diszkrét rendszerek

Diszkrét rendszerekDiszkrét rendszerek

Egy olyan rendszert jelent amelynél ha a Egy olyan rendszert jelent amelynél ha a bemeneten egy vagy több diszkrét bemeneten egy vagy több diszkrét X(n)X(n) jel van, jel van, a rendszer kimenetén is egy vagy több a rendszer kimenetén is egy vagy több Y(n)Y(n) diszkrét jel lesz.diszkrét jel lesz.

Diszkrétideju rendszer egy H matematikai operátor, amely egy jelsorozatot (bemenet) képez le egy másik jelsorozatba (kimenet)

Y(n) = H[x(n)]

Lineáris, diszkrét, időinvariáns Lineáris, diszkrét, időinvariáns rendszerekrendszerek

(Pl:Digitális szűrők)(Pl:Digitális szűrők)

Egy ilyen rendszer látható a következő Egy ilyen rendszer látható a következő ábrán:ábrán:


Az LDI tulajdonságai:Az LDI tulajdonságai:

1. Linearitás1. Linearitás

Egy diszkrét rendszer lineáris ha a bemeneti jel Egy diszkrét rendszer lineáris ha a bemeneti jel ax1(n)+bx2(n)ax1(n)+bx2(n) akkor a kimeneti jel akkor a kimeneti jel ay1(n)ay1(n)+by2(n)+by2(n)

Ahol a,b Ahol a,b tetszőleges konstansok tetszőleges konstansok

xx11(n), x(n), x22(n) (n) tetszőleges bemeneti jelek tetszőleges bemeneti jelek

yy11(n), y(n), y22(n) (n) megfelelő válasz a bemeneti megfelelő válasz a bemeneti jelekre( kimeneti jelek)jelekre( kimeneti jelek)

2.Időinvariáns2.Időinvariáns

Egy diszkrét rendszer Egy diszkrét rendszer időinvariánsidőinvariáns ha a bemeneti ha a bemeneti jel jel x(n-i) x(n-i) akkor a kimeneti jel akkor a kimeneti jel y(n-i)y(n-i) bármilyen bármilyen ii-re -re

Ahol Ahol ii-egy tetszőleges egész szám-egy tetszőleges egész szám x(n)x(n) egy tetszőleges bemeneti jel egy tetszőleges bemeneti jel y(n)y(n) megfelelő válasz a bemeneti jelekre megfelelő válasz a bemeneti jelekre

(kimeneti jelek)(kimeneti jelek)A linearitás és az időinvariáns megmagyarázható A linearitás és az időinvariáns megmagyarázható

a következő ábrán (amely csak egy szorozandó a következő ábrán (amely csak egy szorozandó tartalmaz)tartalmaz)



Az első ábra következőképpen Az első ábra következőképpen magyarázható:magyarázható:

Tekintsük hogy Tekintsük hogy x(n)=x(n)=(n) (n) akkor a akkor a y(n)=cos(ny(n)=cos(n/2)/2)(n)=cos(0)(n)=cos(0)(n)=(n)=(n)(n)

Időeltolást követően a következőt kapjuk Időeltolást követően a következőt kapjuk ha ha x(n)=x(n)=(n-1) (n-1) akkor a akkor a y(n)=cos(ny(n)=cos(n/2)/2)(n-(n-1)=cos(1)=cos(/2)/2)(n-1)=0 (n-1)=0 és nem a korábban és nem a korábban kapott kimeneti jel eltolása.kapott kimeneti jel eltolása.


A második ábra A második ábra nem lineáris rendszernem lineáris rendszer mutat, mutat, mert ha kétszerezzük a bemeneti jelet akkor a mert ha kétszerezzük a bemeneti jelet akkor a kimeneti jel négyszeresét kapjuk.kimeneti jel négyszeresét kapjuk.

2x(n) 2x(n) y(n)= y(n)=2(xn)2(xn)22

a hármas ábrán könnyen látható hogy a a hármas ábrán könnyen látható hogy a rendszer rendszer lineáris és időinvariánslineáris és időinvariáns így tehát így tehát

-linearitás-linearitás ha x(n)=ha x(n)=(n), akkor a y(n)=A(n), akkor a y(n)=A(n)(n)

-időinvariáns-időinvariáns ha x(n)=ha x(n)=(n-1), akkor y(n)=A(n-1), akkor y(n)=A(n-1)(n-1)


Mint a folytonos rendszereknél a Mint a folytonos rendszereknél a kauzalitás kauzalitás és a stabilitásés a stabilitás is nagyon fontos a fizikailag is nagyon fontos a fizikailag megvalósítható diszkrét rendszereknél.megvalósítható diszkrét rendszereknél.

KauzalitásKauzalitás: egy diszkrét rendszer : egy diszkrét rendszer kauzális, ha a kauzális, ha a kimeneti jel nem jelenik kimeneti jel nem jelenik meg a bemeneti jel alkalmazása előttmeg a bemeneti jel alkalmazása előtt..

Azaz ha x(n)=0 n<n0, akkor Azaz ha x(n)=0 n<n0, akkor

y(n)=0 n<n0y(n)=0 n<n0


StabilitásStabilitás

Egy diszkrét rendszer stabil ha Egy diszkrét rendszer stabil ha bármilyen bármilyen amplitudó korlatos bemeneti jel amplitudó korlatos bemeneti jel ampilitudó korlátos kimeneti jelet adampilitudó korlátos kimeneti jelet ad..

Ha Ha x(n)x(n)max max A A

Akkor Akkor y(n)y(n)max max B B


A fizikailagA fizikailag

MegvalósíthatóMegvalósítható

RendszerekhezRendszerekhez

Csupán háromCsupán három

Művelet szükséges:Művelet szükséges:

Összeadás, szorzás és Összeadás, szorzás és időkésleltetésidőkésleltetés

(memorializálás)(memorializálás)


Ezeknek az elemeknek a segítségével Ezeknek az elemeknek a segítségével lehet építeni pl. egy lehet építeni pl. egy kivonó rendszertkivonó rendszert

A kovetező ábrán diszkrét idejű lineáris idő-invariánsA kovetező ábrán diszkrét idejű lineáris idő-invariáns

rendszer látható, amely a fent felsorolt alapelemekrendszer látható, amely a fent felsorolt alapelemek

mindegyikét tartalmazza.mindegyikét tartalmazza.

Diszkrét rendszer leírása Diszkrét rendszer leírása differenciá egyenletteldifferenciá egyenlettel

A fenti rendszer bemeneti és kimeneti jele közötti A fenti rendszer bemeneti és kimeneti jele közötti kapcsolatot az alábbi egyenletekkel írja le:kapcsolatot az alábbi egyenletekkel írja le:

v(n)= ax(n)+bx(n-1)+y(n)és

y(n)=cv(n-1)

Azok a függvények amelyek egy adott időben (v(n) y(n)) a jel értéke irható függően a jelek korábbi értékei,

itt például( x(n-1), v(n-1) neveznek differenciafüggvényekv(n) x(n-1)y(n) v(n-1)



Kombinálni tudjuk a két függvényt (v(n), y(n)) Kombinálni tudjuk a két függvényt (v(n), y(n)) úgy hogy a végén egyetlen differencia úgy hogy a végén egyetlen differencia függvényt kapunk (lineáris szekvencia), amely függvényt kapunk (lineáris szekvencia), amely csak a korábbi y(n-1), y(n-2)…diszkrét kimeneti csak a korábbi y(n-1), y(n-2)…diszkrét kimeneti értékeket valamint a x(n-1), x(n-2)… korábbi értékeket valamint a x(n-1), x(n-2)… korábbi diszkrét bemeneti értékeket tartalmaz.diszkrét bemeneti értékeket tartalmaz.

