diszkrét matematika 1. középszint - komplex számoknudniq/hallgatoknak/dimat/...diszkrét...

Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 1.

Diszkrét matematika 1. középszintKomplex számok

Juhász Zsó[email protected]@gmail.com

Mérai László diái alapján

Komputeralgebra Tanszék

2019 tavasz


A számfogalom bővítéseTermészetes számok: N = {0, 1, 2, . . .}Nincs olyan x ∈ N természetes szám, melyre x + 2 = 1!N halmazon a kivonás nem értelmezett!Egész számok: Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}A kivonás elvégezhető: x = −1.Nincs olyan x ∈ Z egész szám, melyre x · 2 = 1!Z halmazon az osztás nem értelmezett!Racionális számok: Q =

{pq : p, q ∈ Z, q 6= 0

}Az osztás nemnulla számokkal elvégezhető: x = 1

2 .Nincs olyan x ∈ Q racionális szám, melyre x2 = 2!Q halmazon a négyzetgyökvonás nem (mindíg) elvégezhető mégnemnegatív számok esetén sem!

Valós számok: R.Nincs olyan x ∈ R valós szám, melyre x2 = −1!

U.i.: Ha x ≥ 0, akkor x2 ≥ 0.U.i.: Ha x < 0, akkor x2 = (−x)2 > 0.


A számfogalom bővítéseA komplex számok körében az x2 = −1 egyenlet megoldható!Komplex számok alkalmazása:

egyenletek megoldása;geometria;fizika (áramlástan, kvantummechanika, relativitáselmélet);grafika, kvantumszámítógépek.

Komplex számok bevezetése

Definíció (képzetes egység)Legyen i (képzetes egység) megoldása az x2 = −1 egyenletnek.

A szokásos számolási szabályok szerint számoljunk az i szimbólummalformálisan, i2 = −1 helyettesítéssel:

(1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i + (−1) = 2i. Általában:

(a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i.


A komplex számok definíciója

Definíció (komplex számok)Az a + bi alakú kifejezéseket, ahol a, b ∈ R, komplex számoknak (C) hívjuk, azilyen formában való felírásukat algebrai alaknak nevezzük.

összeadás: (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i .szorzás: (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i .

Definíció (komplex szám valós és képzetes része)A z = a + bi ∈ C (a, b ∈ R) komplex számvalós része: Re(z) = a ∈ R, képzetes része: Im(z) = b ∈ R.

Figyelem! Im(z) 6= biAz a + 0 · i alakú komplex számok a valós számok. A 0 + bi alakúkomplex számok a tisztán képzetes számok.Az a + bi és a c + di algebrai alakban megadott komplex számokpontosan akkor egyenlőek: a + bi = c + di , ha a = c és b = d .


A komplex számok definíciója

Definíció (komplex számok formális definíciója)A komplex halmaza C az (a, b) ∈ R× R párok halmaza az alábbiműveletekkel:

összeadás: (a, b) + (c, d) = (a + c, d + b);szorzás: (a, b) · (c, d) = (ac − bd , ad + bc).

A két definíció ekvivalens: a + bi ↔ (a, b), pl. i ↔ (0, 1).Az a + bi formátum kényelmesebb számoláshoz.Az (a, b) formátum kényelmesebb ábrázoláshoz(grafikusan, számítógépen).További formális számokra nincs szükség:

Tétel (Algebra alaptétele, NB)Legyen n > 0 és a0, . . . , an ∈ C, an 6= 0. Ekkor aza0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn polinomnak létezik gyöke C-ben, azazlétezik olyan z komplex szám, melyre a0 + a1z + a2z2 + . . .+ anzn = 0.


Összeadás és szorzás alaptulajdonságai C-n

A definíciók alapján könnyen belátható, hogy a C-n bevezetett összeadásés szorzás rendelkezik a következő alaptulajdonságokkal:

Állítás (Összeadás és szorzás alaptulajdonságai C-n)Összeadás tulajdonságai

1 Asszociativitás: ∀a, b, c ∈ C : (a + b) + c = a + (b + c).2 Kommutativitás: ∀a, b ∈ C : a + b = b + a.3 Semleges elem (nullelem): ∃0∈ C (nullelem), hogy ∀a ∈ C :

0 + a = a + 0 = a.4 Additív inverz (ellentett): ∀a ∈ C : ∃−a∈ C (a ellentettje), melyre

a + (−a) = (−a) + a = 0.


