(dùng cho ôn thi tn – cĐ Đh 2011 · pdf filetập hợp các mặt...

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: [email protected] DĐ: 01694 013 498

1

(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)

Gửi tặng: www.Mathvn.com

Bỉm sơn. 22.03.2011

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


2

CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A. Kiến thức chung 1. Phương trình mặt phẳng và các trường hợp đặc biệt - PTTQ (phương trình tổng quát) mặt phẳng P qua 0 0 0 0( , , )M x y z và có vtpt (vectơ pháp tuyến)

( , , )n A B C

là: 0 0 0( ) : ( ) ( ) ( ) 0P A x x B y y C z z Hay ( ) : 0P Ax By Cz D với 0 0 0( )D Ax By Cz - PTMP (phương trình mặt phẳng) P qua ( ,0,0) ; (0, ,0) ; (0,0, )A a Ox B b Oy C c Oz có phương trình

là: ( ) : 1x y zPa b c (Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn)

- Đặc biệt:

+ 2 2

0( ) / / 0

0

AP Ox D

B C

+ 2 2

0( ) / / 0

0

BP Oy D

A C

+ 2 2

0( ) / / 0

0

CP Oz D

A B

- Phương trình mặt phẳng (Oxy) là 0z , (Oyz) là 0x và (Oxz) là 0y 2. Vị trí tương đối của mặt thẳng và mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D và 2 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D

TH 1: 1 1 1 11 2

2 2 2 2

( ) / /( ) A B C DA B C D

TH 2: 1 1 1 11 2

2 2 2 2

( ) ( ) A B C DA B C D

TH 3: 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0A A B B C C 3: Phương trình chùm mặt phẳng: Tập hợp các mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng ( ) ( ) được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi mặt phẳng ( ) và mặt phẳng ( ) Nếu 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D và 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D thì phương trình mặt phẳng ( ) là:

1 1 1 1 2 2 2 2( ) : ( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D (*) với 2 2 0m n phương trình (*) có thể viết lại: ( ) ( ) 0m n 4. Góc và khoảng cách - Góc của 2 mặt phẳng: 1 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D và 2 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D là:

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2.

A A B B C Ccos

A B C A B C

- Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


3

.sin( ,( ))

.

u nd P

u n

- Khoảng cách từ một điểm 0 0 0 0; ;M x y z đến mặt phẳng : 0P Ax By Cz D

0 0 00 2 2 2,

Ax By Cz Dd M P

A B C

B. Một số dạng bài tập Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm Mo(xo;yo;zo) và thoả mãn điều kiện Loại 1 : Có một vectơ pháp tuyến Phương pháp: - Xác định 0 0 0 0( , , )M x y z của mặt phẳng P

- Xác định vtpt ( ; ; )n A B C

+ Nếu / / P QP Q n n

+ Nếu P dP d n u

- Áp dụng công thức: 0 0 0( ) : ( ) ( ) ( ) 0P A x x B y y C z z

Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK 12 – Ban Cơ Bản T89) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P): a. Đi qua điểm 1; 2;4M và nhận vectơ 2;3;5n

làm vectơ pháp tuyến

b. Đi qua điểm 2; 1;2M và song song với mặt phẳng : 2 – 3 4 0Q x y z

Giải: a. Cách 1: Mặt phẳng P đi qua điểm 1; 2;4M và có vectơ pháp tuyến 2;3;5n

có phương trình là :

2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4 ) = 0 hay : 2 3 5 – 16 0P x y z Cách 2: Mặt phẳng (P) có vtpt 2;3;5n

luôn có dạng 2 3 5 ’ 0x y z D vì mặt phẳng (P) đi qua

điểm 1; 2;4 2.1 3. 2 5.4 ’ 0 ’ 16M D D .Vậy mặt phẳng : 2 3 5 – 16 0P x y z b. Cách 1: Mặt phẳng P đi qua điểm 2; 1;2M song song với mặt phẳng Q nên mặt phẳng P đi qua điểm

2; 1;2M và có vtpt 2; 1;3P Qn n nên mặt phẳng P có phương trình:

2(x – 2) – 1(y + 1) + 3(z – 2) = 0 hay : 2 – 3 –11 0P x y z Cách 2 : Mặt phẳng (P) có vtpt 2; 1;3Pn luôn có dạng 2 – 3 ’ 0x y z D vì mặt phẳng P đi qua điểm

2; 1;2M ' 1D hay : 2 – 3 – 11 0P x y z

Hoặc có thể lí luận vì P song song với Q nên P luôn có dạng 2 – 3 ’ 0x y z D

vì P qua M : 2 – 3 – 11 0P x y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


4

Bài 2: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng có phương trình: 3x + 5y – z – 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình

12 4: 9 3

1

x td y t

z t

a. Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng

b. Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d Giải: a. Toạ độ điểm M d là nghiệm của phương trình

3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0 t = 3 .Vậy 0;0; 2M b. Cách 1 : Mặt phẳng đi qua điểm 0;0; 2M vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng đi qua điểm

0;0; 2M và có vtpt n = du = (4;3;1) nên mặt phẳng có phương trình là:

4(x – 0) + 3(y – 0) + 1(z +2) = 0 hay : 4 3 2 0x y z Cách 2: Mặt phẳng có vtpt n = (4;3;1) luôn có dạng 4x + 3y + z + D’ = 0 vì mặt phẳng đi qua điểm

0;0; 2M D’ = 2 hay : 4 3 2 0x y z Chú ý: Có thể phát biểu bài toán dưới dạng như, cho biết tọa độ 3 điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC thì khi đó Pn BC

Nhận xét : - Mặt phẳng có vtpt ; ;n a b c

thì luôn có dạng ax + by + cz + D’ = 0

- Nếu cho có dạng Ax + By + Cz + D = 0 thì mà song song với luôn có dạng

Ax + By + Cz + D’ = 0 với ' 0D - Hai mặt phẳng song song với nhau thì hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau, mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thì vtpt và vtcp cũng song song (cùng phương) với nhau . Điều này lý giải tại sao trong bài 1 câu b lại chọn Pn = Qn ,thật vậy vì mặt phẳng P song song với mặt phẳng (Q) nên hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau hay Pn = k. Qn , vì k 0 nên chọn k = 1 để Pn =

Qn . Tương tự như thế trong bài 2b ta chọn k = 1 để n = du , từ đó ta có nhận xét + Hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng có cùng vtpt + Nếu mặt phẳng P chứa hai điểm A và B thì AB

là một vtcp của mặt phẳng P

+ Nếu mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng (Q) thì vtpt của mặt phẳng P là vtcp của mặt phẳng (Q) và ngược lại + Nếu mặt phẳng P vuông góc với vecto AB

thì vecto AB

là một vtpt của mặt phẳng P

- Vectơ pháp tuyến cũng có thể cho ở hình thức là vuông góc với giá của vectơ a nào đó, khi đó ta phải hiểu đây a là vectơ chỉ phương

Bài 3: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz cho điểm vectơ 6; 2; 3a

và 1;2; 3A . Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A và vuông góc với giá của vectơ a

Hướng dẫn: Làm tương tự như bài 2b ta được : 6 – 2 – 3 2 0x y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


5

Bài 4: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 2;6; 3M và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ Giải: Nhận xét : - Các mặt phẳng toạ độ ở đây là Oxy; Oyz; Oxz . Thoạt đầu ta thấy các mặt phẳng này không thấy vtpt , nhưng thực ra chúng có vtpt, các vtpt này được xây dựng nên từ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i

= (1;0;0) ; j

= (0;1;0) ; k

= (0;0;1), các vectơ này được coi là các vtcp

- Bây giờ ta sẽ viết phương trình mặt phẳng P đi qua M và song song với mặt phẳng 0xy còn các mặt phẳng khác làm tương tự Cách 1: Mặt phẳng P đi qua 2;6; 3M và song song với mặt phẳng Oxy mặt phẳng P đi qua M và

vuông góc Oz nên mặt phẳng (P) đi qua M nhận vectơ Pn = k

làm vtpt có phương trình là : 0(x – 1) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = 0 hay : 3 0P z Cách 2: Mặt phẳng P song song với mặt phẳng 0xy mặt phẳng P song song với hai trục Ox và Oy

Pn i

và Pn j Pn = [ i

, j

] = (0;0;1) là vtpt nên : 3 0P z

Tương tự (P) // Oyz và đi qua điểm M nên : 2 0P x

(P) // Oxz và đi qua điểm M nên : 6 0P y Cách 3: Mặt phẳng P song song với mặt phẳng Oxy nên mặt phẳng P luôn có dạng Cx + D = 0 vì mặt

phẳng P đi qua M C. 3 D 0 vì C 0 nên chọn C = 1 D = 3 .

Vậy mặt phẳng P có phương trình là : 3 0P z Chú ý: Bài toán có thể phát biểu là viết phương trình (P) đi qua M // với Ox và Oy P đi qua M // với mặt phẳng 0xy

Loại 2: Có một cặp vectơ chỉ phương ,a b

(với , 0a b

có giá song song hoặc nằm trên mp ( )P ) - Tìm vtpt ,n a b

- P là mp qua 0 0 0 0( , , )M x y z và có VTPT n

- Quay lại loại 1 Bài tập giải mẫu: Bài 5: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm 0; 1;2A và song song với giá của mỗi vectơ u = (3;2;1) và v = 3;0;1

Giải: Cách 1: Mặt phẳng P đi qua 0; 1;2A và song song với giá của hai vectơ u = (3;2;1) ; 3;0;1v

mặt phẳng P đi qua A và có Pn u ; Pn v (với u và v không cùng phương)

mặt phẳng P đi qua A và có vtpt , 2; 6;6 2 1; 3;3Pn u v

mặt phẳng P có phương trình là :

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


6

1(x – 0) – 3(y + 1) +3(z – 2) = 0 hay : – 3 3 – 9 0P x y z

Cách 2 : Làm tương tự như bài 1b khi biết 2; 6;6Pn và 0; 1;2A

Bài 6: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 2; 1;2M , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng

: 2 – 3 4 0x y z Giải: Cách 1: Mặt phẳng đi qua điểm 2; 1;2M song song với trục 0y và vuông góc với mặt phẳng

mặt phẳng đi qua M và có n j

; n n (với j

và n không cùng phương)

mặt phẳng đi qua M và có vtpt n = [ j

, n ] = (3;0;-2)

mặt phẳng có phương trình là :

3(x – 2) + 0(y + 1) – 2(z – 2) = 0 hay : 3 – 2 – 2 0x z

Cách 2: Làm tương tự như bài 1b khi biết 3;0; 2n và 2; 1;2M

Cách 3: Giả sử mặt phẳng có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

mặt phẳng có vtpt ; ;n A B C

- Mặt phẳng đi qua điểm 2; 1;2M .2 .( 1) .2 0 1A B C D

- Mặt phẳng song song với trục Oy . 0 .0 .1 .0 0 2n j A B C

- Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . 0 .2 . 1 .3 0 3n n A B C Giải hệ (1), (2) và (3) 3, 0, 2, 2.A B C D Vậy mặt phẳng có phương trình là : 3 – 2 – 2 0x z

Bài 7: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

3; 1; 5M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng : 3 – 2 2 7 0x y z và

: 5 – 4 3 1 0x y z

Giải: Cách 1: Mặt phẳng đi qua điểm 3; 1; 5M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng và mặt

phẳng đi qua điểm M và có n n ; n n (với n và n không cùng phương) mặt phẳng

đi qua điểm M và có vtpt n = [ n , n ] = (2;1;-2) mặt phẳng ( ) có phương trình là : 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay : 2 – 2 –15 0x y z

Cách 2: Làm tượng tự như bài 1b khi biết n = 2;1; 2 và 3; 1; 5M

Cách 3: Giả sử mặt phẳng có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C


- Mặt phẳng đi qua điểm 3; 1; 5M .3 .( 1) . 5 0 1A B C D

- Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . 0 .3 . 2 .2 0 2n n A B C

- Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . 0 .5 . 4 .3 0 3n n A B C

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


7

Từ (1) và (2) ta được 3 21, 62 2

C B A D B A thế vào (3) ta được 2A B chọn

1, 2 2, 15B A C D Vậy phương trình mặt phẳng là 2 – 2 –15 0x y z Bài 8: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng

11 1: , ' : 1 2

2 1 12

x tx y zd d y t

z t

Viết phương trình mặt phẳng đi qua A đồng thời song song với d và d’

Giải: Cách 1: Vì 1 20;1; 1 ; 1; 1;2B d C d và 1 2, , / /B C d d

Vecto chỉ phương của 1 2d và d lần lượt là 1 22;1; 1 1; 2;1u và u

vecto pháp tuyến của là 1 2, 1; 3; 5n u u

Vì đi qua 0;1; 2 : 3 5 13 0A x y z

Đs: : 3 5 13 0x y z Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C


- Mặt phẳng đi qua điểm M .0 .1 .2 0 1A B C D

- Mặt phẳng song song với đường thẳng d . 0 .2 .1 . 1 0 2dn u A B C

- Mặt phẳng song song với đường thẳng d’ '. 0 .1 . 2 .1 0 3d

n u A B C

Từ (1) và (2) ta được 2 , 4 3C A B D A B thế vào (3) ta được 3A B chọn 1, 3 5, 13A B C D

Vậy phương trình mặt phẳng là 3 5 13 0x y z Nhận xét: Nếu điểm A d (hoặc 'A d ) thì bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng chứa d (hoặc 'd )

và song song với 'd (hoặc d ) Bài tập tự giải: Bài 1: a. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm 3;4;1 , 2;3;4 , 1;0;2 .M N E Viết phương trình

mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với MN. (Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)

b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1; 2;1K và vuông góc với đường

thẳng 1

: 1 21 3

x td y t

z t

.

(Đề thi tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2007)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


8

Đs: a. : 3 5 0x y z b. : 2 3 8 0x y z

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm 1; 1;0M và mặt phẳng P có phương trình:

2 4 0.x y z Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với P

Đs: : 2 2 0x y z (Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban năm 2007) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 2;3;1M và vuông góc với hai mặt phẳng

: 2 2 5 0 và : 3 2 3 0P x y z Q x y z (Sách bài tập nâng cao hình học 12)

Đs: : 3 4 19 0x y z Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 2;1; 1M và qua giao tuyến của hai mặt phẳng:

4 0 và 3 1 0.x y z x y z (Sách bài tập nâng cao hình học 12) Đs: :15 7 7 16 0x y z Dạng 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M1(x1;y1;z1) và M2(x2;y2;z2) đồng thời thoả mãn điều kiện a. Vuông góc với mặt phẳng b. Song song với đường thẳng d (hoặc trục Ox, Oy, Oz) c. Có khoảng cách từ điểm M tới là h d. Tạo với một góc Q một góc

Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm 1;0;1 , 5; 2;3M N và vuông góc với mặt phẳng : 2 – – 7 0x y z

Giải: Cách 1 : Mặt phẳng đi qua hai điểm M(1;0;1); N(5;2;3) và vuông góc với mặt phẳng ( )

mặt phẳng đi qua điểm M và n MN ; n n (với MN và n không cùng phương)

mặt phẳng đi qua điểm M và có vtpt n = [ MN , n ] = 4;0; 8 = 4 1;0; 2


1(x – 1) + 0(y – 0) – 2(z – 1) = 0 hay : x – 2z + 1 = 0 Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C


- Mặt phẳng đi qua 1;0;1M .1 .0 .1 0 1A B C D

- Mặt phẳng đi qua 5; 2;3N .5 .2 .3 0 2A B C D

- Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . 0 .2 . 1 .1 0 3n n A B C Từ (1) và (2) ta được – 2 – ,C A B D A B thể vào (3) ta được –2 0B chọn

1, 0 2, 1A B C D

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


9

Vậy phương trình mặt phẳng là – 2 1 0x z Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

4; 1;1M ; 3;1; 1N và cùng phương (song song) với trục Ox Giải: Cách 1 : Mặt phẳng (P) đi qua điểm 4; 1;1M ; 3;1; 1N và cùng phương với trục Ox mặt phẳng (P) đi qua

điểm M và Pn MN ; Pn i

(với và i

không cùng phương)

mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận vtpt Pn = [ , i

] = 0; 2; 2 = 2 0;1;1 mặt phẳng (P) có phương trình là : 0(x – 4) + 1( y + 1) + 1(z – 1) = 0 hay (P): y + z = 0 Cách 2: Làm tương tự bài 1 (cách 2) điều kiện ở đây là Pn i

Bài 3: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong mặt phẳng Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm 3;0;0 , 0;0;1A C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc = 60o

Giải: Cách 1: Mặt phẳng (Q) đi qua A, C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc bằng 60o nên mặt phẳng (Q) cắt mặt phẳng Oxy tại điểm B(0;b;0) Oy khác gốc toạ độ O b 0 mặt phẳng (Q) là mặt phẳng theo đoạn chắn có phương trinh là :

113

zbyx hay (Q): bx + 3y + 3bz – 3b = 0

mặt phẳng (Q) có vtpt Qn = (b;3;3b)

Mặt phẳng 0xy có vtpt k

= (0;0;1) .Theo giả thiết ,ta có

|cos ( Qn , k

)| = cos60o 21

99

32

bb

b

263

269996 22 bbbbb

Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn là : (Q1) : x – 26 y + 3z – 3 = 0 (Q2) : x + 26 y + 3z – 3 = 0 Cách 2: vì A Ox và C Oz Gọi AB là giao tuyến của mặt phẳng (Q) và mặt phẳng 0xy .Từ O hạ OI AB . Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB CI 060OIC

Trong vuông OIC ta có OI = OC.tanOIC = 1.tan60o = 33

Trong vuông OAB ta có 222

111OBOAOI

232

131

33

1OB

OB =

263

B1(0; 26 ;0) Oy hoặc B2(0; 26 ;0) Oy .Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả mãn là

113

263

zyx hay (Q) : x 26 y + 3z – 3 = 0

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


10

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm

2;1;3 , 1; 2;1M N và song song với đường thẳng d có phương trình là: 1

: 23 2

x td y t

z t

Giải: Cách 1: Mặt phẳng đi qua hai điểm 2;1;3 , 1; 2;1M N và song song với đường thẳng d

mặt phẳng đi qua điểm M và n MN ; n du (với MN

và du không cùng phương)

mặt phẳng đi qua điểm M và có vtpt n = [ MN

, du ] = 10; 4;1


10(x – 2) – 4(y – 1) + 1(z – 3) = 0 hay : 10 4 19 0x y z Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C


- Mặt phẳng đi qua 2;1;3M .2 .1 .3 0 1A B C D

- Mặt phẳng đi qua 1; 2;1N .1 . 2 .1 0 2A B C D

- Mặt phẳng song song với đường thẳng d . 0 .1 .2 . 2 0 3dn u A B C

Từ (1) và (2) ta được 1 3 1 7,2 2 2 2

C A B D A B thế vào (3) ta được 2 5A B chọn

1 195, 2 ,2 2

A B C D

Vậy phương trình mặt phẳng là 1 195 2 0 10 4 19 02 2

x y z x y z

Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng

3 . Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

mặt phẳng P có vtpt ; ;Pn A B C

- Mặt phẳng P đi qua 1;1;0A . 1 .1 .0 0 1A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 0;0; 2B .0 .0 . 2 0 2A B C D

Từ (1) và (2) ta được 1 ,2

C A B D A B

Nên mặt phẳng P có phương trình là 1 02

Ax By A B z A B

Theo giả thiết

2 2

22 2

172; 3 3 5 2 7 0 151

2

A B A B A BA Ad I P A AB BB B

A B A B

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


11

Với 1AB chọn 1, 1 1, 2 : 2 0A B C D P x y z

Với 75

AB chọn 7, 5 1, 2 : 7 5 2 0A B C D P x y z

Nhận xét: Gọi Ocban );;( là véctơ pháp tuyến của (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt : 1 1 0P a x b y cz Mà (P) qua B(0;0;-2) 2 0 2a b c b a c Ta có PT : 2 2 0P ax a c y cz c

2 2

2 2 2

2; 3 3 2 16 14 0

7( 2 )

a c a cd C P a ac c

a ca a c c

TH 1: ca ta chọn 1 ca Pt của : 2 0P x y z TH 2: ca 7 ta chọn a = 7; c = 1 Pt của : 7 5 2 0P x y z Bài 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;1), B(2;1;2) và mặt phẳng : 2 3 3 0Q x y z . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q). HD: Ta có (1;1;1), (1;2;3), ; (1; 2;1)Q QAB n AB n

Vì ; 0QAB n

nên mặt phẳng (P) nhận ; QAB n

làm véc tơ pháp tuyến

Vậy (P) có phương trình x – 2y + z – 2 =0 Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0). Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 030 Giải:

Giả sử mặt phẳng cần có dạng : ( ) : 1 ( , , 0)x y z a b ca b c

( ) 1 à ( ) 3 ( ) : 13 1x y zDo I c v do K a

b

000

0

.1 1 3 2( ; ;1) (0;0;1) cos303 2.

x yx y

x y

n nn và n k b

b n n

( ) : 13 13 2

2

x y z

Bài 9: (ĐH – B 2009 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh 1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1A B C và 0;3;1D . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho

khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P) Giải: Cách 1: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0ax by cz d a b c


www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


12

- Mặt phẳng P đi qua 1; 2;1A .1 .2 .1 0 1a b c d

- Mặt phẳng P đi qua 2;1;3B . 2 .1 .3 0 2a b c d

Từ (1) và (2) ta được 3 1 5,2 2 2

c a b d a b

Nên mặt phẳng P có phương trình là 3 1 5 02 2 2

ax by a b z a b

Theo giả thiết , ,d C P d D P

2 2

2 2 2 2

3 1 5 5 3 1 5 5.2 . 1 .1 .0 .3 .12 2 2 2 2 2 2 2

3 1 3 12 2 2 22 4

32 0

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b

a ba b a b

b

Với 2 4a b chọn 14, 2 7, 15 : 4 2 7 15 0a b c d P x y z

Với 2 0b chọn 2 23 5 3 50, 1 , : 0 : 2 3 5 02 2 2 2

b a c d P x z P x z

Cách 2: Xét hai trường hợp TH1 : (P) // CD. Ta có : AB ( 3; 1; 2),CD ( 2;4;0)

(P)có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0

4x 2y 7z 15 0

TH2 : (P) qua I (1;1;1) là trung điểm CD Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)

(P) có PVT n (2;0;3)(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0

Đáp số: 1 : 4 2 7 15 0P x y z và 2 : 2 3 5 0P x z Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm 1;0;1 , 2;1;2A B và mặt phẳng

: 2 3 3 0Q x y z . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).

