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TOMO IIMatemática
TOMO II
° 5TOMO II
Matemáticabásico5°TOMO II
El Centro Félix Klein de la UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, ha revisado y validado la propuesta didáctica de las páginas de resolución de problemas basadas en el Método Gráfico Singapur propuestas en los textos de Matemática del proyecto Casa del Saber de Editorial Santillana.
¿Qué pasos me permiten resolver de manera
ordenada un problema?
Dirección editorial
Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile
Jefatura de área
Mg. Cristian Gúmera Valenzuela
Edición
Mg. Patricio Loyola Martínez
Autoría
Prof. Jaime Ávila HidalgoProf. Cristina Fuenzalida GuzmánProf. María José Jiménez RobledoProf. Paola Ramírez González
Asesoría pedagógica y de contenidos
Dra. Elizabeth Montoya DelgadilloDr. Raimundo Olfos Ayarza Prof. Paula Vigar RoblesProf. Pedro Marchant Olea
Asesoría en didáctica
Dra. Lorena Espinoza SalfateDr. Joaquim Barbé FarréMg. Enrique González LaussubeProf. Dinko Mitrovich García
Primero, debes leer y comprender la situación y la
pregunta asociada a ella.
Luego, debes seleccionar los datos que te permitan
responder la pregunta.
Una vez seleccionados los datos, encontrarás la solución del
problema utilizando una estrategia.
Finalmente, debes comprobarla solución y responder
la pregunta del problema.
Pasos para
Resolver problemas
Resolución de problemas
Problema
Pregunta: Se necesita conocer el ancho del rectángulo.
Datos: El área del rectángulo es 36 cm2.
El largo del rectángulo mide 9 cm.
Estrategia: Representación gráfica.
Comprobación y respuesta:
(9 • x) cm2 = 36 cm2
x = 4 El ancho del rectángulo mide 4 cm.
Pas
os
Pa
Ra
Res
olv
eR s
itu
ac
ion
es P
Ro
ble
ma
Comprensión de la situación y la pregunta
Explica con tus palabras la situación y la interrogante que debes responder.
Selección de los datos
Selecciona solo aquellos datos de la situación que te permitan dar respuesta a la pregunta.
Utilización de una estrategia
En esta etapa, busca una estrategia para resolver la situación problema.
Comprobación y respuesta
Analiza la solución encontrada y responde en forma completa la pregunta del problema.
est
Ra
teg
ias
Pa
Ra
Res
olv
eR P
Ro
ble
ma
s
Puedes seleccionar la estrategia que te facilite resolver el problema. Aquí, te presentamos algunas de ellas.
Hacer una representación gráfica utilizando cuadrículas Se tienen 36 .
Hacer una lista con las posibles medidas
El área de un rectángulo es 36 cm2. Si el largo del rectángulomide 9 cm, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo?
Largo Ancho
36 cm 1 cm
18 cm 2 cm
12 cm 3 cm
9 cm 4 cm
6 cm 6 cm
1 cm
1 cm
9 cm
x cm
El Tomo II del material didáctico Matemática 5º básico, proyecto Casa del Saber, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.
Dirección editorial: Rodolfo Hidalgo CaprileSubdirección de contenidos: Ana María Anwandter RodríguezAsistente de edición: Eder Pinto MarínSolucionario: Daniela Castro Salazar, Catalina Sepúlveda Pavez,Aldo Ramírez MarchantCorrección de estilo: Patricio Varetto Cabré Documentación: Paulina Novoa Venturino, Cristian Bustos ChavarríaGestión autorizaciones: María Cecilia Mery Zúñiga
Subdirección de arte: María Verónica Román SotoJefatura de arte: Raúl Urbano CornejoDiseño y diagramación: Ximena Moncada Lomeña, Daniel Monetta Moscoso Ilustraciones: Alejandro Rojas Contreras, Sergio Lantadilla Munizaga, Sergio Quijada Valdés, Carlos Herrera PortillaFotografías: Archivo SantillanaCubierta: Alfredo Galdames CidIlustración de cubierta: Sandra Caloguerea AlarcónProducción: Germán Urrutia Garín
Que dan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total
o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidosla reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares
de ella mediante alquiler o présta mo público.
© 2013, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile).
PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quad/GraphicsISBN: 978-956-15-2138-4 – Inscripción N° 218.133
www.santillana.cl [email protected]® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L.
Todos los derechos reservados.
El texto escolar que tienes en tus manos es mucho más que un buen texto:
Plataforma en línea disponible 24 horas al día con recursos digitales innovadores para docentes, estudiantes y familias.
2.240 horas de investigación y análisis para la elaboración de esta sólida propuesta educativa.
Más de 40 años de experiencia al servicio de la educación de calidad en Chile.
320 profesionales de primer nivel pensando día a día en cómo mejorar la educación de nuestro país.
Múltiples alianzas con organizaciones relacionadas con la educación, la cultura y la vida saludable.
Más de 600 seminarios y capacitaciones anuales para docentes a lo largo de todo el país.
Comprometidos socialmente con el futuro de más de 25.000 niños y niñas chilenos, pertenecientes a nuestra red de responsabilidad social.
PresentaciónEste libro forma parte del proyecto la Casa del Saber, que es un espacio
educativo donde podrás desarrollar las capacidades necesarias para
tu formación personal y social. ¿Qué encontrarás en la Casa del Saber?
• Es una casa donde todos tenemos cabida. Aquí encontrarás
contenidos, textos, imágenes y actividades escritas de una
manera sencilla y amigable, para que descubras que aprender
es entretenido.
• Es un espacio donde todos aprendemos a compartir y a convivir,
por medio de actividades que nos invitan a reflexionar sobre los
valores y a relacionarnos mejor con los demás.
• Es una casa abierta al mundo, donde podrás aprender más y de
manera interactiva gracias a la tecnología.
• Es una casa llena de desafíos que te pondrán a prueba y que
junto con tus compañeras y compañeros, deberán enfrentar para
encontrar soluciones, desarrollando habilidades matemáticas y
aplicando diferentes estrategias de cálculo y de resolución de
problemas.
Nosotros avanzaremos con ustedes en todo momento,
solo necesitan curiosidad y ganas de aprender.
Casa del Saber 3
¿Cómo se organiza tu texto? El texto Matemática 5º básico Casa del Saber se organiza en 7 unidades y en cada unidad encontrarás:
¿Qué sabes? Evaluación inicial
Considerando la situación anterior, responde.
1.¿Cuál es el título del gráfico que mostró la profesora?
2.¿Qué representa cada barra en el gráfico? Explica.
3.Marca con un si la afirmación es correcta y con una , si no lo es.
a. El eje horizontal del gráfico representa los años del estudio.
b. Del gráfico se puede concluir que la cantidad de residuos entre un año y otro aumentó.
c. Todas las barras del gráfico deben tener el mismo ancho.
d. Todas las barras del gráfico deben tener la misma altura.
4.Analiza la siguiente tabla que representa la información obtenida por los estudiantes de 5° básico. Luego, completa el gráfico de barras correspondiente.
Cantidad de residuosdesechados en una semana
Día Cantidad de residuos (kg)
Lunes 150
Martes 135
Miércoles 148
Jueves 160
Viernes 155
TOTAL 748
Cantidad de residuos desechados en una semana
Cantidad de residuos (kg)
Día
263
Datos y probabilidadesUnidad
Datos y probabilidades7
En esta unidad aprenderás a:• Resolver situaciones problema mediante el análisis de tablas, gráficos de barras
y de líneas, comunicando tus conclusiones.
• Representar datos mediante diagramas de tallo y hojas.
• Resolver distintas situaciones mediante el cálculo del promedio de datos, e interpretar su resultado.
• Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento respecto de un experimento aleatorio.
• Comparar probabilidades de distintos eventos.
• Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.
A partir de la información entregada por la profesora, los estudiantes decidieron adoptar algunas medidas. Primero, registrarán la cantidad de residuos que se desechan durante una semana en el establecimiento.
Fuente: www.conama.cl
Año
Tone
lada
s
2006
237.574 239.254252.750 249.755
2007 2008 2009
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
0
Generación de residuos peligrosos en el período 2006–2009 en Chile
262
Páginas de inicio de unidad
• Número y título de la unidad
• Objetivos de aprendizaje
• Evaluación inicial
• Observa y responde
• Lee y responde
• Analiza y responde
• Aprende
• Practica
• Ponte a prueba
Practica
Conocer las unidades de superfi cie
1.Remarca la unidad más apropiada para medir las siguientes superficies. Justifica tu respuesta. Identificar
2.Encierra con color rojo la medida que representa una superficie mayor y con color verde la que representa una superficie menor. Analizar
a. b.
Justificación: Justificación:
cm2 mm2
m2 m2
km2 dam2
a. b. c.
51.000 cm2
4,9 hm2
5.200 dm2
0,5 km2
9 dam2
9 m2
9 km2
9 hm2
800 km2
3.000 hm2
650 mm2
30 m2
PonteapruebaJuan necesita cubrir una pared de 18 m2 con papel mural y recibe ofertas de dos casas comerciales, tal como se presenta.
¿Cuál de las dos ofertas es más económica, según las necesidades de Juan? Explica.
Dimensiones: 50 cm x 150 cm Dimensiones: 1 m x 3 m
229Unidad 6 / Medición
Módulo 1 / Unidades de longitud y superficie
Aprende
Observayresponde
Unidadesdesuperficie
• Marca con un la afirmación correcta.
El cerro Santa Lucía tiene una superficie menor que el Parque Forestal.
El Parque Forestal tiene una superficie mayor que 180.000 m2.
El cerro Santa Lucía tiene una superficie de
65.300 metros cuadrados (m2).
El Parque Forestal de Santiago tiene una superficie
de 171.910 metros cuadrados (m2).
Fuente: http://www.municipalidaddesantiago.cl
• El metro cuadrado (m2) es la unidad básica de las medidas de superficie utilizado en el Sistema Internacional de Unidades.
• Su nombre se obtiene de un cuadrado cuyos lados miden un metro cada uno.
Ejemplos:
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
• 100
: 100
• 100
: 100
• 100
: 100
• 100
: 100
• 100
: 100
• 100
: 100
Para pasar de una unidad a otra menor, se multiplica.
Para pasar de una unidad a otra mayor, se divide.
• 1 kilómetro cuadrado (km2) equivale a 1.000.000 m2.
• 1 hectómetro cuadrado (hm2) equivale a 10.000 m2.
• 1 decámetro cuadrado (dam2) equivale a 100 m2.
• 1 decímetro cuadrado (dm2) equivale a 0,01 m2.
• 1 centímetro cuadrado (cm2) equivale a 0,0001 m2.
• 1 milímetro cuadrado (mm2) equivale a 0,000001 m2.
228
Módulos organizados por objetivos de aprendizaje
• Educando en valores
• ¿Sabías que…?
• Conectad@s
• Recuerda que...
• Ojo con...
Secciones de cada unidad
Practica
Calcular el área de rombos y de romboides
1.Calcula el área de los siguientes cuadriláteros. Aplicar
2.Resuelve el siguiente problema. Analizar
Si la base de un romboide mide 20 cm y la medida de su superficie es 100 cm2, ¿cuál es la medida de su altura?
3.Analiza el siguiente problema y luego responde. Analizar
a. Antes de responder la pregunta, ¿qué es lo primero que debes calcular?
b. Responde la pregunta y comparte tu respuesta con las de tus compañeras y compañeros.
m(AB) = 20 cm
¿Cuál es la medida de la superficie que se puede cubrir con 8 de estos paralelógramos?
A
D C
B
12 cm
A
D C
B
11 cm
A
a. b.H
m(EG) = 15 m y m(FH) = 10 m
F
GEEducando en valoresEl trabajo en equipo nos permite comprender el punto de vista de otros y desarrollar estrategias en común para resolver un problema.
20 cm
245
Practica
Clasificar diferentes tipos de rectas
a. L1 L2
b. L2 L3
c. L4 L3
d. L1 L3
e. L2 L1
f. L4 L2
• Escribe2paresderectassecantes.
1.Enestacanchadefútbol,remarcatresparesdesegmentosquecumplancadacondición.Identificar
Segmentosparalelos
Segmentosperpendiculares
2.Observacadaparderectas.Luego,escribelaspalabrasoblicuas,paralelasoperpendiculares,segúncorresponda. Comprender
a. GK es aOU .
b. PL es aAM .
c. ZR es aFT .
3.Encierralaopciónquerepresentalarelaciónentrelasrectas. Comprender
4.Observaeldibujo,ycompletacon//o=encadacaso.Luego,respondeAnalizar
L1
L2
L4
L3
Una recta corresponde a un conjunto infinito de puntos que se extiende en ambas direcciones.Un segmento es una “parte” de una recta que se encuentra limitada en sus extremos.
Recuerda que...
O
KG
U A
P
M
L
T
FZ R
a. b. c.L2
L1
K
J
E
G H
F
A
BC
D
AB //CD AB =CD L1//L2L1=L2 GH //EF GH =JK
179
Organización del texto
Matemáticabásico5°TOMO II
El Centro Félix Klein de la UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, ha revisado y validado la propuesta didáctica de las páginas de resolución de problemas basadas en el Método Grá� co Singapur propuestas en los textos de Matemática del proyecto Casa del Saber de Editorial Santillana.
¿Qué pasos me permiten resolver de manera
ordenada un problema?
Dirección editorial
Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile
Jefatura de área
Mg. Cristian Gúmera Valenzuela
Edición
Mg. Patricio Loyola Martínez
Autoría
Prof. Jaime Ávila HidalgoProf. Cristina Fuenzalida GuzmánProf. María José Jiménez RobledoProf. Paola Ramírez González
Asesoría pedagógica y de contenidos
Dra. Elizabeth Montoya DelgadilloDr. Raimundo Olfos Ayarza Prof. Paula Vigar RoblesProf. Pedro Marchant Olea
Asesoría en didáctica
Dra. Lorena Espinoza SalfateDr. Joaquim Barbé FarréMg. Enrique González LaussubeProf. Dinko Mitrovich García
Primero, debes leer y comprender la situación y la
pregunta asociada a ella.
Luego, debes seleccionar los datos que te permitan
responder la pregunta.
Una vez seleccionados los datos, encontrarás la solución del
problema utilizando una estrategia.
Finalmente, debes comprobarla solución y responder
la pregunta del problema.
Pasos para
Resolver problemas
Páginas de apoyo
• Desarrollo de la autonomía (Agenda)
• Desplegable de habilidades
Resolución de problemas
Problema
Pregunta: Se necesita conocer el ancho del rectángulo.
Datos: El área del rectángulo es 36 cm2.
El largo del rectángulo mide 9 cm.
Estrategia: Representación grá� ca.
Comprobación y respuesta:
(9 • x) cm2 = 36 cm2
x = 4 El ancho del rectángulo mide 4 cm.
PAS
OS
PA
RA
RES
OLV
ER S
ITU
AC
ION
ES P
RO
BLE
MA
Comprensión de la situación y la pregunta
Explica con tus palabras la situación y la interrogante que debes responder.
Selección de los datos
Selecciona solo aquellos datos de la situación que tepermitan dar respuesta a la pregunta.
Utilización de una estrategia
En esta etapa, busca una estrategia para resolver lasituación problema.
Comprobación y respuesta
Analiza la solución encontrada y responde en formacompleta la pregunta del problema.
EST
RA
TEG
IAS
PA
RA
RES
OLV
ER P
RO
BLE
MA
S
Puedes seleccionar la estrategia que te facilite resolver el problema. Aquí, te presentamos algunas de ellas.
Hacer una representación grá� ca utilizando cuadrículas Se tienen 36 .
Hacer una lista con las posibles medidas
El área de un rectángulo es 36 cm2. Si el largo del rectángulomide 9 cm, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo?
Largo Ancho
36 cm 1 cm
18 cm 2 cm
12 cm 3 cm
9 cm 4 cm
6 cm 6 cm
1 cm
1 cm
9 cm
x cm
El Tomo II del material didáctico Matemática 5º básico, proyecto Casa del Saber, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.
Dirección editorial: Rodolfo Hidalgo CaprileSubdirección de contenidos: Ana María Anwandter RodríguezAsistente de edición: Eder Pinto MarínSolucionario: Daniela Castro Salazar, Catalina Sepúlveda Pavez,Aldo Ramírez MarchantCorrección de estilo: Patricio Varetto Cabré Documentación: Paulina Novoa Venturino, Cristian Bustos ChavarríaGestión autorizaciones: María Cecilia Mery Zúñiga
Subdirección de arte: María Verónica Román SotoJefatura de arte: Raúl Urbano CornejoDiseño y diagramación: Ximena Moncada Lomeña, Daniel Monetta Moscoso Ilustraciones: Alejandro Rojas Contreras, Sergio Lantadilla Munizaga, Sergio Quijada Valdés, Carlos Herrera PortillaFotografías: Archivo SantillanaCubierta: Alfredo Galdames CidIlustración de cubierta: Sandra Caloguerea AlarcónProducción: Germán Urrutia Garín
Que dan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total
o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidosla reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares
de ella mediante alquiler o présta mo público.
© 2013, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile).
PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quad/GraphicsISBN: 978-956-15-2138-4 – Inscripción N° 218.133
www.santillana.cl [email protected]® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L.
Todos los derechos reservados.
El texto escolar que tienes en tus manos es mucho más que un buen texto:
Plataforma en línea disponible 24 horas al día con recursos digitales innovadores para docentes, estudiantes y familias.
2.240 horas de investigación y análisis para la elaboración de esta sólida propuesta educativa.
Más de 40 años de experiencia al servicio de la educación de calidad en Chile.
320 profesionales de primer nivel pensando día a día en cómo mejorar la educación de nuestro país.
Múltiples alianzas con organizaciones relacionadas con la educación, la cultura y la vida saludable.
Más de 600 seminarios y capacitaciones anuales para docentes a lo largo de todo el país.
Comprometidos socialmente con el futuro de más de 25.000 niños y niñas chilenos, pertenecientes a nuestra red de responsabilidad social.
Páginas de evaluación
Quinto básico
4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto W representado en el plano cartesiano?
A. (4, 2)
B. (2, 4)
C. (3, 4)
D. (4, 3)
5. Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría?
A. Trapecio.
B. Triángulo.
C. Trapezoide.
D. Paralelógramo.
6. Respecto a la siguiente figura, ¿qué afirmación es verdadera?
A. Al trasladar 2 unidades hacia arriba el punto A, se obtiene el punto M.
B. Si el punto P se traslada 3 unidades a la derecha, se obtiene el punto M.
C. Al trasladar 4 unidades hacia la derecha el punto W, se obtiene el punto A.
D. Al trasladar 1 unidad hacia abajo y 3 hacia la derecha el punto P, se obtiene el punto M.
7. ¿Qué transformación isométrica se relaciona con el eje de simetría en el plano cartesiano?
A. Rotación.
B. Reflexión.
C. Traslación.
D. Simetría central.
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 X0
Y
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 X0
Y
W
P
M
WA
H H’
G G’F
Eje de simetría
F’
E E’
0
Y
X
303
Completa tus datos.
Evaluación integradora tipo SimceEvaluación integradora tipo Simce MR Simce es marca registrada del Ministerio de Educación.
Nombre:
Curso: Fecha:
Marca con una la alternativa correcta.
Observa las siguientes rectas y luego responde las preguntas 1 y 2.
1.¿Qué pares de rectas son secantes y no perpendiculares?
A.PQ y RP
B. RQ y MP
C. MR y QR
D. MP y PQ
2.¿Cómo se clasifica el polígono PQRM?
A.Triángulo.
B. Trapecio.
C.Trapezoide.
D.Paralelógramo.
3.¿En qué alternativa se destacan las caras que se intersectan de forma perpendicular?
A. B. C. D.
M R
P Q
302
Unidad 5
Evaluación intermedia
Cuerpos geométricos: poliedros
4.Observa el siguiente poliedro y luego responde.
a. Escribe la cantidad de vértices y de aristas.
Aristas Vértices
b. Escribe el número de caras del poliedro.
Caras laterales Caras basales
Cuerpos geométricos: paralelepípedos
5.A partir del poliedro que se muestra, realiza un dibujo en el que resulten 2 paralelepípedos. Observa el ejemplo.
Intersección en figuras y cuerpos geométricos
6.El poliedro representado a continuación se obtuvo al realizar cortes a un paralelepípedo recto.
puntos
4
puntos
4
puntos
6
a. Escribe 4 caras que sean paralelas.
b. Escribe 4 caras que, al intersectarse, no formen un ángulo recto.
c. Escribe 4 caras que sean perpendiculares.
Poliedro Ejemplo Dibuja
A
BF
O M
P
QS
G H
Z
D
C
LKJ
T
R
E
195
4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto W representado en el plano cartesiano?
A. (4, 2)
B. (2, 4)
C. (3, 4)
D. (4, 3)
5. Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría?
A. Trapecio.
B. Triángulo.
C. Trapezoide.
D. Paralelógramo.
6. Respecto a la siguiente figura, ¿qué afirmación es verdadera?
A. Al trasladar 2 unidades hacia arriba el punto A, se obtiene el punto M.
B. Si el punto P se traslada 3 unidades a la derecha, se obtiene el punto M.
C. Al trasladar 4 unidades hacia la derecha el punto W, se obtiene el punto A.
D. Al trasladar 1 unidad hacia abajo y 3 hacia la derecha el punto P, se obtiene el punto M.
7. ¿Qué transformación isométrica se relaciona con el eje de simetría en el plano cartesiano?
A. Rotación.
B. Reflexión.
C. Traslación.
D. Simetría central.0
Y
Fecha:
Observa las siguientes rectas y luego responde las preguntas 1 y 2.
¿En qué alternativa se destacan las caras que se intersectan de forma perpendicular?
D.
R
Q
Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría?
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 0
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 0
Y
HH
GG
Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría?
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
¿Cómovas?Intersección de rectas
1.Observalassiguientesrectasyluegoescribeoblicua,paralelaoperpendicular,segúncorresponda.
Polígonos
2.Observalaseñaldetránsitoyluegoresponde.
a. Escribelacantidaddevérticesyladosquetienelafigura.
Vértices Lados
b. Escribelacantidaddediagonalesquetiene.
c. Escribeelnombredelafigurageométricaconlaqueserelacionaestaseñal.
Cuadriláteros
3.Observalafigurayclasificacadacuadriláteroenparalelógramo,trapeciootrapezoide.
puntos
4
puntos
4
puntos
4
a. L1es L2.
b. L3es L1.
c. L4es L3.
d. L2es L4.
a. EADHesun .
b. CADHesun .
c. CEDBesun .
d. HBJWesun .
AE
G
V
B
D
F
J
W
H
C
L2
L1
L3
L4
194
¿Quéaprendiste? Evaluación fi nal
Unidad 5
puntos
4
puntos
4
puntos
4
1.Dadalafigura,completaconlossímbolos=y//.
2.Leeymarcaconun elcasillerocorrespondiente.
Todos sus ladosson de igual medida
Solo sus lados opuestos son
de igual medida
Todos susángulos interiores
son rectos
Ninguno de sus ángulos interiores
es recto
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
3.Observaelsiguienteprismarecto.Luego,responde.
a. ¿Conquépolígonorelacionaslascaraslateralesybasales?
Carasbasales Caraslaterales
b. ¿Cuántasaristasyvérticestieneelprismarecto?
Cantidaddearistas Cantidaddevértices
c. Escribetodaslascarasparalelasdelpoliedro.
d. Escribetodaslascarasperpendicularesdelpoliedro.
a. DB HG
b. EA BA
c. CG EA
d. FB JI
e. EJ DB
f. JI KL
g. HC CG
h. IB JF
F D
A B
C
E
A F
H
K
J
L
I
D
B
C
GE
217
EstrategiasparaprepararelSimce MR SimceesmarcaregistradadelMinisteriodeEducación.
C DE
G
BA B
C DE
G180º
BA B
216
Análisis de las aternativas
Analiza cómo responder una pregunta de selección múltiple
Porlotanto,laalternativaBeslacorrecta. 1. A DB C
A.LostriángulossoncongruentesporunarotacióndecentroGyángulo de 180°,node90°.
B. SiseconsideraEFcomoejedesimetría,alaplicar la transformación isométricacorrespondientea lareflexión,elpuntoCtienecomoimagenD,yelpuntoAtienecomoimagenB.
C.LadiagonaldelcuadriláteroAFECcorrespondealsegmentoAE,representadoconcolorazulenlafigura.
D.LatransformaciónqueimplicalacongruenciadelostriángulosCDByBACcorrespondeaunarotacióndecentroGyángulo180°,noalareflexiónconelejedesimetríaCB.
C DE
G
FA B
C DE
G
FA B
C DE
FA B
G
C DE
FA B
G
180º
1. Respectodelasiguientefigura,¿cuáldelassiguientesafirmacionesesverdadera?
A.EltriánguloEDGescongruenteconeltriánguloFGAporlarotaciónenelcentroGyelángulode90°ensentidohorario.
B. UnodelosejesdesimetríaqueseidentificanenlafiguracorrespondeaEF .
C.LadiagonaldelcuadriláteroAFECcorrespondealsegmentoAG.
D.EltriánguloCDBescongruenteconeltriánguloBACporunareflexiónconejedesimetríaCB.
216
¿Quéaprendiste? Evaluación fi nalAnaliza cómo responder una pregunta de selección múltiple
CC
AA
verdadera?
UnodelosejesdesimetríaqueseidentificanenlafiguracorrespondeaEF .
¿Quéaprendiste? Evaluación fi nalAnaliza cómo responder una pregunta de selección múltiple
CC
AA
Prepara la prueba 5 • Síntesis Nombre: Curso:
Casa del Saber
Módulo 2
Módulo 3Plano cartesiano
Puntos en el plano cartesiano Figuras en el plano cartesiano
Módulo 4
Módulo 1
Paralelismo en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
Intersección en figuras geométricasy en cuerpos geométricos
Perpendicularidad en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
Paralelismo e intersección
Poliedros
El cuerpo corresponde a una pirámide cuya base es un hexágono.
• 7 vértices• 12 aristas• 1 cara basal• 6 caras laterales
La pirámide tiene:
Perpendicularidad de figuras y cuerpos
La imagen se relaciona con el paralelepípedo.