Ha v(n)-t és y(n)-t kombináljukHa v(n)-t és y(n)-t kombináljukAkkor y(n)=acx(n-1)+bcx(n-2)+cy(n-1)Akkor y(n)=acx(n-1)+bcx(n-2)+cy(n-1) Általában tetszőleges bemeneti x(n) jel esetén, Általában tetszőleges bemeneti x(n) jel esetén,

a kezdeti feltételek ismeretében a rendszer a kezdeti feltételek ismeretében a rendszer differencia egyenletével meghatározható a differencia egyenletével meghatározható a kimenő y(n) jel. kimenő y(n) jel.


Példa: ha x(n)=Példa: ha x(n)=(n) és y(n)=0 ha n<0(n) és y(n)=0 ha n<0

Akkor y(0)=acx(-1)+bcx(-2)+cy(-1)=0 Akkor y(0)=acx(-1)+bcx(-2)+cy(-1)=0 y(1)=acx(0)+bcx(-1)+cy(0)=acy(1)=acx(0)+bcx(-1)+cy(0)=ac y(2)=acx(1)+bcx(0)+cy(1)=(b+ac)cy(2)=acx(1)+bcx(0)+cy(1)=(b+ac)c y(3)=acx(2)+bcx(1)+cy(2)=(b+ac)cy(3)=acx(2)+bcx(1)+cy(2)=(b+ac)c22

.. . . .. y(n)=acx(n-1)+bcx(n-2)+cy(n-1)= (b+ac)cy(n)=acx(n-1)+bcx(n-2)+cy(n-1)= (b+ac)cn-1n-1

és a kimeneti jelés a kimeneti jel

2n ha 1-ac)cn(b

1n ha ac

0n ha 0

)n(y


Általában egy LDI rendszer a kimeneti jel Általában egy LDI rendszer a kimeneti jel y(n) és a bemeneti jel x(n) kapcsolatot y(n) és a bemeneti jel x(n) kapcsolatot magadó funkcióval reprezentálható a magadó funkcióval reprezentálható a következő differencia függvényt.következő differencia függvényt.

vagy tömörebb formában, a kimenő vagy tömörebb formában, a kimenő jelet kifejezve: jelet kifejezve:

MnyanyaNnxbnxbnxbny MN ...1...1 110

N

i

M

iii inyainxbny

0 1

.


Ezt az egyenlet nevezik: Ezt az egyenlet nevezik: lineáris rendszer állandó lineáris rendszer állandó együtthatós differencia egyenlet.együtthatós differencia egyenlet.

Ha Ha M=0M=0, a rendszer , a rendszer nem rekurzívnem rekurzív, vagy mozgó átlagoló. , vagy mozgó átlagoló. Ez esetben a rendszeregyenlet a gerjesztés-válasz Ez esetben a rendszeregyenlet a gerjesztés-válasz kapcsolattal egyezik meg. Az ilyen rendszerek egyben kapcsolattal egyezik meg. Az ilyen rendszerek egyben véges impulzus válaszúak is (FIR rendszer).véges impulzus válaszúak is (FIR rendszer). Ha M Ha M0, a 0, a rendszer rendszer rekurzívrekurzív továbbá, ha N=0, autoregresszív továbbá, ha N=0, autoregresszív típusú. típusú.

A differenciaegyenlet segítségével adott A differenciaegyenlet segítségével adott x(n)x(n) bemenőjel bemenőjel és és aaii, b, bii együtthatók esetén meghatározhatók a együtthatók esetén meghatározhatók a kimenőjel kimenőjel y(0), y(1), y(2),…y(0), y(1), y(2),…értékei lépésről lépésre értékei lépésről lépésre módszerrel. E módszert a gyakorlatban csak egyszerű módszerrel. E módszert a gyakorlatban csak egyszerű rendszerek és egyszerű bemenő jelek esetén rendszerek és egyszerű bemenő jelek esetén használják. használják.


Összetett rendszereknél hosszadalmas és Összetett rendszereknél hosszadalmas és körülményes, ezért diszkrét rendszereknél is körülményes, ezért diszkrét rendszereknél is általánosan használt megoldási mód aáltalánosan használt megoldási mód a

frekvenciatartományba történőfrekvenciatartományba történő transzformáció. A differenciaegyenletek transzformáció. A differenciaegyenletek

diszkrét esetben is algebrai egyenletekké diszkrét esetben is algebrai egyenletekké transzformálódnak, amelyek megoldása jóval transzformálódnak, amelyek megoldása jóval egyszerűbb. egyszerűbb.


Példa:Példa:

Egy differencia egyenlet és egyik a megvalósítási Egy differencia egyenlet és egyik a megvalósítási lehetőséglehetőség

A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek súlyfüggvénye (impulzusválasza)súlyfüggvénye (impulzusválasza)

Egy LDI egyértelműen jellemezhető aEgy LDI egyértelműen jellemezhető a

Súlyfüggvényével Súlyfüggvényével h(n)h(n) (Az egységnyi területű Dirac (Az egységnyi területű Dirac

Függvényre Függvényre (n)(n) adott válaszával) adott válaszával)

x(n)=x(n)=(n)(n) y(n)=h(n)y(n)=h(n)


Példa 1:Példa 1:

Az ábbrából látszik hogy a rendszer súlyfüggvénye a következő:ból látszik hogy a rendszer súlyfüggvénye a következő:

h(n)=2h(n)=2(n)-0.5(n)-0.5(n-1)(n-1)

Ez a súlyfüggvény véges (korlátozott) idejű és az ilyen rendszert Ez a súlyfüggvény véges (korlátozott) idejű és az ilyen rendszert nevezik véges idejű súlyfüggvény szűrő RIF vagy (véges impulzus nevezik véges idejű súlyfüggvény szűrő RIF vagy (véges impulzus válasú szűrő (nem rekurzív)).válasú szűrő (nem rekurzív)).

Példa2:Példa2:

Az ábrából látszik hogy a rendszer súlyfüggvénye a következő: látszik hogy a rendszer súlyfüggvénye a következő:

h(n)=(-3/4)h(n)=(-3/4)nnU(n-1)U(n-1)

Ez a súlyfüggvény végtelen idejű és ezt a rendszert nevezik végtelen Ez a súlyfüggvény végtelen idejű és ezt a rendszert nevezik végtelen idejű súlyfüggvényűnek.(végtelen impulzusválasidejű súlyfüggvényűnek.(végtelen impulzusválaszzú (IIR) szűrő)ú (IIR) szűrő)



Eddig a mit mondtunk azt követezik hogy aEddig a mit mondtunk azt követezik hogy asúlyfüggvény h(n) ismeretében lehetsúlyfüggvény h(n) ismeretében lehetszámolni a kimeneti jel y(n)-nel ha aszámolni a kimeneti jel y(n)-nel ha abemeneti jel x(n). bemeneti jel x(n).