Đs: : 2 2 0P x y z

Bài 2: Lập phương trình mp(P) đi qua 0;3;0 , 1; 1;1M N và tạo với mặt phẳng : 5 0Q x y z

một góc với 1cos3

Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua 1; 1;3 , 1;0;4M N và tạo với mặt phẳng

: 2 5 0Q x y z một góc nhỏ nhất .

Đs: : 4 0P y z

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm 1;2;3 , 2; 2;4M N và song song với Oy. (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


13

Đs: : 2 0x z Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng : 2 3 7 0P x y z . Viết phương trình

mặt phẳng ( ) đi qua 1;1;0 , 1;2;7A B và vuông góc với (P). (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)

Đs: :11 8 2 19 0x y z Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm Mo(xo;yo;zo) M1(x1;y1;z1) và M3(x3;y3;z3) không thẳng hàng cho trước Phương pháp: Cách 1: - Tìm hai vecto 0 1 0 2,M M M M

- Tìm vtpt 0 1 0 2,n M M M M

- P là mặt phẳng qua 0M và có VTPT n

Cách 2: - Giả sử phương trình mặt phẳng P là 0 1Ax By Cz D 2 2 2( 0)A B C

- Vì P đi qua ba điểm 0 1,M M và 2M thay tọa độ vào phương trình (1) được hệ 3 ẩn, 3 phương trình theo ,A B và C . Giải hệ này ta được ,A B và C - Thay vào phương trình (1) ta được phương trình mặt phẳng P

Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M 3;0;0 ; 0; 2;0N và 0;0; 1P

Giải: Cách 1: Mặt phẳng đi qua ba điểm 3;0;0M ; 0; 2;0N và 0;0; 1P mặt phẳng đi qua điểm M

và n MN

; n MP

(với MN

và MP


mặt phẳng đi qua điểm M và nhận vtpt n = [ MN

, MP

] = (2;3;6)


2(x + 3) + 3(y – 0 ) + 6(z – 0) = 0 hay : 2x + 3y + 6z + 6 = 0 Cách 2: Giả sử mặt phẳng có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C

- Mặt phẳng đi qua M 3;0;0 . 1 .0 .0 0 1A B C D

- Mặt phẳng đi qua 0; 2;0N .0 . 2 .0 0 2A B C D

- Mặt phẳng đi qua 0;0; 1P .0 .0 . 1 0 3A B C D Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A = 2, B = 3, C = 6 và D = 6 . Vậy mặt phẳng có phương trình là 2 3 6 6 0x y z Cách 3: Nhận thấy M 3;0;0 Ox ; N 0; 2;0 Oy và P 0;0; 1 Oz nên phương trình mặt phẳng là mặt phẳng theo đoạn chắn có dạng :

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


14

1123

zyx hay : 2 3 6 6 0x y z

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN, biết M và N có toạ độ cho trước Phương pháp: - Tính tọa độ trung điểm I của MN và tính MN

- Mặt phẳng trung trục của đoạn MN là mặt phẳng đi qua I và có vtpt Pn MN

- Biết một điểm và một vtpt ta được phương trình mặt phẳng cần tìm Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3) Giải: Cách 1: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB I(3;2;5) .Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi trung điểm I của A,B và vuông góc với đoạn thẳng AB mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua I và nhận vectơ AB

= 2; 2; 4 = 2 1; 1; 2 làm vtpt

mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là: 1(x – 3) – 1(y – 2) – 2(z – 5 ) = 0 hay : – – 2 9 0 P x y z Cách 2: (Phương pháp quĩ tích ) Mọi điểm M(x;y;z) thuộc mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB MA = MB

2 2 2 2 2 22 2 – 2 – 3 – 7 – 4 – 1 – 3MA MB x y z x y z – – 2 9 0 x y z Cách 3: Mặt phẳng trung trực (P) nhận AB

làm vtpt luôn có dạng x – y – 2z + D’ = 0 ,vì I mặt phẳng trung

trực 3 – 2 – 2.5 + D’ D’ = 9 mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là : x – y – 2z + 9 = 0 Cách 4: Mặt phẳng trung trực (P) nhận AB

làm vtpt luôn có dạng x – y + 2z + D’ = 0 vì mặt phẳng (P) cách đều

, , ,A B d A P d B P

411

'7.232

D =

411'3.214

D 9'13' DD D’ = 9

Vậy mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là: – – 2 9 0 x y z Nhận xét : - Bài toán này thực chất là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc giá của một vectơ (thuộc dạng 1) - Vectơ đi qua hai điểm cho trước được coi là một vtcp của đường thẳng Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm 1; 4;5 , 3; 2;7E F . Viết phương trình mặt

phẳng ( ) là trung trực của đoạn thẳng EF.

(Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban lần 2 năm 2007) Đs: : 3 5 0x y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


15

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai hai đường thẳng ( 1 ) và ( 2 ) cho trước Phương pháp: - Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng 1 2àv nên có vtpt 1 2;Pn u u

- mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng 1 2àv nên (P) đi qua trung điểm của I của MN với

1 2àM v N ...Quay về dạng 4

Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHSP HN 2 – 98) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình là

d :

tztytx

212

và d’ :

03022

yzx

a. Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau b. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và đồng thời cách đều d và d’ Giải: a. Chọn điểm M(2;1;0) d và d có vtcp 1; 1; 2du

,chọn điểm N(0;3;1) d’ và d’ có vtcp

' 2;0;1du .Tính n = [ du , 'du ] = 1; 5; 2 (với du và 'du không cùng phương) và 2;2;1MN

. Xét . 1. 2 – 5.2 – 2.1 10 0n MN

d và d’ chéo nhau

b. Gọi I

21;2;1 là trung điểm của M và N .Mặt phẳng (P) song song và cách đều d và d’

mặt phẳng (P) đi qua I và có vtpt Pn = n mặt phẳng (P) có phương trình là :

– 1(x – 1) – 5(y – 2) – 2

21z = 0 hay (P) : x + 5y + 2x – 12 = 0

Nhận xét : - Mặt phẳng (P) song song và đồng thời cách đều d và d’ thực chất là mặt phẳng trung trực của đoạn M và N nên có thể áp dụng các cách ở bài (dạng 4 ) Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 biết:

1

2: 2

3

x td y t

z t

và 21 2 1:

2 1 5x y zd

Giải:

Đường thẳng d2 có phương trình tham số là: 1 2 '2 '1 5 '

x ty tz t

vectơ chỉ phương của d1 và d2 là: 1 2(1;1; 1), (2;1;5)u u

VTPT của mp( ) là 1 2. (6; 7; 1)d dn u u

pt mp( ) có dạng 6x – 7y – z + D = 0 Đường thẳng d1 và d2 lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)

( , ( )) ( , ( )) |12 14 3 | | 6 14 1 || 5 | | 9 | 7d M d N D D

D D D

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


16

Vậy PT mp( ) là: 3x – y – 4z + 7 0 Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng (Q1) và Q2 (với Q1 và Q2 song song với nhau) Chú ý: - Sử dụng công thức khoảng cách - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng kia Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là (P) : 3x – y + 4z + 2 = 0 và (Q) : 3x – y + 4z + 8 = 0 Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song và cách đều (P), (Q) Giải: Vì Pn = Qn = (3;-1;4) và 2 8 nên (P) // (Q), chọn điểm M(0;2;0)(P) và điểm N(0;8;0) (Q)

Mặt phẳng song song với (P) và (Q) luôn có dạng 3x – y + 4z + D’ = 0, vì cách đều (P) và (Q)

nên , ,d M d N

1619

'0.420.3

D =

1619'0.480.3

D 8'2' DD D’ = 4

Vậy mặt phẳng ( ) có phương trình là :3x – y + 4z + 4 = 0 Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với một mặt cầu (S) và thỏa mãn một điều kiện cho trước Phương pháp: - Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) và vtpt hoặc vtcp - Bước 2: Từ điều kiện cho trước xác định vtpt Pn , giả sử ; ;Pn a b c

khi đó mặt phẳng P có dạng 'ax 0by cz D với ' 0D (1)

- Bước 3: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ,d I P R , từ đây được phương trình theo D,

giải phương trình (tại tuyệt đối) được D’ thay vào (1) ta được phương trình mặt phẳng P cần tìm - Bước 4: Kết luận (thường có hai mặt phẳng thỏa mãn) Chú ý: Điều kiện cho trước là - Song song với mặt phẳng Q cho trước P Qn n

- Vuông góc với đường thẳng d cho trước P dn u

- Song song với hai đường thẳng d1 và d2 cho trước 1 2,Pn u u

- Vuông góc với hai mặt phẳng Q và R cho trước 1 2,Pn n n

- Song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng Q cho trước ,P d Qn u n

Chú ý : Nếu mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M S thì mặt phẳng P đi qua điểm M và có VTPT

là MI

Bài tập giải mẫu:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


17

Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T93) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình 2 2 2: – 10 2 26 170 0S x y z x y z và song song với hai đường thẳng

5 2

: 1 313 2

x td y t

z t

7 3 '

’ : 1 2 '8

x td y t

z

Giải : Ta có 2; 3; 2du

và ' 3; 2;0du .

Mặt cầu (S) (x – 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 25 mặt cầu (S) có tâm 5; 1; 13I và bán kính R = 5

Mặt phẳng song song với d và d’

mặt phẳng có n du ; n 'du (với du và 'du không cùng phương )

mặt phẳng có vtpt n = [ du , 'du ] = (4;6;5)

mặt phẳng luôn có dạng 4x + 6y + 5z + D’ = 0 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I,( )) = R

5253616

')13.(5)1.(65.4

D 77552' D D’ = 52 5 77

Vậy có hai mặt phẳng ( ) thỏa mãn đề bài là : 1 : 4x + 6y + 5z + 51 + 5 77 = 0

2 : 4x + 6y + 5z + 51 – 5 77 = 0 Bài 2: (SBT – Ban Nâng Cao T138) Trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình lần lượt là :

(S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và 5 1 13:2 3 2

x y zd

Giải: Đường thẳng d có vtcp 2; 3;2du

. Mặt cầu (S) (x – 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 308 mặt cầu (S) có tâm 5; 1; 13I và bán kính 308R

Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên có vtpt 2; 3;2P dn u

mặt phẳng (P) luôn có dạng 2x – 3y + 2z + D’ = 0 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ,d I P R

2.( 5) 3.( 1) 2.( 13) '308 ' 13 5236 ' 13 5236

4 9 4D

D D

Vậy có hai mặt phẳng (P) thỏa mãn đầu bài là : (P1): 2x – 3y + 2z + 13 + 5236 = 0 (P2): 2x – 3y + 2z + 13 – 5236 = 0 Bài 3: (SGK – Ban Nâng Cao T90 – ĐHGTVT – 1998 ) Trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là : : 4 3 –12 1 0Q x y z và 2 2 2: – 2 – 4 – 6 – 2 0S x y z x y z

Giải:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


18

Mặt phẳng (Q) có vtpt 4;3; 12Qn .

Mặt cầu (S) (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 16 mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kinh R = 4 Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) mặt phẳng (P) luôn có dạng 4x + 3y – 12z + D’ = 0 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ,d I P R

4.1 3.2 12.3 ' ' 264 ' 26 52

' 7816 9 144D D

DD

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đầu bài là : (P1): 4x + 3y – 12z + 78 = 0 (P2): 4x + 3y – 12z – 26 = 0 Bài 4: (Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với trục Oz, vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0 Giải: Mặt phẳng (P) có vtpt Pn = (1;1;1) . Mặt cầu (S) (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 9 mặt cầu (S) có tâm 1; 1; 2I và có bán kính R = 3 Mặt phẳng ( ) song song với trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng ( ) có n k

; n Pn (với k

và Pn không cùng phương )

mặt phẳng ( ) có vtpt n = [ k

, Pn ] = 1; 1;0 mặt phẳng ( ) luôn có dạng x – y + D’ = 0 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) ,d I P R

1.1 1.( 1) '3 ' 2 3 2 2 3 2

1 1D

D D

Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn đầu bài là: 1 : x – y – 2 + 3 2 = 0

2 : x – y – 2 – 3 2 = 0 Bài 5: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong không gian với hệ toạ độ O xyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M(4;3;0) .Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và đi qua điểm M Giải: Vì M(4;3;0) (S) nên mặt phẳng (P) đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu (S) là mặt phẳng đi qua M và nhận 1;2;2IM

làm vtpt với 3;1; 2I là tâm của mặt cầu (S)

mặt phẳng (P) có phương trình là: 1(x – 4) + 2(y – 3) + 2(z – 0 ) = 0 hay (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2( ) : 2 6 4 2 0S x y z x y z . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ (1;6; 2)v

, vuông góc với mặt phẳng

( ) : 4 11 0x y z và tiếp xúc với (S). Giải: Ta có mặt cầu (S) có tâm 1; 3;2I và bán kính 4R

Véc tơ pháp tuyến của ( ) là (1;4;1)n

Vì ( ) ( )P và song song với giá của v

nên nhận véc tơ (2; 1;2)pn n v

làm vtpt.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


19

Do đó : 2 2 0P x y z m

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên 21

( , ( )) 4 ( , ( )) 43

md I P d I P

m

Vậy có hai mặt phẳng: 1 : 2 2 21 0P x y z và 2 : 2 2 3 0P x y z Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

2 2 2: 2 1 1 9S x y z và vuông góc với đường thẳng 1

: 1 21 3

x td y t

z t

Đs: 2 3 7 3 14 0x y z và 2 3 7 3 14 0x y z Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2: 4 2 4 7 0S x y z x y z

và hai đường thẳng 4 0

:3 1 0x y z

dx y z

và 1 2’ :

1 2 2x y zd

. Viết phương trình mặt phẳng

là tiếp diện của (S) đồng thời song song với d và d’. Đs: 4 7 12 2 0x y z và 4 7 12 2 0x y z Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng / / : 2 2 4 0P x y z và tiếp xúc với mặt cầu (S) có

phương trình: 2 2 2 2 2 4 3 0x y z x y z Đs: 2 2 17 0 x y z và 2 2 1 0x y z Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng / / : 2 2 1 0P x y z và tiếp xúc với mặt cầu (S)

có phương trình: 2 2 22 1 2 4.x y z Đs: 2 2 6 0x y z và 2 2 6 0x y z Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

2 2 2: 2 2 4 3 0S x y z x y z và vuông góc với đường thẳng 1 2:1 2 2

x y zd

Đs: 2 2 6 0 x y z và 2 2 12 0 x y z

Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng song song với 2 1:1 3 1

x y zd

, vuông góc với

: 2 1 0 P x y z và tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2: 2 1 9S x y z

Đs: 4 3 5 11 15 2 0x y z và 4 3 5 11 15 2 0x y z Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2: 2 2 4 3 0S x y z x y z

và hai đường thẳng 2 2 0

:2 0

x yd

x z

và ' 1:

1 1 1x y zd

. Viết phương trình mặt phẳng là tiếp

diện của (S) đồng thời song song với d và d’. Đs: 3 3 2 0y z và 3 3 2 0y z Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm 0; 1; 2 ,A

1;0;3B và tiếp xúc với mặt cầu S có phương trình: 2 2 2( 1) ( 2) ( 1) 2x y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


20

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng cho trước và thoả mãn điều kiện Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng Phương pháp:

1. Tìm VTPT của là n

và VTCP của là u

2. VTPT của mặt phẳng là: n n u

3. Lấy một điểm M trên 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với ’ ( , ’ chéo nhau) Phương pháp:

1. Tìm VTCP của và ’ là u

và 'u

2. VTPT của mặt phẳng là: 'n u u


Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với một đường thẳng Loại 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và 1 điểm M Phương pháp:

1. Tìm VTCP của là u

, lấy 1 điể m N trên . Tính tọa độ MN

2. VTPT của mặt phẳng là: n u MN

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước Loại 4: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng (hoặc đường thẳng d ) một góc Loại 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và cách một điểm M không thuộc một khoảng h Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng P

a. Đi qua điểm 2;1; 1oM và qua giao tuyến của hai mặt phẳng Q và R có phương trình lần lượt là: – – 4 0x y z và 3 – –1 0x y z

b. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 3 – – 2 0x y z và : 4 – 5 0x y đồng thời vuông góc

với mặt phẳng : 2 – 7 0x z Giải: a. Cách 1: Gọi là giao tuyến của (Q) và (R) có phương trình

:

01304

zyxzyx

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


21

chọn hai điểm 3 11; ;02 2

M

và 3 11;0;2 2

N

Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (Q) và (P) mặt phẳng (P) chứa giao tuyến mặt phẳng (P) đi qua ba điểm Mo; M và N

(P) đi qua điểm Mo và có vtpt Pn = [ 0M M

, 0M N

] = 7;7;15411

477;

477;

4165

(với

0M M

và 0M N

không cùng phương ) mặt phẳng (P) có phương trình là : 15(x – 2) – 7(y – 1) + 7(z + 1) = 0 hay : 15 – 7 7 – 16 0P x y z Cách 2: Gọi là giao tuyến của Q và R có phương trình

– – 4 0

:3 – –1 0x y zx y z

Chọn hai điểm 3 11; ;02 2

M

và 3 11;0;2 2

N

Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C


- Mặt phẳng P đi qua 3 11; ;02 2

M

3 11. . .0 0 12 2

A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 3 11;0;2 2

N

3 11. .0 . 0 22 2

A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 2;1; 1oM .2 .1 . 1 0 3A B C D

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được 15, 7, 7, 16 : 15 – 7 7 – 16 0A B C D P x y z Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau) Nhận xét: Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (trong đó hai điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng) b. Cách 1: Gọi là giao tuyến của và ( ) có phương trình

:

054023

yxzyx

Chọn hai điểm M 5;0; 13 và N(1;1;0)

Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ), và vuông góc với mặt phẳng

mặt phẳng (P) chứa giao tuyến và vuông góc với mặt phẳng

mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt Pn = [ MN

, n ] = 1;22; 2 mặt phẳng (P) có phương trình là : – 1(x – 5) + 22(y – 0 ) – 2(z + 13) = 0 hay (P) : x – 22y + 2z + 21 = 0 Hoặc có thể tính ,Pn u n

Nhận xét: Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng (trong đó hai điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng) Cách 2: . Gọi là giao tuyến của và có phương trình

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


22

:

054023

yxzyx

Chọn hai điểm 5;0; 13M và 1;1;0N



- Mặt phẳng P đi qua 5;0; 13M .5 .0 . 13 0 1A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 1;1;0N .1 .1 .0 0 2A B C D

Từ (1) và (2) ta được 413A BC

và D A B

Nên mặt phẳng P có vtpt 4; ;13P

A Bn A B

Mặt phẳng có vtpt 2;0; 1n , mặt phẳng P vuông góc với

4. .2 .0 . 1 0 2213P

A Bn n A B A B

chọn 1, 22 2, 21A B C D

Vậy mặt phẳng P có phương trình là – 22 2 21 0x y z Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau) Bài 2: (ĐH – A 2002) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng

1

2 4 0:

2 2 4 0x y zx y z

2

1: 2

1 2

x ty tz t

Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2 Giải: Cách 1: Chọn M 0; 2;0 1 và 1 có vtcp 1u = (2;3;4), 2 có vtcp 2u = (1;1;2) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2 mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt Pn = [ 1u , 2u ] = (2;0;-1) mặt phẳng (P) có phương trình là : 2(x – 0 ) + 0(y + 2) – 1(z – 0 ) = 0 hay 2 0x z Hoặc Có thể tính vtpt là 2,Pn MN u

với 1,M N

Cách 2:

Chọn hai điểm 4 8;0;3 3

M

và 0; 2;0N 1



- Mặt phẳng P đi qua 4 8;0;3 3

M

4 8. .0 . 0 13 3

A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 0; 2;0N .0 . 2 .0 0 2A B C D

Từ (1) và (2) ta được 1 32 4

C A B và 2D B

Nên mặt phẳng P có vtpt 1 3; ;2 4Pn A B A B

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


23

Đường thẳng 2 có vtcp 2 1;1;2u

, mặt phẳng P song song với đường thẳng 2

21 3. .1 .1 .2 0 5 02 4Pn u A B A B B

chọn 11, 0 , 02

A B C D

Vậy mặt phẳng P có phương trình là 1– 0 2 02

x z x z

Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau) Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua giao tuyến của hai

mặt phẳng : – – 3 0x y z và : 3 5 – 1 0x y z đồng thời song song với mặt

phẳng : 2 – 3 0x y z Giải: Cách 1: Gọi là giao tuyến của ( ) và ( ) có phương trình

:

015303

zyxzyx

Chọn M

34;

34;3

Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của ( ) và ( ) đồng thời song song với mặt phẳng ( ) mặt phẳng (P) chứa giao tuyến và song song với mặt phẳng ( ) mặt phẳng (P) đi qua điểm M và luôn có dạng: x + y + 2z + D’ = 0

P đi qua điểm M nên 3 +

34 + 2

34 + D’ = 0 D’ = 1

Vậy mặt phẳng (P) có phương trình x + y + 2z + 1 = 0 Hoặc: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt ,Pn u n

Hoặc: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt ,Pn MN n

với ,M N

Cách 2: Gọi là giao tuyến của và có phương trình

3 0

:3 5 1 0x y zx y z



Chọn hai điểm 1 7;0; 4M và 2 1; 2;0M

- Mặt phẳng P đi qua 1 7;0; 4M .7 .0 . 4 0 1A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 2 1; 2;0M .1 . 2 .0 0 2A B C D

Từ (1) và (2) ta được 32

B AC và 2 –D B A

Nên mặt phẳng P có vtpt 3; ;2P

B An A B

Mặt phẳng có vtpt 1;1;2n , mặt phẳng P song song với

Pn và n cùng phương 2.23

11ABBA

chọn 1, 1 2, 1A B C D

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


24

Vậy mặt phẳng P có phương trình là 2 1 0x y z Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau) Nhận xét : Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song một mặt phẳng (trong đó một điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng) Bài 5: Trong không gian Oxyz cho hai điểm 1;3; 2 , 3;7; 18A B và mặt phẳng

: 2 1 0P x y z . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P). Giải: Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm Ta có ( 2, 4, 16)AB

cùng phương với ( 1, 2, 8)a

Mặt phẳng (P) có vtpt 1 (2; 1;1)n

Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có vtpt , 6;15;3 3 2;5;1Qn n a

Chọn vtpt của mặt phẳng (Q) là 2 (2,5,1)n

Mp(Q) chứa AB và vuông góc với (P) đi qua A nhận 2 (2,5,1)n

là vtpt có phương trình là: 2(x + 1) + 5(y 3) + 1(z + 2) = 0 2x + 5y + z 11 = 0 Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình là:

d : zyx

12 và d’ :

153

22

zyx .

Viết phương trình mặt phẳng )( đi qua d và tạo với d’ một góc 030 Giải: - Đường thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vtcp (1; 1;1)u

- Đường thẳng d’ đi qua điểm )5;3;2(' M và có vtcp '(2;1; 1)u

Giả sử mặt phẳng )( có vtpt ( ; ; )n A B C

Mặt phẳng )( phải đi qua điểm M và có vtpt n

vuông góc với và u

Đồng thời tạo với đường thẳng d’ một góc 030 tức là 2160cos)';cos( 0 un

Ta có hệ

21

6

20

222 CBACBA

CBA

02)(632 22222 CACACAB

CCAAA

CAB

Giải phương trình 2 22 0 ( )(2 ) 02A C

A AC C A C A CA C

.

- Nếu CA , chọn 1A C , khi đó 2B , tức là (1;2;1)n

và mặt phẳng ( ) có phương trình là 0)2(2 zyx hay 2 4 0x y z

- Nếu CA 2 , chọn 2,1 CA , khi đó 1B , tức là (1; 1; 2)n

và mặt phẳng ( ) có phương trình là 02)2( zyx hay 2 2 0x y z

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 11 1:

2 1 1x y zd

và

22 1:

1 1 1x y zd

. Viết phương trình mặt phẳng chứa 1d và hợp với 2d một góc 300

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


25

Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C


Trên đường thẳng 1d lấy 2 điểm 1;0; 1 , 1;1;0M N

Do P qua ,M N nên: 0 20

A C D C A BA B D D A B

Nên ( ) : (2 ) 0P Ax By A B z A B .

Theo giả thiết ta có 0

2 2 2 2 2 2

1. 1. 1.(2 )1 sin 302 1 ( 1) 1 . (2 )

A B A B

A B A B

2 2 2 22 3 2 3(5 4 2 ) 21 36 10 0A B A AB B A AB B

Dễ thấy 0B nên chọn 1B , suy ra: 18 11421

A

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: 18 114 15 2 114 3 114 021 21 21

x y z

.

Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2

2 3 5 0 2 2 3 17 0: :

2 0 2 2 3 0x y z x y z

d và dx y z x y z

Lập phương trình mặt phẳng đi qua 1d và song song với 2d . Giải: Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm Đường thẳng 1d và 2d có vtcp lần lượt là 1 2(1; 1; 1); (1; 2; 2)u u

Mặt phẳng (Q) đi qua 1d và song song với 2d nên có vtpt là 1 2, ( 4; 3; 1) 1(4;3;1)Qn u u

Chọn (4;3;1)Qn

và 1(2; 1;0)I d

Mặt khác: 2(0; 25;11)J d ta thấy (0; 25;11)J Q Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình là ( ) : 4( 2) 3( 1) 0 ( ) : 4 3 5 0Q x y z hay Q x y z

Bài 9: Cho đường thẳng 2 0

:1 0

yd

z

. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua d và tạo với mặt phẳng

Oxy một góc 045 Đs: Mặt phẳng : 2 1 0P y z

Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng 2 0

:1 0

x y zd

x y

và cách điểm 0;0;2M

một khoảng 12

h

Đs: Có hai mặt phẳng thỏa mãn là 1 0, 5 4 3 1 0x y x y z Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai điểm 1;3; 2 , 3;7; 18A B và mặt phẳng

: 2 1 0P x y z . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


26

Đs: 2 5 11 0x y z

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 8 11 8 30 0

:2 0

x y zd

x y z

và có khoảng cách

đến điểm 1;3; 2A bằng 29

Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng :2 5 0Q x y z một góc 060

Đs: 1 2: 3 0 ; :3 0P x y P x y

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa 1 1 2:2 1 5

x y zd sao cho khoảng cách từ 5;1;6A

đến (α) lớn nhất. Đs: : 2 1 0x y z Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 1; –2; 2) và B(–1; 6 ; 4) biết khoảng cách từ M (3 ;2; 1) đến mặt phẳng (P) bằng 11

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình 3

12

11

2

zyx và

mặt phẳng : 3 2 0P x y z . Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2007) Đs: : 3 5 0x z

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng 1 và 2 cắt nhau hoặc song song với nhau Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và ’ Phương pháp:


và 'u

2. VTPT của mặt phẳng là: 'n u u


Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 song song và ’ Phương pháp giải


và 'u

, lấy , 'M N

2. VTPT của mặt phẳng là: n u MN

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH – D 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

11 2 1:

3 1 2x y zd

và 2

2 0:

3 12 0x y z

dx y

. Chứng minh d1 và d2 song song với nhau .Viết

phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2 Giải: - Chứng minh d1 và d2 song song với nhau ,ta có d1 đi qua điểm M(1;-2;-1) và có vtcp 1u = (3;-1;2)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


27

d2 có vtcp 2u = (3;-1;2) = 1u và M1 d2 vậy d1 // d2 - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả d1 và d2 Cách 1: chọn hai điểm N(-3;5;0) và Q(12;0;10) d2 . Mặt phẳng (P) chứa d1 // d2 mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M,N và Q mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt ,Pn MN MQ

75;55; 85 5 15;11; 17 (với MN

và MQ

không cùng phương ) mặt phẳng (P) có phương trình là : 15(x – 1) + 11(y + 2) – 17(z + 1) = 0 hay (P) : 15x + 11y – 17z – 10 = 0 Cách 2: chọn N(-3;5;0) d2 .Mặt phẳng (P) chứa d1 // d2 mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt Pn = [ 1u , MN

] = (15;11;-17) (với 1u và MN


mặt phẳng (P) có phương trình là : 15(x – 1) + 11(y + 2) – 17(z + 1) = 0 hay (P) : 15x + 11y – 17z – 10 = 0 Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo) Mặt phẳng (P) chứa d1 // d2 mặt phẳng (P) đi qua điểm và chứa d2 Mặt phẳng (P) chùm mặt phẳng xác định bởi d2 có dạng α(x + y – z – 2) + β(x + 3y – 12) = 0 (α2 + β2 0) (α + β)x +(α + 3 β)y – αz – 2α – 12β = 0 vì M (P) (α + β).1 + (α + 3 β)(-2) – α(-1) – 2α – 12β = 0 - 2α - 17β = 0 chọn α = 17 và β = -2 Vậy mặt phẳng (P) có phương trình là : 15x + 11y – 17z – 10 = 0 Bài 2: (SBT – Ban Cơ Bản T115) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

d1 : 4

532

21

zyx và d2 :

tztytx

212237

a. Chứng minh rằng d1 và d2 cùng nằm trong một mặt phẳng ( ) b. Viết phương trình mặt phẳng ( ) Giải: a. Chọn M1(1;-2;5) d1 và d1 có vtcp n = (2;-3;4) ,chọn M2(7;2;1) d2 và d2 có vtcp 2u = (3;2;-2). Tính n = [ 1u , 2u ] = (-2;16;13) và 1 2M M

= (6;4;-4)

Xét n . 1 2M M

= (-2).6 + 16.4 +13.(-4) = 0 d1 và d2 cùng nằm trên mặt phẳng ( ) ,mặt khác ta có 1u 2u d1 và d2 cắt nhau b. Cách 1: Mặt phẳng ( ) chứa d1 và d2 mặt phẳng ( ) đi qua M1 và có vtpt n α = n mặt phẳng ( ) có phương trình là : - 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0 hay ( ) : 2x – 16y – 13z + 31 = 0 Cách 2: Có thể lấy vtpt n α = [ 1u , 1 2M M

] = (-4;32:26) = -2(2;-16;-13)

Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt n α mặt phẳng ( ) có phương trình là : 2x – 16y – 13z + 31 = 0 Cách 3:

Chuyển d1 về dạng tổng quát là d1 :

07340123

zyyx

chọn I

37;0;

31 d1 .Mặt phẳng ( ) chứa d1 và

d2 là mặt phẳng đi qua ba điểm M1,M2 và I hướng dẫn : Làm tương tự như dạng Cách 4: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo) Mặt phẳng ( ) chứa d1 và d2 mặt phẳng ( ) chứa d1 và đi qua điểm M2 d2

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


28

hướng dẫn : Làm tương tự như bài 1 (cách 3) dạng Nhận xét : Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2

5 27 0

: 1 :2 3 16 0

5

x tx y z

d y t và dx y z

z t

Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 2àd v d Giải: Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có:

1

1 2

( ) ( )

(5;1;5) ; (5;2;0) (0;1; 5)

à . (0;1; 5) ( ) : 3( 5) 5( 1) 5 0

( ) : 3 5 25 0

Q d

M d N d MN

v n u MN Q x y z

hay Q x y z

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q và cách mặt phẳng Q một khoảng h Chú ý: Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Bài tập giải mẫu: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng P song song với mặt phẳng : 2 0Q x y z và cách nó một

khoảng 3h Giải: Mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q có dạng 0x y z C

Lấy điểm 2;0;0M Q .

Ta có 2 1

, , 353

m md P Q d M P

m

Vậy phương trình mặt phẳng Q cần tìm là 1 0; 5 0x y z x y z Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng / /P Q và cách P một khoảng h trong các trường họp sau:

a. Mặt phẳng P có phương trình 2 2 0x y z và 3h

b. Mặt phẳng P có phương trình 4 0x và 2h Đs: a. 2 2 9 0;2 2 9 0x y z x y z b. 2 0; 6 0x x Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và tạo với hai đường thẳng 1 2 d và d (hoặc hai mặt phẳng 1 2 P và P ) các góc và Chú ý: Sử dụng công thức góc giữa hai mặt phẳng

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


29

Bài tập giải mẫu: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm 1;2;3M và tạo với mặt phẳng Ox, Oy các góc

tương ứng là 0 045 , 30 Giải: Gọi ; ;n A B C

là vtpt của mặt phẳng P . Các vtcp của trục Ox và Oy là 1;0;0i

và 0;1;0j

. Theo giả thiết ta có hệ

0

2 2 2

2 2 20

2 2 2

1sin 45222

1sin 302

AA BA BA B C

B C BA B CA B C

Chọn 1B ta được 2, 1A C Vậy phương trình mặt phẳng P đi qua điểm 1;2;3M là

2 1 2 3 0; 2 1 2 3 0x y z x y z

Bài 2: Cho mặt phẳng P có phương trình 2 0x y z và điểm 2; 3;1M . Viết phương trình mặt

phẳng Q đi qua M vuông góc với mặt phẳng và tạo với mặt phẳng một góc 045 Giải: Gọi ; ;n A B C

là vtpt của mặt phẳng Q . Theo giả thiết ta có hệ phương trình

2 2 2

2 0

12

A B CA

A B C

. Giải hệ trên ta được 1;1;0 , 5; 3;4n n

Vậy phương trình mặt phẳng Q đi qua điểm 2; 3;1M là

1 0x y hoặc 5 2 3 3 4 1 0x y z Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng mặt Q trong các trường hợp sau:

a. Vuông góc với các mặt phẳng 1 2,P P có phương trình lần lượt là 2 0; 1 0x z x y z và đi qua gốc tọa độ b. Tạo với các mặt phẳng 1 2,P P có phương trình lần lượt là 2 0; 1 0x z x y z các góc

tương ứng là 045 và góc với 1cos3

đồng thời đi qua gốc tọa độ

Đs: a. 0x z b. 0; 0x z Bài tập giải mẫu tổng hợp:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


30

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm 10;2; 1A và đường thẳng d có phương

trình1 2

1 3

x ty tz t

. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là

lớn nhất. Giải: Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và / /P d , khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HIAH HI lớn nhất khi IA Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến.

)31;;21( tttHdH vì H là hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0. uuAHdAH là véc tơ

chỉ phương của d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vậy (P): : 7 –10 – 2 – 5 1 0P x y z

7 5 77 0x y z

Bài 2: Cho đường thẳng D có phương trình:2

: 22 2

x tD y t

z t

.Gọi là đường thẳng qua điểm 4;0; 1A

song song với d và 2;0; 2I là hình chiếu vuông góc của A trên D. Trong các mặt phẳng qua , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến là lớn nhất. Giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng , thì ( ) //( )P D hoặc ( )P D . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH IA và IH AH .

Mặt khác

, ,d D P d I P IH

H P

Trong mặt phẳng P , IH IA ; do đó max IH IA H A . Lúc này (P) ở vị trí (P0) vuông góc với IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P0) là 6;0; 3n IA

, cùng phương với 2;0; 1v

.

Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2 4 1. 1 2 9 0x z x z .

Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 3:1 1 4

x y z và điểm

0; 2;0 .M Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4. Giải: Giả sử ( ; ; )n a b c

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng : 2 0P ax by cz b .

Đường thẳng đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương (1;1;4)u

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


31

Từ giả thiết ta có 2 2 2

. 4 0/ /( ) (1)| 5 | 4( ; ( )) 4 (2)

n u a b cP

a bd A Pa b c

Thế 4b a c vào (2) ta có 2 2 2 2 24

( 5 ) (2 17 8 ) 2 8 02

aca c a c ac a ac cac

Với 4ac chọn 4, 1 8a c b . Phương trình mặt phẳng : 4 8 16 0.P x y z

Với 2ac chọn 2, 1 2a c b . Phương trình mặt phẳng : 2 2 4 0.P x y z

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương

trình: : 2 2 2 0P x y z và 1 2:1 2 1

x y zd

1. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. Giải:

1. Đường thẳng có phương trình tham số là: : 1 2 ; 2

x ty t t Rz t

Gọi tâm mặt cầu là I. Giả sử ( ; 1 2 ;2 )I t t t Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:

2| 2 1 2 4 2 2 | | 6 5 | 3( ; ) 3

73 33

tt t t td It

Có hai tâm mặt cầu: 2 1 8 7 17 1; ; ; ; ;3 3 3 3 3 7

I I

Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu có bán kính là R = 5. Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

2 2 2 2 2 22 1 8 7 17 125 ; 253 3 3 3 3 3

x y z x y z

2. Đường thẳng có VTCP ( 1;2;1)u

có phương trình tổng quát là: 2 1 0

:2 0

x yx z

Mặt phẳng (P) có VTPT (2; 1; 2)n

Góc giữa đường thẳng () và mặt phẳng (P) là: | 2 2 2 | 6sin33. 6

Góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là 6 3cos 19 3

Giả sử (Q) đi qua có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z 2) = 0 (m2+ n2 > 0) (2m + n)x + my + nz + m 2n = 0

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


32

Vậy góc giữa (P) và (Q) là: 2 2

| 3 | 3cos33. 5 2 4

mm n mn

m2 + 2mn + n2 = 0 (m + n)2 = 0 m = n. Chọn m = 1, n = 1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y z + 3 = 0 Bài 5 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 1;2;3 .M Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Giải :

Mặt phẳng cắt 3 tia Ox, Oy, Oz tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có dạng : 1, , , 0x y z a b ca b c

Do M nên: cos

31 2 3 61 3. 162

yabc

a b c abc

Thể tích: min

31 27 27 66

9

aV abc V b

c

Mặt phẳng cần tìm : 6 3 2 18 0x y z

Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng : 0Q x y z

và cách điểm 1; 2; 1M một khoảng bằng 2 Giải: Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng : Ax + By + Cz = 0 với 2 2 2A B C 0 Vì (P) (Q) nên 1. 1. 1. 0 0A B C A B C C A B (1) Theo đề :

2 2 2 2

2 2 2

2; 2 2 ( 2 ) 2( )

A B Cd M P A B C A B C

A B C

(2)

Thay (1) vào (2) , ta được : 20

8AB 5 0 8B =5

BB A

(1)0 .B C A Chọn 1, 1A C thì : 0P x z

8B =5A

. Chọn (1)A 5 , B 1 3C thì : 5 8 3 0P x y z

Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình (S): 2 2 2 4 4 2 16 0x y z x y z ; ( ) : 2 2 1 0.P x y z Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (Q) bằng 3. Giải: (S): 2 2 2 4 4 2 16 0x y z x y z (S) có tâm I(2;2;-1) phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 2 2 0x y z D điều kiện 1(*)D

( , ( )) 3d I P 2 2 2

| 2.2 1.2 2( 1) | 32 1 ( 2)

D

1| 8 | 9

17D

DD

Kết hợp với điều kiện (*) ta được D = -17

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


33

Vậy phương trình của : 2 2 17 0Q x y z

Bài 9: (ĐH – D 2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z 3 = 0 và (Q): x y + z 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

Giải: PVT (1;1;1)Pn

; PVT (1; 1;1)Qm

; PVT (2;0; 2) 2(1;0; 1)Rk n m

Phương trình (R) có dạng : x z + D = 0. Ta có : d (0;(R)) = 2 2 2 22

DD

Phương trình (R) : 2 2 0 2 2 0x z hay x z

Bài 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 2 2 21 2 3 14x y z và

điểm 1; 3; 2M . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua sao cho (P) cắt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giải: Ta thấy M thuộc miền trong của (S) và (S) có tâm 1; 2; 3 , 14I R . Do đó, (P) qua M cắt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

2 2R IH nhỏ nhất (H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P)) IH lớn nhất 0;1; 1M H IM

là VTPT của (P). Vậy (P) có phương trình là 1 0.y z

Bài 11: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường

thẳng 2 0

:2 6 0x y

dx z

sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt

cầu 2 2 2: 2 2 2 1 0S x y z x y z là đường tròn có bán kính r = 1. Giải: Mặt phẳng (P) chứa d có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0

( ) : ( 2 ) 2 6 0P m n x my nz m n - Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2. - (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

2 2( ; ) 3d I P R r

2 2

2 2 2

2 2 63 4 7 3. 2 5 4 .

