Dipartimento di
Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali
Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020
Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 1
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IL TENSORE DEGLI SFORZI E
IL TENSORE DELLE DEFORMAZIONI
Riassumiamo brevemente le formule per il calcolo degli sforzi che abbiamo visto nelle
ultime lezioni:
a) Trazione/compressione semplice: ππ₯(π₯) =π(π₯)
π΄(π₯);
b) Flessione semplice: ππ₯(π₯, π¦) =ππ§(π₯) π¦
πΌπ§π§(π₯);
c) Taglio: ππ₯π¦(π₯, π¦) =ππ¦(π₯) ππ§(π¦)
π(π¦) πΌπ§π§(π₯);
d) Torsione nelle sezioni circolari: ππ₯π‘(π₯, π) =ππ₯(π₯)π
πΌπ₯π₯(π₯)=
ππ₯(π₯)π
πΌπ(π₯)
o una loro combinazione (vedi la pressoflessione e la flessione deviata).
Il Principio di De Saint Venant afferma quanto segue:
In una trave prismatica e rettilinea caricata solo sulle facce trasversali
di estremitΓ , lo stato di sforzo nei punti lontani dalle basi dipende solo
dalla risultante dei carichi e non dalla loro reale distribuzione.
In base a questo principio, per il calcolo degli sforzi nella zona centrale della trave
(lontano dai punti di applicazione dei carichi e lontano dai vincoli) Γ¨ possibile utilizzare
le formule che abbiamo visto nelle lezioni precedenti.
π ? π ?
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Ma la realtΓ Γ¨ ben piΓΉ complicata: difficilmente le travi sono caricate solo sulle basi
e raramente hanno una forma cosΓ¬ semplice. Eβ sufficiente esaminare una semplice
mensola:
In questo caso, la trave non Γ¨ sottoposta solo ad uno stato di sforzo ππ₯ monoassiale in
direzione del suo asse, ma il materiale sotto il carico distribuito sopporta anche uno
sforzo ππ¦ verticale. Inoltre, allβincastro, la sezione non Γ¨ libera di contrarsi per
βlβeffetto Poissonβ quindi sarΓ sottoposta ad uno stato complesso di sforzi.
Esaminiamo per esempio il seguente complessivo in cui lβalbero Γ¨ a sezione variabile:
ππ₯ ππ¦
π¦
π₯ ππ₯π¦
π§
π¦
ππ§ ππ§
ππ¦
ππ¦
ππ₯ > 0
ππ₯ < 0
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oppure il seguente albero di trasmissione:
Sono evidenti le numerose variazioni di sezioni, i raccordi, le cave per linguetta, etc.
La teoria dellβelasticitΓ applicata in modo rigoroso, dimostra che nei punti di rapida
variazione di geometria (per esempio intorno ai fori o nelle immediate vicinanze dei
raccordi di piccolo raggio) lo stato di sforzo raggiunge valori non previsti dalle
precedenti formule semplificate. E lβanalisi sperimentale delle tensioni ha confermato
queste previsioni.
Concentrazione degli sforzi causati da una rapida variazione della sezione trasversale
Concentrazione degli sforzi intorno ai bordi di un foro praticato in una piastra sottoposta a trazione
semplice e in una trave sottoposta a torsione in presenza di un intaglio.
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Per semplificare il progetto delle strutture reali, sono state eseguite numerose analisi
teoriche, numeriche e sperimentali che hanno condotto alla formulazione dei
coefficienti di intensificazione degli sforzi πΎπ‘ cosΓ¬ definiti:
πΎπ‘ =ππππ₯
ππππ oppure πΎπ‘ =
ππππ₯
ππππ
In base alla geometria del componente e della distribuzione dei carichi, sono disponibili
centinaia di tabelle che contengono il valore dei πΎπ‘; noto lo sforzo nominale, Γ¨ possibile
risalire allo sforzo massimo che sollecita il particolare della struttura in esame:
ππππ₯ = πΎπ‘ ππππ oppure ππππ₯ = πΎπ‘ ππππ
Eβ quindi indispensabile saper calcolare gli sforzi nominali con le formule che abbiamo
esaminato nelle lezioni precedenti.
Si consideri il solido rappresentato in figura, sottoposto ad un sistema di forze
equilibrate:
Possiamo immaginare di sezionare lβintero solido con tre piani ortogonali passanti per
un generico punto P.