A következők írhatók le: a definícióból, ha a bemeneti jel (n) akkor a

kimeneti jel h(n) az időinvariáns tételből következik ha a

bemeneti jel (n-i) akkor a kimeneti jel h(n-i) a linearitás tételből ha a bemeneti jel x(i)(n-i)

akkor a kimeneti jel x(i)h(n-i)


Ezután kapcsoljunk a bemenetre egy Ezután kapcsoljunk a bemenetre egy tetszőleges impulzussorozatot: tetszőleges impulzussorozatot:

A válaszjel ekkor az alábbi lesz:A válaszjel ekkor az alábbi lesz:

i

inixnx

ixinhnyi


Röviden:Röviden:

Az LDI rendszer amely súlyfüggvénye h(n) Az LDI rendszer amely súlyfüggvénye h(n) adja, ha a bemeneti jel x(n), akkor a adja, ha a bemeneti jel x(n), akkor a kimeneti jelet y(n) a övetező: kimeneti jelet y(n) a övetező:

Innen látható hogy a rendszer Innen látható hogy a rendszer stabilstabil

vagyvagy kauzális: kauzális: ha a rendszer stabil akkor ha a rendszer stabil akkor h(i)h(i) ha a rendszer kauzális akkor ha a rendszer kauzális akkor h(n)=0 ha nh(n)=0 ha n00

Diszkret convolucióDiszkret convolució

Ha egy diszkrét rendszert időtartományban aHa egy diszkrét rendszert időtartományban a

súlyfüggvénye (súlyfüggvénye (hh((nn))--a diszkrét Dirac jelre adott válasz) a diszkrét Dirac jelre adott válasz) jellemzi, és ha a bemenő jelet jellemzi, és ha a bemenő jelet xx((nn))--vel jelöljük, akkor a vel jelöljük, akkor a rendszer válaszát felírhatjuk, mint a bemenő jel és a rendszer válaszát felírhatjuk, mint a bemenő jel és a súlyfüggvény konvolutív szorzatát:súlyfüggvény konvolutív szorzatát:

YY((nn)) = x = x((nn))* h* h((nn))

A konvolúció segítségével tetszőleges bemenőjelre meg A konvolúció segítségével tetszőleges bemenőjelre meg tudjuk határozni a rendszer kimenőjelét, ha a rendszer tudjuk határozni a rendszer kimenőjelét, ha a rendszer impulzusválasza ismert, vagy általánosan, ha a fenti impulzusválasza ismert, vagy általánosan, ha a fenti három jel közül bármelyik kettő ismert, akkor három jel közül bármelyik kettő ismert, akkor

meghatározható a harmadik.meghatározható a harmadik.

A konvolúció műveletét a következőképpendefiniáljuk:

Az egyenlet jobboldalát konvolúciós összegnek

nevezzük.

i

)in(h)n(x)n(h)n(x)n(y

A konvolúció tulajdonságai:

Kommutativitás:x(n)*h(n) = h(n)*x(n) vagy másépen:

Asszociativitás:(x(n)*h1(n))*h2(n) = x(n)*(h1(n)*h2(n))

)in(x)i(h)in(h)i(xii

Disztributivitás:

x(n)*(h1(n)+h2(n)) = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n)

A konvolució a követező grafikus megközelítés szemleleti:

1. x(i) és h(i) sorozatok felrajzolása i függvényében2. h(i) sorozat tükrözése az ordináta tengelyre (h(-i)3. h(-i) eltolása n-nel (n > 0 jobbra, n < 0 balra)(pl.: itt n=2)4.összeadás i-vel y(2)=x(i)h(2-i)5. x(i) és h(n-i) sorozatok megfelelő elemeinek szorzatösszege adja y(n)-t

Végestül: általábanN1és N2 hosszúságú sorozatok konvolválásával kapott

sorozat hozza N = N1 + N2 - 1

LDI rendszerek leírása az átviteli karakterisztika segítségével

A LDI rendszerek jobban leírhatók a frekvenciatartományban (átviteli karakterisztika) mint azidőtartományban ( súlyfüggvény).

Tekintsünk egy rendszert melynek súlyfüggvénye h(n) és

a kimeneti jele y(n) ha a bemeneti jel x(n)=cos(nw)(akkor itt a hn nem a rendszer sülyfüggvénye)

x(n)=cos(nw)=ejnw/2+e-jwn/2


ha x1(n)= ejnw és x2(n)= e-jwn

Akkor

és tudjuk hogy ami nem

Más mint a diszkrét jelek Fourier transzformáltja

jwi

i

jwn)in(jw

i1

i

e)i(hee)i(h)in(x)i(h

)e(He)i(h jwjwi

i

akkor y1(n)= ejwnH(ejw)

H(ejw) nem más mint átvitelikarakterisztikája az LDI rendszernek amely

súlyfüggvénye h(n).

A következők írhatók le: y1(n)= ejwnH(ejw)=ejwnAe j=Ae j(wn+)

ahol: A=H(ejw) komplex átviteli karakterisztika

abszolút értékeés = argH(ejw) a fázis értéke

Ugyan így meghatározhatjuk a kimenetei jel y2(n) ha a bemeneti jel x2(n)=e-jwn ,

akkor:

y2(n)=e-jwnH(e-jw)

Használva a lineritás tételt megtudjuk határozni y(n)-t.

Ha x(n)=cos(nw)=(x1(n)+x2(n))/2,

akkor:

y(n)=ejwnH(ejw)+e-jwnH(e-jw)/2

Ha a következő tételeket alkalmazzuk: A(ejw) = A(e-jw) (páros füg.)és (ejw) = -(e-jw) (páratlan füg.)

akkor:

y(n)=Ae j(wn+) + e -j(wn+)/2 = Acos (wn+)

Az eredmény azt mutatja, hogy a DLI rendszerben a bemeneti (itt egy cosinus jel) és a kimeneti frekvenciák azonosak de a kimeneti jel amplitudója és fázisa az átviteli karakterisztikától (H(ejw) függnek ezen a partikuláris frekvencián.

Ez az egyik legfontosabb tétel a LDI rendszereknél.


Továbbá ha x(n) tetszőleges jel akkor létezik olyan Fourier Transzformáció amely adja inverz FT

Azt jelenti, hogy x(n) nem más, mint végtelen exponenciális frekvencia összeadások.

dwe)e(X2

1)n(x jnwjw


A linearitás tételből adódóan az LDI rendszer átfordítja a bemeneti x(n) jelet a kimeneti y(n) jelre, amelyben minden komplex exponenciál szorozva van a hozzátartozó H(ejw)

dwe)e(H)e(X2

1)n(y jnwjwjw

A konvolúció időtartománybeli tulajdonságaimellett további fontos a frekvenciatartománybanérvényes alábbi tulajdonság.

Ha adottak a h(n),x(n) és y(n) időfüggvények,Valamint e függvények Fourier-transzformáltjai, H(ejw),

X(ejw) és Y(ejw) akkor azidőtartománybeli és a frekvenciatartománybelifüggvények között az alábbi összefüggés áll fenn:

jjj eHeXeYnhnxny

A fenti összefüggés szerint két függvény konvolúciójameghatározható úgy is, hogy a függvények Fouriertranszformáltjait összeszorozzuk,majd a szorzatból inverz FT-valmegkapjuk a konvolúció eredményét. Ez lehetőséget ad a konvolúcióműveletének egy másik megvalósítására, ami sokesetben megkönnyíti a művelet elvégzését.


Megjegyzések: 1. H(ejw) nem más mint a h(n) Fourier

transzformáltja.2. Innen következik hogy H(ejw), mint minden

TFSD periodikus, periódusa 2 /T3. Valós h(n) esetén (a mi átlános), a H valós

része szimmetrikus páros és az Imaginárius része pedig szimmetrikus páratlan.