( 2 )

m n m n m nm n m n m n

m n m n

2 25 22 . 17 0m m n n

Cho 2 171 5 22 17 0 15

n m m m hay m

Vậy, có 2 mặt phẳng (P): 1

2

( ) : 4 0( ) : 7 17 5 4 0P x y zP x y z

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng : 2 – – 5 0d x y z . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của d và mặt phẳng Oxy và (P) tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích

bằng 12536

.

Giải: Phương trình mặt phẳng Oxy: z = 0 Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định bởi d và Oxy có dạng: 2 – – 5 – 0 m x y z nz : 2 5 0P mx my m n z m

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


34

- Giao điểm A, B, C của (P) và 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ: 5 5; 0; 0 , (0; 5; 0), 0; 0;2

mA B Cm n

- Thể tích tứ diện OABC bằng 125 1 1 5 5 125. . . . .5.36 6 6 2 36

mV OA OB OCm n

3 1, 23

3 1, 4m n m m n

m n mm n m m n

Vậy, có 2 phương trình mặt phẳng (P): 1

2

( ) : 2 3 5 0 ( 1; 2)( ) : 2 3 5 0 ( 1; 4)P x y z m nP x y z m n

Bài 13: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1) a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG b. Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C. Chứng minh rằng : ABC là tam giác đều. Giải: a. Do ( )( ) nên (1;1;1;)POG P n OG

( ) :1( 1) 1( 1) 1( 1) 0 hay ( ) : 3 0P x y z P x y z

b. Vì trục 0

Ox : (3;0;0)0

yA

z

Tương tự: (0;3;0) à (0;3;0)B v C Ta có: 3 2AB BC CA ABC là tam giác đều Bài 14: (SGK – Ban Nâng Cao T89) Trong không gian Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng (P) Đi qua điểm G(1;2;3) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC Đi qua điểm H(2;1;1) và cắt các trục toạ độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC Giải: a. Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) và các trục O x,Oy,Oz lần lượt là A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c > 0 Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là:

G

3;

3;

3cba

G(1;2;3) a = 3,b = 6,c = 9

Vậy mặt phẳng (P) có phương trình là :

1cz

by

ax 1

963

zyx hay (P) : 18x + 3y + 2z – 18 = 0

b. Ta có AB CH (vì H là trực tâm củaABC) và AB OC (vì OC (Oxy)) AB) AB OH (1) tương tự BC OH (2) .Từ (1) và (2) OH (ABC) . Vậy mặt phẳng (ABC) (P) đi qua H và nhận OH = (2;1;1) làm vtpt có phương trình là : 2(x – 2) + 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay (P) : 2x + y + z – 6 = 0 Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm D(–1; 1; 1) và cắt ba trục tọa độ tại các điểm M, N, P khác gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP. Giải: Theo giả thiết ta có M(m; 0; 0) Ox , N(0; n; 0) Oy , P(0; 0; p) Oz.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


35

Ta có : 1; 1; 1 ; ; ;0 .

1; 1; 1 ; ;0; .

DP p NM m n DP NM m n

DN n PM m p DN PM m p

.

Phương trình mặt phẳng 1x y zPm n p . Vì D (P) nên: 1 1 1 1

m n p

.

D là trực tâm của MNP

. 0 03

. 0 03

( ) ( ) 1 1 1 1

DP NM DP NM m nm

DN PM DN PM m pn p

D P D Pm n p

Kết luận, phương trình của mặt phẳng : 13 3 3

x y zP

.

Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d: 12 1 1x y z

và

d’: 1 21 2 1

x y z . Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với d, cắt trục Oz và d’ theo một đoạn

thẳng có độ dài nhỏ nhất. Giải: Do mặt phẳng (P) vuông góc với d, nên có pt 2x – y + z + c = 0 Mặt phẳng (P) cắt Oz tại A(0; 0; -c), cắt d’ tại B(1- c; -2c; -2-c)

Theo giả thiết 2

2 2

1 124 1245 2 5 55 25 25

AB c c c

suy ra AB nhỏ nhất khi 15

c thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1/5 = 0

Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 11 1 4x y z và điểm 0;3; 2M .

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, song song và khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 3. HD: Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng Ax + By + Cz + D = 0

Từ giả thiết ta có hệ

2 2 2

3 2 04 0

3

B C DA B C

C D

A B C

28

B CB C

TH 1: 2B C chọn 1, 2 2, 8C B A D TH 2: 8B C chọn 1, 8 4, 26C B A D ( ( ; ) ( , )d P d M P , với M(0; 0; 1) ) Vậy có 2 mp (P) thỏa mãn là: 2 2 – 8 0; 4 – 8 26 0.x y z x y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


36

Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2: 2 2 4 3 0S x y z x y z và hai

đường thẳng 1

2: 1

x ty t t Rz t

, 21:

1 1 1x y z

. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu S ,

biết tiếp diện đó song song với cả hai đường thẳng 1 và 2 . Giải: Mặt cầu S có tâm 1; 1; 2 , 3I R

Đường thẳng 1 2, lần lượt có các véctơ chỉ phương 2; 1;1 , 1; 1;1u v

mp P có véctơ pháp tuyến , 0; 1; 1Pn u v

: 0P y z m m

3 2 33, 3

2 3 3 2

mmd I P R

m

Vậy 1 2( ) : 3 3 2 0; : 3 3 2 0P y z P y z

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm 0;3;0 , 4;0; 3B M . Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa ,B M và cắt các trục ,Ox Oz lần lượt tại các điểm A và C sao cho thể tích khối tứ diện OABC bằng 3 ( O là gốc toạ độ ). Giải: Gọi ,a c lần lượt là hoành độ, cao độ của các điểm ,A C .

Vì 0;3;0B Oy nên : 13

x y zPa c .

4 34;0; 3 1 4 3M P c a aca c

(1)

1 1 1. .3. 3 63 3 2 2OABC OAC

acV OB S ac ac (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ 46 6 234 3 6 4 3 6 32

aac ac ac a c a cc

Vậy 1 22: 1; : 1

4 3 3 2 3 3x y z x y zP P

Bài 20: Cho điểm M(1; 2; 3). Lập phương trình mặt phẳng (P) biết rằng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC. Giải: Do A, B, C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên ta gs A(xA ; 0 ; 0), B(0 ; yB ; 0), C(0 ; 0 ; zC).

Vì M là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có

MCBA

MCBA

MCBA

zzzzyyyyxxxx

333

963

C

B

A

zyx

.

Mặt phẳng (P) đi qua A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 6 ; 0), C(0 ; 0 ; 9)

Nên (P) có phương trình là 1963

zyx .018236:)( zyxP

(phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


37

Bài 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm (0; 1;2)M và ( 1;1;3)N . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ 0;0; 2K đến (P) đạt giá trị lớn nhất Giải: Gọi , ,n A B C

2 2 2 0A B C là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng; 1 2 0 2 0Ax B y C z Ax By Cz B C

1;1;3 3 2 0 2N P A B C B C A B C

: 2 2 0P B C x By Cz B C

Khoảng cách từ K đến mp(P) là: ,2 24 2 4

BK P

B C BCd

- Nếu B = 0 thì d(K,(P)) = 0 (loại)

- Nếu 0B thì 2 2 2

1 1,24 2 4

2 1 2

Bd K P

B C BC CB

Dấu “=” xảy ra khi B = – C. Chọn C = 1 và B = – 1 Vậy phương trình mặt phẳng (P): x + y – z + 3 = 0 Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P) Giải: Mặt phẳng (P) có PT dạng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 0) Vì (P) chứa OA suy ra (P) đi qua 2 điểm O(0;0;0) và A(1; 2; 0).

0 02 0 2

D DA B A B

Vậy mp(P) có phương trình là: 2 0Bx By Cz

Theo giả thiết thì: 2 2 2 2

4 3, ,

5 5

B Cd B P d C P

B C B C

34 3 4 34

BB C B CC

Chọn C = 4 suy ra B = 3 Vậy có 2 mp thoả mãn: 1 2: 6 3 4 0 ; : 6 3 4 0.P x y z P x y z Bài 23: Trong hệ trục Oxyz cho M(2;4;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho 4OA = 2OB = OC. Giải: A,B,C là điểm nằm trên Ox, Oy, Oz tương ứng có hoành độ, tung độ và cao độ dương và 4OA = 2OB = OC suy ra A(a;0;0) , B(0;2a;0) và C(0;0;4a) với 0a

Phương trình (ABC) 1 4 2 4 02 4

x y z x y z aa a a

(ABC) qua M(2;4;1) suy ra 4.2 +2.4 +1 – 4a = 0 174

a

Vậy phương trình (ABC) là 4 2 17 0.x y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


38

Bài 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) : 921 222 zyx .

Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng 1:1 2 2x y zd

và cắt mặt cầu (S) theo

đường tròn có bán kính bằng 2 . Giải: (S) có tâm )2,0,1( J bán kính R = 3

+ Đường thẳng d có vtcp (1,2, 2 )u

, (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận u làm vtpt

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng : 2 2 0x y z D

+ (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r = 2 nên 2 2, 5d J P R r nên ta có : 1 2.0 2.( 2) 5 3 5

53 5 3 5

D D

D

KL : Có 2 mặt phẳng : (P1) : 053522 zyx và (P2) : 053522 zyx Bài 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 011642222 zyxzyx và mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6. Giải: Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D 17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5 Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới () là 2 2 2 25 3 4h R r

Do đó D DD

D (loaïi)2 2 2

2.1 2( 2) 3 74 5 12172 2 ( 1)

Vậy () có phương trình 2x + 2y – z – 7 = 0 Bài 26: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2: 2 4 4 5 0S x y z x y z , mặt phẳng (Q): 2x + y – 6z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P). Biết rằng mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;2), vuông góc với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Giải: Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2) có phương trình : 2 2 21 1 2 0 ( 0)a x b y c z a b c Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;2) bán kính R = 2 Mặt phẳng (Q) có VTPT (2;1; 6)Qn

Ta có (P) vuông góc với (Q) và tiếp xúc (S) nên 2 2 2

2 6 03

2

a b cb

a b c

2 2 2 2 2 2

22 6 22 6 2 6

(I)2 59 4 4 4 3 10 05 11

2

a ca c b b ca c b a c bb c b cb a b c b bc cb c

a c

Chọn c = 0 thì a = b = 0 (loại) Nên 0c . Từ (I) Phương trình mặt phẳng : 2 1 2 1 2 0P c x c y c z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


39

2 2 6 0x y z

Hoặc 11 1 5 1 2 0 11 10 2 5 02

c x c y c z x y z

Bài tập tổng hợp tự giải:

Bài 1: Cho điểm 2;5;3A và đường thẳng 1 2: .2 1 2

x y zd Viết phương trình mặt phẳng

chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất. Đs: 4 3 0x y z Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình :

2:1

yd x z

và 2 5’ : 3

2 1x zd y

. Viết phương trình mặt phẳng )( đi qua d và tạo với d’

một góc 030 Đs: 2 4 0 ; 2 2 0x y z x y z Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng

3 . Đs: 2 0 ;7 5 2 0x y z x y z Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1;2;3).Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Đs: 6 3 2 18 0x y z

Bài 5: Cho đường thẳng d có phương trình: 2

: 22 2

x td y t

z t

.Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1)

song song với d và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên d. Trong các mặt phẳng qua , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến d. là lớn nhất. Đs: 2x - z - 9 = 0 . Bài 6: Trong kgian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương

trình1 2

1 3

x ty tz t

. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là

lớn nhất. Đs: 7 5 77 0x y z

Bài 7: Cho điểm 2;5;3A và đường thẳng 1 2: .2 1 2

x y zd Viết phương trình mặt phẳng

chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất. Đs: 2 2 15 0x y z

Bài 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 3:1 1 4

x y z và

điểm 0; 2;0 .M Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4. Đs: 4 8 16 0x y z hay 2 2 4 0.x y z Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 biết:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


40

1

2: 2

3

x td y t

z t

và 21 2 1:

2 1 5x y zd

Đs: 3 – – 4 7 0x y z

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 0

:2 6 0x y

dx y

và

mặt cầu 2 2 2: 2 2 2 1 0S x y z x y z . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r = 1. Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2: 2 2 4 3 0S x y z x y z và hai

đường thẳng 1

2 2 0:

2 0x yx z

, 2

1:1 1 1

x y z

Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S), biết nó song song với 1 và 2.

Bài 12: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 8 11 8 30 0

2 0x y z

x y z

và tiếp xúc với mặt

cầu 2 2 2: 2 6 4 15 0S x y z x y z .

Bài 13: Cho mặt cầu (S): 2 2 2: 10 2 26 170 0S x y z x y z ;

2

5 2: 1 3

13 2

x ty tz t

và 1

1 1

7: 1 2

8

x ty tz

Viết phương trình )( tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với 1 và 2 Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm 1;2;3A và 2;3; 4B và cắt mặt cầu

2 2 2: 2 – 6 4 15 0S x y z x y z theo giao tuyến là một đương tròn có chu vi 8

Bài 15: Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng 15 1 13:

2 3 2x y zd

27 1 8:

3 2 0x y zd

đồng thời tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2: 10 2 26 113 0S x y z x y z

Bài 16: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm 2,3,1A và vuông góc với mặt phẳng

: 1 0Q x y z đồng thời tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2: 2 2 4 –1 0S x y z x y z

Bài 17: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm 2,1, 1A đồng thời song song với hai đường

thẳng 1 3 5:1 2 1

x y zd

;

2 1 0:

3 2 3 1 0x y zx y z

Bài 18: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng 1 2:1 2 1

x y zd

và tạo với mặt phẳng

: 2 – – 2 2 0Q x y z một góc nhỏ nhất

Bài 19: Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm 0;0;1 ; 3;0;0A B đồng thời a. Tạo với mặt phẳng Oxy một góc 60o b. Vuông góc với mặt phẳng : 2 3 1 0P x y z

Bài 20: Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 1 0P x y z

và mặt phẳng : 2 – 3 2 0Q x y z đồng thời

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


41

a. Đi qua A (1,3,-2) b. Vuông góc với mặt phẳng: : 2 4 –1 0x y z

c. Song song với đương thẳng 1 3 5:1 2 1

x y zd

Bài 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho 2;5;3A và đường thẳng 1 2:

2 1 2x y zd

1. Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d sao cho khoảng cách từ A đến Q lớn nhất.

2. Viết phương trình mặt cầu S có tâm nằm trên đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với hai mặt

phẳng : 3 4 3 0, : 2 2 39 0x y x y z .

Bài 22: Trong các mặt phẳng đi qua các điểm 1;2; 1 , 1;1;2A B ,viết phương trình mặt phẳng

tạo với mặt xOy một góc nhỏ nhất.

ĐS: : 6 3 5 7 0x y z

Bài 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 1; 2;4A và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt M, N, P khác gốc tọa độ sao cho tứ diện OMNP có diện tích nhỏ nhất

Đs: : 13 6 12x y z

Bài 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

1;2;3M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho 2 2 2

1 1 1OA OB OC

nhỏ nhất

Đs: : 2 3 14 0x y z

Bài 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 2;5;3M và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt A, B, C sao cho OA OB OC nhỏ nhất

Đs: : 12 6 10 5 10 15 3 6 15

x y z

Bài 26: Trong các mặt phẳng đi qua điểm 2; 1;0A và song song với đường thẳng 1 2 1:

1 1 1x y zd

. Viết phương trình mặt phẳng tạo với mặt phẳng xOy một góc nhỏ nhất

Đs: : 2 1 0x y z Bài 27: Trong các mặt phẳng đi qua 1;1; 1A và vuông góc với mặt phẳng : 2 2 0x y z . Viết phương trình mặt phẳng tạo với Oy một góc lớn nhất.

Đs :

: 05 1: 3 02 2

y z

x y z

CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG

KHÔNG GIAN

1. Viết phương trình tham số hoặc chính tắc

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


42

- Để viết phương tham số hoặc chính tắc ta phải biết được một điểm 0 0 0 0; ;M x y z và một vtcp

; ;u a b c

phương trình tham số 0

0

0

x x aty y btz z ct

với t R là tham số

phương trình chính tắc 0 0 0x x y y z za b c

(khi , , 0a b c )

2. Viết phương trình tổng quát của của đường thẳng Cách 1: Đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt giả sử 1 1 1 1: 0a x b y c x d và 2 2 2 2: 0a x b y c x d . Khi đó d hay

1 1 1 1

2 2 2 2

0:

0a x b y c z d

da x b y c z d

- Tìm vecto chỉ phương u của đường thẳng d Cách 1.1: Vtcp ;u n n

với n và n

lần lượt là vtpt của và Cách 1.2: Chọn hai điểm M và N phân biệt thuộc đường thẳng d, khi đó vtcp u cùng phương với vecto MN

hay vecto MN

chính là vtcp của d Cách 2: Từ phương trình chính tắc hoặc tham số chuyển về phương trình tổng quát Các dạng bài tập Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm 0 0 0 0; ;M x y z và thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Loại 1: Có một vtcp cho trước, khi đó điều kiện là - Có một vecto ; ;u a b c

cho trước - Song song với một đường thẳng d cho trước du u

- Vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước Pu n

Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Cho tam giác ABC có 1; 2;3 , 2;1;0 ,A B

0; 1; 2 .C Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC. Giải: Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ABC d là giao tuyến của ABC với qua A và vuông góc với BC.