οΏ½βοΏ½ οΏ½ββοΏ½
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Dividendo le forze infinitesime ππΉ π per lβarea infinitesima ππ΄π su cui agiscono, si
ottengono gli sforzi:
ππ₯π₯ =ππΉπ₯π₯
ππ΄π₯ ; ππ₯π¦ =
ππΉπ₯π¦
ππ΄π₯ ; ππ₯π§ =
ππΉπ₯π§
ππ΄π₯
ππ¦π₯ =ππΉπ¦π₯
ππ΄π¦ ; ππ¦π¦ =
ππΉπ¦π¦
ππ΄π¦ ; ππ¦π§ =
ππΉπ¦π§
ππ΄π¦
ππ§π₯ =ππΉπ§π₯
ππ΄π§ ; ππ§π¦ =
ππΉπ§π¦
ππ΄π§ ; ππ§π§ =
ππΉπ§π§
ππ΄π§
Il precedente tipo di rappresentazione grafica Γ¨ poco utilizzato, ma si preferisce
assemblare i tre piani a formare un cubo, che rappresenta i tre piani ortogonali passanti
per il punto P. Gli sforzi vengono assemblati in una tabella che prende il nome di
tensore degli sforzi:
[π] = [
ππ₯ ππ¦π₯ ππ§π₯ππ₯π¦ ππ¦ ππ§π¦ππ₯π§ ππ¦π§ ππ§
]
Quando sono orientati come
rappresentato nella figura, gli
sforzi sono considerati positivi.
ππΉ π¦ = {
ππΉπ¦π₯ππΉπ¦π¦ππΉπ¦π§
}
ππ΄π¦
π
π₯
π¦
π§
π π₯
π¦
π§
ππ΄π§
ππΉ π§ = {
ππΉπ§π₯ππΉπ§π¦ππΉπ§π§
} π¦
π§
π₯
ππΉ π₯ = {
ππΉπ₯π₯ππΉπ₯π¦ππΉπ₯π§
}
π
ππ΄π₯
ππ¦
ππ¦
ππ₯ ππ₯
ππ§
ππ§
ππ₯π¦
ππ¦π₯
ππ₯π§
ππ¦π§
ππ§π₯
ππ§π¦
π₯
π§
π¦
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Il cubo appena rappresentato ricorda lo schema utilizzato quando si Γ¨ parlato della
convenzione dei segni per il calcolo delle azioni interne:
In questo caso i momenti non sono piΓΉ presenti perchΓ© lo schema rappresenta lβintorno
di un punto e non la sezione dellβintera trave. Quindi per la terza legge di Newton sulla
faccia destra e sinistra del cubo gli sforzi normali e di taglio hanno modulo uguale ma
verso opposto: sono gli sforzi che agiscono sui lati contrapposti della stessa sezione di
taglio: lo stessa ragionamento Γ¨ valido nelle altre due direzioni.
Guardando lβimmagine a destra, osserviamo che
per lβequilibrio alla rotazione intorno allβasse π§
deve risultare ππ₯π¦ = ππ¦π₯; due relazioni simili si
possono scrivere per gli altri due piani coordinati,
cioΓ¨: ππ¦π§ = ππ§π¦ e ππ§π₯ = ππ₯π§; ne discende che il
tensore degli sforzi Γ¨ simmetrico, quindi solo 6
dei suoi coefficienti sono sufficienti a definirlo.
[π] = [
ππ₯ ππ₯π¦ ππ₯π§ππ₯π¦ ππ¦ ππ¦π§ππ₯π§ ππ¦π§ ππ§
]
Se lo stato di sforzo Γ¨ piano (il che significa che ππ§ = ππ₯π§ = ππ¦π§ = 0) il tensore
diventa:
ππ₯ ππ₯
ππ¦
ππ¦
ππ₯π¦
ππ₯π¦
ππ¦π₯
ππ¦π₯
π‘πππ£π π‘πππ£π
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[π] = [ππ₯ ππ₯π¦ππ₯π¦ ππ¦
]
e per definirlo sono sufficienti solo tre informazioni: ππ₯, ππ¦ e ππ₯π¦.