Eddigi bevezetett elméletből következik, hogy, azátviteli karakterisztika meghatározásához, háromMódszer kínálkozik: - módszer 1: a h(n) sülyfüggvény Fourier transzformáltja,- módszer 2: ha a bemeneti jel x(n)=enwT =e nΘ,akkor y(n)= H(e jΘ) e jnΘ számolható az átviteli

karakterisztika,- modszer 3: a differenciaegyenlet segítségével és

használva az időeltolás tétel.x(n-i) e jiΘ X(e jΘ)

Megjegyzés a bemeneti x(n) jel vonatkozóan :modszer 1: x(n)= δ(n)modszer 2: x(n)= x(n)=enwT

modszer 3: nincs definiálva

PéldaHatározzuk meg a következő rendszeraz átviteli karakterisztikáját. Itt

Modszer1:Ha a h(n)=anu(n)Az átviteli karakterisztika a következő:

1a

j

nj

0n

jn

0n

n

n

jnj

ae1

1)ea(eae)n(h)e(H mivel

1a

A konvolúció alkalmazásai

A konvolúciót leggyakrabban szűrők megvalósítására használják. Ha ugyanis ismerjük egy jelátviteli tag impulzusválasz függvényét, akkor a kimenőjelet a bemenőjel és az impulzusválasz konvolúciójával meghatározhatjuk. Egy adott specifikációval rendelkező szűrő megvalósításához a megfelelő impulzusválaszt kell megtalálnunk. Ezeket a szűrőket ezért konvolúciós szűrőknek is nevezik.

Fourier transzformáció A diszkrét idejű jelek leírása a frekvencia

tartományban (Fourier transzformáció)

A Fourier transzformáció, egy tetszőlegesx[nT] diszkrét szorozat a következő módon írhatóle:

A folytonos jelek Fourier transzformációja

szemben, két különbség figyelhető meg:

dte)t(x)(X tj

n

TjnTj enTxnxFeX

Diszkrét Fourier transzformáció

1. Az integrál művelet helyett összegezünk mivel a jelnek csak diszkrét időpillanatokban van értéke.

2. Az w frekvenciaváltozót diszkrét esetben változóval helyettesítettük. Ez kihangsúlyozza azt, hogy X periodikus, periódusa . Emiatt elég az karakterisztika szélességű intervallumát ábrázolnunk, ahogy látható az ábrán. A tartományt alapintervallumnak nevezzük.

Tje

T/2 TjeX

T/2

TT

Az függvény, mely az x[nT] jel spektruma, komplex függvény, amely vagy a valós és képzetes komponensekkel, vagy az amplitúdóval és a fázisszöggel adható meg:

Vagy egyszerűen:

TjeX

TjejTjTjTjTj eeAeXjeXeX ImRe

jTj AejIReX

Az inverz Fourier transzformációAz inverz transzformációs egyenlet:

Fourier transzformációs pár TjeXnTx

deeX2

TnTxeXF Tjn

T

T

TjTj1

A transzformációt egyszerűbb alakbankapjuk, ha bevezetjük a jelölést, vagyrelatív frekvenciát:

T

n

jnj enxeXnxF

deeXnxeXF jnjj

2

11

jeXnx

Fourier transformáció

Inverz FT

FT pár

A diszkrét idejű jelek Fouriertranszformációjának tulajdonságai

A transzformáció tulajdonságai azonosak a folytonosjelek Fourier transzformációinál, de figyelembekell venni, hogy csak a diszkrét időpontokra vannak

értelmezve.

Linearitás:ahol a és b tetszőleges konstansok.

Eltolás az időtartományban:

jj ebXeaXnbxnax 1121

jji eXeinx

Eltolás a frekvencia tartományban:

0 frekvenciával eltolás a spektrumban tényezővel

szorzást jelent az időtartományban.

Konvolúció az időtartományban:

A konvolúció az időtartományban megfelel a szorzás

műveletnek a frekvencia tartományban.

00 jjn eXenx

0jne

jj eXeXnxnx 2121

Konvolúció a frekvenciatartományban:

A konvolúció a frekvenciatartományban megfelel aszorzás műveletnek az időtartományban. Két periodikus

frekvenciafüggvény konvolúciója pedig az alábbi:

jj eXeXnxnx 2121

deXeXeXeX jjjj

)(2121

Diszkrét Fourier transzformáció Diszkrét Fourier transzformáció

Diszkrét Fourier transzformáció periodikus jelekDiszkrét Fourier transzformáció periodikus jelek

esetén (DFT):esetén (DFT):

Legyen az Legyen az xxpp[n] [n] diszkrét idejű jel periodikus, melynekdiszkrét idejű jel periodikus, melynek

periódusa periódusa NN. A jel ekkor eleget tesz az alábbi. A jel ekkor eleget tesz az alábbi

összefüggésnek:összefüggésnek:

ahol ahol l=0, l=0, 1, 1, 2, 2, ……egész szám. egész szám.

A konvergencia problémák miatt, nem tudjuk egyben alkalmazni azA konvergencia problémák miatt, nem tudjuk egyben alkalmazni az

előző függvények. Ezt követően, másik módszer kell találni, hogyelőző függvények. Ezt követően, másik módszer kell találni, hogy

tudjuk leírni a frekvenciatartományban az időben adott diszkréttudjuk leírni a frekvenciatartományban az időben adott diszkrét

sorozat sorozat x(n)x(n)

lNnxnx pp

Diszkrét Fourier transzformációDiszkrét Fourier transzformáció

Mivel a jel periodikus, a következőket tudjuk róla:Mivel a jel periodikus, a következőket tudjuk róla:

1. A frekvenciatartománybeli leírásban a 1. A frekvenciatartománybeli leírásban a alapharmonikus alapharmonikus egészszámú többszörösei és esetleg a frekvenciájú egészszámú többszörösei és esetleg a frekvenciájú komponens fordul elő.komponens fordul elő.

Az alapharmonikus értéke . Az alapharmonikus értéke .

Ez könnyen belátható egy egyszerű példán. Ha a jel ,Ez könnyen belátható egy egyszerű példán. Ha a jel ,

a jel periódus hossza a jel periódus hossza NN, így a jel alapharmonikus frekvenciája., így a jel alapharmonikus frekvenciája.

2. egyetlen periódusából minden frekvenciakomponens2. egyetlen periódusából minden frekvenciakomponens

meghatározható.meghatározható.

Ezek alapján a Ezek alapján a diszkrét idejű jelek Fourier transzformációsdiszkrét idejű jelek Fourier transzformációs

képleteinekképleteinek, módosításával felírhatjuk az , módosításával felírhatjuk az NN pontos pontos diszkrét Fourierdiszkrét Fourier

transzformáció egyenletéttranszformáció egyenletét, melynek rövidítése , melynek rövidítése DFTDFT: :

00

N/20

N

nnx p

2cos

N/2

nx p


Az Az NN pontos pontos inverz diszkrét Fourier transzformáció inverz diszkrét Fourier transzformáció (IDFT)(IDFT)

képlete pedig az alábbi lesz:képlete pedig az alábbi lesz:

Ha megadjuk az Ha megadjuk az xp[n]xp[n] jel jel NN darab mintavételezett érték, darab mintavételezett érték,

azaz xp[0], xp x[1], …, xp[N‑1xp[0], xp x[1], …, xp[N‑1], ], értékeket, vagyis az értékeket, vagyis az

szekvencia alapintervallumát, a diszkrét Fourierszekvencia alapintervallumát, a diszkrét Fourier

transzformáció segítségével meghatározhatók az transzformáció segítségével meghatározhatók az Xp[k]Xp[k]

frekvenciaspektrum komponensei minden frekvenciaspektrum komponensei minden kk egészegész

számhoz. számhoz. XpXp[k][k] szintén periodikus, periódusa szintén periodikus, periódusa NN, mivel, mivel

1

0

2N

n

knN

j

pp enxkX

1

0

21 N

n

knN

j

pp ekXN

nx


A periodicitás következtében az N darabXp[0], Xp[1], [2],…, Xp[N-1] érték, azaz azXp[k] alapintervalluma elegendő a spektrum

egyértelmű meghatározásához (lásd a példa).