En la intersección de las caras se destaca con blanco la arista. Además sus caras, forman un ángulo diedro recto.
Congruencia de figuras geométricas
En el triángulo EFG se realiza una traslación de3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo y se obtiene que:
El triángulo EFG es congruente con el triángulo E’F’G’.
Plano cartesiano
Los vértices del cuadrilátero son:
Al representarlo en el plano cartesiano, se obtieneun romboide.
Rectas, figuras ycuerpos geométricos
Intersección de rectas Poliedros
ParalelepípedosCuadriláteros
Polígonos
Congruencia defiguras geométricas
ReflexiónTraslación Rotación
Transformaciones isométricas
Cara lateral
Cara basal
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
Y
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
Y
• A(1, 1)• B(7, 1)
• C(8, 4)• D(2, 4)
A
D
B
C
G’
G
E’
E
F’
F
Páginas especiales
7 vértices12 aristas1 cara basal6 caras laterales
En la intersección de las caras se destaca con blanco la arista. Además sus caras, forman un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 vértices12 aristas1 cara basal6 caras laterales
En la intersección de las caras se destaca con blanco la arista. Además sus caras, forman un
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Fuente: Ministerio de Obras Públicas, Gobierno de Chile.
Reflexiona y comenta.
• ¿Cuál de los puentes mostrados en las fotografías se encuentra más al norte?
• Comenta con tus compañeras y compañeros los distintos puentes que conocen. Nombra tres.
• Nombra 3 aspectos que se debería tomar en cuenta para diseñar un puente del modo más aproximado a la realidad.
Reflexiona y comenta.
Competencia cultural y artística
Nombre: Puente Presidente Ibáñez
Ubicación: Región de Aysén del General Carlos Ibáñez del Campo
Longitud: 200 metros.
Nombre: Puente Llacolén
Ubicación: Región del Biobío
Longitud: 2.157 metros
255
Módulo 2
Módulo 3Plano cartesiano
Puntos en el plano cartesiano
Módulo 4
Paralelismo en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
Paralelismo e intersección
Intersección de rectas
Cuadriláteros
Polígonos
Congruencia defiguras geométricas
ReflexiónTraslación
Transformaciones isométricas
Análisis de las aternativas
Porlotanto,laalternativaPorlotanto,laalternativaPorlotanto,laalternativaBBBeslacorrecta.eslacorrecta.eslacorrecta.eslacorrecta.eslacorrecta.eslacorrecta.eslacorrecta. 1. A BB C
LostriángulossoncongruentesporunarotacióndecentroGy,node90°.
SiseconsideraEFcomoejedesimetría,alaplicar la transformación isométricacorrespondientea lareflexión,elpuntoCtienecomoimagenD,yelpuntoAtienecomoimagenB.
LadiagonaldelcuadriláteroAFECcorrespondealsegmentoAE,representadoconcolorazulenlafigura.
LatransformaciónqueimplicalacongruenciadelostriángulosCDByBACcorrespondeaunarotacióndecentroGyángulo180°,noalareflexiónconelejedesimetríaCB.
EltriánguloCDBescongruenteconeltriánguloBACporunareflexiónconejedesimetríaCB.
D
SiseconsideraEFcomoejedesimetría,alaplicar la transformación isométricacorrespondientea lareflexión,elpuntoCtienecomoimagenD,yelpuntoAtienecomoimagenB.
LatransformaciónqueimplicalacongruenciadelostriángulosCDByBACcorrespondeaunarotacióndecentroGyángulo180°,noalareflexióncon
CC
AA
CC
AA
CC
AA
EltriánguloCDBescongruenteconeltriánguloBACporunareflexiónconejedesimetríaCB.
SiseconsideraEFcomoejedesimetría,alaplicar la transformación isométricacorrespondientea la
EltriánguloCDBescongruenteconeltriánguloBACporunareflexiónconejedesimetríaCB.
Plano cartesiano
Intersección en figuras geométricas
Perpendicularidad en figuras geométricas
Paralelismo e intersección
Cuadriláteros
Polígonos
Congruencia defiguras geométricas
Reflexión
Transformaciones isométricas
Plano cartesiano
Intersección en figuras geométricas
Perpendicularidad en figuras geométricas
Paralelismo e intersección
figuras geométricas
Transformaciones isométricas
CompetenciasparalavidaLa longitud de los puentes chilenos me ayuda a comprender la conexiónvial de nuestro paísNuestro país tiene aproximadamente 12 mil estructuras de conexión viales ubicadas en diferentes rutas del país. De este total, 7.250 corresponden a puentes y el resto, a pasarelas.
A partir de la información anterior, responde.
• ¿Cuál es la longitud de cada puente expresada en centímetros?
Viaducto Malleco: cm Puente Presidente Ibáñez: cm
Puente Llacolén: cm
• ¿Cuántas pasarelas hay en nuestro país?
A partir de la información anterior, responde.
Competencia matemática
Nombre: Viaducto Malleco
Ubicación: Región de La Araucanía
Longitud: 345 metros
254
• Competencias para la vida
• Resolución de problemas
• Estrategias para preparar el Simce MR
• Prepara la prueba (Síntesis y repaso para que
pegues en tu cuaderno)
• ¿Qué sabes? Evaluación inicial
• ¿Cómo vas? Evaluación intermedia
• ¿Qué aprendiste? Evaluación final
• Evaluación integradora tipo Simce MR
Índice
Unidad Módulo 1 Módulo 2 Módulo 3 Módulo 4
Geometría
Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Intersección de rectaspág. 178
Polígonospág. 180
Cuadriláterospág. 182
Cuerpos geométricos: poliedros
pág. 184Cuerpos geométricos: paralelepípedos
pág. 186
Educando en valores: optimización de los recursos
pág. 187Ponte a prueba
pág. 187
Paralelismo e intersección
Paralelismo en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
pág. 188
Intersección en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
pág. 190
Perpendicularidad en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
pág. 192
Ponte a prueba pág. 193
Plano cartesiano
Puntos en el plano cartesiano
pág. 196
Figuras en el plano cartesiano
pág. 198
Ponte a prueba pág. 199
Congruencia de figuras geométricas
Transformaciones isométricas
pág. 200Traslación
pág. 202Reflexión
pág. 204Rotación
pág. 206
Congruenciapág. 208
Utilización de software geométrico
pág. 211
Ponte a prueba pág. 211
Medición
Unidades de longitud y superficie
Medidas de longitudpág. 224
Conversión entre unidades de longitud
pág. 226
Unidades de superficiepág. 228
Ponte a prueba pág. 229
Perímetro y área de rectángulos
Perímetro de figuras geométricas
pág. 230
Área de un rectángulopág. 232
Representación de rectángulos
pág. 234
Ponte a prueba pág. 235
Área de figuras geométricas
Área de triángulos ocupando cuadrículas
pág. 238
Área de triángulospág. 240
Área de un rombo y de un romboide en cuadrículas
pág. 242
Área de rombos y de romboidespág. 244
Área de trapecios ocupando cuadrículas
pág. 246
Área de trapeciospág. 248
Área de figuras compuestas utilizando cuadrículas
pág. 250
Educando en valores: trabajo en equipo
pág. 245
Ponte a prueba pág. 251
Resolución de problemas Competencias Simce Evaluaciones Síntesis y repaso
Estrategia
Ubicar puntos en el plano cartesiano
pág. 212
La geometría me ayuda a comprender la arquitectura antigua
Competencias:matemática, cultural y artística
pág. 214
Análisis de una pregunta de selección múltiple
pág. 216
¿Qué sabes?Evaluación inicial
pág. 177
¿Cómo vas?Evaluación intermedia
pág. 194
¿Qué aprendiste?Evaluación final
pág. 217
Prepara la prueba 5
Estrategia
Representar gráficamente el área de una figura
pág. 252
La longitud de los puentes chilenos me ayuda a comprender la conexión vial de nuestro país
Competencias:matemática, cultural y artística
pág. 254
Análisis de una pregunta de selección múltiple
pág. 256
¿Qué sabes?Evaluación inicial
pág. 223
¿Cómo vas?Evaluación intermedia
pág. 236
¿Qué aprendiste?Evaluación final
pág. 257
Prepara a prueba 6
5
págs. 176 - 221
págs. 222 - 261
6
Unidad Módulo 1 Módulo 2 Módulo 3 Módulo 4
Geometría
Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Intersección de rectaspág. 178
Polígonospág. 180
Cuadriláterospág. 182
Cuerpos geométricos: poliedros
pág. 184Cuerpos geométricos: paralelepípedos
pág. 186
Educando en valores: optimización de los recursos
pág. 187Ponte a prueba
pág. 187
Paralelismo e intersección
Paralelismo en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
pág. 188
Intersección en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
pág. 190
Perpendicularidad en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
pág. 192
Ponte a prueba pág. 193
Plano cartesiano
Puntos en el plano cartesiano
pág. 196
Figuras en el plano cartesiano
pág. 198
Ponte a prueba pág. 199
Congruencia de figuras geométricas
Transformaciones isométricas
pág. 200Traslación
pág. 202Reflexión
pág. 204Rotación
pág. 206
Congruenciapág. 208
Utilización de software geométrico
pág. 211
Ponte a prueba pág. 211
Medición
Unidades de longitud y superficie
Medidas de longitudpág. 224
Conversión entre unidades de longitud
pág. 226
Unidades de superficiepág. 228
Ponte a prueba pág. 229
Perímetro y área de rectángulos
Perímetro de figuras geométricas
pág. 230
Área de un rectángulopág. 232
Representación de rectángulos
pág. 234
Ponte a prueba pág. 235
Área de figuras geométricas
Área de triángulos ocupando cuadrículas
pág. 238
Área de triángulospág. 240
Área de un rombo y de un romboide en cuadrículas
pág. 242
Área de rombos y de romboidespág. 244
Área de trapecios ocupando cuadrículas
pág. 246
Área de trapeciospág. 248
Área de figuras compuestas utilizando cuadrículas
pág. 250
Educando en valores: trabajo en equipo
pág. 245
Ponte a prueba pág. 251
Resolución de problemas Competencias Simce MR Evaluaciones Síntesis y repaso
Estrategia
Ubicar puntos en el plano cartesiano
pág. 212
La geometría me ayuda a comprender la arquitectura antigua
Competencias:matemática, cultural y artística
pág. 214
Análisis de una pregunta de selección múltiple
pág. 216
¿Qué sabes?Evaluación inicial
pág. 177
¿Cómo vas?Evaluación intermedia
pág. 194
¿Qué aprendiste?Evaluación final
pág. 217
Prepara la prueba 5
Estrategia
Representar gráficamente el área de una figura
pág. 252
La longitud de los puentes chilenos me ayuda a comprender la conexión vial de nuestro país
Competencias:matemática, cultural y artística
pág. 254
Análisis de una pregunta de selección múltiple
pág. 256
¿Qué sabes?Evaluación inicial
pág. 223
¿Cómo vas?Evaluación intermedia
pág. 236
¿Qué aprendiste?Evaluación final
pág. 257
Prepara a prueba 6
Matemática 5º básico - Tomo II
Índice
Unidad Módulo 1 Módulo 2 Módulo 3 Módulo 4
Datos y probabilildades
Tratamiento de la información
Conceptos básicospág. 264
Lectura e interpretación de tablas de frecuencias
pág. 266
Lectura e interpretación de gráficos de barras
pág. 268
Lectura e interpretación de gráficos de líneas
pág. 270
Construcción de gráficos de barras y de líneas
pág. 272
Representación en un diagrama de tallo y hojas
pág. 274
Educando en valores: vida saludable
pág. 269
Ponte a prueba pág. 275
Promedio de datos
Cálculo de promedio de datospág. 278
Cálculo de promedio en gráficos
pág. 280
Ventajas y desventajas del promedio de datos
pág. 282
Ponte a pruebapág. 283
Introducción a la probabilidad
Experimentos aleatoriospág. 284
Espacio muestralpág. 286
Comparación de posibilidadespág. 288
Probabilidad y comparaciónpág. 290
Ponte a prueba pág. 291
Resolución de problemas Competencias Simce Evaluaciones Síntesis y repaso
Estrategia
Extraer información de un gráfico de barras
pág. 292
La información estadística me ayuda a comprender situaciones sociales
Competencias:matemática, social y ciudadana
pág. 294
Análisis de una pregunta de selección múltiple
pág. 296
¿Qué sabes?Evaluación inicial
pág. 263
¿Cómo vas?Evaluación intermedia
pág. 276
¿Qué aprendiste?Evaluación final
pág. 297
Prepara la prueba 7
págs. 262 – 301
7
Evaluación integradora págs. 302 - 307
Unidad Módulo 1 Módulo 2 Módulo 3 Módulo 4
Datos y probabilildades
Tratamiento de la información
Conceptos básicospág. 264
Lectura e interpretación de tablas de frecuencias
pág. 266
Lectura e interpretación de gráficos de barras
pág. 268
Lectura e interpretación de gráficos de líneas
pág. 270
Construcción de gráficos de barras y de líneas
pág. 272
Representación en un diagrama de tallo y hojas
pág. 274
Educando en valores: vida saludable
pág. 269
Ponte a prueba pág. 275
Promedio de datos
Cálculo de promedio de datospág. 278
Cálculo de promedio en gráficos
pág. 280
Ventajas y desventajas del promedio de datos
pág. 282
Ponte a pruebapág. 283
Introducción a la probabilidad
Experimentos aleatoriospág. 284
Espacio muestralpág. 286
Comparación de posibilidadespág. 288
Probabilidad y comparaciónpág. 290
Ponte a prueba pág. 291
Resolución de problemas Competencias Simce MR Evaluaciones Síntesis y repaso
Estrategia
Extraer información de un gráfico de barras
pág. 292
La información estadística me ayuda a comprender situaciones sociales
Competencias:matemática, social y ciudadana
pág. 294
Análisis de una pregunta de selección múltiple
pág. 296
¿Qué sabes?Evaluación inicial
pág. 263
¿Cómo vas?Evaluación intermedia
pág. 276
¿Qué aprendiste?Evaluación final
pág. 297
Prepara la prueba 7
Evaluación integradora págs. 302 - 307
Matemática 5º básico - Tomo II
Desarrollo de la autonomía
Día
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Marzo
Día
123456789101112131415161718192021222324252627282930
Abril
Día
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Mayo
Día
123456789101112131415161718192021222324252627282930
Junio
Día
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Julio
131415161718192021222324252627282930
15161718192021222324252627282930
3456
Día
1234567891010
11121314151617
Prueba Traer materialesTarea para la casa
Día
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Agosto
Día
123456789101112131415161718192021222324252627282930
Septiembre
Día
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Octubre
Día
123456789101112131415161718192021222324252627282930
Noviembre
Día
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
Diciembre
Prueba Traer materialesTarea para la casa
Unidad 5
En esta unidad aprenderás a:• Clasificardistintostiposderectas,polígonosypoliedros.
• Reconocerposicionesrelativasdeladosenfigurasgeométricas.
• Reconocerposicionesrelativasdearistasycarasencuerposgeométricos.
• Ubicarpuntosyfigurasenelplanocartesiano.
• Aplicartransformacionesisométricasadistintasfigurasenelplanocartesiano.
• Comprenderelconceptodecongruencia.
• Manifestarunestilodetrabajoordenadoymetódico.
Geometría
176
¿Quésabes? Evaluación inicial
A partir de la imagen, responde.
1.Marcaconun silaafirmaciónescorrecta.
Losmurosdelacasatienenformadecuadrado.
Losmurosdelacasatienenformarectangular.
Losmurosdelacasatienenformatriangular.
2.Completacadaafirmaciónconlassiguientespalabras.
refleja traslada rota
a. Elautose desdelacallehaciaelgaraje.
b. Laniñase enelaguadelapiscina.
c. Lamascota alrededordelniño.
3.Encierralaimagenquerelacionesconlavistadesdearribadelacasa.
4.Delassiguientesfiguras,¿encuálserepresentóunejedesimetría?Enciérralayjustificatuelección.
Justificación:
Figura1 Figura2
177
Módulo
1
Unidad 5 / Geometría
Aprende
Intersección de rectas
• Marcaconun silaafirmaciónescorrectayconuna ,silaafirmaciónesincorrecta.
LarectaCD ,alintersectaralarectaAB ,forma4ángulosrectos.
LarectaCD ,alintersectaralarectaL1,forma4ángulosrectos.
LarectaL1cortaenunpuntoalarectaL2.
Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Observa y responde
Siladistanciaqueseparadosomásrectasessiemprelamisma,osiseprolonganindefinidamente,nunca se intersectan.Estasrectassonparalelas,loqueserepresentacomo“//”.Ejemplo:larectaEFesparalelaalarectaGH.
Sitodoslospuntosdeunarectasoncomunesconotrarecta,sedicequesoncoincidentes.
Ejemplo: PA escoincidenteconLM .
Sidosrectasse intersectanosecortanenunpunto,estassonsecantes.Además,sedanlossiguientescasos:
•siforman4ángulosrectos(90º),estasrectassonperpendiculares,loqueserepresentacomo“=”.
Ejemplo:larectaL1esperpendicularalarectaL2.
•siforman2ángulosagudos(mayorque0ºymenorque90º)sellamanrectasoblicuas.
Ejemplo:lasrectasL3yL4sonoblicuas.
Simbología
• Lasrectasdecolorazulyrojosesimbolizancomo:CD yAB .
• LasrectastambiénsepuedenrepresentarcomoL1,queselee“eleuno”.
• LossegmentosEFyGHsesimbolizanpor:EFyGH.
A
B
DH
E
G
FC
L1
L2
G
E
H
F
L1
L2
L1=L2oL2=L1
EF //GH
L4 L3
PL
MA
90º
178
Practica
Clasificar diferentes tipos de rectas
a. L1 L2
b. L2 L3
c. L4 L3
d. L1 L3
e. L2 L1
f. L4 L2
• Escribe2paresderectassecantes.
1.Enestacanchadefútbol,remarcatresparesdesegmentosquecumplancadacondición.Identificar
Segmentosparalelos
Segmentosperpendiculares
2.Observacadaparderectas.Luego,escribelaspalabrasoblicuas,paralelasoperpendiculares,segúncorresponda. Comprender
a. GK es aOU .
b. PL es aAM .
c. ZR es aFT .
3.Encierralaopciónquerepresentalarelaciónentrelasrectas. Comprender
4.Observaeldibujo,ycompletacon//o=encadacaso.Luego,respondeAnalizar
L1
L2
L4
L3
Una recta corresponde a un conjunto infinito de puntos que se extiende en ambas direcciones.Un segmento es una “parte” de una recta que se encuentra limitada en sus extremos.
Recuerda que...
O
KG
U A
P
M
L
T
FZ R
a. b. c.L2
L1
K
J
E
G H
F
A
BC
D
AB //CD AB =CD L1//L2L1=L2 GH //EF GH =JK
179
Unidad 5 / Geometría
Lee y responde
Polígonos
Laarquitecturadeestaviviendasedestacaporlasformasinnovadorasquetienensusmuros.Estosseasemejanadiferentesfigurasgeométricas.
• Relacionacadafiguraquesemuestracon los ladospintadosde lacasarepresentadosconlasletrasA,ByC.Paraello,escribeenelrecuadrodelantedecadafiguralaletracorrespondiente.
• Completaconlacantidaddelados,vérticesyángulosdelasfigurasdescritas.
Figura Cantidad de lados Cantidad de vértices Cantidad de ángulos interiores
A
B
C
Módulo 1 / Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Lospolígonossonfigurasgeométricasplanaslimitadassoloporsegmentosderecta.Generalmente,seusanlasletrasmayúsculasdesusvérticesparanombrarlos.
Ejemplo: elpentágonoABCDEtiene5vértices,5lados,5ángulosinterioresy5diagonales.
Aprende
Lospolígonossepuedenclasificarsegúnlacantidaddelados.
Nombre Cantidad de lados
Heptágono 7
Octágono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Nombre Cantidad de lados
Triángulo 3
Cuadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
E
A
B
C
Lado
Vértice
DiagonalÁngulointerior
D
A
B
C
180
Practica
1.Encierralasfigurasgeométricasquesonpolígonos. Clasificar
2.Escribeelnombredecadapolígonosegúnlacantidaddelados.Clasificar
3.Observalossiguientespolígonos.Luego,responde.Analizar
a. ¿CuántosvérticestieneelpolígonoJKLI?
b. ¿CuántosángulosinteriorestieneelpolígonoABCDE?
c. ¿CuántasdiagonalestieneelpolígonoABCDE?¿YelpolígonoGHF?
d. Deacuerdoconlacantidaddelados,¿cómoseclasificacadapolígono?
ABCDE GFH JKLI
Identificar los elementos de un polígono
a. b. c. d. e.
a. b.I
E
J G
H R
O
Q
PF
H
G
F
JK A B
CE
DL
I
El matemático griego Euclides(330 a. C. - 275 a. C.), en su obra Los elementos define varios postulados que hasta el día de hoy sustentan la base del conocimiento geométrico.
¿Sabías que...?
181
Unidad 5 / Geometría
Loscuadriláterossonpolígonosdecuatroladosqueseclasificanen:
Aprende
Observa y responde
Cuadriláteros
Enunaconstrucción,sedistribuyeronunasvigasmetálicascomosemuestraenlaimagen.
• ConsiderandolasfigurasqueestánrepresentadasporlospolígonosABCDyEGIL,encierralaafirmacióncorrecta.
ElladoDA esperpendicularalladoEG . ElladoBC esparaleloalladoLE .
• Marcaconun silaafirmaciónescorrecta.
ElpolígonoABCDtiene4lados. EnelpolígonoPZJY,todoslosladostienenigualmedida.
Módulo 1 / Rectas, figuras y cuerpos geométricos
• Paralelógramo:susladosopuestossonparalelos.
• Trapecio:tienedosladosparalelos.
• Trapezoide:notieneladosparalelos.
Deltoide
Isósceles Escaleno Rectángulo
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
A
B C G I P Z
D E L Y J
182
Practica
Reconocer los diferentes tipos de cuadriláteros
1.Pintaloscuadriláterosconelcolorcorrespondiente.Clasificar
Paralelógramo Trapecio Trapezoide
2.Siguelaspistasydescubreelnombredelapersonaquearreglaráelvidrioroto.Analizar
Pista 1
Hayuncuadriláteroqueaparece6veces.
• Escribesunombre.
• Escribelasegundayterceraletradesunombre.
Pista 2
Hayuncuadriláteroqueaparece4vecesmenosqueelcuadriláteroanterior.
• Escribesunombre.
• Escribelaprimeraconsonantedesuúltimasílaba.
Pista 3Hayuncuadriláteroqueaparece4veces.
•Escribelasvocalesdesuúltimasílaba.Escribeenordenlasletrasqueobtuvisteydescubrequiénarreglaráelvidrio.
arreglaráelvidrio.
R
paralelógramotrapecio
trapecio
trapecio
trap
ecio
trap
ezoi
de
trapezoide
trapezoide
trapezoidetra
pezo
ide
trapezoide
paraleló
gramo
183
Unidad 5 / Geometría
Observa y responde
Cuerpos geométricos: poliedros
Losedificiosdelaimagensepuedenrelacionarconuncuerpogeométricocuyasbasestienenformahexagonal.
• Encierraelnombredelafiguraconlaqueserelacionanlascaraslateralesdeestosedificios.
Rectángulo Rombo Cuadrado
• Marcaconun elcuerpogeométricoconelcualrepresentarías laestructuradeledificio.
• Entotal,¿cuántascarastieneelcuerporepresentado?
Módulo 1 / Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Lospoliedrossoncuerposgeométricoslimitadossoloporcarasplanaspoligonalesquepuedenserbasalesolaterales.Losladosdelascarascorrespondenalasaristasylainterseccióndelasaristascorrespondealosvértices.Además,lospoliedrossepuedenclasificarenprismasopirámides.
Aprende
Pirámides:tienenunacarabasalysuscaraslateralessontriángulos.
Ejemplo: pirámidedebaserectangular.
Tiene4caraslaterales,1carabasal,5vérticesy8aristas.
Prismas:tienendoscarasbasalesigualesysuscaraslateralessonparalelógramos.
Ejemplo: prismadebasetriangular.
Tiene2carasbasales,3caraslaterales,6vérticesy9aristas.
Vértice Vértice
Arista
Cara basal
Cara basalCara lateral
Caralateral
Arista
Por convención, las caras de un cuerpo geométrico pueden clasificarse en basales o laterales, dependiendo del punto de vista del observador.
Ojo con...
184
Practica
Reconocer los diferentes tipos de poliedros
1.Relacionacadafiguraconunpoliedro.Luego,pintasicorrespondeaunprismaounapirámide.Clasificar
2.Observacadapoliedroyluegoresponde. Analizar
a. •¿Cuántosvérticestiene?
•¿Cuántasaristastiene?
•¿Cuántascarasbasalestiene?
•¿Cuántascaraslateralestiene?
•¿QuépolígonoserelacionaconlacaraLEHJ?
b.
•¿Cuántosvérticestiene?
•¿Cuántasaristastiene?
•¿Cuántascarasbasalestiene?
•¿Cuántascaraslateralestiene?
•¿QuépolígonoserelacionaconlacaraEDCBF?
3.EscribeVsilaafirmaciónesverdaderaoF,siesfalsa.Justificaencadacaso. Evaluar
a. Unpoliedrotiene5carascomomínimo.
Justificación:
b. Todaslascaraslateralesenunapirámidesontriángulos.
Justificación:
Prisma Pirámide Prisma Pirámide Prisma Pirámide
a. b. c.
E
D C
A
F
B
E
LK
F
G
I
H
J
185
Unidad 5 / Geometría
Losparalelepípedossonpoliedrosquetienenseiscarasycadaunadeellasesunparalelógramo.Sisuscarassonrectángulosocuadrados,correspondenaparalelepípedos rectos;mientrasquesisuscarassonrombosoromboides,seconocencomoparalelepípedos oblicuos.
Aprende
Cuerpos geométricos: paralelepípedos
Muchosobjetosdenuestroentornoseasemejanauncuerpogeométrico,como lacarcasadelPCquesemuestra.Por laformaquetiene,sepuederelacionarconuncuerpogeométrico.