Come detto diverse volte nel corso delle passate lezioni, la densitΓ di energia elastica
si calcola con la formula seguente:
Ξ¨ =1
2[π][π]
dove [π] indica il tensore degli sforzi e [π] il tensore delle deformazioni:
[π] =
[ ππ₯
πΎπ¦π₯
2
πΎπ§π₯2
πΎπ₯π¦
2ππ¦
πΎπ§π¦
2πΎπ₯π§2
πΎπ¦π§
2ππ§ ]
Ricordo che tra il campo degli spostamenti π’, π£, π€ e il campo delle deformazioni
intercorrono le seguenti relazioni:
ππ₯ =ππ’
ππ₯ ; πΎπ₯π¦ =
ππ’
ππ¦+ππ£
ππ₯ ; πΎπ₯π§ =
ππ’
ππ§+ππ€
ππ₯
πΎπ¦π₯ =ππ£
ππ₯+ππ’
ππ¦ ; ππ¦ =
ππ£
ππ¦ ; πΎπ¦π§ =
ππ£
ππ§+ππ€
ππ¦
πΎπ§π₯ =ππ€
ππ₯+ππ’
ππ§ ; πΎπ§π¦ =
ππ€
ππ¦+ππ£
ππ§ ; ππ§ =
ππ€
ππ§
Se il materiale ha un comportamento lineare elastico ed Γ¨ isotropo, allora Γ¨ valida la
legge di Hooke:
{
ππ₯ =
1
πΈ[ππ₯ β π(ππ¦ + ππ§)]
ππ¦ =1
πΈ[ππ¦ β π(ππ§ + ππ₯)]
ππ§ =1
πΈ[ππ§ β π(ππ₯ + ππ¦)]
;
{
πΎπ₯π¦ =
ππ₯π¦
πΊ
πΎπ¦π§ =ππ¦π§
πΊ
πΎπ§π₯ =ππ§π₯
πΊ
quindi noto un tensore Γ¨ possibile calcolare lβaltro.
Il prodotto tra tensori non si esegue come quello tra matrici: la densitΓ di energia
elastica Γ¨ una quantitΓ scalare, mentre se [π] ed [π] fossero matrici, il loro prodotto
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darebbe origine ad una matrice 3 Γ 3. Il prodotto tra tensori si esegue nel modo
seguente:
Ξ¨ =1
2ββππππππ
3
π=1
3
π=1
sommando i prodotti dei coefficienti posti nelle stesse posizioni. Quindi:
Ξ¨ =1
2[ππ₯ππ₯ +
1
2ππ₯π¦πΎπ₯π¦ +
1
2ππ₯π§πΎπ₯π§ +
1
2ππ¦π₯πΎπ¦π₯ + ππ¦ππ¦ +
1
2ππ¦π§πΎπ¦π§
+1
2ππ§π₯πΎπ§π₯ +
1
2ππ§π¦πΎπ§π¦ + ππ§ππ§]
PoichΓ© i due tensori sono simmetrici, il prodotto si semplifica e diventa:
Ξ¨ =1
2[ππ₯ππ₯ + ππ¦ππ¦ + ππ§ππ§ + ππ₯π¦πΎπ₯π¦ + ππ¦π§πΎπ¦π§ + ππ§π₯πΎπ§π₯]
In alternativa, Γ¨ possibile esprimere i tensori in forma vettoriale:
{π} =
{
ππ₯ππ¦ππ§ππ₯π¦ππ¦π§ππ§π₯}
; {π} =
{
ππ₯ππ¦ππ§πΎπ₯π¦
πΎπ¦π§
πΎπ§π₯}
facendo attenzione che la successione dei coefficienti sia coerente.
Quindi la densitΓ di energia elastica si puΓ² ottenere tramite un semplice prodotto
scalare:
Ξ¨ =1
2{π}π{π}
dove {π}π indica la trasposta del vettore {π}.
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CALCOLO DEGLI SFORZI SU GIACITURE RUOTATE RISPETTO AL
SISTEMA DI RIFERIMENTO ORIGINALE: CERCHI DI MOHR
Per il momento limiteremo lβanalisi al caso piano. Dato il seguente stato di sforzo:
lβobiettivo Γ¨ il calcolo degli sforzi che agiscono su
un qualsiasi piano inclinato individuato dalla sua
normale οΏ½βοΏ½ .
Il versore οΏ½βοΏ½ e il versore π‘ sono i seguenti:
οΏ½βοΏ½ = {πππ (πΌ)
π ππ(πΌ)} = {
ππ} ; π‘ = {
πππ (90Β° + πΌ)
π ππ(90Β° + πΌ)} = {
βπ ππ(πΌ)
πππ (πΌ)} = {
βππ}
Si scrivono le equazioni di equilibrio delle forze che agiscono in direzione π₯ ed π¦.