Összeadás és szorzás alaptulajdonságai C-n

Állítás (Összeadás és szorzás alaptulajdonságai C-n)Szorzás tulajdonságai

1 Asszociativitás: ∀a, b, c ∈ C : (a · b) · c = a · (b · c).2 Kommutativitás: ∀a, b, c ∈ C : a · b = b · a.3 Egységelem: ∃1∈ C (egységelem), melyre ∀a ∈ C : 1 · a = a · 1 = a.4 Multiplikatív inverz (reciprok): ∀a ∈ C nemnulla számhoz ∃a−1= 1

a∈ C (areciproka), melyre a · a−1 = a−1 · a = 1.

Disztributivitás∀a, b, c ∈ C : a(b + c) = ab + ac (és (a + b)c = ac + bc)

Következmény:A fenti tulajdonságok miatt a (C,+, ·) algebrai struktúra ún. test((Q,+, ·) és (R,+, ·) is test).Informálisan azt mondhatjuk, hogy a komplex számokkal „ugyanúgy"számolhatunk, mint a valós számokkal (összegek, szorzatokátzárójelezhetők; összeg tagjai, ill. szorzat tényezői felcserélhetők;zárójelek a disztributivitás szabályai szerint kibonthatók etc.).


Komplex számok ábrázolásaA komplex számok ábrázolhatók a komplex számsíkon (Gauss-sík):

z = a + bi ↔ (a, b)bijekció (kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés) C és a sík pontjai(vagy helyvektorai) között


Számolás komplex számokkal: abszolút érték, konjugált

Definíció (komplex szám abszolút értéke)Egy z = a + bi ∈ C algebrai alakban megadott komplex szám abszolútértéke: |z | = |a + bi | =

√a2 + b2.

Valós számok esetében ez a hagyományos abszolút érték: |a| =√

a2.

Állítás (HF)Tetszőleges z komplex szám esetén:

1 |z | ≥ 0,2 |z | = 0⇔ z = 0.

Definíció (komplex szám konjugáltja)Egy z = a + bi algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltja az = a + bi = a − bi szám.


Számolás komplex számokkal: ellentett, kivonás

Definíció (komplex szám ellentettje)Egy z ∈ C szám ellentettje az a z szám, melyre z + z = 0.

Egy r ∈ R szám ellentettje: −r .

Állítás (Komplex szám ellentettje; Biz. HF)Egy z = a + bi ∈ C algebrai alakban megadott komplex szám ellentettjea −z = −a − bi algebrai alakban megadott komplex szám.

Definíció (komplex számok kivonása)A z ,w komplex számok különbsége:

z − w= z + (−w)


Számolás komplex számokkal: reciprok, hányados

Definíció (nemnulla komplex szám reciproka)Egy z ∈ C nemnulla szám reciproka az a z−1 = 1

z szám, melyrez · z−1 = 1.

A reciprok segítségével a nemnulla komplex számmal történő osztás isdefiniálható:

Definíció (osztás nemnulla komplex számmal)Két z ,w 6= 0 komplex szám hányadosa:

zw = z · 1w .


Számolás komplex számokkal: hányados kiszámítása

Mi lesz 2+3i1+i algebrai alakban?

Ötlet: Hasonló, mint valós törteknél a gyöktelenítés:

11 +√2

= 11 +√2· 1−

√2

1−√2

= 1−√2

(1 +√2)(1−

√2)

= 1−√2

12 −√22 =

= 1−√2

1− 2 = −1 +√2

.Nevező konjugáltjával való bővítés:

2 + 3i1 + i = 2 + 3i

1 + i ·1− i1− i = (2 + 3i)(1− i)

(1 + i)(1− i) = 2− 2i + 3i − 3i2

12 − i2 =

5 + i1− (−1) = 5 + i

2 = 52 + 1

2 i

.


Számolás komplex számokkal: hányados kiszámítása

LemmaTetszőleges z komplex szám esetén: z · z = |z |2.

Bizonyítás.Legyen z algebrai alakja a + bi . Ekkorz · z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = |z |2.