kXenx

eenxenxlNkX

p

N

n

knN

j

p

jN

n

knN

j

p

N

n

nlNkN

j

pp

1

0

2

ln21

0

21

0

2

Példa: N=4

Az Xp[k] diszkrét spektrum egyenletsegítségével előállítható az xp(n)

mintavételezett jelsorozat. Az inverzdiszkrét Fourier transzformációsegyenletben az összegezés előtti 1/N együtthatómegválasztásának célja, hogy a DFT és IDFTtranszformációkat egymás után alkalmazva azeredmény az eredeti jel legyen. Az xp[n] ésXp[k] egyenletek a Fourier transzformációs pártalkot, melynek jelölése: kXnx pp

Példa:Határozzuk meg a Fourier transzformció egy négypontos periodikus függvény x(n) amely a következő

ábbra látható:

Példa:Határozzuk meg az IDFT egy 16 pontos DFT amelydefinició szerint a követező:

DFT a véges időtartamú diszkrét idejű jel

Nnésnhanx 0,0

Lásd Könyv 94.old

A DFT tulajdonságai

VOIRTransfofourierrapideanimee

Digitális szűrők Digitális szűrők

A digitális szűrők az LDI rendszerek legfontosabb elemeit A digitális szűrők az LDI rendszerek legfontosabb elemeit képezik. Működésük képezik. Működésük differencia egyenleteikkel differencia egyenleteikkel adható adható meg.meg.

Digitális szűrő definiálható mint Digitális szűrő definiálható mint áramkör (vagy áramkör (vagy algoritmus)algoritmus) amely átalakít egy bemeneti jel egy amely átalakít egy bemeneti jel egy kimeneti jelre amely spektruma valamely módon meg kimeneti jelre amely spektruma valamely módon meg van kötve a bemeneti jel spektruma.van kötve a bemeneti jel spektruma.

Alapvetően a digitális szűrők két osztályát, és pedig a Alapvetően a digitális szűrők két osztályát, és pedig a rekurzív és a nemrekurzív rekurzív és a nemrekurzív digitális szűrők osztályát digitális szűrők osztályát különböztetik meg. különböztetik meg.


De létezik meg egy másik módszer különböztetni a De létezik meg egy másik módszer különböztetni a digitális szűröket: véges impulzusválaszú digitális szűröket: véges impulzusválaszú (FIR) (FIR) ésés

végtelen impulzusválaszú szűrőknek végtelen impulzusválaszú szűrőknek (IIR).(IIR).

A A rekurzív digitális szűrök rekurzív digitális szűrök esetén a szűrő kimenetén esetén a szűrő kimenetén megjelenő minden y(n) megjelenő minden y(n) diszkrét érték a korábbi diszkrét érték a korábbi

y(n-1), y(n-2),… diszkrét kimeneti értékeky(n-1), y(n-2),… diszkrét kimeneti értékek, valamint , valamint az x(n), x(n-1), x(n-2), … az x(n), x(n-1), x(n-2), … jelenlegi és korábbi jelenlegi és korábbi diszkrét bemeneti értékekdiszkrét bemeneti értékek függvénye, tehát: függvénye, tehát:

y(n) = f {y(n-1) y(n-2),… x(n), x(n-1), x(n-2),…}y(n) = f {y(n-1) y(n-2),… x(n), x(n-1), x(n-2),…}


A A nemrekurzív nemrekurzív digitális szűrőket viszont az jellemzi, digitális szűrőket viszont az jellemzi, hogy a hogy a szúrő minden kimeneti értéke csak a szúrő minden kimeneti értéke csak a jelenlegi és a megelőző bemeneti értékek jelenlegi és a megelőző bemeneti értékek függvénye, tehát:függvénye, tehát:

y(n) = f {x(n), x(n-1), x(n-2),…}y(n) = f {x(n), x(n-1), x(n-2),…}

Általában:Általában:

FIRFIR nemrekurzív digitális szűrő nemrekurzív digitális szűrő

IIR IIR rekurzív digitális szűrő rekurzív digitális szűrő

Digitális szűrők Digitális szűrők De ezt nem mindig igaz:De ezt nem mindig igaz:

A digitális szűrők megvalósíthatók nem rekurzív és A digitális szűrők megvalósíthatók nem rekurzív és rekurzív algoritmusokkal. rekurzív algoritmusokkal. Az IIR szűrők mindig rekurzív Az IIR szűrők mindig rekurzív algoritmusokkalalgoritmusokkal, a , a FIR szűrők viszont rekurzív és nem FIR szűrők viszont rekurzív és nem rekurzív algoritmusokkal rekurzív algoritmusokkal is előállíthatók, amint ezt is előállíthatók, amint ezt később ismertetjük. később ismertetjük.

Digitális szűrőkDigitális szűrők

A digitális szűrők realizálásahoz csupan háromA digitális szűrők realizálásahoz csupan három müveletekmüveletek szükséges: szükséges: időkésleltetésidőkésleltetés (memorialazálás), (memorialazálás), szorzásszorzás ill ill. összeadás. összeadás..


FIR szűrők: nem rekurzív digitális szűrők (NRDF)FIR szűrők: nem rekurzív digitális szűrők (NRDF)

A FIR szűrők nem rekurzív diszkrét szűrők. Jellemzőjük,A FIR szűrők nem rekurzív diszkrét szűrők. Jellemzőjük,

hogy hogy nem tartalmaznak visszacsatolástnem tartalmaznak visszacsatolást, vagy is az , vagy is az y(n)y(n)

kimenet független az előző kimenet független az előző y(n-1) y(n-2),… stby(n-1) y(n-2),… stb

kimenetektől. Így nyilvánvalóan hogy a nem rekurzívkimenetektől. Így nyilvánvalóan hogy a nem rekurzív

szűrők mentesek a visszacsatolásokkal kapcsolatosszűrők mentesek a visszacsatolásokkal kapcsolatos

problémakörtől, hiszen a kimenetről semmiféle jel nemproblémakörtől, hiszen a kimenetről semmiféle jel nem

csatlakozik vissza (ábra)csatlakozik vissza (ábra)


A legegyszerűbben megérthető digitális A legegyszerűbben megérthető digitális szűrőrendszerek a szűrőrendszerek a nemrekurzív transzverzális nemrekurzív transzverzális szűrők (ábra). Ilyen fajta szűrők lényege az hogy szűrők (ábra). Ilyen fajta szűrők lényege az hogy csak a bemeneti jel x(n) van memorizálva a csak a bemeneti jel x(n) van memorizálva a késleltetési elemekben.késleltetési elemekben.


A nemrekurzív szűrő kauzális és a A nemrekurzív szűrő kauzális és a transzferfüggvénye transzferfüggvénye H(z) mindig leírható a következő módon:H(z) mindig leírható a következő módon:

A hozza tartózó A hozza tartózó sülyfüggvényt pedigsülyfüggvényt pedig::

N

N

i

iNiN

i

ii

NN

z

zb

zbzbzbbzX

zYzH

0

0

110 ...

N

iiN inbNnbnbnbnh

010 ...1


A transzferfüggvényből látszik hogy a H(z) csak zérusok A transzferfüggvényből látszik hogy a H(z) csak zérusok jönnek léttre, ill N polusok az origoban (z=0)jönnek léttre, ill N polusok az origoban (z=0)

A sülyfüggvényből látszik hogy a h(n) hosszúsága véges A sülyfüggvényből látszik hogy a h(n) hosszúsága véges és maximálisan (N+1) mintából áll.és maximálisan (N+1) mintából áll.