Indichiamo con π΄π la superficie inclinata di normale οΏ½βοΏ½ . Di conseguenza:
π΄π₯ = π΄ππππ (πΌ) ; π΄π¦ = π΄ππ ππ(πΌ)
Le forze che agiscono sulle facce di normale π₯ ed π¦ valgono:
{
ππΉπ₯ = ππ₯π΄π₯ = ππ₯π΄ππππ (πΌ)
ππΉπ₯π¦ = ππ₯π¦π΄π₯ = ππ₯π¦π΄ππππ (πΌ)
ππΉπ¦ = ππ¦π΄π¦ = ππ¦π΄ππ ππ(πΌ)
ππΉπ¦π₯ = ππ¦π₯π΄π¦ = ππ¦π₯π΄ππ ππ(πΌ)
Si proiettano queste forze in direzione οΏ½βοΏ½ e π‘ e si scrivono le equazioni di equilibrio:
ππ₯ ππ₯
ππ¦
ππ¦
ππ₯π¦
ππ₯π¦
ππ¦π₯
ππ¦π₯
πππ₯ ππ₯
π‘
ππ¦
πππ¦
ππ₯π¦
οΏ½βοΏ½
ππ¦π₯
πΌ
πΌ
ππΉπ
ππΉπ₯
ππΉπ¦
ππΉππ‘
ππΉπ₯π¦
ππΉπ¦π₯
πΌ πΌ
πΌ
πΌ πΌ
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In direzione οΏ½βοΏ½ :
ππΉπ₯ πππ (πΌ) + ππΉπ₯π¦π ππ(πΌ) + ππΉπ¦π ππ(πΌ) + ππΉπ¦π₯πππ (πΌ) = πππ΄π
In direzione π‘ :
ππΉπ₯π¦πππ (πΌ)βππΉπ₯ π ππ(πΌ) + ππΉπ¦πππ (πΌ) β ππΉπ¦π₯π ππ(πΌ) = πππ‘π΄π
da cui:
{ππ₯π΄π πππ
2(πΌ) + ππ₯π¦π΄ππ ππ(πΌ)πππ (πΌ) + ππ¦π΄ππ ππ2(πΌ) + ππ¦π₯π΄ππ ππ(πΌ)πππ (πΌ) = πππ΄π
ππ₯π¦π΄ππππ 2(πΌ) β ππ₯π΄π π ππ(πΌ)πππ (πΌ) + ππ¦π΄ππ ππ(πΌ)πππ (πΌ) β ππ¦π₯π΄ππ ππ
2(πΌ) = πππ‘π΄π
Dividendo tutto per π΄π, semplificando e ricordando che ππ₯π¦ = ππ¦π₯ si ottiene:
{ππ₯ πππ
2(πΌ) + 2ππ₯π¦π ππ(πΌ)πππ (πΌ) + ππ¦π ππ2(πΌ) = ππ
ππ₯π¦[πππ 2(πΌ) β π ππ2(πΌ)] + (ππ¦βππ₯)π ππ(πΌ)πππ (πΌ) = πππ‘
Note le componenti degli sforzi ππ₯, ππ¦ e ππ₯π¦ in direzione degli assi coordinati π₯, π¦ Γ¨
possibile conoscere gli sforzi che agiscono su una qualsiasi giacitura.
La spiegazione di questo risultato si puΓ² ottenere anche attraverso il calcolo matriciale.
Le forze che agiscono in direzione orizzontale e verticale:
[ππ₯ ππ¦π₯ππ₯π¦ ππ¦
] {π΄π₯π΄π¦} = π΄π [
ππ₯ ππ¦π₯ππ₯π¦ ππ¦
] {πππ (πΌ)
π ππ(πΌ)} = π΄π {
ππ₯πππ (πΌ) + ππ¦π₯π ππ(πΌ)
ππ₯π¦πππ (πΌ) + ππ¦π ππ(πΌ)}
devono essere equilibrate dalle forze {πΉππ₯πΉππ¦
} che agiscono sulla superficie di normale οΏ½βοΏ½ .