Ta có: 1;3; 3AB

, 1;1; 5AC

, 2; 2; 2BC

và , 18;8;2AB AC

mp ABC có vtpt 1 , 3;2;14

n AB AC

mp có vtpt ' 1 1;1;12

n BC

- Đường thẳng d có vtcp ', 1;4; 5u n n

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


43

Vậy phương trình đường thẳng 1

: 2 43 5

x td y t

z t

Bài 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho 3 điểm A(0,0,1); B(-1,-2,0) ; C(2,1,-1). 1. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A,B ,C 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P). 3. Xác định chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng BC Giải: 1. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B,C. Ta có VTP (P) là: , (5, 4,3)Pn AB AC

Phương trình mặt phẳng (P): 5x – 4y + 3z – 3 = 0

Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là 1 1; ;03 3

G

Đường thẳng d đi qua G và d (P): (5, 4,3)Pda n

Phương trình tham số của d là:

1 53

1 43

3

x t

y t

z t

2. Chân đường cao H hạ từ A xuống đường thẳng BC. Ta có: (3,3, 1)BC

Phương trình tham số của BC là: 1 32 3

x ty tz t

Lấy 1 3 ; 2 3 ;H t t t BC

H là hình chiếu của A 19. 0 3(1 3 ) 3(2 3 ) 1(1 ) 19 88

HA BC t t t t t

Vậy 5 14 8; ;19 19 19

H

Bài 3: (ĐH – B 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất Giải: Ta có (4; 1;2); (1; 2; 2)PAB n

Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0 x – 2y + 2z + 1 = 0. Gọi là đường thẳng bất kỳ qua A Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q). Ta có : d(B, ) BH; d (B, ) đạt min qua A và H.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


44

Pt tham số 1

: 1 23 2

x tBH y t

z t

Tọa độ H = BH (Q) thỏa hệ phương trình : 1 , 1 2 , 3 2 10 1 11 7; ;2 2 1 0 9 9 9 9

x t y t z tt H

x y z

qua A (-3; 0;1) và có 1 VTCP 1 26;11; 29

a AH

Phương trình 3 0 1:26 11 2

x y z

Đáp số: Đường thẳng có phương trình là 3 0 1:26 11 2

x y z

Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm 1;1;2M và song song với đường

thẳng 3 2 7 0

:3 2 3 0

x y zd

x y z

Đáp số: 1 1 2:2 4 5

x y z

Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm 1;1;1M và vuông góc với mặt phẳng

: 2 3 12 0P x y z

Đáp số: 1

: 1 21 3

x ty tz t

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho ba điểm 1;3;2 ; 1;2;1A B và 1;1;3C . Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó

Đáp số: 1 3

: 22

x td y

z

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm 1;2; 1A và song song với đường thẳng giao tuyến

của hai mặt phẳng : 3 0x y z và : 2 5 4 0x y z

Đáp số: 1 4

: 2 71 3

x td y t

z t

Loại 2: Có một cặp vecto không cùng phương cho trước, khi đó điều kiện là - Có một cặp vecto chỉ phương a và b

cho trước

- Vuông góc với hai đường thắng d1 và d2 cho trước 1 2;u u u

- Song song với hai mặt phẳng (P1) và (P2) cho trước 1 2;u n n

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


45

- Vuông góc với một đường thẳng d và song song với một mặt phẳng (P) ;d Pu u n

- Nếu đi qua hai điểm phân biệt và A B u AB

Chú ý: - Nếu giả thiết là vuông góc với một vecto c bất kì thì hiểu c là vtcp, - Nếu giả thiết là song song với một vecto d

thì hiểu d

là vtpt

Bài tập giải mẫu: Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm 1;1; 2A song song với mặt phẳng

: 1 0P x y z và vuông góc với đường thẳng 1 1 2:2 1 3

x y zd

Giải: - Mặt phẳng (P) có vtpt 1; 1; 1Pn

và đường thẳng d có vtcp 2;1;3du

- Đường thẳng song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d nên có vtcp , 2;5; 3P du n u

- Đường thẳng đi qua 1;1; 2A và có vtcp u

có phương trình là

1 2: 1 5

2 3

x ty tz t

Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát Cách 1: Đường thẳng chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P)

- Mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d Cách 2: Từ phương trình tham số chuyển về phương trình tổng quát Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm 1;1;1M đồng thời vuông góc với hai

đường thẳng 11 2:

8 1 1x y zd

và 2

2 3 0:

1 0x y z

dx y z

Giải: - Đường thẳng 1d có vtcp 1 8;1;1u

và 2d có vtcp 2 2; 3;1u

- Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng 1d và 2d nên có vtcp 1 2, 4;6; 26u u u

- Đường thẳng đi qua 1;1;1M và có vtcp u

có phương trình là

1 4: 1 6

1 26

x ty tz t

Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát Cách 1: Đường thẳng chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d1

- Mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2

Cách 2: Từ phương trình tham số chuyển về phương trình tổng quát Bài tập tự giải:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


46

Bài 1: Viết phương trình chính tắc đường thẳng đi qua 1;2;5M đồng thời song song với hai mặt

phẳng : 3 5 8 0P x y z và : 2 1 0Q x y z

Đáp số: 1 2 5:4 7 5

x y z

Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát Cách 1: Đường thẳng chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P)

- Mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q) Cách 2: Từ phương trình tham số chuyển về phương trình tổng quát Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm 2; 1;1A và vuông góc với hai đường thẳng lần

lược có vtcp là 1 1;1; 2u và 2 1; 2;0u

Đáp số: 2 4

: 1 21

x td y t

z t

Bài 3: (ĐH TCKT – 1999) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm 1;1; 2A song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d biết

: 1 0P x y z và 1 1 2: 2 1 3

x y zd

Đáp số: dạng chính tắc là 1 1 22 5 3

x y z

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm 0 0 0 0; ;M x y z cắt đường thẳng d và thỏa mãn điều kiện cho trước Điều kiện cho trước là - Vuông góc với đường thẳng 1 cho trước - Song song với một mặt phẳng (P) cho trước Chú ý: - Nếu giả thiết là vuông góc với một vecto c bất kì thì hiểu c là vtcp, - Nếu giả thiết là song song với một vecto d

thì hiểu d

là vtpt

Phương pháp chung: Trường hợp 1: Nếu đề bài yêu cấu viết phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát Cách 1: Xác định các vtcp và vtpt Đường thẳng chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng đi qua điểm 0M và chứa đường thẳng d

- Mặt phẳng đi qua điểm 0M và thỏa mãn điều kiện cho trước Kết luận : - Nếu thì bài toán có vô số nghiệm

- Nếu thì / /d thì bài toán vô nghiệm, cắt d thì là đường thẳng cần dựng Trường hợp 2: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng ở dạng tham số hoặc chính tắc Cách 2: Xác định các vtcp và vtpt - Mặt phẳng đi qua điểm M0 và thỏa mãn điều kiện cho trước (hiển nhiên mặt phẳng chứa đường thẳng )

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


47

- Gọi M d , tọa độ M là nghiệm của hệ + Nếu không tồn tại giao điểm thì bài toán vô nghiệm + Nếu có vô số nghiệm (tức là d ) thì bài toán có vô số nghiệm

+ Nếu có nghiệm duy nhất thì tính vecto 0M M

Kết luận: Đường thẳng đi qua điểm 0 0 0 0; ;M x y z và thỏa mãn điều kiện cho trước chính là đường

thẳng đi qua điểm 0M và có vtcp 0M M

Cách 3: Xác định các vtcp và vtpt - Do đường thẳng đi qua điểm 0M và cắt đường thẳng d nên chọn điểm M d nên đường thẳng chính là đường thẳng 0M M

- Tính vecto 0M M

- Từ điều kiện cho trước ta dẫn đến một phương trình bậc nhất theo tham số t, tìm t 0M M

Kết luận: Đường thẳng chính là đường thẳng đi qua điểm 0M và có vtcp 0M M

Chú ý: - Với cách này thì đường thẳng d phải ở dạng tham số (nếu d ở dạng tổng quát hay chính tắc thì chuyển về dạng tham số) - Tọa độ điểm M phải theo tham số t - Để tìm tọa độ điểm M ta có thể làm như sau đường thẳng cắt đường thẳng d nên M d , tính

0M M

, từ điều kiện cho trước tìm ra được điểm M, suy ra đường thẳng Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Cho điểm 1;2;3A và hai đường thẳng 12 2 3:

2 1 1x y zd

và

21 1 1:

1 2 1x y zd

. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2

Giải:

Đường thẳng 2d có phương trình tham số 2

1: 1 2

1

x td y t

z t

Đường thẳng d1 có vtcp là: )1;1;2( u , Gọi B là giao điểm của d với d2 thì

2 1 ;1 2 ; 1B d B t t t )4;12;( tttBA

Theo giả thiết 1 1. 0 1d d AB u t

Vậy d qua 1;2;3A có vtcp (1; 3; 5)AB

nên phương trình là: 53

32

11

zyx

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;1) cắt đường thẳng 12 1:

3 1 2x y zd

và vuông góc với đường thẳng 2

2 2: 5

2

x td y t

z t

( Rt ).

Giải: - Vtcp của d2 là 2 2; 5;1u

và cũng là vtpt của mp(P) đi qua M và vuông góc với d2.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


48

Phương trình mp (P) là: 0252 zyx - Gọi N là giao điểm của d1 và mp(P) nên 12 3 ; ;1 2N t t t P d

Thay vào phương trình mp(P) thì 1 5; 1;3t N

- Đường thẳng d cần lập pt có VTCP 3;1; 1u

do 6; 2;2MN

Vậy phường trình đường thẳng d là: 11

11

31

zyx (vì d ≠ d2)

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng 1 2:1 2 1x y zd và mặt phẳng (P): x

+ 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d. HD: Chọn ( ;1 2 ;2 ) ( 2; 2 1; 2)N d N t t t MN t t t

.

1 3 3/ / ( ) . 0 ( ) 1 (1;3;3) ' :1 1 1

Px y zMN P MN n do M P t N d

.

Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm 1;1;1A và đường thẳng 1 1:

1 2 1x y zd

. Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt d, sao cho khoảng cách từ gốc toạ

độ O đến nhỏ nhất. Giải: Đường thẳng thuộc mp (P) qua A và chứa d, nên : 3 2 4 0P x y z . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P). Toạ độ H thỏa mãn hệ:

32 6 4 2; ;

7 7 73 2 0

x ty t

Hz tx y z

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên : ( ; )d A AK AH Để khoảng cách nhỏ nhất thì K H H . Suy ra qua A,H nên có pt :

1 2 1:1 3 9

x y z , dễ thấy cắt d nên là đường thẳng cần tìm.

Bài 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5 0x y , ( ) : 3 0y z , điểm M(1; 1; 0). Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với giao tuyến của ( ) và ( ) , đồng thời d cắt ( ) và ( ) lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của AB. Giải: Đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với giao tuyến của ( ) và ( ) . Phương trình (P): 0x y z . Lấy đối xứng ( ) qua M được ( ') : 1 0x y . Suy ra B là giao điểm của ba mặt phẳng ( )P , ( ) và ( ') . Toạ độ B là nghiệm của hệ

01 4 53 0 ; ;3 3 3

1 0

x y zy z Bx y

Vậy đường thẳng qua B, M là đường thẳng d cần tìm: 1 12 7 5

x y z .

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


49

Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua 1; 2;3A đồng thời vuông góc với d1 và cắt

2d biết 1

6 2: 1 4

4

x td y t

z t

và 21 2 3:

2 1 1x y zd

Đáp số: 1 6

: 3 235 11

x ty tz t

Bài 2: (CĐGT – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho điểm 1;2 1M , đường thẳng 3 3:

1 3 2x y zd

và mặt phẳng : 3 0P x y z . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

M song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d Bài 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm 1;2; 3A vuông góc với vecto 6; 2; 3a

và

cắt đường thẳng 21 1 3:

3 2 5x y zd

Đáp số: dạng chính tắc là 1 2 32 3 6

x y z

, dạng tổng quát là

6 2 3 1 03 28 13 4 0

x y zx y z

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm 0 0 0 0; ;M x y z vuông góc và cắt đường thẳng d cho trước (chính là trường hợp đặc biệt của dạng 2) Phương pháp: Trường hợp 1: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát Xác định vtcp của đường thẳng d Đường thẳng chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng đi qua điểm 0M và chứa đường thẳng d

- Mặt phẳng đi qua điểm 0M và vuông góc với đường thẳng d Trường hợp 2: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng ở dạng tham số hoặc chính tắc - Đường thẳng đi qua 0M cắt đường thẳng d tại điểm M d tức là 0M M (M chính là hình chiếu của 0M trên đường thắng d)

- Tìm tọa độ điểm M theo tham số của đường thẳng d, tính vecto 0M M

- Từ điều kiện 0 dd M M u ta được phương trình bậc nhất theo t, tìm t suy ra được tọa độ

điểm M và vecto 0M M

Kết luận : Đường thẳng chính là đường thẳng đi qua điểm 0M và có vtcp 0M M

Hoặc - Mặt phẳng đi qua điểm 0M và vuông góc với đường thẳng d

- Tìm tọa độ điểm M d

- Đường thẳng chính là đường thẳng đi qua điểm 0M và có vtcp 0M M


www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


50

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 2;1;0M và đường thẳng d có phương

trình:1 2

1x ty tz t

. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với

đường thẳng d. Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Vì H d nên tọa độ của (1 2 ; 1 ; ) (2 1; 2 ; )H t t t MH t t t

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là 2;1; 1u ,

Vì 2. 0 2. 2 –1 1( 2 ) ( 1)( ) 0 3dMH d MN u t t t t

Suy ra 1 4 2; ;3 3 3

MH

.

Đường thẳng MH là đường thẳng đi qua điểm 2;1;0M nhận MH

làm vtcp có phương trình tham

số 21 4

2

x ty tz t

Bài 2: Trong không gian Oxyz. Cho điểm 2; 0; 1A , mặt phẳng : 2 – 1 0P x y z và đường thẳng

1: 2

2

x td y t

z t

1. Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A, vuông góc và cắt đường thẳng d. Giải: 1. Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A( 2; 0; 1), tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Thì 2 2 2

2.2 0 1.1 1, ( ) 6

2 1 1R d A P

Vậy phương trình của mặt cầu: 612 222 zyx 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì H(1 + t; 2t; 2 + t). Khi đó 1 ; 2 ;1AH t t t

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương 1;2;1u

. 0 0AH d a AH t

Nên 1;0;2H và 1;0;1AH

Do đó, phương trình đường thẳng là đường thẳng đi qua điểm A và có vtcp AH

có phương trình tham

số là 201

x tyz t

Bài tập tự giải:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


51

Bài 1: (ĐH B – 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm 4; 2;4A và đường thẳng

3 2: 1

1 4

x td y t

z t

. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d

Đáp số: 4 2 4:3 2 1

x y z

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng 1d và 2d và thỏa mãn điều kiện cho trước ( với 1d và 2d là hai đường thẳng chéo nhau ) Điều kiện cho trước là: - Đi qua một điểm M cho trước không thuộc 1d và 2d - Song song hoặc vuông góc với đường thẳng d cho trước - Vuông góc hoặc vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước Và một số điều kiện khác Phương pháp chung: Trường hợp 1: Nếu đề bài yêu cấu viết phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát Cách 1: Đường thẳng chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng chứa đường thẳng 1d và thỏa mãn điều kiện cho trước

- Mặt phẳng chứa đường thẳng 2d và thỏa mãn điều kiện cho trước Kết luận: - Nếu và song song hoặc trùng với nhau thì bài toán có vô số nghiệm

- Nếu và cắt nhau thì + Nếu 1/ /d hoặc 2/ /d thì bài toán vô nghiệm + Nếu cắt 1d và cắt 2d thì chính là đường thẳng cần dựng Trường hợp 2: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng ở dạng tổng quát Cách 2: - Mặt phẳng chứa đường thẳng 1d và thỏa mãn điều kiện cho trước

- Gọi 2M d , tọa độ điểm M là nghiệm của hệ + Nếu không tồn tại giao điểm thì bài toán vô nghiệm + Nếu có vô số nghiệm (tức là 2d ) thì bài toán có vô số nghiệm + Nếu có nghiệm duy nhất thì đường thẳng chính là đường thẳng đi qua M và thỏa mãn điều kiện cho trước (trở về dạng 1 – loại 1) Trường hợp đặc biệt khi 1d và 2d đều ở dạng tham số Cách 3: - Giả sử cắt 1d và 2d lần lượt tại A và B, khi đó 1A d và 2B d

- Khi đó đường thẳng AB u cùng phương với AB

- Từ điều kiện cho trước xác định được tọa độ điểm A, B Ví dụ : + Nếu điều kiện là đi qua điểm M thì A, B, M thẳng hàng + Nếu điều kiện là song song với đường thẳng d thì AB

cùng phương với du

+ Nếu điều kiện là vuông góc với mặt phẳng (P) thì AB

cùng phương với Pn

- Đường thẳng chính là đường thẳng đường thẳng đi qua A và nhận vecto AB

làm vtcp

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


52


Bài 1: Cho hai đường thẳng có phương trình 12 3: 1

3 2x zd y

và 23 7 1:

1 2 1x y zd

Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm 3;10;1 .M

Giải: Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm 1 22 3 ; 1 ; 3 2 3 ;7 2 ;1A a a a d và B b b b d

Do đường thẳng d đi qua 3;10;1M MA kMB

3 1; 11; 4 2 , ; 2 3;MA a a a MB b b b

3 1 3 1 111 2 3 3 2 11 2

4 2 2 4 1

a kb a kb aa kb k a k kb k

a kb a kb b

2; 10; 2MA

Phương trình đường thẳng AB là: 3 210 101 2

x ty tz t

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt thì có hai tham số khác nhau Bài 2: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2 – – 5 1 0 P x y z và hai đường thẳng

d1: 1 1 2

2 3 1x y z

và d2: 2 2

1 5 2x y z

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2. Giải:

Phương trình tham số của d1 và d2 là: 1 2

1 2 2: 1 3 ; : 2 5

2 2

x t x md y t d y m

z t z m

Giả sử d cắt d1 tại 1 2 ;1 3 ;2M t t t và cắt d2 tại 2 ; 2 5 ; 2N m m m

3 2 ; 3 5 3 ; 2 2 .MN m t m t m t

Do d (P) có VTPT (2; 1; 5)Pn

nên3 2 2

: 3 5 32 2 5

P

m t kk MN kn m t k

m t k

có nghiệm

Giải hệ tìm được1

1mt

suy ra M(1; 4; 3)

Đường thẳng d là đường thẳng đi qua điểm M và có vtcp d Pu n

nên có phương trình tham số là 1 2

: 43 5

x td y t

z t

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


53

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 1

1: 1 2 ;( )

1 2

x td y t t R

z t

, đường thẳng d2 là

giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 – –1 0P x y và : 2 2 – 5 0Q x y z . Gọi I là giao điểm của d1 và d2. Viết phương trình đường thẳng d3 qua A(2;3;1), đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I. Giải:

Đường thẳng d2 có phương trình tham số: 2

2 2

2

1 2 ;( )3 2

x ty t t Rz t

Tọa độ điểm 1 2I d d là nghiệm của hệ 11 2 1;1;1

1 22 – – 1 02 2 – 5 0

x ty t I

z tx yx y z

Ta có 1 1 1 1 2 2 2 21 ;1 2 ;1 2 , ; 1 2 ;3 2B t t t d C t t t d (điều kiện: B khác I, C khác I 1 20, 1t t )

- Tam giác BIC cân đỉnh I 1

2

(1) 1... 2;3;3 , 2;3; 1

2[ , ] 0 (2)

IB IC tB C

tAB AC

.

Đường thẳng d3 là đường thẳng đi qua B và có vtcp 0;0; 4BC

có phương trình tham số là

3

2: 3 ;( )

1 2

xd y t R

z t

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2 2 3 0x y z

và hai đường thẳng 14 1:

2 2 1x y zd

; 23 5 7:

2 3 2x y zd

.

a. Chứng tỏ đường thẳng 1d song song mặt phẳng và 2d cắt mặt phẳng b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng 1d và 2d c. Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng , cắt đường thẳng 1d và 2d lần lượt tại M và N sao cho 3MN . Giải: a.

1 21 2

qua (4;1;0) qua ( 3; 5;7): ; : VTCP (2;2; 1) VTCP (2;3; 2)A Bd du u

và có vtpt (2; 1;2)n

Do 1. 0u n và ( )A nên 1 / /d

Do 2 . 3 0u n nên 2d cắt .

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


54

b. Vì 1 2[ , ] ( 1;2;2) , ( 7; 6;7)u u AB 1 2

1 21 2

[ , ].(( ), ( )) 3

[ , ]

u u ABd d d

u u

c. Phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng 1d và song song với mặt phẳng ( ) có phương trình ( ) : 2 2 7 0x y z Gọi 2( ) ( ) (1;1;3)N d N ; 1 (2 4;2 1; ), (2 3; 2 ; 3)M d M t t t NM t t t

Theo giả thiết ta có 23 9 1 (1;1;3), (1; 2; 2)MN MN t N NM

. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua N và có vtcp NM

có phương trình

1 1 31 2 2

x y z

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

1 2

3 1 01: à :2 1 01 2 1

x zx y zd v dx y

a. Chứng minh 1 2àd v d chéo nhau.

b. Viết phương trình đường thẳng d cắt cả 1 2àd v d và song song với 4 7 3:1 4 2

x y z

Giải: a. 1 2 1 1 2 2(1; 2;1) ; (1; 2;3) à (0; 1;0) ; (0;1;1)u u v M d M d

1 2 1 2 1 2 1 2(0;2;1) . . 8 0 à chéo nhauM M u u M M d v d

b. Giả sử 1 1 1 1 2 2 2 2( ; 1 2 ; ) à ( ;1 2 ;1 3 )d d A A t t t v d d B B t t t

2 1 1 2 2 1

2 1 1 2 1 2

1 2

( ;2 2 2 ;1 3 )1 3 1

Do song song1 2 2

2; 1 2;3;2 : 1; 1;4 1; 4; 2

AB t t t t t tt t t t t td u AB

t t A B AB

Đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua A và có vtcp AB

có phương trình là 2 3 2

1 4 2x y z

Bài 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng 1 2; d d và mặt phẳng (P) có

phương trình 1 21 1 2 2 2: à :

2 3 1 1 5 2x y z x y zd v d

; ( ) : 2 5 1 0P x y z

a. Chứng minh 1 2àd v d chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng. b. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P), cắt cả 1 2; d d Giải: a. 1 2 1 1 2 2Ta có : (2;3;1) ; (1;5; 2) và ( 1;1;2) ; (2; 2;0)u u M d M d

1 2 1 2 1 2 1 2(3; 3; 2) . . 62 0 à chéo nhauM M u u M M d v d

khoảng cách 1 2

1 2

1 2

. . 62( , )195.

u u MNd d d

u u

b. Giả sử 1 1 1 1 2(2 1;3 1; 2) àd A A t t t v d B

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


55

2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

( 2;5 2; 2 ) ( 2 3;5 3 3; 2 2)2 3 5 3 3 2 2

Do ( ) (2; 1; 5)2 1 5P

B t t t AB t t t t t tt t t t t t

P n AB

… bạn đọc giải tiếp

Phương trình đương thẳng cần tìm là 1 4 3:2 1 5

x y z

Bài 7: (GTVT – 2001) Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề -các vuông góc Oxyz cho điểm ( 1;3;2)A và hai đường thẳng:

11 1:

2 1 1x y zd

và 2

1: 3

3 2

x td y t t

z t

1. Viết phương trình đường thẳng qua A cắt 1 2àd v d 2. Tính tọa độ các giao điểm của với 1 2àd v d Giải: 1. Đường thẳng qua A cắt 1d và 2d

1d qua B(1, 1, 0) có VTCP 1 (2, 1,1)a

và 2d qua C(1, 3, 3) có VTCP 2 (1,1, 2)a

Gọi là mặt phẳng qua A và chứa 1d

, ( 2, 3,1)1n AB a

Phương trình : 2 3 5 0x y z : Gọi (P) là mặt phẳng qua B và chứa 2d

2, ( 1; 3;2)Pn AC a

Phương trình : 3 2 4 0x y z

Đường thẳng là giao tuyến của và phương trình: 2 3 5 0

:3 2 4 0

x y zx y z

2. Toạ độ giao điểm của và 1d thỏa:

2 3 5 0 13 2 4 0 1

1 1 02 1 1

x y z xx y z y

x y z z

Toạ độ giao điểm của và 2d thỏa: 2 3 5 0

3 2 4 0 01 23 13 2

x y zx y z x

x t yy t zz t

Vậy các giao điểm là (1, 1, 0); (0, 2, 1). Bài 8: (ĐHGTVT HCM – 2001) Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình là

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


56

1

8 23 0:

4 10 0x zx y

và 2

2 3 0:

2 2 0x zx y

Viết phương trình đường thẳng song song với trục Ox và đồng thời cắt cả 1 và 2 Giải: Gọi là mặt phẳng chứa 1 và song song với Ox. Gọi là mặt phẳng chứa 2 và song song với Ox. Suy ra: ( ) chứa 1 nên phương trình có dạng:

8 – 23 4 – 10 0 8 4 – – 23 10 0m x z n x y m n x ny mz m n

Theo giả thiết Ox // 8m + 4n = 0

Chọn 1 2m n nên : 2 – 3 0y z

Tương tự : – 1 0y z

Vậy 2 3 0

:1 0

y zy z

Bài 9: Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng : 3 12 – 3 – 5 0P x y z ,

: 3 – 4 9 7 0Q x y z và 2 đường thẳng: 1 25 3 1 3 1 2: ; :

2 4 2 2 3 4x y z x y zd d

.