• EncierralaopciónquerepresentalaformadelacarcasadelPC.
Opción1 Opción2
• Entotal,¿cuántascarastieneelcuerpogeométricoqueseasemejaalacarcasadelPC?
• Marcaconun silaafirmaciónescorrectayconuna ,silaafirmaciónesincorrecta.
LascarasdelacarcasadelPCseasemejanauntrapecio.
LascarasdelacarcasadelPCseasemejanaunrectángulo.
• ¿Quéotroselementosdetuentornoseasemejanaestecuerpogeométrico?Nombra2.
Módulo 1 / Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Paralelepípedos oblicuosParalelepípedos rectos
Observa y responde
186
Practica
1.Marcaconun losobjetosqueseasemejenaunparalelepípedo,yconuna ,losqueno.Luego,justificatuelección.Reconocer
Justificación:
2.Dibujacadacuerpogeométrico,segúnlascaracterísticasdadas.Analizar
Analizar distintos paralelepípedos
a. b. c. d.
a. Paralelepípedorectode6carasy8vértices.
b. Paralelepípedooblicuode8vérticesy6caras.
Ponte a pruebaEscribeVsilaafirmaciónesverdaderaoF,siesfalsa.Justificaturespuesta.
a. Lascarasdeunparalelepípedonosonsolocuadriláteros.
Justificación:
b. Lascarasdelosparalelepípedosoblicuossonsolorombosyromboides.
Justificación:
Educando en valoresUna vez que el computador pierde su vida útil, sus piezas se pueden reciclar; de esta forma se les da una nueva utilidad y se evita que dañen el entorno.
187
Módulo
Unidad 5 / Geometría
Enunprisma,ladistanciaentrelascaras opuestasessiemprelamisma,osiseprolonganindefinidamenteencualquierdirección,estasnoseintersectan.Estascarassedicequesonparalelas.
Aprende
Ejemplo:enelsiguienteparalelepípedorecto,seobservaque:
• ADHEesunparalelógramo,luegoAD // EH .• ABFEesunparalelógramo,luegoAB // EF .• Lascarasbasalessonparalelas.
Ejemplo:enelsiguientepoliedrorecto,seobservaquesuscarasbasalesnosonparalelas,yaqueladistanciadelamedidadeAP esdistintadeladistanciadelamedidadeML .
2 Paralelismo e intersección
Observa y responde
Paralelismo en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
• Encierralaopcióncorrecta.
Opción1 Losladosdelcuadradonosonparalelos.Opción2 Lascaraspintadasenelcubosonparalelas.
• Completaconlaspalabras paralelas,perpendicularesyparalelógramos,segúncorresponda.
Todaslascarasdelcuboson .
Lascarasdelcuboquenotienenunaaristaencomúndelcuboson .
A
E G
C
D
F
HB
El objeto se representapor medio de un cubo.
CuboCuadrado
Las caras pintadas corresponden a un cuadrado.
A
P
D
L
I
M
G
H
3 cm2 cm
188
Reconocer el paralelismo en figuras y cuerpos geométricos
Practica
1.Observaelsiguienteparalelepípedooblicuoyrealizalasactividadespropuestas.Analizar
a. Completaconlasaristasquesonparalelas.
• GH //
• HE //
• GF //
• BC //
• //CD
• //DA
b. Escribetodaslascarasparalelas.Observaelejemplo.
ElparalelógramoBCFEesparaleloalparalelógramoADGH.
2.Leelasiguientesituaciónyresponde.Analizar
Enelladoizquierdohayunapirámidecuyabaseesunrectángulo.ElcuadriláteroHEFGcortaaestapirámide,resultandolafiguraquesemuestra.
Unestudianteafirmaquelascaraspintadasenelcuerpogeométricosonparalelas,yaquenoseintersectan.¿Escorrectaestaafirmación?Justificaturespuesta.
H
A
E
B
F
C
G
D
A B
CD
A B
CD
K
H HE E
F FG G
Pirámide Figura
189
Unidad 5 / Geometría
Sienuncuerpogeométricoseintersectan dos caras,estasformanunaarista,mientrasquesiseintersectan dos ladosenunafigura,estosformanunvértice.
Ejemplo:enelcuboseobservaque:
•LosladosDA yAB seintersectanenelvérticeA.
•LascaraspintadasseintersectanyformanlaaristaHC .
Aprende
Observa y responde
Intersección en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
• Marcaconun silaafirmaciónescorrectayconuna ,silaafirmaciónesincorrecta.
Elparalelepípedotiene8aristas.
Lasaristasdeunparalelepípedoqueseintersectanformanunaarista.
Cuandoseintersectanlosladosdeunrectánguloformanunvértice.
• Completaconlaspalabrasuna aristaoun vértice,segúncorresponda.
Alintersectarsedosladosenunrectánguloseforma .
Alintersectarsedoscarasenunparalelepípedoseforma .
Módulo 2 / Paralelismo e intersección
D
E
A
F
B
G
C
H
Las caras pintadas se relacionan con rectángulos.
El objeto se puede representar como un paralelepípedo recto.
190
Practica
Reconocer la intersección en figuras y cuerpos geométricos
1.En lassiguientes imágenes,marcaconcolorrojo todas lasaristasquetienenencomúnelpunto indicado.Identificar
2.Remarcaconcolorrojolasaristasqueseintersectanenelpuntodadoyconcolorazullascarasqueseintersectanenelsegmentodado.Observaelejemplo.Identificar
3.EscribeVsilaafirmaciónesverdaderaoF,siesfalsa.Justificaturespuesta.Evaluar
a. Entodopoliedrosenecesitancuatroaristascomomínimoparaformarunvértice.
Justificación:
b. Enunpoliedro,lainterseccióndedoscarasformaunaarista.
Justificación:
a. b.
a. PuntoJyaristaEG. b. PuntoQyaristaLS.
D D
B BC C
A A
MR
SL
T
KO
NQ
P
H
EJ
I
G
F
Punto D y arista AC.
b.
191
Unidad 5 / Geometría
Módulo 2 / Paralelismo e intersección
Sialintersectarsedoscarasdeunpoliedroformanunángulodiedrorecto(90º),sedicequesuscarassonperpendiculares.
Ejemplo:enelparalelepípedorectoseobservaque:
•EFBAesrectángulo,luegoAE =EF .•AEHDesrectángulo,luegoAE =EH .
ComolacaraAEHDcontieneelsegmentoA’E’perpendicularalsegmentoE’F’,sepuedeafirmarqueenelparalelepípedorectolascarasAEHDyEFGHsonperpendiculares.
Aprende
Observa y responde
Perpendicularidad en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
• Considerandolarepresentacióndelacasa,encierralaopcióncorrecta.
Opción1 Lainterseccióndelascaraspintadastienedosvérticesencomún.
Opción2 Lainterseccióndelascaraspintadastienedosaristasencomún.
Observalasiguientefigura.
¿Quémedidatieneel“ángulodiedro”delascaraspintadasenlaimageninicial?
A
A’
EE’
G
C
D
FF’
HB
La forma de una parte de la casa se asemeja a un paralelepípedo recto.
Ángulo diedro. •
192
Practica
Reconocer la perpendicularidad en figuras y cuerpos geométricos
1.Marcaconun lasimágenesenquelascarasAyBrepresentanlaperpendicularidad,yconuna ,aquellasquenolarepresentan.Reconocer
2.Leeyluegoresponde.Analizar
Elsiguientecubosedivide,demaneraqueseformandosparalelepípedosrectos.
a. ¿Quépolígonorepresentalacaradecolorceleste?
b. Lacaradecolorceleste,¿acuántascarasesperpendicular?Remárcalas.
c. Escribetodaslasaristasperpendicularesa:
Ponte a pruebaObservaelsiguientepoliedro,luegoresponde:
• ¿Conquécuadriláterosserelacionanlascaraslateralesybasales?
• Pintaconcolorverdeunpardecarasqueseanparalelasyconcolorazulunpardecarasqueseintersecten.
• KL
• IJ
• JK
• LI
a. b. c.
F
LE H
K
G
B
CD
IJ
A
A B
C
H
GF
E
D
AA BA B
B
193
¿Cómovas?Intersección de rectas
1.Observalassiguientesrectasyluegoescribeoblicua,paralelaoperpendicular,segúncorresponda.
Polígonos
2.Observalaseñaldetránsitoyluegoresponde.
a. Escribelacantidaddevérticesyladosquetienelafigura.
Vértices Lados
b. Escribelacantidaddediagonalesquetiene.
c. Escribeelnombredelafigurageométricaconlaqueserelacionaestaseñal.
Cuadriláteros
3.Observalafigurayclasificacadacuadriláteroenparalelógramo,trapeciootrapezoide.
puntos
4
puntos
4
puntos
4
a. L1es L2.
b. L3es L1.
c. L4es L3.
d. L2es L4.
a. EADHesun .
b. CADHesun .
c. CEDBesun .
d. HBJWesun .
AE
G
V
B
D
F
J
W
H
C
L2
L1
L3
L4
194
Unidad 5
Evaluación intermedia
Cuerpos geométricos: poliedros
4.Observaelsiguientepoliedroyluegoresponde.
a. Escribelacantidaddevérticesydearistas.
Aristas Vértices
b. Escribeelnúmerodecarasdelpoliedro.
Caraslaterales Carasbasales
Cuerpos geométricos: paralelepípedos
5.Apartirdelpoliedroquesemuestra,realizaundibujoenelqueresulten2paralelepípedos.Observaelejemplo.
Intersección en figuras y cuerpos geométricos
6.Elpoliedrorepresentadoacontinuaciónseobtuvoalrealizarcortesaunparalelepípedorecto.
puntos
4
puntos
4
puntos
6
a. Escribe4carasqueseanparalelas.
b. Escribe4carasque,alintersectarse,noformenunángulorecto.
c. Escribe4carasqueseanperpendiculares.
Poliedro Ejemplo Dibuja
A
BF
O M
P
QS
G H
Z
D
C
LKJ
T
R
E
195
Módulo
Unidad 5 / Geometría
Puntos en el plano cartesiano
Estebanesunapersonaresponsableysolocruzalacalle
porlospasosdecebra().Élestáensucasa(A)yquiere
iralparque(B)siguiendolarutaqueindicanlasflechas.
• Deacuerdoconlagraduacióndelosejes(XeY),elparqueseubicaenelpunto(7,6).Encierralaopciónquerepresentalaubicacióndelacasa.
Opción1 (3,3)Opción2 (2,3)Opción3 (3,2)
• Marcaconuna elolospuntosquenopertenecenaltrayectohechoporEsteban.
(3,4) (3,2) (6,5) (7,6)
Elplano cartesianoestádeterminadopordosrectasperpendiculares,llamadasejes de coordenadas,yporcuatrocuadrantes.Eleje horizontalsellamaeje Xodelasabscisas,mientrasqueeleje verticalrecibeelnombredeeje Yodelasordenadas.Cadapuntoserepresentaporelpar ordenado(a,b),dondea(primeracoordenada)correspondealosvaloresdelasabscisasyb(segundacoordenada),aldelasordenadas.
Ejemplo:enelplanocartesianoseubicaránlossiguientespuntos:A(3,4),B(0,2)yC(4,3).
Aprende
Analiza y responde
Plano cartesiano3
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 80
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
A
C
B
0
Y
X
0
Segundo cuadrante
Tercer cuadrante
Primer cuadrante
Cuarto cuadrante
Y
Xa
b P(a, b) Coordenadas(a, b)
A
B
Y
X
196
Practica
Identificar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano
(2,3) (1,4) (3,3) (1,1) (5,4) (6,5) (8,2)
1.TrazaelrecorridoquesigueAlejandra.Luego,escribeellugaralquellega.Aplicar
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (4,2) (5,2) (6,2) (6,3) (6,4) (7,4)
2.Escribesobrecadaparordenadodelatablalaletraquelecorresponda.Luego,descubrequépalabraseforma.Analizar
3.Resuelvelossiguientesproblemas.Aplicar
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
Y
0
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
0
U
R N
P O
T I A
FM
a. UnpuntoPseubicaenlascoordenadas(3,5).Sisedesplazaen3unidadesaladerechay2unidadeshaciaabajo,¿cuálessonsusnuevascoordenadas?
b. UnpuntoQsetraslada3unidadeshaciaabajoy7unidadesaladerecha,quedandoenelpunto(10,5).¿Cuálessonlascoordenadasdelpuntoinicial?
Casa
Circo
Lapalabrasecretaes:
Llegóa: .
197
Unidad 5 / Geometría
Paraubicareidentificarfiguras geométricasenelplanocartesiano,esnecesariotenerencuentasuscaracterísticas.
Ejemplo:dosvérticesconsecutivosdeuncuadradotienencoordenadas(2,2)y(2,4),respectivamente.¿Cuálessonlascoordenadasdelosotrosdosvérticessielpunto(3,3)esexterioralcuadrado?
Aprende
Observa y responde
Figuras en el plano cartesiano
EnelplanocartesianosemarcanlospuntosAyB.
• Escribelascoordenadasdecadapunto.
A( , )
B( , )
• ¿Cuántosvérticestieneuncuadrilátero?
• SiseubicanenelplanocartesianolospuntosD(3,5)yC(7,5),encierralaopciónquerepresentalafiguradevérticesA,B,CyD.
Opción1 Opción2 Opción3
Módulo 3 / Plano cartesiano
Primeroseubicanlosvérticesysedibujaellado.
Luego,sedibujanloscuadradosconeseladoencomún.
Considerandoque(3,3)esunpuntoexterior,lasoluciónes(0,2)y(0,4).
Y
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 X
(2, 2)
(2, 4)
0
Y
5
4
3
2
1
Y
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 X 1 2 3 4 5 X
(2, 2) (2, 2)
(2, 4) (2, 4)
(3, 3)
(0, 4)
(0, 2)
0 0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
Y
A B
D
A A A
D
B
CD
B
CC
B
198
Practica
1.Dadoslosvértices,dibujaelpolígonoqueseformayescribesunombre.Representar
2.Analizacadasituaciónyresponde.Analizar
Representarfigurasenelplanocartesiano
a. Losvérticesson(1,2);(4,2);(3,4)y(2,4).
Elcuadriláteroesun .
b. Losvérticesson(3,5);(4,7);(6,5)y(7,7).
Elcuadriláteroesun .
a. DosdelosvérticesdeunrectángulotienencoordenadasA(1,1)yC(3,5).EscribelascoordenadasByD.
B( , )yD( , )
b. Escribelascoordenadasdetodoslosvérticesdecuadradosquesepuedenformarconlospuntos(5,5)y(5,8).
Ponte a prueba
• Dibujalosejescoordenados.
• UbicaelpuntoB(2,2).
• Conlospuntosanteriores,dibujauncuadradoABCDyescribelascoordenadasdetodossusvértices.
A( , ) C( , )
B( , ) D( , )
A(2,5)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
Y
199
Módulo
Unidad 5 / Geometría
4 Congruencia de figuras geométricasTransformaciones isométricas
• Encierralaopciónincorrecta.
Lamontañasereflejaenellago.
Alrotarsobresuejeimaginario,elplanetaTierracambiadeforma.
Aldesplazarse,elinsectosolamentecambiadelugar.
• Marcaconun laafirmaciónqueserelacionaconlasimágenespresentadas.
Lamontaña,elinsectoylaTierracambiandeforma.
Lamontaña,elinsectoylaTierranocambiandeforma.
Unatransformación isométricaesunmovimientoqueserealizaaunafiguraplana,demaneraqueestamantienesuformaysutamaño.Alafiguraresultantedelatransformaciónisométricaselellamafiguraimagen.
Ejemplos:
Aprende
Observa y responde
E
E’
Figura imagen
Figura imagen
Figura original Figura original
SS’
L
L’
S’
SL’
L
E’
E
200
Practica
Reconocerunatransformaciónisométrica
a.
b.
c.
d.
a. b.
1.Marcaconun lasimágenesqueserelacionanconunatransformaciónisométrica,yconuna ,lasqueno.Justificaencadacaso.Reconocer
Justificación:
2.Acadafiguraseleaplicóunatransformaciónisométrica.Completasobrelafiguraimagenlospuntosseñaladosencadacaso.Analizar
K
T B
L
BE
G
K
G
VU
D
Z
Z’
B’
L’
F
Figura imagenFigura original
Figura original
Figura imagen
básico°
Matemática 5 TOMO ITOMO I
básico°
Matemática 5TOMO ITOMO I
201
Unidad 5 / Geometría
Observa y responde
Traslación
EnelpuntoAdelacuadrículaserepresentaunpajaritocomiendomaíz.
LuegodecomerenA,elpajaritosetrasladaráacomerelmaízubicadoenB.
• Marcaconun silaafirmaciónescorrecta.
Elpajaritosedesplaza2unidadeshaciaabajoyluego7unidadesalaizquierda.
Elpajaritosedesplaza2unidadeshaciaabajoyluego7unidadesaladerecha.
• Encierralaopciónquerepresentalatraslacióndelpajarito.
Opción1 Opción2
Módulo 4 / Congruencia de figuras geométricas
Latraslaciónesunatransformaciónisométricadeunafiguraplanaquedescribemediantesegmentosorientados.Cadasegmentocorrespondeaunmovimientoenlínearectaquetieneunadistanciayuna dirección.
Ejemplo:elpolígonoABCDsetraslada3unidadeshaciaarriba( )y9unidadeshacialaderecha( ).
Aprende
A
A’
B
B’C
C’
D
D’
Figura imagen
Figura original
A
B
A A
B B
Pajarito
Maíz
202
Practica
Aplicar una traslación a figuras planas
1.Trasladacadafigurasegúncadaindicación.Aplicar
2.Completasegúncorresponda.Analizar
3.Trasladalafigurasegúnlaindicaciónpresentada.Aplicar
a. 10unidadeshacialaderechay3unidadeshaciaarriba.
b. 2unidadeshaciaarribay9unidadeshacialaizquierda.
a.
ElpolígonoABCDEsedesplazó1unidadhacia
y unidadesala
izquierda,resultandoelpolígonoA’B’C’D’E’.
b.
ElpolígonoFGHsedesplazó unidades
hacia y unidades
hacialaderecha,resultandoelpolígonoF’G’H’.
a. ¿CuálessonlascoordenadasdelpuntoL’?
L’(6, )
b. ¿CuálessonlascoordenadasdelpuntoN’?
N’( , )
c. Marcaenelplanotodas lascoordenadasde lafiguraimagenydibújala.
B
A
A’
A
C’
C
B’
B
D’
D
E’
E
CA
H
H’
G
G’F
F’
BC
D
Figura imagen
Figura original
Figura original
Figura imagen
O
PQ
L
M
N
Y
X
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
203
Unidad 5 / Geometría
Módulo 4 / Congruencia de figuras geométricas
Observa y responde
Reflexión
LuishadobladounahojadepapelyenunodesusladoshadibujadountriánguloABC.
Conunalfilerperforólosvérticesdeltriángulo.Deestemodo,enelotroladodelpapelquedaronlastresperforacionesy,alunirlas,formóeltriánguloA’B’C’.
Alrepresentarestasituación,setieneque:
• Marcaconun silaafirmaciónescorrecta.
LadistanciamínimaentrelarectaLyelvérticeBesdistintaaladistanciamínimaentreelvérticeB’yestarecta.
LadistanciadelarectaLalvérticeCesigualaladistanciaentreelejeyelvérticeC’.
Lareflexiónrespectodeunarectallamadaeje de simetríaesunatransformaciónisométricatalqueacadapuntoAdelafiguraoriginal,lecorrespondeunpuntoA’delafiguraimagen.Ladistanciadecadaunodeestospuntosalejedesimetríaeslamisma.Estatransformaciónisométricatambiénseconocecomosimetría axial.
Aprende
Ejemplo 1:Reflexióndeunpunto.
Ejemplo 2:Reflexióndeunsegmento.
Ejemplo 3:Reflexióndeunafigura.
M’
M D G
G’
D’Eje desimetría
Eje de simetría
A’
B’
C’
A
B
C
L
B’
C’
A’
B
C
A
E’
D’
G’
C’
C
EDEje desimetría
G
204
Practica
1.Dibujalafiguraimagenalaplicarunareflexiónsegúnelejedesimetría(L)representadoconcolorrojo.Luego,completa.Aplicar
A’( , ) C’( , ) E’( , ) G’( , )
B’( , ) D’( , ) F’( , )
2.Analizalasiguienteinformación.Analizar
Realizaencadafiguraunasimetríacentralrespectoalcentro(O)indicado.
Aplicar una reflexión a figuras planas
Unasimetría centralesunatransformaciónenlacual,acadapuntodeunafiguraseleasociaotropunto,llamadoimagen,quecumplelassiguientescondiciones:
• Elpuntoysuimagenestánaigualdistanciadeunpuntodado,llamadocentro de simetría (O).• Elsegmentoqueuneunpuntoconsuimagencontienealcentrodesimetría.
Ejemplo:
Enlaimagen,eltriánguloA’B’C’eslaimagendeltriánguloABCconrespectoalcentrodesimetríaO.
a. b.
a. b.
A B
O
B’ A’
C’
C
A
A
C B
B O O
C D
EF
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X0
Y8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X0
Y
A E F
G
B
CD
LL
205
Unidad 5 / Geometría
Unarotacióneslatransformacióndecualquierpuntoofiguraenelplanoenotropuntoofigurasegúnuncentro de rotaciónyun ángulo.
Aprende
Observa y responde
Rotación
Cuandolaruedagira:
Elúnicopuntofijoestáenelcentrodelarueda.Eseeselcentroderotación(O).
Todoslosotrospuntosdelaruedacambiandeposición.Además:
–Lossegmentosqueunenelpuntoconelcentroderotación(O)nocambiansulongitud.
–Entreestossegmentosseformaunángulo.
• Paradenotarunarotación,seescribeelpuntofijoderotación(O)yelánguloderotación.Enlailustración,larotacióndelpuntoAseindicamediante(O,45º).
• Encierralaopcióncorrecta.
Opción1 Alrotarcualquierfigura,suformaymedidassiemprecambia.
Opción2 Alrotarcualquierfigura,suformaymedidasnocambia.
Módulo 4 / Congruencia de figuras geométricas
Ejemplo 2: alrealizarunarotacióndecentroOyángulo90°ensentidohorario,laimagendeCesC’.
Ejemplo 1: alrealizarunarotacióndecentroOyángulo90°ensentidoantihorario,laimagendeBesB’.
O A45º
A’
O B
C
sentido antihorario
B’
B’
A’
A
B
C’ O C
sentido horario90º
90º
C’
O
D’ A’
A
D
206
Practica
1.Rotacadaunadelassiguientesfigurassegúnelcentro,elánguloyelsentidoderotacióndados.Aplicar
2.Rotacadafigurasegúnlaindicaciónpresentada.Luego,escribelascoordenadasdesuimagen.Aplicar
O’( , ) F’( , ) X’( , ) Z’( , )
E’( , ) G’( , ) Y’( , ) W’( , )
3.Escribeelcentroyelánguloconlosqueserotólafigura1paraobtenerlafigura2.Analizar
Aplicar una rotación a figuras planas
a. RealizaunarotaciónalafiguradecentroJyángulo90°ensentidoantihorario.
b. RotaelcuadradodecentroPen180°yensentidohorario.
a. (O,90°)ensentidoantihorario. b. (P,180°)ensentidohorario.
a.
Centro: Ángulo:
b.
Centro: Ángulo:
JK
I
O
B C
DB’C’
D’
G’
F’ E’
I
HG
F’
H’E
A
P X
E
YF
Z
G
W
P D A
BC
F’F’
Y Y
X X
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140 0
207
Unidad 5 / Geometría
Observa y responde
Congruencia
Observalasimágenesyluegoresponde.
• MidelossegmentosACyCE.Luego,encierralaopcióncorrecta.
Opción1 Ambossegmentostienenigualmedida.Opción2 Ambossegmentostienendistintamedida.
• Enlaimagencopiaunadelasfigurasdecolorverdeyluegodibújalaencimadelotrocuadrado.Marcaconun laafirmacióncorrecta.
Tienendistintaformaytamaño. Tienenigualformaytamaño.
• Remarcalatransformaciónisométricaqueserelacionaconamboscuadrados.
Módulo 4 / Congruencia de figuras geométricas
Traslación Reflexión Rotación
Dosfigurassoncongruentes(,)siysolosiunafiguraeslaimagendelaotramedianteunatransformación isométrica,esdecir,lasfigurastienenlamisma formaytamaño.
Ejemplo:sobreelcuadriláteroABCDsehaaplicadounarotación(O,180º),resultandoelcuadriláteroEFGH.SepuedeafirmarentoncesqueelcuadriláteroABCDescongruenteconelcuadriláteroEFGH.
Aprende
A
B
F
C
E
D
O A B
D C
H
E F
G
Además,setienelosiguiente:
• AB ,GH
• BC ,HE
• CD ,EF
• DA ,FG
Todossusángulosinteriores tienen igual medida.
Imagen 1
Imagen 2
208
Practica
Comprender el concepto de congruencia
1.Marcaconun silafiguraanaranjadaescongruenteconlafiguradecolorrojo.Reconocer
2.DibujauntriánguloA’B’C’congruenteconeltriánguloABC.Luego,responde.Analizar
a. ¿Quétransformaciónisométricaaplicaste?
b. ¿Quéocurreconlasmedidasdesuslados?
c. ¿Quéocurreconlasmedidasdelosángulosinteriores?
3.ABCDesuncuadrado.TrazalasdiagonalesyllamaOalainterseccióndeellas;luego,responde.Analizar
a. ¿Cuáleslamedidadelánguloseformaconlainterseccióndeambasdiagonales?
b. ¿QuépuedesdecirdelostriángulosAOD,OCD,COByBOA?¿Soncongruentes?Justifica.
a.
b.
c.
d.
A
B C
D
A
A’
B
C
C’
209
Unidad 5 / Geometría
4.EnelplanocartesianosehaubicadoeltrapecioABCD.Refléjaloconrespectoalejedesimetríaquesemuestraconcolorrojo,yluegoresponde.Analizar
a. Escribelasnuevascoordenadasqueseforman.