La proiezione di {πΉππ₯πΉππ¦
} in direzione οΏ½βοΏ½ fornisce il modulo della forza normale ad π΄π:
πΉπ = {π}π {πΉππ₯πΉππ¦
} = π΄π{πππ (πΌ) π ππ(πΌ)} {ππ₯πππ (πΌ) + ππ¦π₯π ππ(πΌ)
ππ₯π¦πππ (πΌ) + ππ¦π ππ(πΌ)}
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la proiezione di {πΉππ₯πΉππ¦
} in direzione π‘ fornisce il modulo della forza tangente ad π΄π:
πΉππ‘ = {π‘}π {πΉππ₯πΉππ¦
} = π΄π{βπ ππ(πΌ) πππ (πΌ)} {ππ₯πππ (πΌ) + ππ¦π₯π ππ(πΌ)
ππ₯π¦πππ (πΌ) + ππ¦π ππ(πΌ)}
In sintesi si puΓ² scrivere:
{πΉππΉππ‘} = π΄π [
πππ (πΌ) π ππ(πΌ)
βπ ππ(πΌ) πππ (πΌ)] [ππ₯ ππ¦π₯ππ₯π¦ ππ¦
] {πππ (πΌ)
π ππ(πΌ)}
dividendo tutta lβespressione per lβarea π΄π e sviluppando si ottiene:
{ππ = ππ₯πππ
2(πΌ) + 2ππ₯π¦π ππ(πΌ)πππ (πΌ) + ππ¦π ππ2(πΌ)
πππ‘ = ππ₯π¦[πππ 2(πΌ) β π ππ2(πΌ)] + (ππ¦ βππ₯)π ππ(πΌ)πππ (πΌ)
PoichΓ© πππ (πΌ + 90Β°) = βπ ππ(πΌ) e π ππ(πΌ + 90Β°) = πππ (πΌ)
gli sforzi normali che agiscono su una superficie ruotata di πΌ + 90Β° valgono:
ππ₯ π ππ2(πΌ) β 2ππ₯π¦π ππ(πΌ)πππ (πΌ) + ππ¦πππ
2(πΌ) = ππ‘
Sommando questa equazione con quella che esprime lo sforzo ππ si ottiene:
ππ₯ + ππ¦ = ππ + ππ‘
Si dice che la somma degli sforzi normali calcolati rispetto ad assi ortogonali Γ¨
βinvarianteβ, nel senso che Γ¨ costante indipendentemente dallβangolo πΌ.
ππ
ππ₯
ππ¦
πππ‘
ππ₯π¦
ππ¦π₯
πΌ
ππ‘
ππ₯
ππ¦
ππ‘π
ππ₯π¦
ππ¦π₯
π½
ππ₯ + ππ¦ = ππ + ππ‘ = πππ π‘
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Il ragionamento precedente si puΓ² estendere al caso tridimensionale. Si indichi con
οΏ½βοΏ½ il versore normale alla superficie π΄π sulla quale si desiderano calcolare gli sforzi:
οΏ½βοΏ½ = {πππ}
dove l, m, n indicano i coseni direttori del versore rispetto al sistema di riferimento
cartesiano;
gli sforzi ππ₯, ππ₯π¦ e ππ₯π§ agiscono su una superficie di area π΄π₯ = π΄ππ;
gli sforzi ππ¦π₯, ππ¦ e ππ¦π§ agiscono su una superficie di area π΄π¦ = π΄ππ;
gli sforzi ππ§π₯, ππ§π¦ e ππ§ agiscono su una superficie di area π΄π§ = π΄ππ.
Per lβequilibrio delle forze nelle tre direzioni x, y, z devono essere soddisfatte le
seguenti equazioni:
{
πΉππ₯πΉππ¦πΉππ§
} = π΄π [
ππ₯ ππ¦π₯ ππ§π₯ππ₯π¦ ππ¦ ππ§π¦ππ₯π§ ππ¦π§ ππ§
] {πππ}
Il modulo della proiezione di questo vettore in direzione della normale οΏ½βοΏ½ vale:
πΉπ = {π}π {
πΉππ₯πΉππ¦πΉππ§
} = π΄π{π π π} [
ππ₯ ππ¦π₯ ππ§π₯ππ₯π¦ ππ¦ ππ§π¦ππ₯π§ ππ¦π§ ππ§
] {πππ}
Dividendo per lβarea π΄π si ottiene lo sforzo normale ππ.
Con una procedura simile, si possono ottenere gli sforzi tangenziali.
π₯
π¦
π§
οΏ½βοΏ½
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Esiste una rappresentazione grafica che, noti gli sforzi ππ₯, ππ¦, ππ₯π¦, consente di
stimare rapidamente i valori degli sforzi ππ, ππ‘, πππ‘ calcolati rispetto ad un sistema di
riferimento ruotato di un angolo π. Per eseguire questa rappresentazione grafica nel
cosΓ¬ detto βpiano di Mohrβ, Γ¨ necessario ricordare le seguenti formule trigonometriche:
πππ 2(πΌ) =1+πππ (2πΌ)
2 ; π ππ2(πΌ) =
1βπππ (2πΌ)
2 ; π ππ(πΌ)πππ (πΌ) =
π ππ(2πΌ)
2
Sostituendo queste espressioni nelle equazioni precedenti si ottiene.
