diszkrét matematika 1. középszint - 3....

Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ®sz 1.

Diszkrét matematika 1. középszint3. el®adás

Nagy Gá[email protected]

[email protected]/∼ nagyMérai László diái alapján

Komputeralgebra Tanszék

2017. ®sz


A logikai m¶veletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek

Állítás1 (A ∨ (B ∨ C )) ⇔ ((A ∨ B) ∨ C ), (A ∧ (B ∧ C )) ⇔ ((A ∧ B) ∧ C )

(asszociativitás);2 (A ∨ B) ⇔ (B ∨ A), (A ∧ B) ⇔ (B ∧ A) (kommutativitás);3 (A∧(B∨C )) ⇔ ((A∧B)∨(A∧C )), (A∨(B∧C )) ⇔ ((A∨B)∧(A∨C ))

(disztributivitás);4 (¬(A∨B)) ⇔ (¬A∧¬B), (¬(A∧B)) ⇔ (¬A∨¬B) (De Morgan);

5 ((A⇒ B) ∧ A) ⇒ B;6 ((A⇒ B) ∧ (B ⇒ C )) ⇒ (A⇒ C ) (szillogizmus);7 ((A⇒ B) ∧ (B ⇒ A)) ⇔ (A⇔ B).8 (A⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) (a kontrapozíció tétele);


A logikai m¶veletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek

Bizonyítás (példa)1 A ∨ (B ∨ C ) ⇔ (A ∨ B) ∨ C (a logikai vagy asszociativitása)

A B C B ∨ C A ∨ (B ∨ C ) A ∨ B (A ∨ B) ∨ C (A ∨ (B ∨ C )) ⇔ ((A ∨ B) ∨ C )i i i i i i i ii i h i i i i ii h i i i i i ih i i i i i i ih h i i i h i ih i h i i i i ii h h h i i i ih h h h h h h i


Kvantorok

Kvantorok∃ egzisztenciális kvantor: �létezik�, �van olyan�.∀ univerzális kvantor: �bármely�, �minden�.

PéldaV (x): x veréb.M(x): x madár.Minden veréb madár. ∀x(V (x) ⇒ M(x)).Van olyan madár, ami veréb. ∃x(M(x) ∧ V (x)).Minden veréb madár, de nem minden madár veréb.(∀x(V (x) ⇒ M(x))) ∧ (∃x(M(x) ∧ ¬V (x))).


Formulák

A formulák predikátumokból és logikai jelekb®l alkotott �mondatok�.

De�níció(Formulák)

A predikátumok a legegyszer¶bb, ún. elemi formulák.Ha A,B két formula, akkor ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B),(A ⇔ B) is formulák.Ha A egy formula és x egy változó, akkor (∃xA) és (∀xA) isformulák.

PéldaMinden veréb madár, de nem minden madár veréb.(∀x(V (x) ⇒ M(x))) ∧ (∃x(M(x) ∧ ¬V (x))).Ez egy formula.Ha nem okoz félreértést, a zárójelek elhagyhatóak.


Zárt/nyitott formulák

De�nícióHa A egy formula és x egy változó, akkor (∃xA) és (∀xA) formulákbanaz x változó minden el®fordulása az A formulában a kvantorhatáskörében van.Ha egy formulában a változó adott el®fordulása egy kvantor hatáskörébenvan, akkor az el®fordulás kötött, egyébként szabad.Ha egy formulában a változónak van szabad el®fordulása, akkor a változószabad változó, egyébként kötött változó.Ha egy formulának van szabad változója, akkor nyitott formula,egyébként zárt formula.

PéldaGy(x , y): x gyereke y -nak.∃y Gy(x , y): x-nek létezik szül®je.


