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§1.3 函数的极限
燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
第 1 章
一、函数极限的定义
1. 自变量趋于无穷大时函数的极限
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
,)(xfy 对于
0( 4) x x
0(5) x x 0(6) x x
(1) x ( 2) x
(3) x
自变量的变化过程有六种形式 :
XX
A
Ao x
y
)(xfy A
1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 定义 1 设函数
xxf 当)( 大于某一正数时有定义 ,
若 ,0X ,)(, AxfXx 有时当
则称常数 时的极限 ,
Axfx
)(lim )()( xAxf 当或
几何解释 :
AxfA )(XxXx 或
记作
,0
xxf 当)(A 为函数
当 x< - X 或 x>X 时,函数 y=f (x) 的图形完全落在以直线 y=A 为中心线,宽为 2ε 的带形区域内.
例 1. 证明 .01
lim xx
证 : 01 x x
1
取 ,1
X ,时当 Xx 10 ,
x 因此 1
lim 0.x x
就有
故 ,0 欲使 ,01 x
只要 1x
.即可
o x
y
xy
1
两种特殊情况 :
Axfx
)(lim ,0 ,0X 当 Xx 时 , 有 Axf )(
Axfx
)(lim ,0 ,0X 当 Xx 时 , 有 Axf )(
2. 自变量趋于有限值时函数的极限(1) 0xx 时函数极限的定义
引例 . 测量正方形面积 . 面积为 A )边长为( 真值 : ;0x
边长
面积 2x
直接观测值
间接观测值任给精度 ,
要求 Ax2
确定直接观测值精度 :
0xx0xA
x
点 a的 邻域 . a
),( xa axa
x ax
)(aa
我们称集合
定义 2 设函数 )(xf 在点 0x 的某去心邻域内有定义 ,
,0 ,0 当 00 xx 时 , 有
Axf )(
则称常数 A 为函数
)(xf 当 0xx 时的极限 ,
Axfxx
)(lim0
或 )()( 0xxAxf 当
即 ,0 ,0 当 ),( 0 xx
时 , 有
若记作
Axf )(
Axfxx
)(lim0
),(U xa
ax0
其中 , a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
去心 邻域 .
左 邻域 : ,),( aa 右 邻域 : .),( aa
称集合 为点 a的
1. 函数极限与 f (x) 在点 x0 是否有定义无关2.δ 与任意给定的 ε 有关
极限存在 函数在局部有界
这表明 :
注意 :
几何解释 :
0x
A
AA
x0x
y )(xfy
函数 y=f (x) 的图形完全落在以直线 y=A 为中心线 ,宽为 2ε 的带形区域内.
00 xx当 时 ,
例 2. 证明
0
limx xc c
211
lim2
1
xx
x
证 Axf )( 2112
xx 21 x
故 ,0 取 , 当 10 x 时 , 必有
2112
xx
因此 211
lim2
1
xx
x
1 x
由极限的定义容易证明
(c 为常数 ),0
000
lim , limsin 0 , lim cos 1x x xx
x x x x
(2) 左极限与右极限左极限 : 0( 0)f x Axf
xx
)(lim
0
,0 ,0 当 ),( 00 xxx
时 , 有 .)( Axf
右极限 : 0( 0)f x Axfxx
)(lim0
,0 ,0 当 ),( 00 xxx
时 , 有 .)( Axf
由定义 2 以及左右极限的定义容易得到
Axfxx
)(lim0
Axfxfxxxx
)(lim)(lim00
例 3. 设函数
0,10,00,1
)(xxxxx
xf
讨论 0x 时 )(xf 的极限是否存在 .
x
y
o 11xy
11xy
解 因为
)(lim0
xfx
)1(lim0
x
x1
)(lim0
xfx
)1(lim0
x
x1
显然 (0 0) (0 0) ,f f 所以 )(lim0
xfx
不存在 .
关于函数极限,也有类似于数列极限的重要结论 .
表示 x 的某个变化过程中函数的极限.
定理 2(有界性)在一点收敛的函数必在该点附近有界.
定理 3(夹逼准则)
且
( ) ( ) ( ) ,a x f x b x x I 设在区间 I上
lim ( ) lim ( )a x b x A
则 lim ( )f x A
lim ( )f x
定理 1(唯一性)若函数的极限存在,则这极限是唯一的 .
在自变量的某个变化过程中,
内容小结
1. 函数极限的 "" 或"" X 定义
2. 函数极限的性质 :唯一性、有界性、夹逼准则
与左右极限等价定理思考与练习
1. 若极限 )(lim0
xfxx
存在 , )()(lim 00
xfxfxx
2. 设函数 )(xf 且 )(lim1xf
x存在 , 则
. a 3
是否一定有
, 1
2 1, 1
a x x
x x
?
不一定 !