{
ππ = ππ₯
1 + πππ (2πΌ)
2+ ππ¦
1 β πππ (2πΌ)
2+ ππ₯π¦π ππ(2πΌ)
πππ‘ = ππ₯π¦ [1 + πππ (2πΌ)
2β1 β πππ (2πΌ)
2] + (ππ¦βππ₯)
π ππ(2πΌ)
2
Riordinando si ottiene:
{ππ =
ππ₯ + ππ¦2
+ ππ₯ β ππ¦2
πππ (2πΌ) + ππ₯π¦π ππ(2πΌ)
πππ‘ = ππ₯π¦ πππ (2πΌ) +ππ¦βππ₯2
π ππ(2πΌ)
Questo sistema non Γ¨ altro che lβequazione parametrica di una circonferenza (di
parametro 2πΌ) il cui centro si trova sullβasse delle ascisse alla coordinata ππ₯+ππ¦
2 .
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ =ππ₯ + ππ¦
2
2πΌ
(ππ ,πππ‘)
(ππ‘ ,βπππ‘)
π(ππ₯ ,βππ₯π¦)
π(ππ¦ ,ππ₯π¦)
π΅
π΄
2π½ πΈ(π1 ,0)
πΉ(π2 ,0)
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Dallβesame della figura precedente osserviamo che la distanza CB Γ¨ pari a |ππ₯β ππ¦|
2, che
la distanza PB vale |ππ₯π¦| e che il raggio della circonferenza vale:
π = πΆπ΅ β πππ (2π½) + ππ΅ β π ππ(2π½)
Ovvero: π =|ππ₯β ππ¦|
2β πππ (2π½) + |ππ₯π¦| β π ππ(2π½) = β(
ππ₯β ππ¦
2)2+ ππ₯π¦
2
Gli sforzi normali possono assumere i seguenti valori estremi:
π1 = πΆ + π ; π2 = πΆ β π
che vengono comunemente chiamati βsforzi principaliβ. CiΓ² capita nei due punti in cui
lo sforzo di taglio ππ₯π¦ si annulla.
Osservando le equazioni precedenti vediamo che lo sforzo di taglio ππ₯π¦ si annulla
quando:
π‘πππ(2π½) =2ππ₯π¦ππ₯ β ππ¦
ovvero quando
π½ =1
2ππππ‘πππ (
2ππ₯π¦ππ₯ β ππ¦
)
Dβaltra parte se si cerca il punto di stazionarietΓ della funzione:
ππ =ππ₯ + ππ¦
2+ ππ₯ β ππ¦
2πππ (2πΌ) + ππ₯π¦π ππ(2πΌ)
si ottiene:
π(ππ)
ππΌ= β
ππ₯ βππ¦2
2π ππ(2πΌ) + 2ππ₯π¦πππ (2πΌ) = 0
da cui si ricava che i punti di stazionarietΓ si hanno quando lβangolo assume il valore:
π‘πππ(2πΌ) =2ππ₯π¦
ππ₯ βππ¦
In conclusione gli sforzi principali si manifestano in corrispondenza dello stesso angolo
che annulla lo sforzo di taglio.
Calcolati gli sforzi che agiscono in un punto della struttura rispetto ad un sistema di
riferimento π₯ β π¦, si procede con il disegno del cerchio di Mohr. Per una corretta
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interpretazione degli angoli (positivi se antiorari), sul piano di Mohr Γ¨ necessario
individuare due punti, P e Q, rappresentativi degli sforzi che agiscono sulle superfici
di normale π₯ e π¦: π(ππ₯, βππ₯π¦) e π(ππ¦ , ππ₯π¦); allo sforzo ππ¦ si associa lo sforzo di taglio
calcolato, positivo se orario. I casi che si possono presentare sono i seguenti:
ππ₯ < ππ¦ e ππ₯π¦ > 0:
π‘πππ(2π½) =2ππ₯π¦ππ₯ β ππ¦
< 0
ππ₯ > ππ¦ e ππ₯π¦ < 0:
π‘πππ(2π½) =2ππ₯π¦ππ₯ β ππ¦
< 0
ππ₯ < ππ¦ e ππ₯π¦ < 0:
π‘πππ(2π½) =2ππ₯π¦ππ₯ β ππ¦
> 0
ππ₯ > ππ¦ e ππ₯π¦ > 0:
π‘πππ(2π½) =2ππ₯π¦ππ₯ β ππ¦
> 0
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ =ππ₯ + ππ¦
2
π(ππ₯ ,βππ₯π¦)
π(ππ¦ ,ππ₯π¦)
2π½ ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ =ππ₯ + ππ¦
2
π(ππ¦ ,ππ₯π¦)
π(ππ₯ ,βππ₯π¦)
2π½
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ =ππ₯ + ππ¦
2
π(ππ₯ ,βππ₯π¦)
π(ππ¦ ,ππ₯π¦)
2π½
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ =ππ₯ + ππ¦
2
π(ππ¦ ,ππ₯π¦)
π(ππ₯ , βππ₯π¦)
2π½
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ESEMPI
Stato di sforzo monoassiale.
