EXAMEN DE ELASTICIDAD 27/07/06

Ejercicio 1

Una chapa delgada circular de radio R, de espesor unitario y con peso especfico se encuentra apoyada sobre un plano perfectamente rgido y horizontal. Se pide: a) Hallar las constates (A, B y C) de 1 y 2 sabiendo que el

estado tensional se puede obtener a partir de la superposicin de dichas funciones y que 0;0 2212 ========

senAr====1 ; (((( )))) xCyyxBx 22232 4 ++++++++++++====

b) Si se divide la chapa a la mitad por el eje vertical (((( ))))xr0 i. Graficar las tensiones a lo largo del eje (((( ))))xr0 . ii. Verificar el equilibro de dicha mitad.

0 y

x

P

r0

Ejercicio 2

El prisma representado en la figura, se encuentra sometido a unas densidades de fuerzas de masa

),,( zyxbr y contacto ),,( zyxfr que le producen el

siguiente campo de tensiones en la base {{{{ }}}}zyx eee ,, :

====

y

yx

x

kT

00

044

040

con , E y fl

2a

2a

a

x

y

z

A B

CD

EF

GH

a) Escribir y dibujar los vectores ),,( zyxbr y ),,( zyxfr . b) Hallar el campo de deformaciones. Determinar para que el problema sea Estado Plano de

Deformaciones. c) Sabiendo que el centro del prisma tiene impedidos los movimientos de cuerpo rgido, hallar el

campo de desplazamientos. d) Hallar el valor de k para que ningn punto del prisma plastifique segn el criterio de Von Mises.

Ejercicio 3

En el reticulado de la figura. Las barras BC y CD tienen rea Las barras AB, AC, AD, EB, EC y ED tienen

rea 2 Todas las barras estn construidas con el

mismo material de mdulo de Young E

Utilizando el Principio de los Trabajos Virtuales, se pide hallar: a) Las fuerzas en todas las barras. b) El desplazamiento horizontal del nudo D.

a

a/2 a/2

PP

P

A E

BC

D

HOJA DE FRMULAS

Tensiones

Tensor de tensiones:

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

Tm

)(

Divergencia del tensor de tensiones:

( )

( )

( )

+

+

=

+

+

=

+

+

=

zyxT

zyxT

zyxT

zyzxzz

yzyxyy

xzxyxx

.

.

.

EEEcccuuuaaaccciiinnn dddeee eeeqqquuuiiillliiibbbrrriiiooo::: 0 = b .

+ T

Deformaciones

Campo de desplazamientos: ( )zyxzyx uuueueueuu ,,321 =++=

Tensor de deformaciones:

=

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

DDD

DDD

DDD

Dm

21

21

21

21

21

21

)(

Donde: x

uD xxx

=

yu

D yyy

=

z

uD zzz

=

+

=

x

u

yu

D yxxy 21

+

=

x

u

z

uD zxxz 2

1

+

=

yu

z

uD zyyz 2

1

Tensor de rotacin infinitesimal:

=

021

21

210

21

21

210

)(

yu

z

u

x

u

z

u

yu

z

u

x

u

yu

x

u

z

u

x

u

yu

Wm

zyzx

zyyx

zxyx

Ecuacin Constitutiva

( ) ( ) ( ) ( ) IET

+

+

=

2-1E

-D 1

E + Itr(D)

211

( )

( )

( )

+

=

+

=

+

=

21E)]+( +)1[()21()1(

E21

E)]+( +)1[()21()1(E

21E)]+( +)1[()21()1(

E

2133

3122

3211

=

===

)+1(2E Gdonde

GGG

2323

1313

1212

( )[ ] IITtrTE

D ++= )(11

+=

+=

+=

)]+( - [E1

)]+( - [E1

)]+( - [E1

2133

3122

3211

=

=

=

G

G

G

2323

1313

1212

)+1(2E

=Gdonde

Funcin de Airy

)y,x(V)y,x(b =

Soluciones exactas de Airy:

EPT: )1(2

=

CBlascumplenSeV

EPD:

( )( )

=

=

CBlascumplenSe

V

z 01

212

Coordenadas cartesianas: Coordenadas cilndricas:

=

+

=

+

=

yx

Vx

Vy

xy

y

x

2

2

2

2

2

=

+

=

+

+

=

rrr

Vr

Vrrr

r

r

2

2

2

2

2

2

2

11

11

Criterios de fluencia

Von Misses: fl