Viết phương trình đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) và cắt hai đường thẳng d1 và d2. Giải: (P) có pháp vectơ '(3;12; 3) 3(1;4; 1) 3 ,P Pn n

với ' (1;4; 1)Pn

Mặt phẳng (Q) có pháp vectơ (3; 4;9)Qn

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương 1 (2; 4;3)u

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương 2 ( 2;3;4)u

Gọi:

'

'

' '

' '1 2

( ) ( )

/ /( ), / /( )

( ) ,

P Q

P P Q Q

d P d Q

u u

Suy ra d là giao tuyến của hai mặt phẳng 'P và 'Q

Đường thẳng có vectơ chỉ phương / /

[ ; ] (32; 12; 16) 4(8; 3; 4) 4P Qu n n u

với /

(8; 3; 4).u

mp (P/) có cặp vectơ chỉ phương 1u

và /

u

nên có pháp vectơ: /

/1[ ; ] (25; 32; 26)Pn u u

- Phương trình mp (P/) chứa (d1) đi qua điểm A (-5;3; -1) 1d với 'Pn

là:

25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 /( ) : 25 32 26 55 0P x y z

mp (Q/) có cặp vectơ chỉ phương 2u

và 'u

nên có pháp vectơ: //

2[ ; ] (0; 24; 18)Qn u u

Phương trình mp (Q/) chứa (d2) đi qua điểm B (3;-1; 2) 2d với /Qn

là:

Q P

Q/ P/

u

1u

2u

B d2 d1 A

qn

pn

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


57

/0( 3) 24( 1) 18( 2) 0 ( ) : 4 3 10 0x y z Q y x Ta có: / /( ) ( ).P Q

Vậy, phương trình đường thẳng 25 32 26 55 0

:4 3 10 0

x y zy z

Bài 10: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đường thẳng

11 1 2:

2 3 1x y zd

, 22 2:

1 5 2x y zd

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2. Giải:

Phương trình tham số của d1 và d2 là: 1 2

1 2 2: 1 3 ; : 2 5

2 2

x t x md y t d y m

z t z m

Giả sử d cắt d1 tại 1 2 ;1 3 ;2M t t t và cắt d2 tại 2 ; 2 5 ; 2N m m m

3 2 ; 3 5 3 ; 2 2 .MN m t m t m t

Do d (P) có VTPT (2; 1; 5)Pn

nên : pk MN kn 3 2 2

3 5 32 2 5

m t km t km t k

có nghiệm

Giải hệ tìm được1

1mt

Khi đó điểm M(1; 4; 3) Phương trình

1 2: 4

3 5

x td y t

z t

thoả mãn bài toán

Bài tập tự giải: Bài 1: Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt hai đường thẳng 1d và 2d biết

1 5: 1 1 3x y zd ; 1

1 2 3: 2 3 4

x y zd và 2

1: 1 1 2x y zd

Đáp số: ở dạng chính tắc 11 1 3x y z , dạng tổng quát

5 2 2 02 4 4

x y zx y z

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng 1d và 2d đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P) biết

: 3 10 0P x y z ; 11 2 3:

2 3 4x y zd

và 21:

1 1 2x y zd

Đáp số: : 13

x ty tz t

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 1;1;0A và cắt hai đường thẳng

1

1 1

1:

0

x td y t

z

và 2

2

0: 0

2

xd y

z t

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


58

Đáp số: :0

x td y t

z

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

1

2 0:

2 5 0y

dx z

và 2

1: 3

4

x td y t

z t

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm 1;3;0M đồng thời cắt 1d và 2d Đáp số: Bài toán vô nghiệm Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxz) và cắt hai đường thẳng

1

1 1

1

: 43

x td y t

z t

và 2

2 2

2

1 2: 3

4 5

x td y t

z t

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

1

2 0:

2 5 0yx z

và 2

1 2: 3

4

x ty tz t

Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng 1 và 2 và song song với trục Oz

Đáp số:

1

3: 2

1

xd y

z t

Bài 7: (ĐHXD – 1998) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thắng 1d và 2d biết

: 1 0P x y z ; 11 1:

2 1 1x y zd

và 2

2 1 0:

2 2 1 0x y z

dx y z

Đáp số: 2 1 0

: 2 3 1 0x y z

dx y z

Bài 8: (ĐH – A 2007) Cho 2 đường thẳng 1 2

1 21 2: ; : 1

2 1 13

x tx y zd d y t

z

a. Chứng minh d1, d2 chéo nhau b. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt cả 2 đường thẳng d1, d2 HD: a. Xét tích 1 2. 21 0u u MN

1 2à chéo nhaud v d

b. 2 1:7 1 4

x y zd

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt hai đường thắng 1d và 2d Phương pháp : - Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt đường thắng 1d tại điểm A 1A P d

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


59

- Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt đường thắng 2d tại điểm B 2B P d

- Tìm tọa độ điểm A và B và tính vecto AB

Kết luận: Đường thẳng là đường thẳng đi qua A và nhận vecto AB

làm vtcp


Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 11 1 1:

2 1 1x y zd

21 2 1:

1 1 2x y zd

và mặt phẳng : 2 3 0.P x y z Viết phương trình chính tắc của đường

thẳng , biết nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 . Giải:

Đường thẳng 1d và 2d có phương trình tham số là 1

1 1

1

1 2: 1

1

x td y t

z t

và 2

2 2

2

1: 2

1 2

x td y t

z t

Gọi A = d1(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 (P) suy ra B(2; 3; 1) Đường thẳng thỏa mãn bài toán đi qua A và có vtcp (1;3; 1)u AB

Phương trình chính tắc của đường thẳng là: 1 21 3 1

x y z

Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng : 4 3 11 26 0P x y z và 2 đường thẳng:

1 23 1 4 3: à :

1 2 3 1 1 2x y z x y zd v d

a. Chứng minh 1 2àd v d chéo nhau. b. Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) cắt cả 1 2àd v d . HD: a. Ta có 1 2 1 2 2 2( 1;2;3), (1;1;2) à (0;3; 1) ; (4;0;3)u u v M d M d

1 2 1 2 1 2 1 2(4; 3; 4) . . 23 0 àM M u u M M d v d

chéo nhau

b. Giả sử 1 2( ) ( 2;7;5) à ( ) (3; 1;1)d P A A v d P B B

phương trình đường thẳng 2 7 5:5 8 4

x y zAB

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp (P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng :

1 3 2:1 1 2

x y zd

và '

1 2: 2

1

x td y t

z t

Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d và d’ . CMR d và d’ chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng . HD: Mặt phẳng (P) cắt d tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt d’ tại điểm B(9 ; 6 ; 5)

Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình là 96 85 15

x ty tz t

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


60

+ Đường thẳng d đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP 1;1;2u

+ Đường thẳng d’ đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP ' 2;1;1u

Ta có : ' 2; 1;3MM

và ' , ' 8 0MM u u

suy ra d và d’ chéo nhau

Khi đó : ' , ' 8, '

11, '

MM u ud d d

u u

Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng : 2 0y z và cắt hai đường thẳng

1

1:

4

x td y t

z t

và

'

'2

2: 4 2

1

x td y t

z

Đáp số:

''

''

''

1 4: 2

x ty tz t

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

1

1: 1

3

xd y

z t

và 2

2 2

2: 2

0

x td y t

z

Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng 1d và 2d , đồng thời 1d d và d tạo với mặt phẳng

: 2 3 0P x y một góc bằng 60o Đáp số : Có hai đường thẳng d thỏa mãn là

'

'

1 2 3

: 1 2 3 1

0

x t

d y t

z

và

''

''

1 2 3

: 1 2 3 1

0

x t

d y t

z

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng : 3 12 3 5 0P x y z ; : 3 4 9 7 0Q x y z và hai đường thẳng

15 3 1:

2 4 3x y zd

và 23 1 2:

2 3 4x y zd

.

Viết phương trình đường thẳng song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2

Đáp số: 25 32 26 55 0

:4 3 10 0

x y zy z

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A d P và vuông góc với đường thẳng d Phương pháp: - Tìm tọa độ điểm A d P

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


61

- Đường thẳng nằm trên (P) và vuông góc với d nên có vtcp ,P du n u

- Đường thẳng đi qua A và có vtcp u

nên có ptts

Chú ý: Nếu yêu cầu viết phương trình ở dạng tổng quát thì chính là giao tuyến của hai mặt phẳng P và

Q , trong đó mặt phẳng Q là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d


Bài 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng : 1 0P x y z và 1

: 1

xz

Tìm giao điểm A của P và . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A nằm trong P và vuông góc với Giải:

- Giao điểm A P là nghiệm của hệ 1 0 1

1 1 1;1; 11 1

x y z xx y Az z

- Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với khi đó d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) - Mặt phẳng (Q) đi qua A và có vtpt 1 0;1;0Qn u

có phương trình là 1y

- Phương trình giao tuyến d của (P) và (Q) là 1 0 0

1 1x y z x zy y

Và đặt x t z t thì d phương trình tham số 1x tyz t

Tương tự: Cho mặt phẳng P và đường thẳng d có phương trình là

: 2 1 0P x y z và 1 2: 2 1 3

x y zd

. Viết phương trình của đường thẳng đi qua giao điểm

của P và d, vuông góc với d và nằm trong P Mở rộng dạng 6: Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(P), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d Phương pháp giải: - Tìm VTCP của d : du

và VTPT của (P): Pn

- Đường thẳng có VTCP là d Pu u n

- Viết phương trình đường thẳng qua A và có VTCP vừa tìm được ở trên. Chú ý: Nếu yêu cầu viết phương trình ở dạng tổng quát thì chính là giao tuyến của hai mặt phẳng P và

Q , trong đó mặt phẳng Q là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


62


Bài 1: (ĐHDB – 2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho đường thẳng 3 2 1: 2 1 1

x y zd

và mặt phẳng : 2 0P x y z

a. Tìm giao điểm M của d và P

b. Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mặt phẳng P sao cho d và khoảng cách từ M

tới bằng 42 Giải: a. Ta có phương trình tham số của d là:

3 221

x ty tz t

toạ độ điểm M là nghiệm của hệ

3 221

2 0

x ty tz tx y z

(tham số t)

(1; 3;0)M b. Lại có VTPT của P là (1;1;1)Pn

, VTCP của d là (2;1; 1)du

.

Vì nằm trong P và vuông góc với d nên VTCP , (2; 3;1)d Pu u n

Gọi ; ;N x y z là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó ( 1; 3; )MN x y z

.

Ta có MN

vuông góc với u

nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0 (1)

Lại có N P (2) và giả thiết 42MN (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ: 2 2 2

2 02 3 11 0( 1) ( 3) 42

x y zx y zx y z

Giải hệ ta tìm được hai điểm 5; 2; 5N và 3; 4;5N

Nếu 5; 2; 5N ta có phương trình 5 2 5:2 3 1

x y z

Nếu 3; 4;5N ta có phương trình 3 4 5:2 3 1

x y z

Bài 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng : 1 0P x y z , đường thẳng 2 1 1:

1 1 3x y zd

. Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng nằm

trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 23 . Giải: Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến (1;1; 1)Pn

và d có véc tơ chỉ phương (1; 1; 3)u

)4;2;1()( IPdI

Vì dP);( có véc tơ chỉ phương ; ( 4; 2; 2) 2( 2;1; 1)P du n u

Gọi H là hình chiếu của I trên ( )H Q là mặt phẳng qua I và vuông góc Phương trình : 2( 1) ( 2) ( 4) 0 2 4 0Q x y z x y z

Gọi 11 )()( dQPd có vécto chỉ phương 1 ; (0;3;3) 3(0;1;1)P Qu n n

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


63

và 1d qua I phương trình của 1

1: 2

4

xd y t

z t

Ta có 1 (1;2 ; 4 ) (0; ; )H d H t t IH t t

Theo giả thiết

33

23223 2

tt

tIH

TH 1: 17

15

21:)7;5;1(3

zyxptHt

TH 2: 11

11

21:)1;1;1(3

zyxptHt

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 2 4

: 3 23

x td y t

z t

và mặt phẳng

: 2 5 0P x y z . Viết phương trình đường thẳng nằm trong P song song với d và cách d

một khoảng là 14 . Giải: Chọn (2;3;3), (6;5;2)A B d mà A, B nằm trên P nên d P .

Gọi u vectơ chỉ phương của 1d qua A và vuông góc với d thì d

P

u uu u

nên ta chọn [ , ] (3; 9;6) 3(1; 3;2)Pu u u . Phương trình của đường thẳng 1

2 3: 3 9 ( )

3 6

x td y t t R

z t

:

là đường thẳng qua M và song song với d . Lấy M trên 1d thì (2 3 ;39 ;3 6 )M t t t .

Theo giả thiết: 2 2 2 2 1 114 9 81 36 149 3

AM t t t t t

Với 11 1 6 51;6; 5 :3 4 2 1

x y zt M

Với 21 3 13;0; 1 :3 4 2 1

x y zt M

Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;1;0), nằm trong mặt phẳng (P): 3x – 2y – 1 = 0

và vuông góc với đường thẳng 11 16:1 2 1x y zd

Bài 2: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm 3; 1;1A nằm trong mặt phẳng

: 5 0x y z và hợp với đường thẳng một góc 45o với 2: 1 2 2x y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


64

Đáp số: Phương trình tham số của 1

1 1

1

3 7: 1 8

1 15

x td y t

z t

và 2

2 2

3: 1

1

x td y t

z

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng : 4 – 3 11 0P x y z và hai đường thẳng

13 1:

1 2 3x y zd

, 2

4 3:1 1 2

x y zd . Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Viết phương trình

đường thẳng nằm trên (P), đồng thời cắt cả d1 và d2. HD: Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5) Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1)

Phương trình đường thẳng 2 7 5:5 8 4

x y z

Bài 4: Cho hai đường thẳng: 1

3 2: 1

5

x td y t

z t

và 23 3 1:

2 1 1x y zd

a. Chứng tỏ rằng d1 và d2 song song nhau. b. Viết phương trình mặt phẳng () chứa d1 và d2. c. Tính khoảng cách giữa d1 và d2 d. Viết phương trình đường thẳng biết song song với d1 ; cách đều d1, d2 và

Đáp số: b. : 4 0y z c. 1 28 3,

3d d d

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 4 0P x y z và hai điểm 3;3;1A ;

0;2;1B a. Viết phương trình đường thẳng d, biết d nằm trong mặt phẳng (P) và mỗi điểm của d cách đều hai điểm A và B b. Tìm tọa độ điểm I AB I B sao cho , ,d I P d B P Đáp số:

a. d cách đều A, B nên d thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên 4 0

:3 7 0x x x

dx y

b. 3 5; ;12 2

I

Dạng 8: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1d và 2d Phương pháp: Nếu yêu cầu viết phương trình đường thẳng d ở dạng tổng Cách 1: - Tìm một điểm 1A d , một vtcp 1u và một điểm 2B d , một vtcp 2u - Gọi d là đường vuông của 1d và 2d , khi đó d có một vtcp 1 2,u u u

Đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng (P) chứa d và 1d nên (P) đi qua A và có vtpt 1,Pn u u

- Mặt phẳng (Q) chứa d và 2d nên (Q) đi qua B và có vtpt 2,Pn u u

Kết luận: Đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


65

Cách 2: - Tìm một điểm 1A d và một vtcp 1u - Gọi d là đường vuông của 1d và 2d , khi đó d có một vtcp 1 2,u u u

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và 1d nên (P) đi qua A và có vtpt 1,Pn u u

- Gọi 2M P d , tọa độ M là nghiệm của 2d và (P) Kết luận: Đường thẳng d là đường thẳng đi qua B và có vtcp u Nếu yêu cầu viết phương trình đường thẳng d ở dạng tham số hoặc chính tắc Cách 3: Khi 1d và 2d ở dạng tham số - Giả sử A và B là chân đường vuông góc chung của 1d và 2d , tức là d AB - Tìm tọa độ điểm A và B theo tham số của 1d và 2d

- Từ điều kiện 1d d và 2d d , suy ra 1

2

AB u

AB u

Tọa độ của A và B

Kết luận: Đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua A và nhận vecto AB

làm vtcp Cách 4: Khi 1d và 2d chéo nhau và vuông góc với nhau Đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1d và vuông góc với đường thẳng 2d - Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng 2d và vuông góc với đường thẳng 1d

Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường

thẳng: 17 3 9:

1 2 1x y z

và 2

3 7: 1 2

1 3

x ty tz t

:

Giải:

Phương trình tham số của 1

7 ': 3 2 '

9 '

x ty tz t

:

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với 1 và 2

' ' '(7 ;3 2 ;9 – )M t t t và 3 – 7 ;1 2 ;1 3N t t t

VTCP lần lượt của 1 và 2 là 1;2; –1a

và –7;2;3b

Ta có:. 0

. 0

MN a MN a

MN b MN b

. Từ đây tìm được t và t’ Toạ độ của M, N.

Đường vuông góc chung chính là đường thẳng MN.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1

2 2: 3

x td y

z t

và

22 1:

1 1 2x y zd

.

a. Chứng minh rằng hai đường thẳng 1 2,d d vuông góc nhau nhưng không cắt nhau .

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


66

b. Viết phương trình đường vuông góc chung của 1 2,d d . Giải: a. Thay x.y.z trong phương trình của 1d vào phương trình của 2d ta được :

2 3 1 1 41 1 2

t t t t

vô nghiệm .

Vậy 1d và 2d không cắt nhau . Ta có: 1d có vtcp 1 ( 2;0;1)u

; 2d có vtcp 2 (1; 1; 2)u

Vì 1 2. 0u u nên 1d và 2d vuông góc nhau .

b. Lấy 1(2 2 ;3; )M t t d , 2(2 ;1 ; 2 )N m m m d

Khi đó: ( 2 ; 2 ;2 )MN m t m m t

MN vuông với 1 2,d d 1

2

. 0 0 5 4 2(2;3;0), ( ; ; )1 / 3 3 3 3. 0

MN u tM N

mMN u

2 3:1 5 2

x y zMN là phương trình đường thẳng cần tìm .