Nei punti A e B i momenti sono nulli e il
taglio Γ¨ massimo quindi:
{
ππ₯(π₯, π¦) =
ππ§(π₯) π¦
πΌπ§π§(π₯)= 0
ππ₯π¦(π₯, π¦) =ππ¦(π₯) ππ§(π¦)
π(π¦) πΌπ§π§(π₯)β 0
Diagramma dellβazione di taglio
Diagramma del momento flettente ππ§
In mezzeria il taglio Γ¨ nullo e il momento
Γ¨ massimo:
{
ππ₯(π₯, π¦) =
ππ§(π₯) π¦
πΌπ§π§(π₯)β 0
ππ₯π¦(π₯, π¦) =ππ¦(π₯) ππ§(π¦)
π(π¦) πΌπ§π§(π₯)= 0
B L
q
y
x A
ππ¦
x
x
ππ§
A
C
D
E
B
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Stato di taglio puro:
{ππ₯π¦ < 0
ππ₯ = ππ¦ = 0
Ipotizziamo ππ₯ = ππ¦ + π
πΌ = limπβ0
[1
2ππππ‘πππ (
2ππ₯π¦ππ₯ β ππ¦
)] = β45Β°
πΆ =ππ₯ + ππ¦2
= 0
π = β(ππ₯ β ππ¦
2)2
+ ππ₯π¦2 = ππ₯π¦
{π1 = πΆ + π = 0 + ππ₯π¦ = ππ₯π¦
π2 = πΆ β π = 0 βππ₯2= βππ₯π¦
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ = 0
π(ππ₯, βππ₯π¦)
π(ππ¦ ,ππ₯π¦)
90Β°
π2 π1
A
ππ₯π¦
ππ₯π¦
ππ¦π₯
ππ¦π₯
Q
P
π1
π1
π2
π2
β45Β°
Q
P
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Stato di taglio puro:
{ππ₯π¦ > 0
ππ₯ = ππ¦ = 0
Ipotizziamo ππ¦ = ππ₯ + π
πΌ = limπβ0
[1
2ππππ‘πππ (
2ππ₯π¦ππ₯ β ππ¦
)] = β45Β°
πΆ =ππ₯ + ππ¦2
= 0
π = β(ππ₯ β ππ¦
2)2
+ ππ₯π¦2 = ππ₯π¦
{π1 = πΆ + π = 0 + ππ₯π¦ = ππ₯π¦
π2 = πΆ β π = 0 βππ₯2= βππ₯π¦
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ = 0
π(ππ¦ ,ππ₯π¦)
π(ππ₯ ,βππ₯π¦)
90Β° π2
π1
B
ππ₯π¦
ππ₯π¦
ππ¦π₯
ππ¦π₯
Q
P
π1
π1
π2
π2
β45Β°
P
Q
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Stato di sforzo monoassiale:
{ππ₯ > 0ππ¦ = ππ₯π¦ = 0
πΌ =1
2ππππ‘πππ(
2ππ₯π¦ππ₯ β ππ¦
) = 0
πΆ =ππ₯ + ππ¦2
=ππ₯2
π = β(ππ₯ β ππ¦
2)2
+ ππ₯π¦2 =
ππ₯2
{π1 = πΆ + π =
ππ₯2+ππ₯2= ππ₯
π2 = πΆ β π =ππ₯2βππ₯2= 0
ππ₯ ππ₯
C
C
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ =ππ₯2
π(0,0) π(π1 ,0)
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ = βππ₯2
π(π2 , 0) π(0,0)
D
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{
ππ₯π¦ > 0
ππ₯ > 0ππ¦ = 0
πΌ =1
2ππππ‘πππ (
2ππ₯π¦ππ₯
) > 0
πΆ =ππ₯ + ππ¦2
=ππ₯2
π = β(ππ₯2)2
+ ππ₯π¦2 > πΆ
{π1 = πΆ + π > 0π2 = πΆ β π < 0
ππ₯ ππ₯
ππ₯π¦
ππ₯π¦
ππ¦π₯
ππ¦π₯
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ =ππ₯2
π(ππ₯ , βππ₯π¦)
π(0, ππ₯π¦)
2πΌ
π1
π2
π1