Zárt/nyitott formulák

PéldaE (x): x egy egyenes.P(x): x egy pont.I (x , y): x illeszkedik y -ra.E (x),P(x), I (x , y) (elemi) nyitott formulák.A(x , y) legyen E (x) ∧ P(y) ∧ I (x , y).Az x egyenes illeszkedik az y pontra.B(x , y) legyen P(x) ∧ P(y) ∧ ¬(x = y). Az x és y pontok különböz®ek.C(x) legyen ∃y (E (x) ∧ P(y) ∧ I (x , y)).Van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre.Itt x szabad, y kötött változó.D() legyen ∀x (E (x) ⇒ ∃y (E (x) ∧ P(y) ∧ I (x , y))).Minden x egyenes esetén van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre.Itt x , y kötött változó.


Halmazok

Halmazelméletben az alapvet® fogalmak predikátumok, nem de�niáljuk®ket:

A halmaz (rendszer, osztály, összesség,...) elemeinek gondolatiburka.x ∈ A, ha az x eleme az A halmaznak.

A halmazok alapvet® tulajdonságai axiómák, nem bizonyítjuk ®ket.Példa:

Meghatározottsági axiómaEgy halmazt az elemei egyértelm¶en meghatároznak.

Két halmaz pontosan akkor egyenl®, ha ugyanazok az elemeik.Egy halmaznak egy elem csak egyszer lehet eleme.


Halmazok

Részhalmazok

De�nícióAz A halmaz részhalmaza a B halmaznak: A ⊆ B, ha∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B).Ha A ⊆ B-nek, de A 6= B, akkor A valódi részhalmaza B-nek: A ( B.

A részhalmazok tulajdonságai:

Állítás (Biz. HF)1 ∀A A ⊆ A (re�exivitás).2 ∀A,B,C (A ⊆ B ∧ B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C (tranzitivitás).3 ∀A,B (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ⇒ A = B (antiszimmetria).

Halmazok egyenl®sége egy további tulajdonságot is teljesít:3'. ∀A,B A = B ⇒ B = A (szimmetria).


Halmazok

De�nícióA halmaz és F(x) formula esetén {x ∈ A : F(x)} = {x ∈ A|F(x)}halmaz elemei pontosan azon elemei A-nak, melyre F(x) igaz.

Példa

{z ∈ C : Im(z) = 0}: valós számok halmaza.{z ∈ C|∃n ∈ Z+ : zn = 1}: komplex egységgyökök halmaza.


Halmazok

Speciális halmazok

Üres halmaz Annak a halmaznak, melynek nincs eleme a jele: ∅. Ameghatározottsági axióma alapján ez egyértelm¶.∀A A halmaz⇒ ∅ ⊆ A

Halmaz megadása elemei felsorolásával. Annak a halmaznak,melynek csak az a elem az eleme a jelölése: {a}. Annak a halmaznak,melynek pontosan az a és b az elemei a jelölése: {a, b},. . .

Speciálisan ∅ = {}, illetve, ha a = b, akkor {a} = {a, b} = {b}.


M¶veletek halmazokkal

De�nícióAz A és B halmazok uniója: A ∪ B az a halmaz, mely pontosan az A és aB elemeit tartalmazza.Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok(halmazrendszer). Ekkor ∪A = ∪{A : A ∈ A} = ∪A∈AA az a halmaz,mely az A összes elemének elemét tartalmazza:

∪A = {x | ∃A ∈ A : x ∈ A}.Speciálisan: A ∪ B = ∪{A,B}.