Állítás (Hányados kiszámítása algebrai alakban)Legyenek z ,w ∈ C, w 6= 0. Ekkor z

w algebrai alakja megkapható anevező konjugáltjával való bővítéssel: z

w = z·ww ·w .

Bizonyítás.Legyenek z = a + bi és w = c + di (a, b, c, d ∈ R). Ekkorzw = z·w

w ·w = (a+bi)(c−di)(c+di)(c−di) = ac+bd+(bc−ad)i

c2+d2 = ac+bdc2+d2 + bc−ad

c2+d2 i .


Számolás komplex számokkal

Tétel (A konjugálás és az abszolút érték tulajdonságai; Biz.HF.)Tetszőleges z ,w ∈ C esetén:

1 z = z;2 z + w = z + w;3 z · w = z · w;4 z + z = 2Re(z);5 z − z = 2Im(z) · i ;6 z · z = |z |2;7 z 6= 0 esetén z−1 = z

|z|2 ;8 |0| = 0 és z 6= 0 esetén |z | > 0;9 |z | = |z |;10 |z · w | = |z | · |w |;11 |z + w | ≤ |z |+ |w | (háromszög-egyenlőtlenség).


Számolás komplex számokkal

Tétel...

10 |z · w | = |z | · |w |;...

Bizonyítás.|z ·w |2 = z ·w ·z · w = z ·w ·z ·w = z ·z ·w ·w = |z |2 ·|w |2 = (|z |·|w |)2.


Komplex számok trigonometrikus alakjaLegyen z = a + bi ∈ C (a, b ∈ R), z 6= 0. A komplex számsíkon:

Az (a, b) vektor hossza: r = |z | =√

a2 + b2.Jelölje ϕ az (a, b) vektornak a pozitív valós tengellyel bezárt(előjeles) szögét (azaz z egy irányszögét; megjegyzés: ez nemegyértelmű, mert 2π többszörösei hozzáadhatók).

A koordináták r és ϕ segítségével kifejezve:a = r · cosϕ, b = r · sinϕ


Komplex számok trigonometrikus alakja

Definíció (trigonometrikus alak)Egy z ∈ C nemnulla szám trigonometrikus alakja:

z = r(cosϕ+ i sinϕ),

ahol r = |z|.

Figyelem!A 0-nak nem használjuk a trigonometrikus alakját.A trigonometrikus alak nem egyértelmű (mert az irányszög nemegyértelmű): r(cosϕ+ i sinϕ) = r(cos(ϕ+ 2π) + i sin(ϕ+ 2π)).

Definíció (argumentum)Egy nemnulla z ∈ C argumentuma az a ϕ = arg(z) ∈ [0, 2π), melyrez = r(cosϕ+ i sinϕ).


Áttérés algebrai alakról trigonometrikus alakraAdott z = a + bi 6= 0 algebrai alakban megadott komplex számnakkeressük a trigonometrikus alakját.

a + bi = r(cosϕ+ i sinϕ)

Adottak: a és b. Keressük: r és ϕ.r =√

a2 + b2.ϕ meghatározása:

a = r cosϕb = r sinϕ

}Ha a 6= 0, akkor tgϕ = b

a , és így

ϕ =

π2 , ha a = 0 és b > 03π2 , ha a = 0 és b < 0

arctg ba , ha a > 0;

arctg ba + π, ha a < 0.


Moivre-azonosságok

Tétel (Moivre-azonosságok)Legyenek z ,w ∈ C nemnulla komplex számok: z = |z |(cosϕ+ i sinϕ),w = |w |(cosψ + i sinψ), és legyen n ∈ N+. Ekkor

1 zw = |z ||w |(cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ));2 z

w = |z||w | · (cos(ϕ− ψ) + i sin(ϕ− ψ));

3 zn = |z |n(cos nϕ+ i sin nϕ).

A szögek összeadódnak, kivonódnak, szorzódnak. Az argumentumot ezekután redukcióval kapjuk!

Geometriai jelentés

Egy z ∈ C komplex számmal való szorzás a komplex számsíkon mintnyújtva-forgatás hat. |z |-vel nyújt, arg(z) szöggel forgat.