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :

12 1:

1 1 2x y zd

, 2

2 2: 3

x td y

z t

Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

Giải: Các véc tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là 1 1; 1;2u

và 2 2;0;1u

( - 2; 0; 1)

Có M( 2; 1; 0) d1; N( 2; 3; 0) d2

Xét 1 2; . 10 0u u MN

suy ra d1 chéo d2

Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t) d1, B(2 – 2t’; 3; t’) d2

1

2

1. 0 5 4 2; ; , 2;3;033 3 3. 0 ' 0

AB u tA B

AB u t

Đường thẳng qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d1 và d2.

Ta có 2

: 3 52

x ty tz t

PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có dạng:2 2 211 13 1 5

6 6 3 6x y z

Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐH YDHCM – 1998) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

17 3 9:

1 2 1x y zd

và 23 3 1:

7 2 3x x zd

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng 1d và 2d

Đáp số: 3 2 6 0

:5 34 11 38 0

x y zx y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


67

Bài 2: (ĐHH – 1997) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

3 0:

1 0x y z

dy z

và 2

2 2 9 0:

1 0x y z

dy z

Chứng minh rằng 1d và 2d vuông góc với nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng 1d và 2d

Đáp số: 4 9 0

:1 0

x y zy z

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : 1 1d x y z và 2 : 1 1d x y z Tìm tọa độ điểm 1A d và 2B d sao cho đường thẳng 1 2,AB d AB d

Đáp số: 1 5 3; ;4 4 4

A

và 1 7 3; ;4 4 4

B

Bài 4: (ĐHSPHN – 1998) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

2: 1

2

x td y t

z t

và 2

2 2 0:

3 0x z

dy

a. Chứng minh rằng 1d và 2d chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng

1d và 2d b. Viết phương trình mặt phẳng (P) cách đều 1d và 2d

Đáp số: a. 2 3:1 5 2

x y zd AB

b. (P) chính là mặt phẳng trung trực của đoạn AB có phương trình 5 2 12 0x y z

CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

І. Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm ; ;I a b c và có bán kính R khi đó mặt cầu (S) có phương trình là 2 2 2 2x a y b z c R (1)

Đặc biệt khi I O thì 2 2 2 2:S x y z R ІІ. Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) Từ (1) khai triển ra ta được

2 2 2 2 2 2 22 2 2 (2)x y z ax by cz a b c R Đặt 2 2 2 2d a b c R khi đó 2 2 22 2 2 2 0 3x y z ax by cz d điều kiện 2 2 2 0a b c d

(3) là phương trình của mặt cầu có tâm ; ;I a b c và bán kính 2 2 2R a b c d

ІІІ. Vị trí tương đối của một điểm 0 0 0 0; ;M x y z với mặt cầu (S)

Cách 1: Phương tích của một điểm 0 0 0 0; ;M x y z với mặt cầu (S) Giả sử phương trình mặt cầu (S) ở dạng tổng quát, khi đó Phương tích 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0, 2 2 2M S x y z ax by cz d - Nếu 0 điểm 0M nằm ngoài mặt cầu (S)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


68

- Nếu 0 điểm 0M nằm trong mặt cầu (S) - Nếu 0 điểm 0M nằm trên mặt cầu (S) Cách 2: Tính khoảng cách từ tâm I đến điểm 0M và so sánh với bán kính R - Nếu 0IM R điểm 0M nằm ngoài mặt cầu (S) - Nếu 0IM R điểm 0M nằm trong mặt cầu (S) - Nếu 0IM R điểm 0M nằm trên mặt cầu (S) ІV. Vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (P) Tính khoảng cách d IH từ tâm I đến mặt phẳng (P) và so sánh với bán kính R - Nếu d R P S mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S)

- Nếu d R P S C mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến (thiết diện) là một đường tròn (C), đường tròn này + Có tâm H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng (P) + Bán kính 2 2r R d Đặc biệt khi (P) đi qua tâm của mặt cầu (S) thì ,I H R r và đường tròn (C) được gọi là đường tròn lớn

- Nếu d R P S M mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M khi đó mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện và điểm M gọi là tiếp điểm

V. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu (S) Tính khoảng cách d IH từ tâm I đến đường thẳng và so sánh với bán kính R - Nếu d R S đường thẳng không cắt mặt cầu (S)

- Nếu ,d R S A B đường thẳng cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B

- Nếu d R S M đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M khi đó điểm M gọi là tiếp điểm

Các dạng bài tập:

Loại 1: Viết phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu ta phải xác định được tâm và bán kính sau đó sử dụng công thức (1) hoặc (2) Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng đơn giản a. Có tâm ; ;I a b c và bán kính R cho trước

b. Có đường kính AB với 1 1 1; ;A a b c và 2 2 2; ;B a b c cho trước

c. Có tâm ; ;I a b c và đi qua điểm 0 0 0 0; ;M x y z cho trước

Phương pháp: a. Sử dụng công thức (1) hoặc (2) b. Vì AB là đường kính nên Cách 1: - Tâm I là trung điểm của A, B tọa độ điểm I

- Bán kính 2

ABR

Kết luận: Phương trình mặt cầu (S) Cách 2: Phương pháp quỹ tích Giả sử ;M x y S khi đó ta có . 0MA MB MA MB

, từ đây ta được phương trình mặt cầu (S)

Cách 3: Dựa vào định lý pitago

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


69

Giả sử ;M x y S khi đó ta có 2 2 2MA MB MA MB AB , từ đây ta được phương trình mặt cầu (S) c. Cách 1: - Có tâm ; ;I a b c - Bán kính 0R IM Cách 2: Giả sử ;M x y S khi đó ta có 2 2

0 0IM IM R IM IM , từ đây ta được phương trình mặt cầu (S) Cách 3: - Mặt cầu (S) có tâm ; ;I a b c có dạng 2 2 2 2x a y b z c R (1)

- Vì điểm 0M S nên thay tọa độ điểm 0M vào (1) được bán kính R Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :

12 1:

1 1 2x y zd

và 2

2 2: 3

x td y

z t

Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 Giải: Các véc tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là 1 1; 1; 2u

và 2 2;0;1u

Có 12;1;0 M d , 2 2;3;0N d

Xét 1 2; . 10 0u u MN

Vậy d1 chéo d2 Gọi 12 ;1 – ;2A t t t d và 22 – 2 ’;3; ’B t t d

Ta có 1

2

1. 03

. 0 ' 0

AB u t

AB u t

5 4 2; ;3 3 3

A

và 2;3;0B

Đường thẳng qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d1 và d2.

Ta có 2

: 3 52

x ty tz t

Phương trình mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có dạng:2 2 211 13 1 5

6 6 3 6x y z

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

25

11

34:1

zyxd

13

31

2:2zyxd

Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 Giải: Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d1, d2 tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


70

IA + IB ≥ AB và AB ≥ 1 2,d d d dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 Ta tìm A, B :

'

AB u

AB u

Ad1, Bd2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)

AB

(….)… A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) I(2; 1; -1) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R = 6 Nên có phương trình là: 2 2 22 ( 1) ( 1) 6x y z

Bài 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(0;-1;1) và B(1;2;1). Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và đường thẳng chứa trục Ox.

Giải: Lập phương trình đường thẳng đi qua AB ta có:

: 1 31

x tAB y t

z

Gọi ( ;3 1;1)M t t AB

Và N(s;0;0) thuộc Ox ( ;3 1;1)MN t s t

.

Vì : 13

MN ABt s

MN Ox

Ta tìm được : 1 1 1 1( ;0;1) , ( ;0;0) ( ;0; )3 3 3 2

M N O là trung điểm của MN.

Và 12 2

MNR .

Vậy: 2 2 21 1: ( 3) ( )2 4

S x y z

Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của 1d và 2d biết

1d : 2

4

x ty tz

và 2d : '

3 '0

x ty tz

Đáp số: 2 2 2: 2 1 2 4S x y z

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 1

2:

4

x ty tz

, 2 là giao tuyến của 2 mặt

phẳng ( ) : 3 0x y và ( ) : 4 4 3 12 0x y z . Chứng tỏ hai đường thẳng 1 2, chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của 1 2, làm đường kính. HD: Gọi AB là đường vuông góc chung của 1 2, , 1 2(2 ; ;4) , (3 ; ;0)A t t B s s AB 1, AB 2 (2;1;4), (2;1;0)A B Phương trình mặt cầu là: 2 2 2( 2) ( 1) ( 2) 4x y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


71

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm 1 1 1 1 2 2 2 2; ; , ; ;M x y z M x y z và thoả mãn điều kiện cho trước a. Tâm I thuộc một đường thẳng cho trước b. Tâm I thuộc trục Ox (hoặc Oy hoặc Oz) Phương pháp 1: a. Khi đường thẳng ở dạng tham số Cách 1: - Vì I nên ta được tọa độ điểm I theo tham số t - Vì 2 2

1 2 1 2IM IM R IM IM , giải phương trình theo tham số ta được t, thay t vào ta được tọa độ điểm I bán kính 1R IM Cách 2: Khi đường thẳng ở dạng tổng quát

- Giả sử ; ;I a b c khi đó ta có 1 1 1 1

2 2 2 2

01

0a a b b c c da a b b c c d

- Vì 2 21 2 1 2 2IM IM R IM IM . Giải hệ (1) và (2) ta được tọa độ điểm I bán kính

1R IM Chú ý: Có thế chuyến về dạng tham số áp dụng cách 1 và ngược lại Cách 3: - Viết phương trình mặt phẳng (P) trung trực của đoạn 1 2M M - Vì I P nên tọa độ I là nghiệm của và (P) - Bán kính 1R IM Phương pháp 2: Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d có tâm ; ;I a b c và bán

kính 2 2 2R a b c d - Vì 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1; ; 2 2 2 0 1M x y z S x y z ax by cz d

- Vì 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2; ; 2 2 2 0 2M x y z S x y z ax by cz d

- Từ điều kiện cho trước ta được phương trình (3). Giải hệ (1), (2) và (3) ta được a, b, c, d từ đó suy ra phương trình mặt cầu Chú ý: Nếu dùng phương trình mặt cầu dạng chính tắc sẽ dẫn đến hệ ba phương trình bốn là a, b, c và R b. Làm tương tự Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm 2; 4;1 , 2;0;3A B và

có tâm I thuộc đường thẳng 1 2 3:2 1 2

x y zd

Giải: - Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có

tâm I thuộc đường thẳng (d): x 2-ty 3tz 1 6t

- Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB.

Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 ). Vecto )2;4;4(AB

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


72

Phương trình mp trung trực của AB : 0 4 2 4 2 2 0 2 2 2 0x y z x y z Ta có I là giao điểm của đường thẳng ( d ) và mp trung trực của AB nên tọa độ tâm I thỏa :

231 6

2 2 2 0

x ty tz t

x y z

Giải hệ trên ta được 3 21; ; 222 2

I

Bán kính mặt cầu (S) : 2 2

23 21 9672 192 2 2

IB

Phương trình mặt cầu 2 2

23 21 967: ( 22)2 2 2

S x y z

Bài 2: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1 ; 2; 2), B(3 ; 2; 0) và mặt phẳng : 2 2 1 0x y z

a. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với ();

b. Gọi d là giao tuyến của () và (). Viết ptrình mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua 2 điểm A, B.

Giải: a. mp() có 1 vectơ pháp tuyến (2; 2; 1)n

; (4;0; 2)AB

mp() có 1 vectơ pháp tuyến là \ (4;0;8)n n AB

phương trình mp(): x + 2z 3 = 0 b. Gọi () là mp trung trực của AB thì ()đi qua trung điểm M(1 ; 2 ; 1) của AB và có 1 vectơ pháp tuyến

(4;0; 2)AB

PT mp(): 2x z 1 = 0. Gọi I là tâm mặt cầu thì I là giao điểm của 3 mặt phẳng (), (), () toạ độ I là nghiệm của hệ:

2 2 1 0

2 3 0 1;1;12 1 0

x y zx z I

x z

Bán kính mặt cầu 6R IA PT mặt cầu: (x 1)2 + (y 1)2 + (z 1)2 = 6 Tương tự : Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm đi qua điểm 2;4; 1A , 0; 2;1B và tâm I thuộc đường thẳng

1 2: 2

1

x td y t

z t

Đáp số: 2 2 2: 3 1 2 19S x y z

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm 1 1 1 1 2 2 2 2; ; , ; ;M x y z M x y z , 3 3 3 3; ;M x y z và thoả mãn điều kiện a. Tâm I nằm trên một mặt phẳng (P) cho trước b. Cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính cho trước c. Tiếp xúc với một mặt phẳng (P) cho trước

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


73

Phương pháp 1: Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d có tâm ; ;I a b c và bán

kính 2 2 2R a b c d - Vì 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1; ; 2 2 2 0 1M x y z S x y z ax by cz d



- Từ điều kiện cho trước ta được phương trình (3). Giải hệ (1), (2), (3) và (4) ta được a, b, c, d từ đó suy ra phương trình mặt cầu Chú ý: Nếu dùng phương trình mặt cầu dạng chính tắc sẽ dẫn đến hệ 4 phương trình 4 là a, b, c và R Phương pháp 2: - Giả sử ; ;I a b c - Vì mặt cầu (S) đi qua ba điểm 1 2 3, ,M M M nên 3 2 1IM IM IM R

2 2

1 2 1 22 2

3 2 3 2

IM IM IM IMIM IM IM IM

(1)

- Từ điều kiện còn lại ta được phương trình (2), Giải hệ (1) và (2) ta được tọa độ tâm I - Bán kính 1R IM Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm 2; 4;1 , 2;0;3A B 0;2; 1C và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0.

Giải: Cách 1: Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB. Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 ) Vecto (4; 4; 2)AB

Phương trình mp trung trực của AB : 0 4 2 4 2 2 0 2 2 2 0x y z x y z ( 1 ) Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của BC. Trung điểm của BC là : J (1 ; 1 ; 1 ) Vecto ( 2; 2 ; 4)BC

Phương trình mp trung trực của BC : 1 2 1 2 1 4 0 2 2 0x y z x y z (2) Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P): x + y – z + 2 = 0 (3) Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ). Giải hệ này ta được I( -1 ; 1 ; 2). Bán kính mặt cầu ( S ) : 11IA Vậy phương trình mặt cầu ( S ): 11)2()1()1( 222 zyx Cách 2: Giả sử ; ;I x y z theo giả thiết ta có hệ

2 2

2 2

IA IBIA IB IC

IB ICI P

I P

. Giải hệ này ta sẽ được tâm I và bán kính của mặt cầu


www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


74

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm 2; 4;0 , 1;1;4 , 3;1;0A B C và tâm I nằm trên mặt

phẳng : -3 0P x y z

Bài 2: Cho : 2 2 5 0P x y z và các điểm A(0, 0, 4) ; B(0, 2, 0). Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mp (P)

Đáp số: 2 2 2: 4 2 4 0S x y z x y z và 2 2 2 19: 2 4 02

S x y z x y z

Bài 3: (ĐH – D 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 2;0;1 ; 1;0;0 ; 1;1;1A B C

và mặt phẳng : 2 0P x y z . Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P) Đáp số: 2 22: 1 1 1S x y z

Bài 4: Cho mặt phẳng : 2 2 0P x y z . Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm 1;0;0 ,A

0;1;0 , 0;3; 2B C và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1

Đáp số: 2 2 21 : 1 1 2 5S x y z và 2 2 2

2 : 4 4 1 26S x y z

Bài 5: Cho ba điểm 0;0;0 , 0;0;4 , 2;0;0O A B và mp : 2 2 – 5 0P x y z . Lập phương trình

mặt.cầu (S) đi qua ba điểm O, A, B và có khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng 53

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một mặt phẳng (P) tại tiếp điểm 1 1 1 1; ;M x y z cho trước và thoả mãn điều kiện a. Có bán kính R cho trước b. Khoảng cách từ tâm I đến điểm 2 2 2 2; ;M x y z hoặc đến đường thẳng d hoặc đến mặt phẳng (P) = k (hằng số) cho trước c. Tâm I thuộc mặt phẳng (Q) cho trước d. Tâm I thuộc một đường thẳng cho trước e. Có tâm ; ;I a b c cho trước

Phương pháp chung: Đối với các câu a, b, c, d ta chỉ cần xác định tọa độ tâm I - Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua điểm 1 1 1 1; ;M x y z và vuông góc với mặt phẳng (P) - Vì I nên ta được tọa độ điểm I theo tham số t, từ điều kiện cho trước ta được một phương trình theo t, giải phương trình này tìm được t, từ đó được tọa độ điểm I - Bán kính 1R IM hoặc ,R d I P Bài tập giải mẫu:


: 21

x td y t

z

và mặt phẳng

: 2 2 1 0P x y z . a. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P) . b. Viết phương trình đường thẳng qua M(0;1;0), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d Giải:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


75

a. Tâm mặt cầu là I d nên (1 2 ;2 ; 1)I t t Theo đề : Mặt cầu tiếp xúc với (P) nên

2(1 2 ) 2 2( 1) 1

( ; ( )) 3 6 3 3 0, 14 1 4

t td I P R t t t

0t thì 1;0; 1I 2 2 21( ) : ( 1) ( 1) 9S x y z

1t thì 1; 2; 1I 2 2 22( ) : ( 1) ( 2) ( 1) 9S x y z

b. VTCP của đường thẳng (d) là (2;2;0) 2(1;1;0)u

VTPT của mặt phẳng là (2;1; 2)v

Gọi u

là VTCP của đường thẳng thì u

vuông góc với ,u n do đó ta chọn [ , ] ( 2)(2; 2;1)u u v .

Vậy Qua M(0;1;0) 1: : vtcp [ , ] ( 2)(2; 2;1) 2 2 1

x y zu u v

Bài tập tự giải : Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng : 2 2 8 0P x y z tại 1; 2;2A và

có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến điểm 2;3;0B bằng 5 Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P): x – y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại 1; 1; 1M Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P): 2x + 2y + z + 3 = 0 tại M(3; 1; 1) Đáp số: 2 2 2

1 : 1 3 2 9S x y z và 2 2 22 : 5 1 9S x y z

Bài 4: Cho đường thẳng :1 2

3 1 1d

x y z và mặt phẳng : 2 2 2 0P x y z

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có bán kính bằng 1.

Đáp số: 2 2 21 : 2 3 1 1S x y z và

2 2 2

28 9 1: 15 5 5

S x y z

Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) ; (Q) và thoả mãn điều kiện a. Tâm I thuộc một đường thẳng cho trước b. Tại một tiếp điểm tương ứng là ; ;M x y z P

Phương pháp: a. Cách 1: Khi đường thẳng ở dạng tham số - Tâm I nên ta được tọa độ tâm I theo tham số t - Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và (P) , ,d I P d I Q , giải phương trình này được tham số t, từ đó suy ra tọa độ tâm I - Bán kính ,R d I P Kết luận về phương trình mặt cầu (S) Cách 2: Khi đường thẳng ở dạng tổng quát - Giả sử ; ;I a b c , tâm I nên ta được phương trình (1)

- Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và (P) , ,d I P d I Q (2) - Giải hệ (1) và (2) được a, b và c , từ đó được tọa độ tâm I

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


76

- Bán kính ,R d I P Kết luận về phương trình mặt cầu (S) Chú ý: - Có thế chuyển về dạng tham số áp dụng cách 1 và ngược lại - Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì ta có thể tính bán kính R như sau

2 , ,R d P Q d A Q b. Cách 1: - Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P), I d nên ta được tọa độ tâm I theo tham số t - Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và (P) , ,d I P d I Q , giải phương trình này được tham số t, từ đó suy ra tọa độ tâm I - Bán kính ,R d I P Kết luận về phương trình mặt cầu (S) Cách 2: Tìm tọa độ hình chiếu N của điểm M lên mặt phẳng (Q), khi đó MN chính là đường kính của mặt cầu (S), quay về dạng 1 Kết luận về phương trình mặt cầu (S) Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng 1 : 2 2 3 0P x y z ; 2 : 2 2 4 0P x y z và

đường thẳng 2 4:1 2 3

x y zd

Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I d và tiếp xúc với hai mặt phẳng 1 2, .P P

Giải:

Đường thẳng d có phương trình tham số là 2

: 24 3

x td y t

x t

2 ;2 ; 4 3I d I t t t là tâm của mặt cầu (S)

Mặt cầu (S) tiếp xúc với 1 2,P P 1 2, ;d I P d I P

113

16103139

31

tt

tt

1 2 1 211;26; 35 ; 1 ;2;1 38 ; 2I I R R

Vậy có hai mặt cầu cần tìm:

2 2 2 21 : 11 26 35 38S x y z và 2 2 2 2

2 : 1 2 1 2S x y z

Bài 2: Cho hai mặt phẳng : 2 2 5 0; : 2 2 13 0.P x y z Q x y z Viết phương trình của mặt

cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm 5; 2;1A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Giải : Gọi I(a;b;c) là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


77

, , ,

, ,

OI AIOI AI d I P d I Q OI d I P

d I P d I Q

Ta có: 2 2 22 2 2 2 2 5 2 1

10 4 2 30 (1)OI AI OI AI a b c a b c

a b c

22 2 2 2 2 2| 2 2 5 |, 9 2 2 5 (2)3

a b cOI d I P a b c a b c a b c

| 2 2 5 | | 2 2 13 |, ,3 3

2 2 5 2 2 13 ( )2 2 4 (3)

2 2 5 2 2 13

a b c a b cd I P d I Q

a b c a b ca b c

a b c a b c

lo¹i

Từ (1) và (3) suy ra: 17 11 11 4a; (4)3 6 3

ab c

Từ (2) và (3) suy ra: 2 2 2 9 (5)a b c Thế (4) vào (5) và thu gọn ta được: 2 221 658 0a a

Như vậy 2a hoặc 658221

a .Suy ra: I(2;2;1) và R = 3 hoặc 658 46 67; ;221 221 221

I

và R = 3.

Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình lần lượt là:

2 2 22 2 1 9x y z và 2 2 2658 46 67 9

221 221 221x y z

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2 2 5 0P x y z và mặt phẳng

: 2 2 13 0.Q x y z Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Giải: Gọi I(a;b;c) là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có:

, , ,

, ,

OI AI

OI AI d I P d I Q OI d I P

d I P d I Q

Ta có: 2 2 22 2 2 2 2 5 2 1

10 4 2 30 (1)OI AI OI AI a b c a b c

a b c

22 2 2 2 2 2| 2 2 5 |, 9 2 2 5 (2)3

a b cOI d I P a b c a b c a b c

| 2 2 5 | | 2 2 13 |, ,3 3

2 2 5 2 2 13 ( )2 2 4 (3)

2 2 5 2 2 13

a b c a b cd I P d I Q

a b c a b ca b c

a b c a b c

lo¹i

Từ (1) và (3) suy ra: 17 11 11 4a; (4)3 6 3

ab c

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


78

Từ (2) và (3) suy ra: 2 2 2 9 (5)a b c Thế (4) vào (5) và thu gọn ta được: 2 221 658 0a a

Như vậy 2a hoặc 658221

a .Suy ra: I(2;2;1) và R = 3 hoặc 658 46 67; ;221 221 221

I

và R = 3.

Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình lần lượt là:

2 2 22 2 1 9x y z và 2 2 2658 46 67 9

221 221 221x y z

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc Ox đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng: 0343 yx và 0322 zyx HD:

Giả sử I(a;0;0). Ta có: 3

325

33

aa

19/246 a

Vậy phương trình mặt cầu là: 96 222 zyx và: 3619

1924 22

2

zyx


Bài 1: Cho 1 : 3 4 3 0P x y , 2 : 2 2 39 0P x y z ; : 01

d

x tyz

. Viết phương trình mặt cầu có

tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với 1 2,P P .

Đáp số: 2 221 : 191 1 12996S x y z và 2 22

1 : 11 1 36S x y z Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng : 6 3 2 35 0x y z và

: 6 3 2 63 0x y z .Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng trên, biết

5; 1; 1A là một tiếp điểm

Đáp số: 2 2 2: 1 2 1 0S x y z

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2 2 2 0P x y z . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc trục Ox, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và (P) Đáp số: Có hai mặt cầu thỏa mãn là

2 2 21 : 2 4S x y z và

22 2

22 4:5 25

S x y z

Bài 4: Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q),

biết 2 4 7 0

:4 5 14 0

x y zd

x y z

; : 2 2 2 0P x y z ; : 2 2 4 0Q x y z

Đáp số: 2 2 2: 1 3 3 1S x y z Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), cắt mặt phẳng (P) cho trước theo giao tuyến là một đường tròn và thoả mãn điều kiện a. Đường tròn có diện tích cho trước b. Đường tròn có chu vi cho trước c. Đường tròn có bán kính cho trước

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


79

Chú ý: Diện tích của đường tròn 2S r , chu vi đường tròn 2p r

Phương pháp: Xác định bán kính R của mặt cầu (S) a. - Tính ,d I P IH , từ giả thiết về diện tích ta được bán kính r của đường tròn (C)

- Bán kính 2 2R IH r Kết luận về phương trình mặt cầu (S) b. - Tính ,d I P IH , từ giả thiết về chu vi ta được bán kính r của đường tròn (C)

- Bán kính 2 2R IH r Kết luận về phương trình mặt cầu (S) c. - Tính ,d I P IH

- Bán kính 2 2R IH r Kết luận về phương trình mặt cầu (S) Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp ( ) :2 2 15 0x y z và điểm J(-1;-2;1). Gọi I là điểm đối xứng của J qua ( ) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) theo một đường tròn có chu vi là 8π.

Giải: Gọi I(a;b;c) ta có:

( 1; 2; 1).IJ a b c

Do ( )2 31 2 12 32 1 2

a ba b cIJ nc b

Nhưng trung điểm M của IJ lại nằm trên ( ) nên ta có : 4 và 5; 4;5b I

Ta tính được khoảng cách từ I đến ( ) là IO’=3.

Vì chi vi 02 8R nên 2 2 2 20 4 ' ' 4 3 5R R IA IO AO

Vậy 2 2 2:( 5) ( 4) ( 5) 25S x y z Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng : 3 2 1 0Q x y z và giao của mặt phẳng : 6 0P x y z với mặt cầu (S) là đường

tròn có tâm 1; 2;3H và bán kính 8r .

Giải: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I ,bán kính R

Phương trình IH:1

23

x ty tz t

(Vì IH đi qua H và vuông góc với (P))

Do đó I IH Q Tọa độ I(0;1;2)

2 23 67IH R r IH Phương trình mặt càu (S): 2 22 1 2 67x y z Bài tập tự giải:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


80

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng :5 3 0P x y z , ( ) : 2 3 0Q x y z

và : 2 3 31 1 2

x y z

. Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có tâm I là giao điểm của (P) và

đồng thời mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi là 2 Đáp số: 2 22( ) : ( 1) 2 1 4S x y z Bài 2: (ĐH Lâm Nghiệp – 2001) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 2:1 2 1

x y zd

và mặt phẳng (P): 2x y 2z 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc

đường thẳng d, tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3

Đáp số: 2 2 2

11 2 13: 136 3 6

S x y y

2 2 2

211 14 1: 136 3 6

S x y y

Bài 3: Viết phương trình mặt cấu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là một đường tròn lớn có bán kính bằng 4, biết

1 0

:2 0

x zd

y

và : 0P y z

Đáp số: 2 2 2: 1 2 2 16S x y z Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng cho trước và thoả mãn điều kiện a. Có tâm I(a;b;c) cho trước b. Tại tiếp điểm M(x;y;z) thuộc và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước Phương pháp: a. - Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ,d I R Kết luận về phương trình mặt cầu (S) b. - Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng - Tọa độ tâm I P là nghiệm của phương trình

- Bán kính ,R IM d I Kết luận về phương trình mặt cầu (S) Bài tập giải mẫu: Bài 1:Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng

1 2 3:2 3 1

x y zd và 3' :

2 3 1x y zd

.

Viết phương trình mặt cầu tâm 'I d , bán kính bằng 3 3 và tiếp xúc với d HD:

' 2 ;3 ; 3I d I t t t

, 3 3 0;0; 3d I d I hoặc 7 21 23; ;5 10 10

I

suy ra phương trình mặt cầu

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


81

Bài 2: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 1 2:1 1 1

x y zd và mặt

phẳng : 2 – 2 2 0P x y z . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng

(P) và đi qua điểm 2; 1;0A HD : Gọi I là tâm của (S) và 1 ; 2 ;I d I t t t

Ta có 1

, 713

td I P AI

t

Vậy có hai phương trình mặt cầu là

2 2 2

2 2 21 2

20 19 7 121: – 2 1 –1 1; : – –13 13 13 139

S x y z S x y z

Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( )S biết (S) có tâm I là giao điểm

của mặt phẳng :5 7 2 1 0P x y z và đường thẳng 1

: 6 2 2

x td y t

z t

đồng thời mặt cầu ( )S tiếp xúc

với đường thẳng 4 3

: 5 5 3 4

x ty tz t

Đáp số: 22 2( ) : ( 3) 2 9S x y z Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d và , biết

1 2

: 23

x td y t

z t

và 3 1 0

:3 2 7 0x yx y z

Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng d tại 3;1;3H và có tâm I

Đáp số: 2 22: 1 2 18S x y z Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 , 2 và thoả mãn điều kiện a. Có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước b. Có tâm I thuộc mặt phẳng (P) cho trước c. Tại hai tiếp điểm tương ứng là M(x1;y1;z1) và N(x2;y2;z2) cho trước Phương pháp: a. Cách 1: - Khi đường thẳng d ở dạng tham số, tâm I thuộc đường thẳng d tọa độ I theo tham số của d - Đường thẳng 1 và 2 tiếp xúc với mặt cầu (S)

2 21 2 1 2, , , ,d I d I d I d I ta được một phương trình theo tham số, từ đó ta được

tọa độ tâm I

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


82

- Bán kính 1,R d I Cách 2: - Chuyển d, 1 và 2 về dạng tham số và tìm vtcp của 1 và 2 - Tâm I thuộc đường thẳng d tọa độ I theo tham số của d - Giả sử mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng 1 và 2 tại A và B 1A và 2B tọa độ A và B theo tham số của đường thẳng 1 và 2 - Từ điều kiện giả thiết ta có

1 1 1

2 2 2

2 2 2 2

. 0

. 0

IA IA u IAu

IB IB u IB uIA IB IA IB IA IB

tọa độ tâm I, điểm A và điểm B

- Bán kính R IA b. Giả sử ; ;I a b c là tâm của mặt cầu (S)

- Tâm I thuộc mặt phẳng (P) nên 0 1Aa Bb Cc D - Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng 1 - Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng 2 Tọa độ tâm I là giao của ba mặt phẳng (P), (Q) và (R), giải hệ ta được tọa độ tâm I Bán kính 1,R d I c. Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng 1 - Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng 2 - Viết phương trình (R) là mặt phẳng trung trực của đoạn M, N Tọa độ tâm I là giao của ba mặt phẳng (P), (Q) và (R), giải hệ ta được tọa độ tâm I Bán kính 1R IM Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

14 1 5: ;

3 1 2x y zd

13

31

2:2zyxd

Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 Giải: Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d1, d2 tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có IA IB AB và 1 2,AB d d d dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 Ta tìm A, B :

'

AB u

AB u

1 2, A d B d nên: 3 4 ;1 ; 5 2 , 2 ’; 3 3 ’; ’A t t t B t t t

AB

(….)… A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) I(2; 1; -1) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6 Nên có phương trình là: 2 2 22 ( 1) ( 1) 6x y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


83

Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1d và 2d , biết

1

1: 2

3

x td y t

z t

và 2

2:

2

x ud y u

z

a. Chứng minh rằng 1d và 2d chéo nhau b. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng 1d , 2d và có tâm I thuộc đường thẳng

: 26

x vd y v

z v

Đáp số: b. 2 2

21 13 43: 12 2 2

S x y z

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 và d2, biết :

1

1 2: 2 t R

3 3

x td y t

z t

và 2

2: 3 2

1 3

x ud y u

z u

a. CMR hai đường thẳng đó chéo nhau. b. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. c. Tính khoảng cách giữa d1 và d2 d. Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với d1, d2 và có tâm thuộc mặt phẳng : 2 0P x y z Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

12 1:

1 1 2x y zd

và 2

2 2: 3

x td y

z t

a. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2 b. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d1 và d2 tại hai tiếp điểm lần lượt là 2;1;0 ; 2;3;0A B Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và cắt đường thẳng cho trước tại hai điểm A, B thoả mãn điều kiện a. Độ dài AB = một hằng số b. Tam giác IAB là tam giác vuông c. Tam giác IAB là tam giác đều Phương pháp: Chỉ cần xác định bán kinh R của mặt cầu

a. - Xác định ,d I IH , vì IAB cân tại I nên 2

ABHB

- Bán kính 2 2R IH HB Kết luận về phương trình mặt cầu (S) b. - Xác định ,d I IH , vì IAB vuông cân nên 045HBI

- Bán kính 0sin 45IHR

Kết luận về phương trình mặt cầu (S) c. - Xác định ,d I IH , vì IAB đều nên 060HBI

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


84

- Bán kính 0sin 60IHR

Kết luận về phương trình mặt cầu (S) Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 3; 4) và đường thẳng d:

tztytx

26223

.

Lập phương trình mặt cầu tâm A cắt đường thẳng d tại hai điểm M, N sao cho MN = 8 Giải: Gọi H là hình chiếu của A lên d => H(3 + 2t; 2 + 6t; 2 – t), u (2; 6; -1) là véc tơ chỉ phương của d. Khi đó

)2;2;3(0. HuAH Xét tam giác vuông HAM, có HM = 4, AH = 3 nên AM = 5 = R, với R là bán kính của mặt cầu thỏa mãn bài toán Vậy phương trình mặt cầu cần lập là (x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 4)2 = 25 Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm 2;3; 1I sao cho (S) cắt đường thẳng d

5 4 3 20 0:

3 4 8 0x y z

dx y z

tại hai điểm A, B thỏa mãn 40AB

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm 1;0;3I và cắt đường thẳng 1 1 1:2 1 2

x y z tại hai

điểm A và B sao cho tam giác IAB vuông tại I Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (S) có tâm I thuộc đường thẳng 1 và cắt đường thẳng 2 tại hai điểm A,B sao cho ; ;H x y z là trung điểm của A,B và AB = hằng số

… Đang cập nhật Dạng 11: Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với mặt cầu (S’) cho trước qua a. Một điểm M(x;y;z) cho trước b. Một mặt phẳng (P) cho trước c. Một đường thẳng cho trước

Chú ý: Mặt cầu 'S đối xứng với S và thỏa mãn điều kiện có cùng bán kính tức là 'R R , chỉ khác

tọa độ tâm tức là 'I I Bài toán quy này về bài toán điểm đối xứng với điểm qua một điểm, qua một mặt phẳng hoặc qua một đường thẳng Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;2;3A và mặt cầu

2 2 2: 4 2 2 3 0S x y z x y z .Viết phương trình mặt cầu 'S đối xứng với mặt cầu (S) qua điểm A

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


85

Đáp số: 2 2' 2: 3 5 3S x y z

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 5 0P x y z và mặt cầu

2 2 2: 2 4 2 3 0S x y z x y z . Viết phương trình mặt cầu 'S đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (P) Đáp số: 2 2 2' : 3 4 1 3S x y z


:1 0

x y zd

y z

và mặt cầu

2 2 2: 2 4 2 3 0S x y z x y z . Viết phương trình mặt cầu 'S đối xứng với mặt cầu (S) qua đường thẳng d Đáp số: 2 2 2' : 3 2 1 9S x y z Dạng 12: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A; B; C; D có toạ độ cho trước Phương pháp: Cách 1: Giả sử phương trình mặt cầu có dạng tổng quát, khi đó tọa độ A, B, C và D thuộc mặt cầu (S) ta được 4 phương trình 4 ẩn là a, b, c, và d, giải hệ này ta được phương trình của mặt cầu (S) Chú ý: Nếu ta sử dụng phương trình chính tắc sẽ dẫn đến hệ 4 phương trình 4 ẩn là a, b, c, và R, giải hệ này ta được phương trình mặt cầu (S) Cách 2: - Giả sử tâm ; ;I a b c - Vì A, B, C và D thuộc mặt cầu (S) nên IA IB IC ID R

2 2

2 2

2 2

IA IBIA IBIC IB IC IBID IB ID IB

giải hệ này ta được a, b, và c từ đó được tọa độ tâm I và bán kính I IA

Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B trong mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S. Giải: OABC là hình chữ nhật B(2; 4; 0) Tọa độ trung điểm H của OB là H(1; 2; 0), H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB. + Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) tại H cắt mặt phẳng trung trực của đoạn OS (mp có phương trình z = 2 ) tại I I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S. + Tâm I(1; 2; 2) và bán kính 2 2 2 2 21 2 2 3 : ( 1) ( 2) ( 2) 9R OI S x y z Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC. Chứng minh rằng ABC vuông và viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Giải: Ta có (0; 2;2)BC

. mp(P) qua O(0;0;0) có vtpt (0; 2;2)BC

: 2 0 2 0 0 0P y z hay y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


86

( 1;1;0)

( 1; 1; 2)

AB

AC

. 0AB AC

. Suy ra tam giác ABC vuông tại A (1)

CM tương tự tam giác OBC vuông tại O (2) Từ (1) & (2) Suy ra 4 Điểm A, B, C, O cùng thuộc 1 mặt cầu đường kính BC nên tâm I là trung điểm của BC 0;1;1), 2I R

PT mặt cầu: 2 22 1 1 2x y z Bài tập tổng hợp giải mẫu:

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2

5 2: à : 2

0

x t x sd y t v d y

z z s

. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 và I cách d2 một

khoảng bằng 3. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5.

Giải:

Vì I thuộc d1 nên ; ;0I t t

22 2

2

2

.( 2;0;1) ó (5 ; 2;0) ( )(5; 2;0)

6 30 45. ( 2;5 ; 2 4) ( ) 35

0 (0;0;0)5 (5; 5;0)

du IMud c IM t t d I d

Qua M u

t tu IM t t t d I d

t It I

Vậy có hai phương trình mặt cầu thõa mãn điều kiện bài toán là: 2 2 2 2 2 2

1 2( ) : 25; ( ) : ( 5) ( 5) 25S x y z S x y z

Bài 2: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương

trình lần lượt là: : 2 4 0 : 2 6 0P x y và Q x y

Giải:

Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên 2 , .R d P Q

Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có: , , 2 5 5d P Q d M Q R .

Lúc này phương trình mặt cầu có dạng: 2 2 2 5x a y b z c

Vì C đi qua O(0;0;0) nên: 2 2 2 2 2 25 ( ) : 5a b c I S x y z

Mặt khác: Mặt phẳng song song và cách đều (P) và (Q) có phương trình:

( 2 4) ( 2 6): 2 1 02

x y x y x y

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


87

Do 2 2 2

2 1 0( )( ) ( ) :

( ) 5x yI

I SI S x y z

(Cố định )

Bài 3: Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0). Và mặt cầu (S’)

đi qua 4 điểm: 1 1 1'( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1)2 2 2

A B C D . Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của

2 mặt cầu đó.

Giải: Lần lượt ta lập các phương trình mặt cầu với dạng tổng quát chung là:

2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d

Với (S) ta có: 2 2 2

1 2 01 2 0 1 ; 0 0(1)1 2 0 23 2 2 2 0

c da d

a b c d x y z x y zb da b c d

Với (S’) 2 2 2

1 041 7 1 7 1 70 ; ; 2 2 0(2)2 4 4 2 2 22 2 2 02 2 2 0

a d

b c d a c b d x y z x y z

a b db c d

Từ (1) và (2) ta thấy mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến có phương trình:

( ) : 9 9 4 0x y z

Vậy phương trình đường tròn giao tuyến cần tìm là:

2 2 2

9 9 4 0( ) : 1 1 1 3( ) ( ) ( )

2 2 2 4

x y zC

x y z

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1:3 1

x yd z và mặt

phẳng ( ) : 2 2 2 0P x y z . Lập phương trình mặt cầu S( ) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với P( ) và đi qua điểm A(1;-1;1) Giải: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) nên:

20 15 3

, 37 24 0 24 77337 37

t Rtd I P R t t

t R

Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn 0 1 1; 1;0t R I

Vậy phương trình mặt cầu 2 2 2: 1 1 1S x y z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


88

LỜI KẾT Viết phương trình Mặt phẳng – Đường thẳng – Mặt cầu trong không gian là một phần không thể thiếu trong các kì thi TN – CĐ – ĐH, chính vì thế tôi biên soạn (có tham khảo thêm các tài liệu) chuyên đề này giúp các em học sinh có thêm kiến thức chuẩn bị cho các kì thi sắp tới và các bạn đồng nghiệp có thêm tài liệu giảng dạy…

Tuy nhiên năng lực và kinh nghiệm còn thiếu, tuổi đời còn trẻ, tài liệu dài nên có đôi chỗ đánh máy nhầm. Rất mong các bạn học sinh và các bạn đồng nghiệp góp ý kiến, bổ sung thêm giúp tôi và các bạn hoàn thiện hơn … Xin chân thành cảm ơn

Góp ý theo địa chỉ Email: [email protected] hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long

Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

(dùng cho ôn thi tn – cĐ Đh 2011 · pdf filetập hợp các mặt...

Documents