Példa{a, b, c} ∪ {b, c, d} = {a, b, c, d}{z ∈ C : 0 < arg(z) ≤ π

2 } ∪ {z ∈ C : π2 < arg(z) < π} =

= {z ∈ C : Im(z) > 0}


M¶veletek halmazokkal(Az unió tulajdonságai)

Állítás1 A ∪ ∅ = A2 A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C (asszociativitás)3 A ∪ B = B ∪ A (kommutativitás)4 A ∪ A = A (idempotencia)5 A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B

Bizonyítás1. x ∈ A ∪ ∅ ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ ∅) ⇔ x ∈ A.2. x ∈ (A ∪ (B ∪ C )) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ (B ∪ C )) ⇔⇔ (x ∈ A)∨((x ∈ B)∨(x ∈ C )) ⇔ ((x ∈ A)∨(x ∈ B))∨(x ∈ C ) ⇔⇔ (x ∈ (A ∪ B)) ∨ (x ∈ C ) ⇔ x ∈ ((A ∪ B) ∪ C )

3-as, 4-es hasonló.5. ⇒: A ⊆ B ⇒ A ∪ B ⊆ B, de B ⊆ A ∪ B mindig teljesül, ígyA ∪ B = B.⇐: Ha A ∪ B = B, akkor A minden eleme eleme B-nek.



De�nícióAz A és B halmazok metszete: A ∩ B az a halmaz, mely pontosan az Aés a B közös elemeit tartalmazza: A ∩ B = {x ∈ A : x ∈ B}.Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok(halmazrendszer). Ekkor ∩A = ∩{A : A ∈ A} = ∩A∈AA a következ®halmaz:

∩A = {x | ∀A ∈ A : x ∈ A}.Speciálisan: A ∩ B = ∩{A,B}.

Példa

{a, b, c} ∩ {b, c, d} = {b, c}.Ha En = {z ∈ C : zn = 1} az n-edik egységgyökök halmaza, akkor

E2 ∩ E4 = E2

E6 ∩ E8 = E2

En ∩ Em = E(n,m)

∩∞n=1En = E1 = {1}



De�nícióHa A ∩ B = ∅, akkor A és B diszjunktak.Ha A egy halmazrendszer, és ∩A = ∅, akkor A diszjunkt, illetve Aelemei diszjunktak.Ha A egy halmazrendszer, és A bármely két eleme diszjunkt, akkor Aelemei páronként diszjunktak.

Példa

Az {1, 2} és {3, 4} halmazok diszjunktak.Az {1, 2}, {2, 3} és {1, 3} halmazok diszjunktak, de nem páronkéntdiszjunktak.Az {1, 2}, {3, 4} és {5, 6} halmazok páronként diszjunktak.



A metszet tulajdonságai

Állítás (Biz. HF)1 A ∩ ∅ = ∅2 A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C (asszociativitás)3 A ∩ B = B ∩ A (kommutativitás)4 A ∩ A = A (idempotencia)5 A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A



Az unió és metszet disztributivitási tulajdonságai:

Állítás1 A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

2 A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

Bizonyítás1 x ∈ A ∩ (B ∪ C ) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∪ C ⇔⇔ x ∈ A∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C ) ⇔ (x ∈ A∧ x ∈ B)∨ (x ∈ A∧ x ∈ C ) ⇔⇔ (x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ A ∩ C ) ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

2 HF. hasonló


Különbség, komplementer

De�nícióAz A és B halmazok különbsége az A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.

De�nícióEgy rögzített X alaphalmaz és A ⊆ X részhalmaz esetén az A halmazkomplementere az A = A′ = X \ A.

Állítás

A \ B = A ∩ B

Bizonyítás

x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A ∧ x 6∈ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B


Komplementer tulajdonságai

Állítás (Biz. HF)

Legyen X az alaphalmaz.1 A = A;2 ∅ = X ;3 X = ∅;4 A ∩ A = ∅;5 A ∪ A = X ;6 A ⊆ B ⇔ B ⊆ A;7 A ∩ B = A ∪ B;8 A ∪ B = A ∩ B.

A 7. és 8. összefüggések az ún. de Morgan szabályok.


Komplementer tulajdonságai

Bizonyítás(Példa)...

x ∈ A ∩ B ⇔ ¬(x ∈ A ∩ B) ⇔ ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B) ⇔⇔ ¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ⇔ x ∈ A ∪ B

...