Bizonyítás.1

zw = |z|(cosϕ+ i sinϕ) · |w |(cosψ + i sinψ) == |z||w |(cosϕ cosψ − sinϕ sinψ + i(cosϕ sinψ + sinϕ cosψ)) =

Így az addíciós képletek alapján:= |z||w |(cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ))

Addíciós képletek:cos(ϕ+ ψ) = cosϕ cosψ − sinϕ sinψsin(ϕ+ ψ) = cosϕ sinψ + sinϕ cosψ

A szorzat abszolút értéke: |zw | = |z||w |.A szorzat egy irányszöge: ϕ+ ψ.(Ha az argumentumot szeretnénk megkapni, akkor az irányszöget esetlegredukálni kell:

ha 0 ≤ arg(z) + arg(w) < 2π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w);ha 2π ≤ arg(z) + arg(w) < 4π, akkorarg(zw) = arg(z) + arg(w)− 2π.

A sin, cos függvények 2π szerint periodikusak, az argumentummeghatározásánál redukálni kell az argumentumok összegét.)


Gyökvonás

Definíció (komplex szám n-edik gyökei)Legyen n ∈ N+. A z komplex szám n-edik gyökei az olyan w komplex számok,melyekre wn = z.

Tétel (Gyökvonás komplex számok körében)Legyen z = |z|(cosϕ+ i sinϕ), n ∈ N+. Ekkor a z n-edik gyökei:

wk = n√|z|(cos(

ϕ

n+

2kπn

) + i sin(ϕ

n+

2kπn

))

k = 0, 1, . . . , n − 1.

A tétel bizonyításánál fel fogjuk használni a következőt:A z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) és w = |w |(cosψ + i sinψ) trigonometrikus alakbanmegadott komplex számok pontosan akkor egyenlőek:

|z|(cosϕ+ i sinϕ) = |w |(cosψ + i sinψ),

ha:|z| = |w | ésϕ = ψ + 2kπ valamely k ∈ Z szám esetén.


Gyökvonás

Tétel (Gyökvonás komplex számok körében)Legyen z = |z|(cosϕ+ i sinϕ), n ∈ N+. Ekkor a z n-edik gyökei:

wk = n√|z|(cos(ϕn + 2kπ

n ) + i sin(ϕn + 2kπn ))

k = 0, 1, . . . , n − 1.

Bizonyítás.Tetszőleges w = |w |(cosψ + i sinψ) komplex számra, a hatványozásravonatkozó Moivre-azonosság alapján: wn = |w |n(cos nψ + i sin nψ).Így wn = z pontosan akkor, ha |w |n(cos nψ + i sin nψ) = |z|(cosϕ+ i sinϕ),ami azzal ekvivalens, hogy

|w |n = |z| ⇔ |w | = n√|z| és

nψ = ϕ+ 2kπ valamely k ∈ Z-re ⇔ ψ = ϕn + 2kπ

n valamely k ∈ Z-re.Ha k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, akkor ezek mind különböző komplex számotadnak.


Példa

PéldaSzámítsuk ki 1−i√

3+i 6. gyökeinek (w) az értékeit!1− i =

√2(√

22 − i

√2

2 ) =√2(cos 7π

4 + i sin 7π4 )√

3 + i = 2(√

32 + i 1

2 ) = 2(cos π6 + i sin π

6 )Mivel 7π

4 −π6 = 19π

12 , ezért: 1−i√3+i = 1√

2 (cos 19π12 + i sin 19π

12 ).és így a 6. gyökök:wk = 1

12√2 (cos 19π+24kπ72 + i sin 19π+24kπ

72 ) : k = 0, 1, . . . , 5


Komplex egységgyökök

Definíció (n-edik egységgyökök)Tetszőleges n ∈ N+ esetén az 1 n-edik gyökei az n-edik egységgyökök. (Azaz azεn = 1 feltételnek eleget tevő komplex számok.)

A gyökvonás képlete alapján:

Tétel (Az n-edik egységgyökök trigonometrikus alakja)Tetszőleges n ∈ N+ esetén az n-edik egységgyökök:

εk = ε(n)k = (cos 2kπ

n + i sin 2kπn ) : k = 0, 1, . . . , n − 1.

Nyolcadik komplex egységgyökök:

diszkrét matematika 1. középszint - komplex számoknudniq/hallgatoknak/dimat/...diszkrét...

Documents