A’( , )B’( , )C’( , )D’( , )
b. UtilizaunareglaymidelosladosdeltrapecioABCDydelaimagenA’B’C’D’.Paraello,completasegúncorresponda.
• LamedidadelladoABes yladelladoA’B’es .
• LamedidadelladoBCes yladelladoB’C’es .
• LamedidadelladoCDes yladelladoC’D’es .
• LamedidadelladoDAes yladelladoD’A’es .
c. UtilizauntransportadorymidelosángulosinterioresdeltrapecioABCDydelaimagenA’B’C’D’.Luego,completasegúncorresponda.
• LamedidadelánguloDABes yladelánguloD’A’B’es .
• LamedidadelánguloABCes yladelánguloA’B’C’es .
• LamedidadelánguloBCDes yladelánguloB’C’D’es .
• LamedidadelánguloCDAes yladelánguloC’D’A’es .
d. Justificalaafirmación“EltrapecioABCDescongruenteconeltrapecioA’B’C’D’”.
Módulo 4 / Congruencia de figuras geométricas
Conectad@sIngresa a
www.casadelsaber.cl/mat/505y encontrarás una actividad para
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10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
0
B
CD
A
210
Comprender el concepto de congruencia
5. UtilizaelsoftwaregeométricoGeoGebrapararealizarlasiguienteactividad.Luego,responde.Analiza
¿PuedesconcluirqueeltriánguloABCescongruenteconeltriánguloA’B’C’?Justificaturespuesta.
Ponte a prueba
UtilizaelsoftwareGeoGebrapararealizarlosiguiente.Luego,responde.
a. ¿Quétransformaciónisométricaseaplicó?
b. ¿Ambasfigurassoncongruentes?Justifica.
Nota:laaplicaciónGeoGebra(www.geogebra.org)creadaporMarkusHohenwarter,fueincluidaenestetextoconfinesdeenseñanzayatítulomeramenteejemplar.
1°HazclicenymarcaenelplanocartesianolospuntosA(2,1),B(4,1)yC(2,3),quesonlosvérticesdeltriángulo.
3°HazclicenymarcaenelplanolospuntosD(2,4)yE(5,4),quecorrespondenalatraslacióndelas3unidadesquesemoveráeltriángulo.
2° Luego,utilizandoelbotón,marcaeneltriángulocadaunodelosvértices.
4°Hazclicenymarcaunvértice.LuegomarcalospuntosDyE.Elvérticequehasmarcadose“trasladará”;repiteestoconcadavértice.Luego,presionaydibujaeltriánguloA’B’C’.
211
Resolucióndeproblemas
Observa la resolución del siguiente problema
EduardoyAngélicaestánjugandoalanzardardosenuntableroquedibujansobreunplanocartesiano.Cadaunohalanzadotresdardosysuslanzamientossehanrepresentadoenlassiguientescoordenadas:
Dardo 1 2 3
Angélica (5,4) (7,6) (6,7)
Eduardo (5,3) (4,2) (6,2)
¿Quiénobtuvomayorpuntaje?
PASO 1 Explica con tu palabras la pregunta del problema.
Sequieresaberquiéndeellosobtuvomayorpuntaje.
PASO 2 Identifica los datos importantes.
LosparesordenadosquerepresentanlaubicacióndelosdardoslanzadosporAngélicayEduardo.
PASO 3 Calcula y escribe la solución.
Angélica Eduardo
Angélicaobtuvo39+23+23=85puntos. Eduardoobtuvo23+24+23=70puntos.
Porlotanto,Angélicaobtuvomayorpuntuación.
PASO 4 Revisa la solución.
DardoslanzadosporAngélica: DardoslanzadosporEduardo:• (5,4)correspondea39puntos. • (5,3)correspondea24puntos.• (7,6)correspondea23puntos. • (4,2)correspondea23puntos.• (6,7)correspondea23puntos. • (6,2)correspondea23puntos.
Total:85puntos. Total:70puntos.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
Y
40
39
24
23
17
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
Y
40
39
24
23
179
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
Y
40
39
24
23
17
212
Unidad 5
Calcula y escribe la solución.PASO 3
Identifica los datos importantes.PASO 2
Explica con tu palabras la pregunta del problema.PASO 1
PASO 4 Revisa la solución.
Ahora hazlo tú
¿CuálessonlascoordenadasdelasimágenesdelospuntosA,B,C,D,EyF,luegodeaplicarunareflexiónrespectodelejedesimetríadecolorrojo?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X0
Y
B
CF
E
DA
213
Competencias para la vidaLageometríameayudaacomprenderlaarquitecturaantigua
Muchasciudadestienenformaspoligonales,comolafortalezaNeuf-Brisach,queesunpueblofrancésdelaregióndeAlsacia,ubicadoamenosde2,5kmdelafronteraconAlemania.
Responde, según la información entregada.
• ¿Cuáleselnombredelpolígonoocupadoenel“baluarte”?Justifica.
• SienlaimagenquerepresentalaciudaddeNeuf-BrisachsetrazaelsegmentoCI,¿conquétransformaciónisométricasepodríarelacionar?¿CuálesseríanlasimágenesdelospuntosA,ByH?
Responde, según la información entregada.
Competenciamatemática
A
B
C
D
E
F
GI
H
214
El“baluarte”esunaconstruccióngeométrica,generalmentepentagonal,unidaalalíneadelasmurallas,perosalienteconrespectoaella,cuyaprincipalfinalidadfuedefenderlaspuertasdeloscastillosmedievales,queeraelpuntomásdébildeestasconstrucciones.
Reflexiona y comenta.
• ¿EnquéregióndeFranciaseencuentralaciudaddeNeuf-Brisach?
• ¿Conquéfigurageométricarelacionasel“baluarte”?
• ¿Quérelacióncreesqueexisteentrelageometríaylaarquitecturaactual?
• Nombradiferentesconstruccionesconformapoligonalqueconozcas.
Reflexiona y comenta.
Competenciaculturalyartística
A
B
C
D
E
F
H
I
J
G
215
EstrategiasparaprepararelSimce MR
SimceesmarcaregistradadelMinisteriodeEducación.
C DE
G
BA B
C DE
G180º
BA B
216
Análisis de las aternativas
Analiza cómo responder una pregunta de selección múltiple
Porlotanto,laalternativaBeslacorrecta. 1. A DB C
A.LostriángulossoncongruentesporunarotacióndecentroGyángulo de 180°,node90°.
B. SiseconsideraEFcomoejedesimetría,alaplicar la transformación isométricacorrespondientea lareflexión,elpuntoCtienecomoimagenD,yelpuntoAtienecomoimagenB.
C.LadiagonaldelcuadriláteroAFECcorrespondealsegmentoAE,representadoconcolorazulenlafigura.
D.LatransformaciónqueimplicalacongruenciadelostriángulosCDByBACcorrespondeaunarotacióndecentroGyángulo180°,noalareflexiónconelejedesimetríaCB.
C DE
G
FA B
C DE
G
FA B
C DE
FA B
G
C DE
FA B
G
180º
1. Respectodelasiguientefigura,¿cuáldelassiguientesafirmacionesesverdadera?
A.EltriánguloEDGescongruenteconeltriánguloFGAporlarotaciónenelcentroGyelángulode90°ensentidohorario.
B. UnodelosejesdesimetríaqueseidentificanenlafiguracorrespondeaEF .
C.LadiagonaldelcuadriláteroAFECcorrespondealsegmentoAG.
D.EltriánguloCDBescongruenteconeltriánguloBACporunareflexiónconejedesimetríaCB.
216
¿Quéaprendiste? Evaluación final
Unidad 5
puntos
4
puntos
4
puntos
4
1.Dadalafigura,completaconlossímbolos=y//.
2.Leeymarcaconun elcasillerocorrespondiente.
Todos sus lados son de igual medida
Solo sus lados opuestos son
de igual medida
Todos sus ángulos interiores
son rectos
Ninguno de sus ángulos interiores
es recto
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
3.Observaelsiguienteprismarecto.Luego,responde.
a. ¿Conquépolígonorelacionaslascaraslateralesybasales?
Carasbasales Caraslaterales
b. ¿Cuántasaristasyvérticestieneelprismarecto?
Cantidaddearistas Cantidaddevértices
c. Escribetodaslascarasparalelasdelpoliedro.
d. Escribetodaslascarasperpendicularesdelpoliedro.
a. DB HG
b. EA BA
c. CG EA
d. FB JI
e. EJ DB
f. JI KL
g. HC CG
h. IB JF
F D
A B
C
E
A F
H
K
J
L
I
D
B
C
GE
217
¿Qué aprendiste?
218
puntos
4
puntos
6
puntos
4
4.Realizaenelplanolastransformacionespedidas.
5.Utilizandolassiguientespiezasderompecabezas,armaunrectánguloydibújaloenlacuadrícula.Luego,transformaelrectánguloenunromboideyelromboideenuntrapeciomoviendounsolotriángulo.
6.¿QuéfiguraescongruenteconeltrapecioABCD?Justificaturespuestaconunatransformaciónisométrica.
a. Dibujalafiguraimagendelafigura1luegodeaplicarunareflexiónrespectodelejedesimetríadado.
b. Dibujalafiguraimagendelafigura2luegodeaplicarunarotacióndecentroByángulode90ºensentidohorario.
Rectángulo Romboide Trapecio
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X0
Y
A
E
X
B
F
YC
G
Z
D
H
W
B
Figura 1 Figura 2
B
Y YY
X X
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130 0
218
Unidad 5
Marca con una X la alternativa correcta.
Observalasiguientefigurayluegorespondelaspreguntas7y8.
7. ¿Quéafirmaciónesverdadera?
A.WZ //ZY
B. ZW //XY
C. YZ =ZW
D. ZY =XY
8. ¿CómoseclasificaelcuadriláteroWXYZ?
A.Cuadrado.
B. Rectángulo.
C.Trapecio.
D.Trapezoide.
9. RespectodelparalelepípedorectoKLMNOPQR,¿cuálde lassiguientescarasnoesperpendicularaPLMQ?
A.ORNK
B. OPLK
C.MNKL
D.QPOR
10. Enlaimagensemarcarondosplanosdecolorrojo.¿Cuáleslaposiciónrelativaentreellos?
A.Sonparalelos.
B. Sonperpendiculares.
C.Soloseintersectan.
D.Noseintersectan.
puntos
4Z Y
XW
K L
R
P
Q
O
N M
219
¿Qué aprendiste?
220
puntos
4
11. ¿CuálessonlascoordenadasdelpuntoX?
A.(4,2)
B. (2,4)
C. (1,4)
D. (4,1)
12. Sisobreelplanocartesianosedibujóuncuadriláterocuyosvérticesson(3,0);(5,2);(1,2)y(3,4),¿quétipodecuadriláteroes?
A.Rombo.
B. Romboide.
C.Cuadrado.
D.Rectángulo.
13. ¿Cuáldelassiguientesafirmacionesesverdadera,segúnlossegmentosmostradosenelplanocartesiano?
A.Alrotaren90ºelsegmentoEF,conrespectoalpuntoE,seobtieneelsegmentoIH.
B. AltrasladarelpuntoEdosunidadesaladerechaydosunidadeshaciaarribaseobtieneelpuntoI.
C.AltrasladarelpuntoFtresunidadesaladerechayunaunidadhaciaarribaseobtieneelpuntoH.
D.Alrotaren180ºelsegmentoHI,conrespectoalpuntoH,seobtieneelsegmentoEF.
14. Sofíautilizósolounatransformaciónisométricaparamostrarquelafigura1escongruenteconlafigura2.¿Quétransformaciónisométricaaplicó?
A.Rotación.
B. Traslación.
C.Reflexión.
D.Noaplicóunatransformaciónisométrica.
Figura 1 Figura 2
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 X0
X
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
F
E
H
I
Y
Y
220
Unidad 5
puntos
4
15. SiABCDesunrectángulo,¿quéparesdetriángulosnosoncongruentes?
A.LostriángulosDOAyOCB.
B. LostriángulosABCyADC.
C.LostriángulosBCOyAOB.
D.LostriángulosCODyBOA.
16. Silasfigurasdecolorazulyrojosoncongruentes,¿quéafirmaciónesfalsa?
A.LaimagendelpuntoUeselpuntoE.
B. LaimagendelpuntoTeselpuntoF.
C. LaimagendelladoTUcorrespondealladoFG.
D. LaimagendelladoWVcorrespondealladoGH.
17. Alaplicarunatraslación,S’yR’sonlasimágenesdelospuntosSyRrespectivamente.SieltriánguloQRSescongruenteconQ’R’S’,¿cuálessonlascoordenadasdeQ’?
A.(9,2)
B. (9,3)
C. (5,2)
D. (5,3)
18. Respectodelafigura,¿cuáldelassiguientesafirmacionesesfalsa?
A.ElcuadradoABCDescongruenteconelcuadradoEFGHporlareflexióndeejeIJ.
B. EltriánguloCBKescongruenteconeltriánguloEKHporlarotacióndecentroKyángulo90°ensentidohorario.
C.ElsegmentoDCescongruenteconelsegmentoEFporlarotacióndecentroJyángulo180°.
D.ElsegmentoEFescongruenteconelsegmentoHG.
BuscaPreparalaprueba5
D C
O
A
T
F
W
G
V
H
U
E
B
Q
R R’
S S’5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X0
Y
D FC
B
EJ
HI
K
A G
221
Unidad 6
En esta unidad aprenderás a:• Medirlalongitudconunidadesestandarizadas.
• Realizartransformacionesentreunidadesdemedidasdelongitud.
• Calcularelperímetrodefigurasgeométricas.
• Calculareláreaderectángulos.
• Representarydiseñardiferentesrectángulos,apartirdelasuperficiey/operímetro.
• Calculareláreadetriángulos,paralelógramosytrapecios,ocupandoconteodecuadrículas,lacomparaciónconeláreaderectángulosylacompletacióndefigurasportraslación.
• ManifestarinterésycuriosidadporelaprendizajedelaMatemática.
MediciónChile sudamericano tiene una forma única: es el país más largo del mundo, con 4.337 kilómetros de longitud y una superficiede 755.776 km2.El océano Pacífico baña sus costas en una extensión de más de 83.850 kilómetros.
Información importante de nuestro país
Ancho mínimo
Elanchomínimoesde90km,yseubicafrenteaIllapel.
Ancho máximo
Elanchomáximoesde360km,yseubicafrenteaMejillones.
A3.700kmdelcontinenteseubicaIsladePascua.
Fuente:IGM,2010.
222
¿Quésabes? Evaluación inicial
Considerando la información anterior, responde.
1.EltiempoaproximadoquedemoraunaviónenrecorrerladistanciaentreAricayPuntaArenasesde5horasy30minutos.¿Cuántosminutosdemoraenrecorrerdichadistancia?(Recuerdaque1horacorrespondea60minutos)
2.Marcaconun silaafirmaciónescorrecta.Encasocontrario,marcaconuna .
a. LadistanciadesdeIsladePascuaalcontinenteseencuentraexpresadaenkilómetros.
b. LadistanciaentrelaIsladePascuayChileesmenoralalongituddeChile.
c. Elanchomáximopuedeserexpresadoenmetros.
d. ElocéanoPacíficobañalascostasdeChileenunaextensióndemásde83.850m.
3.Considerandoque1.000.000m2equivalena1km2,¿quéprocedimientopodríasutilizarparaexpresarla
superficiedeChileenm2?Explica.
4.¿Porquélaunidaddemedidaenlaqueseexpresóel“anchomínimo”fueelkilómetroynoelmetro?Justificaturespuesta.
223
Módulo
Unidad 6 / Medición
Aprende
1 Unidades de longitud y superficieMedidas de longitud
Midelossegmentosquesemuestranyluegoresponde.
• Completaconlamedidaquecorrespondeacadaunodelossegmentos.
Segmentoa cmSegmentob cmSegmentoc cm
• Encierraelsegmentocuyamedidaencentímetroscorrespondeaunnúmerodecimal.
Segmentoa. Segmentob. Segmentoc.
• Marcaconun silaafirmaciónescorrecta.Encasocontrario,marcaconuna .
Elsegmentobmidelacuartapartedelsegmentoa.
Elsegmentocmidelacuartapartedelsegmentob.
Observa y responde
• Elmetro(m)eslaunidadbásicademedidadelongitudutilizadaenelSistemaInternacionaldeUnidades.
• Algunasequivalenciasenlasunidadesdelongitudson:
Kilómetro(km)=1.000m
Hectómetro(hm)=100m
Decámetro(dam)=10m
Decímetro(dm)=0,1m
Centímetro(cm)=0,01m
Milímetro(mm)=0,001m
Ejemplo: unestudiantemide1my50cm,quetambiénsepuederepresentarcomo1,5m.
c
b
a
puede representar 1,5
224
Practica
Conocer diferentes unidades de medida de longitud
1.Mideconunareglaellargoyelanchodelassiguientesfiguras.Luego,responde.Analizar
• Simidesestosmismosobjetosreales,¿seasemejanestasmedidasalasobtenidasenlaactividad?Justifica.
2.Resuelvelossiguientesproblemas.Analizar
a. Paracalcularladistanciaentrediferentesciudades,¿quéunidaddemedidaocuparías?Justifica.
b. SimideselanchoyelaltodelcuadernodeMatemática,¿quéunidaddemedidaeslamásapropiada:elmetro,elcentímetrooelmilímetro?Justificaturespuesta.
c. TutextoescolardeMatemática,¿tienesololargoyancho?,¿ofaltaalgunamedida?Coméntalocontuscompañerasycompañeros.
a.
Largo: cm
Ancho: cm
b.
Largo: mm
Ancho: mm
c.
Largo: cm
Ancho: cm
Un metro es la medida aproximada de un cuarto de meridiano terrestre dividido en 10 millones de partes iguales.
¿Sabías que...?
c.b.
Largo
Ancho
Largo
AnchoAncho
una regla el largo y
Largo:
Ancho
Largo
225
Unidad 6 / Medición
Módulo 1 / Unidades de longitud y superficie
Paraconvertir unidades de longitudsetomacomoreferenciaelmetro (m).Lasunidadesmáspequeñasqueelmetroseobtienenaldividirloen10partesiguales(omúltiplosde10);ylasunidadesmayoresqueelmetroseobtienenalmultiplicarlopormúltiplosde10.Estoseresumeenelsiguienteesquema:
Aprende
Conversión entre unidades de longitud
Antofagastaseencuentraaproximadamentea700kilómetrosdeArica.SiSandraestáenAricayrecorre1.000metrosparallegaralaeropuertoytomarelvueloquelallevaráaAntofagasta,¿cuántosmetrosrecorreentreestetrayectoysuvueloaArica?
• Hayunidadesdelongitudcuyovalores:10,100o1.000vecesmásqueelmetro.Larelaciónquecorrespondeaestecasoes:
• Considerandoloanterior,encierralarelacióncorrecta.
700km=7.000m 700km=70.000m 700km=700.000m
• Marcaconun laafirmaciónquerespondelapreguntaplanteada.
Sandrarecorre710.000m. Sandrarecorre701.000m. Sandrarecorre700.001m.
Lee y responde
Ejemplos:
• 8km=8.000m,yaque8•1.000m=8.000m.
• 25dam=250m,yaque25•10m=250m.
• 9.300m=9,3km,yaque9.300m:1.000=9,3km.
• 250m=25dam,yaque250m:10=25dam.
km hm dam m dm cm mm
•10
:10
•10
:10
•10
:10
•10
:10
•10
:10
•10
:10
Parapasardeunaunidadaotramenor,semultiplica.
Parapasardeunaunidadaotramayor,sedivide.
1kilómetro(km)=1.000metros(m)
226
Relacionar las unidades de longitud
1. Completacon laoperaciónquesedeberealizaryelvalorporelquesemultiplicaodividepararealizar lasconversionesentreunidadesdelongitud.Observaelejemplo.Analizar
Dedamacmmultiplicopor1.000.
a. Decmam por .
b. Dekmadm por .
c. Dekmam por .
d. Demmahm por .
2. Expresaenmetroslalongituddecadatramo.Luego,encierralamenordistanciaobtenida.Aplicar
3. Leelassiguientessituacionesyresponde.Analizar
4. Explicaquéestrategiaocuparíasparaexpresar7,52menmilímetrosyenkilómetros.Coméntalocontuscompañeros.Analizar
Practica
a. Delapartidaalatienda.
b. Delatiendaalrestorán.
c. Delrestoránalacasa.
d. Dalacasaaledificio.
a. Lalongituddeunapistadeatletismoesde400m.¿Cuántasvueltascompletassedanalapistaenunacarrerade10km?
b. ElañopasadoLorenamedía1,58myesteañomide1,65m.¿CuántoscentímetroshacrecidoLorenaenelúltimoaño?
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PARTIDA
4kmy2dam 2kmy4dam 6damy7km 4hmy6dam
Tienda
Restorán
Casa
Edificio
227
Unidad 6 / Medición
Módulo 1 / Unidades de longitud y superficie
Aprende
Observa y responde
Unidades de superficie
• Marcaconun laafirmacióncorrecta.
ElcerroSantaLucíatieneunasuperficiemenorqueelParqueForestal.
ElParqueForestaltieneunasuperficiemayorque180.000m2.
ElcerroSantaLucíatieneunasuperficiede
65.300metroscuadrados(m2).
ElParqueForestaldeSantiagotieneunasuperficie
de171.910metroscuadrados(m2).
Fuente:http://www.municipalidaddesantiago.cl
• Elmetro cuadrado(m2)eslaunidadbásicadelasmedidasdesuperficieutilizadoenelSistemaInternacionaldeUnidades.
• Sunombreseobtienedeuncuadradocuyosladosmidenunmetrocadauno.
Ejemplos:
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
•100
:100
•100
:100
•100
:100
•100
:100
•100
:100
•100
:100
Parapasardeunaunidadaotramenor,semultiplica.
Parapasardeunaunidadaotramayor,sedivide.
• 1kilómetrocuadrado(km2)equivalea1.000.000m2.
• 1hectómetrocuadrado(hm2)equivalea10.000m2.
• 1decámetrocuadrado(dam2)equivalea100m2.
• 1decímetrocuadrado(dm2)equivalea0,01m2.
• 1centímetrocuadrado(cm2)equivalea0,0001m2.
• 1milímetrocuadrado(mm2)equivalea0,000001m2.
228
Practica
Conocer las unidades de superficie
1.Remarcalaunidadmásapropiadaparamedirlassiguientessuperficies.Justificaturespuesta.Identificar
2.Encierraconcolorrojolamedidaquerepresentaunasuperficiemayoryconcolorverdelaquerepresentaunasuperficiemenor. Analizar
a. b.
Justificación: Justificación:
cm2 mm2
m2 m2
km2 dam2
a. b. c.
51.000cm2
4,9hm2
5.200dm2
0,5km2
9dam2
9m2
9km2
9hm2
800km2
3.000hm2
650mm2
30m2
Ponte a pruebaJuannecesitacubrirunaparedde18m2conpapelmuralyrecibeofertasdedoscasascomerciales,talcomosepresenta.
¿Cuáldelasdosofertasesmáseconómica,segúnlasnecesidadesdeJuan?Explica.
Dimensiones: 50 cm x 150 cm Dimensiones: 1 m x 3 m
229
Módulo
Unidad 6 / Medición
Elperímetro(P)deunafigurageométricacorrespondealamedidadelalongituddesucontorno.
2Perímetro de figuras geométricas
Daniel,Andrés,CarlayVerónicaformanconcuatrocuerdasungrancuadradode10mdelado.¿Cuántosmetrosdecuerdanecesitaronparaformarelcuadrado?
• Encierralaopcióncorrecta.
Opción1 Losladosdelcuadradotienendistintalongitud.
Opción2 Losladosdelcuadradotieneniguallongitud.
• Completalasiguienteafirmaciónconlaspalabras:cuadradoosumar,segúncorresponda:
Paracalcularlosmetrosdecuerdaqueformanel sedeben todaslaslongitudesdelacuerdaqueloconforman.
• Marcaconun laafirmaciónquemuestrelarespuestaalproblema.
Senecesitan20mdecuerda. Senecesitan40mdecuerda.
Aprende
Observa y responde
Perímetro y área de rectángulos
Ejemplo 1:
• Calcularelperímetrodelrectángulo.
Loslados“opuestos”tieneniguallongitud.Porlotanto,setieneque:
P=(3+3+2+2)cm=10cm
Ejemplo 2:
• Sielperímetrodeunrectánguloes20cmyunodesusladoses3cm,¿cuáleslamedidadelotrolado?
Alrepresentarloanteriorsetiene:
Losotrosladosdebensumar14cmydebentener
iguallongitud,esdecir,cadaladomide7cm.
un
longitud.
cuadrado o sumar según corresponda:
3 cm
2 cm2 cm
2 cm
3 cm
3 cm
3 cm3 cm
3 cm3 cm
7 cm
7 cm
230
Practica
Calcular el perímetro de figuras geométricas
1.Calculaelperímetro(P)delossiguientescuadriláteros.Aplicar
2.Calculalamedidadelladoquefalta,segúncadacondición.Analizar
3.Resuelvelossiguientesproblemas.Analizar
a. Ungranjeroponeunarejaalrededordeunterrenoquetieneformarectangular.Siellargodelterrenoesde350mysuanchomidelamitaddellargo,¿cuántosmetrosderejaocuparáelgranjero?
b. Conlacondicióndequelamedidadelosladosdeunrectángulosolosepuedanrepresentarconnúmerosnaturales,¿cuántosrectángulosdeperímetroiguala16cmexisten?Escribesusmedidas.
a. b. c.
a. b. c.
P= cm P= m P= km
3 cm 3 cm 3 m 3 m 2 km 2 km
2 km
2 km
4 cm
2 cm 10 m
10 m
MedidadeAB m MedidadeHE cm MedidadeKL dm
Perímetro:56m Perímetro:20cm Perímetro:30dm
3 cm 5 dm
12 dm
8 m 8 m
4 cm
8 cm
D C H G
FE J K
L
BA
231
Unidad 6 / Medición
Módulo 2 / Perímetro y área de rectángulos
Elárea(A)deunafiguracorrespondeala
medidadelasuperficiequeocupa.Paramedir
lassuperficiesdefigurasplanassepueden
utilizarunidadesdemedidacomo:elcentímetro
cuadrado(cm2),eldecímetrocuadrado(dm2),el
metrocuadrado(m2),entreotras.