Szimmetrikus di�erencia

De�nícióAz A és B halmazok szimmetrikus di�erenciája azA4 B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Állítás(Biz. HF)

A4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)


Hatványhalmaz

De�nícióHa A egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert, melynek elemei pontosanaz A halmaz részhalmazai az A hatványhalmazának mondjuk, és 2A-valjelöljük.

A = ∅, 2∅ = {∅}A = {a}, 2{a} = {∅, {a}}A = {a, b}, 2{a,b} = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

Állítás (Biz. kés®bb)

|2A| = 2|A|

Relációk Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ®sz 23.

Relációk

A relációk

a függvényfogalom általánosításai;�hagyományos� függvények pontos de�niálása;�többérték¶ függvények�

kapcsolatot ír le=, <, ≤, oszthatóság, . . .


Rendezett pár

Adott x 6= y és (x , y) rendezett pár esetén számít a sorrend:{x , y} = {y , x}(x , y) 6= (y , x).

De�nícióAz (x , y) rendezett párt a {{x}, {x , y}} halmazzal de�niáljuk.Az (x , y) rendezett pár esetén a x az els®, az y a második koordináta.

De�nícióAz X , Y halmazok Descartes-szorzatán (direkt szorzatán) az

X × Y = {(x , y) : x ∈ X , y ∈ Y }

rendezett párokból álló halmazt értjük.


Binér relációk

Adott X , Y halmazok esetén az R ⊆ X × Y halmazokat binér(kétváltozós) relációknak nevezzük.Ha R binér reláció, akkor gyakran (x , y) ∈ R helyett xRy -t írunk.

Példa

1. IX = {(x , x) ∈ X × X : x ∈ X} az egyenl®ség reláció.2. {(x , y) ∈ Z× Z : x | y} az osztója reláció.3. F halmazrendszer esetén az {(X ,Y ) ∈ F × F : X ⊆ Y } a

tartalmazás reláció.4. Adott f : R → R függvény esetén a függvény gra�konja{(x , f (x)) ∈ R× R : x ∈ R}.

De�nícióHa valamely X , Y halmazokra R ⊆ X × Y , akkor azt mondjuk, hogy Rreláció X és Y között.Ha X = Y , akkor azt mondjuk, hogy R X -beli reláció (homogén binérreláció).


Relációk értelmezési tartománya, értékkészlete

Ha R reláció X és Y között (R ⊆ X × Y ) és X ⊆ X ′, Y ⊆ Y ′, akkor Rreláció X ′ és Y ′ között is!

De�nícióAz R ⊆ X × Y reláció értelmezési tartománya a

dmn(R) = {x ∈ X |∃y ∈ Y : (x , y) ∈ R},

értékkészlete

rng(R) = {y ∈ Y |∃x ∈ X : (x , y) ∈ R}.

Példa

1. Ha R = {(x , 1/x2) : x ∈ R}, akkor dmn(R) = {x ∈ R : x 6= 0},rng(R) = {x ∈ R : x > 0}.

2. Ha R = {(1/x2, x) : x ∈ R}, akkor dmn(R) = {x ∈ R : x > 0},rng(R) = {x ∈ R : x 6= 0}.


Relációk kitejesztése, lesz¶kítése, inverze

De�nícióEgy R binér relációt az S binér reláció kiterjesztésének, illetve S-et az Rlesz¶kítésének (megszorításának) nevezzük, ha S ⊆ R. Ha A egy halmaz,akkor az R reláció A-ra való lesz¶kítése (az A-ra való megszorítása) az

R|A = {(x , y) ∈ R : x ∈ A}.

PéldaLegyen R = {(x , x2) ∈ R× R : x ∈ R}, S = {(

√x , x) ∈ R× R : x ∈ R}.

Ekkor R az S kiterjesztése, S az R lesz¶kítése, S = R|R+0(ahol R+

0 a nemnegatív valós számok halmaza).

diszkrét matematika 1. középszint - 3....

Documents