A nemrekurzív szűrők mindig stabilak, amely két tényből A nemrekurzív szűrők mindig stabilak, amely két tényből is következik. is következik. • A diszkrét idejű rendszerek stabilitásának a feltétele, hogy az A diszkrét idejű rendszerek stabilitásának a feltétele, hogy az

átviteli függvény összes pólusa a z sík egységsugarú átviteli függvény összes pólusa a z sík egységsugarú tartományán belül legyen. Ez FIR szűrőknél mindig teljesül.tartományán belül legyen. Ez FIR szűrőknél mindig teljesül.

• A stabilitás feltétele, hogy az impulzus válasz abszolút A stabilitás feltétele, hogy az impulzus válasz abszolút értékének összege véges legyen. FIR szűrőknél ez szintén értékének összege véges legyen. FIR szűrőknél ez szintén teljesül.teljesül.

A FIR szűrők másik előnyös tulajdonsága a lineáris A FIR szűrők másik előnyös tulajdonsága a lineáris fáziskarakterisztika. fáziskarakterisztika.


IIR szűrők- rekurzív digitális szűrők (RDF)IIR szűrők- rekurzív digitális szűrők (RDF)

A rekurzív szűrőkben visszavezető jel utak vannak, A rekurzív szűrőkben visszavezető jel utak vannak, amelyek a kimeneti jel értéket a rendszer vagy ennek amelyek a kimeneti jel értéket a rendszer vagy ennek részegységeiknek bemeneteire visszacsatoljákrészegységeiknek bemeneteire visszacsatolják


A szűrő leírható differenciegyenlettet segítségével

A sülyfüggvénye pedig:

h(n)=an-1u(n-1)

Amely z-transzformácioja (transzferfüggvény) H(z)

1

1

1

az

zzH


Az IIR rekurzív szűrők különféle lehetséges struktúráihoz differencia egyenletükből kiindulva juthatunk el, az egyenlet egy-egy módosított alakjából.

Direkt struktúra I.Az bemenő x(n) és az y(n) kimenő jelsorozat közötti

összefüggés rekurzív szűrő esetén:

inyainxbnyM

ii

N

ii

10


A szűrő differenciaegyenletéhez, illetve az ennek megfelelő Z transzformálthoz az ábrán található első típusú direkt formájú kapcsolása tartozik.


Láthatóan a struktúra N+M tároló elemet és N+M+1 szorzást tartalmaz. Ezenkívül mindenegyes kimeneti érték előállításához N+M+1 összeadás szükséges. A struktúrához tartozó átviteli függvény:

M

i

ii

N

i

ii

za

zb

zX

zYzH

1

0

1

Direkt struktúra II.

Az előző szűrő struktúrát tekinthetjük egy rekurzív és nem rekurzív rész kaszkád kapcsolásának is. Mivel lineáris időinvariáns hálózatokról van szó, ezért a két részt felcserélhetjük, anélkül, hogy a teljes rendszer frekvencia átviteli tulajdonsága megváltozna. Ily

módon kapjuk a követező ábrán bemutatott struktúrát


. A ábrán látható, hogy mindkét késleltető lánc jelei azonosak: (n), (n-1),…. (n-N). Ennek megfelelően átalakítható a rendszer, a követező ábrán bemutatott formába. Így kapjuk a II. direkt struktúrát. Az ábrán látható struktúra esetén M>N, és összesen M tároló

elemet tartalmaz.

Az olyan struktúrákat, amelyek ugyanannyi tárolóelemet (késleltetők) tartalmaznak, mint amennyi a differenciaegyenlet fokszáma, kanonikus struktúráknak nevezzük.

A direkt struktúra elnevezés magyarázata az, hogy a struktúra az átviteli függvényt közvetlen módon állítja elő. A racionális törtfüggvény minden együtthatójához illetve hatvány kifejezéséhez közvetlenül egy-egy áramköri elemet rendel hozzá.

Az ai, bi együtthatók kis eltérései az átviteli függvény jelentős megváltozását okozzák. Ez azt jelenti, hogy a direkt formájú kapcsolások érzékenyek a paraméterváltozásokra. A paraméter érzékenység elkerülhető, ha a H(z) átviteli függvényt H1(z), H2(z), …Hk(z) első és másodfokú rész-átviteli függvények szorzatára vagy összegére osztjuk. Az egyes átviteli függvényeket külön áramkörökkel valósítjuk meg majd ezeket az átviteli függvény felbontási szabályait követve, sorosan vagy párhuzamosan összeépítjük. Az egyes áramkörök csak a saját rész-átviteli függvényük megvalósításáért ill. műszaki paramétereiért felelősek és a többi hálózati paraméterre (pólusra, zérusra) nincsenek hatással.


Kaszkád struktúra A kaszkád struktúra előállításához a H(z) átviteli

függvényt a következő formában írjuk fel:

Az átviteli függvényt gyöktényezős alakra bontjuk, és felhasználhatjuk azt is, hogy valós impulzusválasz esetén a komplex pólusok és zérusok konjugált gyökpárokat alkotnak. Ennek megfelelően a H(z) a következő kétféle részfüggvényre (első vagy másodfokú) bontható:

zHzHzHzHzH ki ......21


Vagy

Az elsőfokú alaptag egy valós zérust és egy valós pólust tartalmaz. A másodfokú tag pedig, két zérust és két pólust tartalmaz, amelyek komplexek is lehetnek.

1

1

1

1

zd

zczH

i

ii

21

21

1

1

zfze

zdzczH

ii

iii


Példa: Adott egy harmadfokú rendszer amely átviteli

függvénye, H(z). A kaszkád megvalósításhoz alakítsuk át első és másodfokú átviteli függvények szorzatává.

)321)(2(

)423)(1(

3852

4653)(

211

211

321

321

zzz

zzz

zzz

zzzzH

21

21

1

1

321

423

5,01

5,05,0

zz

zz

z

zzH


Kaszkád struktúra


Párhuzamos struktúra

Az átviteli függvényt előállíthatjuk k számú részfüggvényösszegeként is:

Az egyenletben H0 konstans tag, H1(z), H2(z),… első vagy

másodfokú alaptagok

zHzHzHzHHzH ki ......210

Párhuzamos struktúra


Példaképpen egy harmadfokú szűrőt alakítsunk át

párhuzamos formába

A részfüggvények a következők:

)()()2(

1

1

12

)2)(1(

2497

32

2497)(

21021

1

1

211

321

321

321

zHzHHzz

z

z

zzz

zzz

zzz

zzzzH

20 H 111

1)(

zzH

21

1

25,05,01

5.0)(

zz

zzH


Megegyezés:

Léteznek sok más struktúrájú (kapcsolási forma)digitális szűrök.

Példa: - Fésűszűrő - frekvencia-mintavételező struktúra


Fésűszűrő:Ha a H(z) átviteli függvényű szűrő minden tároló elemétN kaszkádba kapcsolt tárolóelemmel helyettesítünk, fésűszűrőt kapunk, melynek átviteli függvénye G(z)=H(zN), így a frekvencia átviteli függvény a alapintervallumon N-szer ismétlődik .

Példa:Ha N =3 és N =4

)(

N=3

N=4

Egyszerű nem rekurzív fésű szűrőt kapunk, ha a

H(z)=1-z-1 átviteli függvényből indulunk ki. Az

eredményül kapott szűrő N memória elemből , egyszorzóból és egy összeadóból áll,

a szűrő átviteli függvénye:

és a z tartományban az egységsugarú körön azonos

távolságban elhelyezkedő N darab zérust tartalmaz.