Elárea de un rectángulocorrespondealproductoentrelasmedidasdedosladosconsecutivos.
Aprende
Observa y responde
Área de un rectángulo
ElpisodelashabitacionesdeCamilaySebastiántieneformarectangular.Ambosquierenremodelarelpisoyparaellorealizarondiferentestrazadosenelsuelo,considerandocomomedidadeseparación1metro.
HabitacióndeCamila HabitacióndeSebastián
• ¿Quiénrealizaunacantidadmayordetrazados?
• Escribelasmedidasdellargoydelanchodelashabitacionesdecadauno.
Camila Largo Ancho
Sebastián Largo Ancho
• ¿Cuántoscuadradosdelado1mseformanenambashabitaciones?
Camila Sebastián
Ejemplo: alcalculareláreadelrectánguloEFGHsetieneque:
A=7cm•4cm=28cm2
1 m
1 m
1 m
1 m
G
F
H
E
4 cm
7 cm
232
1.Calculaeláreadecadafigura,considerandoque1 tieneunasuperficieiguala1cm2.Aplicar
2.Completasegúncorresponda.Aplicar
a.
b.
3.Resuelvelossiguientesproblemas.Analizar
Calcular el área en diferentes rectángulos
Practica
Rectángulo Expresión numérica de cáculo de área Área
a. Ellargodeunrectánguloesiguala10cm.Sisu
superficiemide50cm2,¿cuáleslamedidade
longituddelancho?
b. Considerandoquelosladosdeunrectánguloson
solonúmerosnaturales,¿cuántosrectángulosde
superficiequemiden15cm2sepuedenformar?
Escribelasmedidas.
3 cm
7 cm
4 m
15 m
a. b. c. d.
Área= cm2 Área= cm2 Área= cm2 Área= cm2
233
Unidad 6 / Medición
Observa y responde
Representación de rectángulos
Carloscompróunalambrede300mparacercarunterrenorectangularcuyaáreaesde5.000m2.Acontinuación,semuestran3opcionesquepuedenrepresentarelterrenodeCarlos.
Opción 1 Opción 2 Opción 3
• Marcaconun laafirmacióncorrecta.
Eláreadetodaslasopcionesesdistintade5.000m2. Eláreadetodaslasopcionesesiguala5.000m2.
• Calculaelperímetroencadacaso.
Opción1 mOpción2 mOpción3 m
• ¿CuálopciónrepresentaelterrenodeCarlos?Justificaturespuesta.
Módulo 2 / Perímetro y área de rectángulos
20 m
50 m250 m
100 m40 m
125 m
Aprende
Pararepresentar diferentes rectángulossedebetenerpresentelosiguiente:
• Enelcasoderectánguloscuyasmedidasdelosladosserepresentanconnúmerosnaturalesyseconozcaelárea.
Ejemplo: sieláreaesiguala10cm2,sebuscantodoslosdivisoresde10,esdecir,1y10,2y5.Entotalsetienen2rectángulos.
• Enelcasoderectángulosdistintosydeigualperímetro,sedebenencontrar2númerosdemaneraquelasumasealamitaddelperímetro.
Ejemplo: sielperímetroes10cm,losrectánguloscuyasmedidasdelosladosseannúmerosnaturalesson:
5 cm
2 cm
3 cm
2 cm
1 cm10 cm
1 cm4 cm
234
Practica
Representar las medidas de diferentes rectángulos
1.Representalassituacionesenlascuadrículas.Consideraquecadacuadradotieneunasuperficieiguala1cm2.Aplicar
a. 2rectángulosdiferentesquetenganáreaiguala8cm2.
b. 1rectángulocuyoperímetroseade18cmycuyolargoseaeldobledelancho.
2.Resuelveelsiguienteproblema.Analizar
Sielperímetrodeunrectánguloesiguala14cmysuáreaes10cm2,¿cuálessonlasmedidasdesulargoysuancho?
Largo cmAncho cm
Ponte a pruebaLee la siguiente situación. Luego, responde.
Sequiereremodelarlacanchadeunestadioyparaellosedebencomprarpastelonesdepastode300cmdelargoy200cmdeancho.
• ¿Cuántospastelonesdepastoseutilizaránparacubrirlacancha?
• ¿Enquédisposiciónsedebenponerlospastelonesdemododenocortarninguno?Explica.
ello se deben comprar pastelones de pasto de
cubrir la cancha?
de modo
60 m
100 m
235
¿Cómovas?
puntos
3
puntos
3
puntos
4
Medidas de longitud
1.Leelasiguienteinformaciónyluegoresponde.
•LagranjadeAnitamide35hmdelargo.•EllargodelagranjadeNataliamide5hmmásquelagranjadeAnita.•EllargodelagranjadeNormamide2hmmenosqueellargodelagranjadeNatalia.•Lagranjaquetiene40hmseocupaprincipalmenteparalaganadería.
a. ¿CuántoshectómetrosmideellargodelagranjadeNatalia?
b. ¿CuántomideellargodelagranjadeNorma?
c. ¿ParaquéseocupalagranjadeNatalia?
Conversión entre unidades de longitud
2.Resuelveelsiguienteproblema.
EnunacompetenciaJuanrecorrió1.500m,Ana15.000damyRodolfo1.500.000cm.Escribedemenoramayorlasdistanciasrecorridasporcadauno.
Unidades de superficie
3.Remarcalaunidadmásapropiadaparamedirlassiguientessuperficies.Justificaturespuesta.
a.
Justificación:
b.
Justificación:
cm2 m2 km2
m2 hm2 km2Pisodelmuseo
236
Unidad 6
Evaluación intermedia
puntos
4
puntos
4
puntos
3
Perímetro de figuras geométricas
4.Resuelvelossiguientesproblemas.
a. Elperímetrodeunrectángulomide 100cmysuanchoesde23cm.¿Cuáleslamedidadellargodelrectángulo?
b. Sielanchodeunrectánguloes20mysulargoestresvecessuancho,¿cuáleslamedidadelperímetro?
Área del rectángulo
5.EscribeVsilaafirmaciónesverdaderaoF,siesfalsa.Justificaencadacaso.
a. Sielanchodeunrectángulomide5cmysuáreaes15cm2,ellargomide10cm.
Justificación:
b. Eláreadeunrectángulocuyosladosmiden8my3mes24m2.
Justificación:
Representación de rectángulos
6.Leelosiguienteyluegoresponde.
Enelsiguientecuadriculado,cada tieneunasuperficiequemide1cm2.Eláreadel
rectánguloABCDes6cm2.
¿Quésepuedededucirconrespectoaláreayelperímetrodelosrectángulosdibujados?Explica.
A D
B C
N
M
O
P I
J
L
K
237
Módulo
Unidad 6 / Medición
Área de triángulos ocupando cuadrículas
EnlacuadrículasehadibujadoeltriánguloCDE.
• Completasegúncorresponda.
MedidadelladoCD =
MedidadelladoEC =
• EnlacuadrículasehanremarcadoconcolorrojolossegmentosqueformanelcuadriláteroCDHE.¿Conquéfigurageométricaserelaciona?,¿cuálessuárea?
• Apartirdeloanterior,¿cómocalcularíaseláreadeltriánguloCDE?
Paracalcularelárea(A)decualquier triángulo,estasepuederelacionarconlamitaddeláreadelrectánguloquelocontieneoenmarcausandocualquierladocomobase.
Ejemplo: enlacuadrículasedibujaeltriánguloABC,dondecada tiene1cmdelado.
Enestecaso,eláreadelrectánguloABDEes12cm2;luego,eláreadeltriánguloABCcorrespondealamitad
deestamedida,esdecir,6cm2.
Aprende
Observa y responde
3 Área de figuras geométricas
1 cm
1 cmE
C D
E
C D
H
Figurageométrica
Área=
A B
C
3 cm
4 cm
A
E C
B
D
238
Practica
Calcular el área de triángulos ocupando cuadrículas
a. b. c.
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X0
Y
1.Considerandoquecadaladodel mide10cm,calculaeláreadecadatriángulo.Aplicar
2.Observaelsiguienterectángulo.Luego,calculaeláreadecadatriángulo.Analizar
3.Analizalosiguienteyluegoresponde.Consideraquecadaladodel es1cm. Analizar
a. b.
1 cm
1 cm
1 cm
1 cmC C
D
B
1 cm
1 cmC
D
B
A A A
A
BC
AD E
B
C F J I
H
a. Calculaelárea,segúncorresponda.
FiguraA cm2
FiguraB cm2
FiguraC cm2
b. SilafiguraBsetraslada3unidadeshaciaabajoylafiguraCsetraslada4unidadeshaciaabajoy5unidadeshacialaizquierda,¿cuáleseláreadecadafiguraimagen?
239
Unidad 6 / Medición
Paracalcularelárea de un triángulodebestenerpresentelosiguiente:
Base:b
Altura:hcorrespondealsegmentoperpendicularquevadesdeelvérticesuperiorhastalabase.
Eláreadeltriángulosepuedecalcularmediantelaexpresión:
ÁreadeltriánguloDEF=b h2:
Módulo 3 / Área de figuras geométricas
Aprende
Área de triángulos
ConsiderandolarepresentaciónenlacuadrículadeltriánguloABC,dibujaconcolorrojoelrectánguloABDEquesepuedeformar,demaneraqueelpuntoCpertenezcaaDE .
Utilizandounaregla,completalosiguiente:
• ¿CuáleseláreadelrectánguloABDE?
• ¿CuáleseláreadeltriánguloABC?
• DesignacomohlaimagenqueresultaaltrasladarelladoBDdelrectángulo,conlacondicióndequehintersecteelvérticeCyelladoABdeformaperpendicular.¿Cuáleslamedidadeh?
cm.
• Siserepresentaporm(AB) la medida del segmento AByporm(h) la medida del segmento h,marcaconun laexpresiónquepermitecalculareláreadeltriánguloABC.
( ) ( )m AB m h
2:
( ) : ( )m AB m h
2
( ) ( )m AB m h2+
Lee y responde
Ejemplo: eneltriánguloACBsetiene:
h=5cm
b=4cm
EláreadeltriánguloACBsecalculacomo:
24 5:
cm2=2
20cm2=10cm2
A B
C
D E
F
A C
B
b
4 cm
5 cm
h
240
Practica
1.Mideconunareglalabaseylaalturadecadatriángulo.Luego,calculasuárea(A).Aplicar
2.Calculaelárea(A)delossiguientestriángulos.Aplicar
3.Apartirdelassiguientesfiguras,completaconlamedidaquefalta.Analizar
4.Observalassiguientesfigurasyresponde.Analizar
Calcular el área de triángulos
a. b. c.
a. b. c.
a. b. c.
¿Quétriángulodibujadotieneunáreamayor?Justificaturespuesta.
9 cm
DE
F
A B
C
h
P L
M
h
A B
E D C
A=16cm2
h=
A=14mm2
m(DE)=
A=40m2
h=
8 cm
8 cm
25 cm
10 m
4 cm8 cm
8 cm
13 cm
A= A= A=
A= A= A=
3,5 cm
4 mm
241
Unidad 6 / Medición
Paracalcularelárea(A)derombosoderomboides,estossepuedendescomponerendistintostriángulosorectángulos.Luego,secalculaeláreadecadafigurageométricaquecomponeelromboyelromboideysesumandichasmedidas.Tambiénsepuedencalcularsusáreasaplicandoalgunatransformación isométrica.
Ejemplo:
Aprende
Observa y responde
Área de un rombo y de un romboide en cuadrículas
Parahermosearunjardín,sesembrarándiferentessemillasdefloresdemaneraquelasuperficiesembradatengaunaformaqueseasemejeaunrombo.Siserepresentaenunacuadrículadondecadacuadradotieneunladode10cm,setieneque:
• Comosepuedeobservar,seforman4triángulosrectángulos.Encierralaopciónquecorrespondealáreadecadaunodeestostriángulos.
15cm2 1.500cm2 15.000cm2
• Marcaconun laafirmaciónquecorrespondaaláreaqueeljardinerosembrará.
Sembrará6.000cm2. Sembrará60.000cm2.
Módulo 3 / Área de figuras geométricas
3 cm 3 cm3 cm
6 cm 6 cm 6 cm
El área del romboide es18 cm2.
El triángulo se traslada. Utilizando el conteo de cuadrículas.
tiene que:
puede observar, se forman 4 triángulos rectángulos.
Orquídeas
Lirios
Rosas
Claveles
10 cm
10 cm
242
Calcular el área de rombos y de romboides utilizando diferentes estrategias
1.Calculaeláreadelassiguientesfigurasgeométricas.Consideracada conunaáreade1cm2.Aplicar
2.Observalasiguientefigura.Luego,responde.Analizar
Practica
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Área cm2 Área cm2 Área cm2
Área cm2 Área cm2 Área cm2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X0
Y
A
C
D
B
1 cm
1 cm
a. ¿CuáleseláreadelcuadriláteroD?
b. SilostriángulosAyBsetrasladan3unidadesaladerecha,¿cuáleslamedidadelasuperficiedelcuadriláteroqueforman?
243
Unidad 6 / Medición
Módulo 3 / Área de figuras geométricas
Paracalcularelárea de un rombo ode unromboidedebesconsiderarlosiguiente:
Aprende
Observa y responde
Área de rombos y de romboides
EnclasesdeMatemática,laprofesoraproyectalassiguientesimágenes,dondecada tiene1cmdelado.
• Completalaafirmaciónconlaspalabras.
trasladatriángulo
Enlaimagen2sedestacaun ,quese 6unidadesaladerecha,
loqueserepresentaenlaimagen3.
• Marcaconun elnombredelafigurageométricarepresentadaenlaimagen3.
Rombo Romboide
• Eláreadelafiguraenlaimagen3es cm2.
Área de rombo:correspondealproductoentrelasmedidasdesusdiagonales.
Rombod:diagonalmenor
D:diagonalmayor
Ejemplo:A=
D d2:
A=cm cm
27 4:
A=14cm2
Área del romboide:correspondealproductoentrelamedidadesualturahylamedidadesubaseb.
Romboideh:altura
b:base
Ejemplo:A=b•h
A=6cm•5cm
A=30cm2
Imagen1 Imagen2 Imagen3
d = 4 cm D = 7 cm
h = 5 cm
b = 6 cm
dh
D
b
244
Practica
Calcular el área de rombos y de romboides
1.Calculaeláreadelossiguientescuadriláteros.Aplicar
2.Resuelveelsiguienteproblema.Analizar
Silabasedeunromboidemide20cmylamedidadesusuperficiees100cm2,¿cuáleslamedidadesualtura?
3.Analizaelsiguienteproblemayluegoresponde.Analizar
a. Antesderesponderlapregunta,¿quéesloprimeroquedebescalcular?
b. Respondelapreguntaycomparteturespuestaconlasdetuscompañerasycompañeros.
m(AB)=20cm
¿Cuáleslamedidadelasuperficiequesepuedecubrircon8deestosparalelógramos?
A
D C
B
12 cm
A
D C
B
11 cm
A
a. b.H
m(EG)=15mym(FH)=10m
F
GEEducando en valoresEl trabajo en equipo nos permite comprender el punto de vista de otros y desarrollar estrategias en común para resolver un problema.
20 cm
245
Unidad 6 / Medición
Paracalcularelárea de untrapecio,puedesdescomponerlafiguraenrectángulosytriángulos,paraluegocalculareláreadeestasysumarlas.
Aprende
Observa y responde
Área de trapecios ocupando cuadrículas
Enlacuadrícula,sedibujóeltriánguloABC,elrectánguloDEFGyeltrapecioHIJK.
• Completalaafirmaciónconlassiguientespalabras.
derecha trasladarse congruente
Paraobtenerunafigura coneltrapecio,eltriángulodebe
9unidadesala .
• Calculaelárea,segúnlosdatosyaentregados.
TriánguloABC RectánguloDEFG
• Marcaconun laafirmacióncorrecta.
Eláreadeltrapecioes20cm2. Eláreadeltrapecioes21cm2.
Módulo 3 / Área de figuras geométricas
Siseaplicantransformacionesisométricasseobtieneel
trapecioHIJK.
A B D
G
K J
H I
E
FC
1 cm
1 cm
Ejemplo:paracalculareláreadeltrapecioABCD,sepuededescomponerenunrectánguloy2triángulos,comosemuestraenlaimagen.
Luego,alcontarlascuadrículaseláreadeltrapecioABCDes28cm2.
obtiene el
Eláreadeltrapeciocorrespondealasumadelasáreasdelrectángulo
yeltriángulo.rectángulo
246
4 cm
5 cm
2 cmA B
CD
2 cm
5 cm
4 cm
2 cm
4 cm
Practica
1.Calculaeláreadecadatrapecio.Consideraqueloscuadradosencadacuadrículatienen1cm2desuperficie.Aplicar
2.Analizalasiguientefigurayluegoresponde.Consideraquecadacuadrículatiene1cm2desuperficie.Analizar
a. Paraobtenerlafiguraenelplano2,¿quétransformaciónisométricaselepuedeaplicaraunapartedelafiguradelplano1?Justificaturespuesta.
b. Calculaeláreadelasfigurasrepresentadasenambosplanos.Explicaporquéseobtienenesosresultados.
Calcular el área de trapecios utilizando diferentes estrategias
a. b.
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X0
Y Plano17
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X0
Y Plano2
247
Unidad 6 / Medición
Sisetieneuntrapecio,sepuederepresentarotroidénticoaél,paraformarunromboide,talcomomuestralafigura:
Eláreadelromboidesecalculacomo:(B+b)•h.Luego,eláreadecadaunodelostrapeciosesigualalamitaddeláreadelromboide,esdecir:
Área del trapecio=( )B b h
2:+
Ejemplo:alcalculareláreadeltrapecio,setieneque:
Aprende
Área de trapecios
Enunafábrica,senecesitaconfeccionarunamesa,paraquesucubiertatengaformadetrapecio.
Paradeterminarlasuperficiedelacubiertadelamesa,sepuededescomponerlafiguraquerepresenta lacubierta,delasiguienteforma.
• Calculaeláreadecadaunadelasfigurasquecomponeneltrapecio.
Lee y responde
Módulo 3 / Área de figuras geométricas
11 cm
60 cm
11 cm
60 cm
68 cm
60 cm
68 cm
90 cm
60 cm
3 cm
15 cmA B
CD 7 cm
Áreadeltrapecio=( )
215 37 :+
cm2=2
2 32 :cm2=
266
cm2=33cm2
h
Bb
B b
248
Practica
Calcular el área de trapecios
1.Calculaeláreadelossiguientestrapecios.Aplicar
2.Resuelvelossiguientesproblemas.Analizar
a. Lasbasesdeuntrapeciomiden10my5mcadauna.Silaalturamide4m,¿cuáleslamedidadesusuperficie?
b. Lamitaddelasuperficiedeuntrapeciomide270m2.¿Cuáleseláreadeltrapecio?
c. Silasumadelasmedidasdelasbasesdeuntrapecioes120cmyeláreaesde480cm2,¿cuáleslamedidadesualtura?
a. b. c.
6 cm
2 cm
3 cm
4 cm
7 cm
5 cm
8 cm
2 cm
3 cm
249
Unidad 6 / Medición
Módulo 3 / Área de figuras geométricas
Área de figuras compuestas utilizando cuadrículas
LosabuelosdeAlejandrotienenunterrenoirregularyquierensaberlamedidadesusuperficie.Alejandrohaceunesquemadelterrenoenpapelcuadriculado,lodivideendiferentestriángulosrectángulosyanotalasmedidasquetomósuabuelo.
• Marcaconun laexpresiónquepermitecalculareláreadelterreno.
2
70 202
60 302
60 70: : :+ +d nm2
270 20
260 30
260 70+
++
++f pm2
• EscribeeláreadelterrenodelosabuelosdeAlejandro.
Lee y responde
20 m
30 m
60 m
70 m
Eláreadeunafigura compuestaporpolígonossepuedeobtenerdividiendoelpolígonoenfigurasconocidas,talescomotriángulos, trapecios o paralelógramos.Luego,sedeterminacadaunadesusrespectivasáreasyestassesumanparaobtenereláreapedida.
Ejemplo:paracalculareláreadelsiguientepolígono:
Alcontarlascuadrículasenelpolígonose
tienequesuáreaes29cm2.
Sisecalculaeláreadecadafiguraseobtienen:
Áreadelrectángulo:(4•3)cm2=12cm2
Áreadeltrapecio:( )
210 7 2:+
cm2=17cm2
Áreadelpolígono:(12+17)cm2=29cm2
Aprende
3 cm
2 cm4 cm 7 cm
13 cm
3 cm
2 cm4 cm 7 cm
13 cm
2 cm
250
Practica
Calcular el área de figuras compuestas
1.Calculaeláreadelassiguientesfiguras.Consideraquecadacuadradoquecomponelacuadrículatieneunárea
de1cm2.Aplicar
a. b. c.
Ponte a pruebaSenecesitaestimareláreaquesemuestrayparaellosepresentan2opciones,enlascualesselimitalafigurapordentroyporfuera.
• Estimaeláreadelafigurarepresentadaencadaopción.
Opción1 Opción2
• ¿Cuáldelasdosestimacionesesmáscercanaalárearealdelafigura?Explica.
1 m
1 m
1 m
1 m
Opción1 Opción2
251
Resolucióndeproblemas
Observa la resolución del siguiente problema
Patricionecesitacubrirunmurocomoeldelaimagenconcerámicasdeformacuadradadelado20cm.¿Cuáleseláreadelaparedquesenecesitacubrir?
PASO 1 Explica con tus palabras la pregunta del problema.
SepreguntaporeláreadelaparedquenecesitacubrirPatricio.
PASO 2 Identifica los datos importantes.
•Hay8cerámicasaloanchodelaparedy13cerámicasalolargo.
•Deldibujosepuedededucirquelaparedmide2,6mdelargoy1,6mdeancho.
PASO 3 Calcula y escribe la solución.
•Elanchodelaparedmide 8•20cm=160cm
•Ellargodelaparedmide 13•20cm=260cm
•Apartirdeloanterior,paracalculareláreadelaparedsemultiplicaellargoporelancho,yseobtienelosiguiente:
Áreadelapared (160•260)cm2=41.600cm2
PASO 4 Revisa la solución.
•Cantidaddecerámicas 8•13=104
•Áreadeunacerámica (20•20)cm2=400cm2
•Áreatotaldelascerámicasenlapared (400•104)cm2=41.600cm2
•Finalmente,eláreatotaldelaparedes41.600cm2.
Cerámicaspuestas,aloancho.
Cerámicaspuestas,alolargo.
Ladodelacerámica.
Ladodelacerámica.
252
ancho
largo
Unidad 6
Ahora hazlo tú
Sieláreadeuncuadradocorrespondealatercerapartedeláreadeunromboidedebase9cmyaltura3cm,¿cuáleselperímetrodelcuadrado?
Identifica los datos importantes.PASO 2
Explica con tus palabras la pregunta del problema.PASO 1
PASO 4 Revisa la solución.
Calcula y escribe la solución.PASO 3
253
Competencias para la vidaLalongituddelospuenteschilenosmeayudaacomprenderlaconexiónvialdenuestropaísNuestropaístieneaproximadamente12milestructurasdeconexiónvialesubicadasendiferentesrutasdelpaís.Deestetotal,7.250correspondenapuentesyelresto,apasarelas.
A partir de la información anterior, responde.
• ¿Cuáleslalongituddecadapuenteexpresadaencentímetros?
ViaductoMalleco: cm PuentePresidenteIbáñez: cm
PuenteLlacolén: cm
• ¿Cuántaspasarelashayennuestropaís?
A partir de la información anterior, responde.
Competenciamatemática
Nombre:ViaductoMalleco
Ubicación:RegióndeLaAraucanía
Longitud:345metros
254
Lalongituddelospuenteschilenosmeayudaacomprenderlaconexión
Fuente:MinisteriodeObrasPúblicas,GobiernodeChile.
Reflexiona y comenta.
• ¿Cuáldelospuentesmostradosenlasfotografíasseencuentramásalnorte?
• Comentacontuscompañerasycompañeroslosdistintospuentesqueconocen.Nombratres.
• Nombra3aspectosquesedeberíatomarencuentaparadiseñarunpuentedelmodomásaproximadoalarealidad.
Reflexiona y comenta.
Competenciaculturalyartística
Nombre:PuentePresidenteIbáñez
Ubicación:RegióndeAyséndelGeneralCarlosIbáñezdelCampo
Longitud:200metros.
Nombre:PuenteLlacolén
Ubicación:RegióndelBiobío
Longitud: 2.157metros
255
EstrategiasparaprepararelSimce
256
Analiza cómo responder una pregunta de selección múltiple
MR
SimceesmarcaregistradadelMinisteriodeEducación.
Porlotanto,laalternativaCeslacorrecta. 1. A B D
A.Enestaalternativa,secalculóeláreadelpisodelacasa,perosepreguntaporeláreadesusparedes.
B.Enestecaso,secalculaeláreadelaparedlateral(103m2)ydelrectánguloquesepuedeformarenlapared
frontal(39m2).Faltaobtenereláreadeltriánguloqueseformabajoeltecho.
D.Secalculaeláreatotaldelasparedessinrestareláreadelasventanas(2m2)yel áreadelaspuertas(3m2).
C.Enestecaso,seobtieneeláreadelasparedesdelasiguientemanera:
Pared A ((6•7)–3) m2=39m2
Pared B2
6 4:f pm2=12m2
Pared C ((15•7)–2•1)m2=103 m2
Área total (39+12+103)m2= 154m2
Análisis de las alternativas
1. Sarapintarálasparedesexternasdesucasayparaellonecesitaconocercuáleslamedidadelasuperficie
delasparedes.Sicadaventanatieneunáreade1m2,¿cuáleseláreaquepintarádelasdosparedes
quesemuestranenlaimagen?
