalább n/2 + n/2 + 1 = n+ 1 pont kellene.



x

x szomszédai:x) pontd(

v) pontd(A csavart utak wi végpontjai:'

Ehhez vegyünk egy tetszőleges P -n kívüli x pontot G-ben.Láttuk, hogy a w′i csavart-út-végpontok száma legalább n/2, ésfeltételeinkből x foka is legalább n/2, ezért x biztosan össze vankötve valamely w′k végponttal†. A w′k-be vezető csavart utat x-bemeghosszabbítva egy P -nél (1 éllel) hosszabb utat kapunk. X† indoklása: Ahhoz, hogy a w′

i végpontok, x szomszédai és x csupa külön-böző pontok legyenek, legalább n/2 + n/2 + 1 = n+ 1 pont kellene.

d(v) ≥ n/2

d(x) ≥ n/2


Bizonyítás. 2. G-ben van Hamilton-kör is.


Bizonyítás. 2. G-ben van Hamilton-kör is.Az eddigiekből már tudjuk, hogy G-ben van egy P Hamilton-út.

u

P

vw1 w2 w3 wdP tartalmazza G összes pontját, így v szomszédai P -n vannak.(Újrahasznosítjuk az előző ábrát és jelöléseket, de ez egy másik eset!)



u

P

vw1 w3 wdw1'

P tartalmazza G összes pontját, így v szomszédai P -n vannak.(Újrahasznosítjuk az előző ábrát és jelöléseket, de ez egy másik eset!)

P „csavarásai” most d(v) ≥ n/2 darab u-ból induló, csupa kü-lönböző végpontú Hamilton-utat adnak G-ben.



u

P

vw1 w2 w3 wdw2'





u

P

vw1 w2 w3 wdw3'





u

P

w1 w2 w3 wd wd'





u

P

w1 w2 w3' ' ' = vwd'





P

u w2 wk' ' ' = vwd'w1

P „csavarásai” most d(v) ≥ n/2 darab u-ból induló, csupa kü-lönböző végpontú Hamilton-utat adnak G-ben.Mivel d(u) ≥ n/2, ezért u-ból vezet él valamelyik csavart Hamil-ton-út w′k végpontjába. (Az indoklás ugyanaz, mint előbb, csakx helyett u-val.) Ez az uw′k él a megfelelő csavart Hamilton-utatHamilton-körré zárja be. (Mivel n ≥ 3, az uw′k él nem a csavartHamilton-út éle, tényleg körré zárja azt be.) �

Megjegyzés. A bizonyítás alapján egy gyors algoritmus is készít-hető egy Hamilton-kör megtalálására, amennyiben a gráfunkrateljesülnek a Dirac-tétel feltételei.

Megjegyzés. A bizonyítás alapján egy gyors algoritmus is készít-hető egy Hamilton-kör megtalálására, amennyiben a gráfunkrateljesülnek a Dirac-tétel feltételei.Egy általánosítás. A bizonyítás kielemzése azt mutatja, hogy a„minden fokszám legalább n/2” feltételt mindig csak arra hasz-náltuk, hogy bizonyos számunkra fontos x, v pontpárokra el-mondhassuk, hogy d(x) + d(v) ≥ n.

x



Megjegyzés. A bizonyítás alapján egy gyors algoritmus is készít-hető egy Hamilton-kör megtalálására, amennyiben a gráfunkrateljesülnek a Dirac-tétel feltételei.Egy általánosítás. A bizonyítás kielemzése azt mutatja, hogy a„minden fokszám legalább n/2” feltételt mindig csak arra hasz-náltuk, hogy bizonyos számunkra fontos x, v pontpárokra el-mondhassuk, hogy d(x) + d(v) ≥ n.A még részletesebb analízis (és a Hamilton-körös 2. rész apróésszerűsítése) azt adja, hogy a fenti egyenlőtlenséget elég nemösszekötött pontpárokra tudnunk ahhoz, hogy működjön a bizo-nyítás. Ebből adódik a Dirac-tétel következő általánosítása:

x




Ore-tétel∗. Ha az n(≥ 3) pontú G egyszerű gráfban bármelykét nem összekötött csúcs fokszámának összege legalább n,akkor G tartalmaz Hamilton-kört.


Ore-tétel∗. Ha az n(≥ 3) pontú G egyszerű gráfban bármelykét nem összekötött csúcs fokszámának összege legalább n,akkor G tartalmaz Hamilton-kört.

Megjegyzés. Az Ore-tételből következik a Dirac-tétel.

dirac-tétel. haaz n 3) pontú g egyszerűgráfbanminden n=2 ...ngaba/tkomb_ea/dirac.pdf ·...

Documents