Nzzx

zyzG 1

)(

)()(


Fésű szűrő pólus-zérus elrendezése N=20 esetén

20x20x


Frekvencia-mintavételező struktúra:A frekvencia-mintavételező szűrő egy fésű szűrő és azazt követő rekurzív hálózat kaszkád kapcsolásávalhozható létre. A rekurzív hálózat pólusai egybeesnek a

fésű szűrő zérusaival. A rekurzív rész általábanpárhuzamosan csatlakoztatott másodfokúrészegységekből áll, de tartalmazhat elsőfokú tagot is,a z=1 vagy z=-1 pólusok megvalósításához. Estruktúrával egyszerűen létrehozhatók olyan szűrők,amelyek megadott frekvenciákon pontos

frekvenciaválasszal rendelkeznek.

Frekvencia mintavételező struktúra


Adaptív szűrőkAz adaptív szűrők olyan digitális szűrők, amelyekegyütthatói nem állandók, azokat egy adaptívalgoritmus automatikusan módosítja, abból a célból,hogy a szűrő frekvencia válasza meghatározottkritériumok szerint optimális legyen. Az adaptív szűrőezért két részből áll. Az egyik rész a digitális szűrő,amelynek struktúrája elvileg az előzőkben ismertetettstruktúrák bármelyike lehet, és az n-ik időpillanatbanc0[n], c1[n],… cN[n] együtthatókkal rendelkezik. Amásik rész az adaptív algoritmust megvalósítható

vezérlőegység.


Az együtthatókat a vezérlőegység automatikusanállítja elő, előre lerögzített kritériumnak megfelelően.Ez általában az aktuális kimeneti jel és egy referencia

jel közötti különbség minimalizálását jelenti.


a párhuzamos struktúrával megvalósított szűrőt akövetkező:

Digitális szűrők méretezése és megvalósításaDigitális szűrők méretezése és megvalósítása

A digitális szűrők tervezéséhez a szűrőparaméterekA digitális szűrők tervezéséhez a szűrőparaméterek

specifikációja szükséges. specifikációja szükséges. Ezek a specifikációk aEzek a specifikációk a

frekvenciatartománybeli karakterisztikák, mint azfrekvenciatartománybeli karakterisztikák, mint az

amplitúdó és a fázisamplitúdó és a fázis, és egyes esetekben az, és egyes esetekben az

időtartománybeli paraméterek, mint például a maximálisidőtartománybeli paraméterek, mint például a maximális

jelfeldolgozási idő. Az amplitúdó-frekvencia toleranciajelfeldolgozási idő. Az amplitúdó-frekvencia tolerancia

diagram tartalmazza a karakterisztikát, a következődiagram tartalmazza a karakterisztikát, a következő

ábrán látható módon.ábrán látható módon.

Pl. Aluláteresztő szűrő paramétereinek a specifikációja

Digitális szűrők méretezése és megvalósításaDigitális szűrők méretezése és megvalósítása

A digitális szűrők megvalósításának A digitális szűrők megvalósításának első lépése azelső lépése az

átviteli karakterisztika kiválasztásaátviteli karakterisztika kiválasztása. Az . Az ideálisideális

szűrőkarakterisztikák összefoglalva a következő ábránszűrőkarakterisztikák összefoglalva a következő ábrán

láthatók. láthatók.

A legfontosabb szűrő típusok:

-Aluláteresztő szűrő

-Felüláteresztő szűrő

-Sáváteresztő szűrő

- Sávzáró szűrő.

Az előző csoportosítás nem teljes. Létezik más fajtaAz előző csoportosítás nem teljes. Létezik más fajta

szűrők amelyek nem lehet sorolni az előzőszűrők amelyek nem lehet sorolni az előző

csoportosításához, és amelyek digitális jelfeldolgozáshozcsoportosításához, és amelyek digitális jelfeldolgozáshoz

nagy szerepet játszanak. Ezek a következők:nagy szerepet játszanak. Ezek a következők:

- - Differenciátor.Differenciátor. Átviteli függvénye: Átviteli függvénye:

- - Integrátor.Integrátor. Átviteli függvénye: Átviteli függvénye:

- - Hilbert transzformátor. Hilbert transzformátor. Átviteli függvénye: Átviteli függvénye:

- - Mindent áteresztő szűrő, vagy fázistolóMindent áteresztő szűrő, vagy fázistoló. Átviteli függvénye:. Átviteli függvénye:

hajeH jD ,

haj

eH jI ,

1

haj

hajeH j

H

0

haeH jF ,1

A digitális szűrőtervezés általános lépései:A digitális szűrőtervezés általános lépései:

- - ApproximációApproximáció

- Szintézis és struktúra kiválasztás- Szintézis és struktúra kiválasztás

- Működés és szűrőparaméterek ellenőrzése- Működés és szűrőparaméterek ellenőrzése

-Megvalósítás.-Megvalósítás.

ApproximációApproximációAz approximáció folyamán a megadott szűrő specifikációhozAz approximáció folyamán a megadott szűrő specifikációhoz

keressük azt a szűrő átviteli karakterisztikát, amely akeressük azt a szűrő átviteli karakterisztikát, amely a

specifikációknak eleget tesz. Az approximációs problémátspecifikációknak eleget tesz. Az approximációs problémát

kétféleképpen oldhatjuk meg: kétféleképpen oldhatjuk meg: direkt vagy indirekt módondirekt vagy indirekt módon. . DirektDirekt

módszer esetén a megoldás diszkrét idő vagy frekvenciamódszer esetén a megoldás diszkrét idő vagy frekvencia

tartományban történiktartományban történik. . Indirekt a megoldás, ha folytonos idejűIndirekt a megoldás, ha folytonos idejű

rendszert áttranszformáljuk diszkrét idejű átviteli funkcióvárendszert áttranszformáljuk diszkrét idejű átviteli funkcióvá. .

Szintézis és struktúra kiválasztásSzintézis és struktúra kiválasztás

Miután meghatároztuk az átviteli függvényt, aMiután meghatároztuk az átviteli függvényt, a

Szűrőt diszkrét idejű lineáris struktúrával megvalósítjuk.Szűrőt diszkrét idejű lineáris struktúrával megvalósítjuk.

A struktúra kiválasztásánál szem előtt kell tartani aA struktúra kiválasztásánál szem előtt kell tartani a

szükséges szükséges összeadások, szorzások, tároló elemekösszeadások, szorzások, tároló elemek

számátszámát, a struktúra érzékenységét paraméter, a struktúra érzékenységét paraméter

változásokra, az aritmetika pontosságára és másváltozásokra, az aritmetika pontosságára és más

Egyéb.Egyéb.

Működés és szűrőparaméterek ellenőrzéseMűködés és szűrőparaméterek ellenőrzése Bár a szűrő együtthatókat nagy pontossággal kell meghatározni, a Bár a szűrő együtthatókat nagy pontossággal kell meghatározni, a

digitális hardver véges pontosságú. Az aritmetika lehet fix vagy digitális hardver véges pontosságú. Az aritmetika lehet fix vagy lebegőpontos. Fixpontos megoldások esetén a véges pontosság a lebegőpontos. Fixpontos megoldások esetén a véges pontosság a szűrő paramétereket módosítja. A tervezőnek ellenőriznie kell, szűrő paramétereket módosítja. A tervezőnek ellenőriznie kell, hogy a megvalósított szűrő eleget tesz-e a specifikációknak. Az hogy a megvalósított szűrő eleget tesz-e a specifikációknak. Az esetleges túlcsordulás hatását szintén vizsgálni kell. IIR szűrők esetleges túlcsordulás hatását szintén vizsgálni kell. IIR szűrők esetén meg kell vizsgálni, hogy a stabilitást a hardver véges esetén meg kell vizsgálni, hogy a stabilitást a hardver véges pontossága hogyan befolyásolja.pontossága hogyan befolyásolja.