π1
π2
π2
πΌ
E
Q
P
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{
ππ₯π¦ = 0
ππ₯ > 0ππ¦ > 0
πΌ =1
2ππππ‘πππ (
2ππ₯π¦ππ₯ β ππ¦
) = 0
πΆ =ππ₯ + ππ¦2
π = β(ππ₯ β ππ¦
2)2
+ ππ₯π¦2 =
|ππ₯ β ππ¦|
2
{
π1 = πΆ + π =
ππ₯ + ππ¦
2+|ππ₯ β ππ¦|
2= πππ₯(ππ₯, ππ¦)
π2 = πΆ β π =ππ₯ + ππ¦
2β|ππ₯ β ππ¦|
2= πππ(ππ₯, ππ¦)
Se ππ₯ = ππ¦ > 0 il cerchio di Mohr degli sforzi collassa in un punto: tutte le
direzioni, sono principali.
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ =ππ₯ + ππ¦2
π1
π2
ππ₯ ππ₯
ππ¦
ππ¦
ππ₯ , ππ¦
ππ₯π¦
πΆ = ππ₯ = ππ¦
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Calcoliamo il tensore delle deformazioni nel caso di stato di sforzo mono assiale; il
tensore degli sforzi in questo caso Γ¨ il seguente:
[π] = [ππ₯ 0 00 0 00 0 0
]
Usando la legge di Hooke:
{
ππ₯ =
1
πΈ[ππ₯ β π(ππ¦ + ππ§)]
ππ¦ =1
πΈ[ππ¦ β π(ππ§ + ππ₯)]
ππ§ =1
πΈ[ππ§ β π(ππ₯ + ππ¦)]
;
{
πΎπ₯π¦ =
ππ₯π¦
πΊ
πΎπ¦π§ =ππ¦π§
πΊ
πΎπ§π₯ =ππ§π₯
πΊ
calcoliamo le deformazioni:
{
ππ₯ =
ππ₯
πΈ
ππ¦ = βπ
πΈππ₯
ππ§ = βπ
πΈππ₯
; {
πΎπ₯π¦ = 0
πΎπ¦π§ = 0
πΎπ§π₯ = 0
da cui:
[π] =
[ ππ₯
πΎπ₯π¦
2
πΎπ₯π§2
πΎπ¦π₯
2ππ¦
πΎπ¦π§
2πΎπ§π₯2
πΎπ§π¦
2ππ§ ]
=ππ₯
πΈ[1 0 00 βπ 00 0 βπ
] = [
π1 0 00 π2 00 0 π3
]
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Eβ possibile disegnare il cerchio di Mohr delle deformazioni, seguendo la stessa
procedura utilizzata per disegnare il cerchio di Mohr degli sforzi; bisogna perΓ²
ricordate che sullβasse delle ordinate si riportano la metΓ degli scorrimenti πΎπ₯π¦:
Osserviamo che esiste un angolo in corrispondenza del quale le deformazioni assiali
ππ si annullano:
ππ =ππ₯ + ππ¦
2+ ππ₯ β ππ¦
2πππ (2π) +
πΎπ₯π¦
2π ππ(2π) = 0
PoichΓ© in questo esempio πΎπ₯π¦ = 0 e ππ¦ = βπππ₯ sostituendo si ottiene:
ππ₯ β πππ₯2
+ ππ₯ + πππ₯
2πππ (2π) = 0
da cui:
πππ (2π) = β(1 β π)
(1 + π)
Se π = 0.3 si ottiene: π β 61.29Β°. Se si sottopone un provino a trazione semplice e
sulla sua superficie si incolla un estensimetro ruotato di 61.29Β°, non si registrerΓ alcun
segnale, come se il provino fosse scarico !!
ππ₯ , ππ¦
πΎπ₯π¦2
πΆ =ππ₯ + ππ¦2
π1
π2
2π
πΉ πΉ π β 61Β°