A. 90m2
B.142m2
C.154m2
D.159m2
Área de la puerta
Área total de la pared
Área de las ventanas
Área total de la pared
C
11 m
11 m
6 m
6 m
15 m
15 m
7 m
7 m
5 m
5 m
1 m
1 m
3 m
3 m
A
B
12 m2
39 m2
103 m2
C
256
¿Quéaprendiste? Evaluación final
Unidad 6
puntos
4
puntos
6
puntos
4
1.Midelossiguientessegmentosyresponde.
a.
Medidaencm Medidaenmm
b.
Medidaencm Medidaenmm
2.Completalosrecuadrosconlasequivalenciasquefaltan.
km hm dam m dm cm mm
7.000
30
400.000
80.000
20
3.540
3.Calculaelperímetroyeláreadelossiguientesparalelógramos.
a.
Perímetro
Área
b.
Perímetro
Área
3 m
7 m
2 cm
2 cm
A B
C D
257
¿Qué aprendiste?
258
puntos
4
puntos
2
puntos
2
4.Determinaeláreadelassiguientesfiguras,utilizandolacuadrícula.
a. ÁreadelafiguraA
b. ÁreadelafiguraB
c. ÁreadelafiguraC
d. ÁreadelafiguraD
5.Calculaeláreadelafigura.
6.Observaelplanodeunacasaycalculaeláreadecadaelementosegúncorresponde.Considera
cadaáreade iguala40cm2.
Áreaestimadadelsofágrande.
Áreaestimadadelamesadecentro.
A
BD
C
1 cm
1 cm
4 cm
4 cm
6 cm
3 cm
258
Unidad 6
puntos
5
Marca con una la alternativa correcta.
7. ¿Aquémedidaequivalen15km?
A. 150hm
B. 1.500dm
C. 15.000dam
D. 150.000cm
8. ¿Aquémedidanoequivalen34dam?
A. 340m
B. 3.400dm
C. 34.000cm
D.3.400.000mm
9. Siunladodeuncuadradomide1m,¿cuálessusuperficie?
A. 10m2
B. 10.000cm2
C. 10.000dm2
D. 100.000mm2
10. Sia=7cm,¿cuáleselperímetrodelasiguientefigura?
A. 32cm
B. 34cm
C. 222 cm
D. 22 4cm
11. Sieláreadeunrectánguloes24cm2,¿cuálesdelassiguientesmedidascorrespondenasulargoysuancho,respectivamente?
A.6cmy4cm.
B. 4cmy3cm.
C.20cmy4cm.
D.12cmy12cm.
8a
8a
6a
4a
259
¿Qué aprendiste?
260
puntos
5
12. Unrectángulotieneunáreade117cm2ysulargomide13cm.¿Cuáleslamedidadesuancho?
A. 3cm
B. 6cm
C. 9cm
D. 13cm
13. Enlasiguientecuadrícula,¿cuántoscuadradosde1cm2tienelasuperficiedeltriángulo?
A.20
B. 21
C.22
D.42
14. ¿Cuáleslamedidadelaalturadeuntriángulo,silabasees42cmyeláreaesde756cm2?
A.18cm
B. 30cm
C.36cm
D.40cm
15. ¿Cuáleseláreadelrombo?
A. 57cm2
B. 340cm2
C. 680cm2
D. 1.360cm2
16. Sielsiguientetrapeciotieneunáreade384cm2,¿cuáleslasumadelasmedidasdesusbases?
A.12cm
B. 24cm
C.36cm
D.48cm
16 cm
1 cm
1 cm
40 cm
17 cm
260
Unidad 6
puntos
4
17. Respectodelafigurarepresentadaenlacuadrícula,¿quéafirmaciónesfalsa?
A.Unodesusladosmide11cm.
B. Tieneunasuperficiede50cm2.
C.Laalturadelparalelógramoes5cm.
D.Lafiguraquesemuestraesunparalelógramo.
18. Sieláreadeunromboidees320km2ysubasemide32km,¿cuáleslamedidadesualtura?
A. 5km
B. 10km
C. 100km
D. 288km
19. ¿Cuáleseláreadeltrapecio?
A.10cm2
B. 35cm2
C. 45cm2
D.55cm2
20. Lasiguientefiguraestácompuestasoloporparalelógramos.¿Cuáleseláreatotaldelafigura?
A.16cm2
B. 24cm2
C.72cm2
D.68cm2
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
8 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
4 c
m4
cm
4 c
m BuscaPreparalaprueba6
261
Datos y probabilidadesUnidad
Datos y probabilidades7
En esta unidad aprenderás a:• Resolversituacionesproblemamedianteelanálisisdetablas,gráficosdebarras
ydelíneas,comunicandotusconclusiones.
• Representardatosmediantediagramasdetalloyhojas.
• Resolverdistintassituacionesmedianteelcálculodelpromediodedatos,einterpretarsuresultado.
• Describirlaposibilidaddeocurrenciadeuneventorespectodeunexperimentoaleatorio.
• Compararprobabilidadesdedistintoseventos.
• Abordardemaneraflexibleycreativalabúsquedadesolucionesaproblemas.
A partir de la información entregada por la profesora, los estudiantes decidieron adoptar algunas medidas. Primero, registrarán la cantidad de residuos que se desechan durante una semana en el establecimiento.
Fuente:www.conama.cl
Año
Tone
lada
s
2006
237.574 239.254252.750 249.755
2007 2008 2009
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
0
Generación de residuos peligrosos en el período 2006–2009 en Chile
262
¿Quésabes? Evaluación inicial
Considerando la situación anterior, responde.
1.¿Cuáleseltítulodelgráficoquemostrólaprofesora?
2.¿Quérepresentacadabarraenelgráfico?Explica.
3.Marcaconun silaafirmaciónescorrectayconuna ,sinoloes.
a. Elejehorizontaldelgráficorepresentalosañosdelestudio.
b. Delgráficosepuedeconcluirquelacantidadderesiduosentreunañoyotroaumentó.
c. Todaslasbarrasdelgráficodebentenerelmismoancho.
d. Todaslasbarrasdelgráficodebentenerlamismaaltura.
4.Analizalasiguientetablaquerepresentalainformaciónobtenidaporlosestudiantesde5°básico.Luego,completaelgráficodebarrascorrespondiente.
Cantidad de residuos desechados en una semana
Día Cantidad de residuos (kg)
Lunes 150
Martes 135
Miércoles 148
Jueves 160
Viernes 155
TOTAL 748
Cantidad de residuos desechados en una semana
Cantidad de residuos (kg)
Día
263
Módulo
Unidad 7 / Datos y probabilidades
1 Tratamiento de la informaciónConceptos básicos
Enunafábricadefósforosseproducen1.000cajascon40unidadescadauna,duranteundíadetrabajo.Conelfindeanalizarlaproduccióndiaria,eldepartamentodecontroldecalidadseleccionadiariamenteunamuestra al azarde30cajasparaverificarlacantidaddefósforosqueestascontienen.
Losdatosqueobtuvieronenundíafueronlossiguientes:
39 40 42 38 40 40 40 39 38 37 40 41 42 40 4040 40 41 36 40 36 41 43 43 40 41 41 40 40 40
• ¿Porquécreesquelamuestradecajasdefósforosseseleccionóalazar?
• ¿Quéseanalizóenlascajasseleccionadas?
• Marcaconun laafirmacióncorrectarespectodelobjetivodelanálisis.
Elobjetivoessaberquétansegurossonlosfósforosquesefabricanadiario.
Elobjetivoessaberlacantidaddefósforosdecadacajaessiemprelamisma.
Lee y responde
Laestadísticaesunacienciarelacionadaconrecolección,organización,análisiseinterpretacióndedatos.Suobjetivoestomardecisionesapartirdeunestudioquepuederealizarserespectoaunapoblaciónorespectodeunsubconjuntodeestaquesedenominamuestra, laquedebeserrepresentativaenrelaciónconunavariableobservableymedible.
Ejemplo:conelfindeproponerunmejoramientodelaalimentacióndelosestudiantes,enuncolegiodecidenrealizarunaencuestaa50deellosseleccionadosalazar,parasabercuántasvecesalasemanaconsumencomida“chatarra”.
Enestecaso:•Lapoblacióncorrespondealacantidadtotaldelosestudiantesdelcolegio.•Lamuestraestácompuestapor50estudiantesseleccionadosalazar.•Lacantidaddevecesqueseconsumecomida"chatarra"alasemanacorrespondealavariabledelestudio.•Losdatossonlosvaloresquerepresentanlacantidaddevecesqueconsumencomidadeestetipo.•Elobjetivodelestudioesproponerestrategiasdemejoramientoalimenticioenelestablecimiento.
Aprende
264
Reconocer elementos básicos de un estudio estadístico
1.Completaconlainformaciónquecorresponda.Interpretar
a. Enciertacomunasenecesitanconocer losdistintosdeportesquepracticanlasniñasylosniños,parapoderfinanciarunacampañaafavordelaactividadfísica.Conestefinseencuestaráalazara70niñasy70niñosdelacomuna.
Población
Muestra
Variable
Datos
Objetivo
b. Conlafinalidaddemejorarlostiemposdeatenciónalosclientesdeunatienda,susejecutivosproponenrealizarunaencuestaa60delaspersonasqueundíadeterminadocompranenella.
Población
Muestra
Variable
Datos
Objetivo
2.Analizalasiguienteinformación.Luego,responde.Analizar
a. ¿Cómoclasificaríaslavariable“masacorporal”enunestudioqueserealizaaungrupodepersonas?Justifica.
b. ¿Cómoclasificaríaslavariable“fruta”enunestudiorelacionadoconfrutasfavoritas?Justifica.
Practica
Unavariableescualitativa(atributos)cuandocorrespondeaunadescripciónocaracterísticadeunelementodelapoblaciónodeunamuestra.Porejemplo,elcolordepelooeldeportepreferido.
Porotraparte,unavariableescuantitativa(numérica)cuandoentregaunacaracterísticacuantificabledeunelementodelapoblaciónounamuestra.Porejemplo,laedadolaaltura.
Una muestra aleatoria es aquella que tiene la misma posibilidad de ser escogida que cualquier otra y cuyos elementos deben ser elegidos independientemente uno de otros, con la misma posibilidad.
¿Sabías que...?
265
Unidad 7 / Datos y probabilidades
Módulo 1 / Tratamiento de la información
Lectura e interpretación de tablas de frecuencias
Enlasiguientetablasemuestranlosdatosobtenidosalencuestara60personas,respectodelacantidaddecomputadoresquehayensushogares.
• ¿Quéserepresentóenestatabla?Explica.
• Enestecaso,¿quévalorestomalavariable“Cantidaddecomputadores”?
• ¿Cuáleseldatoquemásserepitióenlaencuesta?Explica.
Lee y responde
Unatabla de frecuenciastienelafinalidaddemostrarlosdatosrecopiladosenformaordenada.Medianteestarepresentación,esposibleextraerinformacióndemaneramássimple.
Loselementosbásicosquesepuedenreconocerenlastablasestadísticasson:lapoblación,lamuestra,lavariable,lascategoríasdeestaylafrecuenciaconqueellasaparecen.
Ejemplo:enlasiguientetablasemuestranloscolorespreferidosporlosestudiantesdeuncursoparaconfeccionarunpolerón.
Población y muestra:enestecaso,porserpocosestudiantesseestudióalapoblacióncompleta,quecorrespondealtotaldeestudiantesdelcurso.
Variable:color.
Categorías de la variable:verde,azul,amarilloyrojo.
Frecuencia:cantidaddevecesqueserepitiócadaunadelasvariables.Lafrecuenciadelcolorverdefue3,delazul12,delamarillo14ydelrojo8.
Objetivo:confeccionarunpoleróndelcolorpreferidoporlamayoríadelosestudiantes.
Aprende
Colores preferidos
Color Frecuencia
Verde 3
Azul 12
Amarillo 14
Rojo 8
¿Cuántos computadores hay en tu hogar?
Cantidad de computadores Número de hogares
0 5
1 26
2 19
3 10
266
Leer e interpretar información representada en tablas
1.Identificaydescribeloselementosestadísticosenlasiguientetabla.Luego,responde.Interpretar
LaprofesoradeMatemáticamuestraasusestudiantesunatabladondeorganizalascalificacionesqueellosobtuvieronenunaprueba.
Población
Muestra
Variableytipodevariable
Datos
Objetivo
a. ¿Cuántosestudiantesrindieronlaprueba? estudiantesrindieronlaprueba.
b. ¿Cuántosestudiantesobtuvieronmenosdeun6comocalificación? estudiantesobtuvieronmenosdeun6.
2.Construyeunatabladefrecuenciasparaorganizarlosdatosmostrados.Luego,responde.Aplicar
Lossiguientesdatosrepresentanlacantidaddehabitantesquevivenencadadepartamentodeuncondominio.
341214332345123334524311340122355325345210
a. ¿Cuántosdepartamentosnoestánhabitados? .
b. ¿Cuántosdepartamentoshayenelcondominio? .
c. ¿Cuántaspersonasvivenenelcondominio? .
Practica
Hay estudios que se aplican a toda la población. En estos casos no se considera una muestra.
Ojo con...
Título
Frecuencia
Variable
Distribución de las calificaciones en la prueba de Matemática
Calificación 3 4 5 6 7
Cantidad de estudiantes 2 5 15 7 2
267
Unidad 7 / Datos y probabilidades
Losgráficos de barrassonrepresentacionesqueentreganinformación,medianterectánguloscuyostamañossonproporcionalesa lascantidadesquecadaunorepresenta.Estosrectángulospuedendisponerseenformaverticaluhorizontalrespectodedosejesperpendicularesalosqueselesasignanlasvariablesdelestudioqueserealiza.
Ejemplo:enuncolegioelegiránelcentrodealumnospormediodeunaelecciónalaquesepresentaron5listasconcandidatospara losdiferentescargos.Parasondear loquepodríapasareldíadelaelección,seorganizóunaencuestabasadaenunamuestrade50estudiantesdelcolegioelegidaalazar.
Apartirdelgráfico,lalista4aparececonunamayor preferenciaenestaencuesta,yaquetiene17preferencias.
Módulo 1 / Tratamiento de la información
Aprende
Lectura e interpretación de gráficos de barras
Enunestablecimientoeducacional,atodoslosestudiantesselesdaunafrutaencadarecreoparapromoverunaalimentaciónsaludable.Conelfindeevaluarlacampaña,registraronenungráficodebarraslainformacióndelos5primerosmesesdelañoescolar.
• Apartirdelgráfico,¿sepuedeconcluirquelacampañahasidoexitosa?,¿porqué?
Lee y responde
Listas postulantes
Lista 1
Lista2
Lista3
Lista4
Lista5
20
1517
10
53
0
Can
tidad
de
pref
erec
ias
Preferencia de 50 estudiantes para la elección del centro de alumnos
MesMar Abr May Jun Jul
50
40
30
20
10
0
Cantidad de kg de frutas
Kilógramos de frutas consumidas
• ¿Quérepresentalaalturadecadabarrarectangular?
• ¿Enquémesseconsumióunacantidadmayordefrutas?
• ¿Enquémesseconsumióunacantidadmenordefrutas?
268
Leer e interpretar información representada en gráficos de barras
1.Analizaelgráficodebarras.Luego,responde.Analizar
a. ¿Cuántosestudiantesprefiereneltallerdeteatro?
b. ¿Quétallerfuepreferidopor30estudiantes?
c. ¿Cuántosestudiantesmenosprefirierondanzaque
fútbol?
d. ¿Cuálpuedeserelobjetivoderealizarestaconsultaalosestudiantesdeestenivel?Explica.
2.Analizaelsiguientegráficodebarrasconlosresultadosdeunaencuestarealizadaparaconocerlaeficaciadeunprogramadealimentaciónsaludableimplementadoenelcasinodeunaempresa.Luego,responde.Analizar
a. ¿Cuántaspersonasrespondieronlaencuesta?
b. ¿Quéplatofueelmenospreferido?
c. ¿Cuántaspersonasmásescogieron“ensaladaconpescado”que“polloconarroz”?
d. ¿Creesqueelplandealimentaciónsaludablediobuenosresultados?Explica.
PracticaTalleres preferidos por los estudiantes de 5o básico
Cantidad de estudiantes5 10 15 20 25 30
Vóleibol
Fútbol
Teatro
Pintura
Música
Danza
0
Talleres
Educando en valores
Recuerda alimentartede manera saludable. Asícrecerás fuerte y sano.
Platos preferidos
Ensaladas Arroz con carne
Pollo con arroz
Ensalada con pescado
16
12
4
8
0
Cantidad de personasPreferencias alimenticias
10
14
6
2
269
Unidad 7 / Datos y probabilidades
Losgráficos de líneassonrepresentacionesqueentreganinformaciónutilizandopuntosqueseunenporlíneas.Lasalturasdelospuntossonproporcionalesalasmagnitudesquerepresentan.Sonmuyutilizadosparacomunicarinformaciónreferidaavaloresnuméricosquevaríaneneltiempo.
Ejemplo:enelsiguientegráficosepuedeobtener informaciónrespectodelacantidaddelibrosvendidosytambiénsobreelcomportamientodelaventaeneltiempo.
Módulo 1 / Tratamiento de la información
Aprende
Lectura e interpretación de gráficos de líneas
Elgráficodelíneasrepresentalastemperaturasmáximasregistradasenunaciudaddurantelosprimerosdíasdeenerodelaño2012,quevariaronentre18ºCy28ºC.
• ¿Quétemperaturaseregistróel5deenerodel2012enunaciudad?
• ¿Quédíaseregistróunatemperaturade22ºC?
• ¿Cuálfuelamayorvariacióndetemperaturaentredosdíasseguidos?Justifica.
• ¿Cuántoslibrossevendieronenabril?
Laalturaenqueseubicaelpuntodelmesdeabrilcorrespondea4.000libros.
• ¿Enquémesseproducelamayoralzaenlaventadelibros?
Enjulio,yaquelaventaaumentóen5.000unidades.
• ¿Cuántoslibrossevendieronentotal?
Sesumanlascantidadesdelibrosquesevendieronencadames,esdecir:5.000+3.000+7.000+4.000+2.000+1.000+6.000=28.000libros.
Libros vendidos en 6 meses
Mes
8.000
7.000
6.000
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
0
Can
tidad
de
libro
s ve
ndid
os
Ene Feb Mar JunAbr JulMay
Observa y responde
30
20
10
0
Tem
pera
tura
Co
Temperatura máxima de los ocho primeros días de enero del 2012 en una ciudad
Día1 2 3 64 75 8
270
Leer e interpretar información representada en gráficos de líneas
1.Observaelsiguientegráficodelíneas.Luego,responde.Interpretar
2.Analizaelsiguientegráficodelíneasyluegoresponde.Analizar
Practica
a. ¿Enquéciudadcayeron21milímetrosdeagua?
b. ¿Quéciudadhatenidolamenorprecipitaciónhastalafechaindicada?
c. ¿Enquéciudadesprecipitómásde30milímetros?
d. ¿Enquéciudadeselaguacaídafuemenoroiguala21milímetros?
e. ¿CuántosmilímetrosdeaguacaídasumanlasprecipitacionesenlasciudadesdeOsorno,CoyhaiqueyBalmaceda?
Fuente:http://www.meteochile.cl/precipitacion.html
Precipitaciones caídas al 2 de febrero del 2012
40
70
30
60
20
50
10
Milí
met
ros
de a
gua
caíd
a
Ciudad0
Con
cepc
ión
Tem
uco
Vald
ivia
Oso
rno
Coy
haiq
ue
Bal
mac
eda
Pun
ta A
rena
s
a. Enelperíodooctubre–febrero,¿cuáleslaclasedeautomóvilmáscontrolado?
b. ¿Enquémessecontrolaronmásautomóviles?
c. ¿EnquémesessecontrolanmásautomóvilesdeclaseAqueautosdeclaseB
Vehículos controlados en una planta de revisión técnica
Mes
60
40
20
0
Cantidad
Oct Nov Dic Ene Feb
AutomóvilclaseA
AutomóvilclaseB
271
Unidad 7 / Datos y probabilidades
Módulo 1 / Tratamiento de la información
Aprende
Construcción de gráficos de barras y de líneas
Paracelebrarelaniversariodeuncolegio,eldirectorpideadosgruposdeestudiantesquerealicen,unaencuestasobrelaspreferenciasquetienen70estudiantesde5ºbásicorespectodelassiguientesactividadespropuestas:convivencia,salidaalcine,fiestadedisfraces,concursodecantoydeportivas.
Ambosgruposrepresentaronlainformaciónobtenidaendosregistrosdistintos.
Lee y responde
Paraconstruir gráficos de barras o de líneassedebe:
1. Decidireltipodegráficomásadecuadoalestudio.
2. Poneruntítuloalgráfico.
3. Establecerlasvariablesdecadaejeygraduarlo.
4. Dibujar las barrasolos puntoscuyasalturassonproporcionalesa losvaloresnuméricosde lasfrecuencias;y,enelcasodelgráficodelíneas,unir los puntosconsecutivos.
Utilidades de cada tipo de gráfico
Elgráfico de barrasesunarepresentaciónútilparavisualizarvariablescuyosvalorespuedencorresponderanúmerosnaturales,ypor logeneralsemuestrainformacióncomparativadeunavariable.
Elgráfico de líneasesunarepresentaciónútilparaestudiarlatendenciadeunavariableenunestudio.
Actividades
• Enestecaso,¿quégráficoesmásconvenienteutilizar?,¿porqué?
Preferencia de los estudiantes como actividades de aniversario
Actividad Frecuencia
Convivencia 8
Salidaalcine 12
Deportivas 15
Concursodecanto 13
Fiestadedisfraces 22
Grupo 1 y 2:Resultadosregistradosenunatabladefrecuencias.
ActividadesCon
vive
ncia
Sal
ida
al c
ine
Dep
ortiv
as
Con
curs
o de
can
to
Fies
ta d
e di
sfra
ces
20
15
10
5
0
Frec
uenc
ia
Preferencia de los estudiantescomo actividades de aniversario
Con
vive
ncia
Sal
ida
al c
ine
Dep
ortiv
as
Con
curs
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Fies
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20
15
10
5
0
Frec
uenc
ia
Grupo 1: gráfico de barras
Preferencia de los estudiantes como actividades de aniversario
Grupo 2: gráfico de líneas
272
Construir gráficos de barras y de líneas
1.Construyeungráficodebarrasapartirdelosdatosentregadosenlasiguientetabla.Luego,responde.Representar
a. ¿Quégénerodepelículatienemayorpreferencia?¿Ycuáltienemenorpreferencia?
b. ¿Quéconclusiónsepuedehacerapartirdelarepresentacióngráfica?
2.Analizalasiguientetablayconstruyeungráficodelíneasquerepresentelainformación.Luego,responde.Analizar
Losdatosmuestranlostiempos,ensegundos,alcanzadosporunjovenenlos100metrosplanos.
a. ¿Enquécarreraobtuvosumejorrendimiento?
b. ¿Cuálesfueronsusdospeorestiempos?
c. ¿Aquéconclusiónpuedesllegarrespectodelamejoradesustiempos?
Practica
Tiempos obtenidos por el joven
Carrera Tiempo logrado (s)
1 18
2 18
3 17
4 15
5 13
6 14
¿Qué género de películas prefieres?
Género Preferencias
Drama 12
Terror 15
Suspenso 18
Comedia 10
Cienciaficción 13
273
Unidad 7 / Datos y probabilidades
Losdiagramas de tallo y hojassonrepresentacionesgráficasenlasquepuedeobservarseladistribucióndefrecuenciasdeunavariablecuantitativa(numérica).Enestosdiagramas,losnúmerossedividenenuna“hoja”quecorresponde,porlogeneral,alacifradelasunidades,yun“tallo”quecorrespondealascifrasrestantes.
Ejemplo:enlasituaciónplanteadaanteriormente,elnúmero26correspondeaunadelasedadesdelosparticipantesdeltorneo;estaserepresentaeneldiagramaconsiderandocomotallolacifra2ycomohojalacifra 6.
Conclusión:entrelos11ylos27añosseconcentralamayorcantidaddeparticipantesydesdelos40añoshaciaarribasolohay3participantes.
Módulo 1 / Tratamiento de la información
Aprende
Representación en un diagrama de tallo y hojas
Auntorneodekarateasisten46participantes.Paraformarlascategoríasdelacompetencia,seconsideralaedaddelosparticipantescomounadelasvariables.Estasedadessonlassiguientes:
812402518617157111581612151272318233041142234263431232527231721341941343617212734121118
Unorganizadordeltorneodisponelosdatosen5categorías,delasiguientemanera:
Edades de los participantes
• ¿Quérelacióntienenlasedadesdelosparticipantesmayoresde30añosymenoresde40añosconlosdatosencerradosconcolorrojoenlarepresentaciónanterior?Justifica.
Observa y responde
0 677881 1122224555677788892 1125333356773 014444464 011
Tallo Hojas
0 67788
1 112222455567778889
2 112533335677
3 01444446
4 011
274
Analizar información representada en diagramas de tallo y hojas
1.Observaelsiguientediagramadetalloyhojas.Luego,responde.Analizar
Masascorporalesaproximadas,enkilógramos,delospacientesmenoresde15añosatendidosenunserviciodesalud.
a. ¿Cuántospacientestienenunamasacorporaliguala39kilógramos?
b. ¿Cuántaspersonasmenoresde15añosfueronatendidasenelserviciodesalud?
c. ¿Cuántosdeestospacientestienenunamasacorporalmenora17kilógramos?
d. ¿Cuántospacientesmenoresde15añosregistraronunamasamenoroiguala53kilógramos?
e. ¿Cuálcreesqueeselobjetivodeesteestudio?
Practica
Ponte a pruebaAnaliza el siguiente gráfico de líneas y luego responde.
a. ¿Cuáldelasdosempresasvendiómásenelaño?
b. ¿Enquémeslograronlasmismasventas?
c. ¿Entrequémeseslaempresa1tuvomenoresventasquelaempresa2?
d. ¿Aquéconclusionespuedesllegarapartirdelainformacióndelgráfico?Escribealmenosdos.