MegvalósításMegvalósítás

A digitális szűrők A digitális szűrők hardver és szoftver eszközökkel, vagy a kettő hardver és szoftver eszközökkel, vagy a kettő kombinációjával valósíthatók megkombinációjával valósíthatók meg. A hardver lehet számítógép, . A hardver lehet számítógép, mikroprocesszor vagy digitális jelprocesszor. mikroprocesszor vagy digitális jelprocesszor. A DSP a célra a A DSP a célra a legmegfelelőbb, mivel erre optimalizálták. legmegfelelőbb, mivel erre optimalizálták. Fontos szempont az Fontos szempont az eszköz kiválasztásánál a rendelkezésre álló fejlesztői környezet eszköz kiválasztásánál a rendelkezésre álló fejlesztői környezet fejlettsége. fejlettsége. A megvalósítás lehetséges speciális programozható A megvalósítás lehetséges speciális programozható integrált áramkörökkel isintegrált áramkörökkel is. Tipikusan ilyen áramkör az . Tipikusan ilyen áramkör az FPGAFPGA. Ez . Ez utóbbi megoldás a legdrágább, és a legnagyobb felkészültséget utóbbi megoldás a legdrágább, és a legnagyobb felkészültséget igényli a fejlesztőtől, de egyben a legnagyobb teljesítmény igényli a fejlesztőtől, de egyben a legnagyobb teljesítmény érhető el. érhető el.

FIR szűrők tervezéseFIR szűrők tervezéseA FIR szűrők A FIR szűrők leglényegesebb tulajdonsága a véges leglényegesebb tulajdonsága a véges impulzusválaszimpulzusválasz. Ha ez ismert, legalább egy formában - . Ha ez ismert, legalább egy formában - transzverzális formában - közvetlenül megvalósítható a szűrő. transzverzális formában - közvetlenül megvalósítható a szűrő. Ez Ez az oka, hogy a FIR szűrők különféle tervezési módszereiben az az oka, hogy a FIR szűrők különféle tervezési módszereiben az impulzus válasz központi szerepet játszikimpulzus válasz központi szerepet játszik. Az impulzusválasz . Az impulzusválasz alapján eldönthető az is, hogy a FIR szűrő fázisa lineáris, vagy alapján eldönthető az is, hogy a FIR szűrő fázisa lineáris, vagy nem. A tervezési lépések a bevezetőben leírt szűrőtervezési nem. A tervezési lépések a bevezetőben leírt szűrőtervezési lépésekkel lényegében azonosak:lépésekkel lényegében azonosak:

- Szűrő specifikáció megadása- Szűrő specifikáció megadása

- Együtthatók számítása- Együtthatók számítása

- Megvalósítandó struktúra kiválasztása- Megvalósítandó struktúra kiválasztása

- Szimuláció (opcionális)- Szimuláció (opcionális)

- Megvalósítás digitális jelprocesszorral- Megvalósítás digitális jelprocesszorral

A specifikáció A specifikáció az előírt az előírt H(w)H(w) és és (w) (w) amplitúdó és fázis függvény amplitúdó és fázis függvény

megadásával történik. Általában megadásával történik. Általában (w) (w)-t egyszerűen lineárisnak,-t egyszerűen lineárisnak,

vagy nem lineárisnak specifikáljuk. Az amplitúdó paramétereket avagy nem lineárisnak specifikáljuk. Az amplitúdó paramétereket a

tolerancia diagrammal rögzítik. tolerancia diagrammal rögzítik.

A diszkrét idejű rendszer Fourier transzformációján és A diszkrét idejű rendszer Fourier transzformációján és ablak függvényen alapuló tervezésablak függvényen alapuló tervezés

A tervezés a amplitúdó-frekvenciaA tervezés a amplitúdó-frekvencia

Karakterisztikából indul ki. E diagram lehető legjobbKarakterisztikából indul ki. E diagram lehető legjobb

közelítése a cél. Közvetlenül az átviteli karakterisztikábólközelítése a cél. Közvetlenül az átviteli karakterisztikából

inverz Fourier transzformációval meghatározzuk azinverz Fourier transzformációval meghatározzuk az

impulzus választ, impulzus választ, hhdd[n][n]-t.-t.

jd eH

Ez alapján azonban a szűrőt nem lehet megvalósítani, Ez alapján azonban a szűrőt nem lehet megvalósítani, mivel az impulzus válasz mivel az impulzus válasz

a.) végtelen hosszúságú,a.) végtelen hosszúságú,

b) nem kauzális függvény, azaz b) nem kauzális függvény, azaz hhdd[n] ≠0[n] ≠0, , n<0n<0 esetén. esetén.

Emiatt az impulzusválasz függvény hosszát elfogadható Emiatt az impulzusválasz függvény hosszát elfogadható L hosszúságúra kell korlátozni, továbbá a kapott L hosszúságúra kell korlátozni, továbbá a kapott válaszfüggvényt el kell tolni (késleltetni kell), hogy az válaszfüggvényt el kell tolni (késleltetni kell), hogy az impulzus válasz kauzális legyen. A lépések az előző impulzus válasz kauzális legyen. A lépések az előző ábrán láthatók. A végeredmény a ábrán láthatók. A végeredmény a hhdd[n][n] függvény egy függvény egy közelítése, közelítése, h[n].h[n]. A A h[n]h[n] impulzus válasz értékei impulzus válasz értékei megegyeznek a szűrő együtthatókkal.megegyeznek a szűrő együtthatókkal.

Az impulzus válasz függvény csonkítása azonban a Az impulzus válasz függvény csonkítása azonban a karakterisztikában túllendülést és lengéseket okozkarakterisztikában túllendülést és lengéseket okoz. Ez a . Ez a Gibbs jelenségGibbs jelenség. A következő. A következő ábrán az átviteli ábrán az átviteli karakterisztika látható különböző hosszúságú karakterisztika látható különböző hosszúságú válaszfüggvény esetén. válaszfüggvény esetén.

A hullámosság és az átmeneti tartomány változás magyarázata aA hullámosság és az átmeneti tartomány változás magyarázata a

következő: A válasz függvény csonkítása az időtartományban úgykövetkező: A válasz függvény csonkítása az időtartományban úgy

történt, hogy egy négyszögletes ablak függvénnyel, történt, hogy egy négyszögletes ablak függvénnyel, w[n]-w[n]-elel

szoroztuk:szoroztuk:

A frekvencia tartományban ez megfelel és A frekvencia tartományban ez megfelel és

konvolúciójának, azazkonvolúciójának, azaz

Az ideális aluláteresztő szűrő közelítése különböző hosszúságú impulzus válasz függvényekkel.

nhnwnh d

jd eH jeW

jd

jj eHeWeH

A ablak függvény a következő ábra láthatóA ablak függvény a következő ábra látható

A konvolúció eredménye pedig a következőA konvolúció eredménye pedig a következő

jeW

W(n)

A paraméterek javíthatók, ha másféle ablak függvényt A paraméterek javíthatók, ha másféle ablak függvényt választunk. A Következő táblázatban különféle ablak választunk. A Következő táblázatban különféle ablak függvények paraméterei láthatók. függvények paraméterei láthatók.

A táblázatban A táblázatban ff az átmeneti sáv normalizált sávszélessége: az átmeneti sáv normalizált sávszélessége:

Ahol , az átmeneti sáv szélessége. Ahol , az átmeneti sáv szélessége.

(CONTINUER Livre)(CONTINUER Livre)

Ablak típusaÁtmeneti sáv szélesség

(normalizált) fÁteresztő sáv

hullámosság [dB]Vágási sáv

Csillapítás [dB]

Négyszög 0.9/N 0.7416 21

Hanning 3.1/N 0.0546 44

Hamming 3.3/N 0.0194 53

Blackman 5.5/N 0.0017 74

sf

ff

ps fff

diszkrét rendszerek

Documents