Ventas anuales de dos concesionarios de vehículos
Mes
140
120
60
100
8090
110
70
50
20
40
0
Can
tidad
de
vehí
culo
s
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
0 45578
1 013346
2 12556678
3 022489999
4 34566788
5 23334567
6 001378
Tallo Hojas
Empresa1 Empresa2
Masas corporales (kg)
275
¿Cómovas?puntos
2
puntos
4
puntos
4
Conceptos básicos
1.Analiza la siguiente situación. Luego, responde.
En una campaña cultural, los directores de museos de una ciudad encuestan a 80 personas seleccionadas al azar entre las que asisten durante un fin de semana a una galería de arte. Se les consulta por la cantidad de museos que han visitado durante el último año.
a. ¿Cuáleslamuestraconsiderada?
b. ¿Cuáleslavariabledelestudio?
Leer e interpretar tablas de frecuencias
2.Analiza la siguiente tabla y luego responde.
a. ¿Cuáleseldeportemáspreferidoyelmenospreferido?
b. ¿Cuántaspersonasrespondieronestaencuesta?
Leer e interpretar gráficos
3.Analiza el siguiente gráfico de líneas y luego responde.
a. ¿Enquémesesdelañoseregistrómenorproduccióndecemento?
b. ¿Entrequémeseshubounamayorvariacióndelaproducción?
Deportes preferidos
Deporte Preferencias
Básquetbol 15
Fútbol 18
Rugby 5
Tenis 22
Producción de cemento durante el año 2010
Mes
350
300
150
250
200
50
100
0
Tone
lada
s
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
276
Unidad 7
Evaluación intermedia
puntos
4
puntos
4
Construcción de gráficos
4.Ordena los datos y construye un gráfico que los represente. Luego, responde.
El guardaparques de un bosque realiza un catastro anual de los árboles que hay. Este año obtuvo los siguientes datos:
P A A P E R C P E C P A A C P A C R E E A A P C E P P E P P E A P R R E P R C E P C C A A A A C E E A A C E P P P E C A R R R R A R P P R R C R C A A A A P C R R C P C A A C E E E A P R
A: Araucaria
C: Ciprés
E: Espino
P: Peumo
R: Raulí
a. ¿Cuántosárboles,entotal,hayenelbosque?
b. ¿Quéárbolpredominaenestebosque?
Diagramas de tallo y hojas
5.Representa los siguientes datos en un diagrama de tallo y hojas. Luego, responde.
a. ¿Quéventajatieneenestecasoutilizarundiagramadetalloyhojasenvezdeungráfico
debarras?
b. Enestecaso,¿sepodríahaberrepresentadolainformaciónenungráficodelíneas?Explica.
12 15 25 17 24 18
21 35 42 12 21 25
17 16 31 29 18 32
45 23 21 32 21 23
15 34 25 32 29 32
Cantidad de prendas vendidas diariamente
277
Módulo
Unidad 7 / Datos y probabilidades
2 Promedio de datosCálculo de promedio de datos
LascalificacionesobtenidasporlosdosquintosbásicosenelexamensemestraldeMatemáticason:
5° A:222537347344534345454347547322
5° B:264555676356656543264577
Juanafirmaqueel5°Atieneunmejorrendimientoqueel5°B,yaquehay4calificacionessietey,encambio,el5°Btienesolo3.
Pedrodicequesisumanlascalificacionesdel5°Aylasdividenporlacantidadtotaldecalificaciones,obtendríanunnúmeroquerepresentaríaelrendimientodelcurso.Yquealhacerlomismoconlasnotasdel5°B,podríancompararestosresultados.
• Calculalasumadetodaslascalificacionesdecadacurso.
Sumadelascalificacionesdel5°A Sumadelascalificacionesdel5°B
• Estenúmerosedivideporlacantidaddecalificacionesdecadacurso.
(Sumadelascalificacionesdel5°A):30= (Sumadelascalificacionesdel5°B):24=
Porlotanto,el5°Atuvo rendimientoqueel5°Benesteexamen.
Lee y responde
Elpromedioomedia aritmética(x )correspondealcocienteentrelasumadelosvaloresnuméricosdelavariableyelnúmerototaldedatos.
Ejemplo:losdatoscorrespondenalasestaturas,encentímetros,delosjugadoresdeunequipodefútbol.
174169179184175168177182176181178174179182186
Sisesumanlasestaturasysedivideelresultadoporeltotaldejugadoresresulta:
x15
174 169 179 184 175 168 177 182 176 181 178 174 179 182 186=
+ + + + + + + + + + + + + +
.,x
152 664
177 6= =
Porlotanto,elpromediodelasestaturasdelosjugadoreses177,6cm.
Aprende
278
Calcular el promedio de datos e interpretar su resultado
1.Calculaelpromediodelossiguientesconjuntosdedatos.Aplicar
2.Determinaelvalorquefaltaencadacasoparaqueresulteelpromediodado.Analizar
3.Resuelvelossiguientesproblemas.Aplicar
a. Lasedadesde5amigosson13,15,13,12y12años.¿Cuáleselpromediodesusedades?
b. Latablamuestralasventasdeverdurashechasenunnegocio.¿Cuántasverdurassevendieronenpromedio?
c. JavieraobtuvolassiguientescalificacionesenlaasignaturadeMatemática:6;4;4y5.¿Quénotadebeobtenerenlaúltimapruebaparaterminarelañoconun5comopromedio?
Practica
Verduras vendidas
Verdura Cantidad vendida
Lechuga 18
Zanahoria 9
Cebolla 15
Acelga 9
a. 4,5,7,10y12
x =
b. 4,6,8,13,16,40,35y54
x =
c. 45,54,63,103y110
x =
d. 500,400,200,350y450
x =
a. 8,8,8,8,8,8,8, x =8
b. 12,3,4,5,7, ,9,8 x =6
c. 7,6,12, ,8,17,3 x =8
d. ,100,110,240 x =125
279
Unidad 7 / Datos y probabilidades
Cálculo de promedio en gráficos
Enelsiguientegráficosemuestralacantidaddecobre(enkilógramos)extraídadiariamenteporungrupodepirquinerosenlaZonaNortedelpaís.
• Paracalcularelpromedio,serealizalosiguiente:x6
125 150 100 140 115 90+ + + + += = =
Porlotanto,durantelasemanaseextrajounpromediode kilógramosdecobre.
Módulo 2 / Promedio de datos
Paracalcularelpromedio de datos en un gráfico,sedebensumarlosvaloresdelavariablequerepresentanlasbarrasolaslíneas,yluegodividirestevalorporlacantidadtotaldedatos.
Ejemplo:enelsiguientegráfico,elpromediodelosdatoses:
. . . . . . . . . . . .x
64 000 000 00 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 6 00 0005 0 0
=+ + + + +
=. .
630 000 000
=5.000.000
Porlotanto,$5.000.000eselpromedio mensualdeventaenelminimarketduranteelprimersemestre.
Aprende
Lee y responde
DíaLun Mar Miér Jue Vie Sáb
175
125
150
100
25
50
75
0
Kilógramos Extracción de cobre diaria
Venta mensual de un minimarket durante el primer semestre
Mes
76
3
54
12
0
Millones de pesos
Ene Feb Mar Abr JunMay
280
Calcular el promedio de datos entregados gráficamente
1.Calculaelpromediopedidoencadacaso.Aplicar
a. ¿Cuántasmonedasde$100,enpromedio,recolectócadaamigo?
b. Enpromedio,¿cuántasherramientasseprodujerondiariamente?
c. Enpromedio,¿cuántasempanadasdetodoslostipossefabricanenundía?
Practica
Producción en miles de herramientas fabricadas en una semana
Día
6
3
5
4
1
2
0
Cantidad de herramientas (en miles)
Lun Mar Miér VieJue Sab Dom
Champiñón Empanada
25
30
20
15
10
5
0
Cantidad de empanadas
Napolitana Camarón queso
Pino Queso
Empanadas fabricadas en un día
Juan Pedro Sandra Ana Patricio
5055
4045
30
20
10
0
Cantidad de monedas
Persona
Monedas de $ 100 recolectadaspor un grupo de amigos
281
Unidad 7 / Datos y probabilidades
Módulo 2 / Promedio de datos
Aprende
Ventajas y desventajas del promedio de datos
Unturistaextranjeroquisorecorrernuestropaís.Paraello,se informódeque la temperaturapromedioenundíadelmesdemayo,enChile,esde17°C,por loquedecidiótomarciertasprecauciones.CuandollegóaPuntaArenas,enelmesdemayo,sellevóunagransorpresa:latemperaturaerade0°C.
• Compruebaqueelpromediodelastemperaturasrepresentadasenlatablaesde17°C.
• Enestecaso,¿elpromediodelastemperaturasfueunbuenindicadordelaqueseregistróenPuntaArenas?Remarcaturespuesta.
Lee y responde
Elpromedioomedia aritméticadeunconjuntodedatosnuméricospresentaventajasydesventajas:
Ventajas•Eselvalornuméricomásutilizadopara
representarunconjuntodedatosnuméricos.•Seexpresaenlasmismasunidadesquela
variable.•Esunvalornuméricoúnico.•Cambiarespectoacualquiervariaciónde
losdatos.
Desventajas•Nosepuedecalcularcondatoscualitativos
(nonuméricos).•Seveafectadoporvaloresnuméricosmuy
altosomuypequeñosdeladistribucióndedatos,pudiendonoserrepresentativo.
Respectodelasituaciónanterior,setienelosiguiente:
Ventajas•Elpromedioes17°Cytienelamismaunidaddemedida
quecadaunadelastemperaturasregistradas.•Noexisteotronúmeroquerepresenteelpromediodelas
temperaturas.•Siseagregaunanuevaestacióndemonitoreoyelpromedio
subea20°C,sesabeinmediatamentequelaestacióndemonitoreoharegistradounatemperaturamásalta.
Desventajas•Sieldatoregistradohubiesesidoeltipodeclimadelpaís
(mediterráneo,desértico,etc.)nosehabríapodidoobtenerelpromedio,yaquenoesundatonumérico.
•ElpromediodelastemperaturasnolesirvióalturistaextranjeroparatomarlasprecaucionesnecesariasensuvisitaaChile;estosedebeaqueesepromedionofuerepresentativodelosdatos.
Estación Temperatura
Curicó 16°C
Chillán 17°C
Concepción 17°C
Temuco 16°C
Valdivia 16°C
Osorno 15°C
PuertoMontt 13°C
Coyhaique 10°C
Balmaceda 4°C
PuntaArenas 0°C
Estación Temperatura
Arica 22°C
Iquique 22°C
Calama 26°C
Antofagasta 22°C
Caldera 18°C
LaSerena 26°C
Valparaíso 21°C
Pudahuel 20°C
QuintaNormal 21°C
JuanFernández 18°CSí No
282
Identificar las ventajas y desventajas respecto del promedio de datos
1.Marcaconun silaafirmaciónescorrectayconuna ,siesincorrecta.Justificaencadacaso.Evaluar
a. Sielpromediodelasedadesde10personases27años,entoncestodaslaspersonastienenmásde10años.
Justificación:
b. Rodrigotiene15añosymide1my65cm,ysereuniráconungrupode8personascuyopromediodeestaturaes1m58cm,demodoqueseráelmásaltodelgrupo.
Justificación:
c. Paraunacampañasolidaria,ungrupodeamigosrecolectatodoslosañosunpromediode$50.000.Silorecaudadoesteañopromedialos$51.000,entoncesmejoróelaportedelgrupodeamigos.
Justificación:
2.Analizalasituaciónyresponde.Analizar
Lospuntosobtenidosporunequipodebásquetbol,enlosprimeros5partidosdelatemporada,fueron:65,48,63,59y80.
a. ¿Cuáleselpromediodepuntosobtenidoporpartido?
b. Siconlospuntosobtenidosenelúltimopartidoelpromediovaríaa54puntos,¿quépuedesafirmarrespectodelospuntosobtenidosenesteúltimopartido?
Practica
Ponte a pruebaElpromediodelassuperficiesde999terrenoses2.000m2;siseleagregaunnuevoterrenode
200.000m2,elnuevopromedioseríade2.198m2.Porotrolado,sielpromediodelassuperficies
deotros9terrenoses2.000m2yselesagregaotroterrenode200.000m2,elnuevopromedio
seríade21.800m2.
• ¿Porquécreesqueencadagrupodedatosinfluyódedistintaformaelhechodeagregarelterrenode200.000m2?
283
Módulo
Unidad 7 / Datos y probabilidades
3 Introducción a la probabilidadExperimentos aleatorios
Silanzasundadode6caraspuedesasegurarquecaerá,yaquetuobservaciónsefijaenloqueocurriráconsuposición,peronopodríasdeterminarelpuntajequetendrálacarasuperiorcuandocaigasobreunasuperficiehorizontal.
Estaimposibilidadserelacionaconlosseisposiblesvaloresquesepodríaobtenerallanzarundado.
• Sitereúnesconunaamigaounamigoyjuegasaadivinarelpuntajequeresultaráallanzarundado,¿quénúmeroelegirías?,¿yporqué?
Aprende
Unexperimentoes determinístico,sialejecutarlovariasvecesbajolasmismascondiciones,setienecerteza de lo que ocurrirá.
Ejemplo:siseponeunvasoconaguaenuncongelador,luegodeuntiempodeterminadoelaguasecongelará.Porlotanto,hayciertacertezadequeestoocurrirá.
Unexperimento es aleatorio,esquelquedependedelazar,esdecir,nosetienecertezadeloqueocurrirá.Porlotanto,no se puede predecir su resultado.
Ejemplo: siseextraesinmirarunabolitadeunabolsaquecontiene3bolitas,dosdecolorverdeyunadecolorrojo,nosepuedetenercertezadelcolordelabolitaextraída.
Observa y responde
284
Identificar experimentos aleatorios y sus posibles resultados
1.Clasificacadaexperimentoenaleatorioodeterminístico.Observaelejemplo.Clasificar
Lanzarunapelotadesdeunaaltura. Determinístico
a. Lanzarunamonedaalaire.
b. Observarelgénero(masculinoofemenino)delasiguiente
personaqueentraráaunatienda.
c. Exponerunpapelalfuego.
d. Sacarunhielodelrefrigeradoryponerloalsol.
e. Elegirelnúmeroganadordeunalotería.
2.Analizacadaunodelossiguientesexperimentosaleatoriosyescribesusposiblesresultados.Analizar
a. Lanzarunamoneda.
b. Sacarunabolitadeunacajaconbolitasnumeradasdel1al10.
c. Sacaralazarunadelas9tarjetas,cadaunadelascualestieneimpresaunaletradelapalabraALEATORIO.
3.Realizaelsiguienteexperimentoaleatorioyresponde.Aplicar
Lanzaunamoneda40veces.
a. ¿Cuántasvecesobtuvistecara?
b. ¿Cuántasvecesobtuvistesello?
Practica
285
Unidad 7 / Datos y probabilidades
Módulo 3 / Introducción a la probabilidad
Cuandoserealizaunexperimentoaleatorio,elconjuntoformadoportodoslosposiblesresultadoscorrespondealespacio muestralysesimbolizaporlaletragriegaX(omega).
Unsubconjuntodelespaciomuestralserelacionaconlossucesosoeventosdelexperimentoaleatorio.
Ejemplo:Luisysupadreestánjugandoalanzarunamonedade$500.Entonceslleganaunacuerdo:lanzaránlamoneda,ysisalecaralamonedaserádelpadrey,sisalesello,serádeLuis.
Porlotanto,elespacio muestralserá:
Enestecaso,dosposibleseventososucesos,serían:
•quesalgacara,elqueserepresentacomo:S1={cara}.
•quesalgasello,elqueserepresentacomo:S2={sello}.
Aprende
Espacio muestral
Laprofesorade5°añobásicoproponeasusestudiantesrealizarlasiguienteactividad:
• ¿Cuálessonlosposiblesresultadosquesepuedenobtenerallanzarestedado?Justifica.
• ¿Creesquehayalgúnresultadoquetienemásposibilidadesdeaparecer?
Analiza y responde
1. Formengruposde5integrantes.2. Dibujenlosiguienteensuscuadernos.
3. Recórtenloyconstruyanundado,encuyascarasaparezcanlosnombresdeloscontinentes.4. Lancen10vecescadadadoyregistrenloscontinentesqueaparecenenlacarasuperior.
cuadernos.
América
ÁfricaAsia
Antártica
Oceanía
Europa
X= {cara, sello}
Entonces lleganLuis.
286
Identificar el espacio muestral asociado a un experimento
1.Escribeelespaciomuestralquecorrespondeacadaexperimentoaleatorio.Interpretar
a. Extraerunatarjetadeungrupode10tarjetasnumeradas(del1al10).
b. Lanzardosmonedasalavez.
c. Lanzardosdados.
2.Analizalasiguientesituación.Luego,responde.Analizar
Enungrupode10estudiantesdeuncursoseregistróelcolordepelodecadaunodeellos:
C:CaféN:NegroR:Rubio
Losresultadosfueronlossiguientes:
C C C N C N C N R N
Experimentoaleatorio:“elegiralazartresestudiantesyregistrarsucolordepelo”.
a. ¿Cuáleselespaciomuestral? X=
b. Escribetresposibleseventos.
3.Observalaimagen.Luego,responde.Analizar
a. Defineunposibleexperimentoaleatorio.
b. ¿Cuáleselespaciomuestral?
c. Identificaquéeventoeselquetienemayorposibilidaddeocurrir.
Practica
X=
X=
X=
287
Unidad 7 / Datos y probabilidades
Módulo 3 / Introducción a la probabilidad
Enunexperimento aleatorio,losresultadospuedentenermayoromenorposibilidaddeocurrencia.Losdistintoseventososucesoscorrespondientesaestosresultados,sepuedenclasificarcomo:
• Seguros
• Posibles
• Imposibles
Aprende
Comparación de posibilidades
Dentrodelacajahay8bolitas,todasdeigualtamaño.
Siseextraeunabolitaalazardelacaja,¿cuálseríaelespaciomuestral(X)asociadoaesteexperimentoaleatorio?Escríbelo.
X={ }
• Alextraerunabolita,¿esposiblequeseadecolorverde?Explica.
• ¿Esigualmenteposibleextraerunabolitadecolorazul,yunadecoloramarillo?Justifica.
• ¿Esciertoquetodaslasbolitastienenlamismaposibilidaddeserescogidas?Justifica.
Observa y responde
Ejemplo:enlatómbolahay12pelotitas.Alextraeralazarunadeellas,setieneque:
Evento seguro• Obtenerunadecolorazul, unaamarilla,unaverdeounaroja.
Eventos posibles• Obtenerunadecolorazul.
• Obtenerunadecolorrojo.
• Obtenerunadecolorverde.
Evento imposible• Obtenerunadecolorcafé.
roja.
288
Determinar la posibilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio
1.Observalasiguientesituación.Luego,responde.Comprender
a. Siseextraealazarunabolitadelabolsa2,¿dequécolorserá?
b. Obtenerunabolitadecolorrojodelabolsa2,¿esunsucesoseguro?
c. Siseextraealazarunabolitadelabolsa1,¿dequécolorserá?
d. Obtenerunabolitadecolorverdedelabolsa1,¿esunsucesoposibleoseguro?
e. ¿Esunsucesoposibleobtenerunabolitadecoloramarillodelabolsa1?
2.Clasificalossiguienteseventosenseguro,posibleoimposible,encadacaso.Clasificar
a. Obtenercaraenellanzamientodeunamonedaesunevento .
b. Obtener10puntosenellanzamientodeundadodeseiscarasesunevento .
c. Elegirunjugadorhombreenunequipodebásquetbolmasculinoesunevento .
3.Analizacadasituación.Luego,pintacadarepresentaciónparaquesecumplalacondición.Analizar
Practica
a. Extraerunabolitadecolorazulesunsucesoimposible.
b. Extraerunabolitadecolorrojoesunsucesoposible.
c. Extraerunabolitadecolorverdeesunsucesoseguro.
Bolsa 1 Bolsa 2
289
Unidad 7 / Datos y probabilidades
Módulo 3 / Introducción a la probabilidad
Aprende
Probabilidad y comparación
Enunatienda,porcada$10.000decompra,cadaclientetienelaposibilidaddegirarlaruletaunavezyganarunpremio.
• Algirarlaruleta,¿quéresultadossepuedenobtener?
• Completaloscasillerosconlacantidaddesectoresdelaruletacorrespondienteacadacolor.
• ¿Quécoloresmásprobablequeresultealgirarlaruleta?¿Ycuálmenos?
Analiza y responde
Loseventosdeunoovariosexperimentos aleatoriossepuedencompararrespectodesuocurrencia:
• Siuneventotienemásposibilidadesdeocurrirqueotro,sedicequetienemayor probabilidaddeocurrencia.
• Alcontrario,sitienemenosposibilidades,sedicequetienemenor probabilidaddeocurrencia.
Ejemplo:enunacajahay12pelotas:tresverdes,tresamarillas,cincorosadasyunaazul,comosemuestraenlailustración.Siseextraealazarunapelotasinver,¿quéresultadossepuedenobtener?
Resultados probables:verde,azul,amarilloyrosado.
Alpredecirlosresultados,setieneque:
Más probable:pelotarosada.
Menos probable:pelotaazul.
Igualmente probable:pelotaamarillaypelotaverde.
Rojo Amarillo
Azul Verde
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290
Comparar probabilidades de eventos mediante la posibilidad de ocurrencia
1.Comparalaprobabilidaddeocurrenciadelossiguienteseventosydeterminacuáltienemayorprobabilidad.Interpretar
a. Enellanzamientodeundado.
A:obtenerunnúmeropardepuntos. B:obtenerunnúmerodepuntosmenorque5.
b. Sacaralazarunadelasseistarjetas,talquecadaunatieneimpresaunaletradelapalabraSUCESO.
A:obtenerunavocal. B:obtenerunaconsonante.
Practica
Ponte a pruebaAnaliza la situación y luego responde.
Algirarlatómbolayextraerunabolita,¿cuáleslaprobabilidaddequesalgaunadecolorrojo?
Comoenlatómbolahay10bolitasy5deellassondecolorrojo,laprobabilidaddeobtenerunabolita
decolorrojoes105
.
510
CantidaddebolitasdecolorrojoCantidadtotaldebolitas
a. ¿Cuálseríalaprobabilidaddeobtenerunabolitade
colorazul?
b. ¿Cuálseríalaprobabilidaddeobtenerunabolitade
coloramarillo?
c. Apartirdeloanterior,¿québolitaesmásprobableobtener?
una bolita
291
Resolucióndeproblemas
Observa la resolución del siguiente problema
EnestegráficosemuestralacantidaddeniñosqueparticipaenlasOlimpíadasdeMatemática.Siseeligeaunodeloscompetidoresalazar,¿cuáldelossiguienteseventostienemayorprobabilidaddeocurrir?
A:quetenga15años.
B:quetenga10o12años.
PASO 1 Explica con tus palabras la pregunta del problema.
• Enelproblemasepreguntaquéevento,entreAyB,tienemayorprobabilidaddeocurrencia.
PASO 2 Identifica los datos importantes.
• 30delosniñostienen15años.
• 10delosniñostienen10años.
• 25delosniñostienen12años.
PASO 3 Calcula y escribe la solución.
• Comoloseventossedefinenrespectodeunmismoexperimentoaleatorio,esposiblecompararlascantidadesdecasosfavorablesacadaevento.
Loscasosfavorablesparacadaeventoson:
ParaeleventoAson30casosfavorables.ParaeleventoBson10casosfavorablesenrelaciónalaedadde10añosmáslos25casosrelacionadosalaedadde12años.Porlotanto,entotalson35casoslosfavorables.Finalmente,eleventoBtienemayorprobabilidaddeocurrirqueeleventoA.
PASO 4 Revisa la solución.
CasosfavorablesparaeleventoA:30casos.CasosfavorablesparaeleventoB:10+25=35casos.Como35>30,escorrectodecirqueeleventoBtienemayorprobabilidaddeocurrenciaqueeleventoA.
Participantes de las Olimpíadas de Matemática
50 10 15 20 25 30
15
14
1312
11
10
Cantidad de niños
Edades
292
Unidad 7
Ahora hazlo tú
Elsiguientegráficomuestralacantidaddelatasrecolectadasporuncursoenlosúltimosseismesesdelaño.Luego,estassemarcanparasabercuántasserecolectaronpormes.Siseeligieraunadeellasalazarpararevisarsuestado,¿cuáldelossiguienteseventostienemenorprobabilidaddeocurrir?
A:quelalatasehayarecolectadoenunodelosdosúltimosmeses.B:quesehayarecolectadoenjuliooseptiembre.
Calcula y escribe la solución.PASO 3
Revisa la solución.PASO 4
Latas recolectadas en los últimos 6 meses del 2012
Mes
70
60
30
50
40
10
20
0
Can
tidad
de
lata
s
Ago Sept Oct Nov DicJul
55
45
35
Identifica los datos importantes.PASO 2
Explica con tus palabras la pregunta del problema.PASO 1
293
Competencias para la vidaLainformaciónestadísticameayudaacomprendersituacionessociales
LosJuegosParaolímpicossonlacompetenciaolímpicaoficialdelosatletasdiscapacitados.Participanpersonascondiscapacidadesmotoras,amputaciones,ceguerayparálisiscerebral.Acontinuación,sepresentaunatablaqueregistralacantidaddemedallasdeoro,plataybroncequeobtuvocadapaísenlosJuegosParaolímpicosdePekín2008.
Responde, según la información entregada.
• ¿QuépaísobtuvomásmedallasdeoroenPekín2008?
• ¿QuépaísobtuvoentotalmásmedallasenPekín2008?
• SiSudáfricaganómenosmedallasqueotrospaísescomoCanadáyEspaña,¿porquérazóncreesqueseencuentramásarribaenlatabla?
• SituvierasquerepresentarenungráficolacantidadtotaldemedallasobtenidasporlospaísesparticipantesenPekín2008,¿quétipodegráficoutilizarías:debarraodepuntos?Justifica.
Responde, según la información entregada.
Competenciamatemática
Medallero Paraolímpico Pekín 2008
Número País Oro Plata Bronce Total1 China 89 70 52 2112 GranBretaña 42 29 31 1023 EstadosUnidos 36 35 28 994 Ucrania 24 18 32 745 Australia 23 29 27 796 Sudáfrica 21 3 6 307 Canadá 19 10 21 508 Rusia 18 23 22 639 Brasil 16 14 17 4710 España 15 21 22 5811 Alemania 14 25 20 5912 Francia 12 21 19 5213 RepúblicadeCorea 10 8 13 3114 México 10 3 7 20
294
Segúnelcensorealizadoelaño2002enChile,el2,2%delapoblacióntienealgúngradodediscapacidad.Lasiguientetablaloresume:
Responde, según la información entregada.
• ¿Quéenseñanzatedejaestainformación?
• ¿EnChileexistealgunacampañaparaayudaralagentequetienealgúngradodediscapacidad?
• ¿Dequémaneracolaborastú?
Responde, según la información entregada.
Competenciasocialyciudadana
Personas con discapacidades Total Hombres Mujeres
Personascondiscapacidades 334.377 178.563 155.814
Cegueratotal 42.931 20.341 22.590
Sorderatotal 66.524 35.280 31.244
Mudez 11.060 6.037 5.023
Parálisis/lisiado 135.389 73.988 61.401
Deficienciamental 98.149 53.041 45.108
Totaldiscapacidades 354.053 188.687 165.366
Personasconmásdeunadiscapacidad 19.676 10.124 9.552
Fuente:http://www.ine.cl/cd2002/sintesiscensal.pdf
295
EstrategiasparaprepararelSimce MR
SimceesmarcaregistradadelMinisteriodeEducación.
Analiza cómo responder una pregunta de selección múltiple
Análisis de las alternativas
1. Lasiguientetablamuestralacantidaddepersonasporcursoyporgéneroqueasistieronaunconciertoenuncolegio.Siseeligealazaraunapersona,¿cuántoscasosfavorablestieneeleventoenelcuallapersonaseleccionadaseadesexofemeninoyde4°medio?
Asistentes a un concierto en un colegio2o medio 3o medio 4o medio
Mujeres 60 40 75
Hombres 50 80 90
Total 110 120 165
A.75casosfavorables.
B.90casosfavorables.
C.165casosfavorables.
D.175casosfavorables.
A.Seconsideraqueloscasosfavorablescorrespondenalacantidaddepersonasquecumplenconlacondicióndesermujeryestaren4°medio.Porlotanto,elnúmerodecasosfavorablesaleventoencuestiónes75.
B.Seconfundeelgénero,porloqueseconsideraaloshombresde4°medio,queson90,yserelacionaestenúmeroconeldeloscasosfavorablesaleventoporelquesepregunta.
C.Enestecaso,seconsideraerróneamentequeloscasosfavorablescorrespondensoloaleventoquelapersonaseade4°medio,sinconsiderarelgénero.
296
D.Enestaalternativa,loscasosfavorablescorrespondensoloaleventodequelapersonaseadesexofemenino,sinconsiderarqueademásdebeserde4°medio.
Porlotanto,laalternativaAeslacorrecta. 1. C DBA
NivelSexo
296296
¿Quéaprendiste? Evaluación final
puntos
3
puntos
4
1.Analizalasiguientetablayluegoresponde.
a. ¿Cuántosintegrantesentotaltieneestaorquestadevientos?
b. ¿Cuántosintegrantestienelaorquestaentrelosquetocantubayclarinete?
c. ¿Encuántosintegrantessuperanlosquetocanflautatraversaconrespectoalosque
tocantrompeta?
2.Analizaelsiguientegráficodebarrasyluegoresponde.
a. ¿Cuáleseltipodepinturamásvendido?
b. ¿Cuántosumanlosgalonesdebarnizyesmaltesintéticovendidosenundía?
c. ¿Cuántosgalonesmásdelátexsedebenvenderparaalcanzarlaventadeesmaltealagua?
d. Planteaunasituaciónparalacualfuenecesarioconstruirelgráfico.
297
Tipo de pintura
100
607080
40
20
0
Can
tidad
de
galo
nes
Látex Esmaltesintético
Esmalte al agua
Barniz
Tipos de galones de pintura vendidos en un día
Integrantes de una orquesta de vientos por instrumento
Instrumento Cantidad
Trompeta 5
Trombón 2
Saxofón 4
Clarinete 4
Flautatraversa 6
Tuba 2
Trompa 2
luego responde.
total tiene esta orquesta de vientos?
la orquesta entre los que tocan tuba y clarinete?
Integrantes de una orquesta de vientos por instrumento
Cantidad
5
2
4
4
6
2
2
Unidad 7
puntos
3
Tuba
Trompa
SaxofónClarinete
Trombón
Flauta traversa
Trompeta
297
3.Analizaelsiguientegráficodelíneasyluegoresponde.
a. ¿CuántoscentímetrosmedíaRobertoalos17años?
b. ¿Encuántoscentímetrosaumentósuestaturaentrelos14añosylos20años?Justifica.
c. ¿EntrequéedadesseguidasRobertotuvounaumentomayordesuestatura?Justifica.
4.Calculaelpromediodecadaunodelossiguientesconjuntosdedatos.
a. Edades,enaños,deunosamigos:15,14,12,16,15y12.
b. Cantidaddeproductosvendidosporunapersona:23,54,31,19,26,42y29.
c. Temperaturasmáximas,engrados,Celsiusdelosdíasdeunasemana:5,7,3,5,3,1y4.
Variación de la estatura de Robertoentre los 10 y los 20 años
Edad
180
175
160
170
165
155
150
145140
135
Estatura en centímetros
11 1312 16 17 18 19 2014 1510
puntos
3
puntos
3
¿Qué aprendiste?
298
Unidad 7
puntos
4
Marca con una la alternativa correcta.
Losdirectivosdeuncolegioencuestarána40padresyapoderados,aquienesselesconsultarásobrelacantidaddehorassemanalesquededicanaestudiarconsushijos.Lafinalidaddeestaencuestaesdetectarnecesidadesyproponertalleresdemétodosdeestudioenlasreunionesconlospadresyapoderados.
Considerandoloanterior,respondelaspreguntas5y6.
5.¿Cuáleslapoblaciónconsideradaenelestudiodescritoanteriormente?
A.Lospadresdelosestudiantesdelcolegio.
B. Losmétodosdeestudiodelospadresconsushijos.
C.Los40padresencuestados.
D.Lashorasquelospadresestudiansemanalmenteconsushijos.
6.¿Cuáleselobjetivodelaencuesta?
A.Recopilardatos.
B. Proponerestrategiasdeestudio.
C.Encuestara40padresdelcolegio.
D.Aumentarlashorasdeestudiodelosestudiantes.
7. Respectodelasiguientetabla,¿cuántosgruposdepersonasasistieronconmásde2niñosaverunapelícula?
A. 8
B. 12
C. 16
D. 28
8.Segúnlosdatosexpuestosenlatabladelapreguntaanterior,¿cuáldelassiguientesexpresionesesverdadera?
A.Cincogruposdepersonasfueroncontresniños.
B. Quincefueronlosniñosquevieronlapelícula.
C.Cuarentayochogruposdepersonasfueronconsideradosenlatabla.
D.Lavariableconsideradaenelestudioesgrupodepersonas.
Grupos de personas que asistieron con niños a ver una película
Número de niños Grupos de personas1 20
2 12
3 8
4 5
5 3
299
¿Qué aprendiste?
9. Segúnelgráfico,¿cuántosgatossedeberíanatenderparaigualareltotaldecaballosyperrosatendidos?
A. 8
B. 17
C.25
D.33
Analizaelsiguientegráficoyluegorespondelaspreguntas10,11y12.
10. ¿Encuántosobrepasanlasventasdeltercerdíaalasventasdelquintodía?
A. 6
B.11
C.16
D.22
Animales atendidos en una clínica veterinaria
Tipo de animalVaca Gato Caballo Perro Otros
20
15
10
58
0Can
tidad
de
anim
ales
Ventas de bicicletas realizadas en los primeros días de un mes
10
20
0 1 2 3 54 86 7 Día del mes
Número de bicicletas
puntos
2
300
Unidad 7
11. ¿Cuáldelassiguientesafirmacionesesfalsa?
A.Eltercerdíasevendieronmásbicicletas.
B. Enlos8primerosdíasdelmessevendieron114bicicletas.
C.Lamayordiferenciadeventasentredíasseguidosseobservaentrelosdías5y6.
D.Lacantidaddebicicletasvendidastiendealabajaamedidaquetranscurrenlosdías.
12. Paraqueelpromediodeventasdiariasdurantelosochoprimerosdíasfuesede15bicicletas,¿cuántasmásdeberíanhabersevendido?
A.1diaria.
B. 6más.
C.6diarias.
D.120diarias.
Respectodelexperimentodegirarlaruleta,respondelaspreguntas13y14.
13. ¿Cuáleselespaciomuestral?
A.{1,2,3,9}
B. {númerosmenoresque9}
C. {1,1,2,2,3,3,3,8}
D.Nosepuededeterminar.
14. ¿Quénúmeroesmásprobableobtener?
A.1
B. 2
C.3
D.9
2 311
9233
puntos
4
BuscaPreparalaprueba7
301
Completa tus datos.
Evaluación integradora tipo SimceEvaluación integradora tipo Simce MR Simce es marca registrada del Ministerio de Educación.
Nombre:
Curso: Fecha:
Marca con una la alternativa correcta.
Observa las siguientes rectas y luego responde las preguntas 1 y 2.
1.¿Qué pares de rectas son secantes y no perpendiculares?
A.PQ y RP
B. RQ y MP
C. MR y QR
D. MP y PQ
2.¿Cómo se clasifica el polígono PQRM?
A.Triángulo.
B. Trapecio.
C.Trapezoide.
D.Paralelógramo.
3.¿En qué alternativa se destacan las caras que se intersectan de forma perpendicular?
A. B. C. D.
M R
P Q
302
Quinto básico
4.¿Cuáles son las coordenadas del punto W representado en el plano cartesiano?
A.(4, 2)
B. (2, 4)
C. (3, 4)
D. (4, 3)
5.Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría?
A.Trapecio.
B. Triángulo.
C.Trapezoide.
D.Paralelógramo.
6.Respecto a la siguiente figura, ¿qué afirmación es verdadera?
A.Al trasladar 2 unidades hacia arriba el punto A, se obtiene el punto M.
B. Si el punto P se traslada 3 unidades a la derecha, se obtiene el punto M.
C.Al trasladar 4 unidades hacia la derecha el punto W, se obtiene el punto A.
D.Al trasladar 1 unidad hacia abajo y 3 hacia la derecha el punto P, se obtiene el punto M.
7. ¿Qué transformación isométrica se relaciona con el eje de simetría en el plano cartesiano?
A.Rotación.
B. Reflexión.
C.Traslación.
D.Simetría central.
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 X0
Y
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 X0
Y
W
P
M
WA
H H’
G G’F
Eje de simetría
F’
E E’
0
Y
X
303
Evaluación integradora tipo Simce MR
8.¿En qué alternativa se muestran dos figuras congruentes?
9.¿A cuántos milímetros equivalen 4 metros?
A. 40
B. 400
C. 4.000
D. 40.000
10. ¿Cuál es el perímetro del siguiente polígono?
A.15 cm
B. 32 cm
C.24 cm
D.60 cm
11. Si el área de un rectángulo es 72 m2 y uno de sus lados mide 8 m, ¿cuál es la medida de su perímetro?
A. 9 m
B. 17 m
C.22 m
D.34 m
A.
B.
C.
D.
3 cm
3 cm
3 cm3 cm
5 cm
5 cm
5 cm
5 cm
0
0
0
0
Y Y
Y Y
X X
X X
304
Quinto básico
12. ¿Cuál es el área del cuadrilátero que se muestra en la cuadrícula?
A.18 m2
B. 30 m2
C.54 m2
D.60 m2
13. En el plano cartesiano se asume que la medida de la
superficie de cada es 1 cm2, y se representan diferentes
figuras geométricas. ¿Qué afirmación es verdadera?
A.La medida de la superficie del triángulo B es 4 cm2.
B. La medida de la superficie del rectángulo C es 8 cm2.
C.Al sumar las áreas de ambos triángulos se obtiene la superficie del rectángulo.
D.La medida de la superficie del triángulo A corresponde a la mitad de la superficie del rectángulo C.
14. ¿Cuál es el área de la siguiente figura?
A. 7 cm2
B. 10 cm2
C.14 cm2
D.48 cm2
15. De las siguientes alternativas, ¿cuál no corresponde a una variable cuantitativa?
A.La estatura de un grupo de estudiantes.
B. Las frutas que consumen en el recreo.
C.La masa corporal de diferentes estudiantes.
D.La cantidad de hermanos de diferentes personas.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X0
Y
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
3 cm 1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
B
C
A
305
Evaluación integradora tipo Simce MR
En un colegio se encuestó a 150 apoderados, preguntándoles cuántos libros habían leído en los últimos tres meses. La información se ordenó en la siguiente tabla.
Libros leídos por apoderados en 3 meses
Cantidad de libros leídos Frecuencia
0 40
1 70
2 30
3 10
Lee la siguiente situación y responde las preguntas 16 y 17.
16. ¿Cuántos apoderados han leído más de 1 libro?
A.110 padres.
B. 70 padres.
C.40 padres.
D.30 padres.
17. ¿Qué gráfico representa la información de la tabla?
A.
B.
C.
D.
706050403020100
Cantidad de libros leídos
0 1 2 3
706050403020100
Cantidad de libros leídos
0 1 2 3
70
60
50
40
30
20
10
0
Cantidad de libros leídos
0 1 2 3
706050403020100
Cantidad de libros leídos
0 1 2 3
Cantidad de libros leídos
Frec
uenc
ia
Cantidad de libros leídos
Frec
uenc
ia
Cantidad de libros leídos
Frec
uenc
ia
Cantidad de libros leídos
Frec
uenc
ia
306
Quinto básico
18. Con el fin de tener un mejor control de los aviones que aterrizan diariamente en un aeropuerto, la información recopilada durante una semana se registró en un gráfico de líneas. Respecto de este, ¿qué afirmación es falsa?
A.El día viernes aterrizaron 10 aviones.
B. El día jueves aterrizó una mayor cantidad de aviones.
C.El día lunes aterrizaron más aviones que el día miércoles.
D.El día domingo aterrizaron menos aviones que el día sábado.
19. En el gráfico se muestra la cantidad de estudiantes que asisten a un taller. ¿Cuántos estudiantes asistieron en promedio?
A.85
B. 100
C.185
D.425
20. De un portalápices, como el de la imagen, se extrae un lápiz al azar. ¿Qué alternativa corresponde a un evento imposible?
A.Obtener un lápiz rojo.
B. Obtener un lápiz verde.
C.Obtener un lápiz azul.
D.Obtener un lápiz negro.
21. En el siguiente diagrama de tallo y hojas se registran las edades de un grupo de personas que asisten al cine. ¿Qué alternativa es falsa?
A.Asistió 1 persona de 39 años.
B. Asistieron 5 personas de 29 años.
C.La edad mínima de la persona que asistió es 8 años.
D.La edad máxima de la persona que asistió es 55 años.
Y
16
14
12
10
8
6
4
2
Lun Mar Miér Jue Vier Sab Dom X0
Cantidad de aviones que aterrizan diariamente en un aeropuerto
Día
DíaC
antida
d de
avi
ones
Lun Mar Miér Jue Vier X
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
85
Can
tida
d de
est
udia
ntes
Asistencia de estudiantes
15
9
7
Tallo Hojas
0 8 9 9 1 1 1 1 2 2 3 4 5 9 2 2 3 3 3 3 3 3 4 5 9 9 9 9 9 3 1 1 1 2 2 3 4 5 6 7 8 4 1 1 2 2 3 4 5 6 5 1 2 3 5
307
Prepara la prueba 5 • Síntesis Nombre: Curso:
Casa del Saber
Módulo 2
Módulo 3Plano cartesiano
Puntos en el plano cartesiano Figuras en el plano cartesiano
Módulo 4
Módulo 1
Paralelismo en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
Intersección en figuras geométricasy en cuerpos geométricos
Perpendicularidad en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
Paralelismo e intersección
Poliedros
El cuerpo corresponde a una pirámide cuya base es un hexágono.
• 7 vértices• 12 aristas• 1 cara basal• 6 caras laterales
La pirámide tiene:
Perpendicularidad de figuras y cuerpos
La imagen se relaciona con el paralelepípedo.
En la intersección de las caras se destaca con blanco la arista. Además sus caras, forman un ángulo diedro recto.
Congruencia de figuras geométricas
En el triángulo EFG se realiza una traslación de 3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo y se obtiene que:
El triángulo EFG es congruente con el triángulo E’F’G’.
Plano cartesiano
Los vértices del cuadrilátero son:
Al representarlo en el plano cartesiano, se obtiene un romboide.
Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Intersección de rectas Poliedros
ParalelepípedosCuadriláteros
Polígonos
Congruencia defiguras geométricas
ReflexiónTraslación Rotación
Transformaciones isométricas
Cara lateral
Cara basal
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
Y
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0
Y
• A(1, 1)• B(7, 1)
• C(8, 4)• D(2, 4)
A
D
B
C
G’
G
E’
E
F’
F
La imagen se relaciona
Casa del Saber
Prepara la prueba 5 • RepasoMódulo 3: Plano cartesiano
5.Si el punto Z(3, 4) se desplaza 5 unidades a la derecha y 3 unidades hacia abajo, ¿cuáles son las nuevas coordenadas del punto?
6.Representa en el plano cartesiano todos los cuadrados de lado 5 unidades que se pueden formar teniendo como uno de sus vértices el punto B(6, 5). Luego, escribe los vértices.
Módulo 4: Congruencia de figuras geométricas
7. Realiza la transformación isométrica. Luego, responde.
Con centro en A, rota en 180º el polígono y nombra a la imagen por B’C’D’E’.
¿Qué concluyes acerca de los lados y ángulos interiores de la imagen del polígono BCDE?
Módulo 1: Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Observa la siguientes rectas y luego responde las preguntas 1 y 2.
1.Escribe: oblicua, perpendicular o paralela,según corresponda.
a. L1 es a L2.
b. L4 es a L1.
c. L5 es a L6.
d. L5 es a L3.
2.Considerando la figura geométrica que forman las rectas L1, L2, L3 y L4, ¿a qué cuadrilátero corresponde? Explica.
3.¿Cuántas caras laterales y basales tiene un paralelepípedo?
Caras laterales: Caras basales:
Módulo 2: Paralelismo e intersección
4.Colorea según sea el caso.
b. Unidad de millón
Desprende,respondeypegaentucuaderno
a. Poliedro ZWVUQTSR b. Paralelepípedo BCGFIADH
Caras paralelas 4 caras perpendiculares
Coordenadas de cada cuadrado.
L6
L1
L2 L3
L4
L5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X0
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X0
Y
AB C
DE
Q
A DF
HI
G
B C
R
VU
T S
WZ
Pega aqu
íPega aq
uí
Pega aqu
íPega aq
uí
Pega aqu
í
Prepara la prueba 6 • Síntesis Nombre: Curso:
Casa del Saber
Módulo 1
Módulo 2
Módulo 3
Conversión entre unidades de longitud
En la tabla se presentan las siguientes equivalencias.
km hm dam m dm cm mm
9 90 900 9.000 90.000 900.000 9.000.000
0,005 0,05 0,5 5 50 500 5.000
Área de figuras geométricas
El área de la figura mostrada en la cuadrícula, en la que cada cuadrado tiene una superficie de 1 cm2, se puede descomponer en un rectángulo y un triángulo.
Medidas de longitud Unidades desuperficie
Conversión entre unidades de longitud
Unidades de longitudy superficie
Utilizando cuadrículas
Triángulos Paralelógramos Trapecios
Área de paralelógramos
Área de triángulos
Área de trapecios
Área de figuras geométricas
Área de un rectánguloPerímetro de figuras geométricas
Perímetro y área de rectángulos
Representaciónde rectángulos
Área de un rectángulo
El área de un rectángulo es 32 km2 y las medidas de sus lados solo se pueden representar con números naturales. ¿Cuáles son los posibles medidas de los lados del rectángulo?
Debido a que el área del rectángulo se calcula multiplicando la medida de su base por la medida de su altura, las posibles medidas son los números naturales que, al multiplicarse, resultan 32. Es decir:
(1 • 32) km2 = 32 km2 (2 • 16) km2 = 32 km2 (4 • 8) km2 = 32 km2
Luego, los lados del rectángulo pueden ser: 1 km y 32 km, 2 km y 16 km, 4 km y 8 km.
El área del triángulo es
4 cm2 y la del rectángulo,
20 cm2. Luego, el área total
de la figura es 24 cm2.
Casa del Saber
Prepara la prueba 6 • Repaso4.Resuelve los siguientes problemas.
a. Si el perímetro de un rectángulo es 20 cm y uno de sus lados tiene una longitud de 3 cm, ¿cuál es el área del rectángulo?
b. Si el área de un rectángulo es 15 m2 y uno de sus lados mide 5 m, ¿cuál es su perímetro?
Módulo 3: Área de figuras geométricas
5.Analiza las siguientes representaciones y luego responde.
a. Calcula el área de cada polígono:
b. Explica qué relación existe entre la medida del área de cada polígono en el plano 1 y en el plano 2.
Módulo 1: Unidades de longitud y superficie
1.Utilizando una regla, mide el triángulo rectángulo. Luego, completa:
a. m (AB) = cm
b. m (BC) = cm
c. m (CA) = cm
2.Completa con las equivalencias que correspondan.
Módulo 2: Perímetro y área de rectángulos
3.Calcula el perímetro (P) de las siguientes figuras geométricas.
a.
P =
b.
P =
a. 20 m = cm
b. 35 km = dam
c. 7 hm = dm
d. 4 dam = m
e. 5 mm = m
f. 4 dm = dam
BCDE
CZW
PALM
QNO
Desprende,respondeypegaentucuaderno
A
7 km
5 km5 km
B
C
12 m
4 m
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X0
Y
E
B
D
C
Plano 1 1 cm
1 cm10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X0
Y
W
C
M L
O
Q NP A
Z
Plano 2 1 cm
1 cm
Pega aqu
íPega aq
uí
Pega aqu
íPega aq
uí
Pega aqu
í
Prepara la prueba 7 • Síntesis • Nombre: Curso:
Casa del Saber
Cálculo de promedios de datos
Pablo es meteorólogo y anotó la temperatura máxima y la temperatura mínima que se registró durante una semana.
La temperatura máxima promedio fue: La temperatura mínima promedio fue:
Módulo 1
Módulo 2
Módulo 3
Conceptos básicos
Tratamiento de la información
Introducción a la probabilidad
Promedio de datos
Experimentos aleatorios
Espacio muestral Probabilidad y comparación
Comparación de posibilidades
Lectura e interpretación de gráficos de barras
En un curso se realizó una encuesta sobre el deporte favorito de los estudiantes. Los resultados se representan en el gráfico de barras.
Del gráfico se deduce que:
• Se encuestó a 15 estudiantes.
• El deporte que más practican los estudiantes es la natación.
De acuerdo con la ruleta que se muestra:
• Es más posible que salga el color rojo en lugar del color celeste.
• Es imposible que salga el color negro.
• Es seguro que salga el color rojo, celeste o blanco.
Cálculo de promedio de datos
Ventajas y desventajas del promedio de datos
Cálculo de promedio en gráficos
Representación en un diagrama de tallo y hojas
Construcción de gráficos de barras
y de líneas
Lectura e interpretación de:
• tablas de frecuencias• gráfico de barras • gráfico de líneas
Deportes
Can
tidad
de
estu
dian
tes
Fútbol Natación Tenis
7
5
6
1
4
2
3
0
Deporte favorito
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Máxima 21 °C 24 °C 21 °C 18 °C 18 °C 21 °C 24 °C
Mínima 15 °C 17 °C 12 °C 10 °C 12 °C 15 °C 17 °C
x =21 + 24 + 21+ 18 + 18 + 21 + 24
=147
= 217 7 x =
15 + 17 + 12 + 10 + 12 + 15 + 17=
98= 14
7 7
Comparación de posibilidadesComparación de posibilidadesComparación de posibilidades
Casa del Saber
Prepara la prueba 7 • RepasoMódulo 2: Promedio de datos
3.Observa la información y luego responde.
El gráfico muestra la cantidad de camarones exportados en una empresa durante los primeros6 meses del año. Calcula el promedio de camarones exportados durante los seis meses.
Módulo 3: Introducción a la probabilidad
4.Remarca, en cada caso, aleatorio o determinístico, según sea el experimento.
a. Lanzar una moneda. Aleatorio Determinístico
b. Exponer un papel al fuego. Aleatorio Determinístico
c. Extraer una bolita de un caja. Aleatorio Determinístico
5.Completa con: seguro, posible o imposible, según el experimento aleatorio mencionado.
a. Seleccionar un día de la semana al azar.
b. Obtener 7 puntos al lanzar un dado de 6 caras.
c. Lanzar un dado dos veces y que la suma de sus. puntos sea menor que 13.
Módulo 1: Tratamiento de la información
1.Observa el siguiente gráfico y luego responde.
a. ¿Qué día visitaron la exposición más personas?
b. ¿Cuántas personas visitaron la exposición el cuarto día?
c. En total, ¿cuántas personas visitaron la exposición?
2.Construye el gráfico de barras con los datos entregados en la tabla.
Desprende,respondeypegaentucuaderno
Visita a la exposición
20
1°0 2° 3° 4° 5°
40
60
80
100
120
140
Can
tidad
de
pers
onas
Día
Can
tidad
7
8
6
3
5
4
1
2
0
Alimentos consumidos
Colación Cantidad
Frutas 7
Galletas 5
Leche 4
Jugos 8
Sándwich 6
Ene Feb Mar Abr May JunMeses
Camarones exportados
5
0
10
15
20
25
30
35
40
Tone
lada
s ex
port
adas
Pega aqu
íPega aq
uí
Pega aqu
íPega aq
uí
Pega aqu
í
Matemática básico
La salud y la seguridadtambién son parte de tu educación
5°